2026中考数学压轴题每日一题（120题）_2025-2026中考数学《压轴题每日一题》(1)

★2026 中考数学 压轴题 每日一题（120 题）★ 目录 类型 1-1：二次函数代几综合……………………01 类型 1-2：二次函数代数综合……………………27 类型 2：相似综合…………………………………33 类型 3-1：三角形综合……………………………45 类型 3-2：四边形综合……………………………52 类型 3-3：四边形中的动点问题…………………65 类型 4：跨学科融合+情景实际运用 ……………69 类型 5：圆综合……………………………………82 类型 6：新定义……………………………………90 类型 7：反比例函数综合…………………………98 类型 8：各类题型综合 …………………………102★2026 中考数学 压轴题 每日一题（120 题）★ 2026中考数学压轴题 每日一题 目录（2025年最新中考真题） 第01题 2025成都中考T26 第41题 2025贵州中考T25 第81题 2025广州中考T24 第02题 2025重庆中考T24 第42题 2025齐齐哈尔中考T23 第82题 2025福建中考T25 第03题 2025甘肃中考T27 第43题 2025资阳中考T23 第83题 2025长沙中考T25 第04题 2025苏州中考T27 第44题 2025南充中考T24 第84题 2025连云港中考T26 第05题 2025烟台中考T24 第45题 2025黑龙江中考T26 第85题 2025云南中考T27 第06题 2025扬州中考T27 第46题 2025辽宁中考T22 第86题 2025青海中考T25 第07题 2025威海中考T24 第47题 2025长春中考T23 第87题 2025宜宾中考T24 第08题 2025湖北中考T24 第48题 2025重庆中考T26 第88题 2025德阳中考T24 第09题 2025河北中考T24 第49题 2025北京中考T27 第89题 2025内江中考T27 第10题 2025河南中考T22 第50题 2025新疆中考T23 第90题 2025江西中考T22 第11题 2025齐齐哈尔中考T24 第51题 2025广西中考T23 第91题 2025福建中考T24 第12题 2025吉林中考T22 第52题 2025安徽中考T22 第92题 2025深圳中考T20 第13题 2025绥化中考T28 第53题 2025甘肃中考T26 第93题 2025北京中考T28 第14题 2025长春中考T24 第54题 2025连云港中考T27 第94题 2025长沙中考T24 第15题 2025辽宁中考T23 第55题 2025扬州中考T28 第95题 2025长春中考T22 第16题 2025青海中考T24 第56题 2025浙江中考T24 第96题 2025兰州中考T26 第17题 2025宜宾中考T25 第57题 2025湖南中考T25 第97题 2025青岛中考T23 第18题 2025德阳中考T25 第58题 2025河北中考T23 第98题 2025成都中考T18 第19题 2025湖南中考T26 第59题 2025广州中考T25 第99题 2025广东中考T23 第20题 2025眉山中考T25 第60题 2025内蒙古中考T18 第100题 2025宜宾中考T23 第21题 2025遂宁中考T25 第61题 2025吉林中考T21 第101题 2025大庆中考T26 第22题 2025南充中考T25 第62题 2025眉山中考T26 第102题 2025武汉中考T23 第23题 2025自贡中考25 第63题 2025兰州中考T25 第103题 2025武汉中考T24 第24题 2025内江中考T28 第64题 2025烟台中考T23 第104题 2025乐山中考T26 第25题 2025泸州中考T25 第65题 2025绥化中考T27 第105题 2025乐山中考T25 第26题 2025达州中考T24 第66题 2025天津中考T24 第106题 2025广元中考T25 第27题 2025北京中考T26 第67题 2025黑龙江中考T28 第107题 2025广元中考T26 第28题 2025上海中考T24 第68题 2025青岛中考T25 第108题 2025南通中考T25 第29题 2025浙江中考T23 第69题 2025苏州中考T26 第109题 2025南通中考T26 第30题 2025天津中考T25 第70题 2025广东中考T22 第110题 2025常州中考T27 第31题 2025安徽中考T23 第71题 2025山西中考T22 第111题 2025常州中考T28 第32题 2025山东中考T22 第72题 2025陕西中考T26 第112题 2025大庆中考T27 第33题 2025成都中考T25 第73题 2025齐齐哈尔中考T22 第113题 2025大庆中考T28 第34题 2025上海中考T25 第74题 2025内蒙古中考T17 第114题 2025宁夏中考T25 第35题 2025广州中考T25 第75题 2025广西中考T22 第115题 2025宁夏中考T26 第36题 2025河南中考T23 第76题 2025深圳中考T19 第116题 2025宿迁中考T27 第37题 2025江西中考T23 第77题 2025吉林中考T20 第117题 2025宿迁中考T28 第38题 2025山东中考T23 第78题 2025贵州中考T24 第118题 2025潍坊中考T21 第39题 2025湖北中考T23 第79题 2025自贡中考T24 第119题 2025潍坊中考T22 第40题 2025山西中考T23 第80题 2025青岛中考T24 第120题 2025徐州中考T27★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第1题★ ★类型一：二次函数代几综合（1-26题）+二次函数无图代数综合（27-32题）★ 1．（2025•成都）如图，在平面直角坐标系 1 / 123 x O y 中，抛物线 y = a x 2 + b x 过点 ( − 1 , 3 ) ，且对称轴为直线 x = 1 ， 直线 y = k x − k 与抛物线交于 A ， B 两点，与 x 轴交于点 C ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当k =1时，直线 A B 与 y轴交于点 D ，与直线x=2交于点 E ．若抛物线 y = ( x − h ) 2 − 1 与线段 D E 有 公共点，求 h 的取值范围； （3）过点 C 与 A B 垂直的直线交抛物线于 P ， Q 两点，M ，N分别是 A B ， P Q 的中点．试探究：当 k 变 化时，抛物线的对称轴上是否存在定点 T ，使得TC 总是平分MTN？若存在，求出点 T 的坐标；若不存 在，请说明理由． O y B C A x O y B C A x★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第2题★ 2．（2025•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2 +bx+c与 2 / 123 x 轴交于 A ， B ( 6 , 0 ) 两点，与y轴 交于点 C ，抛物线的对称轴是直线 x = 5 2 ． （1）求抛物线的表达式； （2）点 P 是射线 B C 下方抛物线上的一动点，连接 O P 与射线BC交于点Q，点 D ， E 为抛物线对称轴上 PQ 的动点（点E在点D的下方），且DE=4，连接BD，PE ．当 取得最大值时，求点P的坐标及BD+PE OQ 的最小值； PQ （3）在（2）中 取得最大值的条件下，将抛物线 OQ y = x 2 + b x + c 沿射线 B C 方向平移 2 2 个单位长度得 到抛物线 y  ，点 M 为点P的对应点，点 N 为抛物线 y  上的一动点．若  N A B =  O P M − 4 5  ，请直接写出 所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点 N 的坐标的其中一种情况的过程． A C y O Q D E P B x A C y O B x★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第3题★ 5 3．（2025•甘肃）如图1，抛物线y=a(x+ )(x−4)(a0)分别与 2 3 / 123 x 轴， y 轴交于 A ， B ( 0 , − 4 ) 两点， M 为 O A 的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接 A B ，过点 M 作 O A 的垂线，交 A B 于点 C ，交抛物线于点 D ，连接BD，求△ B C D 的面积； （3）点 E 为线段 A B 上一动点（点 A 除外），将线段OE绕点 O 顺时针旋转 9 0  得到 O F ． ①当AE= 2时，请在图 2 中画出线段OF 后，求点F 的坐标，并判断点 F 是否在抛物线上，说明理由； ②如图3，点 P 是第四象限的一动点，  O P A = 9 0  ，连接 P F ，当点 E 运动时，求 P F 的最小值．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第4题★ 4．（2025•苏州）如图，二次函数 4 / 123 y = − x 2 + 2 x + 3 的图象与 x 轴交于 A ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C ，作直线 B C ， M ( m , y 1 ) ， N ( m + 2 , y 2 ) 为二次函数y=−x2 +2x+3图象上两点． （1）求直线 B C 对应函数的表达式； （2）试判断是否存在实数 m 使得y +2y =10．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 1 2 （3）已知 P 是二次函数 y = − x 2 + 2 x + 3 图象上一点（不与点 M ， N 重合），且点P的横坐标为 1 − m ，作 △ M N P ．若直线 B C 与线段 M N ， M P 分别交于点 D ， E ，且△ M D E 与△ M N P 的面积的比为 1 : 4 ，请直 接写出所有满足条件的 m 的值．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第5题★ 5．（2025•烟台）如图，抛物线 5 / 123 y = a x 2 + b x + 3 与 x 轴交于 A ， B 两点（点A在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C， O A = 2 ， O B = 6 ， D 是直线 B C 上方抛物线上一动点，作 D F ⊥ A B 交 B C 于点 E ，垂足为点 F ，连接 C D ． （1）求抛物线的表达式； （2）设点 D 的横坐标为 t ， ①用含有 t 的代数式表示线段 D E 的长度； ②是否存在点D，使△CDE是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说 明理由； （3）连接OE，将线段 O E 绕点 O 按顺时针方向旋转 9 0  得到线段 O G ，连接 A G ，请直接写出线段 A G 长 度的最小值．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第6题★ 6．（2025•扬州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 6 / 123 y = − x 2 − 2 x + 3 的图象（记为 G 1 ) 与 x 轴交于点 A ， B ，与 y 轴交于点 C ，二次函数y=x2 +bx+c的图象（记为 G 2 ) 经过点 A ， C ．直线x=t与两个图象G ， 1 G 分别交于点 2 M ，N，与 x 轴交于点 P ． （1）求b，c的值． （2）当点 P 在线段 A O 上时，求 M N 的最大值． （3）设点 M ， N 到直线 A C 的距离分别为 m ， n ．当 m + n = 4 时，对应的 t 值有 个；当m−n=3时， 对应的 t 值有 个；当 m n = 2 时，对应的 t 值有 个；当 m n = 1 时，对应的 t 值有 个．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第7题★ 7．（2025•威海）已知抛物线 7 / 123 y = a x 2 + b x − 3 交 x 轴于点 A ( − 1 , 0 ) ，点 B ，交y轴于点 C ．点 C 向右平移2个 单位长度，得到点D，点D在抛物线 y = a x 2 + b x − 3 上．点 E 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的表达式及顶点 E 的坐标； （2）连接 B C ，点 M 是线段 B C 上一动点，连接 O M ，作射线 C D ． ①在射线 C D 上取一点F ，使CF =CO，连接 F M ．当 O M + F M 的值最小时，求点 M 的坐标； ②点N是射线CD上一动点，且满足CN =CM ．作射线CE ，在射线CE 上取一点G ，使CG=CO．连接 G N ， B N ．求 O M + B N 的最小值； （3）点P在抛物线y=ax2 +bx−3的对称轴上，若OAP+OCA=45，则点P的坐标为 ．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第8题★ 8．（2025•湖北）抛物线 8 / 123 y = 1 2 x 2 − x + c 与 x 轴相交于点 A ( − 1 , 0 ) 和点 B ，与 y 轴相交于点 C ， T 是抛物线的 顶点， P 是抛物线上一动点，设点 P 的横坐标为 t ． （1）求c的值； （2）如图1，若点 P 在对称轴左侧，过点 P 作对称轴的垂线，垂足为 H ，求 P T H H 2 的值； （3）定义：抛物线上两点M ，N之间的部分叫做抛物线弧 M N （含端点 M 和 N ) ．过M ， N 分别作 x 轴 的垂线 l1 ， l2 ，过抛物线弧 M N 的最高点和最低点分别作 y 轴的垂线 l3 ， l4 ，直线 l1 ， l2 ， l3 与 l4 围成的矩形 叫做抛物线弧 M N 的特征矩形，若点P在第四象限，记抛物线弧 C P 的特征矩形的周长为 f ． ①求 f 关于 t 的函数解析式； ②过点 P 作PQ//x轴，交抛物线于点 Q ，点 Q 与点 C 不重合．记抛物线弧 C Q 的特征矩形的周长为 g ．若 f + g = 1 1 2 ，直接写出 P Q 的长．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第9题★ 9．（2025•河北）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2 +bx+c经过点 9 / 123 A ( 0 , 3 ) ， B ( 6 , 3 ) ，顶点为 P ．抛 物线 y = a ( x − 3 ) 2 + d ( a  0 ) 经过点 C ( 1 2 ， 2 ) ．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为 L 1 ， L 2 ． （1）求b， c 的值及点 P 的坐标． （2）点D在L 上，到 1 x 23 轴的距离为 ．判断L 能否经过点D，若能，求 4 2 a 的值；若不能，请说明理由． （3）直线 A E : y = k x + n ( k  0 ) 交 L 1 于点 E ，点 M 在线段 A E 上，且点 M 的横坐标是点 E 横坐标的一半． ①若点 E 与点 P 重合，点 M 恰好落在 L 2 上，求 a 的值； ②若点 M 为直线 A E 与 L 2 的唯一公共点，请直接写出 k 的值．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第10题★ 10．（2025•河南）在二次函数 10 / 123 y = a x 2 + b x − 2 中， x 与 y 的几组对应值如表所示． x  −2 0 1  y  −2 − 2  1 （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当 0 x 3 时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为 5，请直接写出 n 的值．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第11题★ 11．（2025•齐齐哈尔）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2 +bx+3(a0)与 11 / 123 x 轴交于点 A ( − 1 , 0 ) ， C ( 6 , 0 ) ，与 y 轴交于点 B ，连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线 B C 下方抛物线上的点，连接PB，PC，当S =24时，求点P的坐标； PBC （3）点 G 是第四象限内抛物线上的一点，连接 B G ，若  C B G = 4 5  ，则点G 的坐标为 ； （4）如图2，作点 B 关于 x 轴的对称点 D ，过点 D 作 x 轴的平行线 l ，过点 C 作 C E ⊥ l ，垂足为点 E ，动 点 M ， N 分别从点O， E 同时出发，动点 M 以每秒1个单位长度的速度沿射线 O C 方向匀速运动，动点 N 以每秒2个单位长度的速度沿射线 E D 方向匀速运动（当点 N 到达点 D 时，点 M ， N 都停止运动），连 接MN ，过点D作MN 的垂线，垂足为点F ，连接CF ，则CF 的取值范围是 ．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第12题★ 12．（2025•吉林）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 12 / 123 y = x 2 + b x − 1 经过点 ( 2 , − 1 ) ．点 P 在此抛物线上．其横坐标为 m ；连接 P O 并延长至点 Q ，使OQ=2PO．