文档内容
专题 11.2 三角形的内角和外角之六大考点
【考点导航】
目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【考点一 三角形内角和定理的证明】............................................................................................................1
【考点二 与平行线有关的三角形内角和问题】............................................................................................4
【考点三 与角平分线有关的三角形内角和问题】........................................................................................6
【考点四 三角形折叠中的角度问题】............................................................................................................8
【考点五 直角三角形的两个锐角互余】......................................................................................................10
【考点六 三角形的外角的定义及性质】......................................................................................................11
【过关检测】...................................................................................................................................................14
【典型例题】
【考点一 三角形内角和定理的证明】
例题：（2023·浙江·八年级假期作业）某班学生对三角形内角和为 展开证明讨论，以下四个学生的作
法中，不能证明 的内角和为 的是（ ）
A． 过点A作 B． 延长BC到点D，过点C作
C． 过点A作 于点D D． 过BC上一点D作 ，【答案】C
【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．
【详解】解：A、由 ，则 ， ．由 ，得
，故符合题意．
B、由 ，则 ， ．由 ，得 ，
故符合题意．
C、由 于 ，则 ，无法证得三角形内角和是 ，故不符合题意．
D、由 ，得 ， ，则 ．由 ，得 ，
，由 ，得 ，故符合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平行线的性质是解决本题的
关键．
【变式训练】
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）在探究证明“三角形的内角和等于 ”时，飞翔班的同学作了如下
四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于 ”的是（ ）
A． 延长 至D过C作 B． 过A作
C． 过D作 D． 过P作 ， ，
【答案】C
【分析】根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解．
【详解】A、 ， ， ，由 ，得
，故A不符合题意；
B、 ， ， ，由 ，得
，故B不符合题意；C、 ， ， ，无法证得三角形的内角和等于 ，故C符合题意；
D、如图， ， ， ， ，
， ， ，故D不
符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键．
2．（2023·河北沧州·统考二模）下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容．下列回
答不正确的是（ ）
定理：三角形的内角和为 ．
已知： ．
求证： ．
证明：延长 到点 ，过点 作 ，
◎（两直线平行，内错角相等），
___▲______（_____※______）．
（平角定
义），
（等量代换）．
A．@代表 B．◎代表 C．▲代表 D．※代表两直线平行，同位角相等
【答案】B
【分析】根据题意结合平行线的性质进行证明判断即可．
【详解】证明：延长 到点 ，过点 作 ，
（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同位角相等）．
（平角定义），（等量代换）．
∴四个选项中只有B选项结论错误，符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，正确理解题意是解题的关键．
【考点二 与平行线有关的三角形内角和问题】
例题：（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在 中， ，过点 作 ．若 ，
则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平行线的性质可求得出 的度数，然后在 中利用三角形内角和定理即可求出 的
度数．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵在 中， ， ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识点．牢记三角形内角和是 是解题的
关键．
【变式训练】
1．（2023·湖南岳阳·统考三模）将一副直角三角板如图放置，已知 ， ， ，则
为（ ）
A．45° B．60° C．90° D．105°【答案】D
【分析】由直角三角形的性质得出 ， ，由平行线的性质得出 ，再由
三角形内角和定理即可求出∠CGD的度数．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
同理可得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理是解
决问题的关键．
2．（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图， 的顶点D，E在 的边BC
上， ， ，若 ，则 的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【分析】根据两直线平行，内错角相等，可得 ， ，再根据三角形内角和定理得
