文档内容
专题 08 一元一次不等式（组）及其应用
目录
模块一：基础知识....................................................................................................................................................3
考点一：不等式（组）的定义........................................................................................................................3
考点二：不等式的性质....................................................................................................................................3
考点三：几种常见的不等式组的解集............................................................................................................3
考点四：不等式(组)与实际问题......................................................................................................................4
模块二：题型分类....................................................................................................................................................4
考点一：不等式及不等式的基本性质............................................................................................................4
题型一：不等式的概念及意义........................................................4
题型二：列不等式..................................................................4
题型三：取值是否满足不等式........................................................5
题型四：利用不等式的性质判断式子正负..............................................5
题型五：根据点在数轴位置判断式子正负..............................................6
题型六：利用不等式的性质比较大小..................................................7
题型七：利用不等式的性质证明（不）等式............................................9
题型八：利用不等式的性质确定参数的取值范围.......................................10
题型九：不等式性质的应用.........................................................11
考点二：一元一次不等式..............................................................................................................................11
题型一：判断一元一次不等式.......................................................11
题型二：一元一次不等式定义求参数值...............................................11
题型三：求一元一次不等式解集.....................................................11
题型四：利用数轴表示一元一次不等式解集...........................................12
题型五：一元一次不等式整数解问题.................................................13
题型六：根据含参数不等式解集的情况求参数的取值范围...............................14
题型七：与一元一次不等式有关的新定义问题.........................................14
题型八：含绝对值的一元一次不等式.................................................15
题型九：不等式与方程组综合求参数的取值范围.......................................17
考点三：一元一次不等式组..........................................................................................................................17
题型一：一元一次不等式组定义.....................................................17
题型二：解不等式组...............................................................17
题型三：求不等式组整数解.........................................................18
题型四：由不等式组整数解求字母取值范围...........................................18
题型五：由不等式组的解集求参数...................................................19
题型六：与不等式组有关的新定义问题...............................................19
题型七：根据程序图解不等式组.....................................................21
题型八：不等式组与方程的综合.....................................................21
题型九：步骤分析过程性问题.......................................................21
