文档内容
数学思维训练导引三年级（带答案）
第一讲 四则运算一..............................................................................................................................................................1
第二讲 基本应用题................................................................................................................................................................5
第三讲 和差倍问题一..........................................................................................................................................................8
第四讲 枚举法一..................................................................................................................................................................11
第五讲 找规律....................................................................................................................................................................15
第六讲 简单加减法竖式......................................................................................................................................................22
第七讲 周期问题..................................................................................................................................................................30
第八讲 智巧趣题一..............................................................................................................................................................35
第九讲 四则运算二..............................................................................................................................................................45
第十讲 和差倍问题二..........................................................................................................................................................48
第十一讲 鸡兔同笼问题一..................................................................................................................................................51
第十二讲 枚举法二..............................................................................................................................................................54
第十三讲 等差数列．........................................................................................................................................................58
第十四讲几何图形的认知．................................................................................................................................................62
第十五讲盈亏问题一............................................................................................................................................................70
第十六讲智巧趣题二............................................................................................................................................................74
第十七讲四则运算三............................................................................................................................................................80
第十八讲简单乘除法竖式....................................................................................................................................................83
第十九讲鸡兔同笼问题二....................................................................................................................................................89
第二十讲算符与数字............................................................................................................................................................92
第二十一讲间隔与阵列........................................................................................................................................................96
第二十二讲长度与角度的计算..........................................................................................................................................100
第二十三讲盈亏问题二......................................................................................................................................................107
Page 1 of 107第一讲 四则运算一
内容概述
学习加减法运算中的各种计算技巧，例如凑整、带着符号搬家、加减相消、数的分拆和合并等等；掌握加减
法运算中添、去括号的法则，并借此简化运算。
兴趣篇
1. 计算：（1）15+21+25+19
（2）70+63+81+37+30+19
分析：（1）80 （2）300
2. 计算：（1）17+19+234+21+183+26
（2）（1+11+21+31）+（9+19+29+39）
分析：（1）500 （2）160
3. 计算:（1）35+121-35-21
(2)152-19-13+19+223-32
分析：（1）100 （330）
4. 计算：（1）25-（25-14）-（14-7）
（2）57-（50-28）+（44-28）-（57-26）
分析：（1）7 （2）20
5. 计算：（1）199+99+9
（2）9+98+397+247
分析：（1）307 （2）751
6. 计算：（1）321-199
（2）456-197-98
分析：（1）122 （2）161
7. 请大家先不要动笔，看能不能把下面的题目直接口算出来：
（1）2580-2547；（2）1596-1296；（3）365+97；（4）365-97
分析：（1）33 （2）300 （3）462 （4）268
8. 计算：（1）150-85-15
（2）1450-375-203-625
分析：（1）50 （2）247
9. 计算：（1）38+83-55
（2）（235+523+352）-（111+333+555）
分析：（1）66 （2）111
Page 2 of 10710.计算：（1）11-10+9-8+7-6+5-4+3-2+1
（2）100+102-104+106-108+110-112+114-116+118
分析：（1）6 （2）210
拓展篇
1. 计算：（1）51+62+49+38
（2）64+127+129+23+71+136
分析：（1）200 （2）550
2. 计算：（1）2+13+224+3330+6670+676+87+8
（2）73+119+231+69+381+17
分析：（1）11010 （2）890
3. 计算：（1）82-29-22+259
（2）375-138+247-175+139-237
分析：（1）290 （2）211
4. 计算：（1）162-（162-135）-（35-19）
（2）163-（50-18）-（153-76）+（124-18）
分析：（1）119； （2）160
5. 计算：（1）999+599+199
（2）3996+449+98+9
分析：（1）1797 （2）4552
6. 计算：（1）1365-598
(2)1206-199-297-398
分析：（1）767 （2）312
7. 请大家先不要动笔，看能不能把下面的题目直接口算出来：
（1）93570-93534 （2）45235-38235 （3）465+197 （4）465-197
分析：（1）36； （2）7000； （3）662； （4）268
8. 计算：（1）280-24-76-65-35
（2）267-162+84-38-147+116
分析：（1）80； （2）120
9. 计算：（1）267-136+36-167
（2）325-251-34+151-66
分析：（1）0； （2）125
10.（1）在加法算式中，如果一个加数增加10，另一个加数减少5，两数的和如何变化？
（2）在减法算式中，如果被减数增加15，差减少8，那么减数应如何变化？
分析：（1）增加5； （2）增加23
Page 3 of 10711.计算：（1）246+462+624-888
（2）125-24+251-240+512-402
分析：（1）444； （2）222
12.计算：（1）21-20+19-18+17-16+15-14+13-12+11
（2）12+23-34+45-56+67-78+89-78+67-56+45-34+23+12
分析：（1）16； （2）47
超越篇
1. 计算下面4个算式：
1+2+1，
1+2+3+2+1，
1+2+3+4+3+2+1，
1+2+3+4+5+4+3+2+1.
