专题15最值模型专项训练（教师版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_常见几何模型全归纳-V13_2024版

专题 15 最值模型专项训练 本专题主要包含最值模型：将军饮马模型、将军遛马（造桥）模型、费马点模型、瓜豆原理（直线轨迹）、 胡不归模型等。 1．（2023春·山东八年级期末）如图，已知点 ， ， ， ， 为直线 上一 动点，则 的对角线 的最小值是（ ） A． B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】连接 ，设 交于点 ，根据平行四边形的性质得出点 ，进而根据点到直线的距 离，垂线段最短，可知当 时， 取得最小值，勾股定理即可求解． 【详解】解：连接 ，设 交于点 ，如图所示， ∵四边形 是平行四边形，∴ ， ，∵ ， ∴ ， ∴当 取得最小值时， 取得最小值，∴当 时， 取得最小值，∵ ， ，∴ ， ,∴ 是等腰直角三角形， ∴此时 是直角三角形，且 是斜边， ∵ ,∴ ，∴ 的对角线 的最小值是 ，故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，勾股定理，点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌 握平行四边形的性质是解题的关键． 2．（2023·湖北·鄂州市三模）如图，在边长为 的正方形 中， 是边 的中点， 是边 上的一 个动点 不与 重合 ，以线段 为边在正方形内作等边 ， 是边 的中点，连接 ，则在点 运动过程中， 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接AM，在点 运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，所以当AM⊥PM时，PM取得最小值， 根据等边三角形的性质得到AM⊥EF，∠EAM=30°，求得∠PAM=60°，进而即可得到PM最小值． 【详解】解：∵P是边AD的中点，AD=6，∴AP=3，如图，连接AM， ∵等边 ， 是边 的中点，∴AM平分∠EAF， ∴在点 运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，∴当AM⊥PM时，PM取得最小值， ∵ 是等边 的边 的中点，∴PM⊥AM， ∠EAM=30°， ∴∠PAM=60°，∴PM= AP= ，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，等边三角形的性质，推出在点E运动过程中，点M在 ∠EAF的平分线上，是解题的关键． 3．（2023·山东泰安·统考二模）如图，矩形 的边 ，E为 上一点，且 ，F为 边上的一个动点，连接 ，若以 为边向右侧作等腰直角三角形 ，连接 ，则 的最小值为（ ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可 得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝ ，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝ ，AD＝3， ∵AE＝1，∴BE＝ ，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°， ∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA， 又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1， ∴点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动， ∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3，∴CG的最小值＝ ，故选B． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的关键． 1 4．（2020·江苏宿迁市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣ x+2上的一个动点，将Q 2 Q OQ OQ 绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点 ，连接 ，则 的最小值为( ) 4 5 5 2 6 5 A． 5 B． 5 C． 3 D． 5 【答案】B 【分析】利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q′的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数 的性质即可解决问题． 【详解】解：方法一：作QM⊥x轴于点M，Q′N⊥x轴于N， 1 1  m2  m2 设Q(m， 2 )，则PM=m﹣1，QM= 2 ， ∵∠PMQ=∠PNQ′=∠QPQ′=90°，∴∠QPM+∠NPQ′=∠PQ′N+∠NPQ′，∴∠QPM=∠PQ′N， PMQPNQ'90   QPM PQ'N 在△PQM和△Q′PN中， ，∴△PQM≌△Q′PN(AAS)，  PQQ'P 1 1 1  m2 3 m 3 m ∴PN=QM= 2 ，Q′N=PM=m﹣1，∴ON=1+PN= 2 ，∴Q′( 2 ，1﹣m)， 1 5 5 3 m ∴OQ′2=( 2 )2+(1﹣m)2=4 m2﹣5m+10=4 (m﹣2)2+5， 5 当m=2时，OQ′2有最小值为5，∴OQ′的最小值为 ，故选：B． 1 3 m 方法二：由方法一知：Q′( 2 ，1﹣m)，故得到点Q′的运动轨迹为直线l：y=2x-5. 5 ∴当OQ′垂直于直线l时，OQ′取的最小值 。 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与 图形的变换-旋转，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键． 5．（2023·重庆沙坪坝·八年级校联考期末）如图， 为正方形 边 上一点， ， ， 为对角线 上一个动点，则 的最小值为（ ） A．5 B． C． D．10 【答案】A 【分析】连接 交 于P点，根据“两点之间线段最短”，可知 的最小值即为线段 的长， 求出 的长即可. 【详解】连接 ，交 于P点 ∵四边形 为正方形 ∴A点和C点关于 对称 根据“两点之间线段最短”，可知 的最小值即为线段 的长. ∵ ， ∴ 的最小值为5故选：A【点睛】本题主要考查了正方形的性质和两点之间线段最短，这是一个将军饮马模型.熟练掌握正方形的性 质并且能够识别出将军饮马模型是解题的关键. 6．（2023·四川德阳·八年级校考阶段练习）如图，点M是菱形ABCD的边BC的中点，P为对角线BD上 的动点，若AB＝2，∠A＝120°，则PM＋PC的最小值为（ ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】连接AM、AC，AM交BD于P，此时PM+PC最小，连接CP，由菱形的性质可知C和A关于BD 对称，AP=CP，由条件易证△ABC是等边三角形，根据三线合一可知AM⊥BC，再根据勾股定理可求AM 的值，即可求解． 【详解】解：连接AM、AC，AM交BD于P， 此时PM+PC最小，连接CP， ∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，AC⊥BD，∴C和A关于BD对称，∴AP=PC， ∵∠A=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=2， ∵M是BC的中点，∴AM⊥BC，∴∠BAM=30°，∴BM=1，∴AM= ，∴PM+PC=AM= ．故选B． 【点睛】本题考查了将军饮马类型的求最小值问题，涉及菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定 理等知识，解题的关键是准确找到P的位置． 7.（2023·重庆北碚·九年级校考开学考试）如图，矩形 中， ，点 是矩形 内一动 点，且 ，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x．由PM垂直平分线 段DE，推出PD=PE，推出PC+PD=PC+PE≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可． 【详解】解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM=x． ∵四边形ABC都是矩形，∴AB∥CD，AB=CD=4，BC=AD=6， ∵S PAB= S PCD，∴ ×4×x= × ×4×（6-x），∴x=2，∴AM=2，DM=EM=4， △ △ 在Rt△ECD中，EC= =4 ，∵PM垂直平分线段DE，∴PD=PE，∴PC+PD=PC+PE≥EC， ∴PD+PC≥4 ，∴PD+PC的最小值为4 ．故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合 轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．8．