专题22多边形与平行四边形（解析版）_中考数学一轮复习word_解析版

专题 22 多边形与平行四边形 模块一：基础知识....................................................................................................................................................2 考点一：多边形的相关概念............................................................................................................................2 考点二：平行四边形的性质与判定................................................................................................................2 考点三：三角形的中位线................................................................................................................................3 模块二：题型分类....................................................................................................................................................4 考点一：多边形的相关概念............................................................................................................................4 题型一：多边形的概念及分类........................................................4 题型二：计算网格中不规则多边形面积................................................6 题型三：计算多边形对角线条数.....................................................12 题型四：对角线分三角形个数问题...................................................19 题型五：多边形内角和问题.........................................................20 题型六：已知多边形内角和求边数...................................................27 题型七：多边形的割角问题.........................................................31 题型八：多边形的外角问题.........................................................34 题型九：内角和外角和平行线综合运用...............................................36 题型十：内角和外角和角平分线综合运用.............................................42 题型十一：内角和外角和综合运用...................................................47 题型十二：多边形外角和的实际应用.................................................56 题型十三：平面镶嵌...............................................................58 考点二：平行四边形的性质与判定..............................................................................................................66 题型一：平行四边形的性质求解.....................................................66 题型二：平行四边形的性质证明.....................................................77 题型三：判断已知条件能否构成平行四边形...........................................89 题型四：添加一个条件使四边形成为平行四边形.......................................94 题型五：数平行四边形个数.........................................................96 题型六：求与已知三点组成平行四边形的点的个数.....................................99 题型七：证明四边形是平行四边形..................................................103 题型八：与平行四边形有关的新定义问题............................................120 题型九：利用平行四边形的性质与判定求解..........................................140 题型十：利用平行四边形的性质与判定证明..........................................149 题型十一：平行四边形性质与判定的应用............................................159 考点三：三角形中位线................................................................................................................................167 题型一：三角形中位线有关的计算..................................................167 题型二：三角形中位线与三角形面积计算问题........................................174 题型三：与三角形中位线有关的证明................................................178 题型四：三角形中位线的实际应用..................................................193 题型五：与三角形中位线有关的规律探究............................................194 题型六：与三角形中位线有关的格点作图............................................200 题型七：构造三角形中位线的常用方法..............................................208专题 22 多边形与平行四边形 模块一：基础知识 考点一： 多边形的相关概念 1.多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. 3.多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了 (n–2) n(n−3) 个三角形，n边形的对角线条数为 2 4.多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（n≥3）. 5.解题技巧 （1）n边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180°. （2）任意多边形的内角和均为180°的整数倍. （3）利用多边形内角和定理可解决三类问题：①已知多边形的边数求内角和； ②已知多边形的内角和求边数； ③已知足够的角度条件下求某一个内角的度数． 6.多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关. 7.正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形. 8.解题技巧 （n−2）×180° 360° （1）正n边形的每个内角为 ，每一个外角为 ． n n （2）正n边形有n条对称轴． （3）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形． 9.易错混淆 多边形的有关计算公式有很多，一定要牢记，代错公式容易导致错误： ①n边形内角和＝（n－2）×180°（n≥3）. ②从n边形的一个顶点可以引出（n-3）条对角线，n个顶点可以引出n（n-3）条对角线，但是每条对角 n(n−3) 线计算了两次，因此n边形共有 条对角线. 2 ③n边形的边数＝（内角和÷180°）＋2. ④n边形的外角和是360°. ⑤n边形的外角和加内角和＝n×180°. ⑥在n边形内任取一点O，连接O与各个顶点，把n边形分成n个三角形；在n边形的任意一边上任取一 点O，连接O点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成（n－1）个三角形；连接n边形的任一 顶点A与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成（n－2）个三角形．考点二：平行四边形的性质与判定 1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2.平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 3.平行四边形的性质： （1）对边平行且相等； （2）对角相等、邻角互补； （3）对角线互相平分； （4）平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心. 4.解题技巧 （1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半． （2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题． （3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长． （4）如图①，AE平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABE为等腰三角形，即 AB=BE． （5）如图②，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S △BEC =S △ABE +S △CDE ． （6）如图③，根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD． A A A E D D D F B B E C C B E C 图① 图② 图③ 5.平行四边形的判定定理： ①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形． ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形． ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． 6.解题技巧 一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路： （1）当已知条件中有关于所证四边形的角时，可用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来证 明； （2）当已知条件中有关于所证四边形的边时，可选择“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”或 “两组对边分别平行的四边形是平行四边形”或“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证 明； （3）当已知条件中有关于所证四边形的对角线时，可选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来 证明． 考点三：三角形的中位线 1.三角形中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线. 2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 3.三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行. 数量关系：可以证明线段的倍分关系. 4.常用结论：任意一个三角形都有三条中位线，由此有：结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半. 结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形. 结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形. 结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分. 结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等. 模块二：题型分类 考点一：多边形的相关概念 题型一：多边形的概念及分类 1.蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的对称轴有（ ） A．4条 B．5条 C．6条 D．9条 【答案】C 【解答】解：如图，正六边形的对称轴有6条． 故答案为：C． 2．下列图形中，正多边形的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 3.下列命题正确的是（ ） A．每个内角都相等的多边形是正多边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线D．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分 【答案】B 【分析】分别根据正多边形的判定、平行四边形的判定、线段垂直平分线的判定以及三角形中线的性质 逐项进行判断即可得到结论． 【详解】解：A.每个内角都相等，各边都相等的多边形是正多边形，故选项A的说法错误，不符合题意； B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形,说法正确，故选项B符合题意； C. 过线段中点且垂直这条线段的直线是线段的垂直平分线，故选项C的说法错误，不符合题意； D. 三角形的中位线将三角形的面积分成1∶3两部分，故选项D的说法错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了对正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断以及三角形中线性质的认识， 熟练掌握正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断是解答此题的关键． 4．下列命题中，正确的是（ ） A．正多边形都是中心对称图形 B．正六边形的边长等于其外接圆的半径 C．边数大于3的正多边形的对角线长都相等 D．各边相等的圆外切多边形是正多边形 【答案】B 【分析】根据正多边形的性质、正多边形的对角线、正多边形的概念判断即可． 【详解】解：A、边数是偶数的正多边形都是中心对称图形，边数是奇数的正多边形不是中心对称图形， 故本选项说法错误，不符合题意； B、正六边形的边长等于其外接圆的半径，本选项说法正确，符合题意； C、边数大于3的正多边形的对角线长不都相等，可以以正八边形为例得出对角线长不都相等，故本选项 说法错误，不符合题意； D、各边相等的圆外切多边形不一定是正多边形，例如，圆外切菱形边数正多边形，故本选项说法错误， 不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真 假关键是要熟悉课本中的性质定理． 5.在等边三角形、正五边形、正六边形、正七边形中，既是轴对称又是中心对称的图形是（ ） A．等边三角形 B．正五边形 C．正六边形 D．正七边形 【答案】C 【分析】根据正多边形的性质和轴对称图形、中心对称的图形的识别进行判断即可． 【详解】解：由正多边形的性质知，偶数边的正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形； 奇数边的正多边形只是轴对称图形，不是中心对称图形，所以正六边形既是轴对称又是中心对称的图形， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形的性质、轴对称图形、中心对称的图形的识别，熟知偶数边的正多边形既 是轴对称图形，又是中心对称图形；奇数边的正多边形只是轴对称图形，不是中心对称图形是解题的关 键． 6.下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（ ） A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2 【答案】D 【分析】若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，由此即可完成． 【详解】A、1+1+1<5，即这三条线段的和小于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误； B、1+1+5<8，即这三条线段的和小于8，根据两点间距离最短即知，此选项错误； C、1+2+2=5，即这三条线段的和等于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误； D、2+2+2>5，即这三条线段的和大于5，根据两点间距离最短即知，此选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了两点间线段最短，类比三条线段能组成三角形的条件，任两边的和大于第三边，因 而较短的两边的和大于最长边即可，四条线段能组成四边形，作三条线段的和大于第四条边，因而较短 的三条线段的和大于最长的线段即可． 题型二：计算网格中不规则多边形面积 1.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点．若AB=1，则四边形ABCD的面积为 ． 9 【答案】 2 【分析】由图可得S ABCD=S ACD+S ABC，利用网格来计算两个三角形的面积相加即可． 四边形 △ △ 1 1 9 【详解】解：S ABCD=S ACD+S ABC= ×3×2+ ×1×3= 四边形 2 2 2 △ △ 9 故答案为： 2 【点睛】本题是求三角形的面积问题，解题关键是熟练对不规则三角形进行分割．2.如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则△ABC的面积与△≝¿的面 积比为 ． 【答案】1∶4 【分析】分别求出 ABC的面积和 ABD的面积，即可求解． △ 1 △ 1 1 【详解】解：S =1×2− ×1×1− ×1×2= ， △ABC 2 2 2 S 1 1 ， △≝¿=2×4− ×2×2− ×2×4=2¿ 2 2 ∴△ABC的面积与△≝¿的面积比为1∶4． 故答案为1∶4． 【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是解本题的关键． 3.如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ADB的面积大小 关系为：S S （填“＞”“＝”或“＜”）， △ABC ΔADB 【答案】= 【分析】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解． 1 【详解】解：∵S = ×2×2=2， ΔABD 2 1 1 1 S =2×3− ×3×1− ×1×1− ×2×2=2， ΔABC 2 2 2 ∴S =S ， ΔABC ΔABD 故答案为：=．【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键． 4.各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式 1 S=a+ b−1（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克 2 （Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S= ． 【答案】6 1 【分析】根据题目要求，数出五边形内部格点的数量，五边形边上格点的数量，代入S=a+ b−1计算 2 即可． 【详解】由图可知：五边形内部格点有4个，故a=4 五边形边上格点有6个，故b=6 1 1 ∴S=a+ b−1＝4+ ×6−1=6 2 2 故答案为：6． 【点睛】本题考查了网格中不规则多边形的计算，按题目要求尽心计算即可． 5.如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则ΔABO的面积与ΔCDO的面积的大 小关系为：S S (填“>”，“=”或“<”) . △ABO △CDO 【答案】= 【分析】根据图形可知S =S −S ，S =S −S ，然后由图易知△ABC和△ADC △ABO △ABC △AOC △CDO △ACD △AOC 同底等高，所以△ABC和△ADC面积相等从而得到△ABO和△DCO的关系．【详解】解：由图易有：S =S −S ，S =S −S ， △ABO △ABC △AOC △CDO △ACD △AOC ∵△ABC和△ADC同底等高， ∴S =S ， △ABC △ADC ∴S =S ． △ABO △CDO 故答案为：= 【点睛】本题考查了三角形的面积，判断所求三角形的计算方法是本题的关键． 6.在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标均为整数的点称为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该 多边形为格点多边形．例如：图中△ABC的与四边形DEFG均为格点多边形．格点多边形的面积记为S， 其内部的格点数记为N，边界上的格点记为L，已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL+b（a，b为 常数），若某格点多边形对应的N=14，L=7，则S=（ ） A．16.5 B．17 C．17.5 D．18 【答案】A 【分析】先分别根据△ABC和四边形DEFG中，S、N、L的数值得出关于a和b的二元一次方程组，解 得a和b的值，则可求得当N=14，L=7时S的值． 【详解】解：△ABC中，S=1，N=0，L=4，则4a+b=1； 同理，四边形DEFG中，S=2×4−1×2÷2−1×1÷2−2×3÷2=3.5， N=2，L=5 ∴2+5a+b=3.5； 联立得¿ 解得：a=0.5，b=−1 ∴N=14，L=7，则S=14+3.5−1=16.5， 故选：A． 【点睛】本题属于创新题型，主要考查了二元一次方程相关知识以及学生对于题意理解和数据分析能力． 7.阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．任务： （1）如图2，是5×5的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边 形的面积是 ； （2）已知：一个格点多边形的面积S为15，且边界上的点数b是内部点数a的2倍，则a+b＝ ； （3）请你在图3中设计一个格点多边形（要求： 格点多边形的面积为8； 格点多边形是一个轴对称 图形但不是中心对称图形） ① ② 【答案】（1）7.5；（2）24；（3）如图所示，见解析． 【分析】（1）根据皮克定理求解即可； （2）根据题意列式求出a，b的值，即可求解． （3）根据轴对称图形和中心对称图形的性质进行作图即可． 7 【详解】（1）由“皮克定理”可得：S＝5+ ﹣1＝7.5； 2 故答案为：7.5； （2）∵S为15，且边界上的点数b是内部点数a的2倍， 2a ∴a+ ﹣1＝15， 2 解得：a＝8，则b＝16， 故a+b＝24， 故答案为：24； （3）如图所示： ．【点睛】本题考查了格点多边形的问题，掌握皮克定理、轴对称图形、中心对称图形的性质是解题的关 键． 8.阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 你知道“皮克定理”吗？ “皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上， 上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一 个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算 1 起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即S=a+ b−1， 2 其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形 可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”． 任务： （1）如图2，是6×6的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边 形的面积是_______． （2）已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数b是内部点数a的3倍，则a+b=______． （3）请你在图3中设计一个格点多边形．要求：①格点多边形的面积为8；②格点多边形是一个轴对称 图形． 【答案】（1）21；（2）32；（3）见解析 【分析】（1）观察图形，得到a=16，b=12，再代入计算即可得到答案； （2）由题意b=3a，然后列出关于a的方程，求出a=8，再求出答案即可； （3）由格点多边形的面积为8，然后根据轴对称的性质，即可画出图形． 【详解】解：（1）由题意，如图：多边形内部的点数为：a=16， 多边形边界的点数为：b=12， 1 1 ∴S=a+ b−1=16+ ×12−1=21； 2 2 故答案为：21； （2）设内部点数是a，则b=3a， 1 1 ∴S=a+ b−1=a+ ×3a−1=19， 2 2 ∴a=8， ∴b=8×3=24， ∴a+b=8+24=32； 故答案为：32． （3）答案不唯一，只要符合题意要求即可． 例如： 【点睛】本题考查了多边形，解一元一次方程，轴对称的性质等知识，理解正方形网格纸中多边形面积 1 的公式S=a+ b−1是解决问题的关键． 2 题型三：计算多边形对角线条数 1.如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形的稳定性及多边形对角线的条数即可得答案． 【详解】∵三角形具有稳定性， ∴要使五边形不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线， ∵过五边形的一个顶点可作对角线的条数为5-3=2（条）， ∴要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为2条， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的稳定性及多边形的对角线，熟记三角形具有稳定性是解题的关键 2.若一个多边形从一个顶点出发可以引7条对角线，则这个多边形共有 条对角线． 【答案】35 n(n−3) 【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，再根据 求出总的对角线数量． 2 【详解】解：根据题意可知， n−3=7， ∴n=10， ∴这个多边形共有对角线的数量为： n(n−3) 10×7 = =35； 2 2 故答案为：35． 【点睛】本题考查了多边形对角线的问题，正确理解多边形的边数与从一个顶点发出的对角线的条数之 间的关系，以及正确求出总的对角线数量是解决本题的关键． 3.已知一个多边形内角和为1080°，则这个多边形可连对角线的条数是（ ） A．10 B．16 C．20 D．40 【答案】C 【分析】先根据多边形内角和计算公式求出这个多边形是八边形，再根据多边形对角线计算公式求解即 可． 【详解】解：设这个多边形为n边形， 由题意得，180×(n−2)=1080，∴n=8， ∴这个多边形为八边形， 8×(8−3) ∴这个多边形可连对角线的条数是 =20， 2 故选C． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，多边形对角线计算公式，熟知n边形的对角线条数是 n(n−3) 是解题的关键． 2 4.如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】A 【分析】先由多边形的内角和公式与外角和的关系可得(n−2)⋅180°=2×360°再解方程，从而可得答案． 【详解】解：设这个多边形为n边形，则(n−2)⋅180°=2×360°， ∴n−2=4， 解得：n=6， 所以从这个多边形的一个顶点出发共有n−3=6−3=3条对角线， 故选A． 【点睛】本题考查的是多边形的内角和定理与外角和定理，多边形的对角线问题，掌握“利用多边形的 内角和为(n−2)⋅180°,外角和为360°”是解题的关键． 5.如图，从一个四边形的同一个顶点出发可以引出1条对角线，从五边形的同一个顶点出发，可以引出2 条对角线，从六边形的同一个顶点出发，可以引出3条对角线，……，依此规律，从n边形的同一个顶点 出发，可以引出的对角线数量为（ ） A．n B．n−2 C．n−3 D．2n−3 【答案】C 【分析】根据题意可得从n边型的同一个顶点出发，可以引n−3条对角线． 【详解】解：∵从一个四边形的同一个顶点出发可以引出4−3=1条对角线； 从五边形的同一个顶点出发，可以引出5−3=2条对角线， 从六边形的同一个顶点出发，可以引出6−3=3条对角线，∴从n边型的同一个顶点出发，可以引n−3条对角线， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了图形类的规律题，解题的关键在于能够根据题意得到规律求解． 6.一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，那么这个多边形从一个顶点引对角线的条数是（ ）条． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°与外角和定理列出方程求解，然后即可确定对角线的条 数． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 根据题意得，(n−2)⋅180°=3×360°， 解得n=8． ∴从一个顶点引对角线的条数是8−3=5（条）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形对角线的条数，熟练掌握多边形的 外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题关键． ． 7.通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一 个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是 度． 【答案】540 【详解】【分析】利根据题意得到2条对角线将多边形分割为3个三角形，然后根据三角形内角和可计算 出该多边形的内角和． 【详解】从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形． 所以该多边形的内角和是3×180°=540°， 故答案为540． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与对角线，熟知n边形从一个顶点出发的对角线将n边形分成 （n-2）个三角形是关键.这里体现了转化的数学思想. 8.一个正多边形的中心角是72°，则过它的一个顶点有 条对角线． 【答案】2 【分析】根据正多边形的中心角是72°，可得该正多边形是正五边形，然后利用过n边形的一个顶点有 (n−3)对角线计算即可解答． 【详解】解：∵设正多边形的边数为n,且正多边形的中心角是72°， ∴72°n=360°， ∴n=5，∴过n边形的一个顶点有(n−3)条对角线，即5−3=2条， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是多边形的对角线、正多边形的中心角等知识点，要掌握过n多边形的一个顶点有 (n−3)条对角线、正多边形的中心角都相等是解答本题的关键． 9.一个正多边形的中心角是72°，则过它的一个顶点有 条对角线． 【答案】2 【分析】根据正多边形的中心角是72°，可得该正多边形是正五边形，然后利用过n边形的一个顶点有 (n−3)对角线计算即可解答． 【详解】解：∵设正多边形的边数为n,且正多边形的中心角是72°， ∴72°n=360°， ∴n=5， ∴过n边形的一个顶点有(n−3)条对角线，即5−3=2条， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是多边形的对角线、正多边形的中心角等知识点，要掌握过n多边形的一个顶点有 (n−3)条对角线、正多边形的中心角都相等是解答本题的关键． 