考点四：不等式（组）的实际应用..............................................................................................................23
题型一：几何问题.................................................................23
题型二：最值问题.................................................................25
题型三：最大利润.................................................................26
题型四：方案选择.................................................................27
题型五：其他问题.................................................................29
题型六：代数推理.................................................................30专题 08 一元一次不等式（组）及其应用
模块一：基础知识
考点一：不等式（组）的定义
定义1：用符号“＜”或“＞”表示大小关系的式子，叫做不等式。用符号“≠”表示不等关系的式
子也是不等式。
定义2：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
定义3：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集。
定义4：求不等式的解集的过程叫做解不等式。
定义5：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1。
定义6：几个不等式的解集的公共部分，叫做由他们所组成的不等式组的解集，当任何数x都不能使
不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
考点二：不等式的性质
性质1：若a＞b，则a±c＞b±c。不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
性质2：若a＞b，c＞0，则ac＞bc， ＞ 。不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
性质3：若a＞b，c＜0，则ac＜bc， ＜ 。不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
对于不等式组，应先求出各不等式的解集，然后在数轴上表示，找出解集的公共部分。
考点三：几种常见的不等式组的解集
设 ， ， 是常数，关于 的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空
心圆点表示）：
不等式组
数轴表示 解集 口诀
（其中 ）
同大取大
同小取小
大小、小大中间找无解 大大、小小取不了
考情总结：一元一次不等式（组）的解法及其解集表示的考查形式如下：
（1）一元一次不等式（组）的解法及其解集在数轴上的表示；
（2）利用一次函数图象解一元一次不等式；
（3）求一元一次不等式组的最小整数解；
（4）求一元一次不等式组的所有整数解的和．
考点四：不等式 ( 组 ) 与实际问题
解有关不等式(组)实际问题的一般步骤：
第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。
第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。
第3步：列不等式(组)。根据题中各个量的关系列不等式(组)。
第4步：解不等式(组)，找出满足题意的解(集)。
第5步：答。
模块二：题型分类
考点一：不等式及不等式的基本性质
题型一：不等式的概念及意义
1.语句“ 的 与 的和不超过 ”可以表示为（ ）
A． B． C． D．
2.某养生钙奶饮料中的包装瓶上标注“每100克内含钙＞150毫克”，它的含义是指（ ）
A．每100克内含钙150毫克 B．每100克内含钙不低于150毫克
C．每100克内含钙高于150毫克 D．每100克内含钙不超过150毫克
3.以下表达式：①4x+3 y≤0；②a>3；③x2+xy；④a2+b2=c2；⑤x≠5．其中不等式有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
题型二：列不等式
1.小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元
零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（ ）
A．52+15n＞70+12n B．52+15n＜70+12n C．52+12n＞70+15n D．52+12n＜70+15n2.燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过10m以外的安全区域．已
知导火线的燃烧速度为 0.02m/s，人离开的速度为4m/s，则导火线的长x（m）应满足的不等式为（
）
A． B． C． D．
3.a是非负数的表达式是（ ）
A．a＞0 B．|a|≥0 C．a＜0 D．a≥0
4.如图1，一个容量为500cm3的杯子中装有200cm3的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没
有满，如图2．设每颗玻璃球的体积为x cm3，根据题意可列不等式为（ ）
A．200+4x＜500 B．200+4x≤500
C．200+4x＞500 D．200+4x≥500
5.下面列出的不等式中，正确的是（ ）
A．“m不是负数”表示为m>0 B．“m不大于5”表示为m<5
C．“n与4的差是正数”表示为n−4>0 D．“n不等于4”表示为n>4
6.乌鞘岭是陇中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超过3500米．若用x（米）表示乌鞘岭主峰的海
拔高度，则x满足的关系为（ ）
A．x<3500 B．x≤3500 C．x≥3500 D．x>3500
题型三：取值是否满足不等式
1.当x=4时，不等式成立的是（ ）
1
A．x+1<4 B． x>2 C．2x+1<5 D．3x−2>9
2
2.在−√2,−2,1,−3四个数中，满足不等式x<−2的有（ ）
A．－2 B．－3 C．−√2 D．1
3.满足x⩽3的最大整数x是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型四：利用不等式的性质判断式子正负
1.若﹣3a＞1，两边都除以﹣3，得（ ）
A．a＜﹣ B．a＞﹣ C．a＜﹣3 D．a＞﹣32.若a＞b，则（ ）
A．a﹣1≥b B．b+1≥a C．a+1＞b﹣1 D．a﹣1＞b+1
3.已知a−1>0，则下列结论正确的是（ ）
A．−1<−a−3x B． x2≥−3x C． x2<−3x D． x2≤−3x
5.如果a＞b，那么下列运算正确的是（ ）
A．a﹣3＜b﹣3 B．a+3＜b+3 C．3a＜3b D． ＜
6.如果x＜y，那么下列不等式正确的是（ ）
