文档内容
万柏林区 2025 年初中阶段学业综合检测试卷数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 下列各数中，最大的是（ ）
A. B. 0 C. 2 D.
2. 花钿是古时汉族妇女脸上的一种花饰，是用黄金，翡翠等珠宝制成的花形首饰，在唐代达到鼎盛，下列
四种眉心花钿图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知一个几何体如图所示，则该几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
第1页/共23页5. 如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且
，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 在2025年春晚的舞台上，名为《秧 》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一
场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者小刚同学为了解某种搬运
机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间 和搬运货物的重量 记录如下表：
搬运时间（ ） 1 2 3 4 …
搬运货物的重量
24
120 160 320 400 …
0
则 与 之间的函数关系式为（ ）
A. B.
.
C D.
7. 不等式组 解集在数轴上表示正确的是（ ）
的
第2页/共23页A. B.
C. D.
8. 山西是具有光荣传统的革命老区，也是红色文化资源的重要聚集地．为追忆历史、缅怀先烈，假期学校
准备组织学生去山西国民师范旧址革命活动纪念馆、徐向前纪念馆、刘胡兰纪念馆参观学习，由于时间有
限，每个学生只能选择其中一个纪念馆参观学习，则小明和小花选择去同一个纪念馆参观学习的概率是（
）
A. B. C. D.
9. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的
）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点 ， ， 在同一水平线上，
和 均为直角， 与 相交于点 ．测得 ， ， ，
则树高 为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在矩形 中， 是 的中点，以 为圆心， 长为半径画弧，分别交 ， 于点
， ，若 ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
第3页/共23页第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 如图，是我区 月份某天的天气预报，则我区这一天的温差是______ ．
12. 太原地铁1号线于2025年2月22日10时30分正式开通初期运营，起点是河龙湾站，终点是武宿1号
2号航站楼站，全长28.737公里，设车站24座．开通首日全网总客运量破42.7万人次．则数据42.7万用
科学记数法可表示为______．
13. 蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流 （单位： ）与电阻 （单位： ）之间的函
数关系如图所示．若以该蓄电池为电源的用电器的电阻为 时，电流为______A．
14. 如图，正五边形 内接于 ，过点 作 的切线 ，连接 ．则 的度数为
______．
15. 如图，在 中， ， ， ， 是 边的中线，点 是 上的
一点，且 ，连接 ．则 的长为______．
第4页/共23页三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. （1）计算： ；
（2）解方程： ．
17. 从2025年起，山西中考体育测试分值提高为60分，增加了专项运动技能测试，分值为10分，学生可
选择足球、篮球、排球中的一项专项运动技能进行测试．某校为加强专项运动技能的训练，用6800元从体
育用品商店购买篮球30个，足球40个．已知篮球的单价比足球的单价贵40元．求篮球和足球的单价分别
为多少元？
18. 为大力弘扬中华优秀传统文化，引导学生从千年中华传统文化中汲取养分，推动文化自信自强．某校
开展了“诵国家经典，承传统文化”朗诵比赛活动，七年级和八年级各有400名学生参加竞赛，学校为了
解这两个年级的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下：
收集数据
从七、八两个年级各随机抽取20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下：
七年级：70 70 80 90 80 80 90 60 100 80 80 80 90 90
70 90 70 70 100 60
八年级：60 70 80 70 70 90 60 90 90 90 70 90 100 70
70 60 90 90 90 100
整理数据
成绩
人数
年级
七年级
八年级
第5页/共23页（说明：优秀成绩为 ，良好成绩为 ，合格成绩为 ）
分析数据
两组样本数据的平均分、中位数、众数、方差如下表所示：
平均分 中位数 众数 方差
七年级 80 80 130
八年级 80 90 170
请解答下列问题：
（1） ______； ______；
（2）估计八年级参加此次竞赛的学生中达到良好成绩以上的学生有多少名？
（3）小明认为七，八年级竞赛成绩的平均数相等，因此两个年级的成绩一样好，你认为小明的说法正确
吗？请你用所学的统计知识说明理由.（写出一条即可）
19. 为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器，一商场抓住商机，从厂家购进了A，B两种型号家
用净水器，其数量和进价如表：
为使每台B型号家用净水器的售价是A型号的2倍，且保证售完这批家用净水器的利润不低于1650元，每
台A型号家用净水器的售价至少应为多少元？（注：利润=售价-进价）
20. 太原吾悦广场的具体位置是山西省太原市万柏林区千峰北路与漪汾街交叉口处，其摩天轮（图1）是
太原大型商场中独一无二的摩天轮．才思数学兴趣小组利用所学知识开展“测量太原吾悦广场摩天轮高
度”的综合实践活动，并写出如下报告，请完成任务．
课
测量太原吾悦广场摩天轮高度
题
测
量
无人机、测角仪、秒表等
工
具
第6页/共23页测
量
示
意
图
测 如图2，测量小组使用无人机在点 处竖直上升至点 处，在点 处测得摩天轮
量
顶部 的仰角为 ，然后以 的速度沿水平方向向左飞行 至点
过
程 处，在点 处测得摩天轮 顶部 的仰角为 ，底部 的俯角为 ．
点 ， ， ， ， 均在同一竖直平面内，且点 ， 在同一水平线上．（参
说
明 考数据． ， ， ， ）
任
求太原吾悦广场摩天轮 的高度（结果精确到 ）
务
.