10.一个正多边形的每个外角为45°，则这个正多边形的对角线共有 条． 【答案】20 【分析】根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数=360°÷45°，进而求得多边形的对角线条数． 【详解】解：这个正多边形的边数：360°÷45°=8， 1 则对角线的条数是： ×8×(8−3)=20． 2 故答案是：20． 【点睛】本题考查多边形内角与外角．解题的关键在于掌握正多边形的外角和为360°，并且正多边形的 每一个外角都相等． 11.多边形的对角线共有20条，则下列方程可以求出多边形边数的是（ ） A．n(n−2)=20 B．n(n−2)=40 C．n(n−3)=20 D．n(n−3)=40 【答案】D 【分析】先由n边形从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线，再根据n边形对角线的总条数为 n(n−3) =20，即可求出结果． 2 【详解】解：设多边形边数为n， 从一个顶点出发可引出(n−3)条对角线，n(n−3) 再根据n边形对角线的总条数为 ， 2 n(n−3) 即 =20， 2 n(n−3)=40， 故答案选：D． 【点睛】本题考查了多边形的对角线公式，根据多边形对角线公式列等式是解答本题的关键． 12.【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n−2个三角形，共有多少种不同的分割方案(n≥4)？ 【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递 进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有f (n)种． 探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②， 显然，只有2种不同的分割方案．所以，f (4)=2． 探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案 分成三类： 第1类：如图③，用点A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分 割成2个三角形，由探究一知，有f (4)种不同的分割方案，所以，此类共有f (4)种不同的分割方案． 第2类：如图④，用点A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为 1 f (4)种分割方案． 2第3类：如图⑤，用点A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分 割成2个三角形，由探究一知，有f（4）种不同的分割方案，所以，此类共有f（4）种不同的分割方案． 1 5 10 所以，f (5)=f (4)+ f (4)+f (4)= ×f (4)= ×f (4)=5（种） 2 2 4 探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案 分成四类： 第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割 成3个三角形，由探究二知，有f (5)种不同的分割方案，所以，此类共有f (5)种不同的分割方案． 第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割 成2个三角形，由探究一知，有f (4)种不同的分割方案．所以，此类共有f (4)种分割方案． 第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割 成2个三角形，由探究一知，有f (4)种不同的分割方案．所以，此类共有f (4)种分割方案． 第4类：如图，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成 3个三角形，由探究二知，有f (5)种不同的分割方案．所以，此类共有f (5)种分割方案． 所以，f (6)=f (5)+f (4)+f (4)+f (5)2 2 14 =f (5)+ f (5)+ f (5)+f (5)= ×f (5)=14（种） 5 5 5 () 探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则f (7)与f (6)的关系为f (7)= ×f (6)，共有 6 ______种不同的分割方案． …… 【结论】用n边形的对角线把n边形分割成(n−2)个三角形，共有多少种不同的分割方案(n≥4)？（直接 写出f (n)与f (n−1)之间的关系式，不写解答过程） 【应用】用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论 中的关系式求解） 4n−10 【答案】探究四：18，42；[结论]f (n)= f (n−1)；[应用]429种 n−1 【分析】[探究]根据探究的结论得到规律计算即可； [结论]根据五边形，六边形，七边形的对角线把图形分割成三角形的方案总结规律即可得到答案； [应用]利用规律求得八边形及九边形的对角线把图形分割成三角形的方案即可． 【详解】所以，f (7)=f (6)+f (5)+2f (4)+f (5)+f (6) 5 5 2 =2f (6)+2× f (6)+2× × f (6) 14 14 5 =3f (6) 18 = f (6) 6 =42． 故答案为：18，42． 10 14 18 [结论]由题意知f (5)= f (4)，f (6)= f (5)，f (7)= f (6)，… 4 5 6 4n−10 f (n)= f (n−1)； n−1 4×8−10 22 [应用]根据结论得：f (8)= ×f (7)= ×42=132． 7 7 4×9−10 26 f (9)= ×f (8)= ×132=429． 8 8 则用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有429种不同的分割方案． 【点睛】此题考查多边形的对角线，图形变化类规律题，研究了多边形对角线分割多边形成三角形的关 系，关键是能够得到规律，此题有难度，注意利用数形结合的思想． 题型四：对角线分三角形个数问题1.一个多边形的内角和为1080°，从该多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成 个三角形． 【答案】6 【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算分成三角形的个数． 【详解】解：设此多边形的边数为x，由题意得：(x−2)×180=1080， 解得；x=8， 从这个多边形的一个顶点引对角线，可以把这个多边形分成的三角形个数：8-2=6， 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了多边形的内角，关键是掌握多边形的内角和公式180(n−2)，理解从一个n边形 的一个顶点引对角线，可以把这个多边形分成(n-2)个三角形． 2.过某多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成3个三角形，这个多边形的边数是 ． 【答案】5 【分析】根据n边形过一个顶点的所有对角线分得三角形的个数为(n−2)个，即可求解． 【详解】解：这个多边形的边数是3+2=5条． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了多边形的边数，熟练掌握n边形过一个顶点的所有对角线分得三角形的个数为(n−2) 个是解题的关键． 3.如图，从多边形一个顶点出发作多边形的对角线，试根据下面几种多边形的顶点数、线段数及三角形个 数统计结果，推断f,e,v三个量之间的数量关系是: 多边形： 顶点个数f : 4 5 6 … 1 线段条数e: 5 7 9 … 三角形个数v : 2 3 4 … 1 【答案】f+v-e=1 【分析】三角形个数等于顶点数减2，线段条数等于对角线条数加边数，即可求解； 【详解】解：三角形个数v＝f−2， 线段条数e＝f−3＋f＝2f−3， ∴f+v-e=1， 故答案为f+v-e=1； 【点睛】本题考查多边形的边，顶点，三角形个数，熟练掌握多边形对角线的求法，多边形分割三角形的方法是解题的关键． 4.从七边形的一个顶点出发的所有对角线，可以把这个七边形分割成 个三角形． 【答案】5 【分析】从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成(n−2)个三角形， 依此作答． 【详解】解：过七边形的一个顶点的所有对角线可将七边形分成7−2=5个三角形． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查多边形的对角线，从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形 成的三角形个数为n−2． 题型五：多边形内角和问题 1.下列多边形中，内角和最大的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据多边形内角和公式可直接进行排除选项． 【详解】解：A、是一个三角形，其内角和为180°； B、是一个四边形，其内角和为360°； C、是一个五边形，其内角和为540°； D、是一个六边形，其内角和为720°； ∴内角和最大的是六边形； 故选D． 【点睛】本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键． 2.已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是 边形． 【答案】5 【详解】设这个多边形是n边形，由题意得， (n-2) ×180°=540°，解之得，n=5． 3.如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E相互外离，它们的半径都是2，顺次连接五个圆心得到五边形 ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ）A．6π B．5π C．4π D．3π 【答案】A 【分析】求出五个扇形的圆心角之和，利用扇形面积公式求解即可． 【详解】∵(5−2)×180°=540° 540 ∴ S= π×22=6π 360 故选A． 【点睛】本题考查了多边形内角和，扇形面积公式，理解题意是解题的关键． 4.一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ） A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7 【答案】D 【分析】根据内角和为720°可得：多边形的边数为六边形，即可求解． 【详解】解：设新多边形的边数为n，根据题意得：（n-2）×180°=720°， 解得：n=6， ∴原多边形的边数为5或6或7． 故选∶ D 5.一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720°，则原多边形的边数是 ． 【答案】6或7 【分析】求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形． 【详解】解：由多边形内角和，可得 （n-2）×180°=720°， ∴n=6， ∴新的多边形为6边形， ∵过顶点剪去一个角， ∴原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形， 故答案为6或7． 【点睛】本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题的关键． 6.如图，四边形ABCD中，∠1=93°，∠2=107°，∠3=110°，则∠D的度数为（ ）A．125° B．130° C．135° D．140° 【答案】B 【分析】先根据平角的定义求出∠BAD=87°,∠ABC=73°,∠BCD=70°，再根据四边形的内角和 即可得到答案． 【详解】∵∠1=93°，∠2=107°，∠3=110°，∠1+∠BAD=180°，∠2+∠ABC=180°， ∠3+∠BCD=180° ∴∠BAD=87°,∠ABC=73°,∠BCD=70° 在四边形ABCD中， ∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠D=360° ∴∠D=130° 故选：B． 【点睛】本题考查了平角的定义及四边形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 7.如图，多边形ABCDEFG中， ∠E=∠F=∠G=108° ,∠C=∠D=72°，则∠A+∠B的值为 （ ） A．108° B．72° C．54° D．36° 【答案】B 【分析】连接CD，设AD与BC交于点O，根据多边形的内角和公式即可求出∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋ ∠GCD，根据各角的关系即可求出∠ODC＋∠OCD，然后根据对顶角的相等和三角形的内角和定义即可求 出结论． 【详解】解：连接CD，设AD与BC交于点O∵∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD=180°×（5－2）=540°，∠E=∠F=∠G=108°， ∠GCB=∠EDA=72°， ∴108°＋108°＋108°＋72°＋∠ODC＋72°＋∠OCD=540° ∴∠ODC＋∠OCD=72° ∵∠AOB=∠COD ∴∠A＋∠B=180°－∠AOB=180°－∠COD=∠ODC＋∠OCD=72° 故选B． 【点睛】此题考查的是多边形的内角和公式和对顶角的性质，掌握多边形的内角和公式和对顶角相等是 解决此题的关键． 8.如图，正方形AMNP的边AM在正五边形ABCDE的边AB上，则∠PAE= °． 【答案】18 【分析】由正方形的性质及正五边形的内角可直接进行求解． 【详解】解：∵四边形AMNP是正方形，五边形ABCDE是正五边形， (5−2)×180° ∴∠EAB= =108°,∠PAB=90°， 5 ∴∠PAE=∠EAB−∠PAB=18°； 故答案为18． 【点睛】本题主要考查正多边形的性质，熟练掌握正多边形的定义是解题的关键． 9.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC等于 度．【答案】30 【分析】先证出内部的图形是正六边形，求出内部小正六边形的内角，即可得到∠ACB的度数，根据直角 三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：由题意六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成， 可得BD=AC，BC=AF， ∴CD=CF， 同理可证小六边形其他的边也相等，即里面的小六边形也是正六边形， 1 ∴∠1= (6−2)×180°=120°， 6 ∴∠2=180°-120°=60°， ∴∠ABC=30°， 故答案为：30． 【点睛】本题考查正多边形的证明、多边形的内角和以及三角形的内角和，熟练掌握多边形内角和的计 算是解题的关键． 10．我们知道三角形的内角和为180°，而四边形可以分成两个三角形，故它的内角和为2×180°=360°， 五边形则可以分成3个三角形，它的内角和为3×180°=540°（如图），依此类推，则八边形的内角和 为（ ） A．900° B．1080° C．1260° D．1440° 【答案】B【分析】根据多边形内角和公式(n−2)×180°求解即可． 【详解】解：由多边形内角和公式可得：八边形的内角和为(8−2)×180°=1080° 故选：B 【点睛】此题考查了多边形的内角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式． 11．一块四边形ABCD玻璃被打破，如图所示．小红想制做一模一样的玻璃，经测量 ∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，则∠D的度数（ ） A．65° B．45° C．30° D．20° 【答案】C 【分析】根据四边形内角和求解即可． 【详解】解：∵∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，四边形内角和为360度， ∴∠D=360°−120°−60°−150°=30°， 故选：C． 【点睛】本题考查了四边形内角和，熟记知识点是解题关键． 12．一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为2750°，则这一内角为 度． 【答案】130 【分析】设多边形的边数为x，根据多边形的内角一定大于0，并且小于180度，因而内角和除去一个内 角的值，这个值除以180度，所得数值比边数要小，小的值小于1，可以求出多边形的边数为18，再利用 内角和公式即可得出结果． 【详解】解：设多边形的边数为x，由题意有(x−2)⋅180°=2750°， 5 解得：x=17 ， 18 因而多边形的边数是18， 则这一内角为(18−2)×180°−2750°=130°． 故答案为：130． 【点睛】本题考查多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式是解题的关键． 13．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边 形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边，如图，在四边形ABCD中， ∠B=60°，∠D=30°，AB=BC．(1)求∠A+∠C的度数． (2)判断四边形ABCD是否是“勾股四边形”，并说明理由． 【答案】(1)270° (2)四边形ABCD是“勾股四边形”，理由见解析 【分析】（1）在四边形ABCD中，由四边形内角和定理即可得出结果； （2）连接BD，以BD为边向下作等边三角形△BDQ，由等边三角形的性质得出∠DBQ=60°， BD=BQ，证出∠ABD=∠CBQ，证明△ABD≌△CBQ，得出AD=CQ，∠A=∠BCQ，证出 ∠DCQ=90°，再由勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）在四边形ABCD中， ∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∠B=60°，∠D=30°， ∴∠A+∠C=360°−30°−60°=270°； （2）四边形ABCD是“勾股四边形”， 理由：连接BD，以BD为边向下作等边三角形△BDQ，连接CQ， 则∠DBQ=60°，BD=BQ， ∵∠ABC=∠DBQ=60°， ∴∠ABD=∠CBQ， 在△ABD和△CBQ中，¿， ∴△ABD≌△CBQ (SAS)， ∴AD=CQ，∠A=∠BCQ， ∴∠A+∠BCD=∠BCQ+∠BCD=270°， ∴ ∠DCQ=90°， ∴CD2+CQ2=DQ2， ∵CQ=AD，DQ=BD， ∴CD2+AD2=BD2， ∴四边形ABCD是“勾股四边形”． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了四边形内角和定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性 质和勾股定理以及逆定理，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型六：已知多边形内角和求边数 1.一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【答案】A 【分析】根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，列出方程即可求解． 【详解】解：根据n边形的内角和公式，得 （n﹣2）•180°=900°， 解得n=7， ∴这个多边形的边数是7， 故选：A． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程． 2.一个多边形的内角和等于1260°，则它是（ ） A．五边形 B．七边形 C．九边形 D．十边形 【答案】C 【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到(n−2)×180=1260，然后解方程即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， (n−2)×180=1260， 解得n=9， 故这个多边形为九边形． 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握n边形的内角和为(n−2)×180°． 3.一个正多边形的内角和是1440°，则此多边形的边数是 ，对角线共有 条．【答案】 10 35 【分析】设此多边形的边数是n，根据多边形内角和公式和对角线条数的公式，列出方程求解即可． 【详解】解：设此多边形的边数是n， 180°×(n−2)=1440°， 解得：n=10， n(n−3) ∴对角线条数为： =35， 2 故答案为：10，35． 【点睛】本题主要考查了多边的内角和，多边形的对角线条数，解题的关键是掌握n边形的内角和为 n(n−3) 180°×(n−2)，对角线条数为 ． 2 4.下列多边形中，内角和为720°的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用n边形内角和公式为(n-2)×180°，构造方程确定n即可． 【详解】∵n边形内角和公式为(n-2)×180°， ∴(n-2)×180°=720°， 解得n=6， 故选D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，熟练掌握公式，准确解方程，准确识图是解题的关键． 5.第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一 边与对角线的夹角∠ACB=15°，算出这个正多边形的边数是（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出∠B=150°，然后可得每一个外角为30°， 进而即可求解．【详解】解：依题意，AB=BC，∠ACB=15°， ∴∠BAC=15° ∴∠ABC=180°−∠ACB−∠BAC=150° ∴这个正多边形的一个外角为180°−150°=30°， 360 所以这个多边形的边数为 =12， 30 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，正多边形的性质，正多边形的外角与边数的关系，熟练掌握正 多边的外角和等于360°是解题的关键． 6.如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之 中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1=（ ） A．45° B．60° C．110° D．135° 【答案】A 【分析】由正八边形的外角和为360°，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可． 【详解】解：∵正八边形的外角和为360°， 360° ∴∠1= =45°， 8 故选A 【点睛】本题考查的是正多边形的外角问题，熟记多边形的外角和为360°是解本题的关键． 7.如图，将几个全等的正八边形进行拼接，相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个 正方形．设正方形的边长为1，则该图形外轮廓的周长为 ；若n个全等的正多边形中间围成的图形 是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，设正三角形的边长为1，则该图形外轮廓的周长是 ．【答案】 20 27 【分析】根据正多边形的性质，每条边相等，即可求解．求得该图形外轮廓的周长，根据密铺可知正n边 形，为正12边形，据此即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴该图形外轮廓的周长为(8−3)×4=20， 360°−60° 若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，则n边形的一个内角为 =150° 2 则n边形的一个外角180°−150°=30°， ∴n=360°÷30°=12， 根据相邻的两个正多边形有一条公共边， 则图形外轮廓的周长为(12−3)×3=27 故答案为：20，27 【点睛】本题考查了正多边形的性质，多边形的内角和，外角和，平面镶嵌，理解题意是解题的关键． 8.如图，CG平分正五边形ABCDE的外角∠DCF，并与∠EAB的平分线交于点O，则∠AOG的度数 为（ ） A．144° B．126° C．120° D．108° 【答案】B 【分析】根据正五边形的性质分别解得正五边形的每个内角、每个外角的度数，结合角平分线的性质得 到∠DCG=36°，∠OAB=54°，接着由四边形的内角和为360°解得∠AOC=54°，最后由邻补角定 义解题即可． 【详解】解：∵CG平分正五边形ABCDE的外角∠DCF， ∴∠DCG=∠GCF ∵AO平分∠EAB， ∴∠EAO=∠OAB， ∵正五边形ABCDE中， (5−2)×180° 360° ∴∠ABC= =108°,∠DCF= =72° 5 51 1 1 1 ∴∠DCG= ∠DCF= ×72°=36°，∠OAB= ∠EAB= ×108°=54° 2 2 2 2 ∴∠OAB+∠ABC+∠BCD+∠DCG=54°+108°+108°+36°=306° ∴∠AOC=360°−306°=54° ∴∠AOG=180°−54°=126°， 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形的内角和与外角和，涉及角平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易， 掌握相关知识是解题关键． 题型七：多边形的割角问题 1.一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是 ． 【答案】9或10或11 【分析】先根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°求出截去一个角后的多边形的边数，再分情况说明求 得原来多边形的解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为n，根据题意得： (n−2)⋅180°=1440° ∴n=10 又∵截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1， ∴原多边形的边数为9或10或11． 【点睛】本题考查的是多边形的内角和公式，本题的易错点在于忽略考虑截去一个角后多边形的边数可 以不变、增加或者减少． 2.若过多边形的一个顶点作一条直线，把这个多边形截掉两个角，它的内角和变为1260°，则这个多边形 原来的边数为（ ） A．12 B．10 C．11 D．10或11 【答案】D 【分析】分从顶点到顶点裁剪和从顶点到边裁剪两种情况求解． 【详解】多边形裁掉2个角，有两种情况，从顶点到顶点裁剪，从顶点到边裁剪． ∵新多边形内角和为1260°， ∴根据多边形内角和公式180°×（n-2）=1260°， 解得：n=9， ∴新多边形的边数为9． ①从顶点到顶点裁剪，多边形会减少两个角，则原多边形的边数为11； ②从顶点到边裁剪，多边形会减少一个角，则原多边形的边数为10． 故选：D．【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握截角的方法是解题的关键． 3.如果剪掉四边形的一个角，那么所得多边形的内角和的度数不可能是（ ） A．180° B．270° C．360° D．540° 【答案】B 【分析】分四边形剪去一个角，边数减少1，不变，增加1，三种情况讨论求出所得多边形的内角和，即 可得解． 【详解】解：剪去一个角，若边数减少1，则内角和＝（3﹣2）×180°＝180°， 若边数不变，则内角和＝（4﹣2）×180°＝360°， 若边数增加1，则内角和＝（5﹣2）×180°＝540°， 所以，所得多边形内角和的度数可能是180°，360°，540°，不可能是270°． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，要注意剪去一个角有三种情况． 4.如图是将一多边形剪去一个角，则新多边形的内角和（ ） A．比原多边形少180° B．与原多边形一样 C．比原多边形多360° D．比原多边形多180° 【答案】D 【分析】根据多边形的内角和定理求解可得． 【详解】按如图所示方式将一多边形剪去一个角，则新多边形的边数增加一条， 所以其内角和比原多边形的内角和多180°， 故选D． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多 边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，取决于其边数增加还是减少．是解决本题的关 键． 5.如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是 ． 【答案】180°或360°或540° 【详解】分析: 剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减 少一个，根据多边形的内角和定理即可求解. 详解: n边形的内角和是（n-2）•180°， 边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1-2）×180°=540°，所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4-2）×180°=360°， 所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4-1-2）×180°=180°， 因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°． 故答案为540°或360°或180°. 点睛：本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边 形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，是解决本题的关键. 6.如图，一张内角和为1800°的多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到的新多边形的边数为 ． 【答案】13 【分析】根据多边形内角和公式，可得原多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案． 【详解】解：设原多边形是n边形，由多边形内角和公式得： （n-2）180°=1800°， 解得n=12， 新多边形是12+1=13， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了剪纸问题，多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式是解题关键． 题型八：多边形的外角问题 1.五边形的外角和等于（ ） A．180° B．360° C．540° D．720° 【答案】B 【解答】解：五边形的外角和是360°． 故选：B． 2.正十二边形的外角和为（ ） A．30° B．150° C．360° D．1800° 【答案】C 【解答】解：因为多边形的外角和为360°，所以正十二边形的外角和为：360°．故选：C． 3.如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之 中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝（ ）A．45° B．60° C．110° D．135° 【答案】A 【解答】解：∵正八边形的外角和为360°， ∴每一个外角为360°÷8＝45°． 故选：A． 4.若正n边形的一个外角为72°，则n＝ ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵正n边形的一个外角为72°， ∴n＝360÷72＝5， 故答案为：5． 5.若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（ ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】D 【分析】根据多边形的外角和等于360°计算即可． 【详解】解：360°÷60°＝6，即正多边形的边数是6． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于360°，正多边形的每个外角都相等 是解题的关键． 6.如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转 45°后沿直线前进10米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（ ） A．100米 B．80米 C．60米 D．40米【答案】B 【分析】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以10米即可． 【详解】解：∵小明每次都是沿直线前进10米后再向左转45°， ∴他走过的图形是正多边形，边数n=360°÷45°=8， ∴小明第一次回到出发点A时所走的路程=8×10=80米． 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形外角问题的实际应用，根据题意判断小明走过的图形是正多边形是解题的 关键． 7.正十边形的外角和为（ ） A．