文档内容
专题 26 一次函数与图形变换（3 大类型）
题型归纳
题型1：一次函数与平移变换
题型2：一次函数与轴对称变换
k b k k b k
直线y=
1
x+
1
(
1
≠0）与y=
2
x+
2
(
2
≠0)的位置关系
k k b b
（1）两直线平行⟺ 1 = 2 ，且 1 ≠ 2
k k
（2）两直线相交⟺ 1 ≠ 2
k k b b
（3）两直线重合⟺ 1 = 2 ，且 1 = 2
k k
（4）两直线垂直⟺ 1 2 =−1
题型3：一次函数与旋转变换
直线的对称规律
（1）直线y=kx+b关于x轴对称得到直线y=-kx-b
（2）直线y=kx+b关于y轴对称得到直线y=-kx+b
（3）直线y=kx+b关于原点对称得到直线y=kx-b典例分析
【考点1：一次函数与平移变换】
【典例1】（2023•碑林区校级模拟）将直线y＝kx向右平移3个单位得到直线y
＝2x+b，则k，b的值分别为（ ）
A．k＝2，b＝﹣6 B．k＝2，b＝6C．k＝﹣2，b＝﹣6 D．k＝﹣2，b＝6
【答案】A
【解答】解：直线y＝kx向右平移3个单位的解析式为y＝k（x﹣3）＝kx﹣
3k，
∵直线y＝kx向右平移3个单位得到直线y＝2x+b，
∴k＝2，b＝﹣3k，
∴b＝﹣6．
故选：A．
【变式1-1】（2022秋•碑林区校级期末）将直线 y＝2x+1向右平移2个单位后
所得图象对应的函数表达式为（ ）
A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3
【答案】D
【解答】解：直线y＝2x向右平移2个单位后所得图象对应的函数解析式为y
＝2（x﹣2）+1，
即y＝2x﹣3．
故选：D．
【变式1-2】（2022秋•沙坪坝区校级期末）将直线 y＝﹣2x+6向左移1个单位，
所得到的直线解析式为（ ）
A．y＝﹣2x+7 B．y＝﹣2x+5 C．y＝﹣2x+8 D．y＝﹣2x+4
【答案】D
【解答】解：根据题意，将直线y＝﹣2x+6向左平移了1个单位后，得：
y＝﹣2（x+1）+6＝﹣2x﹣2+6＝﹣2x+4，
即该直线的解析式为：y＝﹣2x+4．故选：D．
【变式1-3】（2022秋•皇姑区校级期末）将直线y＝3x向上平移2个单位长度，
所得直线的表达式为（ ）
A．y＝3x﹣2 B．y＝3（x+2） C．y＝3（x﹣2） D．y＝3x+2
【答案】D
【解答】解：将直线y＝3x向上平移2个单位长度，所得直线的表达式为：y
＝3x+2．
故选：D．
【考点2： 一次函数与轴对称变换】
【典例2】（2021春•东昌府区期末）在直角坐标系中，已知 A，B是x轴上的
两点，且A（6，0），AB＝10，点M是y轴上一点，连接BM，将△ABM沿
过A，M的直线AM折叠，点B恰好落在y轴的点B′处．
（1）求直线AB′的函数表达式；
（2）求直线AM的函数表达式．
【答案】（1）y＝﹣ x+8或y＝ x﹣8 (2)y＝﹣ x+3或y＝ x﹣3．
【解答】解：（1）∵A（6，0），AB＝10，
∴OA＝6，AB′＝10，
∵AB′2＝AO2+B′O2
∴OB′＝8，
∴B′（0，±8），
设直线AB′的解析式为y＝kx±8，
把A（6，0）代入得，0＝6k±8，
∴k＝﹣ 或 ，∴直线AB′的函数表达式为y＝﹣ x+8或y＝ x﹣8；
（2）在△MOB中，设OM＝a，则MB＝OB′﹣MO＝8﹣a，
∵AB＝10，OA＝6，
∴OB＝4，
∴OB2＝MB2﹣MO2即16＝（8﹣a）2﹣a2，
∴a＝3，M（0，±3），
设直线MA的解析式为y＝kx+b，
∴ 或 ，解得： 或 ，
∴直线AM的解析式为：y＝﹣ x+3或y＝ x﹣3．
【变式2-1】（2022•雁塔区校级三模）一次函数 y＝﹣kx+3的图象关于x轴对
称后经过（2，﹣1），则k的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
【答案】A
【解答】解：∵（2，﹣1）关于x轴对称点为（2，1），
∴一次函数y＝﹣kx+3的图象过点P（2，1），
∴1＝﹣2k+3，
解得：k＝1，
故选：A．
【变式2-2】（2022•武功县一模）已知直线y＝2x+m与直线y＝nx+4（n≠0）
