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2025年山东省临沂市中考数学模拟试卷（1）
一、单选题
1．（3分）下列各数中，是无理数的是
A． B． C． D．0.13133
2．（3分）古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是
A． B． C． D．
3．（3分）纳米是表示微小距离的单位，1纳米 毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺
上的一小格，可想而知1纳米是多么的小．中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细
的碳纳米管一一直径0.5纳米．0.5纳米相当于0.0000005毫米，数据0.0000005用科学记数法可以表示为
A． B． C． D．
4．（3分）一个几何体如图水平放置，它的俯视图是
A． B． C． D．
5．（3分）下列计算正确的是
A． B． C． D．
6．（3分）某校九年级学生去距学校 的科技馆研学，一部分学生乘甲车先出发， 后其余学生
再乘乙车出发，结果同时到达．已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为 ，根据题
第1页（共20页）意可列方程
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，点 在正五边形 的内部，△ 为等边三角形，则 等于
A． B． C． D．
8．（3分）如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是
A． B． C． D．1
9．（3分）如图，菱形 中，点 是 的中点， ，垂足为 ， 交 于点 ，
， ，则 的长为
第2页（共20页）A． B． C． D．
10．（3分）如图，点 是 的八等分点．若△ ，四边形 的周长分别为 ， ，则下
列正确的是
A． B．
C． D． ， 大小无法比较
二、填空题
11．（3分）因式分解： ．
12．（3分）不等式组 的整数解有 个．
13．（3分）已知方程 的一个根为 ，则方程的另一个根为 ．
14．（3分）根据物理学实验研究可知，在定量定温条件下，气体的体积与气体的压强成反比．如图是某
潜艇沉浮箱的示意图，将压强为 ，体积为 的空气压入气舱．若温度保持不变，气舱容积
为 ，则气舱内的压强为 ．
第3页（共20页）15．（3分）如图，在 中，以点 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 ， 于点 ， ；分
别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ；作射线 交 于点 ．若 ，
， 的面积为8，则 的面积为 ．
16．（3分）在平面直角坐标系 中，对于点 ，我们把点 叫做点 伴随点．已知
点 的伴随点为 ，点 的伴随点为 ，点 的伴随点为 ， ，这样依次得到点 ， ， ， ，
， ．若点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，点 的坐标为 ；若点 的坐标为 ，
对于任意的正整数 ，点 均在 轴上方，则 ， 应满足的条件为 ．
三、解答题
17．（1）计算： ；
（2）化简： ．
18．我国淡水资源相对缺乏，节约用水应成为人们的共识．为了解某小区家庭用水情况，随机调查了该
小区50个家庭去年的月均用水量（单位：吨），绘制出如下未完成的统计图表．
50个家庭去年月均用水量频数分布表
组别 家庭月均用水量（单 频数
第4页（共20页）位：吨）
7
6
2
合计 50
根据上述信息，解答下列问题：
（1） ， ；
（2）这50个家庭去年月均用水量的中位数落在 组；
（3）若该小区有1200个家庭，估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有多少？
19．木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航
标．某天，一艘渔船自西向东（沿 方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．
航行记录
记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西 方向上的 处．
记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔 北偏西 方向上的 处．
记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡
第5页（共20页）点周围5海里内，会出现异常海况，点 位于木兰灯塔 北偏东 方向．
请你根据以上信息解决下列问题：
（1）填空： ， ， 海里；
（2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据： ， ，
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于点 ，
．
（1）求一次函数的解析式；
（2）已知变量 ， 的对应关系如下表已知值呈现的对应规律．
1 2 3 4
8 4 2 1
写出 与 的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数 的大致图象；
（3）一次函数 的图象与函数 的图象相交于 ， 两点（点 在点 的左侧），点 关于坐标原点
的对称点为点 ，点 是第一象限内函数 图象上的一点，且点 位于点 的左侧，连接 ， ，
．若△ 的面积为15，求点 的坐标．
第6页（共20页）21．如图，已知 是△ 的外接圆， ．点 ， 分别是 ， 的中点，连接 并延长
至点 ，使 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）求证： 与 相切；