180° B．360° C．720° D．1440° 【答案】B 【分析】根据多边的外角和定理进行选择． 【详解】解：因为任意多边形的外角和都等于360°， 所以正十边形的外角和等于360°，． 故选B． 【点睛】本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度． 题型九：内角和外角和平行线综合运用 1.如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1=44°，则∠2的度数为（ ） A．14° B．16° C．24° D．26° 【答案】B 【分析】如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到∠4=60°,∠2+∠5=120°，平行 线的性质，得到∠3=∠1=44°，三角形的外角的性质，得到∠5=∠3+∠4=104°，进而求出∠2 的度数． 【详解】解：如图：360° ∵正六边形的一个外角的度数为： =60°， 6 ∴正六边形的一个内角的度数为：180°−60°=120°， 即：∠4=60°,∠2+∠5=120°， ∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，∠1=44°， ∴∠3=∠1=44°， ∴∠5=∠3+∠4=104°， ∴∠2=120°−∠5=16°； 故选B． 【点睛】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．熟练掌握多边形的外角和是 360°，是解题的关键． 2.如图，一束太阳光平行照射在正n边形A A A ……A 上，若∠1−∠2=60°，则n= ． 1 2 3 n 【答案】6 【分析】过A 作A B∥A A ，根据平行线的性质可得∠4=∠3，∠C A B=∠1，求得 2 2 1 n 2 ∠A A B=60°，设正多边形的内角为x，则满足∠4=180°−x，推得∠3=x−60°，即可求得 3 2 x=120°，得到∠4=60°，即可求出正多边形的边数． 【详解】解：过A 作A B∥A A ， 2 2 1 n 则∠4=∠3，∠C A B=∠1 2 ∵∠1−∠2=60°∴∠A A B=60° 3 2 设正多边形的内角为x，则∠4=180°−x ∴x=60°+∠3 ∴∠3=x−60° ∵180°−x=x−60°，解得x=120° ∴∠4=60° ∴这个正多边形的边数为360°÷60°=6 故答案为：6． 【点睛】本题考查了根据正多边形外角求正多边形的边数，平行线的性质等知识，熟练掌握正多边形的 外角性质是解题的关键． 3.如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1=19°，则∠2的度数为（ ） A．41° B．51° C．42° D．49° 【答案】A 【分析】先求出正六边形的内角和外角，再根据三角形的外角性质以及平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵正六边形的每个内角等于120°，每个外角等于60°， ∴∠FAD=120°-∠1=101°，∠ADB=60°， ∴∠ABD=101°-60°=41° ∵光线是平行的， ∴∠2=∠ABD=41°， 故选A 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形外角性质以及正六边形的性质，掌握三角形的外角性质以及平行线的性质是解题的关键． 4.如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，则∠DFB=（ ） A．149° B．149.5° C．150° D．150.5° 【答案】B 【分析】过点E作EG∥AB，根据平行线的性质可得“∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°”，根据角的 1 计算以及角平分线的定义可得“∠FBE+∠EDF= ∠ABE+∠CDE）”，再依据四边形内角和为360°结合角的 2 计算即可得出结论． 【详解】如图，过点E作EG∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥GE， ∴∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠EDC=180°， ∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°； 又∵∠BED=61°， ∴∠ABE+∠CDE=299°． ∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F， 1 ∴∠FBE+∠EDF= （∠ABE+∠CDE）=149.5°， 2 ∵四边形的BFDE的内角和为360°， ∴∠BFD=360°-149.5°-61°=149.5°． 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及四边形内角和为360°，解决该题型题目时， 根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键． 5.如图，五边形ABCDE中， AB∥CD，∠1、∠2、∠3是外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ）A．100° B．180° C．210° D．270° 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得∠B+∠C=180°，再利用多边形的内角和即可求解． 【详解】解：∵∠1+∠BAE=180°，∠2+∠AED=180°，∠3+∠EDC=180°， ∴∠1+∠BAE+∠2+∠AED+∠3+∠EDC=180°×3=540°， ∴∠1+∠2+∠3=540°−(∠BAE+∠AED+∠EDC)， ∵AB∥CD， ∴∠B+∠C=180°， ∵∠B+∠C+∠BAE+∠AED+∠EDC=540°， ∵∠BAE+∠AED+∠EDC=540°−(∠B+∠C)=540°−180°=360°， ∴∠1+∠2+∠3=540°−360°=180°， 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和和平行线的性质，熟记多边形的内角公式为(n−2)⋅180°是解题的 关键． 6.如图，一束太阳光平行照射在正n边形A A A ……A 上，若∠1−∠2=60°，则n= ． 1 2 3 n 【答案】6 【分析】过A 作A B∥A A ，根据平行线的性质可得∠4=∠3，∠C A B=∠1，求得 2 2 1 n 2 ∠A A B=60°，设正多边形的内角为x，则满足∠4=180°−x，推得∠3=x−60°，即可求得 3 2 x=120°，得到∠4=60°，即可求出正多边形的边数． 【详解】解：过A 作A B∥A A ， 2 2 1 n则∠4=∠3，∠C A B=∠1 2 ∵∠1−∠2=60° ∴∠A A B=60° 3 2 设正多边形的内角为x，则∠4=180°−x ∴x=60°+∠3 ∴∠3=x−60° ∵180°−x=x−60°，解得x=120° ∴∠4=60° ∴这个正多边形的边数为360°÷60°=6 故答案为：6． 【点睛】本题考查了根据正多边形外角求正多边形的边数，平行线的性质等知识，熟练掌握正多边形的 外角性质是解题的关键． 7.如图，AB∥CD，AD平分∠BDC，CE∥AD，∠DCE=150°. (1)求∠BAD的度数： (2)若∠F=40°，求∠E的度数. 【答案】(1)30° (2)110° 【分析】（1）根据∠DCE=150°和CE∥AD可求得∠ADC=30°，然后根据AB∥CD，可求得 ∠BAD=∠ADC=30°； （2）由AD平分∠BDC，可得∠CDF=2∠ADC=60°，然后由四边形的内角和是360°即可求得 ∠E的度数. 【详解】（1）解：∵CE∥AD，∴∠ADC+∠DCE=180°， ∴∠ADC=180°−∠DCE=30°， ∵AB∥CD， ∴∠BAD=∠ADC=30°； （2）解：∵AD平分∠BDC， ∴∠CDF=2∠ADC=60°， ∵∠E+∠F+∠CDF+∠DCE=360°， ∴∠E=360°−∠F−∠CDF−∠DCE=360°−40°−60°−150°=110°. 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、多边形内角和定理、角平分线的的定义，熟记相关定理是解题 的关键. 题型十：内角和外角和角平分线综合运用 1.如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的角平分线相交于点P，且 ∠ABP=60°，则∠APB= 度． 【答案】66 【分析】首先根据正五边形的性质得到∠EAB=108度，然后根据角平分线的定义得到∠PAB=54度， 再利用三角形内角和定理得到∠APB的度数． 【详解】解：∵五边形ABCDE为正五边形， ∴∠EAB=108度， ∵AP是∠EAB的角平分线， ∴∠PAB=54度， ∵∠ABP=60°， ∴∠APB=180°−60°−54°=66°． 故答案为66． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角，题目中还用到了角平分线的定义及三角形内角和定理． 2.如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F，求∠DFB的度数．【答案】149.5° 【分析】过点E作EG∥AB，利用平行线的性质、等式性质可得∠CDE+∠ABE=299°，再根据角平 分线的性质求得∠EDF+∠EBF=149.5°，然后由四边形的内角和为360°即可求得结论． 【详解】解：过点E作EG∥AB，如图： ∵AB∥CD ∴AB∥CD∥EG ∴∠CDE+∠DEG=∠ABE+∠BEG=180° ∵∠BED=∠DEG+∠BEG ∴∠CDE+∠BED+∠ABE=360° ∵∠BED=61° ∴∠CDE+∠ABE=299° ∵DF、BF 分别平分∠CDE 、∠ABE 1 1 ∴∠EDF+∠EBF= ∠CDE+ ∠ABE=149.5° 2 2 ∵在四边形BEDF中，∠DFB+∠EDF+∠EBF+∠BED=360° ∴∠DFB=360°−(∠EDF+∠EBF)−∠BED=149.5°． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质、等式的性质、角平分线的性质以及四边形内角和为360°，适 当地添加辅助线以及熟练掌握相关知识点是解题的关键． 3.如图，在四边形ABCD中，∠A＝150°，∠C＝60°，∠ABC与∠ADC的平分线交于点O，则∠BOD的度数 为（ ） A．120° B．125° C．130° D．135°【答案】D 1 1 【分析】由题意易得∠ABO= ∠ABC,∠ADO= ∠ADC，由四边形内角和可知 2 2 ∠ABC+∠ADC=150°，则有∠ABO+∠ADO=75°，进而问题可求解． 【详解】解：∵∠ABC与∠ADC的平分线交于点O， 1 1 ∴∠ABO= ∠ABC,∠ADO= ∠ADC， 2 2 ∵∠A＝150°，∠C＝60°， ∴∠ABC+∠ADC=360°−∠A−∠C=150°， ∴∠ABO+∠ADO=75°， ∴∠BOD=360°−∠A−∠ABO−∠ADO=135°； 故选D． 【点睛】本题主要考查四边形内角和及角平分线的定义，熟练掌握四边形内角和及角平分线的定义是解 题的关键． 4.如图，正五边形ABCDE中，内角∠EAB的角平分线与其内角∠ABC的角平分线相交于点P，则∠APB＝ 度． 【答案】72 【分析】首先根据正五边形的性质得到∠EAB=∠ABC=108度，然后根据角平分线的定义得到∠PAB=∠PBA =54度，再利用三角形内角和定理得到∠APB的度数． 【详解】解：∵五边形ABCDE为正五边形， （5−2）×180° ∴∠EAB=∠ABC= =108度， 5 ∵AP是∠EAB的角平分线， ∴∠PAB=54度， ∵BP是∠ABC的角平分线， ∴∠ABP=54°． ∴∠APB=180°-54°-54°=72°， 故答案为：72．【点睛】本题考查了多边形内角和，题目中还用到了角平分线的定义及三角形内角和定理． 5.如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且 ∠D+∠C=210°，则∠P= ． 【答案】15° 1 1 【分析】先根据角平分线的定义可得∠PAB= ∠DAB,∠PBE=90°− ∠ABC，再根据四边形的 2 2 内角和可得∠DAB+∠ABC=150°，然后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P， 1 1 1 1 ∴∠PAB= ∠DAB,∠PBE= ∠CBE= (180°−∠ABC)=90°− ∠ABC， 2 2 2 2 ∵在四边形ABCD中，∠D+∠C=210°， ∴∠DAB+∠ABC=360°−210°=150°， 由三角形的外角性质得：∠P=∠PBE−∠PAB， 1 1 =90°− ∠ABC− ∠DAB， 2 2 1 =90°− (∠ABC+∠DAB)， 2 1 =90°− ×150°， 2 =15°， 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了四边形的内角和、角平分线的定义等知识点，熟练掌握四边形的内角和是解题关键． 6.如图，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B A C的平分 1 1 1 线A B 折叠，剪掉重复部分……将余下部分沿∠B A C的平分线A B 折叠，点B 与点C重合，无论 1 1 n n n n+1 n 折叠多少次，只要最后一次恰好重合，则称∠BAC是△ABC的好角． （1）若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（设∠B>∠C）之间的等量关系为． （2）若一个三角形的最小角是4°，且该三角形的三个角均是此三角形的好角．请写出符合要求三角形的 另两个角的度数 ．（写出一种即可） 【答案】 ∠B=n∠C 4、172或8、168或16、160或44、132或88°、88° 【分析】（1）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠AAB =∠C+∠A B C=2∠C； 1 2 2 2 2 根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知 ∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，根据展示的三种情形得出结论： ∠B=n∠C； （2）利用（1）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角， ∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是4、 172；8、168；16、160；44、132；88°、88°． 【详解】解：（1）∠B=n∠C； 如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB 折叠，剪掉重复部分； 1 将余下部分沿∠B AC的平分线AB 折叠，剪掉重复部分， 1 1 1 2 将余下部分沿∠B AC的平分线AB 折叠，点B 与点C重合， 2 2 2 3 2 则∠BAC是△ABC的好角． 证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA B ，∠C=∠A B C，∠AB C=∠A AB ， 1 1 2 2 1 1 1 2 2 ∴根据三角形的外角定理知，∠AAB =∠C+∠A B C=2∠C； 1 2 2 2 2 ∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA B -∠AB C=∠BAC+2∠B-2∠C=180°， 1 1 1 1 根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴∠B=3∠C； 由展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 由展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 由展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角； 故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为 ∠B=n∠C； 故答案为：∠B=n∠C． （2）由（1）知设∠A=4°，∵∠C是好角， ∴∠B=4n°；∵∠A是好角， ∴∠C=m∠B=4mn°，其中m、n为正整数得4+4n+4mn=180， ∴如果一个三角形的最小角是4°， 三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°． 故答案为：4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角 定理以及折叠的性质．难度较大． 题型十一：内角和外角和综合运用 1.如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，∠1的度数应是（ ） A．72° B．84° C．82° D．94° 【答案】B 【分析】根据正多边形内角和公式求出正六边形和正五边形的内角和内角的补角，结合三角形内角和定 理即可求解； 180°×(6−2) 【详解】解：正六边形的内角为： =120°，内角的补角为：60°； 6 180°×(5−2) 正五边形的内角为： =108°，内角的补角为：72°； 5 ∴∠1=360°−[120°+108°+180°−(72°+60°)]=84° 故选：B 【点睛】本题主要考查多边形内角和公式，三角形的内角和定理，掌握相关知识并正确求解是解题的关 键． 2.如图，正五边形ABCD，DG平分正五边形的外角∠EDF，连接BD，则∠BDG=（ ） A．144° B．120° C．114° D．108° 【答案】D【分析】根据正多边形内角和公式求出五边形的内角和，再分别求出每一个内角和外角的度数，利用角 的和差计算即可； 【详解】∵五边形ABCDE是正五边形 ∴内角和为：(5−2)×180°=540° 540° ∴一个内角为： =108°，一个外角为180°−108°=72° 5 ∴∠BCD=∠EDC=108°，∠EDF=72° 又∵BC=CD 180°−108° ∴∠BDC= =36° 2 ∴∠BDE=∠EDC−∠BDC=108°−36°=72° ∵DG平分∠EDF 1 ∴∠EDG= EDF=36° 2 ∴∠BDG=∠EDB+∠EDG=108° 故答案选：D 【点睛】本题主要考查了多边形的角度计算，熟悉掌握正多边形内角和公式是解题的关键． 3.如图，六边形ABCDEF中，∠A，∠B，∠C，∠D的外角都相等，即 ∠1=∠2=∠3=∠4=62°，分别作∠≝¿和∠EFA的平分线交于点P，则∠P的度数是（ ） A．55° B．56° C．57° D．60° 【答案】B 【分析】根据多边形外角和求出∠5+∠6=112°，根据角平分线定义进而求出∠FEP+∠EFP=124°，再根据三 角形的内角和求出∠P的度数． 【详解】解：∵∠1=∠2=∠3=∠4=62°，多边形的外角和为360°， ∴∠5+∠6=360°-62°×4=112°， ∴∠DEF+∠AFE=248°， ∵EP，FP分别平分∠DEF和∠AFE， 1 1 ∴∠FEP= ∠DEF ，∠EFP= ∠AFE， 2 21 ∴∠FEP+∠EFP= （∠DEF+∠AFE）=124°， 2 ∴∠P=56°． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的外角和定义，角平分线的定义以及三角形的内角和，掌握以上基础知识是 解决问题的关键． 4.如图，五边形ABCDE中，∠B=80°，∠C=110°，∠1、∠2、∠3分别是∠BAE、∠AED、 ∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3等于（ ） A．90° B．190° C．210° D．180° 【答案】B 【分析】延长AB与CD，根据平角定义可求∠4与∠5，再根据多边形外角和可求解． 【详解】解：延长AB和DC，得∠4与∠5， ∴∠4=180°-∠B， ∠5=180°-∠C， ∴∠4+∠5=360°-（∠B+∠C）=170°， 根据多边形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°， ∴∠1+∠2+∠3=360°-（∠4+∠5）=360°-170°=190°． 故选：B． 【点睛】本题考查了五边形的角度问题，平角定义，多边形外角和，掌握平角定义，多边形外角和是解 题的关键． 5.如图，将四边形ABCD剪掉一个角得到五边形．下列判断正确的是（ ）结论①：变成五边形后外角和不发生变化； 结论②：变成五边形后内角和增加了360°； 结论③：通过图中条件可以得到∠1+∠2=240°； A．只有①对 B．①和③对 C．①、②、③都对 D．①、②、③都不对 【答案】B 【分析】根据多边形的外角和是360°，判断①，根据多边形内角和公式即可判断②，根据三角形的外角 的性质即可求解． 【详解】解：①任意多边形的外角和是360°，故①正确； 根据多边形内角和定理(5−2)×180°−(4−2)×180°=180°， 四边形ABCD剪掉一个角得到五边形内角和增加了180°，故②错误， 如图所示， ∵∠1=∠4+∠A,∠2=∠3+∠A ∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠A+∠A=180°+∠A=180°+60°=240°，故③正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，三角形的外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以 上知识是解题的关键． 6.如图所示，已知∠MON=60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上， 则∠AEO= 度．【答案】48 【分析】∠EAO是正五边形的一个外角，利用多边形外交和360°算出一个外角∠EAO，再利用 △OAE的内角和180°，即可算出 【详解】∵四边形ABCDE是正五边形，∠EAO是一个外角 360° ∴∠EAO= =72° 5 在△OAE中： ∠AEO=180°−∠EAO−∠MON=180°−72°−60°=48° 故答案为：48 【点睛】本题考查多边形外角和和三角形内角和，注意多边形外角和均为360° 7.一个正多边形的内角和是1260°，则这个正多边形的一个外角等于（ ） A．60° B．45° C．72° D．40° 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和定理求得多边形的边数，然后求得内角即可，进而得出其外角度数． 【详解】解：设正多边形的边数为n， ∵正多边形的内角和为1260°， ∴（n-2）×180°=1260°， 解得：n=9， ∵360°÷9=40°， ∴正九边形的每个外角40°， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和及外角和定理，任何多边形的外角和是360°． 8.如图，五边形ABCDE是正五边形，AF∥DG，若∠2=20°，则∠1=（ ）A．60° B．56° C．52° D．40° 【答案】B 360° 【分析】延长DE，FA交于点H，由正五边形的性质，解得∠3= =72°，∠BAE=108°，再由三 5 角形的外角和性质解得∠H+∠3=∠2+∠BAE，据此代入数值解答即可． 【详解】解：延长DE，FA交于点H，如图， ∵五边形ABCDE是正五边形， 360° ∴∠3= =72°，∠BAE=108° 5 ∵AF∥DG ∴DG∥HF ∴∠1=∠H ∵∠H+∠3=∠2+∠BAE ∴∠H=20°+108°−72°=56° ∴∠1=∠H=56° 故选：B． 【点睛】本题考查正五边形的性质、两直线平行，内错角相等、三角形的外角性质等知识，是重要考点， 掌握相关知识是解题关键． 9.正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ） A．1：3 B．1：2 C．2：1 D．3：1 【答案】D 【分析】根据正八边形的外角和等于360°，求出每个外角的度数，再求出每个内角的度数，进而即可求 解．【详解】解：正八边形中，每个外角=360°÷8=45°，每个内角=180°-45°=135°， ∴每个内角与每个外角的度数之比=135°：45°=3：1， 故选D． 【点睛】本题主要考查正多边形的内角和外角，熟练掌握正多边形的外角和等于360°，是解题的关键． 10.等边三角形、正方形及正五边形各一个，按下图放在同一平面内，则∠1+∠2+∠3=（ ） A．102° B．104° C．106° D．108° 【答案】A 【分析】根据正方形，正三角形和正五边形的内角以及正多边形的外角和即可即可求解． 【详解】正三角形的每个内角为180°÷3=60°， 正五边形的每个内角(5−2)×180°÷5=108°， 正方形的每一个内角为360°÷4=90°， ∴∠1+∠2+∠3= 360°−90°−60°−108°=102°， 故选：A． 【点睛】本题考查了正多边形的外角和与内角和的关系，熟练掌握多边形的外角和为360°是解题的关键． 11.发现：如图1，在有一个“凹角∠A A A ”n边形 A A A A …A 中（n为大于3的整数）， 1 2 3 1 2 3 4 n ∠A A A =∠A +∠A +∠A +∠A +∠A +……+∠A −(n−4)×180°． 1 2 3 1 3 4 5 6 n 验证： （1）如图2，在有一个“凹角∠ABC”的四边形ABCD中，证明：∠ABC=∠A+∠C+∠D． （2）如图3，有一个“凹角∠ABC”的六边形ABCDEF中，证明； ∠ABC=∠A+∠C+∠D+∠E+∠F−360°． 延伸： （3）如图4，在有两个连续“凹角A A A 和∠A A A❑❑”的四边形 A A A A ……A 中（n为大 1 2 3 2 3 4 1 2 3 4 n 于4的整数），∠A 1 A 2 A 3 +∠A 2 A 3 A 4 =∠A 1 +∠A 4 +∠A 5 +∠A 6….. +∠A n −(n− )×180° ． _【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）6． 【分析】（1）如图2，延长AB交CD于E，根据三角形的外角的性质即可得到结论； （2）如图3，延长AB交CD于G，则∠ABC=∠BGC+∠C，根据多边形的内角和和外角的性质即可 得到结论； （3）如图4，延长A A 交A A 于 C，延长A A 交A A 于 B，根据三角形的外角的性质得到 2 3 5 4 3 2 1 n ∠A A A +∠A A A =∠A +∠2+∠A +∠4，根据多边形的内角和得到 1 2 3 2 3 4 1 4 ∠1+∠3=(n−2−2)×180°−(∠A +∠A +∠A )，于是得到结论． 5 6…… n 【详解】解：（1）如图2，延长AB交CD于E， 则∠ABC=∠BEC+∠C，∠BEC=∠A+∠D， ∴∠ABC=∠A+∠C+∠D； （2）如图3，延长AB交CD于G， 则∠ABC=∠BGC+∠C， ∵∠BGC=180°−∠BGD，∠BGD=3×180°−(∠A+∠D+∠E+∠F)， ∴∠ABC=∠A+∠C+∠D+∠E+∠F−360°； （3）如图4，延长A A 交A A 于C，延长A A 交A A 于B， 2 3 5 4 3 2 1 n则∠A A A +∠A A A =∠A +∠2+∠A +∠4， 1 2 3 2 3 4 1 4 ∵∠1+∠3=(n−2−2)×180°−(∠A +∠A +∠A )， 5 6…… n 而∠2+∠4=360°−(∠1+∠3)=360°−[(n−2−2)×180°−(∠A +∠A +∠A )]， 5 6…… n ∴∠A A A +∠A A A =∠A +∠A +∠A +∠A +∠A −(n−6)×180°． 1 2 3 2 3 4 1 4 5 6…… n 故答案为：6． 【点睛】本题考查了多边形的内角和外角和等知识，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键． 12.定义：由n条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做n边形．相邻两边组成的角叫做它的内角，一边 和它邻边的延长线组成的角叫做它的外角．为了探究n边形的外角和与内角和的度数，小华做了以下实 验：取若干张纸片，分别在纸片上画出三角形、四边形、五边形等，顺次延长各边得到各个外角，然后 沿着多边形的边和延长线将它剪开，将外角拼在一起，观察图形，并进行推理． （1）实验操作． （2）归纳猜想． 多边 三角形 四边形 五边形 … n边形 形 外角 ___________ ___________ ___________ … ___________ 和 内角 ___________ ___________ ___________ … ___________和 （3）理解应用． 一个多边形的内角和是外角和的1008倍，它是多少边形？ 【答案】（2）见解析；（3）这个多边形是二零一八边形 【分析】（2）利用实验操作探究规律后即可解决问题； （3）构建方程，解方程即可解决问题； 【详解】（2）解：由实验操作可知， 多边 三角形 四边形 五边形 … n边形 形 外角 360° 360° 360° … 360° 和 内角 180° 360° 540° … (n−2)×180° 和 （3）设这个多边形的边数为n． 由题意（n−2）180°=1008×360°， 解得n=2018． 答：这个多边形是二零一八边形． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探 究规律的方法，属于中考常考题型． 题型十二：多边形外角和的实际应用 1.将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的方式摆放，如果∠1＝41°，∠2＝51°，那么∠3等于（ ） A．5° B．10° C．15° D．20° 【答案】B 【分析】先算出三个图形的内角是多少，再根据三个平角的和即可求出∠3的值． 【详解】如图所示：∵等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°， 1 正五边形的内角的度数是： （5﹣2）×180°＝108°， 5 ∴∠3+108°+∠BAC+∠1+60°+∠BCA+∠2+90°+∠ABC=540°（三个平角的为540°） ∠3＝540°-180°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2 ＝10°． 故选：B． 【点睛】本题考查多边形的内角和和外角和．找出图中的△ABC利用内角和是180°是解决本题的关键． 2.如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设 ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确 的是（ ） △ A．α−β=0 B．α−β<0 C．α−β>0 D．无法比较α与β的大小 【答案】A 【分析】多边形的外角和为360°， ABC与四边形BCDE的外角和均为360°，作出选择即可． 【详解】解：∵多边形的外角和为3△60°， ∴ ABC与四边形BCDE的外角和α与β均为360°， ∴△α−β=0， 故选：A． 【点睛】本题考查多边形的外角和定理，注意多边形的外角和为360°是解答本题的关键． 3.如图，小明从A点出发，沿直线前进20米后左转30°，再沿直线前进20米，又向左转30°，…，照这样 走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（ ）A．120米 B．200米 C．160米 D．240米 【答案】D 【分析】由题意可知小华走出了一个正多边形，根据正多边形的外角和公式可求解. 【详解】已知多边形的外角和为360°，而每一个外角为30°，可得多边形的边数为360°÷30°=12，所以小 明一共走了：12×20=240米． 故答案选：D． 【点睛】本题考查多边形内角与外角，熟记公式是关键. 4.如图，琪琪沿着一个四边形公园小路跑步锻炼，从A处出发，当她跑完一圈时，她身体转过的角度之和 为 ． 【答案】360°/360度 【分析】根据多边形的外角和等于360度即可求解． 【详解】解：∵多边形的外角和等于360度， ∴琪琪跑完一圈时，身体转过的角度之和是360度． 故答案为：360度． 【点睛】此题考查的是多边形的内角与外角，解题的关键是掌握多边形的外角和等于360度． 题型十三：平面镶嵌 1. 20世纪70年代，数学家罗杰·彭罗斯使用两种不同的菱形，完成了非周期性密铺，如下图，使用了A， B两种菱形进行了密铺，则菱形B的锐角的度数为 °． 【答案】36 【分析】如图，设菱形B的锐角为x，菱形A的锐角和钝角分别为y、z，根据密铺的图案中一个顶点处的周角为360°列出方程组，解答即可． 【详解】解：如图，设菱形B的锐角为x，菱形A的锐角和钝角分别为y、z，根据题意，得 ¿，解得¿， 故答案为：36． 【点睛】本题常考了密铺问题，涉及了菱形的性质、多边形的内角和、三元一次方程组等知识，正确理 解题意、得出方程组是解题的关键． 2.如图，将几个全等的正八边形进行拼接，相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个 正方形．设正方形的边长为1，则该图形外轮廓的周长为 ；若n个全等的正多边形中间围成的图形 是正三角形，且相邻的两个正多边形有一条公共边，设正三角形的边长为1，则该图形外轮廓的周长是 ． 【答案】 20 27 【分析】根据正多边形的性质，每条边相等，即可求解．