（2023·江苏镇江·八年级统考期中）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角 线BD（不含B点）上任意一点，将 ABG绕点B逆时针旋转60°得到 EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的 长（ ） △ △ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“两点之间线段最短”，当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC 的长． 【详解】解：如图， ∵将 ABG绕点B逆时针旋转60°得到 EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG， ∴△B△FG是等边三角形．∴BF=BG=FG，△．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根据“两点之间线段最短”， ∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长， 过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF=180°-120°=60°， ∵BC=4，∴BF=2，EF=2 ，在Rt EFC中， △ ∵EF2+FC2=EC2，∴EC=4 ．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°， ∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF= CE= ，故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅 助线是解题的关键． 9．（2024上·广东广州·九年级统考期末）如图，在矩形 中， ， ，点E是 边上的动 点，点M是点A关于直线 的对称点，连接 ，则 的最小值是（ ）A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据对称性得到 ，在 中根据三角形三边关系可得 ，所以当B， M，D三点共线时， 最短，求解即可． 【详解】解：连接AM，AC，如图所示：∵点A和M关于 对称，∴ ， 在 中根据三角形三边关系可得： ，∴当B，M，D三点共线时， 最短， ∵在矩形 中， ，∴ ．故选C． 【点睛】本题考查动点最值问题，解题过程涉及到对称性质、三角形三边关系、矩形性质、勾股定理等知 识点，解决问题的关键是根据三角形的三边关系确定 的取值范围． 10．（2023下·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在矩形 中， ， ，E是 边的 中点，F是线段 上的动点，将 沿 所在直线折叠到 ，连接 ，则 的最小值是 （ ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C【分析】将 放在 中，利用三角形的三边关系得出：当 ， ， 三点共线时， 最小，再利 用勾股定理求出 即可求解． 【详解】]解：如图，连接 ， ， ， 的最小值为 ， 当 ， ， 三点共线时， 最 小， 在矩形 中， ， ，点E是 边的中点，将 沿 所在直线折叠到 ， ， ， ，故选：C． 【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是理解当 ， ， 三点共 线时， 最小． 11．（2023·江苏常州·统考一模）如图， 中， ， ， ，P为边 上一动 点，则 的最小值等于 ． 【答案】 【分析】过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，由锐角三角函数可得 ，即 ，则当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE，再利用解直角三角形，即可求得． 【详解】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E， ∵ ，∴∠EDP=∠DAB=45°，∴ ，∴ ，∴ ， ∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE， ∵ ，∴ ，故答案为： ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的 思想思考问题． 12．（2024上·湖北·九年级校联考阶段练习）如图，矩形 中， ， ， 为 边上的动 点，连接 ， 于 ， 为 的中点，连接 ，以 为边向右作等边 ，连接 ，则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，等边三角形的性质等知识，取 的中 点 ， 的中点 ，连接 ， ， ， ，通过 证明 ，得 ， 在 中，利用三边关系即可求解，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键. 【详解】如图，取 的中点 ， 的中点 ，连接 ， ， ， ，则 ， ， ， ∴ ， ，∴ ，∴ ， ∴ 是等边三角形，∴ ， ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ，∴ ， 连接 ，由勾股定理得： ，∴ ， ∴ 的最小值为 ，故答案为： ． 13．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，正方形 的边长为5，E为 上一点，且 ，F为 边上的一个动点，连接 ，以 为边向右侧作等边 ，连接 ，则 的最小值 为 ． 【答案】 / / 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当 辅助线构造全等三角形是解题的关键．以 为边作等边 ，连接 ，过点H作 于N， 于M，可证四边形 是矩形，可证 ，证 ，可得 ， 当 时， 有最小值，即 有最小值，即可求解．【详解】解：如图，以 为边作等边 ，连接 ，过点H作 于N， 于M， 又∵ ，∴四边形 是矩形，∴ ， ∵ ，∴ ，∵ 是等边三角形， ， ∴ ， ， ，∴ ， ∵ 是等边三角形，∴ ， ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ，∴ ， ∴当 时， 有最小值，即 有最小值， ∴点F与点M重合时， ，故答案为： ． 14．（2023上·江苏徐州·九年级校联考阶段练习）如图，在矩形 中， ，对角线 相交 于点O， ．若点P是 边上一动点，求 的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图所示，在 下方作 ，过点P作 于E，则由含30度角的直角三角形的性 质得到 ，故当当 三点共线，且 时 最小，即此时 最小，由矩形的性质得到 ， ，则可证明 是等边三角形，则 ， ， ，再求出 ，得到 ，则 的最小值为 ． 【详解】解：如图所示，在 下方作 ，过点P作 于E， ∴ ，∴ ， ∴当 三点共线，且 时 最小，即此时 最小， ∵四边形 是矩形，∴ ， ， ∵ ，∴ 是等边三角形，∴ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∴ 的最小值为 ，故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判 定等等，正确作出辅助线确定当 三点共线，且 时， 最小是解题的关键． 15．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形 中， ，点E是矩形内一动点， 连接 ， ，F为 上一动点，连接 ，则 的最小值是 ． 【答案】 【分析】取 的中点M， 的中点N，连接 交于点 ，过点 作 于 ，过点E作于点G,求出 ，由M、N分别是 的中点得到 ， ，根据 求得 ，则点E在线段 （不包括端点）上运动，证明 ，当且仅当B、E、D三点共线时， 最小，即 为 的最小值， 由点F在 上运动，得到当 时， 取得最小值 ，即可得到 的最小值． 【详解】解：如图，取 的中点M， 的中点N，连接 交于点 ，过点 作 于 ， 过点E作 于点G， ∵矩形 中， ，∴ ， ∵M、N分别是 的中点，∴ ， ， ∵ ，∴ ，即 ， ∴ ，∴点E在线段 （不包括端点）上运动，∵C、D关于直线 对称，∴ ， 当且仅当B、E、D三点共线时， 最小，即 为 的最小值， ∵点F在 上运动，∴当 时， 取得最小值 ， ∴ 的最小值是： ，故答案为： ． 【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质、最短路径等知识，求出 和 的最 小值是解题的关键． 16．（2023上·辽宁辽阳·九年级校考期末）如图， ，矩形 的顶点 ， 分别是 两边上的动点，已知 ，点 ， 之间距离的最大值是 ．【答案】 【分析】如图所示，取 的中点 ，连接 ， ，利用勾股定理求出 的长，再确定 最大时的 条件，即可求出答案． 【详解】如图所示，取 的中点 ，连接 ， ， ∵四边形 是矩形，∴ ，∵ 是 的中点，∴ ， ∴ ，∵ ， 是 的中点，∴ ， ∵ ，∴当点 ， ， 三点共线时， 有最大值， ∴ 最大值 ，故答案为： ． 【点睛】此题考查了矩形性质及三角形的三边性质，确定最值条件是解题的关键． 17．（2023上·贵州六盘水·九年级统考期中）如图，正方形 中 ，点P是 上一点， 若 ， ，则 的最小值是 ．