文档内容
2025年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学二模试卷
（1）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．2025的相反数是（ ）
A．2025 B． C． D．
2．2023年7月世界人工智能大会在我国上海召开．大模块整合数据是人工智能研究实验
室推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理技术，其技术底座有着多达
175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力 的方向竖直向下，支持力 的
方向与斜面垂直，摩擦力 的方向与斜面平行．若斜面的坡角 ，则摩擦力 与重
力 方向的夹角 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．某防洪大堤的横断面如图所示，背水坡坡面 的长度为 ，坡度为 （坡度为坡
面的铅直高度与水平宽度的比），汛期来临前要对背水坡进行加固，改造后的背水坡坡面
的坡度为 ，改造后背水坡 的长度为（ ）
试卷第1页，共3页A． B． C． D．
5．若 为常数且 ，则一次函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6． 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为（ ）
A．4 B． C．3 D．1
7．如图， 中，M是 的中点， 平分 ， 于点D，若
，则 等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．已知抛物线 ，当 时， ，且当 时，y随x的增大而减
小，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．如图， 为 的直径，点 为 的中点，连接 ， ．若 ，则
的度数为（ ）
试卷第2页，共3页A． B． C． D．
10．已知二次函数 ，当 时， 随 的增大而增大．当
时，函数的最大值是8，最小值是 ，则 的值可能是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
11．如图，已知 的半径为 ，弦 与弦 位于圆心 的异侧， ， ，
在 上取点 ，连结 并延长交 于点 ．若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
12．已知抛物线 经过点 和 ，且抛物线与x轴的其中一个交
点的横坐标m满足 ，那么a的取值可能是（ ）
A． B．1 C．2 D．
二、填空题
13．因式分解：
14．如图，正五边形 的边长为2，对角线 相交于点O，则四边形 的
周长为 ．
试卷第3页，共3页15．如图，在 中，弦 ，若 ，则 ．
16．已知，反比例函数 的图象上两点 ，当 ，时，有
，则m的取值范围是 ．
17．如图，已知矩形 ， ， ，E，F分别为 边上的动点，且
，将四边形 沿 翻折到四边形 ，则 的最小值为 ．
18．如图，矩形 顶点A、C分别在x、y轴上，双曲线 分别交 、 于
点D、E，连接 并延长交x轴于点F，连接 ，若点E为 的中点，且 ，
则 ．
试卷第4页，共3页19．如图，四边形 是边长为6的菱形， ，F是 的中点，点E、G分别在
， 上，且 ，连接 、 ，则 的最小值为 ．
20．如图，在等边 中， ，点 在 边上，且 ，点 为 边上
一点，连接 ，在 的右侧作 ，且 ，连接 ，则 的最小值为
．
三、解答题
21．计算：
22．解不等式组：
23．解方程： ．
试卷第5页，共3页24．如图，已知△ABC，M是边BC延长线上一定点，请用尺规作图法，在边AC的延长线
上求作一点P，使∠CPM＝∠B．（保留作图痕迹，不写作法）
25．如图， 是 上一点， ， ， 平分 ，求证： ．
26．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在活动课上制作了
四张卡片，这四张卡片除图片内容不同外，没有其他区别．将这四张卡片放置于
暗箱中摇匀．
(1)小明从暗箱中随机抽取一张，抽中A卡片的概率是________．
(2)小华从暗箱中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小华抽到两张内容均为物理变化
的卡片的概率．
27．小芳在一家文具店购买了两种不同用途的笔记本，她买了一种用于课堂笔记的大笔记
本 个和一种用于日常记录的小笔记本 个，总共花费了 元；已知大笔记本的单价是小
笔记本单价的两倍，请问该文具店中这种大笔记本的单价是多少？
28．如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度 点处时，
无人机测得操控者 的俯角为75°，测得小区楼房 顶端点 处的俯角为45°．已知操控
者 和小区楼房 之间的距离为70米，此时无人机 距地面 的高度为74.6米，求小
区楼房 的高度．
（参考数据： ， ， ）
试卷第6页，共3页29．今年某水果销售店在草莓销售旺 季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期
间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y（千克）与销
售单价x（元）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．
（1）求y与x的函数解析式（也称关系式），请直接写出x的取值范围；
（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．
