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2025年江苏省南通市中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题
目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，若零上 记作 ，则零下
记作
A． B． C． D．
2．（3分）下列运算正确的是
A． B． C． D．
3．（3分）单项式 的系数和次数分别是
A． 和2 B． 和3 C．2和2 D．2和3
4．（3分）在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”
一则起源之早，如图是集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的左视图是
A． B． C． D．
5．（3分）如图， 与 互补， ，则 的度数是
第1页（共22页）A． B． C． D．
6．（3分）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问
题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，
苦果各买了多少个？设买了甜果 个，苦果 个，则可列方程组为
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，以点 为圆心的 经过原点 ，与 轴交于点 ， 是 轴右侧 优弧上的一
点，则 的值是
A． B． C． D．
8．（3分）已知反比例函数 ，在它图象的每个分支上， 都随 的增大而增大，则 的值可以是
A．6 B．5 C．4 D．2
第2页（共22页）9．（3分）把直线 向上平移 个单位后，与直线 的交点在第二象限，则 的取值范围
是
A． B． C． D．
10．（3分）如图，等边△ 的边长为6，点 在 上， ，连接 ，将 绕点 按顺时针
方向旋转 得到 ，连接 交 于点 ，则点 到 的距离为
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，11～12每小题3分，13～18每小题3分，共30分．不需写出解答过程，
请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）当 时，分式 无意义．
12．（3分）分解因式： ．
13．（3分）如果关于 的不等式 的解集为 ，那么 的取值范围是 ．
14．（3分）若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是 ．
15．（3分）某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离 （单位： 关于行驶时间 （单位： 的函数解析
式是 ，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了 ．
16．（3分）如图所示， ， ， ，则 为 ．
第3页（共22页）17．（3分）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽 厘米，
长 厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边 恰有一半露出水面，那么此时水面高度是 厘
米．
18．（3分）如图，在正方形 的边 上有一点 ，连接 ，把 绕点 逆时针旋转 ，得到
．连接 并延长与 的延长线交于点 ，则 的值为 ．
三．解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤）
19．（11分）（1）计算： ；
（2）已知 ，求代数式 的值．
20．（11分）如图，在菱形 中，对角线 、 相交于点 ，点 为 的中点，连接 并延
长至点 ，使 ，连接 、 ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）若 ，菱形 的周长为40，求 的值．
第4页（共22页）21．（11分）小明参加某个智力挑战赛节目，答对最后的两道单选题就可以顺利通关．第一道单选题有4
个选项 、 、 、 ，正确答案是 ；第二道单选题有3个选项 、 、 ，正确答案是 ．这两道
题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人在其中一题的选项中去
掉一个错误选项）
（1）如果小明第一道题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ；
（2）若小明将“求助“留在第二道题使用，请用画树状图或列表方法求小明通关的概率；
22．（11分）为了增强青少年的法律意识，呵护未成年人健康成长，某学校展开了法律知识竞赛活动，
并从七、八年级分别随机抽取了40名参赛学生，对他们的成绩进行了整理、描述和分析．
①抽取七、八年级参赛学生的成绩统计图如下（不完整）
说明： ； ； ； ；
②抽取八年级参赛学生的成绩等级为“ ”的分数为：
77，70，71，74，75，76，82，78，80，84，71，72，73，77，81．
③抽取七、八年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
年级 平均数 中位数 众数
七 73.5 74 84
八 73.5 85
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）八年级这40名学生成绩的中位数是 ；
（3）在这次竞赛中，小明和小亮均得了75分，但小明的成绩在其所在年级排名更靠前，可知小明是
第5页（共22页）（填“七”或“八” 年级的学生；
（4）该校七年级有720名学生，八年级有800名学生，若该校决定对于竞赛成绩不低于85分的学生授子
“法治先锋”称号，则请估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有多少人？
23．（17分）如图，在 中， ，以 为直径的 分别交 、 于点 、 ，点 在
的延长线上，且 ．
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）若 ， ，求 和 的长．
24．（11分）为了迎接“十 一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其
中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋 甲 乙
价格
进价（元 双）
售价（元 双） 240 160
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求 的值；
（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润 售价 进价）不少于21700元，且不超过
22300元，问该专卖店有几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠
元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
25．（11分）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
（1）求该抛物线的对称轴（用含 的式子表示）；
第6页（共22页）（2）若 ，自变量 满足 时，此函数的最大值为 ，最小值为 ，且 ，求 的值；
（3）已知 ， ， 为该抛物线上的点，若 ，求 的取值
范围．
26．（13分）△ 是 的内接三角形，点 是 上一点，且点 与点 在 的两侧，连接
， ．
（1）在图1中， 是等边三角形 的外接圆，点 是 上任一点，连接 ，如果把△ 绕点
逆时针旋转 ，得到△ ，易证点 ， ， 三点共线，且△ 是等边三角形．所以 ，
， 这三条线段的数量关系是 ；（只填结果）
（2）类比探究如图②，把（1）中的△ 改为等腰直角三角形， ，其他条件不变，三条线
段 ， ， 还有以上的数量关系吗？说明理由．
（3）知识应用如图3，在四边形 中， ， ， ， ，求
的长．
（4）迁移拓展如图④，把（1）中△ 改为任意三角形， ， ， 时，其他条件不
变，求证 ．
第7页（共22页）2025年江苏省南通市中考数学三模试卷
选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B D A A C D C C
11. 12 13. 14. 且 15.45 16.