求得该图形外轮廓的周长，根据密铺可知正n边 形，为正12边形，据此即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴该图形外轮廓的周长为(8−3)×4=20， 360°−60° 若n个全等的正多边形中间围成的图形是正三角形，则n边形的一个内角为 =150° 2 则n边形的一个外角180°−150°=30°， ∴n=360°÷30°=12， 根据相邻的两个正多边形有一条公共边， 则图形外轮廓的周长为(12−3)×3=27 故答案为：20，27【点睛】本题考查了正多边形的性质，多边形的内角和，外角和，平面镶嵌，理解题意是解题的关键． 3.如图，若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边 形的个数为（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式（n−2)·180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形 的两边相交于一点，并根据四边形的内角和求出这个角的度数，然后根据周角等于360°求出完成这一圆 环需要的正五边形的个数，然后减去3即可得解． 【详解】解：∵五边形的内角和为(5−2)×180°=540°, ∴正五边形的每一个内角为540°÷5=108°, ∴正五边形的每一个外角为180°−108°=72°, 如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1=180°−2×72°=36°, 360°÷36°=10, ∵已经有3个五边形， ∴10−3=7, 即完成这一圆环还需7个五边形． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解 题的关键，注意需要减去已有的3个正五边形． 4.如图所示的地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则∠BAD的度数为（ ）A．50° B．60° C．100° D．120° 【答案】B 【分析】先计算出正六边形的内角，根据平面镶嵌的条件计算求解． 360° 【详解】解：正六边形的一个内角度数为180°− =120°， 6 360°−120°×2 ∴∠BAD的度数为 =60°， 2 故选：B． 【点睛】本题考查了平面镶嵌，也考查了正多边形内角的计算方法，掌握正多边形的概念，理解几何图 形镶嵌成平面是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角是解题关键． 5.如图①是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和菱形创作的镶嵌图案设计，图②是镶嵌图案 中的某一片段的放大图，其中菱形的最小内角为 度． 【答案】36 【分析】根据平面镶嵌的定义，结合正五边形的内角，即可求解． (5−2)×180 【详解】解：正五边形的每一个内角为 =108° 5 设菱形的最小内角为x，根据题意得， x+3×108=360 解得：x=36 故答案为：36． 【点睛】本题考查了正多边形的内角和公式，平面镶嵌，熟练掌握平面镶嵌的定义以及多边形的内角和 公式是解题的关键． 6.“动感数学”社团教室重新装修，如图是用边长相等的正方形和正n边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则n的值为 ． 【答案】8 (n−2)×180° 【分析】根据正方形的内角为90°，正n边形的每个内角为 ，再结合题意可列出关于n的 n 方程，解出n的值，即得出答案． (n−2)×180° 【详解】解：正方形的每个内角为90°，正n边形的每个内角为 ， n (n−2)×180° 则根据题意有90°+2× =360°， n 解得：n=8． 故答案为：8． (n−2)×180° 【点睛】本题考查平面镶嵌，正多边形的内角问题．掌握正n边形的每个内角为 是解题关 n 键． 7.如图，要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作2a． 下面我们来探究纸盒底面半径的最小值： （1）如果要装10支铅笔，小蓝画了图①、图②两种排列方式，请你通过计算，判断哪种方式更节省空 间： ．（填①或②） （2）如果要装24支铅笔，请你模仿以上两种方式，算出纸盒底面最小半径是 ．（用含a的代数 式表示）【答案】 图① √109a 【分析】(1)图①由10个正六边形构成，图②由10个正六边形和4个正三角形构成，分别计算出其面积比 较大小即可， (2)要装24支铅笔，要使纸盒底面最小，按图①方式排每个正六边形相邻的空间最小计算出半径即可； 【详解】（1）∵一个正六边形可以分为6个全等的等边三角形，且边长为2a ∴小三角形的高=√(2a) 2−a2=√3a 1 ∴S =6S =6× ×√3a×2a=6√3a2 ， 正六边形 小三角形 2 图①由10个正六边形构成 S=10×6√3a2=60√3a2 ， 图②由10个正六边形和4个正三角形构成 S=10S +4S =10×6√3a2+4×√3a2=64√3a2 正六边形 小三角形 ∵60√3a2 ＜64√3a2 ∴图①更节省空间 故答案为：① （2）由（1）可知，每个正六边形相邻空间最小，此时的盒地面半径最小，如图 以中点O为圆心，OA长为半径纸盒底面半径最小,过O点作OB⊥AB，由（1）可知，OB= 3×2√3a=6√3a 在Rt△AOB中，AB=a，OB=6√3a OA=√AB2+OB2=√a2+108a2=√109a 纸盒底面最小半径是√109a故答案为：√109a 【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，正多边形的面积，勾股定理，以及圆的知识，解题的关键要读懂题 意画出示意图． 8.用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点在一起，刚好能完全铺满地面，已知正多边形的边数为 1 1 1 x、y、z，则 + + 的值为 ． x y z 1 【答案】 /0.5 2 (n−2)×180° 【分析】利用正n多边形的内角公式 求解即可． n 【详解】解：根据题意，这三种边长相等的正多边形的内角和为360°， (x−2)×180° (y−2)×180° (z−2)×180° 则 + + =360°， x y z 2 2 2 ∴1− +1− +1− =2， x y z 1 1 1 1 ∴ + + = ， x y z 2 1 故答案为： ． 2 【点睛】本题考查正多边形的内角问题，理解题意，得到这三种边长相等的正多边形的内角和为360°是 解答的关键． 9.要设计一个装彩铅的圆柱体纸盒，已知每支铅笔大小相同，底面均为正六边形，边长记作2a．下面我 们来研究纸盒底面半径的最小值． （1）如果要装6支彩铅，嘉淇画出了如图1，图2所示的两种布局方案． 方案Ⅰ中纸盒底面半径的最小值为 ； 方案Ⅱ中纸盒底面半径的最小值为 ； （2）如果要装12色的彩铅，请你为厂家设计一种最佳的布局，使得底面圆的半径最小，最小值为 ．【答案】 6a 7a 3√7a 【分析】（1）由图形可知，方案Ⅰ中纸盒底面半径应为正六边形的对角线长加边长，方案Ⅱ中纸盒底面 半径应为正六边形对角线长加边长，再上边长的一半，由此计算即可； （2）考虑将12个正六边形对称放置，然后确定其外接圆，利用正六边形的边长以及勾股定理求解最小 半径即可． 【详解】（1）如图1所示，方案Ⅰ中纸盒底面半径最小值即为OA的长度， ∵正六边形的边长为2a， ∴OA=2a+4a=6a； 如图2所示，方案Ⅱ中纸盒底面半径最小值即为OB的长度， ∴OA=a+2a+4a=7a； 故答案为：6a；7a； （2）如图所示方式，装12支铅笔的底面圆半径最小，此时最小半径为OC，连接CQ、PC、PQ， ∵正六边形的边长为2a， ∴CP=3×2√3a=6√3a，PQ=2a+4a+4a+2a=12a， ∵∠CPQ=90°， ∴CQ=√CP2+PQ2=6√7a， 1 ∴OC= CQ=3√7a， 2 故答案为：3√7a．【点睛】本题考查正多边形与圆，以及镶嵌问题，掌握正多边形与圆的性质，灵活运用勾股定理进行计 算是解题关键． 考点二：平行四边形的性质与判定 题型一：平行四边形的性质求解 1.如图，在▱ABCD中，一定正确的是（ ） A．AD=CD B．AC=BD C．AB=CD D．CD=BC 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，然后对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质．解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质． 2.如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若 AB=3,AD=4，则EF的长是（ ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质证明DF＝CD，AE＝AB，进而可得AF和ED的长，然后可得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝4， ∴∠DFC＝∠FCB，又∵CF平分∠BCD， ∴∠DCF＝∠FCB， ∴∠DFC＝∠DCF， ∴DF＝DC＝3， 同理可证：AE＝AB＝3， ∵AD＝4， ∴AF＝4−3＝1，DE＝4−3＝1， ∴EF＝4−1−1＝2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三 角形的性质解题． 3.如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC=90°，∠CAB=60°，AB＝8，点A对应直尺的刻 度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A'B'C'，点A'对应直尺的刻度为0，则四边 形ACC' A'的面积是（ ） A．96 B．96√3 C．192 D．160√3 【答案】B 【分析】根据直尺与三角尺的夹角为60°，根据四边形ACC' A'的面积为 A A' ⋅ACsin60°=2ABsin60°⋅A A'，即可求解． 【详解】解：依题意ACC' A'为平行四边形， ∵∠ABC=90°，∠CAB=60°，AB＝8，A A'=12． ∴AC=2AB √3 ∴平行四边形ACC' A'的面积=A A' ⋅ACsin60°=2ABsin60°⋅A A' =2×8×12× =96√3 2 故选B 【点睛】本题考查了解直角三角形，平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键． 4.将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，∠EFG＝90°，∠EGF＝60°，∠AEF＝ 50°，则∠EGC的度数为（ ）A．100° B．80° C．70° D．60° 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质可得AB∥DC，再根据三角形内角和定理，即可得到∠GEF的度数，依据平行 线的性质，即可得到∠EGC的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠AEG=∠EGC， ∵∠EFG=90°，∠EGF=60°， ∴∠GEF=30°， ∴∠GEA=80°， ∴∠EGC=80°． 故选：B． 【点睛】此题考查的是平行四边形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 5.如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为 （ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的性质可得∠CBM＝∠CMB，利用等边对等角即可得MC＝BC ＝8，进而可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD， ∴∠ABM＝∠CMB，∵BM是∠ABC的平分线， ∴∠ABM＝∠CBM， ∴∠CBM＝∠CMB， ∴MC＝BC＝8， ∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和角平分线的性质，掌握其相关性质是解题的关键． 6.如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B'处，若∠1=∠2=36°，∠B为（ ） A．36° B．144° C．108° D．126° 【答案】D 1 【分析】根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC=∠ACD=∠B′AC= ∠1，再根据三角形内角和定理可得． 2 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ACD=∠BAC， 由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC， 1 ∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC= ∠1=18°， 2 ∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-36°-18°=126°； 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练 掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键． 7.如图，在▱ABCD中，AD=10，对角线AC 与BD相交于点O，AC+BD=22，则 BOC的周长为 △ 【答案】21【分析】根据平行四边形对角线互相平分，求出OC+OB的长，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， 1 1 ∴AO=OC= AC，BO=OD= BD，BC=AD=10, 2 2 ∵AC+BD=22， ∴OC+BO=11， ∵BC=10， ∴ BOC的周长=OC+OB+BC=11+10=21． 故△答案为：21． 【点睛】本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的对角线互 相平分，属于中考基础题． k 8.如图四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，点B在y轴上，反比例函数y= (x>0)的图象经过第一 x 象限点A，且平行四边形ABCD的面积为6，则k= ． 【答案】6 【分析】过点A作AE⊥CD于点E，然后平行四边形的性质可知△AED≌△BOC，进而可得矩形ABOE的面 积与平行四边形ABCD的面积相等，最后根据反比例函数k的几何意义可求解． 【详解】解：过点A作AE⊥CD于点E，如图所示： ∴∠AED=∠BOC=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC=AD,BC//AD，∴∠ADE=∠BCO， ∴△AED≌△BOC（AAS）， ∵平行四边形ABCD的面积为6， ∴S =S =6， ▱ABCD 矩形ABOE ∴k=6； 故答案为6． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及反比例函数k的几何意义，熟练掌握平行四边形的性质及反比 例函数k的几何意义是解题的关键． 9.如图，平行四边形ABCD中，AB=5,BC=10,BC边上的高AM=4，点E为BC边上的动点（不与B、 C重合，过点E作直线AB的垂线，垂足为F，连接DE、DF． (1)求证：△ABM∽△EBF； (2)当点E为BC的中点时，求DE的长； (3)设BE=x,△≝¿的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求当x为何值时，y有最大值，最大值是 多少？ 【答案】(1)证明见解析 (2)DE=4√5 6 ( 55) 2 121 55 121 (3)解析式为y=− x− + ，当x= 时，y有最大值为 25 6 6 6 6 【分析】（1）利用AA证明△ABM∽△EBF，即可； （2）过点E作EN⊥AD于点N，可得四边形AMEN为矩形，从而得到NE=AM=4,AN=ME，再由 勾股定理求出BM=3，从而得到ME=AN=2，进而得到DN=8，再由勾股定理，即可求解； AM EF 4 （3）延长FE交DC的延长线于点G．根据sin∠B= = ，可得EF= x，再证得 AB BE 5 3 3 △ABM∽△ECG，可得GC= (10−x)，从而得到DG= (10−x)+5，再根据三角形的面积公式， 5 5 得到函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵EF⊥AB,AM是BC边上的高， ∴∠AMB=∠EFB=90°，又∵∠B=∠B， ∴△ABM∽△EBF； （2）解：过点E作EN⊥AD于点N， 在平行四边形ABCD中，AD∥BC， 又∵AM是BC边上的高， ∴AM⊥AD， ∴∠AME=∠MAN=∠ANE=90°， ∴四边形AMEN为矩形， ∴NE=AM=4,AN=ME， 在Rt△ABM中，BM=√AB2−AM2=√52−42=3， 又∵E为BC的中点， 1 ∴BE= BC=5， 2 ∴ME=AN=2， ∴DN=8， 在Rt△DNE中，DE=√DN2+N E2=√42+82=4√5； ； （3）解：延长FE交DC的延长线于点G． AM EF ∵sin∠B= = ， AB BE 4 EF ∴ = ， 5 x 4 ∴EF= x， 5 ∵AB∥CD， ∴∠B=∠ECG，∠EGC=∠BFE=90°， 又∵∠AMB=∠EGC=90°， ∴△ABM∽△ECG，CG EC ∴ = ， BM AB CG 10−x ∴ = ， 3 5 3 ∴GC= (10−x)， 5 3 ∴DG=DC+CG= (10−x)+5． 5 ∴y= 1 EF⋅DG= 1 × 4 x [3 (10−x)+5 ] =− 6 x2+ 22 x =− 6 ( x− 55) 2 + 121 ， 2 2 5 5 25 5 25 6 6 55 121 ∴当x= 时，y有最大值为 ． 6 6 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质， 解直角三角形，熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，矩形的性质 是解题的关键． 10.如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱A'B'C'D'的位置，使点B'落在BC上，B'C'与CD交于点 3 E若AB=3,AD=4,BB'= ，则∠BAB'= （从“∠1,∠2,∠3”中选择一个符合要求的填 2 空）；DE= ． 4 【答案】 ∠1（答案不唯一） 3 【分析】根据旋转的性质得出∠BAD=∠B' AD'，即可推出∠BAB'=∠1；通过证明 ，得出 AB BB' ，求出 ，设 ， ，则 ， △ABB' ∽△ADD' = DD'=2 DE=x C'E= y CE=3−x AD DD'1 y 1 x C'D C'E DE = , = B'E=4−y，证明△B'CE∽△DC'E，得出 = = ，则5 3−x 5 4−y，即可求解． CB' CE B'E 2 2 【详解】解：∵将▱ABCD绕点A逆时针旋转得到▱A'B'C'D'， ∴∠BAD=∠B' AD'， ∴∠BAD−∠B' AD=∠B' AD'−∠B' AD，即∠BAB'=∠1， ∵将▱ABCD绕点A逆时针旋转得到▱A'B'C'D'， ∴∠B=∠AB'C'=∠D'，AB=AB',AD=AD'， ∴∠B=∠AB'B=∠D'=∠ADD'， ∴△ABB' ∽△ADD'， 3 AB BB' ∴ = ，即3 2 ， AD DD' = 4 DD' 解得：DD'=2， ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=3， ∴AB=CD=C'D'=3， ∴C'D=C'D'−DD'=1， 设DE=x，C'E= y，则CE=3−x，B'E=4−y， ∵∠C=∠C',∠3=∠DEC'， ∴△B'CE∽△DC'E， C'D C'E DE ∴ = = ， CB' CE B'E 1 y 1 x = , = ∴5 3−x 5 4−y， 2 2 6−2x 整理得：y= ， 5 1 x 6−2x = 4 把y= 代入5 4−y解得：x= 5 3 2 4 故答案为：∠1， ． 3 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌 握相关性质定理，掌握相似三角形对应边成比例． 11.如图，在平行四边形ABCD(AB0)的图象经过点A(3,4)和点M． x （1）求k的值和点M的坐标； （2）求▱OABC的周长． 【答案】（1）k=12，M（6,2）；（2）28 k 【分析】（1）将点A（3,4）代入y= 中求出k的值，作AD⊥x轴于点D，ME⊥x轴于点E，证明 x ME MC 1 12 △MEC∽△ADC，得到 = = ，求出ME=2，代入y= 即可求出点M的坐标； AD CA 2 x （2）根据勾股定理求出OA=5，根据点A、M的坐标求出DE，即可得到OC的长度，由此求出答案. k 【详解】（1）将点A（3,4）代入y= 中，得k=3×4=12， x ∵四边形OABC是平行四边形， ∴MA=MC， 作AD⊥x轴于点D，ME⊥x轴于点E， ∴ME∥AD， ∴△MEC∽△ADC， ME MC 1 ∴ = = ， AD CA 2∴ME=2， 12 将y=2代入y= 中，得x=6， x ∴点M的坐标为（6,2）； （2）∵A（3,4）， ∴OD=3，AD=4， ∴OA=√OD2+AD2=5, ∵A（3,4），M（6,2）， ∴DE=6-3=3， ∴CD=2DE=6， ∴OC=3+6=9， ∴▱OABC的周长=2(OA+OC)=28. 【点睛】此题考查平行四边形的性质，待定系数法求反比例函数的解析式，求函数图象上点的坐标，勾 股定理，相似三角形的判定及性质. 6.在▱ABCD中，∠ADB=90°，点E在CD上，点G在AB上，点F在BD的延长线上，连接 AD DG EF，DG．∠FED=∠ADG， = =k． BD EF(1)如图1，当k=1时，请用等式表示线段AG与线段DF的数量关系______； (2)如图2，当k=√3时，写出线段AD，DE和DF之间的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，当点G是AB的中点时，连接BE，求tan∠EBF的值． 【答案】(1)AG=DF (2)AD=2√3DF+√3DE √3 (3) 5 【分析】（1）当k=1时，AD=BD,DG=EF，在AD上截取DH=DE，连接HG，证明 △DHG≌△EDF(SAS)，推出∠DHG=∠EDF=135°，DF=HG，得到AG=GH=DF； （2）当k=√3时，得到∠A=30°，∠CDB=∠DBA=60°，过点G作GM⊥AB交AD于点M，证明 MG DM DG △DMG∽△EDF，推出 = = =√3，得到MG=√3DF,DM=√3DE，由此得到 DF DE EF AM=2MG=2√3DF，进而推出AD=2√3DF+√3DE； （3）由（2）得DB=2DF+DE，设DE=x，由点G是AB的中点，得到∠ADG=30°，推出 1 1 DE=DF=x，DB=3x，过点E作EN⊥BD于N，根据30°角的性质及勾股定理求出DN= DE= x， 2 2 √3 5 EN= x，即可得到BN= x，根据公式计算即可． 2 2 【详解】（1）解：当k=1时，AD=BD,DG=EF， ∵在▱ABCD中，∠ADB=90°， ∴∠A=∠ABD=45°，AB∥CD， ∴∠CDB=45° ∴∠CDF=135°，在AD上截取DH=DE，连接HG， ∵∠FED=∠ADG， ∴△DHG≌△EDF(SAS)， ∴∠DHG=∠EDF=135°，DF=HG， ∴∠AHG=45°，∠AGH=90°， ∴AG=GH=DF， 故答案为：AG=DF； （2）AD=2√3DF+√3DE，理由如下： AD DG 当k=√3时， = =√3， BD EF ∴∠A=30°，∠CDB=∠DBA=60°， 过点G作GM⊥AB交AD于点M， ∴∠DMG=120°， ∵∠FDE=120°， ∴∠FDE=∠DMG， 又∵∠FED=∠ADG， ∴△DMG∽△EDF， MG DM DG ∴ = = =√3， DF DE EF ∴MG=√3DF,DM=√3DE， ∵∠A=30°， ∴AM=2MG=2√3DF， ∵AD=AM+DM，∴AD=2√3DF+√3DE （3）∵AD=√3DB，AD=2√3DF+√3DE， ∴DB=2DF+DE， 设DE=x， ∵点G是AB的中点， ∴AG=DG=BG， ∴∠ADG=30°, ∴∠DFE=30°=∠FED， ∴DE=DF=x，DB=3x， 过点E作EN⊥BD于N， ∵∠BDE=∠ABD=60°， ∴∠DEN=30°， 1 1 √3 ∴DN= DE= x，EN= x， 2 2 2 1 5 ∴BN=BD−DN=3x− x= x， 2 2 √3 x EN 2 √3 ∴tan∠EBF= = = ． BN 5 5 x 2 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三 角形30度角的性质，求角的正切值，熟练掌握各知识点是解题的关键． 7.如图，在▱ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，连接AE，CF，且AE∥CF．求证： (1)∠1=∠2； (2)△ABE≌△CDF．【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明四边形AECF是平行四边形即可； （2）用SSS证明△ABE≌△CDF即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AF∥EC， 又∵ AE∥CF． ∴四边形AECF是平行四边形． ∴∠1=∠2(平行四边形对角相等) （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC， ∵四边形AECF是平行四边形， ∴AE=FC，AF=CE， ∴BE=FD， 在△ABE和△CDF中， ∵ ¿， ∴△ABE≌△CDF(SSS)． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形全等的判定，熟练掌握平行四边形性质是解本题的关键． 8.如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交对角线BD于点E． (1)用尺规完成以下基本作图：作∠BCD的平分线，交对角线BD于点F；（不写作法和证明，保留作图痕 迹） (2)在（1）所作的图形中，求证：BE=DF．（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字 母或者符号） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，①__________， ∴∠ABE=∠CDF ∵AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB1 ∴∠BAE= ∠BAD，②___________， 2 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴③_______________ ∴∠BAE=∠DCF 在 ABE与 CDF中 ¿ △ △ ∴△ABE≌△CDF（ASA） ∴BE=DF 【答案】(1)见解析 1 (2)AB//CD，∠DCF= ∠BCD，∠BAD=∠BCD，AB=CD 2 1 【分析】（1）在CB，CD上，分别截取CM，CN，使CM=CN，分别以点M，点N为圆心，大于 MN的 2 长为半径画弧，在∠BCD内，两弧交于点P，作射线CP交BD于点F，CF即为所求； （2）根据平行四边形的性质得AB//CD，根据平行线的性质得∠ABE=∠CDF，根据角平分线得 1 1 ∠BAE= ∠BAD，∠DCF= ∠BCD，根据平行四边形的性质得∠BAD=∠BCD，即 2 2 ∠BAE=∠DCF，根据ASA即可得△ABE≌△CDF，即BE=DF． 【详解】（1）解：如图，在CB，CD上，分别截取CM，CN，使CM=CN，分别以点M，点N为圆心，大 1 于 MN的长为半径画弧，在∠BCD内，两弧交于点P，作射线CP交BD于点F，CF即为所求． 2 （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB//CD， ∴∠ABE=∠CDF， ∵AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB， 1 1 ∴∠BAE= ∠BAD，∠DCF= ∠BCD， 2 2 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD=∠BCD，∴∠BAE=∠DCF， 在 ABE与 CDF中， ¿ △ △ ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴BE=DF， 1 故答案为：AB//CD，∠DCF= ∠BCD，∠BAD=∠BCD，AB=CD． 2 【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的 关键是掌握这些知识点． 9.如图，在▱ABCD中，AB>AD． （1）用尺规完成以下基本作图：在AB上截取AE，使得AE=AD；作∠BCD的平分线交AB于点F．（保留 作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P，猜想△CDP按角分类的类型，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）直角三角形，理由见解析 【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出符合题意的答案； （2）先证明∠ADE=∠CDE，再利用平行线的性质“同旁内角互补”，得出∠CPD=90°即可得出答案． 【详解】解：（1）解：如图所示：E，F即为所求； （2）△CDP是直角三角形． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AD∥BC． ∴∠CDE=∠AED，∠ADC+∠BCD=180°， ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED． 1 ∴∠CED=∠ADE= ∠ADC． 2∵CP平分∠BCD， 1 ∴∠DCP= ∠BCD， 2 ∴∠CDE+∠DCP=90°． ∴∠CPD=90°． ∴△CDP是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了基本作图以及平行四边形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用 所学知识解决问题． 题型三：判断已知条件能否构成平行四边形 1.下列条件中，可以判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ） A．对角线互相垂直 B．两条对角线相等 C．一组对边平行，另一组对边相等 D．一组对边平行，另一组对角相等 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可． 【详解】A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，不符合题意， B. 两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，不符合题意 C. 一组对边平行，另一组对边相等，可以使等腰梯形，不符合题意 D. 一组对边平行，另一组对角相等，是平行四边形， 如图，∵AB//CD,∠A=∠C ∴∠A+∠D=180° ∵∠A=∠C ∴∠C+∠D=180° ∴ AD//BC ∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项正确 故选D 【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 2.在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）A．对角线互相平分 B．一组对边平行且相等 C．两组对边分别平行 D．一组对边平行，另一组对边相等 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理分别分析各选项，即可求得答案． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项能判定； B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；故本选项能判定； C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；故本选项能判定； D、一组对边平行，另一组对边相等不一定是平行四边形；故本选项不能判定． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定．熟记平行四边形的判定方法是解此题的关键． 3.在下列条件中，不能判定一个四边形是平行四边形的是（ ） A．一组对边平行另一组对边相等 B．一组对边平行且相等 C．两组对角相等 D．对角线互相平分 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定定理逐一判断即可：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两 组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平 分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【详解】解：A、一组对边平行另一组对边相等不能判定一个四边形是平行四边形，符合题意； B、一组对边平行且相等能判定一个四边形是平行四边形，不符合题意； C、两组对角相等能判定一个四边形是平行四边形，不符合题意； D、对角线互相平分能判定一个四边形是平行四边形，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键，在解 题过程中要灵活运用所学知识． 