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2025年广东省东莞市中考数学模拟试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．（3分）在古代的“算筹”计数系统里，红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数．若将用红色算筹排
列表示的数字60记为“ ”，那么用黑色算筹排列表示的数字40应记为
A． B． C． D．
2．（3分）下面四幅图是广东省一些场馆的标志，其中是中心对称图形的是
A． 广东美术馆 B． 广东省博物馆
C． 广东中医药博物馆 D． 广东革命历史博物馆
3．（3分）如图是一个圆柱形的笔筒，它的主视图是
A． B． C． D．
4．（3分）下列计算正确的是
A． B．
C． D．
第1页（共18页）5．（3分）不等式 的解集在数轴上表示正确的是
A． B．
C． D．
6．（3分）在一个不透明的袋子里装有绿球、蓝球共30个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验
发现，摸出绿球的频率稳定在0.3左右，则袋子中绿球的个数最有可能是
A．9 B．18 C．21 D．24
7．（3分）“步”是我国古代常用的度量单位之一，《九章算术》第一章“方田”中讲述了扇形面积的
计算方法：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大致意思为：现有一块扇形的田，弧
长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田面积的数值是（不含单位）
A．120 B．240 C． D．
8．（3分）若 是一元二次方程 的一个根，则 的值是
A．2024 B． C．2025 D．4050
9．（3分）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 的图象分别为直线 和
直线 ，下列结论正确的是
A． B． C． D．
10．（3分）如图1，菱形 的对角线 与 相交于点 ，已知 ， 两点同时从 点出发，以
第2页（共18页）的速度在菱形的对角线及边上运动．点 的运动路线为 ，点 的运动路线为
．设运动的时间为 ， ， 间的距离为 ， 与 的函数关系的图象如图2所示，
其中点 是曲线部分的最低点，则点 的纵坐标是
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（3分）计算： ．
12．（3分）正 边形的中心角为 ，则 ．
13．（3分）某公司招聘考试分面试和笔试两部分，面试成绩与笔试成绩权重之比为 ，小李参加该公
司招聘考试，面试成绩90分，笔试成绩88分，请问小李最终得分是 分．
14．（3分）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，被誉为“东方魔板”．它由五块等腰直角三角形、
一块正方形和一块平行四边形组成．如图是利用七巧板拼成的大正方形，其中小正方形（阴影图形）的
边长为 ，则大正方形的边长为 ．
第3页（共18页）15．（3分）二次函数 ， ， 为常数， 中的 与 的部分对应值如表：
0 3
2 2
当 时，下列四个结论：① ；②当 时， 的值随 值的增大而增大；③ ；④对于
任意实数 ，式子 恒成立．其中正确的是 ，（填序号）
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分。
16．（10分）（1）计算： ；
（2）解不等式组 ．
17．（7分）因式分解是一种恒等变形，其本质是把一个多项式化为几个整式的积的形式．初中阶段只要
求掌握提公因式法和公式法两种因式分解的方法．但小明同学接触了整体学习法后，提出一个观点：公
式法分解因式，归根结底也是提公因式法分解因式．为了向同学们证明，小明同学提供了平方差公式分
解因式的推理过程：
第①步： ；
第②步： ；
第③步： ；
第④步： ；
（1）在上述推理过程中，第①步的推理依据是等式的基本性质之一，请写出该性质： ；第④步使
用了“提公因式法”；第 步的依据是“乘法分配律”；第 步的依据是“加法结合律”；
（2）请参考上述步骤，尝试推理公式法分解因式的另一个公式： ．
18．（7分）如图1是一款笔记本电脑支架，它便于电脑散热，减轻使用者的颈椎压力，其侧面的示意图
如图2所示．已知显示屏与电脑底座的宽度均为 ，显示屏与电脑底座的夹角为 ，支架托盘与
支架底座的夹角为 ，支架底座的厚度为 ．
