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专题 05 二次函数综合压轴题（21 题）
1．（2025·江西·中考真题）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量 时，其对应的函数值 ，
那么我们称该函数为“不动点函数”，点 为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数 中，
当 时， ，则我们称函数 为“不动点函数”，点 为该函数图象上的一个不动点．某数学
兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究．
探究1
（1）对一次函数 进行探究后，得出下列结论：
① 是“不动点函数”，且只有一个不动点；
② 是“不动点函数”，且不动点是 ；
③ 是“不动点函数”，且有无数个不动点．
以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）．
（2）若一次函数 是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件；
探究2：
（3）对二次函数 进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线
的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式．
探究3：
（4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出 件，获得利润y元．
请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函
数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义．
2．（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数
刻画，斜坡可以用一次函数 刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高
度y（米）的变化规律如下表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
1y 0 6 8 n …
(1)① ______， ______；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
(2)小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系 ．
①小球飞行的最大高度为______米；
②求v的值．
3．（2023·江西·中考真题）综合与实践
问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在 中， ，D为 上一点， ，动点
P以每秒1个单位的速度从C点出发，在三角形边上沿 匀速运动，到达点A时停止，以 为
边作正方形 设点P的运动时间为 ，正方形 的而积为S，探究S与t的关系
(1)初步感知：如图1，当点P由点C运动到点B时，
①当 时， _______．
②S关于t的函数解析式为_______．
(2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象请根据图
象信息，求S关于t的函数解析式及线段 的长．
(3)延伸探究：若存在3个时刻 （ ）对应的正方形 的面积均相等．
2① _______；
②当 时，求正方形 的面积．
4．（2022·江西·中考真题）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的
路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上
的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑
雪标准台的起跳台的高度 为 ，基准点K到起跳台的水平距离为 ，高度为 （h为定值）．设
运动员从起跳点A起跳后的高度 与水平距离 之间的函数关系为 ．
(1)c的值为__________；
(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时 ，求基准点K的高度h；
②若 时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________；
(3)若运动员飞行的水平距离为 时，恰好达到最大高度 ，试判断他的落地点能否超过K点，并说明
理由．
5．（2021·江西·中考真题）二次函数 的图象交 轴于原点 及点 ．
感知特例
3（1）当 时，如图1，抛物线 上的点 ， ， ， ， 分别关于点 中心对称的点为
， ， ， ， ，如下表：
… （___，___） …
… …
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为 ．
形成概念
我们发现形如（1）中的图象 上的点和抛物线 上的点关于点 中心对称，则称 是 的“孔像抛物
线”．例如，当 时，图2中的抛物线 是抛物线 的“孔像抛物线”．
探究问题
（2）①当 时，若抛物线 与它的“孔像抛物线” 的函数值都随着 的增大而减小，则 的取值范
围为_______；
②在同一平面直角坐标系中，当 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数 的