关于y轴对称，则直线y＝mx+n与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解答】解：∵直线y＝2x+m与直线y＝nx+4（n≠0）关于y轴对称，
∴m＝4，﹣ ﹣ ＝0，
∴m＝4，n＝﹣2，∴直线y＝mx+n的解析式为y＝4x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2；
令y＝0，则x＝ ，
∴直线y＝mx+n与坐标轴的交点为（ ，0）和（0，﹣2），
∴直线y＝mx+n与坐标轴围成的三角形的面积为： × ＝ ，
故选：A．
【变式2-3】（2023•榆阳区模拟）一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）
与一次函数 y＝2x+1 关于 y 轴对称，则一次函数 y＝kx+b 的表达式为
（ ）
A． B．y＝﹣2x+1 C．y＝2x﹣1 D．
【答案】B
【解答】解：一次函数 y＝2x+1，则与该一次函数的图象关于 y轴对称的一
次函数的表达式为：y＝2（﹣x）+1，即y＝﹣2x+1．
故选：B．
【考点3： 一次函数与旋转变换】
【典例3】（2021春•碑林区校级期中）如图，一次函数 y＝2x+b经过M（1，
3），它的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．
（1）求△AOB的面积．
（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于
点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．【答案】（1） ；
（2）C（1， ），y＝ x+ ．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），
∴3＝2+b，
解得b＝1，
∴y＝2x+1，
令y＝0，则x＝﹣ ；令x＝0，则y＝1，
∴A（﹣ ，0），B（0，1），
∴OA＝ ，OB＝1
∴△AOB的面积＝ ＝ ；
（2）作CD⊥y轴于D，
∵∠BAC＝45°，BC⊥AB，
∴∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
∵∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBD，
∴∠BAO＝∠CBD，
在△AOB和△BDC中，
，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴BD＝OA＝ ，CD＝OB＝1，
∴OD＝OB﹣BD＝ ，
∴C（1， ），设直线l的解析式为y＝mx+n，
把A（﹣ ，0），C（1， ）代入得 ，
解得 ，
∴直线l的解析式为y＝ x+ ．
【变式3-1】（2021秋•峡江县期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y
＝2x﹣3的图象分别交x轴，y轴于点A、B，将直线AB绕点B顺时针方向旋
转45°，交x轴于点C，求直线BC的函数表达式．
【答案】y＝ x﹣3．
【解答】解：作AD⊥AB交BC于D，过点D作DH⊥x轴于H，
∵∠OAB+∠DAH＝90°，∠ADH+∠DAH＝90°，
∴∠OAB＝∠ADH，
又∵∠ABD＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠ADB＝45°，∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
在△AOB和△DHA中，
，
∴△AOB≌△DHA（AAS），
∴AH＝OB，HD＝OA，
∵OB＝3，OA＝ ，
∴OH＝AH+OA＝3+ ＝ ，HD＝OA＝ ，
∴D（ ，﹣ ），
设直线BC为y＝kx﹣3，
∴﹣ ＝ k﹣3，
∴k＝ ，
∴y＝ x﹣3．
【变式3-2】（秋•宿迁期末）如图，一次函数 y＝（m+1）x+4的图象与x轴的
负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，且△OAB面积为4．
（1）则m＝ ，点A的坐标为（ ， ）．
（2）过点 B作直线 BP与x轴的正半轴相交于点 P，且OP＝4OA，求直线