（1）请根据题意，结合图2，用数学符合语言写出所有已知线段的长度和角的度数， ，
第4页（共18页）；
（2）请你计算电脑显示屏最高点到桌面的距离．（结果精确到 ，参考数据 ，
，
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分。
19．（9分）兰花，自古以来被誉为“花中君子”，品种繁多，花形相似度高，兰花爱好者可以通过花瓣
的长宽比来区分兰花的类别，数学小组就此开展了实践活动．同学们随机收集了荷瓣兰花和水仙瓣兰花
的外三瓣花瓣各50片，通过测量得到这些花瓣的长 （单位： ，宽 （单位： 的数据后，分别
计算长宽比，如图1，绘制成条形图和统计表如下：
第5页（共18页）两种兰花外三瓣长宽比的统计表
统计量 平均数 中位数 众数 方差
荷瓣兰花外三瓣的长宽比 1.8 0.02076
水仙瓣兰花外三瓣的长宽比 2.414 2.4 0.020484
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）根据以上数据分析，写出一条你能得到的结论，并说明理由；
（3）如图2，现有一片长 ，宽 的花瓣，请判断这片花瓣更可能来自荷瓣兰花、水仙瓣兰花中
的哪一种？请说明理由．
20．（9分）某水果批发市场每公斤荔枝的价格比黄皮的价格贵 5元，用1200元购买的荔枝数量比用800
元购买的黄皮数量多 ．
（1）请求出每公斤荔枝和黄皮的价格；
（2）某水果店决定购买荔枝和黄皮共100公斤，且购买黄皮的数量不少于荔枝数量的 ，而水果批发市
场对荔枝的价格给予6折优惠，黄皮的价格给予9折优惠．运用数学知识，确定水果店本次购买荔枝和黄
皮所需费用最少的方案，并求出该费用．
21．（9分）综合与实践：以下是数学小组探究“用圆规和无刻度的直尺作一条射线或圆弧平分已知扇形
的面积”的部分活动记录．
问题提出 在学习了扇形面积的计算方法后，五位同学开展了以下讨论：
甲同学：三角形的中线平分三角形的面积，平行四边形的对角线平分平行四边形的面积，那什么样的线
可以平分扇形的面积呢？
乙同学：根据扇形面积的计算公式，扇形面积的大小由扇形的圆心角和半径决定．若两个扇形的面积之
比为 ，当扇形的半径相等时，则它们的圆心角之比为 ，可以像这样作一条过圆心的射线即可平分
扇形的面积．
丙同学：能用弧线来平分吗？
丁同学：当扇形的圆心角相等，要使得两个扇形的面积之比为 ，则可推算出此时它们的半径之比为 ，
我们过原扇形的圆心作这样的一条弧即可平分扇形的面积．
戊同学：我们以前学习过的一类特殊三角形两边之比值恰好也是 ．
尝试操作 请根据上述讨论，完成以下问题：
（1）如图所示，已知扇形 ，请你用圆规和无刻度的直尺在图1中，作出符合乙同学所说方案的射线；
第6页（共18页）保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）①丁同学提到的 的值为 ，戊同学所指的特殊三角形是 ；
②根据丁和戊同学的谈话，请你在图 2中用圆规和无刻度的直尺作一条以点 为圆心的圆弧，使扇形
的面积被这条圆弧平分（保留作图痕迹，不要求写作法）．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分。
22．（12分）如图，四边形 是 的内接四边形， 为 的直径，过点 作 交 的
延长线于点 ， 平分 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的值；
（3）当 时，求 的值．
23．（12分）【问题探究】
（1）如图1，在正方形 中，连接 ，取 的中点 ，连接 ，则 与 的位置关系是
， ．
（2）如图2，在（1）的基础上，点 是线段 上一动点（不与点 ，点 重合），连接 ，以
为边长构造正方形 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ， ，试探究 和 的数量关系，
并说明理由．
【问题解决】
第7页（共18页）（3）如图3，在△ 中， ， ，点 在 边上，且 ，点 是
线段 上一动点（不与点 ，点 重合），连接 ，以 为斜边向右侧构造 △ ，使得
，求 的最小值．
第8页（共18页）2025年广东省东莞市中考数学模拟试卷
选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B C A A A C C D
11.2 12.8 13.88.8 14. 15.①②④
选择题、填空题解法提示
9．解：由图象可得，
， ， ， ，
，故选项 不符合题意；
，故选项 不符合题意；
，故选项 符合题意；
，故选项 不符合题意；
故选： ．