当点 P 不在坐标轴上时，过点 P 作 x 轴的垂线，过点 Q 作 y 轴的垂线，这两条垂线交于点 M ． （1）求此抛物线对应的函数解析式． （2）△ P Q M 被 y 轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变，如果不变，直接写出这个面积比；如果变 化，说明理由． （3）当△ P Q M 的边 M Q 经过此抛物线的最低点时，求点 Q 的坐标． （4）当此抛物线在△ P Q M 内部的点的纵坐标 y 随 x 的增大而减小时，直接写出 m 的取值范围．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第13题★ 13．（2025•绥化）综合与探究 如图，抛物线 13 / 123 y = a x 2 + b x − 5 交 x 轴于 A 、 B 两点，交 y 轴于点 C ．直线 y = k x − 5 经过 B 、 C 两点，若点 A (1 , 0 ) ， B ( − 5 , 0 ) ，点 P 是抛物线上的一个动点（不与点 A 、 B 重合）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）过点 P 作直线 P D ⊥ x 轴于点 D ，交直线 B C 于点 E ，当PE =3ED时，求P点坐标； （3）若点F 是直线BC上的一个动点，请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P，使△AFP是以PF 为 斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第14题★ 14．（2025•长春）在平面直角坐标系中，点 14 / 123 O 为坐标原点，抛物线 y = x 2 + b x 经过点 ( 3 , 3 ) ，点 A 、 B 是该 抛物线上的两点，横坐标分别为m、 m + 1 ，已知点 M (1 ,1 ) ，作点 A 关于点 M 的对称点 C ，作点 B 关于点 M 的对称点 D ，构造四边形 A B C D ． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）当 A ， B 两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点 C 的坐标； （3）设抛物线在A、B两点之间的部分（含A、B两点）为图象G ，当0m1时，若图象G 的最高点 与最低点的纵坐标之差为 1 2 ，求 m 的值； （4）连结 O A 、 O B ，当  A O B =  O A D +  O B C 时，直接写出m的取值范围．（这里  A O B 、  O A D 、  O B C 均是大于 0  且小于 1 8 0  的角）★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第15题★ 15．（2025•辽宁）如图，在平面直角坐标系 15 / 123 x O y 中，二次函数 y 1 = − 1 4 ( x − 1 ) 2 + 1 的图象与x轴的正半轴相 交于点 A ，二次函数y =ax2 +c的图象经过点 2 A ，且与二次函数 y 1 的图象的另一个交点为 B ，点 B 的横 坐标为 − 7 3 ． （1）求点A的坐标及a，c的值． （2）直线 x = m 与二次函数 y 1 ， y 2 的图象分别相交于点 C ， D ，与直线 A B 相交于点 E ，当 − 7 3  m  3 时， ①求证： D E = 2 C E ； ②当四边形 A C B D 的一组对边平行时，请直接写出 m 的值． （3）二次函数 y 1 = − 1 4 ( x − 1 ) 2 + 1 ( − 7 3 x  3 ) 与二次函数 y 2 = a x 2 + c ( x 3 ) 组成新函数y ，当 3 − 7 3 x t − n 时， 函数 y 3 的最小值为 1 1 9 − 5 t 8 ，最大值为 −t，求n的取值范围． 3★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第16题★ 16．（2025•青海）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2 +bx−3(a0)与x轴交于 16 / 123 A ， B 两点，点 B 的坐标 为 (1 , 0 ) ，点C(2,5)在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）①求点 A 的坐标； ②当 y  0 时，根据图象直接写出 x 的取值范围 ； （3）连接 A C 交 y 轴于点D，在 y 轴上是否存在点 P ，使△ A C P 是以 A C 为直角边的直角三角形，若存在， 请直接写出所有符合条件的点 P 坐标，若不存在，请说明理由．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第17题★ 17．（2025•宜宾）如图， 17 / 123 O 是坐标原点，已知抛物线 y = − x 2 + b x + c 与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于 C点，其中 A ( 3 , 0 ) ，C(0,3)． （1）求b、 c 的值； （2）点 D 为抛物线上第一象限内一点，连结BD，与直线 A C 交于点 E ，若DE:BE =1:2，求点D的坐标； （3）若 F 为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为 P ( m ， n ) ( m  1 ) ，若 P 又在原抛物线上，新抛物线 与直线x=1交于点N，连结FP、PN ，FPN =120．探究新抛物线与x轴是否存在两个不同的交点．若 存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第18题★ 18．（2025•德阳）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 18 / 123 y = − x 2 + b x + c 的图象与 x 轴交于点 A ( − 1 , 0 ) ， B ( 3 , 0 ) ，与 y 轴交于点 C ． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图2，连接 B C ，过点 C 作 C D ⊥ B C 与抛物线相交于另一点 D ． ①求点 D 的坐标； ②如图3，点 E ， F 为线段BC上两个动点（点 E 在点 F 的右侧），且EF = 2 ，连接OF ， D E ．求OF +DE 的最小值．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第19题★ 19．（2025•湖南）如图，已知二次函数y=ax(x−4)(a0)的图象过点 19 / 123 A ( 2 , 2 ) ，连接 O A 点 P ( x 1 ， y 1 ) ， Q ( x 2 ， y 2 ) ， R ( x 3 ， y 3 ) 是此二次函数图象上的三个动点，且 0  x 3  x 1  x 2  2 ，过点 P 作 P B / / y 轴交线段 O A 于 点 B ． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，点 C 、D在线段 O A 上，且直线QC、RD都平行于y轴，请你从下列两个命题中选择一个进 行解答： ①当 P B  Q C 时，求证： x 1 + x 2  2 ；②当 P B  R D 时，求证： x 1 + x 3  2 ； 3 1 （3）如图，若x = x,x = x ，延长PB交 2 2 1 3 2 1 x 轴于点T，射线QT 、TR分别与y轴交于点Q ，R ，连接 1 1 AP，分别在射线AT 、 x 轴上取点M 、 N （点N 在点T 的右侧），且  A M N =  P A O ， M N = 2 2 ．记 t =RQ −ON ，试探究：当 1 1 x 为何值时， t 有最大值？并求出 t 的最大值．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第20题★ 20．（2025•眉山）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 20 / 123 y = x 2 + b x + c 关于直线 x = − 3 对称，与 x 轴交于 A ( − 1 , 0 ) 、 B 两点，与 y 轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 为抛物线对称轴上一点，连接 B P ，将线段 B P 绕点 P 逆时针旋转 9 0  ，使点 B 的对应点 D 恰好 落在抛物线上，求此时点 P 的坐标； （3）在线段 O C 上是否存在点 Q ，使 2 A Q + 2 C Q 存在最小值？若存在，请直接写出点 Q 的坐标及最小值； 若不存在，请说明理由．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第21题★ 21．（2025•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 21 / 123 y = x 2 + b x + c ( b 、 c 为常数）的图象与 x 轴交于 A ( − 1 , 0 ) 、 B 两点，交 y 轴于点 C ，对称轴为直线 x = 1 ． （1）求二次函数关系式． （2）连结AC 、 B C ，抛物线上是否存在点 P ，使  C B P +  A C O = 4 5  ，若存在，求出点 P 的坐标，若不 存在，说明理由． （3）在 x 轴上方的抛物线上找一点 Q ，作射线 A Q ，使  B A Q = 2  A C O ，点 M 是线段 A Q 上的一动点， 过点 M 作MN ⊥ x轴，垂足为点N，连结 B M ，求 B M + M N 的最小值．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第22题★ 15 22．（2025•南充）抛物线y=ax2 +2ax− (a0)与 4 22 / 123 x 轴交于 A ( 3 , 0 ) ， B 两点，N是抛物线顶点． （1）求抛物线的解析式及点 B 的坐标； （2）如图1，抛物线上两点 P ( m , y 1 ) ， Q ( m + 2 , y 2 ) ，若 P Q / / B N ，求m的值； （3）如图2，点 M ( − 1 , − 5 ) ，如果不垂直于 y 轴的直线l与抛物线交于点 G ， H ，满足  G M N =  H M N ．探 究直线l是否过定点？若直线l过定点；求定点坐标；若不过定点，请说明理由．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第23题★ 23．（2025•自贡）如图，在△ABC中， 23 / 123 D ， E 分别是 A C ， A B 的中点，连接 D E ，CE ， B D 交于点 G ． （1）若 B D ⊥ C E ， B D = 1 ， C E = 1 2 ，则四边形 B C D E 的面积为 ； （2）若 B D + C E = 3 2 ，△ABC的最大面积为S．设BD= x，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值； （3）若（2）问中 x 取任意实数，将函数 S 的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数 y 的图象．直 线 y = k 1 x − k 1 交该图象于点 F ， H ( F 点在 H 点左边），过点 H 的直线 l : y = k 2 x + b 交该图象于另一点 Q ， 过点 F ， Q 的直线与直线 x = 1 交于点 K ．若 S H F K = S H K Q ，试问直线 l 是否过定点？若过定点，求出定点 坐标；若不过定点，请说明理由．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第24题★ 24．（2025•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 24 / 123 y = a x 2 + b x + c 与 x 轴相交于 A ( − 3 , 0 ) 、 B (1 , 0 ) 两点， 与 y 轴交于点 C ( 0 , 3 ) ． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，过点B的直线l:y=x−1与抛物线的另一个交点为点D，点M 为抛物线对称轴上的一点，连 接 M B 、MD，设点M 的纵坐标为 n ，当 M B = M D 时，求 n 的值； （3）如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转90后刚好落在抛物线上 的点 H 处，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第25题★ 25．（2025•泸州）如图，在平面直角坐标系 25 / 123 x O y 中，抛物线 y = − x 2 + b x + c 经过点 ( 2 , 3 ) ，与 x 轴交于点 A ( − 1 , 0 ) 和点 B ． （1）求该抛物线的解析式； （2）点 C ， D 在直线 y = 1 2 x + 1 2 上，点 E 在 x 轴上， F 是抛物线上位于第一象限的点，若四边形 C D E F 是正方形，求点F 的坐标； （3）设点 P ( x 1 ， y 1 ) 在抛物线 y = − x 2 + b x + c 上，点Q(x ， 1 y 2 ) 在抛物线 y = x 2 − ( 4 m − 2 ) x + 4 m 2 + 2 上，当 1 x 1 2 时，y − y 的最小值为3，求 2 1 m 的值．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第26题★ 26．如图，已知抛物线 26 / 123 y = − x 2 + b x + c 交 x 轴于 A ， B 两点，交 y 轴于 C 点，B的坐标为 ( 3 , 0 ) ， C 的坐标 为 ( 0 , 3 ) ，顶点为 M ． （1）求抛物线的解析式； （2）连接 B C ，过第四象限内抛物线上一点作 B C 的平行线．交 x 轴于点E，交y轴于点F ． ①连接 A F ，当  A F E = 9 0  时，求 R t △ A F E 内切圆半径 r 与外接圆半径 R 的比值； ②连接 C A ， C E ，当点 F 在△ A E C 的内角平分线上，BC上的动点P满足 M P + 2 2 B P 的值最小时，求△ B P E 的面积．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第27题★ 27．（2025•北京）在平面直角坐标系 27 / 123 x O y 中，抛物线y=ax2 +bx+c(a0)经过点 O 和点 A ( 3 , 3 a ) ． （1）求c的值，并用含 a 的式子表示 b ； （2）过点 P ( t , 0 ) 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M ，交直线 y = a x 于点 N ． ①若 a = 1 ， t = 4 ，求 M N 的长； ②已知在点 P 从点 O 运动到点 B ( 2 a , 0 ) 的过程中， M N 的长随 O P 的长的增大而增大，求 a 的取值范围．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第28题★ 28．（2025•上海）在平面直角坐标系 28 / 123 x O y 中，抛物线 y = x 2 + b x + c 经过点 A (1 ,1 ) 和 B ( 3 ,1 ) ，顶点为点 P ， 抛物线于 y 轴交于点 C ． （1）求b和 c 的值． （2）另一条抛物线y=ax2 +mx+n(a1)也经过点A(1,1)和B(3,1)，顶点为点Q，与y轴交于点D． ①求 C P D Q 的值； ②当四边形 C D P Q 是直角梯形，求其最小内角的正弦值．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第29题★ 29．（2025•浙江）已知抛物线 29 / 123 y = x 2 − a x + 5 ( a 为常数）经过点 (1 , 0 ) ． （1）求a的值． （2）过点 A ( 0 , t ) 与 x 轴平行的直线交抛物线于 B ， C 两点，且点 B 为线段 A C 的中点，求 t 的值． （3）设m3n，抛物线的一段 y = x 2 − a x + 5 ( m x n ) 夹在两条均与x轴平行的直线l ，l 之间．若直线 1 2 l1 ， l2 之间的距离为16，求 n − m 的最大值．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第30题★ 30．（2025•天津）已知抛物线 30 / 123 y = a x 2 + b x + c ( a ， b ，c为常数，a0， b  0 ) ． （Ⅰ）当 a = − 1 ， b = 2 ，c=3时，求该抛物线顶点 P 的坐标； （Ⅱ）点 A ( − 1 , 0 ) 和点 B 为抛物线与 x 轴的两个交点，点 C 为抛物线与 y 轴的交点． ② 当 a = − 2 时，若点 D 在抛物线上，  C A D = 9 0  ， A C = A D ，求点 D 的坐标； ②若点 B ( m , 0 ) ，  C A B = 2  A B C ，以 A C 为边的 A C E F 的顶点 F 在抛物线的对称轴 l 上，当 C E + C F 取 得最小值为 2 6 时，求顶点 E 的坐标．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第31题★ 31．（2025•安徽）已知抛物线 31 / 123 y = a x 2 + b x ( a  0 ) 经过点 ( 4 , 0 ) ． （1）求该抛物线的对称轴； （2）点A(x ， 1 y 1 ) 和 B ( x 2 ， y 2 ) 分别在抛物线 y = a x 2 + b x 和 y = x 2 − 2 x 上 ( A ，B与原点都不重合）． 