30．为营造健康向上的校园足球文化氛围，丰富学生课余体育文化生活、激发学生对足球
的兴趣，增强学生体质，某校举行足球运动员选拔赛，报名参加选拔赛的学生需要参加
米折返跑、传准、运射、比赛四项指标的考核，每项满分为100分，确定各项得分后
再按照下面表格的比例计算出每人的总成绩．
类别 专项素质 专项技术 实战能力
考核指
米折返跑 传准 运射 比赛
标
比例
全校共有300名学生参加这次选拔赛．校学生会从中随机抽取 名学生的最终比赛成绩进
行了分析，把总成绩（满分100分，所有成绩均不低于60分）分成四个等级（D：
；C： ；B： ；A： ），并根据分析结果绘制了不
完整的频数分布直方图和扇形统计图．
试卷第7页，共3页请根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ______， ______；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)参赛同学小祺四项考核指标 米折返跑、传准、运射、比赛成绩分别为90分，85分，
95分，80分，请你计算出他的总成绩；
(4)该校计划从报名的300名同学中按比赛成绩从高到低选拔48名足球运动员，请你通过计
算估计小祺能否入选．
31．如图， 为 的直径，C为 上一点，连接 ，过点C的直线与 相切，
与 延长线交于点D，点F为 上一点，且 ，连接 并延长交射线 于点
E．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
32．某公司为城市广场上一雕塑 安装喷水装置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，喷出
的水柱轨迹呈现抛物线型．据此建立平面直角坐标系，如图．若喷出的水柱轨迹 上某
一点与支柱 的水平距离为x（单位：m），与广场地面的垂直高度为y（单位：m）．下
面的表中记录了y与x的五组数据：
0 2 6 10
试卷第8页，共3页3
根据上述信息，解决以下问题：
(1)求出 与 之间的函数关系；
(2)求水柱落地点与雕塑 的水平距离；
(3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱轨迹的
形状 不变的前提下，把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到AB的距离）
控制在 到 之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度和b的取值范围．
33．（1）如图1，半圆O的直径 ，点P是半圆O上的一个动点，则点P到 距离
的最大值是______；
（2）如图2， 与 都为等边三角形，当 时，求 的度数；
（3）如图3，市政部门准备在一块空地上修建一个四边形的便民休闲区ABCD，其中
米， ， 且 ， 和 是两条小路，记
和 的交点为E，现要使点B，C、E围成的三角形面积最大，求 面积的最大值．
（结果保留根号）
34．如图， 是 的直径， ， 是 上两点， 平分 ，过点 作 ，
垂足为 ．
试卷第9页，共3页(1)求证： 是 的切线；
(2)已知 ， ，求 的长．
35．如图，已知抛物线 ，与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左
侧），与 轴交于点 ，且 ，点 ．
(1)求抛物线 的函数表达式；
(2)若抛物线 的顶点为 ，抛物线的对称轴交直线 于点 ，点 为直线 右侧抛物线
上一点，点 在直线 上，是否存在以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，
若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由．
36．【问题提出】
如图①，在 中，点 ， 分别在 边上，且 ，连接 交于点 ，
试卷第10页，共3页则 ___________ （填“ ”、“ ”或“ ”）；
【问题解决】
如图②所示，某工厂剩余一块矩形 板材，其中 ，为了充分
利用材料，工人师傅想用这块板材找出一个面积尽可能大的四边形部件 ，要求：
．你认为可以吗？若可以，请求出四边形部件 面积
的最大值；若不可以；请说明理由．
37．如图，四边形 内接于 ， ，点 在 的延长线上，且
．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，当 ， 时，求 的长．
38．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线. 正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距
AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0. 9米，身高为1. 4米的小丽站在距点O的水平
距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E. 以点O为原点建立如图
所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为 .
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如果身高为1. 85米的小华也想参加跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理
由；
（3）如果一群身高在1. 4米到1. 7米之间的人站在OD之间,且离点O的距离为t米, 绳子
甩到最高处时必须超过他们的头顶,请结合图像,写出t的取值范围_______________.
