文档内容
6．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6．3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
6．3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
考点 学习目标 核心素养
理解向量正交分解以及坐标
平面向量的坐标表示 数学抽象、直观想象
表示的意义
平面向量加、减运算的坐标 掌握两个向量的和、差及向
数学运算
表示 量数乘的坐标运算法则
理解坐标表示的平面向量共
平面向量数乘运算的坐标表
线的条件，并会解决向量共 数学运算、逻辑推理
示
线问题
第1课时 平面向量的分解及加、减、数乘运算的坐标表示
问题导学
预习教材P27－P33的内容，思考以下问题：
1．怎样分解一个向量才为正交分解？
2．如何求两个向量和、差的向量的坐标？
3．一个向量的坐标与有向线段的起点和终点坐标之间有什么关系？
4．若a＝(x，y)，则λa的坐标是什么？
1．平面向量坐标的相关概念
■名师点拨
(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量
e 和e 互相垂直．
1 2
(2)由向量坐标的定义知，两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a
＝b x＝x 且y＝y，其中a＝(x，y)，b＝(x，y)．
1 2 1 2 1 1 2 2
2．平面向量的坐标运算
⇔
(1)若a＝(x，y)，b＝(x，y)，λ∈R，则
1 1 2 2
①a＋b＝ ( x ＋ x ， y ＋ y)；
1 2 1 2
②a－b＝ ( x － x ， y － y)；
1 2 1 2③λa＝ ( λx ， λ y )．
1 1
(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
■名师点拨
(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．
(2)已知向量AB的起点A(x，y)，终点B(x，y)，则AB＝(x－x，y－y)．
1 1 2 2 2 1 2 1
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点的坐标与向量的坐标相同．( )
(2)零向量的坐标是(0，0)．( )
(3)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( )
(4)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
已知A(3，1)，B(2，－1)，则BA的坐标是( )
A．(－2，－1) B．(2，1)
C．(1，2) D．(－1，－2)
答案：C
如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则AB
可以表示为( )
A．2i＋3j B．4i＋2j
C．2i－j D．－2i＋j
答案：C
设i＝(1，0)，j＝(0，1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，则a＋b与a－b的坐标分别为
____________．
答案：(2，5)，(4，3)
平面向量的坐标表示
已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA|＝4，∠xOA＝60°，
(1)求向量OA的坐标；
(2)若B(，－1)，求BA的坐标．
【解】 (1)设点A(x，y)，则x＝|OA|cos 60°＝4cos 60°＝2，y＝|OA|sin 60°＝4sin 60°
＝6，
即A(2，6)，所以OA＝(2，6)．
(2)BA＝(2，6)－(，－1)＝(，7)．求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．
(2)求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点
坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．
1.在平面直角坐标系xOy中，向量a，b的方向如图所示，且|
a|＝2，|b|＝3，则a的坐标为________，b的坐标为________．
解析：设点A(x，y)，B(x ，y)，因为|a|＝2，且∠AOx＝45°，
0 0
所以x＝2cos 45°＝，y＝2sin 45°＝.又|b|＝3，∠xOB＝90°＋30°＝
120°，所以 x ＝3cos 120°＝－，y ＝3sin 120°＝，故 a＝OA＝
0 0
(，)，b＝OB＝.
答案：(，)
2．已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是x轴上
的单位向量，j是y轴上的单位向量，试求AC和BD的坐标．
解：由题图知，CB⊥x轴，CD⊥y轴，
因为AB＝4，AD＝3，所以AC＝4i＋3j，
所以AC＝(4，3)．
因为BD＝BA＋AD＝－AB＋AD，
所以BD＝－4i＋3j，所以BD＝(－4，3)．
平面向量的坐标运算
(1)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A．(－23，－12) B．(23，12)
C．(7，0) D．(－7，0)
(2)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM＝3 CA，CN＝2 CB，求点M，N
的坐标．
【解】 (1)选A.因为a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，且c满足3a－2b＋c＝0，所以c＝2b
－3a＝2(－4，－3)－3(5，2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)．
(2)法一：因为A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
所以CA＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)，
CB＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)．因为CM＝3 CA，CN＝2 CB，
所以CM＝3(1，8)＝(3，24)，CN＝2(6，3)＝(12，6)．
设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
所以CM＝(x＋3，y＋4)＝(3，24)，
1 1
CN＝(x＋3，y＋4)＝(12，6)，
2 2
所以解得
所以M(0，20)，N(9，2)．
法二：设O为坐标原点，则由CM＝3 CA，CN＝2 CB，
可得OM－OC＝3(OA－OC)，ON－OC＝2(OB－OC)，
所以OM＝3 OA－2 OC，ON＝2 OB－OC.