1 (i)若a= ，且x =x ，比较y 与y 的大小； 2 1 2 1 2 ( ii ) 当 y y 2 1 = x x 2 1 时，若 x x 2 1 是一个与 x 1 无关的定值，求 a 与 b 的值．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第32题★ 32．（2025•山东）已知二次函数 32 / 123 y = x ( x − a ) + ( x − a ) ( x − b ) + x ( x − b ) ，其中 a ， b 为两个不相等的实数． （1）当a=0、 b = 3 时，求此函数图象的对称轴； （2）当 b = 2 a 时，若该函数在 0 x 1 时， y 随 x 的增大而减小；在 3 x 4 时， y 随 x 的增大而增大，求a 的取值范围； a+b （3）若点A(a,y )，B( ，y )，C(b,y )均在该函数的图象上，是否存在常数m，使得y +my + y =0？ 1 2 2 3 1 2 3 若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第33题★ ★类型二：相似综合（12题）★ 1．（2025•成都）如图，在 33 / 123 A B C D 中，点 E 在 B C 边上，点 B 关于直线 A E 的对称点 F 落在 ABCD内，射 线 A F 交射线 D C 于点 G ，交射线 B C 于点 P ，射线 E F 交 C D 边于点 Q ． 【特例感知】 （1）如图1，当 C E = B E 时，点P在 B C 延长线上，求证：△EFP△ECQ； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若 C G = 3 ， G Q = 5 ，求 D Q 的长； 【拓展延伸】 （3）如图2，当 C E = 2 B E 时，点 P 在 B C CQ 1 边上，若 = ，求 DQ n C D G G 的值．（用含 n 的代数式表示）★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第34题★ 2．（2025•上海）如图1，平行四边形 34 / 123 A B C D 中，点 E 、 F 分别是边 B C 、 C D 上的点． （1）若 E 是 B C 中点； ①如图1，若 A E = E F ，求证：  B A E =  E F C ； ②如图2，若CF =DF ，联结 B F 交 A E 于G ，求 S B E G : S A E F 的值； （2）如图3，若 A B = 3 ， A D = 5 ， C F = 1 ，  A E B =  A F E =  E F C ，求 A F 的长．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第35题★ 3．（2025•广州）如图1， 35 / 123 A C = 4 ，O为 A C 中点，点 B 在 A C 上方，连接 A B ， B C ． （1）尺规作图：作点 B 关于点 O 的对称点D（保留作图痕迹，不写作法），连接 A D 、 D C ，并证明四边 形 A B C D 为平行四边形； （2）如图2，延长 A C 至点 F ，使得 C F = A C ，当点 B 在直线 A C 的上方运动，直线 A C 的上方有异于点 B 的动点E，连接 E A ， E B ， E C ， E F ，若  A E C = 4 5  ，且△ A B C ∽ △ F C E ． ①求证：△ A B C ∽ △ C B E ； ② C B 的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第36题★ 4．（2025•河南）在 36 / 123  A O B 中，点 C 是  A O B 的平分线上一点，过点 C 作 C D ⊥ O B ，垂足为点 D ，过点 D 作 D E ⊥ O A ，垂足为点 E ，直线DE， O C 交于点 F ，过点 C 作 C G ⊥ D E ，垂足为点 G ． （1）观察猜想 如图1，当  A O B 为锐角时，用等式表示线段 C G ， O E ， O D 的数量关系： ． （2）类比探究 如图2，当  A O B 为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？ 若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用 当0AOB180，且AOB90时，若 G E F F = 3 ，请直接写出 O C D D 的值．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第37题★ 5．（2025•江西）综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展 开探究． 特例研究 在正方形 37 / 123 A B C D 中， A C ， B D 相交于点 O ． （1）如图1，△ A D C 可以看成是△ A O B 绕点 A 逆时针旋转并放大 k 倍得到，此时旋转角的度数为 ， k的值为 ； （2）如图2，将△ A O B 绕点 A 逆时针旋转，旋转角为，并放大得到△ A E F （点O，B的对应点分别为 点 E ， F ) ，使得点 E 落在OD上，点 F 落在BC上，求 B O F E 的值； 类比探究 （3）如图3，在菱形 A B C D 中，  A B C = 6 0  ， O 是 A B 的垂直平分线与 B D 的交点，将△ A O B 绕点 A 逆时 针旋转，旋转角为，并放缩得到△ A E F （点 O ， B 的对应点分别为点 E ， F ) ，使得点 E 落在 O D 上， 点 F 落在 B C BF 上．猜想 的值是否与有关，并说明理由； OE （4）若（3）中ABC=，其余条件不变，探究BA， B E ，BF 之间的数量关系（用含的式子表示）．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第38题★ 6．（2025•山东）【图形感知】 如图1，在四边形 38 / 123 A B C D 中，已知  B A D =  A B C =  B D C = 9 0  ， A D = 2 ， A B = 4 ． （1）求CD的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究． 在线段 C D 上取一点 E ，连接 B E ．将四边形 A B E D 沿 B E 翻折得到四边形 A  B E D  ，其中 A  ， D  分别是 A ， D的对应点． （2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点 D  恰好落在边 B C 上，延长 A  D  交CD于点F ，如图2．判断四边形 D B A F 的形状，并说明理由； ②乙：点 A  恰好落在边 B C 上，如图3．求 D E 的长； （3）如图4，连接 D D  交 B E 于点 P ，连接 C P ．当点 E 在线段 C D 上运动时，线段CP是否存在最小值？ 若存在，直接写出；若不存在，说明理由．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第39题★ 7．（2025•湖北）在△ 39 / 123 A B C 中，  A C B = 9 0  ，将△ A B C 绕点 C 旋转得到△ D E C ，点 A 的对应点 D 落在边 A B 上，连接BE ． （1）如图1，求证：△ B C E ∽ △ A C D ； （2）如图2，当 B C = 2 ， A C = 1 时，求 B E 的长； （3）如图 3，过点 E 作 A B 的平行线交 A C 的延长线于点 F ，过点 B 作 A C 的平行线交 E F 于点G ， D E 与 B C 交于点 K ． ①求证： A C = C F ； ②当 G G F B = 5 6 时，直接写出 K K D E 的值．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第40题★ 8．（2025•山西）综合与探究 问题情境：如图1，在△ 40 / 123 A B C 纸片中， A B  B C ，点 D 在边 A B 上， A D  B D ．沿过点 D 的直线折叠该纸 片，使 D B 的对应线段 D B  与 B C 平行，且折痕与边BC交于点 E ，得到△ D B E ，然后展平． 猜想证明：（1）判断四边形 B D B E 的形状，并说明理由； 拓展延伸：（2）如图2，继续沿过点 D 的直线折叠该纸片，使点 A 的对应点 A  落在射线 D B  上，且折痕与 边 A C 交于点 F ，然后展平．连接 A E 交边 A C 于点 G ，连接 A F ． ①若 A D = 2 B D ，判断DE与 A E 的位置关系，并说明理由； ②若C =90，AB=15，BC =9，当△AFG是以AF为腰的等腰三角形时，请直接写出AF的长．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第41题★ 9．（2025•贵州）如图，在菱形ABCD中， 41 / 123  A B C = 6 0  ，点 P 为线段 A C 上一动点，点 E 为射线 B P 上的一 点（点 E 与点 B 不重合）．【问题解决】 （1）如图①，若点 P 与线段 A C 的中点 O 重合，则  P B C = 度，线段 B P 与线段 A C 的位置关系 是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点P运动过程中，点 E 在线段 B P 上，且  A E P = 3 0  ，  P E C = 6 0  ，探究线段 B E 与线 段EC的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点P运动过程中，将线段 B E 绕点 E 逆时针旋转 1 2 0  得到 E F ，射线 E F 交射线 B C 于点 G ，若 B E = 2 F G ， A B = 5 ，求 A P 的长．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第42题★ 10．（2025•齐齐哈尔）综合与实践 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何 模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． （1）【几何直观】如图 1，△ 42 / 123 A B C 中，  B A C = 9 0  ， A B = A C ，在△ABC内部取一点 D ，连接 A D ，将 线段 A D 绕点 A 逆时针旋转 9 0  得到线段 A D  ，连接BD， C D  ，则 C D  与 B D 的数量关系是 ；  A D C 与  A D B 的数量关系是 ； （2）【类比推理】如图2，在正方形ABCD内部取一点E，使CED=90，将线段CE 绕点C逆时针旋转 9 0  得到线段 C E  ，连接 E B ，延长 E B 交 D E 的延长线于点 F ，求证：四边形 C E F E  是正方形； （3）【深度探究】如图 3，矩形 A B C D 中， A B = 3 ，BC =4，在其内部取一点 E ，使  C E D = 9 0  ，将线 段 C E 绕点 C 逆时针旋转 9 0  得到线段 C E  ，延长 C E  至点 G ，使 C C G E  = 4 3 ，连接 G B ，延长 G B 交 D E 的延 长线于点F ，连接AF ，若AF =2，则BF = ； （4）【拓展延伸】在矩形 A B C D 中，点 E 为 B C 边上的一点，连接AE，将线段AE绕点 A 逆时针旋转60 得到线段 A E  ，连接 D E  ，若 A D = 3 2 ， A B = 6 ，则 D E  的最小值为 ．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第43题★ 11．（2025•资阳）在四边形 43 / 123 A B C D 中， E 是边 B C 上的一点， O 是对角线 A C 的中点． （1）如图1，四边形 A B C D 是正方形，连接 O E ，作OF ⊥OE 交 C D 于点 F ，求证： O E = O F ； （2）如图2，四边形 A B C D 是平行四边形， A B ⊥ A C 3 5 1 ，AB= ，tanACB= ， 5 2 B E : E C = 1 : 2 ，连接 A E ，作 E F ⊥ A E 交 C D 于点 F ，连接 O F ，求 O C F F 的值； （3）如图 3，四边形 A B C D 是菱形，  B = 6 0  ， B C = 6 ，连接 D E 交 A C 于点 G ， F 是边 A B 上的一点， EDF =30，若 A F = 1 3 A B ，求 O G 的长．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第44题★ 12．（2025•南充）矩形 44 / 123 A B C D 中， A B = 1 0 ，AD=17，点 E 是线段 B C 上异于点 B 的一个动点，连接 A E ， 把△ A B E 沿直线 A E 折叠，使点 B 落在点 P 处． 【初步感知】（1）如图1，当 E 为 B C 的中点时，延长 A P 交 C D 于点 F ，求证： F P = F C ． 【深入探究】（2）如图2，点 M 在线段 C D 上， C M = 4 ．点 E 在移动过程中，求PM 的最小值． 【拓展运用】（3）如图2，点 N 在线段 A D 上， A N = 4 ．点 E 在移动过程中，点 P 在矩形内部，当△ P D N 是以 D N 为斜边的直角三角形时，求BE 的长．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第45题★ ★类型3：三角形（1-7）+四边形（8-20）+动点问题（21-24）★ 1．（2025•黑龙江）已知：如图，△ 45 / 123 A B C 中， A B = A C ，设 B A C   = ，点 D 是直线 B C 上一动点，连接 A D ， 将线段 A D 绕点 A 顺时针旋转至 A E ，连接 D E 、 B E ，过点 E 作 E F ⊥ B C ，交直线 B C 于点 F ．探究如 下： （1）若=60时， 如图①，点 D 在CB延长线上时，易证： B F = D F + B C 如图②，点 D 在 B C 延长线上时，试探究线段BF 、 D F 、BC之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并 说明理由． （2）若 1 2 0  =  ，点 D 在CB延长线上时，如图③，猜想线段 B F 、 D F 、 B C 之间又有怎样的数量关系？ 请直接写出结论，不需要证明．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第46题★ 2．（2025•辽宁）（1）如图1，在△ 46 / 123 A B C 与△ D C B 中，  B A C =  C D B ， A C 与DB相交于点 P ， P B = P C ， 求证：△ A B C  △ D C B ； （2）如图 2，将图 1 中的△ D C B 绕点 B 逆时针旋转得到△ D C B ，当点 D 的对应点 D  在线段 B A 的延长 线上时， B C  与 A C 相交于点 M ，若 A B = 2 ， B C = 3 ，  A B C = 6 0  ，求 C M 的长； （3）如图3，在（2）的条件下，连接 C C  并延长，与 B D  的延长线相交于点 N ，连接 M N ，求△ A M N 的 面积．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第47题★ 3．（2025•长春）如图，在△ 47 / 123 A B C 中，  C = 9 0  ， A C = B C = 4 ，点 D 为边 A C 的中点，点 E 为边 A B 上一 动点，连结 D E ，将线段DE绕点 E 顺时针旋转 4 5  得到线段 E F ． （1）线段 A B 的长为 ； （2）当 E F / / A C 时，求 A E 的长； （3）当点 F 在边BC上时，求证：△ A D E  △BEF； （4）当点 E 到 B C 的距离是点 F 到 B C 距离的2倍时，直接写出 A E 的长．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第48题★ 4．（2025•重庆）在△ 48 / 123 A B C 中， A B = A C ，点 D 是 B C 边上一点（不与端点重合），连接AD．将线段 A D 绕点 A 逆时针旋转得到线段AE，连接 D E ． （1）如图1， B A C 6 0  =  =  ，  C A E = 2 0  ，求  A D B 的度数； （2）如图2， B A C 9 0  =  =  ， B D  C D ，过点D作 D G ⊥ B C ， D G 交CA的延长线于 G ，连接 B G ．点 F 是 D E 的中点，点 H 是 B G 的中点，连接 F H ， C F ．用等式表示线段 F H 与 C F 的数量关系并证明； （3）如图3，  B A C = 1 2 0  ， 6 0  =  ， A B = 8 ，连接 B E ， C E ．点 D 从点 B 移动到点 C 过程中，将 B E 绕点B逆时针旋转60得线段BM ，连接EM ，作MN ⊥CA交CA的延长线于点N．当CE 取最小值时，在 直线 A B 上取一点 P ，连接 P E ，将△ A P E 沿 P E 所在直线翻折到△ABC所在的平面内，得△ Q P E ，连接 BQ， M Q ， N Q ，当 B Q 取最大值时，请直接写出△ M N Q 的面积．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第49题★ 5．