观察这4个算式的结果，并找出规律，再用这个规律求出下面算式的结果：
1+2+3+4+…+19+20+19+…+4+3+2+1.
分析：400
2. 计算：364-（476-187）+213-（324-236）-150
分析：50
3. 如图，教室有4个书柜，每个书柜里都有4格数，图中标明了每格内书的册数。一天，老师问小悦和冬冬：
“不许用加法计算，你们马上回答，这4个书柜里，哪一个书柜里的书多一些？”两个人看了看书柜上标出
的数，想了想齐声说：“4个书柜里的书同样多！”老师高兴地说：“完全正确！”请你说一说他们是怎样
想的？
分析：分别观察每个书柜中书的本数，每组中四个两位数的个位都是1、2、5、6；十位都是3、4、7、8分别对十位
和个位求和，会得到同样的结果。
4. 计算：3355+4466+9977-3366-4477-9955
分析：0
5. 已知1234+2345+3456+4567+5678-6543-5432-4321的计算结果是984.请问：1244+2355+3466+4577+5688-
6513-5412-4211的计算结果是多少？
分析：1094
6. 如图，除第一行外，每个圆圈中的数都等于它上面两个圆圈中数的和，请计算最下面的圆圈中应填的数。
Page 4 of 107分析：4000
7. 如图，老师将9个数写在一个九宫格里，让同学们选数，每个同学可以从中选5个数来求和。小悦选的5个数
的和是120，冬冬选的5个数的和是111.如果两人选的数中只有一个是一样的，这个数是多少？
分析：33
8. 计算：8457-（7630-4578）+（7845-3076）-（6307-5784）-763
分析：8888
第二讲 基本应用题
内容概述
培养应用题的身体能力与分析能力。涉及的类型包括只需逐次应用已知条件求解的问题，简单和差与倍数
关系的问题，归一问题等。初步掌握等量代换的思想，以及简单的设数法。
兴趣篇
1. 班主任老师给同学们排座位，每排都恰好有3名男生和4名女生。如果女孩说呢过一共有32名，那么男生一
共有多少名？
分析：24名
2. 某班30名学生外出郊游，集体午餐时，规定：每人一碗饭，每2人一碗汤，每3人一碗菜。这些学生一共需要
使用多少个碗？
分析：55个
3. 甲仓库有大米2000千克，乙仓库有大米1000千克，如果以每天100千克的速度将甲仓库的大米运到乙仓库，
那么多少天后甲仓库的大米和乙仓库的一样多？
分析：5天
4. 冬冬在看一本总页数为150页的书，在第二周结束时他发现自己还没有看的页数正好等于他第一周看的页
Page 5 of 107数。已知冬冬在第二周看了24页，他在第一周看了多少页书？
分析：63页
5. 如果1个桃子能换4个苹果，2个苹果能换3个梨，那么2个桃子能换多少个梨？
分析：12个
6. 如果买1把尺子的钱恰好可以买1块橡皮和2支铅笔，买1支铅笔的钱恰好可以买2块橡皮，那么买4把尺
子的钱可以买几支铅笔？
分析：10支
7. 冬冬4个小时完成了24道题目，按照这样的速度，他7个小时可以完成多少道题目？如果要完成96道题目
需要多长时间？
分析：42道；16小时
8. 某部队的一个连有3个排，每个排有4个班，每个班有5个人。这个连一顿饭吃了120个馒头，而且每个人吃
的馒头一样多。请问：每个班吃了几个馒头？每个人吃了几个馒头？
分析：10个；2个
9. 3只老鼠5天偷吃了30个玉米。按照这样的速度，4只老鼠7天能偷吃多少个玉米？10只老鼠药偷吃80个