所以OM＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)，
ON＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)．
所以M(0，20)，N(9，2)．
平面向量坐标(线性)运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标
运算．
(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．
1．已知 A，B，C 的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，则AB＋2BC＝
____________，BC－AC＝____________．
解析：因为A(2，－4)，B(0，6)，C(－8，10)，
所以AB＝(－2，10)，BC＝(－8，4)，AC＝(－10，14)，
所以AB＋2BC＝(－18，18)，BC－AC＝(－3，－3)．
答案：(－18，18) (－3，－3)
2．已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值
为________．
解析：由题意得ma＋nb＝(2m，m)＋(n，－2n)＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即解得
m＝2，n＝5，所以m－n＝－3.
答案：－3
向量坐标运算的综合应用
已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及OP＝OA＋tAB.
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．【解】 (1)OP＝OA＋tAB＝(1，2)＋t(3，3)
＝(1＋3t，2＋3t)．若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－.
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－.
若点P在第二象限，则
所以－＜t＜－.
(2)OA＝(1，2)，PB＝(3－3t，3－3t)．若四边形OABP为平行四边形，
则OA＝PB，所以该方程组无解．
故四边形OABP不能为平行四边形．
[变问法]若保持本例条件不变，问t为何值时，B为线段AP的中点？
解：由OP＝OA＋tAB，得AP＝tAB.
所以当t＝2时，AP＝2AB，B为线段AP的中点．
向量中含参数问题的求解策略
(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表
示向量的点的坐标的位置会随之改变．
(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，
解这个方程(组)，就能达到解题的目的．
1．已知在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(5，0)，D(2，4)，对角线AC，BD交于点
M，则DM的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
解析：选A.DM＝DB＝[(5，0)－(2，4)]＝(3，－4)＝.
2．已知在非平行四边形ABCD中，AB∥DC，且A，B，D三点的坐标分别为(0，0)，
(2，0)，(1，1)，则顶点C的横坐标的取值范围是________．
解析：当ABCD为平行四边形时，
则AC＝AB＋AD＝(2，0)＋(1，1)＝(3，1)，
故满足题意的顶点C的横坐标的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)．
答案：(1，3)∪(3，＋∞)1．已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝( )
A．(5，7) B．(5，9) C．(3，7) D．(3，9)
答案：A
2．已知 A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，0)，D(x，y)，且AC＝2BD，则 x＋y＝
________．
解析：因为AC＝(－2，0)－(－1，－2)＝(－1，2)，BD＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－
3)，又2BD＝AC，即(2x－4，2y－6)＝(－1，2)，
所以解得所以x＋y＝.
答案：
3．已知点B(1，0)是向量a的终点，向量b，c均以原点O为起点，且b＝(－3，4)，c
＝(－1，1)与a的关系为a＝3b－2c，求向量a的起点坐标．
解：a＝3b－2c＝3(－3，4)－2(－1，1)＝(－7，10)，
设a的起点为A(x，y)，
则a＝AB＝(1－x，－y)，
所以
所以
所以A(8，－10)．
即a的起点坐标为(8，－10)．
[A 基础达标]
1．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐
标原点，若OA＝4i＋2j，OB＝3i＋4j，则2OA＋OB的坐标是( )
A．(1，－2) B．(7，6)
C．(5，0) D．(11，8)
解析：选D.因为OA＝(4，2)，OB＝(3，4)，
所以2OA＋OB＝(8，4)＋(3，4)＝(11，8)．
2．设向量a＝(1，2)，b＝(－3，5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x的值为(
)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选C.由已知，可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x)，所以解得所以λ＋x＝－，故选
C.
3．已知MA＝(－2，4)，MB＝(2，6)，则AB等于( )
A．(0，5) B．(0，1)C．(2，5) D．(2，1)
解析：选D.AB＝(MB－MA)＝(2，6)－(－2，4)＝(2，1)．
4．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC＝2AD，则
顶点D的坐标为( )
A. B.
C．(3，2) D．(1，3)
解析：选A.设点D(m，n)，则由题意得(4，3)＝2(m，n－2)＝(2m，2n－4)，故
解得即点D的坐标为，故选A.