（2025•北京）在△ 49 / 123 A B C 中，  A C B = 9 0  ， A B C   = ，点 D 在射线 B C 上，连接 A D ，将线段 A D 绕点 A 逆时针旋转 1 8 0 2   − 得到线段 A E （点 E 不在直线 A B 上），过点 E 作 E F / / A B ，交直线 B C 于点 F ． （1）如图1， 4 5  =  ，点 D 与点 C 重合，求证： B F = A C ； （2）如图2，点 D ， F 都在 B C 的延长线上，用等式表示 D F 与 B C 的数量关系，并证明．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第50题★ 6．（2025•新疆）如图，在等腰直角三角形 50 / 123 A B C 中，  A = 9 0  ， B C = 4 ， A D = a B N ，点 M 是AB的中点， 点 D 和点 N 分别是线段 A C 和 B C 上的动点． （1）当点 D 和点N分别是 A C 和 B C 的中点时，求 a 的值； （2）当 a = 2 时，以点 C ， D ， N 为顶点的三角形与△ B M N 相似，求 B N 的值； （3）当a= 2时，求MN +ND的最小值．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第51题★ 7．（2025•广西）【平行六边形】如图1，在凸六边形ABCDEF 中，满足 51 / 123 A B / / D E ， B C / / E F ，CD//FA， 我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”．其中 A B 与 D E ， B C 与 E F ， C D 与 F A 叫做“主对边”；  A 和  D ，  B 和  E ，  C 和  F 叫做“主对角”； A D ，BE ， C F 叫做“主对角线”． （1）类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”． 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 ②平行六边形的三组主对角分别相等 ③平行六边形的三条主对角线互相平分 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”． （2）如图2，已知平行六边形 O P Q R S T 满足 O P = P Q = Q R = R S ．求证：平行六边形 O P Q R S T 是菱六边形； （3）如图3是一张边长为3，4，6的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请 在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第52题★ 8．（2025•安徽）已知点 52 / 123 A  在正方形 A B C D 内，点 E 在边AD上， B E 是线段 A A  的垂直平分线，连接AE， AB． （1）如图1，若 B A  的延长线经过点D， A E = 1 ，求 A B 的长； （2）如图2，点 F 是 A A  的延长线与 C D 的交点，连接 C A  ． (i)求证：  C A F = 4 5  ； ( ii ) 如图3，设 A F ， B E 相交于点G ，连接CG ，DG，DA，若CG=CB，判断△ADG的形状，并说明 理由．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第53题★ 9．（2025•甘肃）四边形 53 / 123 A B C D 是正方形，点E是边 A D 上一动点（点 D 除外），△ E F G 是直角三角形， EG=EF，点 G 在 C D 的延长线上． （1）如图1，当点 E 与点 A 重合，且点 F 在边 B C 上时，写出 B F 和DG的数量关系，并将明理由； （2）如图2，当点 E 与点 A 不重合，且点 F 在正方形 A B C D 内部时， F E 的延长线与 B A 的延长线交于点 P ，如果EF =EP，写出 A E 和 D G 的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接 B F ，写出BF 和 D G 的数量关系，并说明理由．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第54题★ 10．（2025•连云港）综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板 54 / 123 A B C D 的边 A B 、 B C 上分别取点E、 F ，且 A E = B F ， A F 交 D E 于点 O ．连 接 A C ，过点 F 作 F G ⊥ A C ，垂足为 G ，连接 G D 、 G E ， D E 交 A C 于点 P ， G E 交 A F 于点 Q ． 【活动猜想】 （1） G D 与 G E 的数量关系是 ，位置关系是 ； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若AD=3，AE=1，求QF 的长； 【综合探究】 （4）若AD=3，则当AP= 时，△DPG的面积最小．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第55题★ 11．（2025•扬州）问题：如图1，点P为正方形 55 / 123 A B C D 内一个动点，过点 P 作 E F / / A D ， G H / / A B ，矩形 P H C F 的面积是矩形PGAE面积的2倍，探索  F A H 的度数随点 P 运动的变化情况． 【从特例开始】 （1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图 2 ) ，请你仅用无刻度的直尺连接一条线 段，由此可得此图形中  F A H =  ． （2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图 3 ) ，其中 P E = P F = 6 ， P G = 4 ，PH =8，求此图形 中FAH的度数； 【一般化探索】 （3）利用图1，探索上述问题中  F A H 的度数随点 P 运动的变化情况，并说明理由．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第56题★ 12．（2025•浙江）在菱形 56 / 123 A B C D 中，AB=5， A C = 8 ． （1）如图1，求 s in  B A C 的值． （2）如图2， E 是 A D 延长线上的一点，连接 B E ，作△ F B E 与△ A B E 关于直线 B E 对称，EF 交射线 A C 于点 P ，连接 B P ． ①当 E F ⊥ A C 时，求 A E 的长． ②求 P A − P B 的最小值．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第57题★ 13．（2025•湖南）【问题背景】 如图 1，在平行四边形纸片 57 / 123 A B C D 中，过点 B 作直线l ⊥CD于点 E ，沿直线l将纸片剪开，得到△ B C1 1 E 1 和四边形 A B E D ，如图2所示． 【动手操作】 现将三角形纸片 B C1 1 E 1 和四边形纸片 A B E D 进行如下操作（以下操作均能实现） ①将三角形纸片 B C1 1 E 1 置于四边形纸片 A B E D 内部，使得点 B 1 与点 B 重合，点 E 1 在线段 A B 上，延长 B C 1 交线段 A D 于点 F ，如图3所示； ②连接 C C 1 ，过点C作直线CN ⊥CD交射线 E E 1 于点N，如图4所示； ③在边 A B 上取一点G ，分别连接BD，DG，FG ，如图5所示． 【问题解决】 请解决下列问题： （1）如图3，填空：  A +  A B F =  ； （2）如图4，求证：△CNM △CEM ； 1 1 （3）如图5，若AB=2AD=2 7AF ，AGD=60，求证：FG//BD．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第58题★ 14．（2025•河北）综合与实践 58 / 123 [ 情境 ] 要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图 1 ) ，需找到合适的切割线． [ 模型 ] 已知矩形 A B C D （数据如图2所示）．作一条直线 M N ，使 M N 与 B C 所夹的锐角为 4 5  ，且将矩形 A B C D 分成周长相等的两部分． [操作]嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接 A C ， B D 交于点 O ； ②过点 O 作 E F ⊥ B C ，分别交 B C ， A D 如图4，淇淇的方法如下： ①在边BC上截取 于点 E，F ；  B G = A B ，连接 A G ； ②作线段 G C 的垂直平分线 l ，交 B C 于点 M ； ③在边 A D 上截取 A N = G M ，作直线 M N ． [ 探究 ] 根据以上描述，解决下列问题． （1）图2中，矩形ABCD的周长为 ； （2）在图3的基础上，用尺规作图作出直线 M N （作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； （3）根据淇淇的作图过程，请说明图4中的直线 M N 符合要求． [ 拓展 ] 操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题． （4）如图 5，若直线 P Q 将矩形ABCD分成周长相等的两部分，分别交边 A D ， B C 于点 P ， Q ，过点 B 作 B H ⊥ P Q 于点 H ，连接 C H ． ①当  P Q C = 4 5  时，求 ta n  B C H 的值； ②当  B C H 最大时，直接写出 C H 的长．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第59题★ 15．（2025•广州）宽与长的比是 59 / 123 5 2 − 1 （约为 0 .6 1 8 ) 的矩形叫做黄金矩形．现有一张黄金矩形纸片 A B C D ， 长 A D = 5 + 1 ．如图1，折叠纸片 A B C D ，点B落在AD上的点E处，折痕为AF ，连接EF ．然后将纸片 展开． （1）求AB的长； （2）求证：四边形CDEF 是黄金矩形； （3）如图2，点 G 为AE的中点，连接 F G ，折叠纸片 A B C D ，点 B 落在 F G 上的点 H 处，折痕为 F P ，过 点 P 作 P Q ⊥ E F 于点 Q ．四边形 B F Q P 是否为黄金矩形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第60题★ 16．（2025•内蒙古）如图， 60 / 123 A B C D 是一个平行四边形纸片， B D 是一条对角线， B D = B C = 5 ， C D = 6 ． （1）如图1，将平行四边形纸片 A B C D 沿 B D 折叠，点 A 的对应点落在点 P 处，PB交 C D 于点 M ． ①试猜想 P M 与 C M 的数量关系，并说明理由； ②求△ B D M 的面积； （2）如图2，点 E ， F 分别在平行四边形纸片 A B C D 的 A B ， A D 边上，连接 E F ，且 E F / / B D ，将平行 四边形纸片 A B C D 沿 E F 折叠，使点 A 的对应点G 落在CD边上，求 D G 的长．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第61题★ 17．（2025•吉林）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为 61 / 123 6 0  的平行四 边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在 A B C D 中，  A = 6 0  ，AB AD， E 为边AD的中点，点 F 在边 D C 上，且 D F = D E ， 连接 E F ，将△ D E F 沿 E F 翻折得到△ G E F ，点 D 的对称点为点 G ．小组成员发现四边形 D E G F 是一个 特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边 B C 的中点M ，点 N 在边 A B 上，且 B N = B M ，连接 M N ，将△ B M N 沿 M N 翻折得到△ H M N ，点 B 的对称点为点 H ，连接 F H ， G N ，如图②，求证：四边形 G F H N 是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形GFHN 能否成为轴对称图形．如果能，直接写出 A A D B 的值；如果不能，说 明理由．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第62题★ 18．（2025•眉山）综合与实践 【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程． 【操作实践】如图1，将矩形纸片ABCD沿过点 62 / 123 C 的直线折叠，使点 B 落在 A D 边上的点B处，折痕交 A B 于点 E ，再沿着过点 B  的直线折叠，使点 D 落在 B C 边上的点 D  处，折痕交 C D 于点 F ．将纸片展平，画 出对应点 B  、 D  及折痕 C E 、 B F ，连接 B E 、 B C 、 D F ． 【初步猜想】（1）确定 C E 和 B F 的位置关系及线段BE 和 C F 的数量关系． 创新小组经过探究，发现CE//BF ，证明过程如下： 由折叠可知  D B F =  C B F = 1 2  D B C ，  E C B  =  E C B = 1 2  B C B  ．由矩形的性质，可知 A D / / B C ，   D B C =  B C B  ，  ① ，  C E / / B F ． 智慧小组先测量 B E 和 C F 的长度，猜想其关系为② ． 经过探究，发现验证BE 和CF 数量关系的方法不唯一： 方法一：证明△ A B  E  △ D C F ，得到 B E = C F ，再由 B E = B E 可得结论． 方法二：过点 B  作 A B 的平行线交 C E 于点 G ，构造平行四边形 C F B G ，然后证 B G = B E 可得结论． 请补充上述过程中横线上的内容． 【推理证明】（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证 B E 和CF 的数量关系，写出证明过程． 【尝试运用】（3）如图 2，在矩形 A B C D 中， A B = 6 ，按上述操作折叠并展开后，过点 B  作 B G / / A B 交 C E 于点 G ，连接 D G ，当△ B D G 为直角三角形时，求出 B E 的长．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第63题★ 19．（2025•兰州）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图 1 所示的图形，正方形 63 / 123 A B C D 与正方形 B E F G ( A B  B E ) ，点 E ， G 分别在 A B ， B C 上．根据图形提出问题：如图2，正方形 B E F G 绕点 B 顺时 针旋转，旋转角为 ( 0 1 8 0 )       ，直线 A E 与 C G 相交于点 H ，连接 B H ，探究线段 A H ， B H ， C H 之间的数量关系． 【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点 G ， H 重合时，请你写出AH ， B H ， C H 之间 的数量关系，并说明理由； （2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G ，H 不重合时，请你 写出 A H ，BH ，CH 之间的数量关系，并说明理由； 【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形 B E F G 绕点 B 顺时针旋转，旋 转角为(180360)，直线AE与 C G 相交于点H ，连接BH ，请直接写出AH ，BH ， C H 之间的数 量关系．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第64题★ 20．（2025•烟台）【问题呈现】 如图 1，已知 64 / 123 P 是正方形 A 1 A 2 A 3 A 4 外一点，且满足  P A 1 A 2 +  P A 3 A 2 = 1 8 0  ，探究 P A 1 ， P A 2 ， P A 3 三条线 段的数量关系． 小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：如图2，构造△ Q A 3 A 2 与△ P A 1 A 2 全等，从而得出PA +PA 与 1 3 P A 2 的数量关系； 思路二：如图3，构造△ M A 1 A 2 与△ N A 3 A 2 全等，从而得出PA +PA 与 1 3 P A 2 的数量关系． （1）请参考小颖的思路，直接写出 P A 1 + P A 3 与 P A 2 的数量关系 ； 【类比探究】 （2）如图4，若 P 是正五边形 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 外一点，且满足  P A 1 A 2 +  P A 3 A 2 = 1 8 0  ， P A 1 = 1 1 ， P A 3 = 4 9 ， 求 P A 2 的长度（结果精确到0.1，参考数据： s in 5 4   0 .8 1 ，sin720.95， c o s 5 4   0 .5 9 ， c o s 7 2   0 .3 1 ) ； 【拓展延伸】 （3）如图 5，若 P 是正十边形AA A 外一点，且满足 1 2 10  P A 1 A 2 +  P A 3 A 2 = 1 8 0  ，则 P A 1 ，PA ，PA 三 2 3 条线段的数量关系为 （结果用含有锐角三角函数的式子表示）．