A．x﹣1＞y﹣1 B．x+1＞y+1 C．﹣2x＜﹣2y D．2x＜2y
7.已知a＞b，下列结论：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，则a+b＜2b；④若b＞0，则 ＜ ，其中
正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8.已知a>b，则下列不等式变形不正确的是（ ）
a b
A．a−2>b−2 B．−2a>−2b C．a+2>b+2 D． >
2 2
9.已知a,b,c,d是实数，且a−b>c−d，下列说法一定正确的是（ ）
A．若b=d，则a>c B．若a=c，则b>d C．若b>d，则a>c D．若a>c，则b>d
10.设x，y，c为实数，则（ ）
A．若x＞y，则x+3c>y−2c B．若x＞y，则xc>yc
x y
C．若x＞y，则xc2>yc2 D．若 > ，则x＞y
c2 c2
题型五：根据点在数轴位置判断式子正负
1.在实数a,b,c中，若a+b=0,b−c>c−a>0，则下列结论：①|a|>|b|，②a>0，③b<0，④c<0，
正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一
定成立的是（ ）
A．a+b<0 B．b−a<0 C．2a>2b D．a+2−b−c B．ac>bc C．|a−b|=a−b D．a<−b<−c
4.如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一
定成立的是（ ）
A．a+b<0 B．b−a<0 C．−2a>−2b D．|a|>|b|
5.如图所示，数轴上有O、A、B、C四点位置与各点所表示的数，若数轴上有一点D，D点所表示的数为
d，|d−5|=|d−c|，则D点的位置（ ）
A．在A的左边 B．在A、C之间 C．在C、O之间 D．在O、B之间
6.m，n在数轴上对应的点如图所示，下列各式正确的是（ ）
A．xb，那么下列运算正确的是（ ）
a b
A．a−30)的大小顺序是（ ）
A．−m−2 ．
n n−1
2.学以致用：问题1：怎样用长为12cm的铁丝围成一个面积最大的矩形？
小学时我们就知道结论：围成正方形时面积最大，即围成边长为3cm的正方形时面积最大为9cm2．请
用你所学的二次函数的知识解释原因．
思考验证：问题2：怎样用铁丝围一个面积为9m2且周长最小的矩形？
小明猜测：围成正方形时周长最小．
为了说明其中的道理，小明翻阅书籍，找到下面的材料：
结论：在a+b⩾2√ab(a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b⩾2√p，当且仅当a=b时，a+b
有最小值2√p．
a+b⩾2√ab (a,b均为正实数）的证明过程：
对于任意正实数a、b，∵ (√a−√b) 2 ⩾0,∴ a−2√ab+b⩾0,
∴ a+b⩾2√ab，当且仅当a=b时，等号成立．
解决问题：
4
（1）若x>0，则x+ ⩾ （当且仅当x= 时取“=” )；
x
（2）运用上述结论证明小明对问题2的猜测；
x2+3
（3）当x>−1时，求y= 的最小值．
x+1
3.2002年国际数学大会的会徽设计的基础是公园3世纪中四数学家赵爽为证明勾股定理绘制的弦图（如
图1），该图蕴含着丰富的不等关系，例如，正方形的面积大于4个直角三角形的面积之和…
设直角三角形的边长为a，b，则S >4S ，(a2+b2)>4 (1 ab ) ，即a2+b2>2ab；
正方形 RT△ 2
当a=b时，中间小正方形收缩为一个点，此时正方形的面积每于4个直角三角形的面积之和，即
a2+b2=4 (1 ab ) =2ab，
2综上所述，a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立．
使用上述结论，“a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立”解决下列问题：
(1)证明：“若a，b为正实数，则a+b≥2√ab．当且仅当a=b时等号成立”．
(2)a，b均为实数，若ab为定值4，则a+b有最小值________；若a+b为定值6，则ab有最大值
_________．
1
(3)请结合函数图象（图2）研究y=x+ 中函数值y的取值范围．
x
1
(4)如图3，已知P是反比例函数y= (x>0)图象上任意一动点，O(0,0)，A(−1,a)，其中a是常数，
x
a>0，试求S 的最小面积（用a表示）．
△POA
a
4.将a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的浓度为 (b>a>0)．
b
(1)再往杯中加入m(m>0)克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为______；
(2)请证明（1）中的数学关系式；
a b c
(3)在△ABC中，三条边的长度分别为a,b,c，证明： + + <2．
b+c c+a a+b
题型八：利用不等式的性质确定参数的取值范围
1.若x3 B．a<3 C．a⩾3 D．a⩽3
2.若a=3√5−2，则a的取值范围是（ ）
A．2 ，则a的取值范围为 ．
a+2
4.已知实数x，y，a满足x+3 y+a=4， x−y−3a=0．若−1≤a≤1，t=x+ y，那么t的取值范围是．题型九：不等式性质的应用
1.实数a、b、c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是（ ）
A． B． C． D．
2.已知实数a，b，c满足a+2b=3c，则下列结论不正确的是（ ）
a−c c−a
A．a−b=3(c−b) B． =c−b C．若a>b，则a>c>b D．若a>c，则b−a>
2 2
3.若x+ y=3，x≥0，y≥0，则2x+3 y的最小值为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．9
考点二：一元一次不等式
题型一：判断一元一次不等式
1.下列各式中，是一元一次不等式的有（ ）个．
1 x−1 x+1
①a−3＜2；②−x− ＞3；③x−y＜0；④x2+3x≤1；⑤ ＞
x 3 2
A．1 B．2 C．3 D．0
2.在数学表达式：−3<0，a+b，x=3，x2+2xy+ y2，x≠5，x+2>y+3中，是一元一次不等式的有
（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型二：一元一次不等式定义求参数值
1.若(k−1)x|k|+3≥0是关于x的一元一次不等式，则k的值为 ．
2
2.已知 （m+4）x|m|–3+6＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
3
A．4 B．±4 C．3 D．±3
3.若(m−1)x|m|−3>0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．−1 D．±1
题型三：求一元一次不等式解集
1.不等式x+8<4x−1的解集是（ ）
1
A．x<3 B．x>3 C．x<−3 D．x>−
3
2.下列变形中正确的是（ ）
1
A．由−2x<1，得x<− B．由2x+1>3x−1，得x>−2