玉米，需要多少天？
分析：56个；4天
10.海洋馆里有8只海象，总共运来170千克鱼给它们吃。前两天8只海象共吃了80千克鱼，两天后把其中的2
只海象运走。剩下的鱼还可以让余下的海象吃几天？
分析：3天
拓展篇
1. 刺猬和松鼠共采了88个坚果。刺猬采了8天，每天能采2个，松鼠采了9天，松鼠每天能采几个？
分析：8个
2. 冬冬看一本漫画册，每天看同样多的页数，原计划5天看完。现在他每天比原计划多看2页，结果提前一天
看完。这本漫画册共有多少页？
分析：40页
3. 甲、乙、丙、丁四个小学生站成一横排，它们手中共拿着35枝花。已知站在甲右边的学生共拿着16枝花，站
在丙右边的学生共拿着4枝花，站在丁右边的学生共拿着25枝花。请问：手中花最多的人拿着多少枝花？
分析：12枝
4. 有黑、白两种棋子共300枚，按每堆3枚分成100堆。其中只有1枚白子的共27堆，有2枚或3枚黑子的共
42堆，有3枚白子的与有3枚黑子的堆数相等。在全部棋子中，白子共有多少枚？
分析：158枚
5. 如果1只小狗的重量等于3只小猫的重量，1只小猫的重量等于2只鸭子的重量，那么24只鸭子的重量等于
多少只小狗的重量？
分析：4只
Page 6 of 1076. 师傅和两个徒弟一起组装零件，师傅组装3个零件与大徒弟组装2个零件所用的时间相同。而大徒弟组装3
个零件与小徒弟组装1个零件所用的时间相同。请问：小徒弟组装4个零件的时间师傅能组装几个零件？
分析：18个
7. 冬冬和阿奇一起都文具店买东西，两人一共带了22元钱。阿奇用他带的钱买了8个作文本，冬冬和他带的钱
买了6个单线本，他们的钱都刚好花完。已知买1个作文本的钱恰好可以买2个单线本，冬冬和阿奇分别带
了多少钱？如果阿奇改买单线本，冬冬改买作文本，那么两人一共能买到多少个本子？
分析：冬冬6元，阿奇16元；19个
8. 汽车厂8名工人每天生产汽车零件48个。按照这样的速度，10名工人3天能生产多少个零件？如果要用5
天的时间生产出300个零件，需要多少名工人？
分析：180个；10名
9. 若干盏相同的电灯点亮5小时要用40度电。如果把其中一半的电灯关掉，那么120度电可以用多少小时？
分析：30小时
10.一艘远洋轮船上共有30名海员，船上的淡水可供全体船员用40天。轮船离港10天后在公海上又救起15名
遇难的外国海员。假如每人每天使用的淡水同样多，剩下的淡水可供船上的人再用多少天？
分析：20天
11.3只猴子3天吃了3个桃子。按照这样的速度，6只猴子6天吃了几个桃子？9只猴子要吃9个桃子，需要多
少天？
分析：12个； 3天
12.9个人6天可以完成12件作品，按照这样的速度，3个人3天可以完成多少件作品？21个人12天可以完成
多少件作品？
分析：12件；56件
超越篇
1. 甲、乙、丙、丁、戊这五名同学站成一排。已知丙在戊邮编米处，丁在甲右边3米处，丙在乙左边3米处。请问：
最走遍和最右边的同学相距多少米？
分析：10米
2. 某单位举办迎春茶话会，买来4箱同样重的苹果，从每箱取出10千克后，各箱所剩的苹果重量之和，恰好等
于原来3箱苹果的重量。原来每箱苹果重多少千克？
分析：40千克
3. 小悦、冬冬和阿奇三人吃了饺子，冬冬吃了200克，阿奇吃了200克，小悦吃了150克。原来说好由每人自己
付钱，可是阿奇没带钱。结果付款时小悦付了12元钱，冬冬付了10元钱。问：阿奇应该还给小悦多少元钱？
还给冬冬多少元钱？
分析：6元；2元