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第65题★ 21．（2025•绥化）综合与实践 如图．在边长为8的正方形 65 / 123 A B C D 中，作射线BD，点 E 是射线BD上的一个动点，连接 A E ，以 A E 为边 作正方形 A E F G ，连接 C G 交射线BD于点 M ，连接 D G ．（提示：依题意补全图形，并解答） 【用数学的眼光观察】 （1）请判断 B D 与DG的位置关系，并利用图（1）说明你的理由． 【用数学的思维思考】 （2）若DG =a，请你用含a的代数式直接写出CMB的正切值 ． 【用数学的语言表达】 （3）设 D E = x ，正方形 A E F G 的面积为 S ，请求出 S 与 x 的函数解析式．（不要求写出自变量 x 的取值范 围）★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第66题★ 22．（2025•天津）在平面直角坐标系中， 66 / 123 O 为原点，等边△ A B C 的顶点 A ( 0 , 2 ) ， B ( 0 , − 1 ) ，点 C 在第一象 限，等边△ E O F 的顶点 E ( − 3 , 0 ) ，顶点 F 在第二象限． （Ⅰ）填空：如图①，点 F 的坐标为 ，点 C 的坐标为 ； （Ⅱ）将等边△ E O F 沿水平方向向右平移，得到等边△ E O F  ，点 E ，O， F 的对应点分别为 E  ， O  ， F．设OO=t． ①如图②，若边 E F  与边 A B 相交于点 G ，当△ E O F  与△ A B C 重叠部分为四边形 O O F G 时，试用含有 t的式子表示线段GA的长，并直接写出 t 的取值范围； ②设平移后重叠部分的面积为 S ，当 3 4 3  t  3 2 3 时，求 S 的取值范围（直接写出结果即可）．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第67题★ 23．（2025•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，菱形 67 / 123 O A B C 的边 O A 在 x 轴上， ta n  C O A = 3 ， O A 的长 是一元二次方程x2 −3x−18=0的根，过点 C 作 C Q ⊥ O A 交 O A 于点Q，交对角线 O B 于点 P ．动点 M 从 点 O 以每秒 1 个单位长度的速度沿 O A 向终点 A 运动，动点 N 从点 B 以每秒 3 个单位长度的速度沿 B O 向终点O运动， M 、N 两点同时出发，设运动时间为t秒． （1）求点P 坐标； （2）连接 M N 、 P M ，求△ P M N 的面积 S 关于运动时间 t 的函数解析式； （3）当 t = 3 时，在对角线OB上是否存在一点 E ，使得△ M N E 是含 3 0  角的等腰三角形．若存在，请直接 写出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第68题★ 24．（2025•青岛）如图①，在 68 / 123 R t △ABC中，  A C B = 9 0  ， A C = 6 c m ， B C = 8 c m ，将 R t △ABC沿 AC 方 向平移 6 c m ，得到 R t △CDE，过点 D 作 D F ⊥ A B ，交 A B 的延长线于点 F ， H 为 D E 的中点．点 P 从 点 D 出发，沿 D C 方向匀速运动，速度为 1 c m / s ；同时，点 Q 从点 A 出发，沿 A E 方向匀速运动，速度为 1 .2 c m / s ．连接 P Q ，QH ， P H ．设运动时间为 t ( s ) ( 0  t  1 0 ) ．解答下列问题： （1）当 H P / / D F 时，求 t 的值； （2）如图②，当 5  t  1 0 时，设△ P Q H 的面积为 S(cm2) ，求 S 与 t 之间的函数关系式； （3）当 0  t  5 时，是否存在某一时刻 t ，使△ P Q H 是直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请 说明理由．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第69题★ ★类型4：跨学科融合+情景实际运用（13题）★ 1．（2025•苏州）两个智能机器人在如图所示的 69 / 123 R t △ABC区域工作，  A B C = 9 0  ， A B = 4 0 m ， B C = 3 0 m ， 直线 B D 为生产流水线，且BD平分△ A B C 的面积（即 D 为 A C 中点）．机器人甲从点 A 出发，沿 A → B 的方向以 v 1 ( m / m in ) 的速度匀速运动，其所在位置用点 P 表示，机器人乙从点 B 出发，沿B→C →D的 方向以 v 2 ( m / m in ) 的速度匀速运动，其所在位置用点 Q 表示．两个机器人同时出发，设机器人运动的时间 为 t ( m in ) ，记点 P 到 B D 的距离（即垂线段PP的长）为 d 1 ( m ) ，点 Q 到 B D 的距离（即垂线段 Q Q  的长） 为 d 2 ( m ) ．当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时 d 1 = 7 .5 m ． d 2 与t的部分对应数 值如表 ( t1  t2 ) : t ( m in ) 0 t1 t2 5.5 d 2 ( m ) 0 16 16 0 （1）机器人乙运动的路线长为 m ； （2）求t −t 的值； 2 1 （3）当机器人甲、乙到生产流水线BD的距离相等（即d =d )时，求 1 2 t 的值．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第70题★ 2．（2025•广东）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角 三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长 70 / 123 a ，b， c 都是正整数，则 a ， b ， c 为一组“勾股数”．如表 中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10， ，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 （1）请补全如表中的勾股数． （2）根据如表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示 a ， b ， c ，使该组代数式能表示上 表中所有的勾股数，并证明． （3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种 花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为 1 m ．如 果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第71题★ 3．（2025•山西）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计 出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面 71 / 123 6 0 c m ，起跳 点与落地点的距离为160cm． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为 N ，对称轴为直线 l ，仿青蛙机 器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为 M ．以O为原点，OM 所在直线为 轴，过点O与OM 所在 x 水平地面垂直的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点 N 的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点 O 正上方的点 P 处起跳，落地点为Q，点 P 的坐标为 ( 0 , 7 5 ) ，点 Q 在 x 轴的正半轴上．求起跳点 P 与落地点 Q 的水平距离 O Q 的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm， 才能安全通过．如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形 A B C D ，其中  A B C =  B C D = 9 0  ， AB=57cm， B C = 4 0 c m ， C D = 4 8 c m ．仿青蛙机器人从距离 A B 左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通 过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍 物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一 竖直平面内）．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第72题★ 4．（2025•陕西）问题探究 （1）如图①，在△ 72 / 123 A B C 中，请画出一个 B D E F ，使得点 D ， E ， F 分别在边 A B ， A C ， B C 上； （2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC =6， P 为矩形ABCD内一点，且满足 S B P C = 9 ，△BPC 周长的最小值； 问题解决 （3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址 修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，△ A B C 区域为草地，线段 B C 为花海边沿，点 A为游客 服务中心，线段 P Q 为步道，点 P 和点 Q 为步道口，点 O 为观景台．按照设计要求，点 P ， Q 分别在边 AB， A C 上，且满足 B P : A Q = 2 : 3 ， O 为 P Q 的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使  B O C 最大．已 知AB=120m，AC =BC =180m，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点）， 并计算此时步道口 P 与游客服务中心 A 之间的距离PA．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的 大小均忽略不计）★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第73题★ 5．（2025•齐齐哈尔）2025 年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足 学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”， 73 / 123 A I 热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤 学路”上依次设置了 A，B ， C 三个互动区，机器人甲、乙分别从 A， C 两区同时出发开始表演，机 器人甲沿“勤学路”以20米/分的速度匀速向 B 区行进，行至 B 区时停留4.5分钟（与师生热情互动） 后，继续沿“勤学路”向 C 区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米 / 分的速度匀速向 B 区行进，行 至 B 区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达 C 区．机器人甲、乙距B 区的距离 y （米 ) 与机 器人乙行进的时间 x （分 ) 之间的函数关系如图所示．请结合图象信息解答下列问题： （1） A ， C 两区相距 米， a = ； （2）求线段 E F 所在直线的函数解析式； （3）机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可）★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第74题★ 6．（2025•内蒙古）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示． 外形参数： 如图 2，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线 74 / 123 L 1 ，中间的矩形ABCD和下方的抛物线 L 2 组 成．抛物线 L 1 的高度为 8 c m ，矩形 A B C D 的边 A B = 8 c m ，BC=6cm，抛物线 L 2 的高度为4cm．在装置内 部安装矩形电子显示屏 E F G H ，点 E ， F 在抛物线 L 2 上，点 H ， G 在抛物线 L 1 上． 问题解决： 如图 3，该小组以矩形 A B C D 的顶点 A 为原点，以AB边所在的直线为 x 轴，以 A D 边所在的直线为 y 轴， 建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： （1）直接写出 B ， C ， D 三点的坐标； （2）直接写出抛物线 L 1 和 L 2 的顶点坐标，并分别求出抛物线 L 1 和 L 2 的函数表达式； （3）为满足矩形电子显示屏 E F G H 的空间要求，需要EH 边的长为 1 5 c m ，求此时 E F 边的长．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第75题★ 7．（2025•广西）综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上 的投影是一个平行四边形（如图 75 / 123 1 ) ． 初始时，矩形义卖区ABCD与遮阳伞投影 MNPQ的平面图如图2所示， P 在 AD上，MN =3m，AN =1m， A P = 2 m ， A B = 3 m ，BC =2.5m．由于场地限制，参加义卖的同字只能左右平移遮阳伞．在移动过程中， M N P Q 也随之移动 ( M N 始终在 A B 边所在直线1．且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区） 会呈现不同的形状．如图3为 MNPQ移动到P 落在BC上的情形． 【问题提出】西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时 M N P Q 的位置． 设遮阳区的面积为S m 2 ， M N P Q 从初始时向右移动的距离为 x m ． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中， S 随 x 的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的 x 与S的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至M 与 A 重合，求该过程中 S 关于 x 的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时， M N P Q 向右移动了多少？（直接写出结果）★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第76题★ 8．（2025•深圳）综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景．如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间， 安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数 76 / 123 = 现场总人数−已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数 y 与安检时间 x 之间满足关系式： y=−x2 +60x+100(0 x 30) ． 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间 x 分钟时，已入场人数为 ，排队人数 w 与安检时间 x 的函数 关系式为 ． 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？ 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优 化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第77题★ 9．（2025•吉林）【知识链接】 实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两 个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计 A、B 的下方，从离桌面 77 / 123 2 0 c m 的高度，分别缓慢浸入 到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不 计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关．物体浸在液 体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时， F =G ；当小铝块浸入液面后， F =G −F ． 拉力 重力 拉力 重力 浮力 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计 A， B 各自的示数 F 拉 力 ( N ) 与小铝块各 自下降的高度 x ( c m ) 之间的关系如图②所示． 