所有“孔像抛物线” ，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“ ”或
“ ”或“ ”或“ ”，其中 ）；
③若二次函数 及它的“孔像抛物线”与直线 有且只有三个交点，求 的值．
6．（2025·江西吉安·一模）某单位汽车停车棚如图1所示，棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，其
中点 B为棚顶外沿， 为斜拉杆．棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱 的水平距离x(单位：
m)近似满足函数关系 其图象如图2所示，且点 和点 在图象上．
(1)求二次函数的表达式；
4(2)某个数学兴趣小组研究一辆校车能否在按如图2所示的停车棚下避雨，他们将校车截面看作长
，高 的矩形．通过计算，发现校车不能完全停到车棚内，请你帮助兴趣小组通过计
算说明理由；
(3)小俊提出，若要使（2）中的校车能完全停到车棚内，且为了安全，需要保证点 F与顶棚的竖直距离至
少为 ，现需要将顶棚整体沿支柱 （支柱可加长）向上至少提升 ，求h的值．
7．（2025·江西宜春·二模）如图（1），在 中， ，点P从点A出发以 的速度沿路线
运动，点Q从点A出发以 的速度沿 运动．P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B
时，两点同时停止运动．以 为边在 的上方作平行四边形 ，设运动时间为 ，平行四边形
的面积为 （当点A，P，Q重合或在一条直线上时，不妨设 ）．探究S与t的关系．
初步感知
（1）当点P由点A运动到点C时，
①若 ， __________；
②S关于t的函数解析式为__________．
深入探究
（2）当点P由点C运动到点B时，经探究发现S关于t的函数解析式为 ，其图象如
图（2）所示．
① 的值为__________；
②求S关于t的函数解析式．
延伸探究
（3）当点P在 上运动时记为 ，运动时间记为 ，平行四边形 的面积记为 ；当点P在 上
运动时记为 ，运动时间记为 ，平行四边形 的面积记为 ， ．
①求 与 的数量关系；
②当 时， 的值为__________．
58．（2025·江西赣州·二模）已知抛物线 ： 与 轴交于点 ．其中自变量 与函数值
的部分对应值如下表：
… 1 2 3 4 5 …
… 0 0 3 8 …
(1) 抛物线 的对称轴为直线 ______，点 的坐标______；
求抛物线 的解析式及 的值．
(2)如图，将抛物线 绕点 旋转 后，得到抛物线 ．
抛物线 的解析式为______；
记抛物线 ， 组合得到的新图象为 ，图象 与过点 的直线 有且仅有一个交点，
请求出 的取值范围．
9．（2025·江西九江·二模）已知二次函数 ．
(1)求证：该二次函数的图象与 轴始终有两个交点；
(2)若该二次函数图象的顶点坐标为 ．
①当 取不同值时，发现点 均在一个函数图象上，求这个函数图象的解析式；
②若①中函数图象上的点 在直线 的上方，写出点 的横坐标 的取值范围，并求点 到直线
的最大距离．
10．（2025·江西吉安·一模）抛物线 的顶点坐标为点 ，与 轴交于 、 两点（点
在点 的左侧）．
6(1)若抛物线经过点 ，
① 的值为______；点 的坐标为______．
② ______．
(2)将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度得到的抛物线恰好经过点 ，求 的值．
(3)若点 ， 在该抛物线上．
①当 时，求 的值；
②在①的条件下，是否存在实数 ，使得 为等边三角形，若存在，请求出 的值；若不存在，请说
明理由．
③当 时，请直接写出 的取值范围．
11．（2025·江西·一模）已知抛物线 的顶点为点P，抛物线 关于直线l： 对称的
抛物线记为 ，点Q为抛物线为 的顶点，改变n的值，点Q的位置会发生变化，在变化过程中，发现当
时，点Q恰好落在x轴上．
(1)则点P的坐标为 ， ；
(2)求抛物线 的解析式；
7(3)如果抛物线 与 相交于点 ， ，且 ．
①直接写出n的取值范围： ；
②求四边形 的面积S（用含n的式子表示）；
③当四边形 为正方形时，求n的值．
12．（2025·江西抚州·模拟预测）综合与实践
特例感知
（1）如图1，在等腰直角 中，D为斜边 的中点，P是斜边 上一动点，过点P分别作 与
的垂线，垂足分别为E，F，连接 ， ，则 ， 的关系是______．
类比迁移
（2）如图2，在等腰直角 中，D为斜边 的中点，P是斜边 延长线上一动点，过点P分别
与 的垂线，垂足分别为E，F，连接 ， ， ．求证： 是等腰直角三角形．
拓展应用
（3）如图3，在平面直角坐标系 中，点A，B的坐标分别为 ， ，C是 的中点，P是射
线 上一动点，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为F，D，连接 ， ， ，点E与点C
关于 对称，连接 ， ．
①当点P在线段 上运动时，请判断点E是否在一条直线上运动．若在，请直接写出这条直线的解析式；
若不在，请说明理由．
②设点F的横坐标为x，四边形 的面积为y，求y与x的函数解析式，并在如图4所示的平面直角坐
标系中画出该函数的图象．
13．（2025·江西萍乡·模拟预测）如图，在等腰三角形 中， ，点 在 轴上，点 在 轴
上，点 ，抛物线 的图象经过点 ．
8(1)求抛物线的函数表达式；
(2)把 沿 轴正方向平移，当点 落在抛物线上时，求 扫过区域的面积；
(3)在抛物线上是否存在异于点 的点 ，使 是以 为直角边的等腰直角三角形?如果存在，请求出
