文档内容
南海中学 2024—2025 学年度初三年级
第三次学业质量监测
数学学科试卷
说明：1．全卷共6页．
2．考试时间为90分钟，满分100分．
3．答题时，考生务必将姓名、班级、考号、考试科目、试卷类型用2B铅笔填涂在答题卡上，
并用黑色签字笔填写相应信息．请考生按要求在答题卷规定的位置上作答，在草稿纸、本试
卷上答题一律无效．
第一部分 选择题
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1. 如图所示的几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
2. 2025年3月15日，《古树名木保护条例》开始施行．最新数据显示，全国普查范围内的古树名木共计
万株．将数据“ 万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确 是的（ ）
第1页/共19页A. B.
C. D.
4. 估计 的值在 （ ） ．
A. 6与7之间 B. 5与6之间 C. 4与5之间 D. 3与4之间
5. 如图，已知直线 ， ，若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 某校用500元钱到商场去购买“84“消毒液，经过还价，每瓶便宜1.5元，结果比用原价多买了10瓶，
求原价每瓶多少元？设原价每瓶x元，则可列出方程为（ ）
A. ﹣ ＝10 B. ﹣ ＝10 C. ﹣ ＝1.5 D. ﹣ ＝1.5
7. 如图，在扇形 中， ，半径 ， 是 上一点，连接 ， 是 上一点
且 ，连接 ．若 ，则 的长为（ ）
A. B. C. D.
第2页/共19页8. 家住重庆两相邻小区的小明和小华在一次数学课后，进行了一次数学实践活动．如图，在同一水平面从
左往右依次是小明家所在的居民楼、小华家所在的小洋房、背靠小华家的一座小山，实践内容为测量小山
的高度，家住顶楼的小明在窗户A处测得小山山顶的一棵大树顶端E的俯角为10°，小华在自家楼下C处
测得小明家窗户A处的仰角为37°，且测得坡面CD的坡度i＝1：2，已知两家水平距离BC＝120米，大树
高度DE＝3米，则小山山顶D到水平面BF的垂直高度约为（ ）（精确到0.1米，参考数据sin37°≈
，tan37°≈ ，sin10°≈ ，tan10°≈ ）
A. 55.0米 B. 50.3米 C. 48.1 米 D. 57.3米
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
.
9 分解因式： ______．
10. 若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值为___________．
11. 正方形 的边长为 ，点 分别是对角线上的两点，过点 分别作 的平行线，则
图中阴影部分的面积等于_____．
第3页/共19页12. 如图， 的顶点 在反比例函数 的图象上，点 在 轴上，点 ， 在 轴上，
与 轴交于点 ，连接 ，若 ， ，则 的值为________．
13. 如图，在 中， 于点D，且 ，点E在 上，连接 ，若
， ， ，则 的长______．
二、解答题（本大题共7小题，共61分）
14. 计算： ．
15. 化简 ，下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
甲同
解：原式
学
乙同
解：原式
学
第4页/共19页（1）甲同学解法的依据是______；乙同学解法的依据是______（填写下列选项字母）
A．不等式的基本性质； B．加法交换律； C．分式的基本性质； D．乘法分配律
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
16. 某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，
将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“ ”记为1分，“ ”记为2分，“
”记为3分，“ ”记为4分，“ ”记为5分，现随机将全校学生以20
人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下，请
根据以上信息，完成下列问题：
平均 中位 众
数 数 数
第1小
4 a
组
第2小
b 5
组
第3小
c 3
组
的
（1）第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应 圆心角为______度；
（2） ______， ______， ______；
（3）从第二组中得5分的同学中选取男、女生各两人，并从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树
状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．
17. 2025年春晚名为《秧 》的机器人舞蹈，凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物
联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、 两种型
第5页/共19页号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一
A型机器人台 型机器人台 总费用（单位：万
数 数 元）
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件；
型机器人每台每天可分拣快递18万件．
（1）求A、 两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备购买A、 两种型号智能机器人共10台，费用不超过700万元，选择哪种购买方案，
能使每天分拣快递的件数最多？
18. 如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点（PB＜OB），点E是线段OP的中点．
（1）尺规作图：在直径AB上方的圆上作一点C，使得EC＝EP，连接EC，PC（保留清晰作图痕迹，不