5．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设
OC＝λOA＋(1－λ)OB(λ∈R)，则λ的值为( )
A. B.
C. D.
解析： 选C.如图所示，因为∠AOC＝45°，
所以设C(x，－x)，
则OC＝(x，－x)．
又因为A(－3，0)，B(0，2)，
所以λOA＋(1－λ)OB
＝(－3λ，2－2λ)，
所以⇒λ＝.
6．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2，3)，若AB＝3a，则点B的坐标为________．
解析：设O为坐标原点，因为OA＝(－1，－5)，AB＝3a＝(6，9)，故OB＝OA＋AB＝
(5，4)，故点B的坐标为(5，4)．
答案：(5，4)
7．已知向量 a＝(1，2)，b＝(－2，3)，c＝(4，1)，若用 a 和 b 表示 c，则 c＝
________．
解析：设c＝xa＋yb，
则(x，2x)＋(－2y，3y)＝(x－2y，2x＋3y)＝(4，1)．
故解得
所以c＝2a－b.
答案：2a－b
8．已知A(－1，2)，B(2，8)．若AC＝AB，DA＝－AB，则CD的坐标为________．
解析：AC＝AB＝(3，6)＝(1，2)，
DA＝－AB＝－(3，6)＝(－2，－4)，
DC＝DA＋AC＝(－1，－2)，
所以CD＝(1，2)．
答案：(1，2)9．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值．
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－
42)．
(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
所以解得
10．已知向量AB＝(4，3)，AD＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足PB＝λBD(λ∈R)，求λ与y的值．
解：(1)设B(x，y)，
1 1
因为AB＝(4，3)，A(－1，－2)，
所以(x＋1，y＋2)＝(4，3)，
1 1
所以
所以
所以B(3，1)．
同理可得D(－4，－3)，
设BD的中点M(x，y)，
2 2
则x＝＝－，y＝＝－1.
2 2
所以M.
(2)由PB＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，
BD＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，
又PB＝λBD(λ∈R)，
所以(1，1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以
所以
[B 能力提升]
11．对于向量m＝(x ，y)，n＝(x ，y)，定义mn＝(xx ，yy)．已知a＝(2，－4)，
1 1 2 2 1 2 1 2
且a＋b＝ab，那么向量b等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A.设b＝(x，y)，由新定义及a＋b＝ab，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，
所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝，所以向量b＝.
12．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC
＝，设OC＝λOA＋OB(λ∈R)，则λ＝______．解析：过C作CE⊥x轴于点E，由∠AOC＝知，|OE|＝|CE|＝2，所以OC＝OE＋OB＝
λOA＋OB，即OE＝λOA，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝.
答案：
13．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4，3)，
PQ＝(1，5)，则BC＝________．
解析：PQ－PA＝AQ＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，因为点Q是AC的中点，所以AQ＝
QC，所以PC＝PQ＋QC＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)．因为BP＝2PC，所以BC＝BP＋PC
＝3PC＝3(－2，7)＝(－6，21)．
答案：(－6，21)
14．已知O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设OA＝a，OB＝b，OC＝
c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a，b表示c.
解：如图，以O为原点，向量OA所在的直线为x轴建立平面直角
坐标系．
因为|a|＝2，所以a＝(2，0)．
设b＝(x，y)，所以x＝|b|·cos 150°＝1×＝－，
1 1 1
y＝|b|sin 150°＝1×＝，
1
所以b＝.同理可得c＝.
设c＝λa＋λb(λ，λ∈R)，
1 2 1 2
所以＝λ(2，0)＋λ
1 2
＝(2λ－λ，λ)，
1 2 2
所以解得
所以c＝－3a－3b.
[C 拓展探究]
15．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)．
(1)若PA＋PB＋PC＝0，求OP的坐标；
(2)若OP＝mAB＋nAC(m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，试求m－n的值．
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，因为PA＋PB＋PC＝0，
又PA＋PB＋PC＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)．
所以解得
所以点P的坐标为(2，2)，
故OP＝(2，2)．
(2)设点P的坐标为(x，y)，
0 0
因为A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)．所以AB＝(2，3)－(1，1)＝(1，2)，
AC＝(3，2)－(1，1)＝(2，1)，
因为OP＝mAB＋nAC，
所以(x，y)＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，
0 0
所以
两式相减得m－n＝y－x，
0 0
又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，
所以y－x＝1，所以m－n＝1.
0 0