21 阅读与思考
请仔细阅读下列研究报告，并完成相应的任务．
关于“双心四边形”的研究报告
研究对象：双心四边形
研究思路：根据研究几何图形的一般路径，按照“概念—性质—判定”的路径展开研
究．
研究方法：观察—猜想—推理证明一应用拓展
研究内容：
【概念提出】我们知道，任意三角形都有外接圆和内切圆．类似地，如果一个四边形既
有外接圆又有内切圆，我们称这样的四边形为双心四边形．
【特例感知】我们研究过的平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是双心四边形的
是______；（填特殊四边形的名称）
【性质探究】根据双心四边形的定义，对其性质研究如下：
对角：双心四边形 的对角______；
对边：双心四边形两组对边之和相等．
理由如下：
如图1，四边形 是双心四边形，其中 是四边形 的外接圆， 是四
边形 的内切圆，切点分别为 ， ， ， ．连接 ， ， ．
第7页/共23页与 ， 分别相切于点 ，
， （依据1______）
．
，
（依据2______）
…
任务：
（1）填空：材料中“______”处空缺的内容依次为：______，______，______，______；
（2）请将材料中关于对边性质的证明过程补充完整；
（3）如图2， ， 是 的两条弦， ， ，且 ．请你用无刻度直尺和圆规，
求作双心四边形 ，并直接写出其外接圆与内切圆圆心之间的距离．（要求：保留作图痕迹，不写
作法）
22. 如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口 离地竖直高度为 米．建立如图2所示的平面直角
坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形
，其水平宽度 米，竖直高度 米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，
上边缘抛物线最高点 离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口 米，灌溉车到绿化带的距离 为
米．
第8页/共23页（1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程 ；
（2）求下边缘抛物线与 轴交点 的坐标；
（3）若 米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理
由．
23. 综合与探究
问题情境：
如图1，在边长为4的正方形 中，点 在对角线 上一点，连接 ，将 绕着点 顺时针方
向旋转 得到 ，过点 作 交射线 于点 ，连接 ， ．
数学猜想：
的
（1）猜想 与 有怎样 位置关系，并说明理由；
拓展延伸：
（2）求证：四边形 是正方形；
（3）如图2，连接 交 于点 ，若 ．请直接写出 的长．
第9页/共23页万柏林区 2025 年初中阶段学业综合检测试卷数学
参考答案
选择题、填空题答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
C B D D C D B B B A
11.12 12. 13. 4 14. 15.