【答案】 【分析】连接 ，在 上取一点 ，使 ，连接 ， ，结合全等三角形的性质， 可得 ，可确定 的最小值是 的长，再求出 的长即可． 【详解】解：连接 ，在 上取一点 ，使 ，连接 ， ，过点 作 于点 ， ∵四边形 是正方形，∴ ，∵ ，∴ ， 在 和 中， ，∴ ， ∴ ， ∴ ，∴ 的最小值是 的长． 在 中， ， ，即 为等腰直角三角形，∴ ， ∵ ，∴ ，在 中，由勾股定理，得 ， ∴ 的最小值是 ．故答案为： ． 【点睛】本题考查最短路线问题，解题中涉及正方形的性质，全等三角形，勾股定理，等腰直角三角形的 性质，根据“将军饮马问题”利用轴对称将问题转化为用一条线段的长表示 的最小值是解题的关 键．18．（2023·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，正方形 中，点 是 边上一定点，点 、 、 分别是边 、 、 上的动点，若 ，则四边形 的周长最小时 ． 【答案】 【分析】如图，作点G关于 的对称点 ，作点 关于 的对称点 ，作点 关于 的对称点 ， 连接 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，交 于点 ，连接 、 ，四边形 的周长 最小，求出此时 即可． 【详解】解：如图，作点G关于 的对称点 ，作点 关于 的对称点 ，作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，交 于点 ，连接 、 ，四边形 的 周长最小， 由对称的性质知， ，∴ ，当 、 、 三点共线时 值最小；同理可得： ，当 、 、 、 四点点共线时值最小；∵ ，正方形 是正方形； ∴ ， ， 由对称的性质知， ， ， ， ， ， ∴ ，∵ ，∴ 是等腰直角三角形， ∴ ．∴ 故答案为： ． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用 作轴对称图形解决最值问题是解题关键． 19．（2023·湖南湘潭·校考模拟预测）如图，菱形草地 中，沿对角线修建60米和80米两条道路 ，M、N分别是草地边 、 的中点，在线段BD上有一个流动饮水点 ，若要使 的距离最短，则最短距离是 米． 【答案】50 【分析】作 关于 的对称点 ，连接 ，交 于 ，连接 ，当 点与 重合时， 的值最小，根据菱形的性质和勾股定理求出 长，即可得出答案． 【详解】解：作 关于 的对称点 ，连接 ，交 于 ，连接 ， 当 点与 重合时， 的值最小， 四边形 是菱形， ， ，即 在 上，， ， 为 中点， 为 中点， 为 中点，四边形 是菱形， ， ， 四边形 是平行四边形， ，设 与 的交点为点 ， 四边形 是菱形， ， 米， 米， 米， 的最小值是50米．故答案为：50． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用， 解此题的关键是能根据轴对称找出 的位置． 20．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期末）如图，在等边 中， 于 ， ．点 分别为 上的两个定点且 ，点 为线段 上一动点，连接 ，则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图所示，作点 关于 的对称点 ，且点 在 上，则 ，当 在同一条直线上时，有最小值，证明四边形 是平行四边形， ，由此即 可求解． 【详解】解：如图所示，作点 关于 的对称点 ，∵ 是等边三角形， ，∴ ，∴点 在 上， ∴ ，则 ，当 在同一条直线上时，有最小值， ∵点 关于 的对称点 ， ，∴ ， ， ∴ ，∴ 是等边三角形，即 ， ∴ ，且 ，∴四边形 是平行四边形， ∴ ，在 中， ， ， ∴ ，∴ ，故答案为： ． 【点睛】本题主要考查动点与等边三角形，对称—最短路径，平行四边形的判定和性质的综合，理解并掌 握等边三角形得性质，对称—最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 21．（2023·湖北武汉·八年级统考期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处， D在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为 ． 【答案】18 【分析】首先明确要使得 PMB周长最小，即使得PM+PB最小，再根据翻折的性质可知PM=PC，从而可 得满足PC+PB最小即可，△根据两点之间线段最短确定BC即为最小值，从而求解即可． 【详解】解：由翻折的性质可知，AM=AC，PM=PC， ∴M点为AB上一个固定点，则BM长度固定，∵ PMB周长=PM+PB+BM，∴要使得 PMB周长最小，即使得PM+PB最小， ∵△PM=PC，∴满足PC+PB最小即可，显△然，当P、B、C三点共线时，满足PC+PB最小，如图所示， 此时，P点与D点重合，PC+PB=BC，∴ PMB周长最小值即为BC+BM， 此时，作DS⊥AB于S点，DT⊥AC延长线△于T点，AQ⊥BC延长线于Q点， 由题意，AD为∠BAC的角平分线，∴DS=DT，∵ ， ， ∴ ，即： ，∴ ，解得：AB=14， ∵AM=AC=6，∴BM=14-6=8，∴ PMB周长最小值为BC+BM=3+7+8=18，故答案为：18． △ 【点睛】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推 理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键． 22．（2023·浙江金华·八年级统考期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC 剪开，如图l所示．然后固定纸片 ABC，把纸片 ADC沿AC的方向平移得到 A′D′C′，连A′B，D′B， D′C，在平移过程中：（1）四边形△A′BCD′的形状始△终是 ；（2）A′B+D′B的最△小值为 ． 【答案】 平行四边形 2【分析】（1）利用平移的性质证明即可． （2）如图2中，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于 H．求出BC″，证明A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，可得结论． 【详解】解：（1）如图2中，∵A′D′=BC，A′D′∥BC， ∴四边形A′BCD′是平行四边形，故答案为：平行四边形． （2）如图2中，作直线DD′，作点C关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B作BH⊥CC″于 H． ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴AC= AB=2 ， ∵BJ⊥AC，∴AJ=JC，∴BJ= AC= ，∵∠BJC=∠JCH=∠H=90°，∴四边形BHCJ是矩形， ∵BJ=CJ，∴四边形BHCJ是正方形，∴BH=CH= ， 在Rt△BHC″中，BH= ，HC″=3 ，∴ ， ∵四边形A′BCD′是平行四边形，∴A′B=CD′，∴A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″， ∴A′B+BD′≥2 ，∴A′B+D′B的最小值为2 ，故答案为：2 ． 【点睛】本题考查作图-平移变换，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决 最短问题，属于中考常考题型． 23．（2023·广东·九年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为 BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为 ．【答案】 【分析】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′，则MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形， 推出AM＝MM′可得MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，共线时最短；由于点E也为动点，可得当D′E⊥BC 时最短，此时易求得D′E＝DG＋GE的值； 【详解】解：将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′， 由性质的性质可知：MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形， ∴AM＝MM′，∴MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME， ∴D′M、MM′、ME共线时最短，由于点E也为动点， ∴当D′E⊥BC时最短，此时易求得D′E＝D′G＋GE＝ ∴MA＋MD＋ME的最小值为 ，故答案为： 【点睛】本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加 常用辅助线，构造等边三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 24．