选择题、填空题解法提示
9．解：直线 向上平移 个单位后可得： ，
联立两直线解析式得： ，解得： ，
即交点坐标为 ， ，
交点在第二象限， ，
解得： ．
故选： ．
10．解：如图，过 作 于 ，
，
由题意可得： ，
，
， ，
，
第8页（共22页），
由题意可得： ， ，
△ 是等边三角形，
， ，
，
，
△ △ ，
，
，
，
，
过 作 于 ，
，
故选： ．
解答题参考答案
16．解：如图，过点 作 交 的延长线于 ．
由条件可知 ．
，
， ，
，
第9页（共22页），
，
故答案为： ．
17．解：如图所示：作 于点 ，
由题意可得， ， ，
故 ，
可得： ， ，
故 ，
，
，
解得： ．
故答案为：9.6．
18．解：在正方形 的边 上有一点 ，把 绕点 逆时针旋转 ，得到 ．过点 作
交 延长线于点 ，
， ， ， ， ，
， ，
，
第10页（共22页）在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
， ，
，
，
，
，
，
设 ，正方形边长为 ，则 ，
在 △ 中，由勾股定理得： ，
在 △ 中，由勾股定理得： ，
，
，
故答案为： ．
19．解：（1）原式
；
（2）原式
第11页（共22页），
，
，
原式 ．
20．（1）证明： 为 的中点，
．
，
四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形，
， ，
四边形 是矩形；
（2）解：过点 作 于点 ，
设 ，
，菱形 的周长为40，
， ，
在 △ 中， ，
在 △ 中， 是 的中点，
， ， ，
由（1）知：四边形 是矩形，
， ，
由勾股定理得： ，
， ，
第12页（共22页），
．
21．解：（1）由题意可得：如果小明第一道题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ，
故答案为： ；
（2）小明将“求助“留在第二道题使用，第二道单选题有3个选项 、 、 ，假设去掉一个错误答案
，列表如下：
第一题
第二题
由表格可得，共有8种等可能出现的结果，其中小明通关的情况有1种，
小明通关的概率为 ．
22．解：（1）七年级 等级人数为： （人 ，七年级 等级人数为： （人 ，
补充完整后的条形统计图如下所示：
（2）从低到高顺序排列，70，71，71，72，73，74，75，76，77，77，78，80，81，82，84，
根据中位数定义可知：第20位和第21位分别为75，76，
因此八年级这40名学生成绩的中位数是 ，
故答案为：75.5；
（3） 七年级的中位数为74，八年级的中位数为75.5，
第13页（共22页）同样是75分的情况下，在七年级的排名更靠前，
小明是七年级的学生，
故答案为：七；
（4）根据样本估计总体思想可得：
（人 ，
答：估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有384人．
23．（1）证明：连接 ．
为 的直径，
（直径所对的圆周角是直角），
（直角三角形的两个锐角互余）；
又 ， ，
平分 ，即 ；
，
，
，即 ，
是半径，
为 的切线；
（2）解：由（1）知： ， ， ，
， ，
，
过点 作 于点 ．
， ， ，
第14页（共22页），
，
，
， ， ，
，
，即 ，
．
24．解：（1）依题意得， ，
整理得， ，
解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，
所以， ；
（2）设购进甲种运动鞋 双，则乙种运动鞋 双，
根据题意得， ，
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
所以，不等式组的解集是 ，
是正整数， ，
共有11种方案；
（3）设总利润为 ，则 ，
①当 时， ， 随 的增大而增大，
第15页（共22页）所以，当 时， 有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双；
②当 时， ， ，（2）中所有方案获利都一样；
③当 时， ， 随 的增大而减小，
所以，当 时， 有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．
25．解：（1） ， ，
该抛物线的对称轴为直线 ；
（2） ， 抛物线为 ，
抛物线的对称轴为直线 ，
如图， ，当 时，即 ，
此时函数的最大值为 ，最小值为 ，
当 时， ，
当 时， ，
第16页（共22页），
，
解得： ，不符合题意，舍去，
如图，当 ，即 时，
同理可得： ， ，
，
解得： 舍去）
如图，当 ，即 时，
第17页（共22页）同理可得： ， ，
，
解得： ， 舍去），
如图，当 时，
第18页（共22页）同理：当 时， ，
当 时， ，
，
解得： ，不符合题意，舍去
综上： 或 ；
（3） ，
， 或 ， ；
当 ， 时，即 ，
的对称轴为直线 ，
，且 ，
解得， ；
当 ， 时，即 ，
对称轴为直线 ，
，且 ，
解得， ，
综上所述， 或 ．
26．（1）解： 把△ 绕点 逆时针旋转 ，得到△ ， ， ， 三点共线，且△ 是等
边三角形，
， ，
，即 ；
故答案为： ；
（2）解：三条线段 ， ， 没有（1）中的数量关系；理由如下：
如图②，延长 到点 ，使得 ，连接 ，
第19页（共22页）△ 为等腰直角三角形， ，
， ，
四边形 内接于圆，
，
，
，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
， ，
，
又 ，
，
，
，
，
三条线段 ， ， 没有（1）中的数量关系；
（3）解：如图③，过点 作 ， 交 的延长线于点 ，
第20页（共22页）在四边形 中， ， ，
，
，
，
，
在△ 和△ 中， ， △ △ ，
， ，
， △ △ ，
， ，
， ，
，
；
（4）证明：如图④，在△ 中，以点 为顶点， 为边，作 ，点 在 上，
，又 ，
△ △ ， ， ，
， ， ，
第21页（共22页）， ，
，
在△ 和△ 中， ， △ △ ，
，
，
，
当 ， ， 时，
，
即 ．
第22页（共22页）