（3）若 ， ，求 的半径．
22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 图象的对称轴是直线 ，图象与 轴交于
， 两点，点 坐标为 ，直线 经过点 ，且与 轴交于点 ．
（1）填空： ； ； ．
（2）将该二次函数图象向右平移 个单位，使抛物线顶点 落在直线 上，试求 的值．
（3）在（2）的条件下，设 是 轴上的一动点，若△ 外接圆的圆心落在平移后的抛物线内部，
试求 的取值范围．
23．如图1，在等腰 △ 中， ， ，点 ， 分别在 ， 上， ，
连结 ， ，取 中点 ，连结 ．
（1）求证： ， ；
（2）将△ 绕点 顺时针旋转到图2的位置．
第7页（共20页）①请直接写出 与 的位置关系： ；
②求证： ．
第8页（共20页）2025年山东省临沂市中考数学模拟试卷（1）
选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D D C B D C B C A
11. 12.4 13.4 14. 15.12 16. ， ； ，
选择题、填空题解法提示
9．解：连接 ，如图，
菱形 中， 与 互相垂直平分，
又 点 是 的中点，
、 、 三点在同一直线上，
，
， ，
，
， ，
， ，
， ，
，
，
，
，
故选： ．
第9页（共20页）10．解：连接 ， ．
点 是 的八等分点，
， ，
，
，
，
，
，
故选： ．
15．解：如图，过点 作 于点 ， 于点 ．
由作图可知 平分 ，
， ，
第10页（共20页），
， ，
，
，
，
故答案为：12．
16．解： 的坐标为 ，
， ， ， ，
，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
余2，
点 的坐标与 的坐标相同，为 ；
点 的坐标为 ，
， ， ， ，
，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
对于任意的正整数 ，点 均在 轴上方，
， ，
解得 ， ．
故答案为： ， ； ， ．
解答题参考答案
17．解：（1）
第11页（共20页）；
（2）
．
18．解：（1）由题意得， 组的频数 ．
组的频数 ．
故答案为：20；15．
（2）由题意，根据中位数的意义， ，
中位数是第25个数和第26个数的平均数．
又 组频数为7， 组频数为20，
这50个家庭去年月均用水量的中位数落在 组．
故答案为： ．
（3）由题意， 个家庭中去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有 （个 ，
该小区有1200个家庭估计去年月均用水量小于4.8吨的家庭数有： （个 ．
19．解：（1）过点 作 于点 ，则△ 、△ 、△ 都是直角三角形，
由题可知： ， ， ，
， ，
由题可知渔船每小时航行10海里，渔船从 处航行至 处时间为30分钟，
即半小时，故 海里；
故答案为：30，75，5；
（2）设 为 海里，
在 △ 中， ，
第12页（共20页）， ，
在 △ 中， ， ，
， ，
， ，
， ，
， ，
在△ 中， ， ，
，
， ，
设上午9时渔船航行至 处，则 ，
，
该渔船会进入“海况异常”区．
20．解：（1） 一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于 ， 两点，
，解得 ，
一次函数解析式为： ；
（2）根据表格数据可知 是反比例函数， ，
，
函数图象如下：
第13页（共20页）（3）联立方程组 ，解得 ， ，
，
点 关于坐标原点的对称点为点 ，
，
如图，连接 ，作 轴， 轴，
△ 的面积为15，
，
点 、 在反比例函数图象上，
，
设点 ，
．
解得 或 （舍去），
．
第14页（共20页）21．（1）证明： 点 ， 分别是 ， 的中点，
， ，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
， ，
， ，
四边形 是平行四边形；
（2）证明：连接 ，如图，
，
，
垂直平分 ，
经过圆心 ，
由（1）知： ，
，
为 半径，
与 相切；
（3）解：连接 ， ， ，如图，
第15页（共20页）， ，
， ，
， ．
， ，
，
， ，
，
解法二：连接 并延长交 于点 ，连接 ，如图，
为圆的直径，
，
．
， ，
．
第16页（共20页），
，
．
的半径为10．
22．解：（1） 直线 经过点 ，将点 的坐标代入得：
，解得： ．
二次函数 图象的对称轴是直线 ， 是二次函数 图象是的点，
依题意得： ，
解得 ，
故答案为： ； ； ；
（2）由题意知：抛物线解析式为 ，即 ，
将 的图象向右平移 个单位后得到 ，
其顶点坐标为 ，
顶点 恰好落在直线 上，
，
；
（3）由题意知：平移后的抛物线解析式为 ，顶点 ，
设抛物线对称轴与 轴交于点 ，
，
△ 为等腰直角三角形，
点在 轴上，
则△ 外接圆的圆心必在边 的中垂线上，
设该中垂线交抛物线于点 ， ，
第17页（共20页）由 ， 可知线段 的中点坐标为 ， ，
设该中垂线解析式为 ，将 ， 代入得：
，解得： ，
故该中垂线解析式为 ，
解方程组 ，解得： ，
即 ， 两点的横坐标分别为 ，
过点 ， 分别作 轴的垂线，垂足分别为 ， ，
则 ， 两点的横坐标分别为 ，
，
，
从而 点的横坐标为 ，
同理 ，
，
从而 点的横坐标为 ，
的取值范围是 ．
第18页（共20页）23．（1）证明：在△ 和△ 中，
， ， ，
△ △ ，
， ．
是 △ 斜边 的中点， ，
，
，
．
，
，
．
；
（2）① ；
理由如下：延长 到点 ，使 ，连结 ．延长 到 ，使 ，连接 并延长交
于点 ．
证△ △ （具体证法过程跟②一样）．
，
是 中点， 是 中点，
是△ 中位线， ，
，
， ，
，
．
第19页（共20页）故答案为： ；
②证明：延长 到点 ，使 ，连结 ．
， ， ，
△ △ ，
， ．
．
，
，
，
．
，
．
在△ 和△ 中，
， ， ，
△ △ ，
．
，
.
第20页（共20页）