（2023下·湖北十堰·九年级统考阶段练习）【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学 家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点 、 、 ，求平面上到这 三个点的距离之和最短的点 的位置，费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图 1，我们可以将 绕点 顺时针旋转60°得到 ，连接 ，可得 为等边三角形，故，由旋转可得 ，因 ，由两点之间线段最短可知， 的最小值与线段 的长度相等． 【解决问题】如图2，在直角三角形 内部有一动点 ， ， ，连接 ， ， ，若 ，求 的最小值 ． 【答案】 【分析】将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，作 交 的延长线于点 ， 首先证明 ，求出 的值即可解决问题． 【详解】解：将 绕点 顺时针旋转 得到 ，连接 ，作 交 的延长线于点 ， 在 中，∵ ， ，∴ ， 由旋转的性质可知： ， 、 是等边三角形，∴ ，∴ ， ∵ ，∴当 共线时， 的值最小， ∵ ， ，∴ ， ∵ ，∴ ， ，∴ ，∴ 的最小值为 ，故答案为： ． 【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股 定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，理由旋转作出正确的辅助线是解本题的关键． 25．（2023·江苏无锡·一模）如图，长方形 中， ， ， 为 上一点，且 ， 为 边上的一个动点，连接 ，将 绕着点 顺时针旋转 到 的位置，连接 和 ，则 的最小值为______． 【答案】 【分析】如图，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 交 于 ．首先证明 ，推出点 在射线 上运动，推出当 时， 的值最小，进一步即得答案． 【详解】解：如图，将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ，连接 交 于 ． ∵四边形 是矩形，∴ ， ， ∵ ，∴ ， 在 和 中， ，∴ （ ）， ∴ ，∴点 在射线 上运动，∴当 时， 的值最小， ∵ ， ， ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴四边形 是矩形， ∴ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 的最小值为 ，故答案为 ． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题 的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 26．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，点H、 G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF则EF的 最大值与最小值的差为__________． 【答案】 【分析】取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N；再证明∠ACD=90°，求出AC=2 、AN= ；然后由三角形中位线定理，可得EF= AG，最后求出AG的最大值和最小值即可． 【详解】解：如图：取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N ∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD= 120°∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=2 ∴AM=DM=DC=2∴△CDM是等边三角形∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC ∴∠MAC=∠MCA=30° ∴∠ACD=90° ∴AC=2 在Rt△ACN中，AC=2 ,∠ACN=∠DAC=30° ∴AN= AC= ∵AE=EH，GF=FH∴EF= AG∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长 ∵AG的最大值为2 ，最小值为 ∴EF的最大值为 ，最小值为∴EF的最大值与最小值的差为 - = ．故答案为 ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度 角性质、垂线段最短等知识，正确添加辅助线和证得∠ACD=90是解答本题的关键． 27．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在 中， ．P为边 上一动点， 作 于点D， 于点E，则 的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接 ，利用勾股定理列式求出 ，判断出四边形 是矩形，根据矩形的对角线相等可得 ，再根据垂线段最短可得 时，线段 的值最小，然后根据直角三角形的面积公式列出 方程求解即可． 【详解】解：如图，连接 ， ∵ ，∴ ， ∵ 于点D， 于点E， ，∴四边形 是矩形，∴ ， 由垂线段最短可得 时，线段 的值最小，此时线段 的值最小，此时， ，代入数据： ， ∴ ，∴ 的最小值为 ，故答案为： ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出 时，线段 的 值最小是解题的关键． 28．（2023·广东·二模）如图，正方形ABCD的边长为10，E为BA延长线上一动点，连接DE，以DE为 边作等边 ，连接AF，则AF的最小值为__________． 【答案】5 【分析】以AD为边作等边三角形 ADH，连接EH，由“SAS”可证 EDH≌△FDA，可得AF＝EH，由垂线 段最短可得当EH⊥AB时，EH有最△小值，即AF有最小值，即可求解△． 【详解】解：如图，以AD为边作等边三角形 ADH，连接EH，∴HD＝AD＝AH＝10，∠HDA＝60°， △ ∵△DEF是等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝60°＝∠HDA，∴∠EDH＝∠FDA， 在 EDH和 FDA中， ，∴△EDH≌△FDA（SAS），∴AF＝EH， △ △ ∴当EH⊥AB时，EH有最小值，即AF有最小值， ∵∠EAH＝90°−∠HAD＝30°，EH⊥AB，∴EH＝ AH＝5，∴AF的最小值为5，故答案为：5． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，含30° 直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．3 29．（2023·福建福州·八年级校考期中）如图，等边三角形ABC中，AB=4，高线AH=2 ，D是线段AH 上一动点，以BD为边向下作等边三角形BDE，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为 线段CM，则线段CM的长为 ，当点D运动到点H，此时线段BE的长为 ． 2 3 2 【答案】 BH =2, D,H 【分析】由“SAS”可得△ABD≌△CBE，推出AD=EC，可得结论，再由勾股定理求解 当 重合 BE=BH =2, 时， 从而可得答案. 【详解】解：如图，连接EC． ∵△ABC，△BDE都是等边三角形， ∴BA=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°， ∴∠ABD=∠CBE， BABC  ABDCBE 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）， ∴AD=EC，  BDBE CM =AH =2 3 ∵点D从点A运动到点H， ∴点E的运动路径的长为 ， 当D,H 重合，而△BDE（即△BHE）为等边三角形，\ BE=BH, QAB=4,AH =2 3,AH ^BC, BH = 42- ( 2 3 )2 =2, BE2, 故答案为： 2 3,2 ．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，动点的轨迹等知识，解题的关键是正确 寻找全等三角形解决问题． 30．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，等边△ABC的边长为6，点D，E分别是边BC，AC的中点， 连接BE．（1）如图①，求点D到线段BE的最短距离； （2）点P，N 分别是BE，BC上的动点，连接PN 、PD． ①如图②，当PNPD的长度取得最小值时，求BP的长度； ②如图③，点Q在BE上，若BQ1，连接QN，求QNNPPD的最小值． 3 【答案】（1） DH  2 ；（2）①当 PNPD 的长度取得最小值时， BP 3 ；② QNNPPD 的最小值为 10 ． 【分析】（1）本题过点D向BE作垂线，继而根据等边三角形性质以及中点性质求解BD，最后利用30°直 角三角形边长比例关系求解DH．