试卷第11页，共3页39．在一个工厂的车间里，工人正在处理一块矩形的金属板 ，用于制作零件．金属
板的长 米，宽 米．工人在 边上确定了一个点P，使得 米．
(1)为了保证后续切割操作时的准确性，工人连接 和 ，并将 绕点P逆时针旋转
一定角度进行加工．旋转后 与金属板的边 相交于点E， 与金属板的边 所在的
直线相交于点F，如图1所示．由于零件的尺寸和形状有特定要求，为了合理规划切割和
拼接方案，请你帮工人探究 和 之间的数量关系．
(2)为了进一步组装零件，工人以 、 为边构造矩形 ，如图2，在组装过程中发
现，当 的周长最小时，最省材料，求此时 的值．
试卷第12页，共3页《2025 年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学二模
试卷（1）》参考答案
选择题、填空题答案速查
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B D C B B C D A B D B D
13. 14.8 15. 100 16. m<1 17. 18.12 19.9 20. 9
选择题、填空题解法提示
11．B
连接 ， ，作 于点 ，
，
， ，
，
，
，
在 中， ，
，
在 中，
，
答案第1页，共2页，
故选：B
12．D
∵抛物线 经过点 和 ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标m满足 ，另一个交点的横坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故a的取值可能是 ；
故选：D．
17．
延长 交于点 ，连接
由沿 翻折可知直线 经过点 ，
∵四边形 是矩形，
答案第2页，共2页∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
由翻折得到： ，
∴ ，
∴当点 三点共线时， 取得最小值为 ．
18．12
设 ，则 ， ，
∵点D、E在双曲线 上，
∴ ， ，
设直线 为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ；
同理可得，直线 的解析式为 ；
∴ ，
∵矩形 ，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵点E为 的中点，
∴ ，
∵ ，
答案第3页，共2页∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
过 作 于 ，
∴ .
19．9
延长 交于点 ，取 中点 ，连接 并延长与 延长线交于点 ，连接
，连接 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∵F是 的中点，
∴ ，
答案第4页，共2页∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
同理证明： ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
当点 三点共线时，取得最小值为 .
20．9
将 绕点 旋转 ，交 于点 ，倍长 至点 ，连接 ，交 于点 ，如图，
则： ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
答案第5页，共2页∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在射线 上运动，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点 作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 在射线 上运动，
∴当点 与点 重合时， 的值最小，即为 的长，
∴ 的最小值为9．
解答题参考答案
21．解：原式＝－2×(－3)＋ －1－4＝1＋ .
22．解：原不等式组为
解不等式①，得 ．
答案第6页，共2页解不等式②，得 ．
原不等式组的解集为 ．
23．解：原方程可化为 ．
方程两边同乘 ，得 ．
解得 ．
检验：当 时， ．
∴原方程的解是 ．
24．解：如图，点P即为所求．
25．证明：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
26．（1）解：小明从暗箱中随机抽取一张，抽中A卡片的概率是 ；
答案第7页，共2页故答案为： ；
（2）由题意，列表如下：
， ， ，
， ， ，
， ， ，
， ， ，
共12种等可能的结果，其中两张内容均为物理变化的有 ， 或 ， 共2种情况，
∴ ．
27．解：设小笔记的本单价为 元，则这种大笔记本的单价为 元，
由题意得， ，
解得 ，
∴ ，
答：这种大笔记本的单价为 元．
28．解：过点 作 于点 ，过点 作 于点
由题意知：∠DAE=75°
在 中，
∴ （米）
∴ （米）
∵四边形 是矩形
∴ 米
在 中，
∴ 是等腰直角三角形
∴ 米
∴ （米）
故小区楼房 的高度24.6米．
答案第8页，共2页29．解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，根据题意，得： ，
解得： ， ∴y与x的函数解析式为y=﹣2x+340，（20≤x≤40）．
（2）由已知得：W=（x﹣20）（﹣2x+340）=﹣2x2+380x﹣6800=﹣2（x﹣95）2+11250，
∵﹣2＜0， ∴当x≤95时，W随x的增大而增大， ∵20≤x≤40，
∴当x=40时，W最大，最大值为﹣2（40﹣95）2+11250=5200元．
考点：二次函数的应用
30．（1）解： （人），
，
∴ ，
故答案为：150；36；
（2）解：A等级的人数有 （人），
补全频数分布直方图如图所示；
（3）解：小祺同学的总成绩是 （分）；
（4）解：在 分的人数有： （人），
答：小祺同学86分的总成绩不能入选．
31．（1）证明：如图所示，连接 ，
答案第9页，共2页∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的切线，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵ ，
设 ，则 ，
∴ ，
设 的半径为 ，则 ， ， ，
