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2025年河北省沧州市部分学校中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.）
1．（3分）借助如图量角器上的读数， 的度数为
A． B． C． D．
2．（3分）下列计算结果最小的是
A． B． C． D．
3．（3分）要使 □的化简结果为单项式，则□内的整式可以是
A． B． C． D．
4．（3分）已知 是关于 ， 的二元一次方程组，则
A．15 B．12 C．9 D．3
5．（3分）用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为 的矩形纸片“丁”紧密拼接
形成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为
A． B． C．3 D．
6．（3分）如图是用12个大小相同的正方体搭成的长方体（正方体用胶水相互紧密粘连），分成两部分，
第1页（共24页）其中一部分有7个正方体，则“？”一部分几何体的左视图是
A． B．
C． D．
7．（3分）力 作用于物体，产生的压强 与物体受力面积 之间满足 ，在某次实
验中，当 一定时， 关于 的函数图象如图所示．若压强 由 增压至 ，则物体受力面积
A．减小了 B．增大了 C．减小了 D．增大了
8．（3分）计算 的结果可以用科学记数法表示为
A． B． C． D．
9．（3分）如图，在△ 中， ， ，将△ 绕点 按逆时针方向旋转 后得
到△ ，则阴影部分的面积为
第2页（共24页）A． B． C．12 D．
10．（3分）宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨
辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对
角线上的三个数之和都相等，则“■”位置的数是
A．4 B．5 C．6 D．7
11．（3分）已知点 为抛物线 上一点，在透明胶片上描画出包含点 的抛物线 的
一段，向上平移该胶片得到点 和抛物线 ，如图所示，已知抛物线 的顶点 的纵坐标为 ，且
，则平移得到的点 的纵坐标为
A． B． C． D．
12．（3分）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案，它是由 3个正方形
和1个直角三角形 构成，其中 ．已知 ， 分别为两个较小的正方形边的中点，将它
们分别沿 ， 折叠，若折叠得到的 ， 恰好有一条与斜边 平行，则直角三角形 的直角
第3页（共24页）边长可能是
A．3，4 B．5，12 C．7，24 D．8，15
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）如图，已知点 ， ，一次函数 图象经过线段 的中点，则 的值为
．
14．（3分）已知代数式 ， ，当 时，则 与 的大小关系是： （填“
”“ ”或“ ” ．
15．（3分）如图，在甲、乙、丙三只袋子中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出 个球放
入乙袋，再从乙袋中取出 个球放入丙袋，最后从丙袋中取出 个球放入甲袋，此时三只袋子中
球的个数都相同，则 的值为 ．
第4页（共24页）16．（3分）如图， 与正六边形 的边 ， 分别相切于点 ， ．已知正六边形的边长
为 ，则劣弧 的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）如图， ， 为一把不完整刻度尺有刻度一侧的两端，现将其紧贴数轴摆放，已知数轴上
表示数2， 的两点对应刻度尺上的读数分别为 ， ．
（1）该数轴以多少厘米为1个单位长度？直接画出数轴原点 的位置；
（2）若刻度尺左端 的刻度为 且对应数轴上表示数 的点，右端 的刻度为 ，求 的值及
的长度．
18．（8分）如图，将上层的两个关于 的整式 ， 为常数）相乘得到下层的整式．
（1）求 和 的值；
（2）记 ， ，若 为整数，试判断 的结果能否被4整除？
说明理由．
第5页（共24页）19．（8分）某店在统计某月的销售情况时，对一种商品的日销售量（单位：件）进行了统计，并绘制了
不完整的条形统计图（图 和扇形统计图（图 ．
（1）求出图1中 的值及这个月内该商品的平均日销售量；
（2）求该商品的日销售量的中位数和众数；
（3）店长在检查数据时发现，该商品在这个月的实际日销售量均不大于 28件，且其中一天的销售量误
记为28件了．若将上述错误更正后，日销售量这组数据的中位数不变，众数唯一，则该天的实际销售量
为 件．
20．（8分）某机械化农场的麦田需要飞机播种，如图 15为一架飞机从飞机场飞往麦地的部分飞行路径
的示意图．飞机在某一高度由东向西以 的速度匀速飞行，在空中的点 处测得一点 处的俯角
为 ，向西飞行12分钟后到达空中的点 处，此时站在麦地点 处的工作人员测得飞机的仰角为 ，