（2）①本题通过作点D关于BE的对称点，从而确定点P、N的位置，继 而根据对称性质以及等边三角形性质判定△BDD为等边三角形，最后根据三线合一以及三角函数求解 BP． ②本题分别作点D、Q关于BE、BC的对称点，从而将不同的三线段相加问题转化为同一条直线上线段相加 问题，继而利用等边三角形以及对称性质求解BD，DBQ度数，最后利用勾股定理求解本题． 【详解】（1）过点D作DH BE于点H，如下图图①所示，DH 即为所求．∵△ABC是等边三角形，点D，E分别是边BC，AC的中点， 1 ABECBE ABC30 ∴ ， ． BDCD3 2 1 3 DH  BD 在 中，∵ ， ，∴ ． Rt△BDH BD3 DBH 30 2 2 （2）①作点D关于BE的对称点D�，过点D�作DN BC于点N ，交BE于点P，如下图图②所示： ∵点D，D�关于BE对称，PDPD．∵ DN BC，PNPDDN ，此时PNPD的值最小． 1 3 垂直平分 ， ． ， 是等边三角形．BN  BD ． ∵BE DD BDBD ∵ABC 60 △BDD 2 2 BN 在 中， ，PB  3．当 的长度取得最小值时， ． Rt△PBN PBN 30 cos30 PNPD BP 3 Q BC Q BQ D BE D� QD BE BC ②作 关于 的对称点 ，连接 ，作 关于 的对称点 ，连接 ，分别交 ， 于点P、 N，如下图图③所示： ∵点D，D�关于BE对称，PDPD，BDBD=3． ∵ Q Q BC QN QN BQBQ  QNNPPDQNNPPD 点 ， 关于 对称， ， =1 此时 ．  Q N P D� QNNPPD QD 当点 、 、 、 四点共线时， 取得最小值，最小值为 的长度． 1 ∵等边△ABC，∴根据轴对称的定义可知QBN QBN= ABC 30， 2 ∴ DBQ90 ．在 Rt△DBQ 中， DQ DB2QB2= 3212  10 ． QNNPPD 的最小值为 10 ． 【点睛】本题考查等边三角形与动点的综合问题，难度主要在于辅助线的构造，核心思想是将不在同一条直线上的各线段通过对称性，利用线段等量替换将问题转化到同一条直线，线段和最值另一典型题型为将 军饮马，可对比练习． 31．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边长为10，对角线OB16， 点D是OA的中点，点E、F 是OB上的动点，且EF 2，求四边形ADEF 周长的最小值． 7 85 【答案】 ． 【分析】先确定A，B，D三点坐标，结合图像，将A平行向左移动到A点，使AAEF 2作A关于x轴 的对称点Q，连接DQ交x轴于点E，在x轴正方向上截取EF 2，连接AE，可得四边形AEFA为平行 四边形，当DEAF最小时，即DEEQ最小时，四边形ADEF 的周长最小，由两点之间线段最短可知， 当D、E、Q三点共线时，四边形ADEF 的周长最小，再通过点的坐标及线段长即可求出周长最小值． A8,6 B16,0 D4,3 【详解】解∵菱形OABC的边长是10，对角线OB16，点D是OA的中点， ， ， ． 如解图，将A平行向左移动到 A 点，使 AAEF 2 ，则 A6,6 ，作 A 关于 x 轴的对称点 Q ，则 Q6,6 ， 连接DQ，交x轴于点E，在x轴正方向上截取EF 2，连接AE，则四边形AEFA为平行四边形． AE AF． 易得AEEQ，AF EQ．∵四边形ADEF 的周长为ADDEEFAF，且AD、EF为定值， 当DEAF最小时，即DEEQ最小时，四边形ADEF 的周长最小． 由两点之间线段最短可知，当D、E、Q三点共线时，四边形ADEF 的周长最小． D DH∥y Q QH∥x H H4,6 过点 作 轴，过点 作 轴，交于点 ， ． HQ2 DH 9 DQ 2292  85 ， ． ．AO ∵ AD 2 5， EF 2 ， AFDE AEDEQEDEDQ 85 ， ADEF 7 85 四边形 周长的最小值为 ． 【点睛】本题考查的是四边形周长最小值问题，涉及到知识点有，菱形的性质，平行四边形的性质与判定， 两点之间线段最短等，解题关键在于正确做出辅助线，运用相关定理进行解题． 32．（2023·福建福州·八年级校考期末）定义：若P为△ABC内一点，且满足APBBPCCPA120， 则点P叫做△ABC的费马点． (1)如图1，若点O是高为3的等边△ABC的费马点，则OAOBOC= ； (2)如图2，已知P是等边△ABD外一点，且APB120，请探究线段PA，PB，PD之间的数量关系，并 加以证明；(3)如图3，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，线段CD、 BE交于点P，连接AP，求证：①点P是△ABC的费马点；②PAPBPCCD． 【答案】(1)6(2)PDPBPA，证明见解析(3)①见解析；②见解析 【分析】（1）延长AO交BC于点D，根据费马点的定义可得AOBBOCCOA120，进而根据等 腰三角形的性质得出ADBC，根据含30度角的直角三角形的性质，求得AO2DO2，即可求解； BP Q PQPA AQ △ADP≌△ABQ SAS （2）延长 至 ，使得 ，连接 ，证明 ，根据等边三角形的性质以及全 等三角形的性质，即可得出结论；（3）①作AM CD于M ，AN⊥BE于N 设AB交 CD于O．证明 △ADC≌△ABE（SAS）即可解决问题；②在线段PD上取一点T，使得PT PA，连接AT．证明 △DAT≌△BAP（SAS），推出PDPAPB即可解决问题． 【详解】（1）解：如图所示，将△AOC绕点A逆时针旋转60得到△AOD， ∴△AOO是等边三角形，△ACD是等边三角形，∵点O是高为3的等边△ABC的费马点，∴AOBBOCCOA120， ∴AOBAOO180,AOOAOD180∴B,O,O,D四点共线， ∵AB AD,CBCD∴A,C在BD的垂直平分线上，∴BD AC，∴ABOCBO30， 如图所示，延长AO交BC于点D ∵点O是高为3的等边△ABC的费马点，∴AOBBOCCOA120， 1 1 ∴ ， ∴ ，则 ∴OD BD AD OBDOCB30 DABDAC 30 ADBC OAOBOC 2 2 ∵AD3∴AO2DO2∴AOBOCO6,故答案为：6． PDPBPA BP Q PQPA AQ （2）解： ，理由如下，如图所示，延长 至 ，使得 ，连接 ， APB120 APQ60 PAPQ △APQ QAPQ60 ∵ ，∴ ，又 ，∴ 是等边三角形，∴ ， ∵△ABD是等边三角形，∴DAB60，∴DABBAPPAQBAP，即DAPBAQ， AD AB,AP AQ △ADP≌△ABQ SAS DPBQ PDPBPQPBPA 又 ，∴ ，∴ ，∴ ，即 PDPBPA； （3）①证明：如图，作AM CD于M ，AN⊥BE于N 设AB交 CD于O． QVADB，△ACE都是等边三角形，ADAB，AC  AE，DABCAE 60， DAC BAE △ADC≌△ABE(SAS CDBE S S ADCABE ， )， ， △ADC △ABE， ， 1 1 ∵ AM CD，AN⊥BE， 2 ·CD·AM  2 ·BE·AN，AM  AN，APM APN ， ∵AODPOB，OPBDAO60，APN APM 60， APC BPC APC 120，点P是就是△ABC费马点． ②在线段PD上取一点T，使得PT PA，连接AT． ∵APT 60，PT PA，△APT 是等边三角形，PAT 60，AT  AP， ∵DABTAP60，DAT BAP，∵ AD AB，△DAT≌△BAP(SAS )， PBDT ，PDDT PT PAPB，PAPBPC PDPC CDBE． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，构造等边三角形是解答本题的关键． 33．（2023·江苏扬州·八年级统考期末）背景资料: 在已知△ABC所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小． 这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马 点”． 如图①，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在△ABC内部，此时∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，此时， PA＋PB＋PC的值最小． 解决问题：（1）如图②，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB 的度数．为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋 转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB= ； 基本运用：（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题： 如图③，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E，F为BC上的点，且∠EAF=45°，判断BE，EF，FC之间的数量关 系并证明； 能力提升：（3）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，点P为Rt△ABC的费马点， 连接AP，BP，CP，求PA+PB+PC的值． 7 【答案】（1）150°； （2）E′F2=CE′2+FC2，理由见解析；（3） ． 【详解】试题分析：（1）（2）首先把△ACE绕点A顺时针旋转90°，得到△ACE′．