BP的解析式；
（3）将一次函数y＝（m+1）x+4的图象绕点B顺时针旋转45°，求旋转后的
对应的函数表达式．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由一次函数y＝（m+1）x+4，令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4），
∴OB＝4，
∵S ＝4，
△OAB
∴ ×OA×OB＝4，
解得OA＝2，
∴A（﹣2，0），
把点A（﹣2，0）代入y＝（m+1）x+4，得m＝1，
故答案为：1；﹣2，0；
（2）∵OP＝4OA，OA＝2，
∴P（8，0），
设直线BP的解析式为y＝kx+b，
将（8，0），（0，4）代入得 ，
解得k＝﹣ ，b＝4，
∴直线BP的解析式为y＝﹣ x+4；
（3）设直线 AB 绕点 B 顺时针旋转 45°得到直线 BE，如图，过点 A 作
AF⊥AB交BE 于点F，作FH⊥x轴于H．则∠AHF＝∠BOA＝90°，AF＝BA，∠FAH＝∠ABO，
∴△AOB≌△FHA（AAS），
∴FH＝AO＝2，AH＝BO＝4，
∴HO＝6，
∴F（﹣6，2），
设直线BE的解析式为y＝mx+n，则
把点F和点B的坐标代入，可得
，
解得 ，
∴直线BE的解析式为y＝ x+4．
【典例4】（2020秋•盱眙县期末）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣ x+4交x
轴，y 轴分别于点 A，点 B，将△AOB 绕坐标原点逆时针旋转 90°得到
△COD，直线CD交直线AB于点E，如图1：
（1）求：直线CD的函数关系式；
（2）如图2，连接OE，过点O作OF⊥OE交直线CD于点F，如图2，①求证：∠OEF＝45°；
②求：点F的坐标；
（3）若点P是直线DC上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），
当△DPQ和△DOC全等时，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）y＝ x+3 (2)①略 ②F（﹣ ， ） （3）（﹣ ，﹣
）、（﹣8，﹣3）、（﹣ ， ）；
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣ x+4交x轴，y轴分别于点A，点B，
∴A（3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∵△AOB绕坐标原点逆时针旋转90°得到△COD，
∴△AOB≌△COD，
∴CO＝OA＝3，OD＝OB＝4，
∴C（0，3），D（﹣4，0），
设直线CD 的解析式为y＝kx+b，
∴ ，
∴ ，
∴直线CD 的解析式为y＝ x+3；
（2）①由（1）知，△AOB≌△COD，
∴OB＝OD，∠ABO＝∠CDO，
∵OF⊥OE，∠COF+∠COE＝90°，
∵∠COE+∠DOF＝90°，
∴∠BOE＝∠DOF，在△BOE和△DOF中， ，
∴△BOE≌△DOF，
∴OE＝OF，
∵∠EOF＝90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴∠OEF＝45°；
②）如图2，∵直线AB的解析式为y＝﹣ x+4①，
由（1）知，直线CD 的解析式为y＝ x+3②；
联立①②得，E（ ， ），
过点F作FG⊥OD．过点E作EH⊥OB，
由①知，△BOE≌△DOF，
∴∠BOE＝∠DOF，OE＝OF
在△OHE和△OGF中， ，
∴△OHE≌△OGF，
∴OG＝OH＝ ，FG＝EH＝
∴F（﹣ ， ），
（3）如图1，
①∠DP'Q'＝90°，
∵△P'Q'D≌△OCD，
∴DP'＝OD＝4，
∵∠CDO＝∠P'DQ'，∴cos∠P'DQ'＝ ，sin∠P'DQ'＝ ，
作P'H⊥x轴，则DH＝DP'•cos∠PDQ＝ ，P'H＝DP'•cos∠PDQ＝ ，
∴OH＝OD+DH＝
∴点P'坐标（﹣ ，﹣ ）；
②∠DQP＝90°，
∵△PQD≌△COD，（SAS）
∴DQ＝OD＝4，PQ＝3，
∴点P坐标（﹣8，﹣3）；
③∠DP''Q''＝90°，
∵△P''Q''D≌△OCD，（SAS）