，即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质和相似三角形的性质，灵活运用所学知识是解题关键．
【考点三 与角平分线有关的三角形内角和问题】
例题：（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在 中， 和 分别平分 和 ，
若 ，则 的大小为______ ．
【答案】 /110度
【分析】由三角形的内角和定理可求得 ，再由角平分线的定义可求得
，从而可求 ．
【详解】 ，
，
和 分别平分 和 ，
， ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形角平分线的定义，解答的关键是明确三角形的内角和
为 ．
【变式训练】
1．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图，在 中， 是 的平分线， ，
．求 的度数．【答案】
【分析】根据三角形内角和为 ，分别列出 和 的内角和等式，再根据已知条件，即可求解．
【详解】 ， ， ．
，
是 角平分线，
，
在 中， ．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义，掌握三角形内角和为 是解题的关键．
2．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）如图，在 中， 是 的角平分线，作 交
于点E， ， ，求 的度数．
【答案】
【分析】利用三角形内角和求出 ，根据角平分线的定义得到 ，根据平行线的性质求出
，再利用三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】解：∵ ， ，
，
平分 ，
，
又 ，
，
，
．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【考点四 三角形折叠中的角度问题】
例题：（2023春·湖南衡阳·七年级校联考阶段练习）如图，已知 中， ，现将 进行
折叠，使顶点 、 均与顶点A重合，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据折叠得到 ，结合三角形内角和求出 的度数．
【详解】解：在 中， ，
∵折叠，
∴ ， ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查折叠的性质，解题的关键是根据折叠的性质得到角相等．
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）如图，将 沿着平行于 的
直线折叠，使得点 落到点 处，若 ， ，则 的度数为______ ．
【答案】100
【分析】根据三角形的内角和定理，即可求出 ，然后根据平行线的性质，即可求出 ，再根据折
叠的性质可得 ，从而求出 ．【详解】解：在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
根据折叠的性质： ，
∴ ．
故答案为：100．
【点睛】此题考查的是三角形的内角和应用、平行线的性质和折叠的性质，掌握三角形的内角和定理、平
行线的性质和折叠的性质是解决此题的关键．
2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图甲所示三角形纸片 中， ，将纸片沿过点B的直线折
叠，使点C落到 边上的E点处，折痕为 (如图乙)．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D
重合，折痕为 (如图丙)，则 的大小为______°．
【答案】72
【分析】设 ，根据翻折不变性可知 ， ，利用三角
形内角和定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：设 ，根据翻折不变性可知 ， ，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查翻折变换、三角形的内角和定理，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
【考点五 直角三角形的两个锐角互余】
例题：（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知 ，点 在直线 上，点 在直线 上，
于点 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余分析计算求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余，掌握两直线平行，内错角相等以及直角三角形
两锐角互余是解题关键．
【变式训练】
1．（2023·河南洛阳·统考三模）如图，直线 ， 于点A，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直角三角形两个锐角互余及平行线的性质可进行求解．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故选：B．
【点睛】本题主要考查直角三角形的两个锐角互余及平行线的性质，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余
及平行线的性质是解题的关键．
2．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图， ， ， ，则
_________．
【答案】 /30度
【分析】利用同角的余角相等进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查垂直的定义，互余关系．熟练掌握同角的余角相等，是解题的关键．
【考点六 三角形的外角的定义及性质】
例题：（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，已知直线 ， 被直线 ， 所截，且 ， ，
，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形外角的性质求出 ，再根据平行线的性质即可得到 的度数
【详解】解：如图，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握平行线和三角形外角的
性质．
【变式训练】
1．（2023春·江苏泰州·七年级泰州市海军中学校考阶段练习）如图，若 ， ， ，
则 ___________．