连接E′F，由旋转的性 质得，AE′=AE，CE′=BE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°，然后再证明△EAF≌△E′AF可得E′F=EF，，再 利用勾股定理可得结论；（3）将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据已知证明C、7 O、A′、O′四点共线，在Rt△A′BC中，利用勾股定理求得A′C的长，根据新定义即可得OA+OB+OC = ． 试题解析：（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°， ∴将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°得到△ACP′，如图，连结PP′， ∴AP=AP′=3，∠PAP′=60°，P′C=PB=4，∠APB=∠AP′C， ∴△APP′为等边三角形，∴∠PP′A=60°，PP′=AP=3， 在△PP′C中，∵PP′=3，P′C=4，PC=5，∴PP′2+P′C2=PC2， ∴△PP′C为直角三角形，∠PP′C=90°，∴∠AP′C=∠PP′A+∠PP′C=60°+90°=150°， ∴∠APB=150°，故答案为150°； （2）E′F2=CE′2+FC2，理由如下：如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′， 由旋转的性质得，AE′=AE，CE′=BE，∠CAE′=∠BAE，∠ACE′=∠B，∠EAE′=90°， ∵∠EAF=45°，∴∠E′AF=∠CAE′+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC﹣∠EAF=90°﹣45°=45°，∴∠EAF=∠E′AF， AE AE  EAF EAF 在△EAF和△E′AF中， ，∴△EAF≌△E′AF（SAS），∴E′F=EF，  AF  AF ∵∠CAB=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠E′CF=45°+45°=90°， 由勾股定理得，E′F2=CE′2+FC2，即EF2=BE2+FC2； （3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′， AB2AC2 3 ∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2，∴BC= = ， ∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，∴△A′O′B如图所示；∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°， ∵∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，∴AB=2AC=2，∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B， ∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，∴△BOO′是等边三角形，∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°， ∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°， 2 ∴C、O、A′、O′四点共线，在Rt△A′BC中，A′C= A/B2BC2 = 3 22 = 7， 7 ∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C= ． 【点睛】本题考查旋转、全等三角形的判定与性质等，是一道综合性题目，正确的作出辅助线是解题关键. 34．（2023·福建福州·九年级统考期中）在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点， 2 2 AB= ；（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF； ①把图形补充完整（无需写画法）； ②求EF2的取值范围；(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值． 8EF2 16 2 32 【答案】（1）①补图见解析；② ；（2） 【分析】（1）①根据要求画出图形即可；②首先证明∠ECF＝90°，设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，在 Rt△ECF中，利用勾股定理即可解决问题；（2）如图2中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连 接EG，DF．作FH⊥AD于H．根据两点之间线段最短可得DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，推出AE＋BE＋DE的最 小值为线段DF的长； 【详解】（1）①如图△DCF即为所求； 2 ②∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝2 ，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°， AB2BC2 2 ∴AC＝ ＝ AB＝4，∵△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF， ∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4−x，∴y＝（4−x）2＋x2＝2x2−8x＋160（0＜x≤4）．即y＝2（x−2）2＋8， ∵2＞0，∴x＝2时，y有最小值，最小值为8，当x＝4时，y最大值＝16，∴8≤EF2≤16． （2）如图中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H． 由旋转的性质可知，△AEG是等边三角形，∴AE＝EG， ∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，∴AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长． 1 在Rt△AFH中，∠FAH＝30°，AB＝2 2=AF，∴FH＝2AF＝ 2，AH＝ AF2FH2 ＝ 6，  2 在Rt△DFH中，DF＝ FH2DH2  (2 2 6)2 2 ＝ 2 32 ，∴BE＋AE＋ED的最小值为 2 32 ． 【点睛】本题考查作图−旋转变换，正方形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题关键是学 会构建二次函数解决最值问题，学会用旋转法添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题 型． 35．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在△ABC，AB AC 5，BC 6，求点C 到AB的距离．（2）【问题延伸】如图②，在△ABC，AB AC 10，BC 12．若点M 在边BC上，点 P AM CP P PQAB Q CPPQ 在线段 上，连结 ，过点 作 于 ，则 的最小值为______． ABCD AB2 3 E AD M AB F （3）【问题拓展】如图（3），在矩形 中， ．点 在边 上，点 在边 上，点 在 线段CM 上，连结EF．若BCM 30，则CF2EF的最小值为______．24 48 【答案】（1） ；（2） ；（3） 5 5 4 3 【分析】（1）过点A作ADBC于D，过点C作CH  AB于H，根据等腰三角形的性质可得 1 1 1 BD BC 3，再由勾股定理可得 的长，再由 S  ABCH  BCAD ，即可求解； 2 AD △ABC 2 2 CQ A ADBC D C CH  AB H CPPQ （2）连接 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ．根据题意可得 的最小值等于 CQ的长，再由当CQ AB时，CQ的长最小，可得CPPQ的最小值等于CH 的长，再根据等腰三角形的 1 1 1 性质可得BD BC 3，再由勾股定理可得 的长，再由 S  ABCH  BCAD ，即可求解； 2 AD △ABC 2 2 （3）过点F作FH BC于点H，连接EH ，过点E作EGBC于点G，根据直角三角形的性质可得在 CF2EF 2FH 2EF 2FH EF2EH CF 2FH CF2EF 2EH ，从而得到 ，继而得到 的最小值等于 ， 再由当EH BC时，EH 的长最小，即2EH 的长最小，可得CF2EF的最小值等于2EG，即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点A作ADBC于D，过点C作CH  AB于H． 1 1 BD BC  63 ∵ AB AC ，∴ 2 2 ．在 Rt△ABD 中， AD AB2BD2  5232 4 ． 1 1 BCAD 64 24 24 ∵ S  ABCH  BCAD ，∴CH    ．