要求写作法）；并证明PC是⊙O的切线；
（2）在（1）的条件下，若BP＝4，EB＝1，求PC的长．
19. 已知二次函数 ．
【特例分析】
（1）当 ， ，2时，其图象对应为图中的 ， ， ，请在图中画出当 时的函数图象；
【性质探究】
第6页/共19页（2）观察图象，发现二次函数 恒过定点______，对称轴为______；
【性质运用】
（3）将函数 图象向下平移 个单位，若所得图象的顶点落在x轴上，求m的值；
（4）设点 ， 在该二次函数的图象上，且 ，实数m的取值范围为______；
（5）已知点 ， ，线段 与此函数图象有且只有一个公共点，m的取值范围为
______；
20. 综合与实践
如果从一个平行四边形 的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该
点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点”．
（1）理解应用
如图1，在 中， 于点P，交 于点E，若E为 的三等分点，则 是垂对
第7页/共19页三等分平行四边形，P是垂三等分点．若 ， ， ，则 ______；
______．
（2）问题探究
如图2，在垂对三等分平行四边形 中，P是垂三等分点，且满足 ．若 ，试猜
想 与 的数量关系，并说明理由．
（3）拓展延伸
已知四边形 是矩形，过点A作 于点P，交 于点E， ，当四边形 是垂
对三等分平行四边形时，直接写出 的长度．
第8页/共19页南海中学 2024—2025 学年度初三年级第三次学业质量监测
参考答案
选择题、填空题答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8
A C B B D B B C
9. 10. 1 11. 12. -8 13. 8
选择题、填空题解法提示
8. C
如图，
延长ED交BF于点H，则EH⊥BF，
过点E作EG⊥AB于点G，
∵AB⊥BF，
∴四边形BGEH是矩形，
∴GE＝BH，BG＝EH，
∵坡面CD的坡度i＝1：2，
∴ ＝ ，
设DH＝x，则CH＝2x，
∴GE＝BH＝BC+CH＝120+2x，
第9页/共19页BG＝HE＝HD+DE＝x+3，
在Rt△ABC中，∠ACB＝37°，BC＝120，
∴AB＝120×tan∠ACB≈90，
在Rt△AEG中，∠AEG＝10°，AG＝AB﹣BG＝90﹣（x+3）＝87﹣x，
∴tan10°＝ ，
即 ＝ ，
解得x≈48.1（米）．
答：小山山顶D到水平面BF的垂直高度约为48.1米．
故选：C．
13.8
如图，作 的垂直平分线交 于点 ，连接 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
第10页/共19页设 ， ，
， ，
， ，
，
整理得 ，
在 中，根据勾股定理，得 ，
即 ，
把 代入，整理得 ，
解得 ， （不符合题意舍去），
．
．
解答题参考答案
14.解：
．
15.解：（1）C；D
（2）甲同学的解法：
第11页/共19页原式
；
乙同学的解法：
原式
．
16.解：（1）18
（2）5； ；3
（3）列表如下：
男 男 女 女
（男， （男，
男 （男，男）
女） 女）
（男， （男，
男 （男，男）
女） 女）
（女，
女 （女，男） （女，男）
女）
第12页/共19页（女，
女 （女，男） （女，男）
女）
共有12种等可能的结果，其中所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为 ．
17.解：（1）设A型智能机器人的单价为 万元， 型智能机器人的单价为 万元，
，解得 ．
答：A型智能机器人的单价为80万元， 型智能机器人的单价为60万元．
（2）设每天分拣快递的件数为 万件，购买A型号智能机器人 ，且 为整数）台，则购买 型号
智能机器人 台，
根据题意得： ，
，解得： ，
，
随 的增大而增大，
当 时， 取得最大值．
（台），
∴购买A型号智能机器人5台，购买B型号智能机器人5台，能使每天分拣快递的件数最多．
18.解：（1）如图，点C即为所求；
证明：∵点E是线段OP的中点，
∴OE＝EP，
∵EC＝EP，
第13页/共19页∴OE＝EC＝EP，
∴∠COE＝∠ECO，∠ECP＝∠P，
∵∠COE+∠ECO+∠ECP+∠P＝180°，
∴∠ECO+∠ECP＝90°，
∴OC⊥PC，且OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）∵BP＝4，EB＝l，
∴OE＝EP＝BP+EB＝5，
∴OP＝2OE＝10，
∴OC＝OB＝OE+EB＝6，
在Rt△OCP中，根据勾股定理，得PC＝ ＝8．
则PC的长为8．
19.解：（1）当 时， ，图象如图所示：
（2） ，令 ，
则 或2，此时 ，
故二次函数 恒过定点 和 ，
由对称性可知对称轴为直线 ，
故答案为： 和 ，直线 ；
第14页/共19页（3）由 可知抛物线的顶点为 ，
由平移可知 ，
当 时，解得 ；
当 时，解得 ，
综上， 的值为 或 ；
（4）由题意可知 ， ，
，
，
，从而 ，
即 ，
故答案为： 且 ，
（5）当 时，
①当 时， ，且当 时， ，即可满足线段 与此函数图象有且只有一个公共点，
即 ，
解得 ；
②当 时， ，且当 ， ，即可满足线段 与此函数图象有且只有一个公共点，
第15页/共19页即 ，
解得 ，
当 时，
当 时， ；当 时， ，
因为 ，
则 ，
线段 与此函数图象恒有且只有一个公共点，
综上所述， 的取值范围为 或 或 ．
20.解：（1）（1）2；
（2） ，理由如下：
四边形 是平行四边形，
， ，
∵ ，
，
，
，
第16页/共19页，
设 ，则 ， ，
，
，
在 中， ，
，
，
，
，
；
(3)分两种情况讨论：
①如图，若 ，
在矩形 中， ，
，
，
设 ，则 ， ，
，
第17页/共19页，
在矩形 中， ，
，
，
，
，即 ，
解得 （负值舍去），
，
在 中， ；
②如图，若 ，
在矩形 中， ，
，
，
设 ，则 ， ，
，
，
在矩形 中， ，
第18页/共19页，
，
，
，即 ，
解得 （负值舍去），
，
在 中， ；
综上所述， 的长为 或 .
第19页/共19页