∴DP''＝OD＝4，P''Q''＝OC＝3，
∴P''G＝DP''•sin∠CDO＝ ，DG＝DP''•cos∠CDO＝ ，
∴OG＝ ，
∴点P坐标（﹣ ， ）；
即：△DPQ和△DOC全等时，点P的坐标为（﹣ ，﹣ ）、（﹣8，﹣
3）、（﹣ ， ）；
【变式4】（莆田一模）规定：在平面直角坐标系内，某直线 l 绕原点O顺时
1
针旋转90°，得到的直线l 称为l 的“旋转垂线”．
2 1
（I） 求出直线y＝﹣x+2的“旋转垂线”的解析式；
（II） 若直线 y＝k x+1（k ≠0）的“旋转垂线”为直线 y＝k x+b．求证：
1 1 2
k •k ＝﹣1．
1 2【答案】（1）y＝x﹣2 （2）略
【解答】解：（I）直线y＝﹣x+2经过点（2，0）和（0，2），
则这两点绕原点 O 顺时针旋转 90°，得到的对应点为（0，﹣2）和（2，
0），
设直线y＝﹣x+2的“旋转垂线”的解析式为y＝kx+b，
把（0，﹣2）和（2，0），代入y＝kx+b，可得
，解得 ，
∴直线y＝﹣x+2的“旋转垂线”的解析式为y＝x﹣2；
（II）证明：直线y＝k x+1（k ≠0）经过点（﹣ ，0）和（0，1），
1 1
则这两点绕原点 O 顺时针旋转 90°，得到的对应点为（0， ）和（1，
0），
把（0， ）和（1，0），代入y＝k x+b，可得
2
，
∴ ，
∴k k ＝﹣1．
1 2夯实基础
1．（2023•渭滨区一模）将直线y＝2x﹣1绕原点旋转180°后，所得直线的函数
表达式为（ ）
A．y＝2x+1 B．y＝﹣2x+1 C． D．y＝2x﹣1
【答案】A
【解答】解：∵直线y＝2x﹣1，
∴直线与x轴的交点为（ ，0），与y轴的交点为（0，﹣1）．
∵两点绕原点旋转180°后对应的点坐标为（﹣ ，0），（0，1），
∴设旋转后的直线解析式为y＝kx+b（k≠0），
∴ ，
解得 ，
∴直线解析式为y＝2x+1．
故选：A．
2．（2022•澄城县二模）在同一平面直角坐标系中，直线 y＝kx﹣3是由直线y
＝2x+b经过平移得到的，则下列各点在直线y＝kx﹣3上的是（ ）
A．（﹣2，1） B．（1，﹣2） C．（3，3） D．（5，13）
【答案】C
【解答】解：∵直线y＝kx﹣3是由直线y＝2x+b经过平移得到的，
∴k＝2，
∴一次函数为y＝2x﹣3，
当x＝﹣2时，y＝﹣7，（﹣2，1）不在函数y＝2x﹣3的图象上；
当x＝1时，y＝﹣1，（1，﹣2）不在函数y＝2x﹣3的图象上；
当x＝3时，y＝3，（3，3）在函数y＝2x﹣3的图象上；
当x＝5时，y＝7，（5，13）不在函数y＝2x﹣3的图象上；故选：C．
3．（2022•碑林区校级三模）若直线y＝kx+2与直线y＝﹣3x+b关于直线x＝﹣
1对称，则k、b值分别为（ ）
A．k＝﹣3、b＝﹣2B．k＝3、b＝﹣2 C．k＝3、b＝﹣4 D．k＝3、b＝4
【答案】C
【解答】解：把x＝0代入y＝kx+2得，y＝2，
∴直线y＝kx+2与y轴交点为（0，2），
∵点（0，2）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2，2），
∴点为（﹣2，2）在直线y＝﹣3x+b上，
代入直线y＝﹣3x+b，可得6+b＝2，
解得b＝﹣4，
∴一次函数y＝﹣3x﹣4与y轴交点为（0，﹣4），
∵（0，﹣4）关于直线x＝﹣1的对称点（﹣2，﹣4）在直线y＝kx+2上，
∴代入直线y＝kx+2，可得﹣2k+2＝﹣4，
解得k＝3．
故选：C．
4．（2021•雁塔区校级三模）在平面直角坐标系中，将直线 y＝﹣2x+2关于平
行于y轴的一条直线对称后得到直线AB，若直线AB恰好过点（6，2），则
直线AB的表达式为（ ）
A．y＝2x﹣10 B．y＝﹣2x+14 C．y＝2x+2 D．y＝﹣ x+5
【答案】A
【解答】解：由题意得，直线AB的解析式为y＝2x+b，
∵直线AB恰好过点（6，2），
∴2＝2×6+b，解得b＝﹣10，
∴直线AB的表达式为y＝2x﹣10，
故选：A．
5．（2023春•雨花区校级月考）在平面直角坐标系中，将直线 y＝2x+b沿x轴