4.如图1，▱ABCD中，AD>AB，∠ABC为锐角．要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM 为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是 C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是 【答案】A 【分析】甲方案：利用对角线互相平分得证； 乙方案：由△ABN≌△CDM，可得BN=DM,即可得ON=OM， 再利用对角线互相平分得证； 丙方案:方法同乙方案． 【详解】连接AC,BD交于点O 甲方案：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AO=CO,BO=DO ∵BN=NO,OM=MD ∴ON=OM ∴ 四边形ANCM为平行四边形． 乙方案： ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，AB//CD，AO=CO,BO=DO ∴∠ABN=∠CDM 又∵AN⊥BD,CM⊥BD ∴∠ANB=∠CMD ∴△ABN≌△CDM(AAS) ∴BN=DM ∵BO=DO ∴ON=OM ∴ 四边形ANCM为平行四边形． 丙方案: ∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，AB//CD，AO=CO,BO=DO， ∠BAD=∠BCD ∴∠ABN=∠CDM 又∵ AN,CM分别平分∠BAD,∠BCD 1 1 ∴ ∠BAD= ∠BCD， 即∠BAN=∠DCN 2 2 ∴△ABN≌△CDM（ASA） ∴BN=DM ∵BO=DO ∴ON=OM ∴ 四边形ANCM为平行四边形． 所以甲、乙、丙三种方案都可以． 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正 确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键． 5. □ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的 是（ ） A．BE=DF B．AE=CF C．AF//CE D．∠BAE=∠DCF 【答案】B 【分析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得． 【详解】A、如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵BE=DF， ∴OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意； B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC， ∵AF//CE， ∴∠FAO=∠ECO， 又∵∠AOF=∠COE， ∴△AOF≌ COE， ∴AF=CE，△ ∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意； D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB//CD， ∴∠ABE=∠CDF， 又∵∠BAE=∠DCF， ∴△ABE≌ CDF， ∴AE=CF，△∠AEB=∠CFD， ∴∠AEO=∠CFO， ∴AE//CF， ∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意， 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键． 题型四：添加一个条件使四边形成为平行四边形 1.在四边形ABCD中，∠A+∠B=180°，添加下列条件，能使四边形ABCD成为平行四边形的是 （ ） A．AB=CD B．AD∥BC C．AD=BC D．∠C+∠D=180° 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的 四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行 四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，逐项判断即可． 【详解】解：如图， ∵∠A+∠B=180°， ∴AD∥BC， 补充AB=CD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故A不符合题意； 补充AD∥BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故B不符合题意； 补充AD=BC，能判定四边形ABCD为平行四边形，故C符合题意； 补充∠C+∠D=180°，则AD∥BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四 边形不一定是平行四边形． 2.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是 （ ） A．AB∥CD，AB=CD B．AB=CD，AD=CB C．AB∥CD，AD=CB D．OA=OC，OB=OD【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法依次进行判断即可求解． 【详解】解：A．根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ”可判定四边形ABCD为平行四边 形，故此选项不符合题意； B．根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符 合题意； C．“一组对边平行，另一组对边相等 ”的四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意； D．根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合 题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 3.如图是嘉淇不完整的推理过程． 小明为保证嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列正确的是( ) A．∠B+∠C=180° B．AB=CD C．∠A=∠B D．AD=BC 【答案】B 【分析】根据平行四边形的5条判定定理可得到，在有一组对边平行的情况下，只能添加另一组对边平 行或这一组对边相等，查看选项可得到答案． 【详解】选项A中，∠B+∠C=180°，得到AB∥CD，无法证明平行四边形，选项A错误； 选项B中，AB=CD，得到AB与CD平行且相等，可证明平行四边形，选项B正确； 选项C中，∠A≠∠B，选项C错误； 选项D中，一组对边平行，另一组对边相等，可能为等腰梯形，不能判定平行四边形，选项D错误． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，需要严格按照判定定理进行推理论证，熟悉5条平行四边形的判 定是解题的关键． 4.如图，点E、F在▱ABCD的对角线AC上，连接BE、DE、DF、BF，请添加一个条件使四边形 BEDF是平行四边形，那么需要添加的条件是 ．（只填一个即可）【答案】AF=CE（答案不唯一） 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：添加：AF=CE，理由如下： 连接BD交AC于点O，如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO， ∵AF=CE， ∴OE=OF， ∴四边形BEDF是平行四边形． 故答案为：AF=CE（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关 键． 题型五：数平行四边形个数 1.数如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（ ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】C 【详解】如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，可得OA=OE=AF=EF，所以四边形AOEF是平行 四边形，同理：四边形DEFO，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形FABOD都是平行四边 形，共6个，故答案选C.考点：正多边形和圆；平行四边形的判定．考点：正多边形和圆；平行四边形的判定． 2.如图，在3×3的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都是格点． (1)从C、D、E、F四点中任取一点，以这点及点A、B为顶点画三角形，所画三角形是等腰三角形的概率 是 ． (2)从A、B、D、E四点中任取两点，以这两点及点C、F为顶点画四边形，用画树状图或列表格法求所画 四边形是平行四边形的概率． 3 【答案】(1) 4 1 (2) 3 【分析】（1）根据网格的特点可知，只有△ABD不是等腰三角形，进而根据概率公式即可求解； （2）根据题意列表求概率即可求解． 【详解】（1）解：∵从C、D、E、F四点中任取一点，以这点及点A、B为顶点画三角形，所画三角形 △ABC,△ABE,△ABF是等腰三角形，△ABD不是等腰三角形， 3 ∴所画三角形是等腰三角形的概率是 ， 4 3 故答案为： ， 4 （2）列表如下， A B E D A AB AE AD B BA BE BDE EA EB ED D DA DB DE 从A、B、D、E四点中任取两点，以这两点及点C、F为顶点画四边形，共有12种等可能结果， 其中四边形ACBF,ACFE是平行四边形，则选取AB,AE的有4种可能， 4 1 ∴所画四边形是平行四边形的概率为 = ． 12 3 【点睛】本题考查了格点中画等腰三角形，平行四边形，概率公式求概率，列表法求概率，掌握以上知 识是解题的关键 3.如图，由25个点构成的5×5的正方形点阵中，横、纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义： 由点阵中的四个点为顶点的平行四边形叫做阵点平行四边形．图中以A，B为顶点，面积为4的阵点平行 四边形的个数为（ ） A．6个 B．7个 C．9个 D．11个 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定，两组对边必须平行，可以得出上下各两个平行四边形符合要求，以及 特殊四边形矩形与正方形即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：一共11个面积为4的阵点平行四边形． 故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定得出结论是解题的关键． 4.如图，已知平行四边形ABCD的对角线的交点是O，直线EF过O点，且平行于AD，直线GH过O点且平 行于AB，则图中平行四边形共有( ) A．15个 B．16个 C．17个 D．18个 【答案】D 【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，根据图形写出所有的平行四边形即可得解． 【详解】解：平行四边形有：▱AEOG，▱AEFD，▱ABHG，▱GOFD，▱GHCD，▱EBHO，▱EBCF， ▱OHCF，▱ABCD，▱EHFG， ▱AEHO，▱AOFG，▱EODG，▱BHFO，▱HCOE，▱OHFD，▱OCFG，▱BOGE． 共18个． 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，准确识别复杂图形是解题的关键，写出平行四边形时要按照一定 的顺序，这样方能做到不重不漏． 题型六：求与已知三点组成平行四边形的点的个数 1.如图，在平面直角坐标系中，A(1,0)，B(−1,3)，C(−2,−1)，找一点D，使得以点A、B、C、D为顶 点的四边形是平行四边形，则点D的坐标不可能是（ ）A．(2,4) B．(−4,2) C．(0,−4) D．(−3,2) 【答案】D 【分析】根据题意结合平行四边形的性质画出图形进行分析即可解决问题，得出满足条件的点D有三个． 【详解】解：如图所示： 观察图象可知，满足条件的点D有三个，坐标分别为（2，4）或（-4，2）或（0，-4）， ∴点D的坐标不可能是（-3，2）. 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定以及平面直角坐标系与图形的性质等知识，解题的关键是正确画出 图形，利用图象法解决问题． 2.如图，A、B、C为一个平行四边形的三个顶点，且A、B、C三点的坐标分别为(3,3),(6,4),(4,6)．（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标； （2）在△ABC中，求出AB边上的高． 4√10 【答案】（1）(7,7)或(5,1)或(1,5)；（2） 5 【分析】（1）分以BC、AC和AB为对角线三种情况进行讨论，即可得出第四个点的坐标． 1 （2）先利用间接的方法求出ΔABC的面积，再利用勾股定理求出AB的长，又S = ×AB×ℎ，继而 ΔABC 2 即可求出AB边上的高ℎ． 【详解】解：（1）BC为对角线时，第四个点坐标为(7,7)； AB为对角线时，第四个点为(5,1)； 当AC为对角线时，第四个点坐标为(1,5)． 1 1 （2）∵S = ×AB×ℎ =3×3− (1×3+1×3+2×2)=4， ΔABC 2 2 AB=√12+32=√10， 4√10 ∴ℎ =4×2÷√10= ． 5 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质及坐标与图形的性质，解题关键是要分情况讨论，难易程度 适中． 3.平面直角坐标系中，已知□ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B ( 2，－l )，C（－m，－n）， 则点D的坐标是（ ） A．（－2 ，l ) B．（－2，－l ) C．（－1，－2 ) D ．（－1，2 ) 【答案】A 【详解】试题分析：∵平行四边形ABCD是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，而A、C关于原点 对称，故B、D也关于原点对称∴D（－2 ，l ）．故选A．考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质． k 4.如图，反比例函数y = （k＞0）的图象与直线AB交于点A(2，4)，直线AB与x轴交于点B(4，0)，过点 x B作x轴的垂线BC，交反比例函数的图象于点C，在平面内存在点D，使得以A，B，C，D四点为顶点的 四边形为平行四边形，则点D的坐标是 ． 【答案】（2，2）或（2，6）或（6，-2） 8 【分析】由图象过点A求出反比例函数解析式y= ，进而求出点C坐标（4，2），利用中点公式求点D x 的坐标． k 【详解】解：∵反比例函数y = （k＞0）的图象与直线AB交于点A(2，4) x ∴k=2×4=8 8 ∴反比例函数解析式为y= x ∵点B(4，0)，BC⊥x轴，交反比例函数的图象于点C ∴当x=4时，y=2 即点C的坐标为（4，2） 令点D的坐标为（x，y） ①当AB，CD为对角线时¿ 解得¿ ∴点D的坐标为（2，2） ②当AC，BD为对角线时¿ 解得¿ ∴点D的坐标为（2，6） ③当AD，BC为对角线时¿ 解得¿ ∴点D的坐标为（6，-2） 综上可知，点D的坐标为（2，2）或（2，6）或（6，-2）故答案为：（2，2）或（2，6）或（6，-2）. 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，求两函数的交点坐标，利用中点公式分情况求构 成平行四边形的点坐标． 5.如图是6×6的正方形网格，点A，B，C均在格点上．请按下列要求完成作图：①仅用无刻度直尺，且不 能用直尺中的直角；②保留作图痕迹． （1）在图中作出一个以点A，B，C，D为顶点的平行四边形． （2）在图中作出 ABC中AB边上的中线． 【答案】（1）答△案不唯一, 如图见解析；（2）如图见解析. 【分析】（1）分别作AB、CB的平行线相交那一点就是D点．(答案不唯一)（2）作AC、BC的平行线相较 于点E，连接CE，与AB相交于点F，即CF是三角形的中线. 【详解】（1）解：答案不唯一 （2）解：如图 【点睛】掌握平行四边形的定义和性质，两组对 边分别平行的四边形是平行四边形．三角形的中线顶点与对边中点的连线 题型七：证明四边形是平行四边形 1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，点E,F在对角线BD上，且BE=EF=FD，连 接AE,EC，CF,FA．(1)求证：四边形AECF是平行四边形． (2)若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，结合BE=FD可得OE=OF， 即可证明四边形AECF是平行四边形； （2）根据等底等高的三角形面积相等可得S =S =2，再根据平行四边形的性质可得 △AEF △ABE 1 1 1 S = S = S = ×2=1． △CFO 2 △CEF 2 △AEF 2 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA=OC，OB=OD， ∵ BE=FD， ∴ OB−BE=OD−FD， ∴ OE=OF， 又∵ OA=OC， ∴四边形AECF是平行四边形． （2）解：∵ S =2，BE=EF， △ABE ∴ S =S =2， △AEF △ABE ∵四边形AECF是平行四边形， 1 1 1 ∴ S = S = S = ×2=1． △CFO 2 △CEF 2 △AEF 2 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分． 2.如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE=CF．(1)求证：四边形EBFD是平行四边形； (2)若∠BAC=∠DAC,求证：四边形EBFD是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据四边形ABCD为平行四边形，得出AO=CO，BO=DO，再根据AE=CF，得出 EO=FO，即可证明结论； （2）先证明∠DCA=∠DAC，得出DA=DC，证明四边形ABCD为菱形，得出AC⊥BD，即可证明 结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO， ∵AE=CF， ∴AO−AE=CO−CF， 即EO=FO， ∴四边形EBFD是平行四边形． （2）∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠DCA=∠BAC， ∵∠BAC=∠DAC, ∴∠DCA=∠DAC， ∴DA=DC， ∴四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， 即EF⊥BD， ∵四边形EBFD是平行四边形， ∴四边形EBFD是菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握菱形 和平行四边形的判定方法，是解题的关键． 3.如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且 BE=DF，∠ABD=∠BDC．求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】见解析 【分析】结合已知条件推知AB∥CD；然后由全等三角形的判定定理AAS证得ΔABE≌ΔCDF，则其 对应边相等：AB=CD；最后根据“对边平行且相等是四边形是平行四边形”证得结论． 【详解】证明：∵∠ABD=∠BDC， ∴AB∥CD． ∴∠BAE=∠DCF． 在ΔABE与ΔCDF中， ∠BAE=∠DCF {∠AEB=∠CFD=90°． BE=DF ∴ΔABE≌ΔCDF(AAS)． ∴AB=CD． ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握平行四边形 的判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边 形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 4.如图，在四边形ABDF中，点E，C为对角线BF上的两点，AB=DF,AC=DE,EB=CF．连接 AE,CD． (1)求证：四边形ABDF是平行四边形； (2)若AE=AC，求证：AB=DB． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由BE=CF可得BC=EF，证明△ABC≌△DFE(SSS)，则∠ABC=∠DFE，AB∥DF，进而结论得证； （2）由AE=AC，可知∠AEC=∠ACE=∠≝¿，AE=DE，则∠AEB=∠DEB，证明 △AEB≌△DEB(SAS)，进而结论得证． 【详解】（1）证明：∵BE=CF， ∴BE+EC=EC+CF， ∴BC=EF， 在△ABC和△DFE中， ∵¿， ∴△ABC≌△DFE(SSS)， ∴∠ABC=∠DFE， ∴AB∥DF， 又∵AB=DF， ∴四边形ABDF是平行四边形． （2）证明：由（1）知，△ABC≌△DFE(SSS)， ∴∠ACB=∠≝¿，AC=DE， ∵AE=AC， ∴∠AEC=∠ACE=∠≝¿，AE=DE， ∴∠AEB=∠DEB， 在△AEB和△DEB中， ∵¿， ∴△AEB≌△DEB(SAS)， ∴AB=DB． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．解题的关键在于熟练掌握全等三角 形的判定与性质，平行四边形的判定． 5.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED=BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC 与EF相交于点O． (1)求证：四边形AFCE是平行四边形； 3 (2)若AC平分∠FAE，AC=8，tan∠DAC= ，求四边形AFCE的面积． 4【答案】(1)详见解析； (2)24． 【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解答； （2）由平行线的性质可得∠EAC=∠ACF，再根据角平分线的性质解得∠EAC=∠FAC，继而证明 1 AF=FC，由此证明平行四边形AFCE是菱形，根据菱形的性质得到AO= AC=4,AC⊥EF，结合正 2 切函数的定义解得EO=3，最后根据三角形面积公式解答． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD=BC，AE∥FC ∵ED=BF AD−ED=BC−BF，即AE=FC． ∴四边形AFCE是平行四边形． （2）解：∵AE∥FC， ∴∠EAC=∠ACF． ∵AC平分∠FAE， ∴∠EAC=∠FAC． ∴∠ACF=∠FAC． ∴AF=FC，由（1）知四边形AFCE是平行四边形， ∴平行四边形AFCE是菱形． 1 ∴AO= AC=4,AC⊥EF， 2 3 在Rt△AOE中，AO=4,tan∠DAC= ， 4 ∴EO=3． 1 1 ∴S = AO⋅EO= ×4×3=6 △AOE 2 2 S =4S =24． 菱形AFCE △AOE 【点睛】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、正切函数 的定义等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 6.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO． （1）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．【答案】（1）见解析；（2）24 【分析】（1）根据题意可证明△AOE≌△COD，得到OD＝OE，从而根据“对角线互相平分的四边 形为平行四边形”证明即可； （2）根据AB=BC，AO=CO，可证明BD为AC 的中垂线，从而推出四边形AECD为菱形，然后根据条件求 出DE的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：在 AOE 和 COD中， ¿ △ △ ∴△AOE≌△COD(ASA)． ∴OD＝OE． 又∵AO＝CO， ∴四边形AECD 是平行四边形． （2）∵AB＝BC，AO＝CO， ∴BO为AC的垂直平分线，BO⊥AC． ∴平行四边形 AECD是菱形． ∵AC＝8， 1 ∴CO= AC=4． 2 在 Rt COD 中，CD＝5， △ ∴OD=√CD2−CO2=√52−42=3， ∴DE=2OD=6， 1 1 ∴S = DE⋅AC= ×6×8=24， 菱 形AEC2D 2 ∴四边形 AECD 的面积为24． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与面积计算，掌握基本的判定方法，熟练掌握菱形的 面积计算公式是解题关键． 7.如图所示，点E在四边形ABCD的边AD上，连接CE，并延长CE交BA的延长线于点F，已知AE=DE， FE=CE．(1)求证：△AEF≌△DEC； (2)若AD∥BC，求证：四边形ABCD为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用SAS可以直接证明△AEF≌△DEC； （2）由△AEF≌△DEC可得∠AFE=∠DCE，由内错角相等，两直线平行，得出AF//DC，结 合已知条件AD∥BC即可证明四边形ABCD为平行四边形． 【详解】（1）证明：∵∠AEF与∠DEC是对顶角， ∴∠AEF=∠DEC， 在ΔAEF与ΔDEC中， ¿， ∴△AEF≌△DEC(SAS) （2）证明：由（1）知△AEF≌△DEC， ∴∠AFE=∠DCE， ∴AF//DC， ∵点F在BA的延长线上， ∴AB//DC， 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定和平行四边形的判定，难度较小，熟练掌握 全等三角形、平行线及平行四边形的判定方法是解题的关键． 8.如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作 DF//BC，交⊙O于点F，求证： （1）四边形DBCF是平行四边形 （2）AF=EF【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明∠BAC=∠B，利用平行线证明∠ADF=∠B，利用圆的性 质证明∠BAC=∠CFD，再证明BD//CF,即可得到结论； （2）如图，连接AE，利用平行线的性质及圆的基本性质∠AEF=∠B，再利用圆内接四边形的性质证 明∠EAF=∠B，从而可得结论． 【详解】证明：（1）∵AC=BC， ∴∠BAC=∠B， ∵DF//BC， ∴∠ADF=∠B， 又∠BAC=∠CFD, ∴∠ADF=∠CFD, ∴BD//CF, 四边形DBCF是平行四边形． （2）如图，连接AE ∵∠ADF=∠B，∠ADF=∠AEF ∴∠AEF=∠B 四边形AECF是⊙O的内接四边形 ∴∠ECF+∠EAF=180° ∵BD//CF ∴∠ECF+∠B=180° ∴∠EAF=∠B ∴∠AEF=∠EAF ∴AF=EF【点睛】本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内 接四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 9.在Rt ABC中，∠ABC=90°，∠BAC＝30°，将 ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到 AED，点B、C 的对应△点分别是E、D. △ △ (1)如图1，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数； (2)如图2，若α=60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形. 【答案】（1）15°；（2）证明见解析. 【分析】（1）如图1，利用旋转的性质得CA＝DA，∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°，再根据 等腰三角形的性质求出∠ADC，从而计算出∠CDE的度数； 1 （2）如图2，利用直角三角形斜边上的中线性质得到BF＝ AC，利用含30度的直角三角形三边的关系得 2 1 到BC＝ AC，则BF＝BC，再根据旋转的性质得到∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，AC＝AD ，DE＝BC，从 2 而得到DE＝BF， ACD和 BAE为等边三角形，接着由 AFD≌△CBA得到DF＝BA，然后根据平行四边形 的判定方法得到结△论． △ △ 【详解】解：（1）如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到 AED，点E恰好在AC上， ∴∠CAD＝∠BAC＝30°，∠DEA＝∠ABC＝90°， △ ∵CA＝DA，1 ∴∠ACD＝∠ADC＝ （180°−30°）＝75°，∠ADE=90°-30°=60°， 2 ∴∠CDE＝75°−60°＝15°； （2）证明：如图2， ∵点F是边AC中点， 1 ∴BF＝ AC， 2 ∵∠BAC＝30°， 1 ∴BC＝ AC， 2 ∴BF＝BC， ∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到 AED， ∴∠BAE＝∠CAD＝60°，AB＝AE，A△C＝AD，DE＝BC， ∴DE＝BF， ACD和 BAE为等边三角形， ∴BE＝AB，△ △ ∵点F为 ACD的边AC的中点， ∴DF⊥AC△， 易证得 AFD≌△CBA， ∴DF＝△BA， ∴DF＝BE， 而BF＝DE， ∴四边形BEDF是平行四边形． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等 于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定． 10.如图所示，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，点G、F 分别为BH、CH的中点．(1)求证：四边形DEFG为平行四边形 (2)DG⊥BH，BD=3，EF=2，求线段BG的长度． 【答案】(1)见解析 (2)√5 1 1 【分析】（1）由三角形中位线定理得到DE∥BC,DE= BC，GF∥BC,GF= BC，得到 2 2 GF∥DE,GF=DE，即可证明四边形DEFG为平行四边形； （2）由四边形DEFG为平行四边形得到DG=EF=2，由DG⊥BH得到∠DGB=90°，由勾股定理即 可得到线段BG的长度． 【详解】（1）解：∵点D、E分别为AB、AC的中点， 1 ∴DE∥BC,DE= BC， 2 ∵点G、F分别为BH、CH的中点． 1 ∴GF∥BC,GF= BC， 2 ∴GF∥DE,GF=DE， ∴四边形DEFG为平行四边形； （2）∵四边形DEFG为平行四边形， ∴DG=EF=2， ∵DG⊥BH， ∴∠DGB=90°， ∵BD=3， ∴BG=√BD2−DG2=√32−22=√5． 【点睛】此题考查了中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形DEFG为平 行四边形和利用勾股定理计算是解题的关键． 11.如图，∠CAE是△ABC的一个外角，AB=AC，CF∥BE.(1)尺规作图：作∠CAE的平分线，交CF于点D（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：四边形ABCD是平行四边形. 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）利用基本作图作∠CAE的平分线即可； （2）先利用AB=AC得到∠B=∠ACB，再根据角平分线的定义得到∠CAD=∠EAD，则利用三角 形外角性质可判断∠EAD=∠B，所以AD∥BC，然后利用AB∥CD可判断四边形ABCD是平行四 边形． 【详解】（1）解：如图，AD为所作； （2）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∵AD平分∠CAE， ∴∠CAD=∠EAD， ∵∠CAE=∠B+∠ACB， 即∠CAD+∠EAD=∠B+∠ACB， ∴∠EAD=∠B， ∴AD∥BC， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点睛】本题考查了作图−基本作图、等腰三角形的性质和平行四边形的判定，熟练掌握5种基本作图是 解决问题的关键． 12.如图（1）所示，已知在△ABC中，AB=AC，O在边AB上，点F为边OB中点，为以O为圆心，BO 为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，联结EF交OD于点G．