又经过4分钟播种机刚好飞到点 的正上方点 处．
（1）求播种机的飞行路线距地面的竖直高度；
（2）求点 ， 之间的距离．
（结果精确到 ，参考数据： ，
第6页（共24页）21．（9分）某电影公司随机收集了一些电影的有关数据，经分类整理得到下表，其中好评率是指某类电
影中获得好评的部数与该类电影总部数的比值．
电影类型 历史类 恐怖类 喜剧类 科幻类 情感类 剧情类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
（1）从该电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是科幻片中的好评电影的概率；
（2）根据前期调查反馈：
历史类电影的上座率与好评率的关系约为：上座率 好评率 ；
恐怖类电影的上座率与好评率的关系约为：上座率 好评率 ．
现有一部历史类的 电影和一部恐怖类的 电影将同时在某影院上映， 电影的票价为45元， 电影的
票价为40元，该影院的最大放映厅的满座人数为1000人，排片经理要求将这两部电影安排在最大放映厅
放映，且两部电影每天都要有排片，已知最大放映厅每天有7个场次可供排片，设其中 电影排了 场．
①求出最大放映厅每天的票房收入 与 的函数关系式（不必写出 的取值范围）；
②仅从最大放映厅票房收入的角度考虑，作为排片经理应如何分配 ， 两部电影的场次，使得当天的
票房收入最高？
22．（9分）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图所示， 表示筒车的外轮廓，筒车的涉水
宽度 为 ，涉水深度（筒车下方最低点到水面 的距离）为 ．
（1）①在图中，请用无刻度的直尺和圆规作出线段 ，用其长度表示涉水深度（保留作图痕迹，不写
作法）；
②求出该筒车的半径长；
（2）筒车工作时，筒车上的每一个盛水简都按顺时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时 120秒．若
上 处的某盛水筒到水面 的距离为 ，经过35秒后，该盛水筒旋转到点 处，则旋转后该盛水筒
的竖直高度下降了多少？（结果保留根号）
第7页（共24页）23．（11分）如图所示，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在 的左侧），交 轴
于点 ，抛物线 也经过点 ，且其顶点坐标为 ．
（1）求抛物线 的解析式；
（2）若 与 关于 轴对称，直接写出 的值，并求出点 的坐标；
（3）点 在抛物线 上，且横坐标为6，过点 的直线 与抛物线 有且仅有一个公共点．
①求出直线 的解析式；
②平移直线 得到 ，直线 与抛物线 交于 ， 两点，直线 ， 与 轴分别交于 ， 两点，
设点 ， 的横坐标分别为 ， ，直接写出 ， 之间的关系式．
24．（12分）四边形 中， ， ， ， ， ．点 由 出发，
沿 向终点 运动，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 得到 ，设点 运动的路程为 ．
（1） 的最小值为 ，此时 ；
第8页（共24页）（2）当点 位于图1位置，且 时，求 的度数；
（3）在点 随点 运动的过程中，
①若点 恰好落在边 上，如图2，求 的值；
②连接 ，若 ，如图3，求 的值．
（4）连接 ，直接写出 的最小值．
第9页（共24页）2025年河北省沧州市部分学校中考数学一模试卷
选择题、填空题答案速查
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A D A B C A D B D D A
13.5 14.＜ 15.128 16.
选择题、填空题解法提示
11．解： 抛物线 ，
抛物线平移前的顶点纵坐标为 ，
平移后抛物线 的顶点 的纵坐标为 ，
平移的距离为 ，
，
平移后抛物线的顶点 在线段 的垂直平分线上，
平移得到的点 的纵坐标为 ．
故答案为： ．
12 ． 解 ： 假 设 ， 如 图 ， 取 中 点 ， 过 点 作 交 于 ， 连 接 ，
第10页（共24页）是 的垂直平分线，
，
，
，
，
折叠，
，
，
，
，
，
，
设正方形 的边长为 ，
是 中点，
，
设 ，
在 △ 中， ， ， ，
，
，
，
，
， ，
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
，
第11页（共24页），
△ 的两直角边的比值是 ，满足比值是 ，
其余选项均不满足比值是 ，
故答案为： ．
16．解：连接 ， ， ，取 的中点 ，连接 ， ，
六边形 是正六边形，边长为 ，
点 是正六边形 的中心， ，
， ，
△ 为等边三角形，
， ，
，
，
， ，
，
， ，
则劣弧 的长为 ．
故答案为： ．
解答题参考答案
第12页（共24页）17．解：（1）该数轴的单位长度为 ，
原点 的位置如图所示，
，
答：该数轴为1个单位长度；
（2） ，
解得 ，
．
答： 的值是4.5， 的长度是 ．
18．解：（1）由题意，由条件可知 ，
， ，
解得： ， ．