由（1）可知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵
∴ ，
∴ ．
答案第10页，共2页32．（1）解：设 与 之间的函数关系为 ，
代入 ， ， ，得：
，解得： ，
∴设 与 之间的函数关系为 ；
（2）令 ，则 ，即： ；
∴ ，
∴ （舍）或 ，
∴水柱落地点与雕塑 的水平距离为 ；
（3）由在喷出水柱轨迹的形状 不变的前提下，可知：
不变，即 ，且 的位置不变，即 ，
设 ，
把 代入得， ，解得 ，把 代入得，
，解得 ,
∵把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到AB的距离）控制在 到 之间，
∴ ，
当 最小时，即 时， 即水柱有最大高度为 ，
答案第11页，共2页∴水柱的最大高度 ， 的取值范围为 ．
33．解：（1）3
如图1，连接 ，过点 作 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴当点 与点 重合时，点P到 距离的最大值是3，
（2）解：∵ 与 都为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图，过点D作 交 于点 ，连接 ，
答案第12页，共2页∵ ，
∴ 为等腰直角三角形， ，
∴由勾股定理得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴
∴同理 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ,
∴ ，
∵ ，
∴ ，
答案第13页，共2页∴ ，
∵ ，
∴作 的外接圆，记为 ，连接 ，过点 作 于 ，交 于点
，过点 作 于点 ，过点 作 交 延长线于点 ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，当点 重合时， 取得最大值即为 ，
∴
∴ 面积的最大值为 ．
34．（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
答案第14页，共2页∴ 是 的切线；
（2）解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
35．（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
答案第15页，共2页∴ ，
∴ ， ，
∵抛物线 ，与 轴交于 ， 两点与 轴交于点 ，
∴ ，解得： ，
∴抛物线 的函数表达式为 ；
（2）解：存在点 ，理由如下，
∵ ， ，
∴设直线 解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 解析式为 ，
∵点 在直线 上，
∴设 ，
∵点 为直线 右侧抛物线上一点，
设 ，
由抛物线 的函数表达式为 ，
∴ ，
∴当 时， ，
∴ ，
当 为边时，四边形 为平行四边形时，如图，
答案第16页，共2页由中点坐标可得： ，
解得： 或 （舍去），
∴点 ；
当 为边时，四边形 为平行四边形时，如图，
由中点坐标可得： ，
解得： 或 （舍去），
∴点 ；
答案第17页，共2页当 为对角线时，四边形 为平行四边形时，如图，
由中点坐标可得： ，
解得： 或 （舍去），
∴点 ，此时与点 重合；
综上可知：点 的坐标为 或 或 ．
36．解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
即： ；
故答案为： ；
（2）可以；
连接 ，作 ，
∵ ， ，
∴ ，
设 ，则： ，
作 ，交 的延长线于点 ，过点 作 ，
答案第18页，共2页则： ， ，
∴ ，
∴四边形部件 面积等于 的面积 ，
∴当 最大时，四边形部件 的面积最大，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为定角，
作 的外接圆 ，则点 在优弧 上运动，
连接 ， ，过点 作 ，则： ， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
答案第19页，共2页∴ 的最大值为： ，
∴ 的最大值为： ；
即：四边形部件 面积的最大值为 ．
37．（1）证明：如图，连接 ，
，
点 必在 上，即： 是直径，
，
，
，
，
∵ ，
，
，
，即： ，
点 在 上，
是 的切线；
（2）解： ，
，
，
即 ，
， ，
在 中， ，
答案第20页，共2页，
．
38．解：（1）由题意得点E（1，1.4），B（6，0.9），代入 得
，解得： ，
∴所求的抛物线的解析式是 ；
（2）∵ ，
∵ ，
∴x=3时，y有最大值为1.8，
∵1.85＞1.8，
∴绳子不能顺利从他头顶越过；
（3）身高在1. 4米到1. 7米之间的人站在OD之间,
∵1.4<1.7<1.8，
∴只需要计算1.4米身高的情况.
当y=1.4时， ，
解得 ，
∴1＜t＜5，故答案为1＜t＜5．
39．（1）解：∵ 矩形 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
答案第21页，共2页∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵旋转，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
由（1）知： ，
∴ ，
∵矩形 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
连接 ，过点 作 ，则： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
答案第22页，共2页∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在过点 垂直于 的直线上运动，
倍长 至点 ，连接 ，则 ， 垂直平分 ，
∴ ，
∴ 的周长 ，
∴当 最小时， 的周长最小，
∴当 三点共线时， 最小，如图，
过点 作 ，
则： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
答案第23页，共2页∴ ，
∴ ，
在 中， ．
答案第24页，共2页