(1)如果OG=DG，求证：四边形CEGD为平行四边形； (2)如图（2）所示，联结OE，如果∠BAC=90°,∠OFE=∠DOE,AO=4，求边OB的长； OG (3)联结BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO=OF，求 的值． OD 【答案】(1)见解析 (2)1+√33 1 (3) 2 【分析】（1）根据等边对等角得出∠B=∠C，∠ODB=∠B，等量代换得出∠C=∠ODB，则 OD∥AC，根据F是OB的中点，OG=DG，则FG是△OBD的中位线，则FG∥BC，即可得证； （2）设∠OFE=∠DOE=α，OF=FB=a，则OE=OB=2a，由（1）可得OD∥AC则 ∠AEO=∠DOE=α，等量代换得出∠OFE=∠AEO=α，进而证明△AEO∽△AFE，得出 AE2=AO⋅AF，在Rt△AEO中，AE2=EO2−AO2，则EO2−AO2=AO×AF，解方程即可求解； （3）△OBG是以OB为腰的等腰三角形，分为①当OG=OB时，②当BG=OB时，证明 OG 2 △BGO∽△BPA，得出 = ，设OG=2k,AP=3k，根据OG∥AE，得出△FOG∽△FAE， AP 3 可得AE=2OG=4k，PE=AE−AP=k，连接OE交PG于点Q，证明△QPE∽△QGO在△PQE与 1 2 8 PQ QE 1 △BQO中，PQ= a，BQ=BG+QG=2a+ a= a，得出 = = ，可得△PQE∽△OQB， 3 3 3 OQ BQ 4 根据相似三角形的性质得出a=2k，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵AC=AB ∴∠ABC=∠C ∵OD=OB ∴∠ODB=∠ABC, ∴∠C=∠ODB∴OD∥AC， ∵F是OB的中点，OG=DG， ∴FG是△OBD的中位线， ∴FG∥BC，即¿∥CD， ∴四边形CEDG是平行四边形； （2）解：∵∠OFE=∠DOE,AO=4，点F边OB中点， 设∠OFE=∠DOE=α，OF=FB=a，则OE=OB=2a 由（1）可得OD∥AC ∴∠AEO=∠DOE=α， ∴∠OFE=∠AEO=α， 又∵∠A=∠A ∴△AEO∽△AFE, AE AO ∴ = AF AE 即AE2=AO⋅AF， ∵∠A=90°， 在Rt△AEO中，AE2=EO2−AO2， ∴EO2−AO2=AO×AF， ∴(2a) 2−42=4×(4+a) 1+√33 1−√33 解得：a= 或a= （舍去） 2 2 ∴OB=2a=1+√33； （3）解：①当OG=OB时，点G与点D重合，舍去； ②当BG=OB时，如图所示，延长BG交AC于点P， ∵点F是OB的中点，AO=OF， ∴AO=OF=FB，设AO=OF=FB =a， ∵OG∥AC ∴△BGO∽△BPA， OG OB 2a 2 ∴ = = = ， AP AB 3a 3 设OG=2k,AP=3k， ∵OG∥AE ∴△FOG∽△FAE， OG OF a 1 ∴ = = = ， AE AF 2a 2 ∴AE=2OG=4k， ∴PE=AE−AP=k， 连接OE交PG于点Q， ∵OG∥PE， ∴△QPE∽△QGO GO QG OQ 2k ∴ = = = =2， PE PQ EQ k 1 2 2 4 ∴PQ= a,QG= a，EQ= a,OQ= a 3 3 3 3 1 2 8 在△PQE与△BQO中，PQ= a，BQ=BG+QG=2a+ a= a， 3 3 3 PQ QE 1 ∴ = = ， OQ BQ 4 又∠PQE=∠BQO， ∴△PQE∽△OQB， PE 1 ∴ = ， OB 4k 1 ∴ = ， 2a 4 ∴a=2k， ∵OD=OB=2a,OG=2k， OG 2k k 1 ∴ = = = ． OD 2a a 2 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理， 等腰三角形的定义，圆的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，第三问中，证明 △PQE∽△OQB是解题的关键． k 13.如图，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴上．反比例函数数y = （x > 0）的图象经过矩形 x OABC对角线的交点D（4，2），且与边AB，BC分别交干点E，F，直线EF交x轴于点G． (1)求点F的坐标； (2)求证:四边形AEGC是平行四边形． 【答案】(1)点F的坐标为（8，1）； (2)见解析 【分析】（1）由点D的坐标可得出点B的坐标，再利用矩形的性质可得出OA，AB的长；由点D的坐标， 利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值，结合点B的坐标可得出点E，F的坐标； BF BE （2）进而可得出BE，BF的长，由各线段的长度可得出 = ，结合∠ABC=∠EBF可证出 BC BA △ABC∽△EBF，再利用相似三角形的性质及平行线的判定定理可得出EF∥AC，即可证明四边形AEGC是 平行四边形． 【详解】（1）解：∵点D的坐标为（4，2）， ∴点B的坐标为（8，4）， ∴OA=4，AB=8． k ∵反比例函数y= 的图象经过点D（4，2）， x∴k=4×2=8． ∵点B的坐标为（8，4），AB∥x轴，BC∥y轴， ∴点F的坐标为（8，1），点E的坐标为（2，4）； （2）解：∵点F的坐标为（8，1），点E的坐标为（2，4）， ∴BF=3，BE=6， BF 3 BE 3 ∴ = ， = ， BC 4 BA 4 BF BE ∴ = ． BC BA ∵∠ABC=∠EBF， ∴△ABC∽△EBF， ∴∠BCA=∠BFE， ∴EF∥AC． ∵AB∥x轴， ∴四边形AEGC是平行四边形． 【点睛】本题考查了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，解题的 关键是：（1）由点B的坐标利用矩形的性质求出OA，AB的长；（2）利用相似三角形的判定定理找出 △ABC∽△EBF． k 14.如图，已知反比例函数y= (x>0)的图像经过点A(4,2)，过A作AC⊥y轴于点C．点B为该反比例 x 函数图像上的一点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E． (1)求反比例函数表达式； (2)若BD=2OC，判断四边形ACED的形状，并说明理由． 8 【答案】(1)y= x (2)四边形ACED为平行四边形 【分析】（1）根据题意直接利用待定系数法将A点坐标代入即可得出答案． （2）由题意求出直线BC的解析式，可得E点坐标，求出DE，OC，AC，即可解决问题． k 【详解】（1）把A(4,2)，代入反比例函数的解析式得2= ， 4解得：k=8， 8 ∴反比例函数表达式为：y= ． x 8 （2）反比例函数表达式为：y= ， x ∵AC⊥y，BD⊥x，A(4,2)， ∴AC=4，OC=2， ∵BD=2OC， ∴BD=2×2=4， ∵BD⊥x， 8 8 ∴点B的纵坐标为4，代入y= 中，得4= ，解得x=2， x x ∵B(2,4)， ∵C(0,2)，设直线BC的解析式为：y=kx+b， 则有¿，解得¿， ∴直线BC的解析式为：y=x+2，令y=0，得0=x+2，解得x=−2， ∴C(−2,0)， ∴DE=2−(−2)=4， ∵AC=4，DE=4，AC∥DE， ∴四边形ACED为平行四边形． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，待定系数法，平行四边形的判定． 题型八：与平行四边形有关的新定义问题 1.【定义】 对角线相等且所夹锐角为60°的四边形叫“60°等角线四边形”． 如图1，四边形ABCD为“60°等角线四边形”，即AC=BD，∠AOB=60°， 【定义探究】 (1)判断下列四边形是否为“60°等角线四边形”，如果是在括号内打“√”，如果不是打“×”． ①对角线所夹锐角为60°的平行四边形． （ ）②对角线所夹锐角为60°的矩形． （ ） ③对角线所夹锐角为60°，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形． （ ） 【性质探究】 (2)如图2，以AC为边，向下构造等边△ACE，连接BE，请直接写出AB+CD与AC的大小关系； (3)请判断AD+BC与√3AC的大小关系，并说明理由； 【应用提升】 (4)若“60°等角线四边形”的对角线长为2，则该四边形周长的最小值为________． 【答案】(1)见解析 (2)AB+CD≥AC (3)AD+BC≥√3AC (4)2√3+2 【分析】对于（1），根据定义即可求解． 对于（2），证明四边形DBEC是平行四边形，根据AB+BE≥AE即可求解； 对于（3），先构造平行四边形BDEC，可得对应线段相等，再求出∠ACE=120°，构造直角三角形求 √3 出AH= AC，即可得出答案； 2 对于（4），根据（2）（3）的结论代入数据即可求解． 【详解】（1）∵对角线所夹锐角为60°的平行四边形的对角线不一定相等，则不能判①是“60°等角线 四边形”， ∴选择×； ∵对角线所夹锐角为60°的矩形，对角线相等，且所夹锐角为60°，故②是“60°等角线四边形”， ∴选择√； ∵对角线所夹锐角为60°，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形，则四边形的对角线相等， 故③是“60°等角线四边形”， ∴选择√． 故答案为：×，√，√； （2）∵ △ACE是等边三角形， ∴AE=EC=AC，∠ACE=60． ∵∠AOB=∠ACE=60 ∴DB∥EC． ∵ DB=AC， ∴DB=EC，∴四边形DBEC是平行四边形， ∴BE=DC． ∵△ABE中，AB+BE≥AE 即AB+CD≥AC； （3）如图，过C作CE∥BD，且CE=BD，连接DE，AE， ∴四边形BDEC是平行四边形， ∴DE=BC，AC=BD=CE． ∵ ∠AOB=60°， ∴∠COD=60°． ∵BD∥CE， ∴∠ACE=180°−60°=120°． 过点C作CH⊥AE，交AE于点H， ∵AC=CE，∠ACE=120°， ∴∠ACH=60°． AH √3 在Rt△ACH中，sin60°= = ， AC 2 √3 ∴AH= AC， 2 则AE=√3AC． ∴AD+BC=AD+DE≥√3AC； （4）若“60°等角线四边形”的对角线长为2，则AC=2， 由（2）（3）可得AB+CD≥AC，AD+BC≥√3AC ∴AB+CD+AD+BC≥(√3+1)AC=2(√3+1)=2√3+2． ∴该四边形周长的最小值为2√3+2． 故答案为：2√3+2． 【点睛】本题主要考查了四边形综合问题，新定义问题，特殊角三角函数值，平行四边的性质与判定等， 掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键．2.定义：在平行四边形中，若有一条对角线长是一边长的两倍，则称这个平行四边形叫做和谐四边形，其 中这条对角线叫做和谐对角线，这条边叫做和谐边． 【概念理解】 (1)如图1，四边形ABCD是和谐四边形，对角线AC与BD交于点G，BD是和谐对角线，AD是和谐边． ①△BCG是________三角形． ②若AD=4，则BD=________． 【问题探究】 (2)如图2，四边形ABCD是矩形，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE交BC于点F， AD=4，AB=k，是否存在实数k，使得四边形ABEC是和谐四边形，若存在，求出k的值，若不存在， 请说明理由． 【应用拓展】 (3)如图3，四边形ABCD与四边形ABEC都是和谐四边形，其中BD与AE分别是和谐对角线，AD与AC 分别是和谐边，AB=4，AD=k，请求出k的值． 【答案】(1)①等腰；②8 (2)存在，k=2 4√6 (3) 3 【分析】（1）①根据和谐四边形的定义，得到BG=DG=AD=BC，即可得到结论；②根据BD=2AD 即可得出结论． （2）分BC=2AB，BC=2AC，AE=2AB，AE=2AC四种情况，分类讨论，进行判断即可； （3）根据和谐四边形的定义，推出△ADB≅△ACE，作DM⊥AC于M，设AM=x，则AG=2x， 利用勾股定理求出DM,CD的长，根据CD=AB=4，求出x的值，即可得解． 【详解】（1）解：①∵四边形ABCD是和谐四边形，BD是和谐对角线，AD是和谐边， ∴BG=DG=AD=BC，∴△ADG与△BCG的形状是等腰三角形； ②∵AD=4， ∴BD=2AD=8， 故答案为：等腰；8； （2）存在，理由如下： ∵AB∥CD，BE∥AC， ∴四边形ABEC是平行四边形； 当BC=2AB时，四边形ABEC是和谐四边形， ∵BC=AD=4，AB=k， ∴BC=2k， ∴k=2； 当BC=2AC时，不满足直角三角形的斜边大于直角边． 当AE=2AB时， ∵√42+(2k) 2=2k，无解． 当AE=2AC时， ∵√42+(2k) 2=2√42+k2，无解． ∴k=2； ∴k的值为2时，四边形ABEC是和谐四边形； （3）∵四边形ABCD是和谐四边形，BD为和谐对角线，AD为和谐边， ∴AD=DG， ∴∠DAG=∠AGD， ∵四边形ABEC是和谐四边形，AE为和谐对角线，AC为和谐边， ∴AC=AF， ∴∠ACF=∠AFC， ∵AD∥BC，∴∠DAG=∠ACF， ∴∠DAG=∠AGD=∠ACF=∠AFC， ∴∠ADG=∠CAF， AD 1 AC 1 ∵ = ， = ， BD 2 AE 2 AD AC ∴ = ， BD AE ∴△ADB~△CAE， ∵AB=CE， ∴相似比为1， ∴△ADB≅△ACE， ∴AC=AD， 作DM⊥AC于M，如图所示： ∵AD=DG， ∴AM=GM， 设AM=x，则AG=2x， ∴AC=2AG=AD=4x， ∴CM=3x， 在Rt△ADM中，由勾股定理得： DM=√AD2−AM2=√15x， 在Rt△DMC中，由勾股定理得： CD=√DM2+CM2=√15x2+9x2=2√6x， ∵CD=AB=4， ∴2√6x=4，√6 ∴x= ， 3 4√6 ∴AD=4x= ， 3 4√6 ∴AD=k= ． 3 4√6 故答案为： ． 3 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性 质，勾股定理．本题的综合性较强，解题的关键是理解并掌握和谐四边形的定义． 3.在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB和点P，给出如下定义：若在直线y=x上存在点Q，使得四边 形ABPQ为平行四边形，则称点P为线段AB的“关联点”．已知A(5,2)，B(1,4)． (1)在P (−3,3)，P (−2,4)，P (−1,5)，P (1,6)中，线段AB的“关联点”是___________； 1 2 3 4 (2)若点P在第二象限且点P是线段AB“关联点”，求线段OP长度d的取值范围； (3)已知正方形CDEF边长为1．以T(t,3)为中心且各边与坐标轴垂直或平行，点M，N在线段AB上（M 在N的下方）．若正方形CDEF上的任意一点都存在线段MN，使得该点为线段MN的“关联点”，直接 写出t的取值范围． 【答案】(1)P ,P 1 2 (2)3√2≤d<6 3 9 (3)−2≤t< 或 8（不符合题意舍去）， 1 2 ∴CB=CD=10−3√2， ∴四边形EBCD的周长为10+8+2(10−3√2)=38−6√2． 【点睛】本题考查的是新定义的含义，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质， 矩形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的 关键． 题型九：利用平行四边形的性质与判定求解 1.如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点．若AB=6，BC=8，则四边形BDEF的 周长是（ ） A．28 B．14 C．10 D．7 【答案】B 【分析】首先根据D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，可判定四边形BDEF是平行四边形，再根据三 角形中位线定理，即可求得四边形BDEF的周长． 【详解】解：∵D，E，F分别是BC，AC，AB的中点， ∴EF、ED分别是△ABC的中位线， 1 1 1 1 ∴EF∥BC，ED∥AB且EF= BC= ×8=4，ED= AB= ×6=3， 2 2 2 2 ∴四边形BDEF是平行四边形， ∴BD=EF=4，BF=ED=3， ∴四边形BDEF的周长为： BF+BD+ED+EF=3+4+3+4=14， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理，判定出四边形BDEF是平行四边形 是解决本题的关键． 2.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BF， AB=√5，EF=4，则CF的长是（ ）4 A． B．√3 C．2 D．√5 3 【答案】C 【分析】证明四边形ABDE是平行四边形，得到DE=AB=√5，则CE=2√5，在Rt△CEF中，由勾股 定理得CF=√CE2−EF2=2． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD=√5， ∵AE∥BD， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴DE=AB=√5， ∴CE=2√5， 在Rt△CEF中，由勾股定理得CF=√CE2−EF2=2， 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，证明四边形ABDE是平行四边形是解题 的关键． 3.如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，其中一张纸 条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ） A．四边形ABCD周长不变 B．AD=CD C．四边形ABCD面积不变 D．AD=BC 【答案】D【分析】由平行四边形的性质进行判断，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知， ∵AB//CD，AD//BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC；故D符合题意； 随着一张纸条在转动过程中，AD不一定等于CD，四边形ABCD周长、面积都会改变；故A、B、C不符 合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形对边相等． k 4.如图，直线y=x+1、y=x−1与双曲线y= (k>0)分别相交于点A、B、C、D．若四边形ABCD x 的面积为4，则k的值是（ ） 3 √2 4 A． B． C． D．1 4 2 5 【答案】A 【分析】连接四边形ABCD的对角线AC、BD，过D作DE⊥x轴，过C作CF⊥x轴，直线y=x−1与 x轴交于点M，如图所示，根据函数图像交点的对称性判断四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形 1 1 性质及平面直角坐标系中三角形面积求法，确定S = S =1= OM⋅(DE+CF)，再求出 △COD 4 四边形ABCD 2 直线y=x−1与x轴交于点M(1,0)，通过联立¿求出C、D纵坐标，代入方程求解即可得到答案． 【详解】解：连接四边形ABCD的对角线AC、BD，过D作DE⊥x轴，过C作CF⊥x轴，直线 y=x−1与x轴交于点M，如图所示：k 根据直线y=x+1、y=x−1与双曲线y= (k>0)交点的对称性可得四边形ABCD是平行四边形， x 1 1 ∴S = S =1= OM⋅(DE+CF)， △COD 4 四边形ABCD 2 ∵直线y=x−1与x轴交于点M， ∴当y=0时，x=1，即M(1,0)， k ∵ y=x−1与双曲线y= (k>0)分别相交于点C、D， x k −1±√1+4k ∴联立¿，即y= −1，则y2+ y−k=0，由k>0，解得y= ， y 2 1 [−1+√1+4k (−1−√1+4k)] 3 ∴ ×1× − =1，即√4k+1=2，解得k= ， 2 2 2 4 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及平行四边形的判定与性质，熟练掌握平面直角坐标 系中三角形面积求法是解决问题的关键． 5.已知如图，A(1,1)、B(4,2)．CD为x轴上一条动线段，D在C点右边且CD=1，当AC+CD+DB的 最小值为 . 【答案】√13+1/1+√13 【分析】本题考查了“将军饮马”求最值的模型，涉及了平行四边形的判定与性质、两点之间线段最短 等知识点，将点A(1,1)向右平移1个单位长度得到点A'(2,1)构造平行四边形ACDA'是解题关键．【详解】解：将点A(1,1)向右平移1个单位长度得到点A'(2,1)，作点A'(2,1)关于x轴的对称点 A''(2,−1)，连接A″,B，与x轴的交点即为点D，此时AC+CD+DB的值最小，如图所示： ∵A A'=CD=1，且A A'∥CD ∴四边形ACD A'为平行四边形 ∴AC=A'D ∵点A'(2,1)关于x轴的对称点为A''❑(2,−1)， ∴A'D=A″D ∴AC+CD+DB =A″D+DB+1≥A″B+1 ∵A″B=√(2−4) 2+(−1−2) 2=√13 ∴AC+CD+DB的最小值为：√13+1 故答案为：√13+1 6.如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=10．若点E是边AD上的一个动点，过点E作EF⊥AC且分别 交对角线AC，直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，AF+FE+EC的最小值为 ． 25+5√5 【答案】 2 【分析】过点D作DM∥EF交BC于M，过点A作AN∥EF，使AN=EF，连接NE，当N、E、C三点 共线时，AF+FE+EC≥CN+AN，分别求出CN、AN的长度即可．【详解】 过点D作DM∥EF交BC于M，过点A作AN∥EF，使AN=EF，连接NE， ∴四边形ANEF是平行四边形， ∴ AN=EF,AF=NE， ∴当N、E、C三点共线时，AF+CE最小， ∵四边形ABCD是矩形，AB=5,AD=10， ∴AD=BC=10,AB=CD=5,AD∥BC,∠ABC=90°， ∴AC=√AB2+BC2=5√5， ∴四边形EFMD是平行四边形， ∴DM=EF， ∴DM=EF=AN， ∵EF⊥AC， ∴DM⊥AC,AN⊥AC， ∴∠CAN=90°， ∴∠MDC+∠ACD=90°=∠ACD+∠ACB， ∴∠MDC=∠ACB， MC AB ∴tan∠MDC=tan∠ACB，即 = ， CD BC 5 ∴MC= ， 2 5√5 在Rt△CDM中，由勾股定理得DM=√CD2+CM2= =AN， 225 在Rt△ACN中，由勾股定理得CN=√AC2+AN2= ， 2 ∵AF+FE+EC≥CN+AN， 25+5√5 ∴ AF+FE+EC≥ ， 2 25+5√5 ∴AF+FE+EC的最小值为 ， 2 25+5√5 故答案为： ． 2 【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形 的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键． 7.综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD， 垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明； 独立思考：（1）请解答老师提出的问题； 实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如 图②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明； 问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A'， 使A'B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A'M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此 ▱ABCD的面积为20，边长AB=5，BC=2√5，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考 此问题，直接写出结果． 22 【答案】（1）EF=BF；见解析；（2）AG=BG，见解析；（3） ． 3 【分析】（1）如图，分别延长AD，BF相交于点P，根据平行四边形的性质可得AD//BC，根据平行 线的性质可得∠PDF=∠C，∠P=∠FBC，利用AAS可证明△PDF≌△BCF，根据全等三角形的性质 1 可得FP=FB，根据直角三角形斜边中线的性质可得EF= BP，即可得EF=BF； 2 1 （2）根据折叠性质可得∠CFB=∠C′FB= ∠CFC′，FC=FC′，可得FD=FC′，根据等腰三角形的性质可得 2 ∠FDC′=∠FC′D，根据三角形外角性质可得∠CFC′=∠FDC′+∠FC′D，即可得出∠C′FB=∠FC′D，可得DG//FB，1 即可证明四边形DGBF是平行四边形，可得DF=BG= AB，可得AG=BG； 2 （3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q，根据平行四边形的面积可求出BH的长，根据折叠的性质可得 A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH，根据A'B⊥CD可得A′B⊥AB，即可证明△MBQ是等腰直角三角形， 可得MQ=BQ，根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，即可得∠A′=∠C，进而可证明△A′NH∽△CBH，根据 相似三角形的性质可得A′H、NH的长，根据NH//MQ可得△A′NH∽△A′MQ，根据相似三角形的性质可求 出MQ的长，根据S =S -S 即可得答案． 阴 A′MB A′NH 【详解】（1）EF=BF △ ． △ 如图，分别延长AD，BF相交于点P， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC， ∴∠PDF=∠C，∠P=∠FBC, ∵F为CD的中点， ∴DF=CF， 在△PDF和△BCF中，¿， ∴△PDF≌△BCF， ∴FP=FB，即F为BP的中点， 1 ∴BF= BP， 2 ∵BE⊥AD， ∴∠BEP=90°， 1 ∴EF= BP， 2 ∴EF=BF． （2）AG=BG． ∵将▱ABCD沿着BF所在直线折叠，点C的对应点为C'，1 ∴∠CFB=∠C′FB= ∠CFC′，FC'=FC， 2 ∵F为CD的中点， 1 ∴FC=FD= CD， 2 ∴FC'=FD， ∴∠FDC′=∠FC′D， ∵∠CFC' =∠FDC′+∠FC′D， 1 ∴∠FC'D= ∠CFC'， 2 ∴∠FC′D=∠C′FB， ∴DG//FB， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC//AB，DC=AB， ∴四边形DGBF为平行四边形， ∴BG=DF， 1 ∴BG= AB， 2 ∴AG=BG． （3）如图，过点M作MQ⊥A′B于Q， ∵▱ABCD的面积为20，边长AB=5，A'B⊥CD于点H， ∴BH=50÷5=4， ∴CH=√BC2−BH2=2，A′H=A′B-BH=1， ∵将▱ABCD沿过点B的直线折叠，点A的对应点为A'， ∴A′B=AB，∠A=∠A′，∠ABM=∠MBH， ∵A'B⊥CD于点H，AB//CD， ∴A'B⊥AB， ∴∠MBH=45°， ∴△MBQ是等腰直角三角形， ∴MQ=BQ， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C， ∴∠A′=∠C，∵∠A′HN=∠CHB， ∴△A′NH∽△CBH， CH BH 2 4 ∴ = ，即 = ， A'H NH 1 NH 解得：NH=2， ∵A'B⊥CD，MQ⊥A′B， ∴NH//MQ， ∴△A′NH∽△A′MQ， A'H NH 1 2 ∴ = ，即 = ， A'Q MQ 5−MQ MQ 10 解得：MQ= ， 3 1 1 1 10 1 22 ∴S =S -S = A′B·MQ- A′H·NH= ×5× - ×1×2= ． 阴 A′MB A′NH 2 2 2 3 2 3 △ △ 【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及相似三角形的判 定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 题型十：利用平行四边形的性质与判定证明 1.依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可； 【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误； 一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误； 三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确；故选：D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点 F，∠ABC=60°，BC=2AB．下列结论：①AB⊥AC；②AD=4OE；③四边形AECF是菱形；④ 1 S = S ．其中正确结论的个数是（ ） △BOE 4 △ABC A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】通过判定ΔABE为等边三角形求得∠BAE=60°，利用等腰三角形的性质求得∠EAC=30°， 从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含30°直角三角形 的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④． 【详解】解：∵点E为BC的中点， ∴BC=2BE=2CE， 又∵BC=2AB， ∴AB=BE， ∵∠ABC=60°， ∴ΔABE是等边三角形， ∴∠BAE=∠BEA=60°， ∴∠EAC=∠ECA=30°， ∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°， 即AB⊥AC，故①正确； 在平行四边形ABCD中，AD//BC，AD=BC，AO=CO， ∴∠CAD=∠ACB， 在ΔAOF和ΔCOE中， ¿， ∴ΔAOF≅ΔCOE(ASA)，∴AF=CE， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵AB⊥AC，点E为BC的中点， ∴AE=CE， ∴平行四边形AECF是菱形，故③正确； ∴AC⊥EF， 在RtΔCOE中，∠ACE=30°， 1 1 1 ∴OE= CE= BC= AD，故②正确； 2 4 4 在平行四边形ABCD中，OA=OC， 又∵点E为BC的中点， 1 1 ∴S = S = S ，故④正确； ΔBOE 2 ΔBOC 4 ΔABC 综上所述：正确的结论有4个， 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30°的直角三角 形的性质，掌握菱形的判定是解题关键． 3.如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P,F分别是 CD,AB的中点．若AB=4，则下列结论错误的是（ ） A．PA+PB的最小值为3√3 B．PE+PF的最小值为2√3 C．△CDE周长的最小值为6 D．四边形ABCD面积的最小值为3√3 【答案】A 【分析】延长AD,BC，则△ABQ是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当E点与F重合时， 则Q,P,F三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长AD,BC， 依题意∠QAD=∠QBA=60° ∴△ABQ是等边三角形， ∵P是CD的中点， ∴PD=PC， ∵∠DEA=∠CBA， ∴ED∥CQ ∴∠PQC=∠PED,∠PCQ=∠PDE， ∴△PDE≌△PCQ ∴PQ=PE， ∴四边形DECQ是平行四边形， 则P为EQ的中点 如图所示， 设AQ,BQ的中点分别为G,H， 1 1 则GP= AE,PH= EB 2 2 ∴当E点在AB上运动时，P在GH上运动， 当E点与F重合时，即AE=EB， 1 则Q,P,F三点共线，PF取得最小值，此时AE=EB= (AE+EB)=2， 2 则△ADE≌△ECB， ∴C,D到AB的距离相等，则CD∥AB， √3 此时PF= AD=√3 2 此时△ADE和△BCE的边长都为2，则AP,PB最小， √3 ∴PF= ×2=√3， 2 ∴PA=PB=√22+(√3) 2=√7 ∴PA+PB= 2√7， 或者如图所示，作点B关于GH对称点B'，则PB=PB'，则当A,P,B'三点共线时，AP+PB=AB' 此时AB'=√AB2+BB'=√42+(2√3) 2=2√7 故A选项错误， 根据题意可得P,Q,F三点共线时，PF最小，此时PE=PF =√3，则PE+PF=2√3，故B选项正确； △CDE周长等于CD+DE+CE=CD+AE+EB=CD+AB=CD+4， 即当CD最小时，△CDE周长最小， 如图所示，作平行四边形GDMH，连接CM， ∵∠GHQ=60°,∠GHM=∠GDM=60°，则∠CHM=120° 如图，延长DE,HG，交于点N， 则∠NGD=∠QGH=60°，∠NDG=∠ADE=60° ∴△NGD是等边三角形， ∴ND=GD=HM，在△NPD与△HPC中， ¿ ∴△NPD≌△HPC ∴ND=CH ∴CH=MH ∴∠HCM=∠HMC=30° ∴CM∥QF，则CM⊥DM， ∴△DMC是直角三角形， 在△DCM中，DC>DM 1 ∴当DC=DM时，DC最短，DC=GH= AB=2 2 ∵CD=PC+2PC ∴△CDE周长的最小值为2+2+2=6，故C选项正确； ∵△NPD≌△HPC ∴四边形ABCD面积等于S +S +S =S +S △ADE △EBC △DEC △ADE 平行四边NEBH ∴当△BGD的面积为0时，取得最小值，此时，D,G重合，C，H重合 √3 ∴四边形ABCD面积的最小值为3× ×22= 3√3，故D选项正确， 4 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出 当E点与F重合时得出最小值是解题的关键． 