4. 小强要清点盒子中的画片，他叫来小红帮忙，两人同时开始数。小强比小红动作快，小强数5张的时间小红
只能数3张，但小强数到第30张时忘了数到几，只好把数过的画片全部放回盒中，再从头开始数。当小强数
到第120张时，盒子里恰好剩下2张画片。盒子里原来有多少张画片？
Page 7 of 107分析：212张
5. 老李准备去批发市场以6元3千克的价格买进一些柚子，然后以5元2千克的价格卖出。如果要获利180元，
老李需要买进多少千克柚子？
分析：360千克
6. 6辆卡车运送4趟可以运走沙石32吨。如果又开来12辆卡车，5趟可以运送沙石多少吨？如果有400吨沙
石需要10趟运完，那么一共需要多少辆卡车？
分析：120吨；30辆
7. 已知3名模范职工和6名普通职工8小时可以生产零件420个。现在又一批生产任务，需要6名模范职工和
12名普通职工生产14小时才能完成。如果工作了4小时后，又来了4名模范职工和8名普通职工，可以提前
几小时完成任务？
分析：4小时
8. 阿凡提问卖水果的商人：“你卖的苹果饿梨都是一样重的吗？”商人说：“一个苹果和一个梨的重量不同，
但是每个苹果的重量都相同每个梨的重量也相同。”阿凡提又问：“价格怎样？”商人想考考他，说道：
“一个苹果和一个梨价格相同，而且4千克苹果加上2个梨的价钱与3千克梨加上4个苹果的价钱相同，2
千克苹果加上2个梨的价钱与2千克梨的价钱也相同。”请问：1千克梨有多少个？1千克苹果有多少个？
分析：6个；5个
第三讲 和差倍问题一
内容概述
掌握基本和倍、差倍、和差问题的解法，进而学会处理简单的多个量之间的和差倍问题。重点学习如何利用
线段图表示数量关系。
兴趣篇
1. 小悦和冬冬参加学校组织的植树活动。两人一共种了12棵树，其中冬冬植树的棵数十小悦的2倍。冬冬一共
种了几棵树？
分析：8棵
2. 甲、乙两堆货物一共有160件，已知甲堆货物比乙堆的3倍还多40件。甲、乙两堆各有多少件货物？
分析：甲堆130件；乙堆30件
3. 书架上放着一些童话小说和科幻小说，一共有47本。童话小说的数量比科幻小说数量的4倍少3本。书架上
放着多少本科幻小说？
分析：10本
4. 小陈为找工作准备了中、英文两份简历。中文简历的字数是英文简历单词数的3倍，而且中文简历字数比英
Page 8 of 107文简历单词数多220.请问：中文简历的字数是多少？
分析：330个
5. 小悦和阿奇在操场上练习跑步。一段时间过后，阿奇跑的距离比小悦跑的3倍还多80米。如果小悦比阿奇少
跑了500米，那么小悦和阿奇一共跑了多少米？
分析：920米
6. 原先《花城日报》和《鹏城晚报》有同样数目的版面。后来《花城日报》扩充版面，增加了10版，这样《花城日
报》的版面比《鹏城晚报》的4倍少2版。两种报纸现在各有多少版？
分析：《鹏城晚报》4版；《花城日报》14版
7. 冬冬在玩具店看重了两件汽车模型。如果两件都买，一共需要400元。已知这两件模型相差60元，这两件模
型各要多少元钱？
分析：230元；170元
8. 甲、乙两位火炬手负责把火炬从A地传递到B地。先由甲从A地出发，并在途中将火炬传递给乙；乙接过火炬
后继续慢跑前往B地。已知A、B两地相距2400米，并且甲比乙多跑了600米。请问：甲跑了多少米？
分析：1500米
9. 育才小学三年级有3个班，一共有学生126人。如果一班比二班多4人，二班比三班多4人，那么这三个班分
别有多少人？
分析：一班46人，二班42人，三班38人.