∴点 到 的距离为 ． △ABC 2 2 AB 5 5 C AB 5 CQ A ADBC D C CH  AB H （2）如图，连接 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ． ∵CPPQCQ，∴CPPQ的最小值等于CQ的长，CQ AB CQ CPPQ CH ∵当 时， 的长最小，此时点Q与点H重合，∴ 的最小值等于 的长， 1 1 BD BC  126 ∵ AB AC ，∴ 2 2 ．在 Rt△ABD 中， AD AB2BD2  10262 8 ． 1 1 BCAD 128 48 48 ∵S  ABCH  BCAD，∴CH    ．即 的最小值为 ；故答案为： △ABC 2 2 AB 10 5 CPPQ 5 48 5 （3）如图，过点F作FH BC于点H，连接EH ，过点E作EGBC于点G， 在Rt△CFH 中，BCM 30，∴CF 2FH ， CF2EF 2FH 2EF 2FH EF2EH CF2EF 2EH ∴ ，∴ 的最小值等于 ， ∵当EH BC时，EH 的长最小，即2EH 的长最小，此时点H与点G重合， ∴CF2EF的最小值等于2EG，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC,ABBC， EG AB2 3 2EG4 3 CF2EF 4 3 ∴ ，∴ ，即 的最小值等于 ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰 三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 36．（2023·河南周口·校考三模）【问题背景】数学活动小组在学习《确定圆的条件》时，曾遇到这样一 个问题：如图1，草原上有三个放牧点，要修建一个牧民定居点，使得定居点到三个放牧点的距离相等， 那么如何确定定居点的位置？ （1）请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出定居点O的位置，使点O到点A，B，C的距离相等．（不写 作法，保留作图痕迹）【问题探索】聪明的小智在解决这个问题之后，继续提出新的问题，如图3，在平面内是否存在一点P， 使点P到△ABC三个顶点的距离之和最小？ 通过不断探究，小智发现可以借助旋转的思想解决这个问题，如图4，把△APC绕点A逆时针旋转60， 得到△APC，连接PP，可知△APP为等边三角形，因此PAPBPC PPPBPC，由两点之间， 线段最短，可知PAPBPC的最小值即为点B，P，P，C共线时线段BC的长． （2）【类比探究】如图5，在Rt△ABC中，ACB90，AC 1，ABC 30，点P为△ABC内一点，连 接AP，BP，CP，求PAPBPC的最小值． （3）【实际应用】如图6，现要在矩形公园ABCD内，选择一点P，从点P铺设三条输水管道 PB，PC，PE，要求PEAD．若AB4，BC 6，请直接写出输水管道长度的最小值．PAPBPC 7 PBPCPE 3 34 【答案】（1）见解析；（2） 的最小值为 ；（3） 的最小值为 ． 【分析】（1）作边AB和AC的垂直平分线，交点O即可为所作； （2）将△APB绕点B顺时针旋转60至△APB处，连接PP，证△PBP是等边三角形，得 PBPP，PPBPPB60，再证C、P、P、A四点共线，然后证ABC 90，即可解决问题； （3）将△BPC绕点B顺时针旋转60至△BPC处，连接PP，CC，E、P、P、C在同一直线上时， PBPCPEPPPCPE，当CE AD时，PBPCPE的最小值为CE的长，据此即可求解． 【详解】解：（1）点O的位置如图所示， （2）将△APB绕点B顺时针旋转60至△APB处，连接PP，如图所示： 则ABPABP，APBAPB，PBP60，PAPA，PBPB，AB AB， ∴△PBP是等边三角形，∴PBPP，PPBPPB60， 由【问题探索】知点PAPBPC的最小值即为点C、P、P、A共线时线段CA的长， ∴APC BPC BPA120，∴APBBPC 120， ∵PPBPPB60，∴C、P、P、A四点共线， ∵ACB90，ABC 30，AC 1，∴AB2AC 2，∴AB2， Rt△ABC BC AB2AC2  2212  3 在 中，由勾股定理得： ， ∵ABC 30，∴ABC ABPCBPPBPABPCBPPBP ABCPBP306090，  2 在 中，由勾股定理得：AC  AB2CB2  22 3  7，∴ 的最小值为 ； Rt△ABC PAPBPC 7（3）将△BPC绕点B顺时针旋转60至△BPC处，连接PP，CC， ∴△PBP、△BCC是等边三角形，∴PCPC，PBPP， ∴E、P、P、C在同一直线上时，PBPCPEPPPCPE， 当CE AD时，PBPCPE的最小值为CE的长，记CE与BC交于点H，则CH BC，∴ BH CH 3， CH  6232 3 3 CE3 34 PBPCPE 3 34 ∴ ，∴ ，∴ 的最小值为 ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30角直角三角形的性 质、全等三角形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角 形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 37．（2023下·四川成都·八年级统考期末）【阅读理解】 xOy 在平面直角坐标系 中，已知点R，S为平面内不重合的两点．给出如下定义：将点R绕点S顺时针旋转 90度得到点R，点R关于y轴的对称点为R，则称点R为点R关于点S的“旋对点”． 【迁移应用】 xOy yx4 如图，在平面直角坐标系 中，直线 与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．平面内有一点 M5,1 ．M yx4 (1)请在图中画出点M关于点O的“旋对点” ，并直接写出点M的坐标；(2)点Q为直线 上一 动点． Q QQ ①若点Q关于点M的“旋对点”为点 ，试探究直线 经过某一定点，并求出该定点的坐标； QQ QM NH 2NH QH ②在①的条件下，设直线 所经过的定点为H，取 的中点N，连接 ，求 的最小值． M1,5 1,0 2NH QH 157 【答案】(1)画图见解析， (2)① ；② 的最小值为 ． 【分析】（1）根据新定义的含义结合网格特点逐步画图即可，再根据点M的位置可得其坐标； Qm,m4 Q x M y G （2）①如图，设 ，过 作 轴的平行线，过 作 轴的平行线，两直线交于点 ，则 G90 QQ GM H H 90 △MGQ≌△QHM M5,1 GQMH m5 ，延长 与 交于点 ，则 ， ，而 ， ， GM HQm3 Qm2,m4 Q2m,m4 ， ，结合新定义可得； ，从而可得答案；②证明 yx6 Q yx6 NQ QH H1,0 yx6 ，即 在直线 上运动，如图，连接 ， ，作 关于直线 的对称点 H Q''HQ''H N,H QM,QQ QH Q''H,MQ'' 2NH M,Q,H ，则 ，由 分别为 的中点，则 ，当 三点共线 2NH QH MQQHMH yx6 x K K6,0 y 时， ，此时最小；记 与 轴的交点为 ，则 ，直线与 轴 0,6 HK △HTK,△HTK,△HHK KH 615 的交点坐标为 ，连接 ， 都是等腰直角三角形，而 ，则H6,5 ，再利用勾股定理可得答案． M1,5 M 【详解】（1）解：如图， 即为所求，∴ ； yx4 （2）①如图，∵点Q为直线 上一动点． Qm,m4 Q x M y G 设 ，过 作 轴的平行线，过 作 轴的平行线，两直线交于点 ， 则G90，延长QQ与GM 交于点H，则H 90， ∴GH QMQ90，∴GMQGQM 90GMQHMQ，∴GQM HMQ， MQMQ △MGQ≌△QHM M5,1 GQMH m5 GM HQm3 ∵ ，∴ ，而 ，∴ ， ， Qm2,m4 Q2m,m4 Qm,m4 ∴ ，结合新定义可得； ，而 ， QQ 1,0 QQ 1,0 ∴ 的中点坐标为： ，∴直线 经过定点 ； x2m  ②∵Q2m,m4 ，∴ym4，∴yx6，即Q在直线yx6上运动， NQ QH H1,0 yx6 H Q''HQ''H 如图，连接 ， ，作 关于直线 的对称点 ，则 ，N,H QM,QQ QH Q''H,MQ'' 2NH 由 分别为 的中点，则 ， ∴当M,Q,H三点共线时，2NH QH MQQHMH，此时最小； yx6 x K K6,0 y 0,6 HK 记 与 轴的交点为 ，则 ，直线与 轴的交点坐标为 ，连接 ， ∴△HTK,△HTK,△HHK都是等腰直角三角形，而KH 615， ∴H6,5 ，∴ MH 562152  157 ．即2NH QH 的最小值为 157 ． 【点睛】本题考查的是一次函数的几何应用，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，等腰直角三 角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，理解题意，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 38．（2023.广东九年级月考）几何模型： 条件：如图1，A，B是直线l同旁的两个顶点． 问题：在直线l上确定一点P，使PAPB的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A，连接AB交l于点P，则PAPB  AB的值最小（不必证明）． 