【解决问题】 （1）当小铝块下降 1 0 c m 时，直接写出弹簧测力计 A 和弹簧测力计 B 的示数． （2）当6 x 10时，求弹簧测力计 A 的示数 F 拉 力 关于 x 的函数解析式． （3）当弹簧测力计 A 悬挂的小铝块下降 8 c m 时，甲液体中的小铝块受到的浮力为 m ( N ) ，若使乙液体中 的小铝块所受的浮力也为 m ( N ) ，则乙液体中小铝块浸入的深度为n(cm)，直接写出 m ， n 的值．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第78题★ 10．（2025•贵州）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触，石块会在空中近似 地形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的 高度 78 / 123 y 与水平距离 x 之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点F ，运动路径近似为抛物线 C 1 ， 且 C 1 : y = a x 2 + b x + c ，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点 G ，运动路径近似为抛物线 C 2 ，且 1 C :y=− x2 +mx+n．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计） 2 5 （1）如图②，当 a = − 1 2 ， b = 1 2 时，若点 F 坐标为 ( 2 , 0 ) ，求抛物线 C 1 的表达式； （2）在（1）的条件下，若 F G = 4 ，在水面上有一个截面宽 A B = 1 ，高 B C = 0 .5 的矩形 A B C D 的障碍物， 点 A 的坐标为 ( 4 .5 , 0 ) ，判断此时石块沿抛物线C 运动时是否能越过障碍物？请说明理由； 2 （3）小星在抛掷石块时，若C 的顶点需在一个正方形 1 M N P Q 区域内（包括边界），且点 F 在 ( 3 , 0 ) 和 ( 4 , 0 ) 之间（包括这两点），其中 M ( 1 2 ， 1 ) ， N (1 ,1 ) ， Q ( 1 2 ， 3 2 ) ，求 a 的取值范围．（在抛掷过程中正方形与抛物 线 C 1 在同一平面内）★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第79题★ 11．（2025•自贡）如图 1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了 测量该塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下． （1）制作工具 如图 2，在矩形木板 79 / 123 H I J K 上 O 点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物 G ，过点 O 画射 线 Q M / / H K ．测量时竖放木板，当重垂线OG//HI 时，将等腰直角三角尺ACB的直角顶点C 紧靠铁钉， 绕点 O 转动三角尺，通过 O B 边瞄准目标 N ，测量  M O B 可得仰角度数，采用同样方式，可测俯角度数． 测量时， Q M 是否水平呢？小蕊产生了疑问，组长对她说：“因为 O G 始终垂直于水平面，满足 O G ⊥ Q M 就行．”求证： O G ⊥ Q M ． （2）获取数据 如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼 阳台 P 处测得塔底 U 的仰角为 5 .1  ，在25楼对应位置 D 处测得塔底 U 的俯角为9.1，塔顶 T 的仰角为 1 4 .5  ． 如图 4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个 R t △VWZ，  W = 9 0  ，WVZ =14.5， V W = 1 0 .0 c m ．在边 W Z 上取两点 X ， Y ，使  Y V W = 5 .1  ，  X V Y = 4 .0  ，量得 Y W = 0 .9 1 c m ， X Y = 0 .7 0 c m ， Z X = 0 .9 4 c m ，则 ta n 5 .1   ， ta n 9 .1   ， t a n 1 4 .5   （结果保留小数点后两位）． （3）计算塔高 请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）． （4）反思改进 小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊 提出两条合理的改进建议（总字数少于50字）．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第80题★ 12．（2025•青岛）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点 80 / 123 O 正上方 1.8 米的 A点将球击 出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，O为原点，OA在 y 轴上，球的运动路线可以看作是二次函数 y=ax2 +bx+1.8(a ，b为常数）图象的一部分，其中y（米)是球的高度， x （米)是球和原点的水平距离， 图象经过点 ( 2 , 3 .2 ) ， ( 4 , 4 .2 ) ． 信息二：球和原点的水平距离 （米 x ) 与时间t（秒 ) ( 0 t 1 .6 ) 之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： t 0 0.4 0.6 （秒)  x （米) 0 4 6  （1）求y与 x 的函数关系式； （2）网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ （3）当 t 为1.6秒时，小明将球击回，球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数 y = − 0 .0 2 x 2 + p x + m ( p ， 为常数）图象的一部分，其中 m y （米 ) 是球的高度， x （米 ) 是球和原点的水平距离．当网球所在点的横 坐标 x 为2，纵坐标 y 大于等于1.8时， p 的取值范围为 （直接写出结果）．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第81题★ 13．（2025•广州）某玩转数学小组发现隧道前通常设有涉水线和限高架等安全警示，为探究其内在的数学 原理，该小组考察了如图1所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，请认真阅读，解决 问题． 发现问题确定 涉水线设置 限高架设置 目标 数学抽象绘制 图形 隧道及斜坡的侧面示意图可近似如 图2所示． 图3为隧道横截面示意图，由抛 物线的一部分ACB和矩形 81 / 123 A D E B 的三边构成． 信息收集资料 当隧道内积水的水深为0.27米时 车辆进入隧道，应在行驶车道内 整理 （即积水达到涉水线处），车辆应 通行（禁止压线），且必须保证车 避免通行． 辆顶部与隧道顶部 A C B 在竖直方 向的空隙不小于0.3米． 实地考察数据 斜坡的坡角 为  采集 1 0  ，并查得 s in 1 0   0 .1 7 4 隧道的最高点 ，cos100.985， tan100.176． C 到地面DE 距离 为5.4米，两侧墙面高 A D = B E = 3 米，地面跨度 D E = 1 0 米．车辆行驶方向的右侧 车道线（宽度忽略不计）与墙面 的距离为1米． 问题解决： （1）如图2，求涉水线离坡底的距离 M N （精确到0.01米）； （2）在图3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线 A C B 的解析式； （3）限高架上标有警示语“车辆限高h米”（即最大安全限商），求 h 的值（精确到1米）．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第82题★ ★类型：圆综合（8题）★ 1．（2025•福建）如图，四边形 82 / 123 A B C D 内接于 O ， AD，BC的延长线相交于点E ， A C ， B D 相交于点 F ． G 是 A B 上一点， G D 交 A C 于点 H ，且AB= AC， B G = D G ． （1）求证：ABC=DBE+E ； （2）求证： A H 2 = H F  H C ； （3）若tanABC = 5， A D = 2 D E ，CD= 6，求△AGH 的周长．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第83题★ 2．（2025•长沙）如图1，点 83 / 123 O 是以AB为直径的半圆的圆心， A D 与 B C 均为该半圆的切线， C ， D 均为 直径 A B 上方的动点，连接 C D ，且始终满足 C D = A D + B C ． （1）求证：CD与该半圆相切； （2）当半径 r = 2 时，令 A D = a ， B C = b ， m = 2 2 + a + 2 2 + b ， n = 1 a + a + 1 b + b ，比较 m 与 n 的大小，并 说明理由； （3）在（1）的条件下，如图2，当半径r =1时，若点E 为CD与该半圆的切点， A C 与BD交于点 G ，连 接 E G 并延长交 A B 于点 F ，连接 A E ， B E ，令 E G = x ， A E 4  B E + F 1 G + C D = y ，求y关于 x 的函数解析 式．（不考虑自变量 x 的取值范围）★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第84题★ 3．（2025•连云港）已知 84 / 123 A D 是△ A B C 的高， O 是△ABC的外接圆． （1）请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作△ABC的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图2，若 O 的半径为 R ，求证： R = A C 2 A  A D B ； （3）如图3，延长 A D 交 O 于点 E ，过点 E 的切线交 O C 的延长线于点 F ．若BC =7，AD=3 3，  A C B = 6 0  ，求 C F 的长．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第85题★ 4．（2025•云南）如图， 85 / 123 O 是五边形 A B C D E 的外接圆， B D 是 O 的直径．连接 A C ， B E ， C E ，  A E C =  A C F ． （1）若 C E = C B ，且  C B E = 6 0  ，求  B C E 的度数； （2）求证：直线CF是 O的切线； （3）探究，发现与证明： 已知 AC 平分  B A E ，是否存在常数 a ，b，使等式AC2 =aBCCE+bABAE成立？若存在，请直接写出 一个 a 的值和一个 b 的值，并证明你写出的 a 的值和 b 的值，使等式 A C 2 = a B C  C E + b A B  A E 成立；若不存 在，请说明理由．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第86题★ 5．（2025•青海）活动与探究 解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的？ 蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点 儿也不浪费空间．这是数学中的密铺（或镶嵌）问题．平面图形的密铺（或镶嵌）是指用形状、大小完全 相同的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片． 探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺？ 平面图形 每个内角度数 能否整除 能否密铺 正三角形 86 / 123 6 0  3 6 0   6 0  = 6 能 正方形 ① ② 能 正五边形 1 0 8  3 6 0   1 0 8  = 1 0 3 不能 正六边形 1 2 0  3 6 0   1 2 0  = 3 能 正七边形 9 0 0 7  3 6 0   9 0 7 0  = 1 4 5 不能 正八边形 135 ③ ④     （1）请补全上述表格① ；② ；③ ；④ ． 探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料？ 数学视角：蜜蜂的身体可近似看成圆柱，若圆柱底面半径为 1，当蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内 切圆半径均为1时，比较正三角形，正方形和正六边形周长的大小． 观察图1，发现 O 是正三角形 A B C 的内切圆，与AC 切于点 D ，OD⊥ AD，  O A D = 3 0  ， O D = 1 ，在 Rt△ A D O 中， A D = 3 ，则△ A B C 的周长为 6 3 ． （2）如图2，正方形ABCD的周长为 ； （3）如图3，求出正六边形的周长（写出求解过程）． 探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大？ 数学视角：假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定，比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小． （4）若正多边形的周长都为 12，则正三角形的面积为 ；正方形的面积为 ；正六边形的面积 为 ． 【得出结论】 综上所述：在相同条件下，正六边形结构最省材料，能使蜜蜂的活动空间最大，是建造蜂房的最优方案．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第87题★ 6．（2025•宜宾）如图，已知 87 / 123 A E 是 O 的直径， D 是 O 上一点．过 D 作直线DB与 A E 的延长线交于 B 点．过点 A 作 A C ⊥ B D 于 C 点，连结 A D 、 D E ，且AED=ADC． （1）求证：直线BC是 O的切线； （2）若AE=10， ta n  C A D = 3 4 ，求 D E 与 B D 的长度； （3）在（2）的条件下，若 F 为 A E 上的一动点，且 F 在直线 A B 上方，连结 A F 、 D F 、 E F ．当四边形 ADEF面积最大时，求 D F 的长度．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第88题★ 7．（2025•德阳）在 88 / 123 O 中直径 A B 与弦 C D 交于点 E ， A C = 2 B D ，连接 A D ，过点 B 作 O的切线与 A D 的延长线相交于点 F ， C D 的延长线与 B F 的延长线相交于点 G ． （1）若AFB=70，求G的度数； （2）连接 C O ， A C ，再连接 D O 并延长交 A C 于点 M ， ①证明： D M ⊥ A C ； ②若 C D  A F = 1 6 ，求 O 的直径．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第89题★ 8．（2025•内江）如图，在△ 89 / 123 A B C 中，  C = 9 0  ，  A B C 的平分线 B D 交 A C 于点 D ，点 O 是边AB上一点， 以点 O 为圆心、 O B 长为半径作圆， O 恰好经过点 D ，交 A B 于点 E ． （1）求证：直线 AC 是 O的切线； （2）若点 E 为 A O 的中点， A D = 3 ，求阴影部分的面积； （3）连接 D E ，若 s i n  D B A = 5 5 ，求 c o s A 的值．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第90题★ ★类型6：新定义（8题）★ 1．（2025•江西）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量x =m时，其对应的函数值 0 90 / 123 y 0 = m ，那么我们 称该函数为“不动点函数”，点 ( m , m ) 为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数 y = x 2 中，当 x = 1 时， y=1，则我们称函数 y=x2为“不动点函数”，点(1,1)为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕 该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数 y = k x + b ( k  0 ) 进行探究后，得出下列结论： ① y = x + 2 是“不动点函数”，且只有一个不动点； 1 ②y=−3x+2是“不动点函数”，且不动点是( ,0)； 2 ③ y = x 是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是 （填写正确结论的序号）． （2）若一次函数 y = k x + b ( k  0 ) 是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件． 探究2 （3）对二次函数 y = a x 2 + b x + c ( a  0 ) 进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线 y = x 2 − 2 b x + c 的顶点为该函数图象上的一个不动点，求 b ， c 满足的关系式． 探究3 （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件 x 元出售，可卖出 (1 2 − x ) 件，获得利润 y 元．