10.三堆糖果共有105颗，其中第一堆糖果的数量是第二堆的3倍，而第三堆糖果的数量又比第二堆的2倍少3
颗。第三堆糖果有多少颗？
分析：33颗
拓展篇
1. 纺织厂有职工480人，其中女职工人数是男职工人数的3倍。请问：男、女职工各有几人？
分析：男职工120人，女职工360人
2. 某交通协管员七月份开出78张罚单。这些罚单分为两种：一种是违章停车，另一种是闯红灯。违章停车的罚
单较多，比闯红灯罚单数量的4倍还多4张。违章停车的罚单有多少张？
分析：63张
3. 果园中梨树和苹果树共有67棵，梨树比苹果数的2倍少2棵，苹果树有多少棵？
分析：23棵
4. 动物园里有5座猴山，其中3座住着金丝猴，2座住着猕猴。这5座猴山上猴子的数量分别为：10、15、30、35、
70.已知金丝猴的总数是猕猴的3倍，问：哪两座山上住着猕猴？
分析：有10只和30只猴子的山上住着猕猴
5. 学校合唱团成员中，女生人数是男生的3倍，而且女生比男生多80人。合唱团里男生和女生各有多少人？
分析：男生40人 ，女生120人
6. 有两款数码相机，一款是高档专业相机，一款是普通家用相机。家用相机价格较低，比专业相机便宜了4600
Page 9 of 107元。买1台专业相机的钱足够买4台家用相机，而且还能剩下100元。请问：专业相机的价格是多少钱？
分析：6100元
7. 甲、乙两筐苹果重量相等。现在西欧那个甲筐拿出12千克苹果放入乙筐，结果乙筐苹果的重量就比甲筐的3
倍少2千克。两筐苹果原来各有多少千克？
分析：各25千克
8. 亚洲杯决赛中，中国记者的人数是外国记者人数的3倍。比赛结束后中国记者又180人离场，外国记者又40
人离场，剩下的中、外记者人数相等。原来中、外记者各有多少人？
分析：外国记者70人，中国记者210人
9. 张先生投资股票，2006年和2007年一共盈利40万元，其中2006年比2007年少盈利14万元。张先生2007
年盈利多少万元？
分析：27万吨
10.登月行动地面控制室的成员由两组专家组成，两组共有专家125名。原来第一组人数较多，所以从第一组调
了20名到第二组，即使这样第一组人数仍比第二组多5名，原来第一组有多少名专家？
分析：85名
11.甲、乙、丙三个粮仓一共存有109吨粮食。其中甲粮仓的粮食总量比乙粮仓的3倍多1吨，而乙粮仓的粮食总
量则是丙粮仓的2倍。问：甲粮仓比丙粮仓多存粮多少吨？
分析：61吨
12.两个自然数相除，商事4，余数是1.如果被除数、除数、商以及余数的和是56，那么被除数等于多少？
分析：41
超越篇
1. 姐妹俩一起做数学、语文两科作业。姐姐花在数学作业上的时间比妹妹多10分钟；而妹妹花在语文作业上
的时间比姐姐多4分钟，已知姐姐一共花了88分钟做完作业，妹妹做数学作业的时间比语文作业少12分钟。
请问：妹妹做语文作业花了多少分钟？
分析：47分钟
2. 有两个炮兵营参加军事演习，它们各准备了若干枚炮弹，开始一营比二营多准备了5枚炮弹，后来因为演习
需要，一营给了二营20枚炮弹，这时二营炮弹数量就比一营的3倍还多3枚。一营开始时准备了几枚炮弹？
分析：36枚
3. 游泳池里男生的人数比女生的6倍少11人，比女生的4倍多13人，那么男生有多少人？
分析：61人
4. 三国时期，魏国、蜀国、吴国三国交战，已知吴国军队比蜀国军队多20万人；魏国军队人数是吴国的2倍，又