所有符合条件的点 的坐标；如果不存在，请说明理由．
14．（2025·江西宜春·模拟预测）如图，已知抛物线： 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点
C， ，顶点为D．
(1)求此函数的关系式；
(2)在 下方的抛物线上，是否存在一点N，使 面积最大？最大面积是多少？
(3)E在对称轴上，F在抛物线上，若以A，O，E，F为顶点形成平行四边形，求出点E，F的坐标．
15．（2025·江西新余·模拟预测）抛物线 与y轴相交于点 与x轴相交于点
、 ，点 D 是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴上有一点 P，求出使 的值最小时点 P 的坐标，并求出此时 的最小值；
9(3)在（2）的条件下，在第四象限中的抛物线上是否存在一点 E，过点E作 轴 交x轴于点 F，使
与 相似？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2025·江西·模拟预测）如图，抛物线 与直线 交于 ， 两点，点 在抛物线上（点
不与点 ， 重合），过点 作直线 轴，交直线 于点 ．点 的横坐标为 ，点 ， 到直线
的距离分别为 ， ．
特例感悟
（1）若抛物线 的顶点为 ，试解答下列问题．
①当 ，直线 与 轴重合时， 的长为______， ______；
②当 ，直线 轴，点 的横坐标为 时， 的长为______， ______；
③当 ，直线 的函数解析式为 时， 的长为______， ______．
归纳论证
（2）根据上述情况，在 ， ， 没有确定值的情形下，试猜想 的长度与 之间的数量关系，并证明．
拓展应用
（3）当点 ， 的横坐标分别为 ， ，且点 在直线 下方时，请利用上述结论求 的最大面
积．
17．（2025·江西·模拟预测）如图，已知二次函数 的图象经过点 ， ，且其顶
点为 ．
(1)求二次函数的解析式及图象的对称轴．
(2)把二次函数 的图象位于直线 上方的部分向下翻折，将向下翻折后得到的部分与原二
10次函数图象位于直线 下方的部分组合的图象记作图象 ，若直线 （ 为常数）与图象 有四个
交点，从左到右依次记作 ，设点 关于直线AB的对称点为点 ．
①求 的取值范围；
②当 为等边三角形时，求代数式 的值．
18．（2025·江西·模拟预测）抛物线 ： 中（ 是常数，且 ），函数值 与
自变量x之间的部分对应关系如下表：
x … 0 1 2 …
y₁ … m n …
(1)根据以上信息，可知抛物线 开口向 ，对称轴为 ；
(2)求抛物线 的解析式及m，n的值；
(3)现将抛物线 沿x轴翻折，得到抛物线 ： ，试求 的解析式；
(4)在（3）的条件下，将抛物线 向下平移，设抛物线在平移过程中，顶点为D，与x轴的两交点为A，
B．
①在最初的状态下，至少向下平移多少个单位，点A，B之间的距离不少于6个单位长度？
②在最初的状态下，若向下平移 个单位时，对应的线段 长为n，请直接写出m与n的等量关
系．
19．（2025·江西九江·模拟预测）综合与实践
问题提出
如图，在 中， ，过点A作 于点D， ，点E从点B出发沿 向点A运动，
速度为1个单位长度/秒，点P从点D出发沿 向点C运动，速度为2个单位长度/秒，过点E作
，过点P作 ，点P在点E出发2秒后出发，当一动点到达终点时另一动点也停止运动．
设点E的运动时间为t秒， 的面积为S．
11初步感知
（1）如图1，当 时，解答下列问题：
（1）若 ，则S的值为________；
（2）S关于t的函数解析式为________．
（2）如图2，当 时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图3所示的不完整的图象．请根
据图象信息，解答下列问题：
①求图象最高点的坐标，并直接写出自变量t的取值范围；
②连接 ，若四边形 是平行四边形，求S的值．
延伸探究
（3）当 时，是否存在某一时刻t，使以点A，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出t的
值；若不存在，请说明理由．
20．（2025·江西南昌·模拟预测）综合与实践：
【问题提出】如图（1）在 中， ，D为 的中点，点P沿折线D—A—C运动（运动到点C
停止），以 为边在 上方作正方形 ．设点P运动的路程为x，正方形 的面积为y．
【初步感悟】（1）当点P在 上运动时，①若 ，则 _________；②y关于x的函数关系式为
_________；
（2）当点P从点A运动到点C时，经探究发现y是关于x的二次函数，并绘制成如图（2）所示的函数图
象，直线 是其图象所在抛物线的对称轴，求y关于x的函数关系式（写出自变量的取值范围）．
【延伸探究】（3）当 时， 的长为________，此时y关于x的函数图象上点的坐标为_________；
（4）连接正方形 的对角线 ， ，两对角线的交点为M，求点A在 内部时x和y的取值
范围．
21．（2025·江西·模拟预测）综合与实践
基础尝试
如图，抛物线 经过 ， 两点，与 轴另一交点为 ．
（1）求抛物线的解析式和直线 的解析式；
深入探究
12（2）若将抛物线 变为 ，为了使得 与 一直都有四个交
点，求出 的取值范围；
拓展运用
如果点 是线段 上一动点，过点 的直线 轴，分别交直线 、抛物线于点 、 ．连接 ，
一动点 从点 出发，沿线段 以每秒1个单位的速度运动到 ，再沿线段 以每秒 个单位的速度
运动到 后停止．
（3）当点 的坐标是多少时，点 在整个运动过程中用时最少？
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