4.如图，点A的坐标为(1,3)，点B在x轴上，把ΔOAB沿x轴向右平移到ΔECD，若四边形ABDC的面积为9，则点C的坐标为 ． 【答案】(4，3) 【分析】过点A作AH⊥x轴于点H，得到AH=3，根据平移的性质证明四边形ABDC是平行四边形，得到 AC=BD，根据平行四边形的面积是9得到BD⋅AH=9，求出BD即可得到答案. 【详解】过点A作AH⊥x轴于点H， ∵A（1,3）， ∴AH=3， 由平移得AB∥CD，AB=CD， ∴四边形ABDC是平行四边形， ∴AC=BD， ∵BD⋅AH=9， ∴BD=3， ∴AC=3， ∴C(4，3)， 故答案为：(4，3). 【点睛】此题考查平移的性质，平行四边形的判定及性质，直角坐标系中点到坐标轴的距离与点坐标的 关系. 5.如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生 改变（四边形具有不稳定性）．(1)通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB=AB．我们还 可以得到FC＝ ， EF＝ ； (2)进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论； (3)已知BC=30cm,DC=80cm，若BE 恰好经过原矩形DC边的中点H ，求EF与BC之间的距离． 【答案】(1)CD，AD； (2)见解析； (3)EF于BC之间的距离为64cm． 【分析】（1）由推动矩形框时，矩形ABCD的各边的长度没有改变，可求解； （2）通过证明四边形BEFC是平行四边形，可得结论； BH CH （3）由勾股定理可求BH的长，再证明 BCH∽△BGE，得到 = ，代入数值求解EG，即可得到答 BE EG △ 案． 【详解】（1）解：∵ 把边BC固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有 不稳定性）． ∴由旋转的性质可知矩形ABCD的各边的长度没有改变， ∴AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD， 故答案为：CD，AD； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC， ∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD， ∴BE＝CF，EF＝BC， ∴四边形BEFC是平行四边形， ∴EF∥BC， ∴EF∥AD； （3）解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，∵DC＝AB＝BE＝80cm，点H是CD的中点， ∴ CH＝DH＝40cm， 在Rt BHC中，∠BCH＝90°， △ BH＝√BC2+CH2=√402+302=50（cm）， ∵ EG⊥BC， ∴∠EGB＝∠BCH＝90°， ∴CH∥EG， ∴ BCH∽△BGE， B△H CH ∴ = ， BE EG 50 40 ∴ = ， 80 EG ∴EG＝64， ∵ EF∥BC， ∴EF与BC之间的距离为64cm． 【点睛】此题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知 识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 6.在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合， 点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活 动． 活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移． 【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由． 【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长． 活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB， OE（如图4）． 【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．9 【答案】【思考】是，理由见解析；【发现】 ；【探究】BD＝2OF，理由见解析； 4 【分析】【思考】由全等三角形的性质得出AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，则AB∥DE，可得出结论； 1 1 【发现】连接BE交AD于点O，设AF＝x（cm），则OA＝OE＝ （x+4），得出OF＝OA﹣AF＝2﹣ x，由 2 2 勾股定理可得 ( 2− 1 x ) 2 +32= 1 (x+4) 2 ，解方程求出x，则AF可求出； 2 4 【探究】如图2，延长OF交AE于点H，证明△EFO≌△EFH（ASA），得出EO＝EH，FO＝FH，则∠EHO＝ ∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，可证得△EOH≌△OBD（AAS），得出BD＝OH，则结论得证． 【详解】解：【思考】四边形ABDE是平行四边形． 证明：如图，∵△ABC≌△DEF， ∴AB＝DE，∠BAC＝∠EDF， ∴AB∥DE， ∴四边形ABDE是平行四边形； 【发现】如图1，连接BE交AD于点O， ∵四边形ABDE为矩形， ∴OA＝OD＝OB＝OE， 1 设AF＝x（cm），则OA＝OE＝ （x+4）， 2 1 ∴OF＝OA﹣AF＝2﹣ x， 2 在Rt△OFE中，∵OF2+EF2＝OE2，∴ ( 2− 1 x ) 2 +32= 1 (x+4) 2 ， 2 4 9 解得：x＝ ， 4 9 ∴AF＝ cm． 4 【探究】BD＝2OF， 证明：如图2，延长OF交AE于点H， ∵四边形ABDE为矩形， ∴∠OAB＝∠OBA＝∠ODE＝∠OED，OA＝OB＝OE＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB，∠OAE＝∠OEA， ∴∠ABD+∠BDE+∠DEA+∠EAB＝360°， ∴∠ABD+∠BAE＝180°， ∴AE∥BD， ∴∠OHE＝∠ODB， ∵EF平分∠OEH， ∴∠OEF＝∠HEF， ∵∠EFO＝∠EFH＝90°，EF＝EF， ∴△EFO≌△EFH（ASA）， ∴EO＝EH，FO＝FH， ∴∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB， ∴△EOH≌△OBD（AAS）， ∴BD＝OH＝2OF． 【点睛】本题考查了图形的综合变换，涉及了三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质等， 准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 题型十一：平行四边形性质与判定的应用 1.如图，△ABC、△DBE和△FGC均为正三角形，以点D，E，F，G 在△ABC的各边上，DE和FG相交于点H，若S =S ，BC=a，BD=b，CF=c，则a，b，c 满足的关系式为 四边形ADHF △HGE （ ） A．a+c=2b B．b2+c2=a2 C．√b+√c=√a D．a=2√bc 【答案】B 【分析】分别用含a，b，c的代数式表示S 与S ，根据S =S 得到关于 四边形ADHF △HGE 四边形ADHF △HGE a，b，c关系式，化简整理关系式即可． 【详解】解： ∵ ∠EDB=∠A=60°， ∴ DE∥AF ， 同理：FG∥AB ， ∴四边形ADHF为平行四边形， ∵在△HGE中∠HGE=∠HEG=60°， ∴ △HGE为等边三角形， ∵ ¿=b+c−a，AD=a−b，AF=a−c， √3 ∴ S =AF⋅AD⋅sin60°= (a−c)(a−b) ▱ADHF 2 √3 S = (b+c−a) 2 △HGE 4 √3 √3 ∴ (a−c)(a−b)= (b+c−a) 2 ，化简可得：b2+c2=a2， 2 4 故选：B. 【点睛】本题综合考查了平行四边形及等边三角形的判定与性质，关键是要会用含a，b，c的代数式分 别表示平行四边形和等边三角形的面积，找到关系式，化简整理得出结论． 2.在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕 迹．（1）如图1，在BC上找出一点M，使点M是BC的中点； （2）如图2，在BD上找出一点N，使点N是BD的一个三等分点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连接对角线AC,BD，再连接E与对角线的交点，与BC的交点即为M点； ND DE 1 1 （2）连接CE交BD即为N点，根据相似三角形的性质可得 = = ,于是DN= BD． NB BC 2 3 【详解】解：（1）如图1，点M即为所求； （2）如图2，点N即为所求． 【点睛】此题主要考查平行四边形与相似三角形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的特点． 3.如图，将平行四边形OABC放置在平面直角坐标系xOy内，已知A(3,0),B(0,4)． （1）点C的坐标是（___，__）； （2）若将平行四边形OABC绕点O逆时针旋转90°得OFDE，DF交OC于点P，交y轴于点F，求△OPF 的面积； （3）在（2）的情形下，若再将平行四边形OFDE沿y轴正方向平移，设平移的距离为d，当平移后的平 行四边形O'F'D'E'与平行四边形OABC重叠部分为五边形时，设其面积为S，试求出S关于d的函数关系 式，并直接写出d的取值范围．【答案】（1）(−3,4)；（2） 54 ；（3）S=− 2 d2+ 208 d+ 112( 11)， BG AB 延长BC至点E，使DE＝DG，延长ED交AB于点F，直接写出 的值（用含K的式子表示）． AF 【答案】(1)△CFE；平行四边形 (2)GF的长为√31 AB 4K (3) 的值为 AF K−1 【分析】（1）根据全等三角形的判定和平行四边形的判定即可得出； （2）过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF，全等三角形 的判定可得△AEG≌△DEH，GF=HF，AG=HD=√3 √3 3 根据AD∥BC，∠A=90°，∠D=120°求得∠HDP=30°，故PH= ，PD= 2 2 ，PF= 11 ，根据勾股定理，求得HF=√H P2+PF2= √ (√3) 2 + (11) 2 =√31，即可求得； 2 2 2 （3）取BC的中点H，连接DH，根据全等三角形的判定可得△DGH≌△DEC，即GH=CE， (K+1) (3K+1) HE=CG，CG=≥=K⋅BG，可得BH= BG，BE= BG，根据相似三角形的判定和性 2 2 HD 2K 4K 质可得 = ，AB= BF，根据BF=AB−AF即可求得． BF 3K+1 3K+1【详解】（1）∵E是AC的中点 ∴AE=CE ∵CF∥AB ∴∠A=∠FCE，∠DEA=∠CEF ∴△ADE≌△CFE ∴DE=EF ∵D是AB的中点 ∴AE=BD 又∵CF∥BD，CF=BD ∴四边形BCFD是平行四边形 故答案为：△CFE；平行四边形． （2）如图，过点D作AB的平行线交GE的延长线于点H，过H作CD的垂线，垂足为P，连接HF， 同（1）可知△AEG≌△DEH，GF=HF ∴∠A=∠HDE=90°，AG=HD=√3 ∵∠ADC=120° ∴∠HDF=360°−90°−120°=150° ∴∠HDP=30° 1 √3 3 ∴PH= DH= ，PD= 2 2 2 3 11 ∴PF=PD+DF= +4= 2 2 √3 11 在Rt△HFP中，∠HPF=90° ，HP= ，PE= 2 2 ∴HF=√H P2+PF2= √ (√3) 2 + (11) 2 =√31 2 2 ∴GF=√31 （3）取BC的中点H，连接DH∵D是AC的中点 1 ∴DH∥AB，DH= AB 2 ∵AB=AC ∴DH=DC ∴∠DHC=∠DCH ∵GD=DE ∴∠DGH=∠DEC ∴△DGH≌△DEC ∴GH=CE ∴HE=CG CG ∵ =K(K>1)，即CG=≥=K⋅BG BG BG+GC BG+K⋅BG (K+1) ∴BH= = = BG 2 2 2 (K+1) (3K+1) ∴BE=BH+HE=BH+GC= BG+K⋅BG= BG 2 2 ∵DH∥AB HD HE ∴ = BF BE HD K⋅BG 2K = = 即BF (3K+1) 3K+1 BG 2 2K 故HD= BF 3K+1 ∵DH∥AB HD 1 ∴ = AB 2 4K 即AB=2HD= BF 3K+1又∵BF=AB−AF 4K 4K ∴AB= BF= (AB−AF) 3K+1 3K+1 化简可得 AB 4K = AF K−1 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质， 三角形中位线等知识，解（2）的关键是作出辅助线，解（3）的关键是根据相似三角形的性质进行等量 代换，是一道比较典型的中考题． 5.下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 1 已知：如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点．求证：DE∥BC，且DE= BC． 2 方法一： 方法二： 证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连 证明：如图，取BC中点G，连接GE并延长到点F， 接FC，DC，AF． 使EF=≥¿，连接AF． 【答案】证明见解析 【分析】方法一：先证明△AED≌△CEF得到AD=CF，∠ADE=∠CFE，得到AD∥CF，再 1 1 证明四边形BCFD是平行四边形，得到DF=BC，DF∥BC，则DE= DF= BC，即可证明 2 2 1 DE∥BC，且DE= BC． 2 方法二：同理可证△AEF≌△CEG得到CG=AF，∠AFE=∠CGE，再证明四边形ABGF是平行 四边形，得到AB=GF，进一步证明四边形BDEG是平行四边形，得到DE∥BG，DE=BG，即可证1 明DE∥BC且DE= BC． 2 【详解】方法一：证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF， ∵E是AC的中点， ∴AE=CE， 又∵DE=FE，∠AED=∠CEF， ∴△AED≌△CEF(SAS)， ∴AD=CF，∠ADE=∠CFE， ∴AD∥CF， ∵D是AB的中点， ∴AD=BD=CF， ∴四边形BCFD是平行四边形， ∴DF=BC，DF∥BC， ∵DE=FE， 1 1 ∴DE= DF= BC， 2 2 1 ∴DE∥BC，且DE= BC． 2 方法二：证明：如图，取BC中点G，连接GE并延长到点F，使EF=≥¿，连接AF． 同理可证△AEF≌△CEG， ∴CG=AF，∠AFE=∠CGE， ∴AF∥CG， ∵G是BC中点， ∴BG=CG=AF， ∴四边形ABGF是平行四边形， ∴AB=GF， ∵D，E分别是AB，GF的中点， 1 1 ∴BD= AB=≥= GF， 2 2 ∴BD=≥¿， 又∵BD∥≥¿， ∴四边形BDEG是平行四边形， ∴DE∥BG，DE=BG， 1 ∴DE∥BC且DE= BC． 2【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，正确理解题意是解题的 关键． 6.设AX，BY，CZ是△ABC的三条中线，求证：AX，BY，CZ三线共点． 【答案】见解析 【分析】令AX,CZ相交于点E，延长AX，使XE=XD，连接BD，CD，证明四边形BDCE是平行四边 形，则BE∥CD，BD∥CE，再证明ZE为△ABD中位线，则点E为AD中点，最后证明EY为 △ABD中位线，得出EY∥CD，即可根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，进行求证． 【详解】解：令AX,CZ相交于点E，延长AX，使XE=XD，连接BD，CD． ∵AX是△ABC的中线， ∴BX=CX， ∵XE=XD， ∴四边形BDCE是平行四边形， ∴BE∥CD，BD∥CE， ∵CZ是△ABC的中线， ∴点Z为AB中点，BD∥CE AE AZ 1 ∴ = = ， AD AB 2 ∴ZE为△ABD中位线，即点E为AD中点， ∵BY是△ABC的中线， ∴点Y为AC中点，BE∥CDAE AY 1 ∴ = = ， AD AC 2 ∴EY为△ABD中位线， ∴EY∥CD， ∵EY∥CD，BE∥CD， ∴点B、E、Y在同一条直线上， ∴AX，BY，CZ三线共点． 【点睛】本题主要考查了三角形重心的证明，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，平行线分线 段成比例定理，三角形中位线的判定和性质，以及在平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线 平行． 7.问题背景：如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，在△AEF中， 1 ∠AEF=90°，∠EAF= ∠BAC，连接BF，M是BF中点，连接EM和DM，在△AEF绕点A旋 2 转过程中，线段EM和DM之间存在怎样的数量关系？ 观察发现： (1)为了探究线段EM和DM之间的数量关系，可先将图形位置特殊化，将△AEF绕点A旋转，使 AE与AB重合，如图2，易知EM和DM之间的数量关系为___________； 操作证明： (2)继续将△AEF绕点A旋转，使AE与AD重合时，如图3，（1）中线段EM和DM之间的数量关系仍 然成立，请加以证明． 问题解决： (3)根据上述探究的经验，我们回到一般情况，如图1，在其他条件不变的情况下，上述的结论还成立吗？ 请说明你的理由． 【答案】(1)EM=DM (2)见解析 (3)成立；理由见解析【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行证明即可； （2）延长FE交AB于点G，根据等腰三角形的性质得出∠BAD=∠CAD，BD=CD，证明 1 △AEG≌△AEF(ASA)，得出EG=EF，AG=AF，证明BG=CF，根据中位线性质得出EM= BG， 2 1 DM= CF，即可证明结论； 2 （3）延长FE到点N，使EN=EF，连接AN，BN，CF，证明△AEN≌△AEF，得出AN=AF， 1 ∠EAN=∠EAF，证明△NAB≌△FAC(SAS)，得出BN=CF，根据中位线性质得出EM= BN， 2 1 DM= CF，即可证明结论． 2 【详解】（1）解：∵AD⊥BC， ∴∠BDF=90°， ∵M为BF的中点， 1 ∴DM= BF， 2 ∵∠AEF=90°， ∴∠BEF=180°−90°=90°， ∵M为BF的中点， 1 ∴EM= BF， 2 ∴EM=DM． 故答案为：EM=DM． （2）证明：延长FE交AB于点G，如图所示： ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠CAD，BD=CD， ∵∠AEF=90°，∴∠AEG=180°−90°=90°， ∴∠AEG=∠AEF， ∵AE=AE，∠GAE=∠FAE， ∴△AEG≌△AEF(ASA)， ∴EG=EF，AG=AF， ∴AB−AG=AC−AF， 即BG=CF， ∵M为BF的中点，E为GF的中点， 1 ∴EM= BG， 2 1 同理得：DM= CF， 2 ∴EM=DM． （3）解：成立；理由如下： 延长FE到点N，使EN=EF，连接AN，BN，CF，如图所示： ∵∠AEF=90°， ∴∠AEN=180°−90°=90°， ∴∠AEN=∠AEF， ∵AE=AE，EN=EF， ∴△AEN≌△AEF， ∴AN=AF，∠EAN=∠EAF， 1 ∴∠EAF= ∠NAF， 2 1 ∵∠EAF= ∠BAC， 2 ∴∠NAF=∠BAC， ∴∠NAF−∠BAF=∠BAC−∠BAF， 即∠NAB=∠FAC， ∵AB=AC，AN=AF，∴△NAB≌△FAC(SAS)， ∴BN=CF， ∵M为BF的中点，E为NF的中点， 1 ∴EM= BN， 2 根据解析（2）可知，D为BC的中点， 1 ∴DM= CF， 2 ∴EM=DM． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线性质，解题的关 键是作出辅助线构造全等三角形，熟练掌握三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半． 8.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，交CA的延长线于点D，连接BD． (1)求作⊙O的切线PQ，PQ交AC于点Q；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 1 (2)在（1）的条件下，求证：PQ= BD， 2 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）连接OP，过P作OP的垂线即可； （2）根据圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形的中位线的性质证明． 【详解】（1）解：如图：PQ即为所求； 1 作射线OP，以点P为圆心，任意长为半径画弧交射线于M，N，以点M，N为圆心，大于 MN为半径 2 画弧，两弧交于点E，作直线PE，交AC于点Q，则直线PQ即为所求；（2）证明：连接AP，如图， ∵AB为直径， ∴∠D=∠APB=90°， ∵AB=AC， ∴BP=CP， ∵OA=OB， ∴OP∥AC， ∵PQ为⊙O的切线， ∴OP⊥PQ， ∴PQ⊥AC， ∵BD⊥CD， ∴PQ∥BD， ∴CQ=DQ， ∴PQ是△BCD的中位线， 1 ∴PQ= BD． 2 【点睛】本题考查了复杂作图，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质及三角形的中位线的性质是解题的 关键． 题型四：三角形中位线的实际应用 1.如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在线段AB的一侧取一点C，连接CA并延长至点D，连接 CB并延长至点E，使A、B分别是CD、CE的中点，若DE＝16m，则线段AB的长度是（ ） A．12m B．10m C．9m D．8m【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，解答即可． 【详解】解：∵点A、点B分别是CD、DE的中点， ∴AB是 CDE的中位线， 1△ ∴AB= DE=8(m)， 2 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的 一半是解题的关键． 2.如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC， BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是 m． 【答案】100 【分析】先判断出DE是 ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可 得AB=2DE，问题得解．△ 【详解】∵点D，E分别是AC，BC的中点， ∴DE是 ABC的中位线， ∴AB=2D△E=2×50=100米． 故答案为100． 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题 的关键． 题型五：与三角形中位线有关的规律探究 1.如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边的中点E，作ED∥AB交AC于点D，EF∥AC交AB 于点F，得到四边形EDAF，它的面积记作S 取BE边的中点E ，作E D FB交EF于D ，E F ∥EF交BF 1 1 1 1 1 1 1 于点F ，得到四边形E D FF ，它的面积记作S ，…照此规律作下去，则S 的值为 ． 1 1 1 1 2 2025√3 【答案】 24056 1 【分析】根据中点和平行的条件可求出四边形EDAF的边长为三角形的一半为 ，高为三角形高的一半为 2 √3 ，求出S 的值，同理求出S 、S 的值，找出规律列出S 的表达式． 4 1 2 3 n 【详解】∵E是BC中点，ED∥AB，EF∥AC， ∴ED、EF是△ABC的中位线， 1 1 ∴ED=EF=AD=AF= AB= ， 2 2 ∴四边形EDAF是菱形， ∵△ABC是等边三角形， ∴△ABC的高= √ 12− (1) 2 = √3 ， 2 2 1 √3 √3 ∴菱形EDAF的高为 × = ， 2 2 4 1 √3 √3 √3 ∴S = × = = ， 1 2 4 8 23 1 1 1 √3 √3 同理，四边形E D FF 也是菱形，FF = BF= ，菱形E D FF 的高为 × = ， 1 1 1 1 2 4 1 1 1 2 4 8 1 √3 √3 √3 ∴S = × = = ， 2 4 8 32 25 1 √3 √3 √3 S = × = = 3 8 16 128 27 …… √3 S = ， n 22n+1 √3 √3 ∴S = = 2025 22×2025+1 24056√3 故答案为： ． 24056 【点睛】本题考查了等边三角形和菱形，熟练掌握中位线的性质和菱形面积的计算方法，通过求菱形面 积找出规律是解题关键． 2.如图，在图1中，A 、B 、C 分别是等边ΔABC 的边BC、CA、AB的中点，在图2中，A ，B ， 1 1 1 2 2 C 分别是ΔA B C 的边B C 、A C 、A B 的中点，…，按此规律，则第n个图形中菱形的个数共有 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （ ）个． A．n2 B．2n C．3n D．3n+1 【答案】C 【分析】根据中位线定理及等边三角形得到三条中线相等且都等于等边三角形的边的一半，等到作一次 图得3个菱形，依次可得答案． 【详解】解：由题意可得， ∵A 、B 、C 分别是等边ΔABC 的边BC、CA、AB的中点， 1 1 1 ∴A B =A C =B C =A B=A C=BC =AC =AB =B C , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴图1有三个菱形，由此可得作一次中位线分三个菱形， ∴第n个图形中菱形的个数共有3n 个菱形， 故选C． 【点睛】本题考查等边三角形性质及中位线定理，解题的关键是找出作一次中位线分3个菱形． 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，点D、点E、点F分别是AC，AB， BC边的中点，连接DE、EF，得到△AED，它的面积记作S；点D 、点E 、点F 分别是EF，EB， 1 1 1 FB边的中点，连接D E 、E F ，得到△EE D ，它的面积记作S ，照此规律作下去，则S = 1 1 1 1 1 1 1 2025 ．√3 1 【答案】 / √3 24047 24047 【分析】先由条件求出△ABC的面积，再由三角形的中位线定理可得DE∥BC，EF∥AC， (1) 2 1 S =S = S =S，则S= S △BEF △ADE 2 △ABC 4 △ABC (1) 2 1 1 (1) 2 同理可得S =S = S = S，即S = S= S ； △EE 1 D 1 △BE 1 F 1 2 △BEF 4 1 4 4 △ABC 以此类推，可得S ． 2025 【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2 ∴BC=AC⋅tan A=2×tan60°=2√3 1 1 S = BC⋅AC= ×2×2√3=2√3 △ABC 2 2 ∵点D、点E、点F分别是AC，AB，BC边的中点 1 1 ∴DE∥BC，EF∥AC，DE= BC，EF= AC 2 2 (1) 2 S =S = S =S △BEF △ADE 2 △ABC 1 1 √3 ∴S= S = ×2√3= 4 △ABC 4 2 (1) 2 1 1 同理可得S =S = S = S，即S = S △EE 1 D 1 △BE 1 F 1 2 △BEF 4 1 4 (1) 2 1 (1) 2 (1) 2 S =S = S = S = S，即S = S △E 1 E 2 D 2 △BE 2 F 2 2 △BE 1 F 1 4 1 4 2 4 ……(1) 2025 1 1 √3 √3 S = S= S= × = 2025 4 24050 24050 2 24051 √3 故答案为： 24051 【点睛】本题主要考查直角三角形面积，三角形的中位线定理，相似三角形的相似比，根据图形找到三 角形的关系是解题的关键． 4.如图，在 ABC中，BC=1，点P，M 分别是AB，AC边的中点，点P，M 分别是AP，AM 的中点， 1 1 2 2 1 1 点P，M 分△别是AP，AM 的中点，按这样的规律下去，PnMn的长为 （n为正整数）． 3 3 2 2 1 【答案】 2n 【分析】根据中位线的定理得出规律解答即可． 【详解】解：∵ BC＝1，点P，M 分别是AB，AC边的中点， 1 1 1 ∴PM＝ 1 1 2 ∵点P，M 分别是AP，AM 的中点， 2 2 1 1 1 1 1 1 ∴PM＝ × = = ， 2 2 2 2 4 22 ∵点P，M 分别是AP，AM 的中点， 3 3 2 2 1 1 1 1 1 ∴PM＝ × × = = ， 3 3 2 2 2 8 23 …… 点P，M 分别是AP ，AM 的中点， n n n-1 n-1 1 ∴PM＝ ， n n 2n 1 故答案为： 2n 【点睛】此题考查三角形中位线定理，关键是根据中位线得出规律进行解答． 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，点D、点E、点F分别是AC，AB， BC边的中点，连接DE、EF，得到△AED，它的面积记作S；点D 、点E 、点F 分别是EF，EB， 1 1 1 FB边的中点，连接D E 、E F ，得到△EE D ，它的面积记作S ，照此规律作下去，则S = 1 1 1 1 1 1 1 2023． √3 1 【答案】 / √3 24047 24047 【分析】先由条件求出△ABC的面积，再由三角形的中位线定理可得DE∥BC，EF∥AC， (1) 2 1 S =S = S =S，则S= S △BEF △ADE 2 △ABC 4 △ABC (1) 2 1 1 (1) 2 同理可得S =S = S = S，即S = S= S ； △EE 1 D 1 △BE 1 F 1 2 △BEF 4 1 4 4 △ABC 以此类推，可得S ． 2023 【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2 ∴BC=AC⋅tan A=2×tan60°=2√3 1 1 S = BC⋅AC= ×2×2√3=2√3 △ABC 2 2 ∵点D、点E、点F分别是AC，AB，BC边的中点 1 1 ∴DE∥BC，EF∥AC，DE= BC，EF= AC 2 2 (1) 2 S =S = S =S △BEF △ADE 2 △ABC 1 1 √3 ∴S= S = ×2√3= 4 △ABC 4 2 (1) 2 1 1 同理可得S =S = S = S，即S = S △EE 1 D 1 △BE 1 F 1 2 △BEF 4 1 4 (1) 2 1 (1) 2 (1) 2 S =S = S = S = S，即S = S △E 1 E 2 D 2 △BE 2 F 2 2 △BE 1 F 1 4 1 4 2 4…… (1) 2023 1 1 √3 √3 S = S= S= × = 2023 4 24046 24046 2 24047 √3 故答案为： 24047 【点睛】本题主要考查直角三角形面积，三角形的中位线定理，相似三角形的相似比，根据图形找到三 角形的关系是解题的关键． 6.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=4，分别连接AB，AC，BC的中点，得到第 1个等腰直角三角形A B C ；分别连接A B，A C ，BC 的中点，得到第2个等腰直角三角形 1 1 1 1 1 1 1 A B C ……以此规律作下去，得到等腰直角三角形A B C ，则B B 的长为 ． 2 2 2 2025 2025 2025 1 2025 √2 【答案】2√2− 22018 【分析】由题意，先求出B B ，B B ，B B ，然后找出变化的规律，即可得到答案． 1 2 1 3 1 4 【详解】解：在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4， ∴AC=√42+42=4√2， ∵A 、B 、C 是中点， 1 1 1 ∴A B =B C =2， 1 1 1 1 1 1 ∴A C = AC= ×4√2=2√2， 1 1 2 2 ∴BB =A C =2√2， 1 1 1 1 ∴BB =B B = ×2√2=√2； 2 1 2 2 √2 ∴BB =B B = ， 3 2 3 2 √2 ∴B B =2√2− ； 1 3 2√2 同理可求：B B =2√2− ； 1 4 4 √2 B B =2√2− ； 1 5 8 …… √2 ∴B B =2√2− ， 1 n 2n−2 √2 ∴B 5=2√2− ； 1 22023 √2 故答案为：2√2− ． 22023 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是遵循从特殊到一 般的探究方法，寻找规律，利用规律即可解决问题． 题型六：与三角形中位线有关的格点作图 1.在5×5的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求作图： (1)在图中找一个格点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形； (2)在图中作△ABC中平行于BC边的中位线EF．