请 写出y关于 x 的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”， 请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第91题★ 2．（2025•福建）阅读材料，回答问题． 【主题】两个正数的积与商的位数探究． 【提出问题】小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据提出算式“ 91 / 123 4 6  2 = 9 2 ； 3521=735； 6 6 3  1 1 = 7 2 9 3 ； 1 8 6  3 6 2 = 6 7 3 3 2 ”，猜想： m 位的正整数与 n 位的正整数的乘积是一个 (m+n−1)位的正整数． 【分析探究】问题1 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 【推广延伸】 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的 研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为 a  1 0 n ， 则称这个数的位数是n+1，数字是 a ． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数 A ， B ， C 的位数分别为 m ， n ， p ，数字分别为 a ， b ， c ，且AB=C，则必有c a 且 c b ，或ca且cb．并且，当 c a 且 c b 时， p = m + n − 1 ；当ca且cb时，p=m+n． 证明：依题意知， A ， B ， C 用科学记数法可分别表示为 a  1 0 m −1 ， b  1 0 n − 1 ， c  1 0 p − 1 ，其中 a ， b ， c 均为正数．由 A  B = C ，得 a b  1 0 m + n − 2 = c  1 0 p − 1 ， 即 a b c = 1 0 p − m − n + 1 ． ( * ) 当 c a 且c b时， a c 1 ，所以 a b c b  1 0 ，又 a b c  a c  1 1 0 ，所以 1 1 0  a b c  1 0 ．由 ( * ) 知， a b c = 1 ，所以 p=m+n−1； 当 c a 且cb时，  a cb c   1 1 ab b10   c ，所以 ，所以 ab  a1  c 1  a b c  1 0 ，与 ( * ) 矛盾，不合题意； 当 c  a 且c b时，① ； 当 c  a 且cb时，② ． 综上所述，命题成立． 【拓展迁移】问题2 若正数 A 、 B 的位数分别为 m ， n ，那么 A B 的位数是多少？证明你的结论． （1）解决问题1； （2）请把①②所缺的证明过程补充完整； （3）解决问题2．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第92题★ 3．（2025•深圳）综合与探究 【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形． 【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此 时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在△ABC中，AB= AC， AC = AD，D=BAC ．此时，四边形ABCD是“双等四边形”，△ ABC是“伴随三角形”． 【问题解决】如图 3，在四边形 92 / 123 A B C D 中， A B = A C ， A D = C D ，  D =  B A C ．求：① A D 与 B C 的位置 关系为： ；②AC2 ADBC．（填“  ”，“  ”或“=” ) 【方法应用】①如图4，在△ A B C 中， A C = B C ．将△ A B C 绕点 A逆时针旋转至△ A D E ，点D恰好落在 BC边上，求证：四边形 A B D E 是双等四边形． ②如图 5，在等腰三角形ABC中， A C = B C ， c o s B = 3 5 ， A B = 5 ，在平面内找一点 D ，使四边形 A B C D 是以△ A B C 为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出 C D 的长，若不存在，请说明理由．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第93题★ 4．（2025•北京）在平面直角坐标系 93 / 123 x O y 中，对于点 A 和 C 给出如下定义：若 C 上存在两个不同的点 M ， N ，对于 C 上任意满足 A P = A Q 的两个不同的点 P ， Q ，都有  P A Q  M A N ，则称点 A 是 C 的关联点，称  M A N 的大小为点 A 与 C 的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角） （1）如图， O 的半径为1． ①在点 A 1 ( 1 2 ， 0 ) ， A 2 ( 4 3 ， 0 ) ， A 3 ( 2 , 0 ) 中，点 是 O的关联点且其与 O的关联角度小于90，该点 与 O 的关联角度为  ； ②点 B (1 , m ) 在第一象限，若对于任意长度小于 1 的线段BD， B D 上所有的点都是 O的关联点，则 m 的 最小值为 ； （2）已知点 E (1 , 3 ) ， F ( 4 , 3 ) ，T(t,0)， T 经过原点，线段 E F 上所有的点都是 T 的关联点，记这些点 与 T 的关联角度的最大值为 ．若  9 0 1 8 0    ，直接写出 t 的取值范围．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第94题★ 5．（2025•长沙）我们约定：当 x ， 1 94 / 123 y 1 ， x 2 ， y 2 满足 (x +y )2 +(x +y )2 =0 ，且x + y 0时，称点 1 2 2 1 1 1 ( x 1 ， y 1 ) 与点 ( x 2 ， y 2 ) 为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请 你根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“ ”，错误的打“  ” ) ； ①函数 y = k x ( k 是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”； ②函数 y = − 2 x + 1 一定不是“对偶函数”； ③函数 y = x 2 + x − 1 的图象上至少存在两对“对偶点”． （2）若关于 x 的一次函数y=k x+b 与y=k x+b (b ，b 都是常数，且b b 0)均是“对偶函数”，求这 1 1 2 2 1 2 1 2 两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； （3）若关于 x 的二次函数 y = 2 a x 2 − 1 是“对偶函数”，求实数 a 的取值范围．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第95题★ 6．（2025•长春）数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆 【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的 覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 【探究一】线段的最小覆盖圆 线段 95 / 123 A B 的覆盖圆有无数个，其中，以 A B 为直径的圆是其最小覆盖圆． 理由如下：易知线段 A B 的最小覆盖圆一定经过点 A 、点 B ．如图①，以 A B 为直径作 O，再过 A 、 B 两点作 O ( O  与O不重合），连结OA，OB． 在△ O  A B 中，有OA+OB AB(▲)． O  A = O B ，  2 O  A  A B ，即 O  的直径大于 O 的直径．  O是线段 A B 的最小覆盖圆． “▲”处应填写的推理依据为 ． 【探究二】直角三角形的最小覆盖圆 要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以 先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三 角形的最小覆盖圆． 如图②，在 R t △ A B C 中，  A C B = 9 0  ． O 是以 A B 为直径的圆． 请你判断点 C 与 O的位置关系，并说明理由． 又由【探究一】可知， O是 R t △ A B C 最长边 A B 的最小覆盖圆，所以， O 是 R t △ A B C 的最小覆盖圆． 【拓展应用】矩形的最小覆盖圆 如图③，在矩形 A B C D 中， A B = 1 c m ，BC=2cm． （1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形ABCD的最小覆盖圆； （不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑） （2）该矩形 A B C D 的最小覆盖圆的直径为 c m ； （3）若用两个等圆完全覆盖矩形 A B C D ，则这样的两个等圆的最小直径为 c m ．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第96题★ 7．（2025•兰州）在平面直角坐标系 96 / 123 x O y 中，对于图 W 上或内部有一点 N （不与原点 O 重合），及平面内 一点 P ，给出如下定义：若点 P 关于直线 O N 的对称点P在图 W 上或内部，则称点P 是图 W 的“映射 点”． （1）如图1，已知图W ：线段 1 A B ， A ( − 1 , − 1 ) ，B(1,−1)．在 P 1 ( − 1 , 0 ) ， P 2 (1 , 2 ) 中， 是图 W 1 的“映射 点”； （2）如图2，已知图 W 2 ：正方形ABCD， A ( − 1 , − 1 ) ， B (1 , − 1 ) ， C (1 ,1 ) ，D(−1,1)．若直线 l : y = x + b 上存 在点 P 是图 W 2 的“映射点”，求b的最大值； （3）如图3，已知图 W 3 : T ，圆心为T(0,t)，半径为1．若 x 轴上存在点P 是图 W 3 的“映射点”，请直接 写出t的取值范围．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第97题★ 8．（2025•青岛）【定义新运算】 对正实数 97 / 123 a ， b ，定义运算“  ”，满足 a  b = a a b + b ． 例如：当 a  0 时， ( 2 a )  1 = 2 2 a a  + 1 1 = 2 2 a a + 1 ． （1）当a0时，请计算： (2a)  (2a)= ； 【探究运算律】 对正实数 a ， b ，运算“  ”是否满足交换律 a  b = b  a ？  ab a b= ， a+b b  a = b b + a a ，  a  b = b  a ．  运算“”满足交换律a  b=b  a． （2）对正实数 a ， b ， c ，运算“  ”是否满足结合律 (a  b)  c=a  (b  c) ？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形 A B C D 是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形 E F G H 拼成， A F = a ，BF =b， 且 a  b ．若正方形 A B C D 与正方形 E F G H 的面积分别为26和16，则 ( 2 a )  b  ( 2 a ) 的值为 ．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第98题★ ★类型7：反比例函数综合（2题）★ 1．（2025•成都）如图，在平面直角坐标系 98 / 123 x O y 中，直线 y = − x + b 与反比例函数 y = k x 的图象的一个交点 为 A ( a , 2 ) ，与 x 轴的交点为 B ( 3 , 0 ) ． （1）求k的值； （2）直线 AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C ，点 D 在反比例函数的图象上，若ACD=90， 求直线 AD的函数表达式； （3）P 为 x 轴上一点，直线AP交反比例函数的图象于点 E （异于A)，连接 B E ，若△ B E P 的面积为 2， 求点 E 的坐标．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第99题★ 2．（2025•广东）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段 被分为中外比，这个点称为中外比点． （1）如图1，点P 是线段MN 的中外比点，MPPN ， 99 / 123 M N = 2 ，求 P N 的长． （2）如图2，用无刻度的直尺和圆规求作一点 C 把线段 A B 分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） （3）如图 3，动点 B 在第一象限内，反比例函数 y = k x ( k  0 , x  0 ) 的图象分别与矩形 O A B C 的边 A B ，BC 相交于点 D ， E ，与对角线 O B 相交于点 F ．当△ O D E 是等腰直角三角形时，探究点 D ， E ， F 是否 分别为 A B ，BC，OB的中外比点，并证明．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第100题★ 3．（2025•宜宾）如图，过原点 100 / 123 O 的直线与反比例函数 y = k x ( k  0 ) 的图象交于 A 、B 两点．一次函数 y = m x + b ( m  0 ) 的图象过点 A 与反比例函数交于另一点 C ，与 x 轴交于点 M ，其中 A ( − 2 ,1 ) ， C ( − 1 , n ) ． （1）求一次函数 y = m x + b 的表达式，并求△ A O M 的面积； （2）连结 B C ，在直线 A C 上是否存在点D，使以 O 、A、D为顶点的三角形与△ A B C 相似．若存在， 求出点 D 坐标；若不存在，请说明理由．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第101题★ 4．（2025•大庆）如图，在平面直角坐标系中， 101 / 123 O 为坐标原点，点 A 在 x 轴的正半轴上， O A = 2 ，点 B 在 反比例函数 y = k x ( k  0 ) 的图象上，△ O B A k 为等边三角形，延长BO与反比例函数y= 的图象在第三象限 x 交于点C，连接CA并延长与反比例函数 y = k x 的图象在第一象限交于点D． （1）求反比例函数的表达式； （2）求点D的坐标及△OAD的面积； （3）在x轴上是否存在点 Q ，使得以 A ， D ， Q 为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请直接写出 Q 点坐标；若不存在，请说明理由．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第102题★ ★类型8：各类型综合练习（20题）★ 1．（2025•武汉）如图，四边形 102 / 123 A B C D 是正方形，点 E 在边 C D 上，点 F 在边 B C 的延长线上， D E = C F ， 射线 A E 交对角线 B D 于点G ，交线段 D F 于点 H ． （1）求证： D H = G H ．（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明△ A D E  △ D C F ) （2）求证： A G  E H = E G  G H ． GE DH （3）若 =n，直接写出 的值（用含 EH DF n 的式子表示）．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第103题★ 2．（2025•武汉）抛物线 103 / 123 y = 1 4 x 2 − 3 与直线 y = x 交于 A ， B 两点 ( A 在 B 的左边）． （1）求 A ， B 两点的坐标． （2）如图1，若 P 是直线 A B 下方抛物线上的点，过点 P 作 x 轴的平行线交抛物线于点 M ，过点 P 作 y 轴 的平行线交线段 A B 于点 N ，满足 P M = P N ，求点 P 的横坐标． （3）如图2，经过原点 O 的直线 C D 交抛物线于 C ，D两点（点 C 在第二象限），连接 A C ， B D 分别交x 轴于 E ，F 两点．若 S D O F = 3 4 S C O E ，求直线 C D 的解析式．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第104题★ 3．（2025•乐山）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点 104 / 123 P 成中心 对称，则称这两个函数关于点 P 互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： （1）求函数 y = x − 1 关于点(0,0)的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数 y = x − 1 的图象上取两点 (1 , 0 ) 和 ( 0 , − 1 ) ； 第二步：分别求出这两个点关于点(0,0)的对称点 和 ； 第三步：函数 y = x − 1 关于点 ( 0 , 0 ) 的“对称函数”为 ． （2）是否存在点 P ，使得函数 y = 1 x + 1 关于点 P 的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点 P 的坐 标；如果不存在，请说明理由； （3）函数 C 1 : y = a x 2 − 2 a x + 2 a ( a  0 ) 关于点 ( 2 , 2 ) 的“对称函数”为 C 2 ，函数 C 1 与函数 C 2 所围成的区域（包 括边界）记作W ，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”． (i)若 a = 1 2 ，求 W 内的“整点”个数； (ii)若 W 内至少有9个“整点”，至多有13个“整点”，求 a 的取值范围．