2
C．由2x+1>x−1，得x>2 D．由x+2<2x−2，得x>4x−3
3.不等式 ≥1的解集为 ．
2
x+1
4.解不等式：2x−3< ．
3
题型四：利用数轴表示一元一次不等式解集
4.解不等式 ，下列在数轴上表示的解集正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
2.不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.不等式3x＋1＜2x的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4.关于x的一元一次不等式x−1≤m的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
5.已知点M(1−2m，m−1)在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．6.不等式组¿的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
7.解不等式组¿，把解集在数轴上表示出来，并写出整数解．
8.不等式x−1≥2x的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
9.一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）
A．x+2>0 B．x−2<0 C．2x≥4 D．2−x<0
x−1 x−3
10.解不等式 ≥ +1，并在数轴上表示解集．
3 2
题型五：一元一次不等式整数解问题
1.不等式x−2≤1的最大整数解是 ．
2.不等式x−1<√5的正整数解的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
(1 )
3.整式3 −m 的值为P．
3
(1)当m＝2时，求P的值；(2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．8+x x
4.求一元一次不等式1− ≤ 的负整数解．
3 2
9x+8 x
5.解不等式： − ≥−1，并写出该不等式的最小整数解．
6 3
1 x2−2x+1
6.先化简，再求值：( −1)÷ ，其中x是不等式2x−1<6的正整数解．
2−x x2−4
题型六：根据含参数不等式解集的情况求参数的取值范围
1.关于x的不等式x−b≥0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（ ）
A．−30，则a
a−b2 3−3x
的取值范围是（ ）
A．a<1 B．a>1 C．a<3 D．a>3
5.定义运算“a☆b”为：当a≥b时，a☆b=a+b；当a8则m的取值范围为
（ ）
A．m>2 B．m>5 C．25
b
6.定义新运算：对于任意实数a，b（a≠0）都有a*b= ﹣a+b，等式右边是通常的加、减、除运算，比如
a
1 1
2*1= ﹣2+1=﹣ ．
2 2
（1）求4*5的值：
（2）若2*（x+2）不大于4，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来．
7.定义一种新的运算※，对于任意实数a和b，规定a※b=ab2+ab+a，例如：
2※5=2×52+2×5+2=62．
(1)求5※(−2)的值．
(2)若(m−√2)※2>14，求m的取值范围．
题型八：含绝对值的一元一次不等式
1.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”；数形结合是解决数学问题的重要思
想方法.例如，代数式|x−2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为
|x+1|=|x−(−1)|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与−1所对应的点之间的距离．
⑴. 发现问题：代数式|x+1|+|x−2|的最小值是多少？
⑵. 探究问题：如图，点A,B,P分别表示的是−1, 2, x ，AB=3．
∵|x+1|+|x−2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和
∴当点P在线段AB上时，PA+PB=3;当点点P在点A的左侧或点B的右侧时 PA+PB>3
∴|x+1|+|x−2|的最小值是3．
⑶.解决问题：①.|x−4|+|x+2|的最小值是 ；
②.利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x−1|>4
③.当a为何值时，代数式|x+a|+|x−3|的最小值是2．
2.（1）【阅读理解】“|a|”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离，所以“|a|≥2”可理
解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不小于2，则：
①“|a|<2”可理解为 ；
②请列举两个符号不同的整数，使不等式“|a|>2”成立，列举的a的值为 和 ．
我们定义：形如“|x|≤m，|x|≥m，|x|m”（m为非负数）的不等式叫做绝对值不等
式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集．
（2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式．
由上图可以得出：绝对值不等式|x|>1的解集是x<−1或x>1，
绝对值不等式|x|≤3的解集是−3≤x≤3．则：
①不等式|x|≥4的解集是 ．
1
②不等式| x|<2的解集是 ．
2
（3）【拓展应用】解不等式|x+1|+|x−3|>4，并画图说明．
3.数学实验室：
A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距
离AB=|a−b|．利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是 ；
(2)数轴上表示x和−2的两点之间的距离表示为 ；
(3)若x表示一个有理数，且−33 a−1<0 3x−5>0 3x<5
A．{ B．{ C．{ D．{
x−3<2 b+2>0 4x+2<0 2x−1<9
2.下列不等式组：①¿，②¿，③¿，④¿，⑤¿．其中一元一次不等组的个数是( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
题型二：解不等式组
1.一元一次不等式组¿的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2.解不等式组：¿
3.解不等式组¿并将其解集在数轴上表示出来．题型三：求不等式组整数解
1.已知三角形的两边长分别是1、2，第三边为整数且为不等式组¿的解，求这个三角形的周长．
2.不等式组¿的整数解的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
3.不等式组¿的所有整数解的和是 ．
4.满足不等式组¿的整数是 ．
5.解不等式组：¿，并写出它的正整数解．