【答案】 /149度【分析】延长 交 于点 ，由三角形的外角性质可求得 的度数，再次利用三角形的外角性质
即可求 的度数．
【详解】解：延长 交 于点 ，如图，
∵ ， ， 是 的外角，
，
∵ ， 是 的外角，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，解题的关键是熟记三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之
和．
2．（2023·上海浦东新·校考三模）如图，已知 ，点A在 上，点B和D在 上，点C在
的延长线上， ， ，则 的度数是_____．
【答案】 /40度
【分析】利用平行线的性质求出 ，再利用三角形外角的性质计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质、平行线的性质是解决本题的关键．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023春·陕西西安·七年级西安市第二十六中学校考阶段练习）如图，在 中， ，
， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据在 中， ， ，可以求得 的度数，再根据 ，可以得到
和 的关系，从而可以求得 的度数．
【详解】解：在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查直角三角形的性质、平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的
条件，利用数形结合的思想解答．
2．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图所示的“箭头”图形中， ， ，
，则图中 的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，过点 作 的平行线 ，根据平行线的性质
即可解答．
【详解】解：如图，延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，过点 作 的平行线 ，
，
， ，
，
，
， ，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，三角形外角的定义和性质，作出正确的辅助线是解题的关键．
3．（2023春·河南三门峡·七年级统考期中）为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质
文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图
的数学问题：已知 ， ， ，则 的度数为（ ）．A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用平行线的性质得出 ，进而利用三角形的外角得出答案；
【详解】解：如图所示：延长 交 于点F，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质应用，三角形外角的性质，准确利用三角形外角性质是解题的关键．
4．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，把 纸片沿 折叠，使点A落在图中的 处，若 ，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用折叠性质得 ， ，再根据三角形外角性质得 ，
利用邻补角得到 ，则 ，然后利用 ，进行计算即可．
【详解】解： ，
，
纸片沿 折叠，使点A落在图中的 处，
°， ，，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，求一个角的邻补角，折叠是一种对称变换，它属于
轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
5．（2023·浙江·八年级假期作业）定理：三角形的内角和是180°．
已知： 、 、 是 的三个内角．
求证： ．
有如下四个说法：①*表示内错角相等，两直线平行；②@表示 ；③上述证明得到的结论，只有在
锐角三角形中才适用；④上述证明得到的结论，适用于任何三角形．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①③
【答案】C
【分析】根据平行线的性质得出 ， ，即可推出结论．
【详解】解：证明：如图，作点E作直线 ，使得 ，
∴ （两直线平行，内错角相等），
∴ ，
∴ ．
①*表示两直线平行，内错角相等；故①不正确，不符合题意；
②@表示 ，故②正确，符合题意；
③④上述证明得到的结论，在任何三角形均适用；故③不正确，不符合题意；④正确，符合题意；
综上：正确的有②④，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的证明，解题的关键是掌握两直线平行，内
错角相等；两直线平行，同旁内角互补．二、填空题
6．（2023春·上海虹口·七年级上外附中校考期末）如图，有一个正方形、一个等边三角形、一个等腰直角
三角形，则 ______ ．
【答案】165
【分析】根据平角的定义，三角形内角和定理，进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图所示：
根据题意可得：
， ， ，
，
，
，
故答案为：165．
【点睛】本题主要考查了平角的定义，三角形内角和定理，熟练掌握平角的定义，三角形内角和定理，是
解题的关键．
7．（2023·江苏扬州·校考二模）已知，如图， 的 的平分线和外角 的平分线交于点 ，
， ，则 _______°．【答案】74
【分析】利用角平分线的定义求得 ，利用三角形的外角性质求得 ，再根据角平分
线的定义求得 ，据此求解即可.
【详解】解：∵ 是 的平分线，且 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∴ ，
故答案为：74．
【点睛】本题考查角平分线的定义和三角形外角的性质，熟练利用角平分线和三角形外角的性质来判断题
中角之间的关系是解答本题的关键．
8．（2023春·江苏·七年级期中）如图，把一张 纸片沿 折叠，若 ， ，则
的度数为______．
【答案】 /50度
【分析】由折叠的性质得： ．先求出 的度数，可得 的值，
再根据直角三角形两直角互余求解即可．
【详解】解：由折叠的性质得： ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查图形折叠的性质、邻补角的定义、直角三角形两锐角互余，熟练掌握图形折叠的性质是
