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[A 基础达标]
1．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐
标原点，若OA＝4i＋2j，OB＝3i＋4j，则2OA＋OB的坐标是( )
A．(1，－2) B．(7，6)
C．(5，0) D．(11，8)
解析：选D.因为OA＝(4，2)，OB＝(3，4)，
所以2OA＋OB＝(8，4)＋(3，4)＝(11，8)．
2．设向量a＝(1，2)，b＝(－3，5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x的值为(
)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选C.由已知，可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x)，所以解得所以λ＋x＝－，故选
C.
3．已知MA＝(－2，4)，MB＝(2，6)，则AB等于( )
A．(0，5) B．(0，1)
C．(2，5) D．(2，1)
解析：选D.AB＝(MB－MA)＝(2，6)－(－2，4)＝(2，1)．
4．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC＝2AD，则
顶点D的坐标为( )
A. B.
C．(3，2) D．(1，3)
解析：选A.设点D(m，n)，则由题意得(4，3)＝2(m，n－2)＝(2m，2n－4)，故
解得即点D的坐标为，故选A.
5．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设
OC＝λOA＋(1－λ)OB(λ∈R)，则λ的值为( )
A. B.
C. D.
解析： 选C.如图所示，因为∠AOC＝45°，
所以设C(x，－x)，
则OC＝(x，－x)．
又因为A(－3，0)，B(0，2)，
所以λOA＋(1－λ)OB
＝(－3λ，2－2λ)，
所以⇒λ＝.
6．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2，3)，若AB＝3a，则点B的坐标为________．解析：设O为坐标原点，因为OA＝(－1，－5)，AB＝3a＝(6，9)，故OB＝OA＋AB＝
(5，4)，故点B的坐标为(5，4)．
答案：(5，4)
7．已知向量 a＝(1，2)，b＝(－2，3)，c＝(4，1)，若用 a 和 b 表示 c，则 c＝
________．
解析：设c＝xa＋yb，
则(x，2x)＋(－2y，3y)＝(x－2y，2x＋3y)＝(4，1)．
故解得
所以c＝2a－b.
答案：2a－b
8．已知A(－1，2)，B(2，8)．若AC＝AB，DA＝－AB，则CD的坐标为________．
解析：AC＝AB＝(3，6)＝(1，2)，
DA＝－AB＝－(3，6)＝(－2，－4)，
DC＝DA＋AC＝(－1，－2)，
所以CD＝(1，2)．
答案：(1，2)
9．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值．
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－
42)．
(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
所以解得
10．已知向量AB＝(4，3)，AD＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足PB＝λBD(λ∈R)，求λ与y的值．
解：(1)设B(x，y)，
1 1
因为AB＝(4，3)，A(－1，－2)，
所以(x＋1，y＋2)＝(4，3)，
1 1
所以
所以
所以B(3，1)．
同理可得D(－4，－3)，
设BD的中点M(x，y)，
2 2
则x＝＝－，y＝＝－1.
2 2所以M.
(2)由PB＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，
BD＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，
又PB＝λBD(λ∈R)，
所以(1，1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以
所以
[B 能力提升]
11．对于向量m＝(x ，y)，n＝(x ，y)，定义mn＝(xx ，yy)．已知a＝(2，－4)，
1 1 2 2 1 2 1 2
且a＋b＝ab，那么向量b等于( )
A. B.
C. D.
解析：选A.设b＝(x，y)，由新定义及a＋b＝ab，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，所
以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝，所以向量b＝.
12．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2，且∠AOC
＝，设OC＝λOA＋OB(λ∈R)，则λ＝______．
解析：过C作CE⊥x轴于点E，由∠AOC＝知，|OE|＝|CE|＝2，所以OC＝OE＋OB＝
λOA＋OB，即OE＝λOA，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝.
答案：
13．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4，3)，
PQ＝(1，5)，则BC＝________．
解析：PQ－PA＝AQ＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，因为点Q是AC的中点，所以AQ＝
QC，所以PC＝PQ＋QC＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)．因为BP＝2PC，所以BC＝BP＋PC
＝3PC＝3(－2，7)＝(－6，21)．
答案：(－6，21)
14．已知O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设OA＝a，OB＝b，OC＝
c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a，b表示c.
解：如图，以O为原点，向量OA所在的直线为x轴建立平面直角
坐标系．
因为|a|＝2，所以a＝(2，0)．
设b＝(x，y)，所以x＝|b|·cos 150°＝1×＝－，
1 1 1
y＝|b|sin 150°＝1×＝，
1
所以b＝.同理可得c＝.设c＝λa＋λb(λ，λ∈R)，
1 2 1 2
所以＝λ(2，0)＋λ
1 2
＝(2λ－λ，λ)，
1 2 2
所以解得
所以c＝－3a－3b.
[C 拓展探究]
15．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)．
(1)若PA＋PB＋PC＝0，求OP的坐标；
(2)若OP＝mAB＋nAC(m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，试求m－n的值．
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，因为PA＋PB＋PC＝0，
又PA＋PB＋PC＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)．
所以解得
所以点P的坐标为(2，2)，
故OP＝(2，2)．
(2)设点P的坐标为(x，y)，
0 0
因为A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)．
所以AB＝(2，3)－(1，1)＝(1，2)，
AC＝(3，2)－(1，1)＝(2，1)，
因为OP＝mAB＋nAC，
所以(x，y)＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，
0 0
所以
两式相减得m－n＝y－x，
0 0
又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，
所以y－x＝1，所以m－n＝1.
0 0