（保留画图痕迹，不写画法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质作图即可； （2）利用矩形的性质确定中点E、F，然后连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，四边形ABCD即为所求；（2）如图所示：线段EF即为所求； 【点睛】题目主要考查平行四边形的性质及矩形的性质，理解特殊四边形的性质是解题关键． 2.图①、图②、图③分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为 格点，点A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保 留作图痕迹． (1)在图①中，画线段AB的中点F． (2)在图②中，画△CDE的中位线GH，点G、H分别在线段CD、CE上，并直接写出△CGH与四边形 DEHG的面积比． (3)在图③中，画△PQR，点R在格点上，且△PQR被线段MN分成的两部分图形的面积比为1：3． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，面积比为1：3 (3)见解析 【分析】（1）根据网格的特点，找到A,B之间单元网格的对角线，交AB于点F，则点F即为所求； （2）根据（1）的方法找到CD,CE的中点G,H，连接GH，根据相似三角形的性质即可求出△CGH与 四边形DEHG的面积比； （3）根据（2）的结论，可知，只要MN经过△PQR的中位线，根据R在网格上，找到符合题意的点R 即可求解． 【详解】（1）如图①：（2）如图②： 1 ∵GH∥DE，GH= DE 2 ∴ S △CGH = (1) 2 = 1 S 2 4 △CDE ∴ △CGH与四边形DEHG的面积比为1：3． （3）如图③，画出一种即可． 【点睛】本题考查了网格与相似三角形，相似三角形的性质，三角形中位线的性质，根据网格的特点找 到线段的中点是解题的关键． 3.图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点， △ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画出相应图形，保留作图痕迹．(1)在网格①中的AC边上找点D，在BC边上找点E，连接ED，使AB=2DE． (2)在网格②中的AC边上找点D，连接BD，使∠CAB=∠CBD． (3)在网格③中的AC边上找点E，连接BE，使△ABE的面积是△BCE面积的4倍． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）根据中位线性质可知，当ED是△ABC的中位线即可得到AB=2DE，取AC边上中点D， BC边上中点E，连接ED即可得到答案； （2）根据直角三角形两锐角互余可知，根据∠A+∠C=90°，若要使∠CAB=∠CBD，过点B作 BE⊥AC交AC于D，连接BD即可得到答案； （3）根据三角形面积公式，△ABE和△BCE以AC边上的高为高，从而两个三角形高相等，若△ABE 的面积是△BCE面积的4倍，则AE=4BE，取AC中点D，再利用三角形中位线性质取CD中点E，连 接BE即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： ∴点D、点E即为所求； （2）解：如图所示：∴点D即为所求； （3）解：如图所示： ∴点E即为所求． 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是读懂题意，灵活运用所学的几何性质解决问题是 关键． 4.新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三 角形称为格点三角形．如图，已知△ABC是6×6的网格图中的格点三角形，那么该网格中所有与 △ABC相似且有一个公共角的格点三角形的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】取AB,BC,AC的中点D,F,E，再取网格点M、N，连接格点DE,DF,EF,MN，结合中位线的性质可证明△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，△CEF∽△CAB，再根据BN=3√2， BN BC BM=4，BA=4√2，BC=6，可得 = ，结合∠ABC=∠MBN，有△ABC∽△MBN，即 BM BA 可获得答案． 【详解】解：如图，取AB,BC,AC的中点D,F,E，再取网格点M、N，连接格点DE,DF,EF,MN， 1 则DE∥BC，且DE= BC， 2 ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC． 同理可证：△BDF∽△BAC，△CEF∽△CAB． ∵BN=3√2，BM=4，BA=4√2，BC=6， BN 3√2 3√2×√2 BC ∴ = = = ， BM 4 4×√2 BA BN BC ∴ = ，∠ABC=∠MBN， BM BA ∴△ABC∽△MBN， 综上，满足条件的三角形有4个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中位线的性质、相似三角形的判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定条件是 解答本题的关键． 5.如图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点． △ABC的顶点均在格点，点D为AC上一格点，点E为AB上任一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格 中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．(1)在图①中画△ABC的中位线DF，使点F在边AB上． (2)在图②中画以AC为对角线的▱ABCG． (3)在图③中作射线ED，在其上找到一点H，使DH=DE． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用格点找出AB的中点，即为点F； （2）由图可知BC=2，因此将点A向右移动两格即为点G，连接CG可得▱ABCG； （3）连接ED并延长，与CG的交点即为点H． 【详解】（1）解：DF如下图所示； （2）解：▱ABCG如下图所示； 理由如下：由图可知AG∥BC，AG=BC， ∴四边形ABCG以AC为对角线的平行四边形； （3）解：点H如下图所示．理由如下：由（2）知四边形ABCG是平行四边形， ∴ AE∥CH，AD=CD， ∴ ∠EAD=∠HCD， 在△EAD和△HCD中， ¿， ∴ △EAD≌△HCD(ASA)， ∴ DH=DE． 【点睛】本题考查格点作图，解题的关键是掌握格点作图的特点、平行四边形的判定和性质，以及全等 三角形的判定和性质． 6.如图，是8×8的方格纸，线段AB的两个端点分别落在格点上，请按照要求画图： (1)在图1中画一个格点四边形APBQ，且AB与PQ互相平分． (2)在图2中画一个以AB为中位线的格点△≝¿． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）根据菱形的对角线互相平分的性质作图； （2）由中位线的性质作图 【详解】（1）解：如下图，答案不唯一．（2）如下图，答案不唯一． 【点睛】本题考查网格作图，涉及菱形的性质、中位线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解 题关键． 题型七：构造三角形中位线的常用方法 题组一：两中点构造 1.如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD的中点，连接AE、AF、EF．若菱形ABCD 的面积为8，则△AEF的面积为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】连接AC,BD，相交于点O，AC交EF于点G，先根据菱形的性质可得 1 1 AC⊥BD,OA=OC, AC⋅BD=8，再根据三角形中位线定理可得EF//BD,EF= BD，然后根据 2 2CG CF 1 3 相似三角形的判定与性质可得 = = ，从而可得AG= AC，最后利用三角形的面积公式即可得． OC CD 2 4 【详解】解：如图，连接AC,BD，相交于点O，AC交EF于点G， ∵四边形ABCD是菱形，且它的面积为8， 1 ∴AC⊥BD,OA=OC, AC⋅BD=8， 2 ∵点E、F分别是边BC、CD的中点， 1 1 ∴EF//BD,EF= BD,CF= CD， 2 2 ∴EF⊥AC，△CFG∼△CDO， CG CF 1 ∴ = = ， OC CD 2 1 1 ∴CG= OC= AC， 2 4 3 ∴AG= AC， 4 1 1 1 3 3 则△AEF的面积为 EF⋅AG= × BD⋅ AC= ×8=3， 2 2 2 4 8 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握菱 形的性质是解题关键． 2.如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF， M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝（ ） 11 13 15 A． B． C．6 D． 2 2 2【答案】B 【分析】连接CF，则MN为△DCF的中位线，根据勾股定理求出CF长，即可求出MN的长． 【详解】解：连接CF， ∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝7，BE＝5， ∴GF＝GB＝5，BC＝7， ∴GC＝GB+BC＝5+7＝12， ∴CF＝√GF2+GC2＝√52+122＝13， ∵M、N分别是DC、DF的中点， 1 13 ∴MN＝ CF＝ ， 2 2 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形的中位线定理、勾股定理等知识点，构造基本图形是解题的 关键． 1 3.如图，抛物线y= x2−4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q 4 是线段PA的中点，连结OQ.则线段OQ的最大值是（ ） √41 7 A．3 B． C． D．4 2 2 【答案】C 【分析】根据抛物线解析式可求得点A（-4,0），B（4,0），故O点为AB的中点，又Q是AP上的中点可1 知OQ= BP，故OQ最大即为BP最大，即连接BC并延长BC交圆于点P时BP最大，进而即可求得OQ的 2 最大值． 【详解】解：连结BP， 1 ∵抛物线y= x2−4与x轴交于A、B两点， 4 1 当y=0时， x2−4=0， 4 解得x=±4， ∴A（-4,0），B（4,0），即OA=4， 在直角 COB中， △ BC=√OC2+OB2=√32+42=5， ∵Q是AP上的中点，O是AB的中点， 1 ∴OQ为 ABP中位线，即OQ= BP， 2 △ 又∵P在圆C上，且半径为2， ∴当B、C、P共线时BP最大，即OQ最大， 此时BP=BC+CP=5+2=7， 1 7 OQ= BP= ． 2 2 故选择C． 【点睛】本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位线，点到圆上最长 的距离，解本题的关键是将求OQ最大转化为求BP最长时的情况． 4.如图，正方形ABCD的面积为3，点E在边CD上， 且CE = 1，∠ABE的平分线交AD于点F，点M，N 分别是BE，BF的中点，则MN的长为（ ）√6 √3 A． B． 2 2 √6−√2 C．2−√3 D． 2 【答案】D 【分析】如图，连接EF，先证明AB=BC=CD=AD=√3,∠ABC=90°=∠A=∠D, 再求解 CE 1 √3 1 tan∠EBC= = = , 可得∠EBC=30°, ∠ABF= ∠ABE=30°, 再求解 BC √3 3 2 AF=AB·tan30°=1, 可得△≝¿为等腰直角三角形，求解EF=√2DE=√6−√2, 再利用三角形的中位 线的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接EF， ∵正方形ABCD的面积为3， ∴AB=BC=CD=AD=√3,∠ABC=90°=∠A=∠D, ∵CE=1, ∴DE=√3−1, CE 1 √3 ∴tan∠EBC= = = , BC √3 3∴∠EBC=30°, ∴∠ABE=90°−30°=60°, ∵AF平分∠ABE, 1 ∴∠ABF= ∠ABE=30°, 2 √3 ∴AF=AB·tan30°=√3× =1, 3 ∴DF=√3−1, ∴△≝¿为等腰直角三角形， ∴EF=√2DE=√2(√3−1)=√6−√2, ∵M,N分别为BE,BF的中点， 1 √6−√2 ∴MN= EF= . 2 2 故选D 【点睛】本题考查的是正方形的性质，锐角三角函数的应用，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线 的定义，三角形的中位线的性质，求解∠EBC=∠ABF=30°是解本题的关键． 5.如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接 CG．若AD=3，AB=CF=2，则CG的长为 ． 3 【答案】 2 【分析】延长DC交EF于点M（图见详解），根据平行四边形与等边三角形的性质，可证△CFM是等边 三角形，BF=BE=EF=BC+CF=5，可求出CF=CM=MF=2，可得C、G是DM和DE的中点，根据中位线的性质， 1 可得出CG= EM，代入数值即可得出答案． 2 【详解】解：如下图所示，延长DC交EF于点M，AD=3，AB=CF=2， ∵平行四边形ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上， ∴DM//AE， ∴△CMF是等边三角形， ∴AB=CF=CM=MF=2．在平行四边形ABCD中，AB=CD=2，AD=BC=3， 又∵ △BEF是等边三角形， ∴BF=BE=EF=BC+CF=3+2=5， ∴EM=EF−MF=5−2=3． ∵ G为DE的中点，CD=CM=2， ∴C是DM的中点，且CG是△DEM的中位线， 1 3 ∴CG= EM= ． 2 2 3 故答案为： ． 2 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、中位线等知识点，延长DC交EF于点M， 利用平行四边形、等边三角形性质求出相应的线段长，证出CG是△DEM的中位线是解题的关键． 6.如图，点A，B的坐标分别为A(6，0)，B(0，6)，C为坐标平面内一点，BC=2√2，M为线段 AC的中点，连接OM，当OM取最大值时，点M的坐标为 ． 【答案】(4,4) 【分析】根据题意可知：点C在半径为2√2的⊙B上．在x轴上取OD=OA=6，连接CD，易证明OM是 1 ACD的中位线，即得出OM= CD，即当OM最大时，CD最大，由D，B，C三点共线时，即当C在DB的 2 △ 延长线上时，OM最大，根据勾股定理求出BD的长，从而可求出CD的长，最后即可求出OM的最大值． 【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=2√2， ∴C在⊙B上，且半径为2√2， 在x轴上取OD=OA=6，连接CD，∵AM=CM，OD=OA， ∴OM是 ACD的中位线， 1△ ∴OM= CD， 2 ∴即当OM最大时，CD最大，而D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB=OD=6，∠BOD=90°， ∴BD=6√2， ∴CD=6√2+2√2=8√2，且C(2,8), 1 ∴OM= CD=4√2，即OM的最大值为4√2， 2 ∵M是AC的中点，则M（4,4）， 故答案为：（4,4）． 【点睛】本题考查坐标和图形，三角形的中位线定理，勾股定理等知识．确定OM为最大值时点C的位置 是解题关键，也是难点． 题组二：已知中点，取另一条线段的中点构造中位线 1.如图，在△ABC中，BC=3，将△ABC平移4个单位长度得到△A B C ，点P，Q分别是AB， 1 1 1 A C 的中点，求PQ的最大值和最小值． 1 1 11 5 【答案】 ， 2 2 【分析】取AC的中点M，A B 的中点N，连接PM，MO，NO，PN，根据△A B C 是△ABC平 1 1 1 1 11 移得到的，故B C =BC=3，PN=4；根据中位线的性质，可得NQ= B C ，根据三角形三边关系可 1 1 2 1 1 得PN−NQ≤PQ≤PN+NQ， 即可求得PQ的取值范围． 【详解】解：取AC的中点M，A B 的中点N，连接PM，MO，NO，PN，如图： 1 1 ∵△A B C 是△ABC平移4个单位长度得到的，BC=3 1 1 1 ∴B C =BC=3，PN=4 1 1 ∵点P，Q分别是AB，A C 的中点 1 1 1 3 ∴NQ= B C = 2 1 1 2 且PQ满足：PN−NQ≤PQ≤PN+NQ 3 3 故4− ≤PQ≤4+ 2 2 5 11 即 ≤PQ≤ 2 2 5 11 PQ的最小值等于 ，最大值等于 ． 2 2 【点睛】本题考查了平移的性质，中位线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握平 移的性质进行求证． 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=4√3，点D为BC中点，连接AD，以AD 为边向左侧作等边△ADE，连接CE，则CE= ． 【答案】2 【分析】取AB中点H，连接CH，DH，由SAS可知△ACE≌△AHD，可得EC=DH，进而由直角 三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，取AB中点H，连接DH，∵∠ACB=90°，∠B=30°，点H是AB的中点， ∴∠CAB=60°，AH=CH=BH=4， ∴△ACH是等边三角形， ∴AC=AH， ∵△ADE是等边三角形， ∴AE=AD，∠EAD=60°=∠CAB， ∴∠EAC=∠BAD， 在△ACE和△AHD中， ¿， ∴△ACE≌△AHD(SAS)， ∴EC=DH， 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=4√3， ∴ AB=2AC ∴ AC2+BC2=(2AC) 2 解得：AC=4， ∵D,H分别为BC,BA的中点， ∴DH=2 ∴ EC=DH=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，中位线的性质，添加恰当辅 助线构造全等三角形是本题的关键． 3.如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，对角线AC与BD交于点O，E为OB中点，F为AD中 点，连接EF，则EF的长为 ．√13 【答案】 2 1 【分析】由菱形的性质可得AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，由三角形中位线定理得FH＝ 2 1 AO＝ ，FH∥AO，然后求出OE、OH，由勾股定理可求解． 2 【详解】解：如图，取OD的中点H，连接FH， ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO， 1 ∴AO＝ AB＝1，BO＝√22−12=√3＝DO， 2 ∵点H是OD的中点，点F是AD的中点， 1 1 ∴FH＝ AO＝ ，FH∥AO， 2 2 ∴FH⊥BD， ∵点E是BO的中点，点H是OD的中点， √3 √3 ∴OE＝ ，OH＝ ， 2 2 ∴EH＝√3， √ 1 √13 ∴EF＝√EH2+FH2= 3+ = ， 4 2√13 故答案为： ． 2 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 4.如图，在RtΔABC中，∠ACB=90，AC=6、BC=4，点F为射线CB上一动点，过点C作CM⊥AF于M交AB 于E， D是AB的中点，则DM长度的最小值是( ) A．√3 B．√2 C．1 D．√6-2 【答案】C 【分析】取AC的中点T，连接DT，MT．利用三角形的中位线定理求出DT，利用直角三角形的中线的性 质求出MT，再根据DM≥MT−DT，可得结论． 【详解】解：如图，取AC的中点T，连接DT，MT． ∵AD=DB，AT=TC， 1 ∴DT= BC=2． 2 ∵CE⊥AF， ∴∠AMC=90°， 1 ∴TM= AC=3， 2 ∴点M的运动轨迹是以T为圆心，TM为半径的圆， ∴DM≥TM−DT=3−2=1，∴DM的最小值为1， 故选：C． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的 关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线，直角三角形斜边中线解决问题． 5.如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，点E是DA中点，F是对角线AC上一点，且∠≝=45°， 则AF:FC的值是（ ） A．3 B．√5+1 C．2√2+1 D．2+√3 【答案】D 1 【分析】取AC的中点M，连接EM设CD=2x,由中位线性质可得EM//CD,EM= CD,EM=x,再根 2 据∠DAB=60°，∠≝=45°可得出FM=EM=x,从而得到FC的长，即可得到AF:FC的结果． 【详解】解：如图所示：取AC的中点M，连接EM，DM ，设CD=2x, ∵点E是DA中点， ∴EM是△ACD的中位线， 1 ∴EM//CD,EM= CD, 2 ∴EM=x, ∵∠DAB=60°,四边形ABCD是菱形， ∴∠DAC=∠DCA=∠EMA=30°，∠AMD=90°， ∵∠≝=45° ∴∠EFM=45°−30°=15°, ∠FEM=30°−15°=15°， ∴∠EFM=∠FEM=15°, ∴FM=EM=x,∵CD=DA=2x,∠CAD=∠ACD=30°, 1 ∴DM= AD=x， 2 ∴AM=√AD2−AM2=√3x ∴AC=2√3x, ∴AM=√3x, ∴FC=2√3x−√3x−x=√3x−x, AF √3x+x √3+1 ∴ = = =2+√3, FC √3x−x √3−1 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质和中位线的性质，熟练掌握这些性质是解此题的关键． 6.如图，点C为线段AB上一点，分别以AC,BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等 腰△BCE，且∠A=∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF=AD，连接BF,DE． (1)如图1，求证：DE=BF； (2)如图2，若AD=2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长． 【答案】(1)见解析 (2)BE=2+√2． 【分析】（1）证明CD∥BE，推出∠DCE=∠BEF，利用SAS证明△DCE≌△FEB即可证明结论 成立； 1 （2）取CF的中点H，连接GH，证明GH是△FCD的中位线，设BE=a，则FH= a−2，证明 2 GH FH △FGH∽△FBE，得到 = ，即a2−4a−4=0，解方程即可求解． BE EF 【详解】（1）证明：∵等腰△ACD和等腰△BCE， ∴AD=CD，EC=EB，∠A=∠DCA， ∵∠A=∠CBE， ∴∠DCA=∠CBE， ∴CD∥BE，∴∠DCE=∠BEF， ∵EF=AD， ∴EF=CD， 在△DCE和△FEB中，¿， ∴△DCE≌△FEB(SAS)， ∴DE=BF； （2）解：取CF的中点H，连接GH， ∵点G是DE的中点， ∴GH是△FCD的中位线， 1 1 ∴GH= CD= AD=1，GH∥CD， 2 2 1 1 1 设BE=a，则CH=EH= CE= BE= a， 2 2 2 ∵EF=AD=2， 1 ∴FH= a−2， 2 ∵CD∥BE， ∴GH∥BE， ∴△FGH∽△FBE， 1 GH FH a−2 ∴ = ，即1 2 ， BE EF = a 2 整理得a2−4a−4=0， 解得a=2+2√2（负值已舍）， 经检验a=2+2√2是所列方程的解，且符合题意， ∴BE=2+2√2． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，三角形中位线定理，全等三角形的判 定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 题组三：利用角平分线垂直构造三角形的中位线 1.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的角平分线，AE⊥CE于点E，连接DE．若AB=7，DE=1，则AC的长度是（ ） A．4 B．4.5 C．5 D．5.5 【答案】C 【分析】延长CE交AB于点F，通过ASA证明△EAF≌△EAC，根据全等三角形的性质得到AF=AC， EF=EC，根据三角形中位线定理得出BF=2，即可得出结果． 【详解】解：延长CE，交AB于点F． ∵AE平分∠BAC，AE⊥CE ∴∠EAF=∠EAC，∠AEF=∠AEC， 在△EAF与△EAC中， ¿ ∴△EAF≌△EAC(ASA)， ∴AF=AC，EF=EC， 又∵D是BC中点， ∴BD=CD， ∴DE是△BCF的中位线， ∴BF=2DE=2． ∴AC=AF=AB−BF=7−2=5． 故选C． 【点睛】此题主要考查了三角形中位线，全等三角形等．熟练掌握三角形中位线定理，角平分线定义和 垂直定义，三角形全等判定和性质，是解题的关键． 2.如图，△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D．(1)求证：2DM+AB=AC； (2)若AD=6，BD=8，DM=2，求AC的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)14 【分析】（1）延长BD，交AC于点E，通过证明△BAD≌△EAD，得到AE=AB，BD=DE，进而得 到DM为△BCE的中位线，即可得证； （2）利用勾股定理得到线段AB的长度，再结合（1）的结论，即可求出线段AC的长度． 【详解】（1）解：如图，延长BD，交AC于点E， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠EAD， 在△BAD与△EAD中， ¿ ∴△BAD≌△EAD， ∴AE=AB，BD=DE， 即点D为线段BE的中点， ∴DM为△BCE的中位线， ∴CE=2DM， ∵AC=AE+CE， ∴AC=AB+2DM； （2）解：在Rt△ABD中，AB=√AD2+BD2=10，∴AC=AB+2DM=14． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、中位线的定义及性质，根据题目的提示，正确做出辅助线， 构造出全等三角形是解题的关键． 3.如图，在正方形ABCD中，点E，G分别在AD，BC边上，且AE=3DE，BG=CG，连接BE、CE，EF平分 ∠BEC，过点C作CF⊥EF于点F，连接GF，若正方形的边长为4，则GF的长度是（ ） 5−√3 5−√15 5−√17 √17−3 A． B． C． D． 2 2 2 2 【答案】C 【分析】延长CF交BE于H，利用已知条件证明△HEF≌△CEF(ASA)，然后利用全等三角形的性 1 质证明GF= BH，最后利用勾股定理即可求解． 2 【详解】解：如图：延长CF交BE于H， ∵EF平分∠BEC， ∴∠HEF=∠CEF， ∵CF⊥EF， ∴∠HEF=∠CFE， 在△HEF和△CEF中， ¿， ∴△HEF≌△CEF(ASA)， ∴HF=CF，EH=EC， 而BG=CG，1 ∴GF= BH， 2 ∵AE=3DE，正方形的边长为4， ∴AE=3，AB=CD=4，DE=1， 在Rt△ABE中，BE=√AB2+AE2=5， 在Rt△CDE中，CE=HE=√CD2+DE2=√17， ∴BH=BE−HE=5−√17， 1 5−√17 ∴GF= BH= ． 2 2 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，也利用了正方形的性质，三角形中位线的性质，具 有一定的综合性，解题关键是作出辅助线，利用全等三角形、正方形和三角形中位线的性质以及勾股定 理求解． 4.如图，ΔABC中，AD平分∠BAC，E是BC中点，AD⊥BD,AC＝7,AB＝3，则DE的值为 （ ） 3 A．1 B． 2 5 C．2 D． 2 【答案】C 【分析】延长BD交AC于F点，先利用ASA证明△ABD≌△AFD，得出BD=DF和AF的长，则可求出 FC长，然后根据三角形中位线定理求出DE长即可． 【详解】解：如图，延长BD交AC于F点， ∵AD平分∠BAC， 即∠BAD=∠FAD，∵AD⊥BC， 即∠ADB=∠ADF=90°， 在△ABD和△AFD中， ∴¿， ∴△ABD≌△AFD（ASA）， ∴AF=AB=3，BD=DF， ∴FC=AC−AF=7−3=4， ∵BD=DF，BE=EC， ∴DE是△BFC的中位线， 1 ∴DE= FC=2． 2 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解题的关键是根据条件作出辅助线． 5.如图，△ABC中，AB=10，AC=6，AD平分∠BAC，CD⊥AD，E为BC的中点，则DE的长为 （ ） A．2 B．3 C．1.5 D．2.5 【答案】A 【分析】延长CD交AB于点F，证△ADF≌△ADC(ASA)，再由E为BC的中点，即可求解； 【详解】解：延长CD交AB于点F， ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD=∠CAD， ∵CD⊥AD， ∴∠ADF=∠ADC， ∵AD=AD， ∴△ADF≌△ADC(ASA)， ∴DF=DC，AF=AC=6∵E为BC的中点， 1 ∴DE= BF， 2 ∵AB=10， 1 1 1 ∴DE= BF= (AB−AF)= ×(10−6)=2， 2 2 2 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角形的全等证明、中位线的性质，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关 键． 6.如图，△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，且∠AFB=90°，则下列结论中 不正确的是（ ） A．BF平分∠ABC B．∠CAF=∠BAC−∠DFA 1 1 C．S = S D．EF= (BC−AB) △ADE 4 四边形DBCE 2 【答案】C 1 【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得到DF= AB=AD=BD，则∠DBF=∠DFB，再证明 2 DE为△ABC的中位线，得到DE∥BC，进而推出∠DBF=∠CBF，即可判断A；根据DF=DA， 得到∠DAF=∠DFA，即可得到∠CAF=∠BAC−∠DAF=∠BAC−∠DFA，即可判断B；证明 △ADE∽△ABC ，得到S △ADE= 1，则 S △ADE = 1，即可判断C；延长 AF 交 BC 于点 G ，证明 S 4 S 3 △ABC 四边形DBCE△ABF≌△GBF，得到AF=FG，AB=BG，即可判断D． 【详解】解：∵点D是AB的中点，∠AFB=90°， 1 ∴DF= AB=AD=BD， 2 ∴∠DBF=∠DFB， ∵点D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， 1 ∴DE∥BC，DE= BC， 2 ∴∠CBF=∠DFB， ∴∠DBF=∠CBF， ∴BF平分∠ABC，故选项A不符合题意； ∵DF=DA， ∴∠DAF=∠DFA， ∴∠CAF=∠BAC−∠DAF=∠BAC−∠DFA，选项B不符合题意； 1 ∵DE∥BC，DE= BC， 2 ∴△ADE∽△ABC， ∴ S △ADE= (1) 2 = 1 ， S 2 4 △ABC S 1 ∴ △ADE = ， S 3 四边形DBCE 1 ∴S = S ，选项C符合题意； △ADE 3 四边形DBCE 延长AF交BC于点G， ∵∠ABF=∠GBF，BF=BF，∠AFB=∠GFB=90°， ∴△ABF≌△GBF(ASA)， ∴AF=FG，AB=BG， ∵AE=EC， 1 1 1 ∴EF= CG= (BC−BG)= (BC−AB)，选项D不符合题意． 2 2 2 故选C．【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判断，全 等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 3 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，cos∠B= ，AE平分∠BAC，且AE⊥CE于点E，点 4 D为BC的中点，连接DE，则DE的长为（ ） √7 A．2 B．4−√7 C．2√7 D．2− 2 【答案】B 【分析】利用余弦求出AB的长，利用勾股定理求出AC的长，延长CE交AB于点F，证明 △AFE≌△ACE(ASA)，得到AC=AF=2√7，推出DE是△CBF的中位线，进行求解即可． 3 【详解】解：∵∠ACB=90°，BC=6，cos∠B= ， 4 BC 3 ∴ = ， AB 4 4 ∴AB= BC=8， 3 ∴AC=√AB2−BC2=2√7； 延长CE交AB于点F，∵AE平分∠BAC，AE⊥CE， ∴∠EAF=∠EAC,∠AEC=∠AEF=90°， 又∵AE=AE， ∴△AFE≌△ACE(ASA)， ∴AC=AF=2√7，CE=EF， ∴点E为CF的中点， ∵点D为BC的中点， 1 1 ∴DE= BF= (AB−AF)=4−√7； 2 2 故选B． 【点睛】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理．通过添加辅助线， 证明三角线全等，是解题的关键．