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第105题★ 4．（2025•乐山）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AC 、 CB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即 105 / 123 C A B C = A A C B ，则这种分割称为黄金分割，这 个比值称为黄金比，点 C 叫做线段AB的黄金分割点． 【问题初探】 如图1，已知点 C 为线段 A B 的黄金分割点 ( A C  B C ) ，求黄金比． 解：设 A B = 1 ， A C = x ，则CB=1−x． C A B C = A A C B ，  请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在Rt△ABC中，  C = 9 0  ， B C = 1 ， A C = 2 ，请作出 A C 的黄金分割点（要求：仅用圆规作图， 不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图 3，点C为线段AB的黄金分割点 ( A C  B C ) ，分别以 A C 、BC为边在线段AB同侧作正方形 A C D E 和矩形 C B F D ，连结 B D 、BE ．求证：△ E A B ∽ △ B C D ； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形 A B C D E 中，对角线 A D 与 B E 交于点 M ．求证：点 M 是AD的黄金分割点．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第106题★ 5．（2025•广元）综合与实践 （1）【初步感知】 如图①，△ABC和△ADE 中，C =90，AEAB= ADAC， 106 / 123  C A D =  E A B ，求E的度数； （2）【深入探究】 如图②，在矩形 A B C D 中， A B = 3 ， B C = 4 ，点 E 是线段 B C 上一点，连接 A E ，过点 A 在 A E 上方作 F A ⊥ E A ， 1 使S = S ，连接DF，请证明△ABE∽△AFD，并直接写出点F 到BC的距离的最大值； AEF 2 矩形ABCD （3）【学以致用】 如图③，梯形 A B C D 中， A D / / B C ，  B = 9 0  ， A D = A B = 8 ， B C = 1 6 ，点 E 是线段 A B 的中点，点 F 是线段 B C 上一点，连接 E F ，过点 E 在 E F 上方作 G E ⊥ F E 1 ，使S = S ，当△ EFG 8 梯形ABCD A D G 的面积最小 时，求EG 的长．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第107题★ 6．（2025•广元）在平面直角坐标系 107 / 123 x O y 中，抛物线 y = a x 2 + b x − 4 ( a  0 ) 与 x 轴交于点 A 和点 B ( − 4 , 0 ) ，与 y 轴交于点C． （1）求b与 a 的关系； （2）如图①，当 a = 1 2 时，点 P 在抛物线上， S P B C = 4 ，求点 P 的坐标； （3）如图②，若抛物线上一点 Q 关于直线 B C 的对称点是△ A O C 的外心 M ，求a的值．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第108题★ 7．（2025•南通）如图，矩形 108 / 123 A B C D 中，对角线 A C ， B D 相交于点 O ． M 是 B C 的中点， D M 交 A C 于点 G ． （1）求证： A G = 2 G C ； （2）设BCD，  B D C 的角平分线交于点 I ． ①当 A B = 6 ， B C = 8 时，求点 I 到 B C 的距离； ②若 A B + A C = 2 B C ，作直线 G I 分别交BD， C D EF 于E，F 两点，求 的值． BC★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第109题★ 8．（2025•南通）在平面直角坐标系 109 / 123 x O y 中，反比例函数的图象经过点 A (1 , 5 ) ，点 A ，B关于原点对称．该 函数图象上另有两点M ，M ，它们的横坐标分别为 1 2 m ， m + n ，其中 m  1 ，n0．依次作直线 A M 1 ， B M 1 与 y 轴分别交于点 C 1 ， D 1 ，直线 A M 2 ， B M 2 与 y 轴分别交于点C ， 2 D 2 . 记 O C 1 − O D 1 = d 1 ， OC −OD =d ． 2 2 2 （1）若 m = 2 ，求 O C 1 的长； （2）求代数式 ( m + n )  d 2 的值； （3）当 m ( d 1 − d 2 ) = 2 d 2 ， 3 ( d 1 + d 2 ) = 2 n 3 时，求点 D 2 关于直线 A M 2 对称的点 P 的坐标．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第110题★ 9．（2025•常州）如图：在平面直角坐标系 110 / 123 x O y 中，一次函数 y = − 3 2 x + 3 的图象分别与 x 轴， y 轴交于点 A 、 B ，点 C 是线段 A B 上一点， C 与 B 不重合．二次函数 y = a x 2 + b x + c ( a ， b ， c 是常数，且 a  0 ) 的 图象经过点 B ，顶点是 C ．将该二次函数的图象平移后得到新抛物线， B  、 C  分别是 B 、 C 的对应点， 且点 B  落在x轴正半轴上，点 C  的纵坐标为 − 2 ． （1）OB= ； （2）求点 C 的坐标； （3）已知新抛物线与 y 轴交于点 G ( 0 , 5 2 ) ，点 D ( 3 , y 1 ) 、 E ( x 2 ， y 2 ) 在新抛物线上，若对于满足 m  x 2 m + 1 的任意实数x ， 2 y 2  y 1 总成立，求实数 m 的取值范围．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第111题★ 10．（2025•常州）在平面 111 / 123 x O y 中以下种不同所得线段的关系． 方式一：向右平移1个单位长度，后绕原点 O 按逆时针方向旋转 9 0  ； 方式二：先原点 O 按逆时针方向旋转 9 0  ，然后向右平移1个单位长度． 如图1小明将线段 A B 按方式一方式二运动：分别得到线段 A 1 B 1 、 A 2 B 2 ，发现它们除长度相等外还有其他 关系． 【实践体验】 （1）如图2，小明已画出线段 C D 按方式一运动得到的线段 C 1 D 1 ．请你利用网格，在图2中画出线段CD 按方式二运动得到的线段； 【探索发现】 （2）在平面直角坐标系 x O y 中，将线段 a 按方式一、方式二运动，分别得到线段 a 1 、 a 2 ，则线段 a 1 、a 2 所在直线可能 （写出所有可能的序号）； ①相交；②平行；③是同一条直线． 【综合应用】 （3）如图3，已知点 G ( 2 , 3 ) ， H ( x , y ) 是第一象限内两个不重合的点，将线段 G H 按方式一、方式二运动， 分别得到线段 G 1 H 1 、 G 2 H 2 ( G 1 、 G 2 是 G 的对应点． H 1 、 H 2 是 H 的对应点）． ①若点 H 1 与点 G 2 重合，求点 H 的坐标； ②若线段 G 1 H 1 与线段 G 2 H 2 有公共点，直接写出y与 x 之间的函数表达式，并写出实数 x 的取值范围．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第112题★ 11．（2025•大庆）如图， 112 / 123 D E 为△ A D E 外接圆 O 的直径，点 C 为线段 D O 上一点（不与 D ， O 重合）， 点 B 为 O D 的延长线上一点，连接 B A 并延长至点 M ，满足  C A E =  M A E ． （1）求证： A D 平分  B A C ； （2）证明： O E 2 = O B  O C ； （3）若射线 B M 与 O相切于点 A ， D C = 3 ， B D : O C = 1 0 : 9 ，求 ta n  A E D 的值．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第113题★ 12．（2025•大庆）如图，已知二次函数y=ax2 +bx+c图象的对称轴为 113 / 123 y 轴，且过坐标原点 O 及点 A ( 2 3 , 3 ) ， 过点 A 作射线 A M 平行于 y 轴（点 M 在点 A 上方），点 F 坐标为 ( 0 ,1 ) ，连接 A F 并延长交抛物线于点 E ， 射线 A B 平分  F A M ，过点 A 作 A B 的垂线 l 交 y 轴于点 T ． （1）求二次函数的表达式； （2）判断直线 l 与二次函数 y = a x 2 + b x + c 的图象的公共点的个数，并说明理由； （3）点 P ( m , 0 ) 为x轴上的一个动点，且  A P E 为钝角，请直接写出实数m的取值范围．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第114题★ 13．（2025•宁夏）如图，抛物线y=ax2 −2x+3与 114 / 123 x 轴负半轴交于点 A ，与y轴交于点 B ，顶点 C 的横坐 标为 − 1 ． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，将直线AB沿y轴向上平移m(m0)个单位长度，当它与抛物线有交点时，求 m 的取值范围； （3）如图2，抛物线的对称轴交直线 A B 于点 D ，交 x 轴于点 E ，连接AC ．抛物线上是否存在点 P （不 与点 C 重合），使得 S P A D = S C A D ．若存在，直接写出点 P 的横坐标；若不存在，说明理由．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第115题★ 14．（2025•宁夏）如图，在 115 / 123 R t △ A B C 和 R t △ A D E 中，ACB=AED=90，  B A C =  D A E = 6 0  ， AD AC．连接 B D ，点 F 是 B D 的中点，连接CE ，CF ， E F ． （1）如图1，当点 D 在 A C 上时，求证：△ C E F 是等边三角形； （2）将图1中的△ A D E 绕点 A 顺时针旋转． ①当旋转角为 6 0  时，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？说明理由； ②当 E F 最长时， E F 与 A D 的交点记作 M ．若 A E = 3 ，则EM = ．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第116题★ 15．（2025•宿迁）定义：在平面直角坐标系中，到两个坐标轴的距离都小于或等于 116 / 123 k 的点叫“ k 阶近轴点”， 所有的“ k 阶近轴点”组成的图形记为图形 W ．如图所示，所有的“1 阶近轴点”组成的图形是以坐标原点为 中心，2为边长的正方形区域． （1）下列函数图象上存在“1阶近轴点”的是 ； ① y = 1 x ；② y = − x + 3 ；③ y = x 2 − 2 x + 3 ． （2）若一次函数 y = 2 x + m 的图象上存在“3阶近轴点”，求实数 m 的取值范围； （3）特别地，当点P在图形 W 上，且横坐标是纵坐标的k倍时，称点 P 是图形 W 的“ k 阶完美点”，若二 次函数y=ax2 −ax−2a+2的图象上有且只有一个“2阶完美点”，求实数a的取值范围．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第117题★ 16．（2025•宿迁）如图1，在矩形 117 / 123 A B C D 中， A B = 3 ， B C = 3 3 ，点M 是边 B C 上一个动点，点 N 在射线 C D 上，MAN =60．线段 A M 的垂直平分线分别交直线 A B 、 A M 、 A N 、 C D 于点 E 、 F 、 G 、 H ． （1）直接写出ACB=  ， E A H M = ； （2）当BM =1时，求 E F + G H 的值； （3）如图2，连接MG并延长交直线CD于点P． ①求证：MG=PG； ②如图 3，过点 P 作直线 E H 的垂线，分别交直线 E H 、 A N 于点 T 、 Q ，连接 D Q ，求线段 D Q 的最小 值．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第118题★ 17．（2025•潍坊）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 118 / 123 y = a x 2 + b x ( a  0 ) 与正比例函数y=kx的图象都 经过点 A ( 3 , 3 ) ，点 P 为二次函数图象上点 O 与点 A 之间的一点，过点 P 作x轴的垂线，交 O A 于点 C ，交 x 轴于点 D ． （1）若点 A 为该二次函数的顶点， ①求二次函数的表达式； ②求线段 P C 长度的最大值． （2）若该二次函数与x轴的一交点为 B ( m , 0 ) ，且m4，求a的取值范围．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第119题★ 18．（2025•潍坊）黄金分割被广泛应用在建筑、艺术等领域，我国早在战国时期就已知道并能应用黄金分 割．中国澳门发行的邮票小型张《科学与科技 119 / 123 − − 黄金比例》（如图 1 ) 就是用黄金分割比作为主题设计的． 【阅读观察】 材料1：黄金分割点的定义 如图2，若线段 A B 上的点 C 满足 B A C C = A A C B ，则点 C 称作线段 A B 的黄金分割点，其中 A A C B 的比值称作黄 金分割比 5 2 1  = − AB ，而 的比值为 AC  = 1 + 2 5 ，  与互为倒数． 材料2：黄金分割点的作法（借助尺规作图可以用不同方法确定图2中线段AB的黄金分割点C) 方法1：如图3， ①过点 B 作 l ⊥ A B ； ②在直线 l 上截取 B D = 1 2 A B ，连接 A D ； ③在 D A 上截取 D E = D B ； ④在AB上截取 A C = A E ． 点 C 方法2：如图4， ①以 即为所求． A B 为边作正方形 A B E D ；②取 A D 中点 F ，连接 B F ； ③以点 F 为圆心， F B 为半径作圆弧，与DA的延长线交于点 H ； ④以AH 为边在 A B 一侧作正方形AHGC ，GC 交 A B 于点C， 可得 B A C C = A A C B ． 点 C 即为所求． 【思考探究】 （1）说明图3中 A A C B  = ； BC AC （2）用不同于（1）的方法，说明图4中 = ． AC AB 【迁移拓展】 如图5，作圆内接正五边形： ①作 O 的两条互相垂直的半径 O A 和 O M ，取 O M 的中点 N ，连接AN ； ②作  O N A 的平分线，交 O A 于点 K ； ③过点 K 作 O A 的垂线，交 O 于点B，E，连接 A B ， A E ； ④截取 B C = B A ，CD=CB，连接 B C ， C D ， D E ． 五边形ABCDE即为所求． （3）若OA=2，根据以上作法，证明；AB2 =2BE2．★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第120题★ 19．（2025•徐州）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作y 120 / 123 m ； 反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作 d 1 m ；刹车距离是指骑车人实施刹车到 车辆停下来所走的距离，记作d m，已知 2 y = d 1 + d 2 ， d 1 与骑行速度成正比，d 与骑行速度的平方成正比．当 2 骑行速度为 1 3 k m / h 时，反应距离为2.6m，刹车距离为 1 m ． （1）若骑行速度为 2 6 k m / h ，则 d 1 = m ， d 2 = m ； （2）设骑行速度为x k m / h ，求 y 关于 x 的函数表达式； （3）当刹车距离为 2 m 时，停车距离为多少？（精确到 0 .1 m ，参考数据： 2 1.41， 3  1 .7 3 ， 5  2 .2 4 )★2026 中考数学 压轴题 每日一题 第121题★ 20．（2025•徐州）如图1，将Rt△ 121 / 123 A O B 绕直角顶点 O 旋转至△ C O D ，点A， B 的对应点分别为 C ， D ．连 接 A D ，BC， A C ， B D ，直线 A C 与 B D 交于点 E ． （1）△AOD与△ B O C 的面积存在怎样的数量关系？请说明理由； （2）如图2，连接 O E ，若 A B ， C D ， O E 的中点分别为 P ， Q ， R ．求证： P ， Q ， R 三点共线； （3）已知AB=5，随着 O A ，OB及旋转角的变化，若存在以 A ， B ， C ， D 为顶点的四边形，其面积为 S ，则 S 的最大值为 ．