向右平移2个单位后恰好经过原点，则b的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【答案】C【解答】解：∵平移后抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）+b，平移2个单位后
恰好经过原点，
∴将（0，0）代入解析式可得0＝﹣4+b，
∴b＝4．
故选：C．
6．（2023•秦都区校级二模）在平面直角坐标系中，将直线y＝kx+4（k≠0）向
右平移2个单位长度后所得的直线经过坐标原点，则k的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1
【答案】C
【解答】解：将直线y＝kx+4（k≠0）向右平移2个单位长度后得到y＝k（x
﹣2）+4，
∵经过原点，
∴0＝k（0﹣2）+4，解得k＝2，
故选：C．
7．（2023 春•高新区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形
OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且B（6，2），直线y＝2x+1以每秒1
个单位的速度向下平移，经过 t秒该直线可将平行四边形OABC分成面积相
等的两部分，则t的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解答】解：连接AC、BO，交于点D，当y＝2x+1经过D点时，该直线可
将 OABC的面积平分；
∵四边形AOCB是平行四边形，
▱
∴BD＝OD，
∵B（6，2），点C（4，0），
∴D（3，1），设DE的解析式为y＝kx+b，
∵平行于y＝2x+1，
∴k＝2，
∵过D（3，1），
∴DE的解析式为y＝2x﹣5，
∴直线y＝2x+1要向下平移6个单位，
∴时间为6秒，
故选：D．
8．（2023•临潼区一模）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图
象向右平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ）
A．﹣7 B．7 C．﹣6 D．6
【答案】B
【解答】解：将一次函数 y＝2x+m﹣1的图象向左右平移3个单位后，得到y
＝2（x﹣3）+m﹣1，
把（0，0）代入，得到：0＝﹣6+m﹣1，
解得m＝7．
故选：B．
9．（2023•雁塔区校级模拟）在平面直角坐标系中，若将一次函数 y＝2x+m﹣2
的图象向左平移 3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则 m的值为（
）
A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．1
【答案】A
【解答】解：将一次函数 y＝2x+m﹣2的图象向左平移3个单位后，得到y＝
2（x+3）+m﹣2，
把（0，0）代入，得到：0＝6+m﹣2，解得m＝﹣4．
故选：A．
10．（2022秋•石景山区校级期末）把直线 y＝3x向上平移1个单位长度后，其
直线的表达式为（ ）
A．y＝3x+1 B．y＝3x+3 C．y＝3x﹣1 D．y＝3x﹣3
【答案】A
【解答】解：根据题意，平移后的直线表达式为y＝3x+1，
故选：A．
11．（2019秋•灞桥区校级期中）如图，已知直线 L ： 与x轴、y轴
1
分别交于A、B两点，直线L 绕坐标原点O顺时针旋转135°，得到直线L 与
1 2
x轴、y轴分别交于C、D两点．
（1）直接写出点 A、B 的坐标是 A ，B
．
（2）点P（a，4）是直线L 上一点，求a的值．
2
【答案】（1）（﹣2 ，0），（0，6 ）；
（2）a＝1．
【解答】解：（1）在直线L ：y＝3x+6 中，
1
令y＝0可得x＝﹣2 ，令x＝0可得y＝6 ，
∴A为（﹣2 ，0），B为（0，6 ），
故答案为：（﹣2 ，0），（0，6 ）；（2）如图所示，直线L 绕坐标原点O顺时针旋转135°，则A点对应的点坐
1
标为（2，2），点B的对应点的坐标为（6，﹣6），
设直线L 的解析式为y＝kx+b，
2
∴ ，解得 ，
∴直线L 的解析式为y＝﹣2x+6，
2
∵点P（a，4）是直线L 上一点，
2
∴﹣2a+6＝4，
解得a＝1．
12．（2021秋•无锡期末）如图1，点A的坐标为（4，0），点B为y轴正半轴