选择题、填空题解法提示
10. 解：在矩形 中， 是 的中点， ， ，
第10页/共23页∴ ，
∵ 是 的中点，以 为圆心， 长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
故选：A．
的
15. 解：取 中点 ，连接 ，作 于点 ，
则 ，
，
，
，
，
第11页/共23页，
，
，
，
，
，
，
是 的中线，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
解答题参考答案
第12页/共23页16. 解：（1）原式 ；
（2）原方程可化为 ，
方程两边同乘 ，得 ，
解得： ，
检验：将 代入 得： ，
是原方程的根．
17. 解：设篮球和足球的单价分别为 元和 元，
根据题意得： ，
解得：
答：篮球和足球的单价分别为120元和80元．
18. （1）解： 八年级的 名同学的成绩按照从小到大的顺序排列，第 个和第 个数据是 和 ，
中位数 ；
七年级的 名同学的成绩中 分出现次数最多，
众数为 分，即 ；
（2）解： （名）
答：估计八年级参加此次竞赛的学生中达到良好成绩以上的学生有220名；
（3）解：小明的说法是错误的，理由如下：
虽然八年级和七年级的平均分相同，都是80分，但是从中位数看，八年级的中位数为85，大于七年级的
中位数80，说明八年级80分以上的人数更多，
八年级学生的竞赛成绩较好；
或从众数看，八年级竞赛成绩的众数是90，大于七年级竞赛成绩的众数80，
八年级学生的竞赛成绩较好；
第13页/共23页或从方差看，八年级竞赛成绩的方差大于七年级竞赛成绩的方差，
七年级竞赛成绩比较稳定．
19.解：设每台A型家用净水器售价为x元，根据题意可得：
10（x-150）+5（2x-350）≥1650，
解得：x≥245，
故x的最小值为245，
答：每台A型号家用净水器的售价至少245元．
20. 解：如图，延长 交 于点 ，设 ，
则四边形 是矩形，
依题意得， ，
在 中， ， ，则 ，
在 中， ， ，则 ，
在 中， ， ，则 ，
，
，
解得， ，
，
答：太原吾悦广场摩天轮 的高度约为 ．
21.（1）解：平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是双心四边形的是正方形；
对角：双心四边形的对角互补；
第14页/共23页的依据：圆的切线垂直于经过切点的半径；
的依据： ；
故答案为：正方形；互补；圆的切线垂直于经过切点的半径； ；
（2）证明：连接 ．
与 分别相切于点 ，
，
，
，
．
，
同理， ．
，
即 ；
∴双心四边形两组对边之和相等；
（3）解：以点C为圆心， 为半径画弧交 于点D，连接 ，则四边形 为所画的双心
四边形 ，如图，
第15页/共23页其外接圆与内切圆圆心之间的距离为 ，理由：
连接 ，如图，
由题意得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为 的直径，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
第16页/共23页∴四边形 的内切圆的圆心P在 上，
设 与 切于点M，与 切于点N，连接 ，
则 ， ，
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∵ ，
∴四边形 为正方形．
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
第17页/共23页22. （1）解：由题意可得： ，
且上边缘抛物线的顶点为 ，故设抛物线解析式为：
将 代入可得：
即上边缘的抛物线为：
将 代入可得：
解得： （舍去）或
即
上边缘抛物线喷出水的最大射程 为 ；
（2）解：由（1）可得，
上边缘抛物线为： ，可得对称轴为：
点 关于对称轴对称的点为：
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移 个单位，得到下边缘抛物线，
即下边缘的抛物线解析式为：
将 代入可得：
解得： （舍去）或
即点 ；
（3）解：灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带，理由如下；
第18页/共23页∵ ，
∴绿化带的左边部分可以灌溉到，
由题意可得：
将 代入到 可得：
因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
23.（1）解： ，理由如下：
∵四边形 是正方形，
∴ ，
由旋转可知： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
（2）证明：如图，过点E作 的平行线分别交 ， 于点P，Q，
则四边形 均为矩形，
∴ ，
第19页/共23页∵四边形 是正方形， 是对角线，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
；
由旋转得， ，
，
，
，
，
，
，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
第20页/共23页，
∴四边形 是正方形；
（3）解：①当点F在线段 上时，
如图，过点E作 的平行线分别交 ， 于点P，Q，
由（2）知 ，
∴设 ，
，
，
，解得 ，
，则 ，
，
，
由（1）知 ， ，
，
在 中， ，
第21页/共23页过G作 于点K，则 ，
，
∴ ，
，
∴ ；
②当点F在线段 延长线上时，
如图，过点E作 的平行线分别交 ， 于点P，Q，
同理可得 ，
，
在 中， ，
过G作 于点K，则 ，
∵ ，
∴ ，
第22页/共23页，
∴ ；
综上， 的长度为 或 ．
第23页/共23页