（2）能被4整除，理由如下，
， ，
， ，
，
为整数，
， 是两个连续的整数，其中必有一个为偶数，
能被4整除，即 的结果能被4整除．
19．解：（1） 日销售量为26件的天数是9天，占总天数的 ，
总天数为 天，
第13页（共24页），
平均日销售量 （件 ，
答：图1中 的值是10，及这个月内该商品的平均日销售25件；
（2）将这组数据从小到大排列：20出现4次，24出现10次，26出现9次，28出现7次．
总共有30个数据，第15，16个数据都是26，所以中位数是26；
24出现的次数最多，所以众数是24．
答：中位数为26，众数为24；
（3） 更正后中位数不变，还是26，且众数唯一，
当天的销售量不是26件，
日销售量这组数据中位数不变，
当天的销售量不低于26件，
该时段的实际日销售量均不大于28件，
若将28件中的一件更正，要使众数唯一且中位数不变，只能把 28件改为27件，这样24出现10次，
26出现9次，27出现 次，20出现4次，满足条件，
答：该天的实际销售量为27件．
故答案为：27．
20．解：（1）由题意得， ．
，
．
；
（2）过 作 于 ，过 作 于 ，则四边形 ， 是矩形．
， ， ．
第14页（共24页）在 △ 中， ，
．
，
．
．
答：点 ， 之间的距离为 ．
21．解：（1）由题意， （部 ，
共有2000部电影，其中科幻类中的好评电影的数量为 （部 ，
从该电影公司收集的电影中随机选取1部，这部电影是科幻片中的好评电影的概率为 ；
（2）① 电影的上座率为 ， 电影的上座率为 ，
最大放映厅每天有7个场次可供排片，其中 电影排了 场，则 电影排了 场，
，
最大放映厅每天的票房收入 与 的函数关系式为 ；
② 最大放映厅每天有7个场次可供排片，两部电影每天都要有排片，
，且 为正整数，
， ，
随 的增大而增大，
当 时， 有最大值．
排片经理应排 电影6场， 电影1场，可使得当天的票房收入最高．
22．解：（1）①线段 如图所示，
第15页（共24页）②由①知 ，且点 在直线 上，如上图，连接 ，
，
设该筒车的半径长为 ，
，
，
，
解得 ，
即该筒车的半径长为 ；
（2）过 作 于 ，过 作 于 ，
，
处到水面 的距离为 ，即 ，
，
在 △ 中， ，
，
，
，
第16页（共24页），
即旋转后该盛水筒的竖直高度下降了 ．
23．解：（1）由题意，点 的坐标为 ，抛物线 的顶点坐标为 ，
设抛物线 的解析式为 ，
将 的坐标代入，
得 ，
解得 ，
抛物线 的解析式为 ；
（2） 与 关于 轴对称，抛物线 的对称轴为直线 ，
抛物线 的对称轴为直线 ，
，
；
抛物线 ，
当 时， ，
解得 ， ，
点 为抛物线与 轴的左交点，
点 的坐标为 ；
（3）①点 在抛物线 上，且横坐标为6，
当 时， ，
第17页（共24页）即 ，
设直线 的解析式为 ，
将 代入，得 ，
即 ，
直线 的解析式为 ，
过点 的直线 与抛物线 有且仅有一个公共点，
，
即 ，
当△ ，
解得 ，
直线 的解析式为 ；
②设直线 的解析式为 ，
由题意得 ，
整理得， ，
直线 与抛物线 交于 ， 两点，
设 ， ，
，
设直线 为 ，
代入 和 ，
第18页（共24页）得 ，
，
，
同理可求直线 为 ，
令 ，
， ，
， ，
直线 ， 与 轴分别交于 ， 两点，点 ， 的横坐标分别为 ， ，
， ，
，
即 ．
24．解：（1）根据“垂线段最短”得：当 时， 取最小值，如图1所示：
， ， ， ，
当 时，
，
四边形 为矩形，
第19页（共24页），
， ， ，
在 △ 中，由勾股定理得： ，
的最小值是6．
故答案为：6；6；
（2）过点 作 于点 ，作 于点 ，如图2所示：
由（1）可知， ，
，
由旋转的性质得， ，
， ，
，
，
，
；
（3）①当点 恰好落在 边上时，过点 作 于点 ，如图3所示：
，
第20页（共24页），
由旋转的性质得： ， ，
，
，
在△ 和△ 中，
，
△ 和△ ，
，
由（1）可知， ，
，
，
点 运动的路程 ，
即 的值为8；
②过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，如图4所示，
，
，
由旋转的性质得： ， ，
，
第21页（共24页），
在△ 和△ 中，
，
△ △ ，
， ，
由（1）可知： ，四边形 是矩形，
， ，
此时点 运动的路程 ，
，
，
， ，
，
，
，
△ △ ，
，
，
解得： ，
，
第22页（共24页）在 △ 中， ，
，
，
△ 是等腰直角三角形，即 ，
由勾股定理得： ，
，
，
在 △ 中， ；
（4）当 在 的上方时， 才有最小值，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
交 的延长线于点 ，如图5所示：
设 ，
由（1）可知： ，
同（3）可证明：△ ，
， ， ，
，
， ， ， ，
四边形 是矩形，
第23页（共24页）， ， ，
在 △ 中，由勾股定理得： ，
当 时， 为最小，最小值为8，
的最小值为 ．
第24页（共24页）