10．解：过 作 于 ，延长 交 于 ，
在菱形 中， ， ， ， ，
， ， ，
△ △ ，
，
第9页（共18页）由图象得： ， ，
， ，
，
菱形 ，即： ，
解得： ，
此时 是最小的，
故选： ．
15．解：由表格数据可知，函数的对称轴为直线 ，
，
，故在对称轴的左侧， 随 的增大而增大，故抛物线开口向下，则 ，
，
时， ，
，
，故①正确；
函数的对称轴为直线 ， ，
当 时， 随 的增大而增大，
当 时， 的值随 值的增大而增大，故②正确；
第10页（共18页）当 时， ，故③错误；
抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
当 时， 取得最大值 ，
对于任意实数 ，都有 ，
恒成立，故④正确．
故答案为：①②④．
解答题参考答案
16．解：（1）原式
；
（2） ，
由①得 ，
由②得： ，
则不等式组的解集为 ，
故答案为： ．
17．解：（1）由推理过程可得第①步的推理依据是等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，
等式仍然成立，第④步使用了“提公因式法”；第③步的依据是“乘法分配律”；第②步的依据是“加
法结合律”，
故答案为：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立；③；②；
（2）
．
18．解：（1）结合图1和图2可得： ， ， ， ，
第11页（共18页）故答案为： ， ， ， ；
（2）作 桌面于点 ， 桌面于点 ， 于点 ，
，
四边形 是矩形，
， ，
， ， ， ，
，
， ，
， ，
．
答：最高点到桌面的距离约为 ．
19．解：（1） ， ，
，
故答案为：1.816、1.8、2.4；
（2） 荷瓣兰花外三瓣的长宽比的方差大于水仙瓣兰花外三瓣的长宽比，
水仙瓣兰花外三瓣的长宽比更加稳定（答案不唯一）；
（3）该花瓣的长宽比为 ，
所以这片花瓣更可能来自荷瓣兰花．
20．解：（1）设每公斤荔枝的价格为 元，则每公斤黄皮的价格为 元，
根据题意得： 解得： ，
经检验， 是分式方程的解，且符合题意，
，
答：每公斤荔枝的价格为25元，每公斤黄皮的价格为20元；
（2）设购买荔枝 公斤，则购买黄皮 公斤，
根据题意得： ，
解得： ，
第12页（共18页）设总费用为 元，
根据题意得： ，
， 随 的增大而减小，
当 时， 有最小值 ，
此时， ，
答：水果店本次购买荔枝和黄皮所需费用最少的方案是购买荔枝 75公斤，黄皮25公斤，最少费用为
1575元．
21．解：（1）作出 的平分线 ，交 于点 ，如图，
则射线 为乙同学所说方案的射线；
（2）设小扇形的半径为 ，大扇形的半径为 ，它们的圆心为 ，
两个扇形的面积之比为 ，
，
，
．
等腰直角三角形的腰与斜边的比值 ，
戊同学所指的特殊三角形是等腰直角三角形．
故答案为： ；等腰直角三角形；
（3）1．作 的垂直平分线 ，交 于点 ，
第13页（共18页）2．以点 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ，连接 ， ，则△ 为以 为斜边的等腰
直角三角形，
3．以 为圆心，以 为半径画弧，交 于点 ，交 于点 ，如图，
则扇形 的面积被 平分．
22．（1）证明：连接 ，如图，
平分 ，
．
，
，
，
．
，
，
为圆的半径，
是 的切线；
（2）解： 为圆的直径，
，
，
，
第14页（共18页）．
，
△ △ ，
，
．
（3）解：连接 并延长交 于点 ，连接 ，如图，
四边形 为圆的内接四边形，
，
，
，
，
， ， ．
由（1）知： ，
，
，
，
，
．
，
设 ，则 ，
为圆的直径，
，
第15页（共18页），
．
， ，
为△ 的中位线，
，
．
．
．
23．解：（1） 四边形 是正方形，
，且 ，
是 中点，
，
在 △ 中， ；
故答案为： ， ；
（2） ，理由如下：
四边形 是正方形，
， ，
点 为 中点，
， ，
，
第16页（共18页）同理可得 ， ，
，
，即 ，
△ △ ，
，即 ；
（3）如图，取 中点 ，连接 ， ．
在△ 中， ， ，
， ，
， ，
在 △ 中， ，
， ，
，
，
△ △ ，
，
动点 的运动轨迹是一条线段，在 右侧，起点在点 ，且与 夹角是 的线段上运动，
第17页（共18页）延长 交 于点 ，可得 ．
延长 至点 ，使得 ，连接 交 于点 ，
此时 最小，最小值为 ．
过点 作 ，
在 △ 中， ， ， ．
， ，
在 △ 中， ， ，
在 △ 中， ， ，
，
，
在 △ 中， ，
的最小值是 ．
第18页（共18页）
