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2018年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项。
1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（ ）
A．{0，1} B．{﹣1，0，1}
C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}
2．（5分）在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算
出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度
音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频
率与它的前一个单音的频率的比都等于 ．若第一个单音的频率为f，则第
八个单音的频率为（ ）
A． f B． f C． f D． f
第1页 | 共6页5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的
个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（5分）设 ， 均为单位向量，则“| ﹣3 |=|3 + |”是“ ⊥ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（5分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0
的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（5分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（ ）
A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）∉A
C．当且仅当a＜0时，（2，1）∉A D．当且仅当a≤ 时，（2，1）∉A
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．（5分）设{a }是等差数列，且a =3，a +a =36，则{a }的通项公式为
n 1 2 5 n
．
10．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a
= ．
11．（5分）设函数f（x）=cos（ωx﹣ ）（ω＞0），若f（x）≤f（ ）对任
意的实数x都成立，则ω的最小值为 ．
第2页 | 共6页12．（5分）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是 ．
13．（5分）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[
0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是 ．
14．（5分）已知椭圆M： + =1（a＞b＞0），双曲线N： ﹣ =1．若
双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正
六边形的顶点，则椭圆M的离心率为 ；双曲线N的离心率为 ．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（13分）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣ ．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC边上的高．
16．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A B C 中，CC ⊥平面ABC，D，E，F，G
1 1 1 1
分别为AA ，AC，A C ，BB 的中点，AB=BC= ，AC=AA =2．
1 1 1 1 1
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C 的余弦值；
1
（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．
第3页 | 共6页17．（12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类
电影的概率；
（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的
概率；
（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“
ξ =1”表示第k类电影得到人们喜欢．“ξ =0”表示第k类电影没有得到人们喜欢
k k
（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差Dξ ，Dξ ，Dξ ，Dξ ，Dξ ，Dξ 的大小
1 2 3 4 5 6
关系．
18．（13分）设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；
（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围．
第4页 | 共6页19．（14分）已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2），过点Q（0，1）的直线l
与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N
．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点， =λ ， =μ ，求证： + 为定值．
第5页 | 共6页20．（14分）设n为正整数，集合A={α|α=（t ，t ，…t ），t ∈{0，1}，k=1，2
1 2 n k
，…，n}，对于集合A中的任意元素α=（x ，x ，…，x ）和β=（y ，y ，…
1 2 n 1 2
y ），记
n
M（α，β）= [（x +y ﹣|x ﹣y |）+（x +y ﹣|x ﹣y |）+…（x +y ﹣|x ﹣y |）]
1 1 1 1 2 2 2 2 n n n n
（Ⅰ）当n=3时，若α=（1，1，0），β=（0，1，1），求M（α，α）和M（α，β
）的值；
（Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相
同时，M（α，β）是奇数；当α，β不同时，M（α，β）是偶数．求集合B中
元素个数的最大值；
（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的
元素α，β，M（α，β）=0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理
由．
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