解决本题的关键．9．（2023春·江西上饶·七年级统考阶段练习）图1是小辉家一个书桌的实物图，其侧面可简化成图2．已
知 ， ， ，则 的度数为________．
【答案】 /135度
【分析】先根据平行线的性质求得 的度数，再根据三角形外角等于不相邻两个内角之和计算即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，利用三角形外角等于不相邻两个内角之和计算是
解题的关键．
10．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图，在 中， 分别平分 ，交于
点 为外角 的平分线， 的延长线交 于点 ．以下结论① ，② ，③
，④ ，其中正确的是_________（填序号）．
【答案】①②③
【分析】先根据角平分线的定义可得 ， ，再根据
即可判断①正确；先根据角平分线的定义可得 ，再根据三角形的
内角和定理即可判断③正确；先根据三角形的外角性质可得 ，再结合结论③即可判断②
正确；假设④ 正确，从而可得 ，再根据结论②可得 ，由此即可判断④错误．【详解】解： 平分 ， 为外角 的平分线，
， ，
，
，结论①正确；
平分 ，
，
，结论③正确；
又 ，
，
，结论②正确；
假设 ，
，
解得 ，
，由已知条件不能得出这个结论，则假设不成立，结论④错误；
综上，结论正确的是①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和
定理是解题关键．
三、解答题
11．（2023春·江苏泰州·七年级泰州市海军中学校考阶段练习）如图， 是 的角平分线，
， ．(1)求证：
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由角平分线定义，得 ，由两直线平行内错角相等，得到 ，
，等量代换即可得证；
（2）在 中，由三角形内角和定理得到 度数，由两直线平行内错角相等，得到
，由此可得结果．
【详解】（1）证明： ∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：在 中，
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题考查角平分线定义、三角形内角和定理、平行线的性质，掌握三角形内角和是180 º和两直
线平行，内错角相等是解答此题的关键．
12．（2023·浙江温州·统考二模）如图，在四边形 中， ， 平分 ， 与 互补．(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由 可得 ，结合 与 互补得 ，据此即可得证；
（2）由三角形外角的性质可得 ，再根据 可求 ，再根据平分线定义可得答案．
【详解】（1）解：证明： ，
，
与 互补，
，
，
；
（2） ， ，
，
，
，
平分 ，
．
【点睛】本题主要考查多边形的内角与外角、平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性
质、三角形的外角的性质及角平分线的性质．
13．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）在 中， ， 平分 ，P为线段
上的任意一点， 交直线 于点E．
(1)若 ， ，求 的度数；(2)求证： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先根据三角形内角和求出 ，根据角平分线的定义得出 ，再根据三角
形外角的性质得出 ，最后利用三角形内角和求出 的度数；
（2）根据第（1）题的思路推导证明即可．
【详解】（1）∵ ， ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质，掌握三角形内角和
为 是解题的关键．
14．（2023春·广东惠州·七年级校考阶段练习）（1）如图（1） ，猜想 与 的关系，
说出理由．
（2）观察图（2），已知 ，猜想图中的 与 的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知 ，猜想图中的 与 的关系，不需要说明理由．
【答案】（1） ，理由见解析；（2） ，理由见解析；（3）图
（3） ，图（4）
【分析】（1）过点P作 ，得到 ，由 ， ，得到 ，得
到 ，由此得到 ；
（2）过点P作 ，由 ，得到 ，从而得到结论
；
（3）由 ，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得 与 的关
系．
【详解】（1）解：猜想 ．
理由：过点P作 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2） ．
理由：如图，过点P作 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）如图（3）： ．
理由：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ；
如图（4）： ．
理由：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ．
【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解
题的关键．
15．（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）（1）如图，把 沿 折叠，使点 落在点 处，试
探究 、 与 的关系；
（2）如图2，若 ， ，作 的平分线 ，与 的外角平分线 交于点 ，求
的度数；
（3）如图3，若点 落在 内部，作 ， 的平分线交于点 ，此时 ， ， 满
足怎样的数量关系？并给出证明过程．
【答案】（1） （2） （3） ，证明见解析
【分析】（1）由折叠的性质可知 ， ，再根据平角的定义得到
， ，根据三角形外角的性质可得
，即可得出结论；
（2）根据（1）的结论求出 ，再由角平分线的定义和三角形外角的性质推出 即可；
（3）先推出 ， ，再由三
角形外角的性质推出 ，利用角平分线的定义和三角形内角和定理推出，即可得到结论．
【详解】（1）解： ，理由如下：
由折叠的性质可知 ， ，
， ，
，
，
，
；
（2）解： ， ， ，
，
的平分线 ，与 的外角平分线 交于点 ，
， ，
，
，
又 ，
，
；
（3）解： ，理由如下；
由折叠的性质可知 ， ，
， ，
，
，
，， 的平分线交于点 ，
， ，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三
角形内角和定理和三角形外角的性质是解题的关键．