模型应用： A0，1 B2，1 (1)如图 2 ，已知平面直角坐标系中两定点 和 ，P为 x 轴上一动点，则当 PAPB 的值最小 时，点P的横坐标是______，此时PAPB______． (2)如图3，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD，由正方形对称性可 知，B与D关于直线AC对称，则PBPE的最小值是______．(3)如图4，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有 一动点P，则PDPE的最小值为______． (4)如图5，在菱形ABCD中，AB8，B=60，点G是边CD边的中点，点E，F 分别是AG，AD上的 两个动点，则EFED的最小值是______． 1 2 2 5 2 3 4 3 【答案】(1) ； (2) (3) (4) 【分析】（1）取点A关于x轴对称的点A，连接AB，交x轴于点P，作BH x轴于H，则此时PAPB 的值最小，根据点的坐标，得出OAOA1，BH 1，OH 2，进而得出AAOAOA2， OABH 1，再根据“角角边”，得出△AOP≌△BHP，再根据全等三角形的性质，得出 1 OPHP OH 1，进而得出点 的横坐标，再根据平行线间的距离相等，得出 ，再根据勾 2 P ABOH 2 股定理，计算即可得出答案； （2）根据对称性和线段最短，得出PBPE的最小值是DE的长，再根据中点的定义，得出AE1，再根 据勾股定理，计算出DE 5，进而即可得出PBPE的最小值； （3）设BE与AC交于点P，连接BD，BP，根据对称性，得出PDPB，再根据线段最短，得出当点P 运动至点P时，PDPE的最小值，此时最小值为BE的长，再根据正方形的面积，结合算术平方根的定 AB2 3 BE  AB2 3 PDPE 义，得出 ，再根据等边三角形的性质，得出 ，进而得出 的最小值； （4）作DH  AC垂足为H与AG交于点E，根据菱形的性质，得出AB ADCDBC 8， ADC B60，再根据等边三角形的判定定理，得出△ADC是等边三角形，再根据三线合一的性质， 得出GADGAC，再根据线段最短，得出点H关于AG的对称点F 在AD上，此时EFED的最小， 1 CDH  ADC 30 最小值为 的长，再根据三线合一的性质，得出 ，再根据含 角的直角三角形 DH 2 30 1 的性质，得出CH  DC 4，再根据勾股定理，计算得出DH 4 3，进而即可得出答案． 2 【详解】（1）解：如图，取点A关于x轴对称的点A，连接AB，交x轴于点P，作BH x轴于H，A0，1 B2，1 PAPB OAOA1 BH 1 OH 2 则此时 的值最小，∵ 和 ，∴ ， ， ， ∴AAOAOA2，OABH 1，∵OPAHPB，AOPBHP90， 1 ∴△AOP≌△BHPAAS，∴OPHP 2 OH 1，∴点 P 的横坐标为 1 ， BH x BH∥AA ABOH 2 PAPB AB 2222 2 2 ∵ 轴，∴ ，∴ ，∴ ， PAPB P 1 PAPB2 2 1 2 2 ∴当 的值最小时，点 的横坐标是 ，此时 ；故答案为： ； ； （2）解：∵点B与D关于直线AC对称，∴PBPE的最小值是DE的长， ∵正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，∴AE1， Rt△ADE DE AD2AE2  1222  5 PBPE 5 5 在 中， ，∴ 的最小值是 ；故答案为： ； （3）解：如图，设BE与AC交于点P，连接BD，BP， ∵点B与D关于直线AC对称，∴PDPB， ∴当点P运动至点P时，PDPE的最小值，此时最小值为BE的长， ABCD 12 AB2 3 △ABE BE  AB2 3 ∵正方形 的面积为 ，∴ ，又∵ 是等边三角形，∴ ， PDPE 2 3 2 3 ∴ 的最小值为 ；故答案为： ； （4）解：如图，作DH  AC垂足为H与AG交于点E，∵四边形ABCD是菱形，∴AB ADCDBC 8， ∵B=60，∴ADC B60，∴△ADC是等边三角形，∵AG是中线，∴GADGAC， ∴点H关于AG的对称点F 在AD上，此时EFED的最小，最小值为DH 的长， 1 在 中，∵ ， ，CDH  ADC 30， Rt△DHC DHC 90 DC 8 2 1 ∴ CH  DC 4 ，∴ ，∴ 的最小值是 ．故答案为： ． 2 DH  CD2CH2 4 3 EFED 4 3 4 3 【点睛】本题考查了坐标与图形、轴对称—最短路径问题、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、菱 形的性质、等边三角形的判定与性质、含30角的直角三角形的性质，熟练掌握轴对称—最短路径的确定 方法、并灵活运用勾股定理是解本题的关键． x19 39．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）（1） 的最小值为________； x29 16x281 （2）课堂上，老师提问：求 的最小值．聪明的小明结合将军饮马和勾股定理的相 关知识，利用构图法解出了此题，他的做法如下： ①如图，作一条长为16的线段CD；②过C在线段CD上方作线段CD的垂线AC，便AC3；过D在线段 CD下方作线段CD的垂线BD，使BD9；③在线段CD上任取一点O，设COx； ④根据勾股定理计算可得，AO________，BO________（请用含x的代数式表示，不需要化简）； ⑤则AOBO的最小值即为所求代数式的最小值，最小值为________． x2225 x829 （3）请结合第（2）问，直接写出 的最小值________． 9x2 16x281 【答案】（1）9；（2）④ ， ；（3）10． 【分析】（1）利用的算术平方根的非负性即可求解； （2）④利用勾股定理建立等式即可；⑤连接AB，交CD于O,根据两点间距离最短，此时AOBO取得最 小值，延长AC于A，使得AC BD9，再利用勾股定理求解； （3）直接仿照（2）中得解题思路画图，利用数形结合的思想求解． x10 x19 【详解】解：（1）解：当 时， 取的最小值为9，故答案为：9； （2）解：④ AO AC2CO2  9x2 ， BO OD2BD2  16x281 ， 9x2 16x281 故答案为： ， ； ⑤连接AB，交CD于O ,根据两点间距离最短，此时AOBO取得最小值，延长AC于A，使得AC BD9，如下图： AB AA2AB2  392162 20 ，AOBO20为最小值，故答案为：20； （3）解：结合第（2）的解题方法，如下图： 设点O表示x，AC 5,BD3，则 x2225 x829 表示为OAOB的值，由（2）中得方法知 x2225 x829 532822 10 的最小值为： ，故答案为：10． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是读懂第（2）问中得解题方法，再利用方法求解． 40．（2023·吉林长春·校考二模）数学兴趣活动课上，小致将等腰△ABC的底边BC与直线l重合． △ABC AB AC 4,BAC 120 P BC l （1）如图(1)，在 中， ，点 在边 所在的直线 上移动，根据“直线外 一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”，小致发现AP的最小值是____________． （2）为进一步运用该结论，在（1）的条件下，小致发现，当AP最短时，如图(2)，在△ABP中，作AD平 分BAP,交BP于点D,点E、F分别是边AD、AP上的动点，连结PE、EF,小致尝试探索PEEF的最小 值，小致在AB上截取AN,使得AN  AF,连结NE,易证VAEF≌VAEN ，从而将PEEF转化为PEEN, 转化到（1）的情况，则PEEF的最小值为 ； △ABC ACB90,B30o,AC 6 D CB AD, （3）解决问题：如图(3)，在 中， ，点 是边 上的动点，连结 将线段AD绕点A顺时针旋转60，得到线段AP,连结CP，求线段CP的最小值．3 【答案】（1）2；（2） ；（3）3． PEEF PEEN, 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求解即可；（2）根据小致的思路，把将 转化为 即 P，E，N三点共线且PN  AB时PEEF的值最小；（3）在AB上取一点K，使得AK AC，连接CK ， DK．由△PAC≌△DAK ，推出PCDK，易知KDBC时，KD的值最小，求出KD的最小值即可解决问题． 【详解】（1）如图，过点A作APBC，此时AP的值最小． 1 ∵ AB AC 4,BAC 120 ， ABC 30 ，AP 2 AB2，故答案为：2． （2）根据小致的思路作出图形，可知当PN  AB时PEEF的值最小，如图： 1 1 1 ∵ ，AP AB2，∴ ，∵ BPAP  ABPN ，∴ ，故答案为： ． ABC 30 2 BP2 3 2 2 PN  3 3 （3）如图3中，在AB上取一点K，使得AK AC，连接CK ，DK． ∵ACB90，B30，CAK 60，PADCAK ，PACDAK， ∵PADA，CAKA，△PAC≌△DAK(SAS)，PCDK， ∵KDBC时，KD的值最小，最小值为3，PC的最小值为3． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质等 知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．