6.解不等式组：¿，并写出它的所有整数解．
2 x−1
7.先化简，再求值： ÷（1﹣ ），其中x是不等式组¿的整数解．
x2+x x2−1
8.解不等式组：¿，并求出最小整数解与最大整数解的和．
题型四：由不等式组整数解求字母取值范围
1.不等式组¿有4个整数解，则m的取值范围是（ ）
A．6≤m≤7 B．62
3.若关于x的一元一次不等式组¿的解集为x<2，则a的取值范围是 ．
4.若不等式组¿的解集为x＞3，则m的取值范围 ．
5.关于x、y的方程组¿的解满足x>0，y<0，求实数a的取值范围．
题型六：与不等式组有关的新定义问题
1.对x，y定义一种新的运算F，规定：F（x，y）＝¿时，若关于正数x的不等式组¿恰好有2个整数解，
则m的取值范围是（ ）
A．−3≤m<5 B．56，则a的取值范围是
．
3.定义新运算：a⊗b=2a−b+3．例如，5⊗4=2×5−4+3，则不等式组¿的解集为( )
A．x>3 B．3−9的解为x>−4，∵−3≤x<4在
x>−4的范围内，∴一元一次不等式组¿是一元一次不等式2x−1>−9的“子集”．
问题解决
（1）不等式组：①¿，②¿，③¿中，是不等式2x>3的“子集”的是_________；（填序号）
（2）若关于x的不等式组¿是关于x的不等式2x−k<2的“子集”，求k的取值范围；
问题拓展
（3）若关于x的不等式组¿的解集不是关于x的不等式(m−5)x95”为一次程序操作，如果程序操作进行了
三次才停止，那么x的取值范围是（ ）A．12.751 B．13x−1 第1步
4−4x+2>3x−1 第2步
−4x−3x>−1−4−2
−7x>−7 第3步
x>1 第4步
任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是
_______；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
x−1 8+3x
2.下面是小星解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． − ≤−1．
2 5解：去分母，得5(x−1)−2(8+3x)≤−10，第一步
去括号，5x−5−16+6x≤−10，第二步
移项，得5x+6x≤−10+5+16，第三步
合并同类项，得11x≤11，第四步
系数化为1，得x≤1．第五步
填空：①上述解题过程中，第一步是依据______进行变形的；
②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
3.以下是圆圆解不等式组¿的过程：
解：由①，得x＜﹣2．
由②，得3﹣x＞1+2x
所以x＞4
所以原不等式组无解．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．
2x+1 x+2
4.下面是小颖同学解一元一次不等式 − <2的解答过程，请认真阅读并完成相应任务．
3 6
解：去分母，得2(2x+1)−(x+2)<12，…………第一步
去括号，得4x+2−x+2<12，……………第二步
移项、合并同类项，得3x<8，……………第三步
8
两边都除以3，得x< …………………第四步
3
任务一：填空：
①以上运算步骤中，去分母的依据是 ；
②第二步变形所依据的运算律是 ；
③第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
任务二：请直接写出正确的计算结果．
考点四：不等式（组）的实际应用
题型一：几何问题
1.已知三角形两边的边长分别为3、4，则第三边长度的取值范围在数轴上表示为（）A． B．
C． D．
2.用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 AC=30m，要使靠墙的一边长不小于
25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（ ）
10 10 10
A．0≤x≤5 B．x≥ C．0≤x≤ D． ≤x≤5
3 3 3
3.已知△ABC的三个内角互不相等，如果∠A为最小的内角，那么下列四个度数中，∠A最大可取
（ ）
A．20∘ B．58∘ C．60∘ D．89∘
4.某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划
以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价 元．
5.小明同学在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了一个内角，结果得到的总和是800°，则少算了
这个内角的度数为 ．6.阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交
水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，A块种植杂交水稻，B块种植普通水稻，A
块试验田比B块试验田少4亩．
(1)A块试验田收获水稻9600千克、B块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是
多少千克？
(2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700
千克，那么至少把多少亩B块试验田改种杂交水稻？
7.某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800
4
元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的 ．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36
5
元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．
（1）求两种品牌洗衣液的进价；
（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超
市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多
少元？
8.某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为100元，销售价格为120元，B产
品每件成本为75元，销售价格为100元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出．
(1)第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求这个月生产A，B
两种产品各多少件？
(2)下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产品至少要生产多少
件？
9.为了解决雨季时城市内涝的难题，我市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长 3600米
的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了 20%，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任