上一个动点，将点A绕着点B顺时针旋转90°到C的位置．
（1）若点C的横坐标为：﹣2，求直线AB的函数表达式；
（2）如图 2，若 x 轴恰好平分∠BAC，BC 与 x 轴相交于点 E，过点 C 作
CD⊥AE于点D，试探究AE与CD的数量关系；
（3）如图3，将点O绕着点B逆时针旋转90°到点D，连接DC，在点B的运
动过程中，CD与y轴相交于点F，则线段BF的长度是否改变？若不变，求
出BF的长度，若改变，请说明理由．【答案】（1）y＝ x+2 （2） AE＝2CD （3）BF＝FG＝ BG＝2
【解答】解：（1）过点C作CG⊥y轴于点G，
则∠BGC＝∠AOB＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°，
∵∠CBG+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBG，
∵A（4，0），点C的横坐标为﹣2，
∴OA＝4，CG＝2，
由旋转可知：BA＝BC，
在△ABO和△BCG中，
，
∴△ABO≌△BCG（AAS），
∴BG＝OA＝4，OB＝CG＝2，
∴B（0，2），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（4，0），B（0，2）代入，得：
，
解得： ，
∴直线AB的解析式为y＝ x+2；
（2）如图2，延长CD与AB交于点H，
∴∠CBH＝90°，
∵CD⊥x轴，
∴∠BCH+∠H＝90°，
∵∠HAD+∠H＝90°，
∴∠BCH＝∠HAD，
由旋转可知：BA＝BC，
在△CHB和△AEB中，，
∴△CHB≌△AEB（ASA），
∴AE＝CH，
∵x轴平分∠BAC，CD⊥x轴，
∴CD＝DH，
∴CH＝2CD，
∴AE＝2CD；
（3）线段BF的长度不改变．
如图3，过点C作CG⊥y轴于点G，
由（1）知：△ABO≌△BCG，
∴OB＝CG，BG＝OA＝4，
∵将点O绕着点B逆时针旋转90°到点D，
∴∠DBF＝∠CGF＝90°，DB＝OB，
∴DB＝CG，
在△DBF和△CGF中，
，
∴△DBF≌△CGF（AAS），
∴BF＝FG＝ BG＝2．13.（2021秋•兴化市期末）如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线y＝kx+4与x
轴、y轴分别交于A、B两点，4OA＝3OB．
（1）求k的值；
（2）点P在线段AB上，连接OP．若S ＝3S ，求点P的坐标；
△AOB △BOP
（3）将直线AB绕点A逆时针旋转45°后得到直线AC，求直线AC的表达式．
【答案】（1）k＝﹣ (2)（1， ）． (3)y＝﹣ x+ ．
【解答】解：（1）直线y＝kx+4中，令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4），
∴OB＝4，
∵4OA＝3OB，
∴OA＝3，
由图可知点A在x轴的正半轴，∴A（3，0），
∴3k+4＝0，
∴k＝﹣ ．
（2）由（1）知OA＝3，OB＝4，y＝﹣ x+4，
∴S ＝ •OA•OB＝ ×3×4＝6，
△AOB
∵S ＝3S ，
△AOB △BOP
∴S ＝ S ＝2．
△BOP △AOB
过点P作PM⊥y轴于点M，
∴S ＝ •OB•PM＝2，即 ×4PM＝2，
△BOP
∴PM＝1，即点P的横坐标为1，
当x＝1时，y＝﹣ ×1+4＝ ；
∴点P的坐标为（1， ）．
（3）将直线AB绕点A逆时针旋转45°后得到直线AC，则∠BAC＝45°，如
图，过点B作BD⊥AB交直线AC于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，
∴∠BED＝∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠OBD＝∠BDE+∠OBE＝90°，
∴∠ABO＝∠BDE，
∵∠BAC＝45°，∴∠BDA＝45°，
∴BD＝AB，
∴△BDE≌△ABO（AAS），
∴BE＝OA＝3，DE＝OB＝4，
∴OE＝OB﹣BE＝1，
∴D（﹣4，1），
设直线AC的解析式为：y＝mx+n，
∴ ，解得 ，
∴直线AC的表达式为：y＝﹣ x+ ．