务．
(1)求实际施工时，每天改造管网的长度；
(2)施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过 40
天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？
10.为了传承雷锋精神，某中学向全校师生发起“献爱心”募捐活动，准备向西部山区学校捐赠篮球、足
球两种体育用品．已知篮球的单价为每个100元，足球的单价为每个80元．
(1)原计划募捐5600元，全部用于购买篮球和足球，如果恰好能够购买篮球和足球共 60个，那么篮球和
足球各买多少个？
(2)在捐款活动中，由于师生的捐款积极性高涨，实际收到捐款共 6890元，若购买篮球和足球共80个，
且支出不超过6890元，那么篮球最多能买多少个？题型二：最值问题
1.日前市教育局发布了《佛山市教育局关于做好2025年我市初中毕业升学体育考试工作的通知》，确定
了考试项目可由学生自行选择．某校为了保证九年级毕业生有足够的训练器材，计划增购一批篮球和足
球，如果购买20个足球和15个篮球，共需2050元；如果购买10个足球和20个篮球，共需1900元．
(1)足球与篮球的单价分别为多少元？
(2)若学校计划用不超过2800元的经费购买足球和篮球共50个，且足球数不多于篮球数的3倍，则最多
购买多少个篮球？
2.某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病霉．若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一
共需要615元：若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元．
（1）每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液a桶，且甲消毒液的数量至少比乙
消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍．怎样购买．才能使总费用W最少？并求出最少
费用，
3.“广安盐皮蛋”是小平故里的名优特产，某超市销售AB两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱A种盐皮蛋和6
箱B种盐皮蛋共需390元；若购买5箱A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元．
(1)A种盐皮蛋、B种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？
(2)若某公司购买AB两种盐皮蛋共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，
怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
4.蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为
响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买 两种型号的帐
篷．若购买 种型号帐篷2顶和 种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买 种型号帐篷3顶和 种型号
帐篷1顶，则需2800元．
(1)求每顶 种型号帐篷和每顶 种型号帐篷的价格；
(2)若该景区需要购买 两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买 种型号帐篷数量
不超过购买 种型号帐篷数量的 ，为使购买帐篷的总费用最低，应购买 种型号帐篷和 种型号帐篷各
多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
5.某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满．
（1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？
（2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种
租车方案？
（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合
算？
6.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提
高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共 100本，已知购买2本甲种书和1本乙
种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
7.某中学要为体育社团购买一些篮球和排球，若购买3个篮球和2个排球，共需560元；若购买2个篮球
和4个排球，共需640元．
（1）求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元；
（2）该中学决定购买篮球和排球共10个，总费用不超过1100元，那么最多可以购买多少个篮球？
题型三：最大利润
1.某经销商计划购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品2件，B种农产品3件，共需690元；购进A
种农产品1件，B种农产品4件，共需720元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产
品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那
么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
2.某电子商品经销店欲购进A、B两种平板电脑，若用9000元购进A种平板电脑12台，B种平板电脑3台；
也可以用9000元购进A种平板电脑6台，B种平板电脑6台．
(1)求A、B两种平板电脑的进价分别为多少元？
(2)考虑到平板电脑需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的平板电脑，已知A型平
板电脑售价为700元/台，B型平板电脑售价为1300元/台．根据销售经验，A型平板电脑不少于B型平板
电脑的2倍，但不超过B型平板电脑的2.8倍．假设所进平板电脑全部售完，为使利润最大，该商城应如
何进货？
题型四：方案选择
1.已知有A、B两种不同规格的货车共50辆，现计划分两趟把甲种货物306吨和乙种货物230吨运往某地，
先用50辆货车共同运输甲种货物，再开回共同运输乙种货物.其中每辆车的最大装载量如表：
最大装载量（吨） A型货车 B型货车甲种货物 7 5
乙种货物 3 7
(1)装货时按此要求安排A、B两种货车的辆数，共有几种方案.
(2)使用A型车每辆费用为600元，使用B型车每辆费用800元.在上述方案中，哪个方案运费最省?最省的
运费是多少元?
(3)在（2）的方案下，现决定对货车司机发共2100元的安全奖，已知每辆A型车奖金为m元，每辆B型
车奖金为n元，38