是蜀国的3倍。魏国军队有多少人？
分析：120万
5. 红旗小学三年级有甲、乙、丙三个班，一共有学生162人。如果从甲班转出2个人到乙班，则甲、乙两班人数
相同。如果这是再从丙班转出3个人到乙班，则乙、丙两班人数相同。请问：甲班原来有多少人？
分析：54人
Page 10 of 1076. 甲、乙两人一共带了80元钱去商店买东西，甲用自己带的一半的钱买了一本漫画书，乙花了10元钱买了一
盘磁带。这时甲剩下的钱恰好是乙剩下的3倍。那么乙带了多少元钱？
分析：20元
7. 在奥运会上有一个国家得的银牌数是铜牌数的2倍。阿奇发现如果这个国家再得到1块金牌，那么金牌数就
是银牌数和铜牌数之和；如果又1块金牌变成银牌，那么金牌数和银牌数将一样多。请问：这个国家一共得
到多少块金牌？
分析：8块
8. 小云、小达、轩轩、阿奇四位小朋友去游乐园玩，一共花了154元钱，有趣的是：小云花的钱数加上5元等于
小达花的钱数减去7元，等于轩轩花的钱数乘以3，等于阿奇花的钱数除以4.请问：小达花了多少钱？
分析：31元
第四讲 枚举法一
内容概述
掌握枚举的一般方法。学会按照一定顺序，有规律地进行枚举，做到“不重不漏”；应用字典排列法解决整
数分拆的问题。学会分辨“计次序”与“不计次序”的情形。
兴趣篇
1. 冬冬在一张纸上画了一些图形，如图所示，每个图形都是由若干条线段连接组成的，请你数一数，纸上一共
有多少条线段？（最外面的大长方形的边框，不算在内）
分析：24条
2. 要沿着如图所示的道路西欧那个A点走到B点，并且每段路最多只能经过一次，一共有多少种不同的走法？
分析：4种
3. 小明决定去香山、颐和园、圆明园这三个景点旅游。要走遍这三个景点，他一共有多少种不同的游览顺序？
分析：6种
Page 11 of 1074. 小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这4个地方种选2个去旅游，小王又多少种不同的选择方式？如果小王
想去其中的3个地方，又有多少种选择方式？
分析：6种；4种
5. 小烧饼每个5角钱，大烧饼每个2元钱。冬冬一共有6元钱，如果把这些钱全部用来买烧饼，一共有多少种不
同的买法？
分析：4种
6. 在一次知识抢答比赛中，小悦和冬冬两个人一共答对了10道题，并且每人都有答对的题目。如果每道题1分，
那么小悦和冬冬分别可能得多少分？请把所有的可能填写到下面的表格里：
分析：10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5=6+4=7+3=8+2=9+1
7. 两个海盗分20枚金币，请问：
（1）如果每个海盗最少分到5枚金币，一共有多少种不同的分法？
（2）如果每个海盗最多分到16枚金币，一共有多少种不同的分法？
分析：（1）11种；（2）13种
8. 有15个玻璃杯，要把它们分成两堆，一共有几种不同的分法？这两堆球的个数可能相差几个？
分析：7种；可能相差13，11，9，7，5，3，1个
9. 张奶奶去超市买了12盒光明牛奶，发现这些牛奶需要装在2个相同的袋子里，并且每个袋子最多只能装10
盒。张奶奶一共有几种不同的装法？
分析：5种
10.小悦、冬冬、阿奇三个人一共有7本课外书，每个人至少有一本。小悦、冬冬、阿奇分别有几本课外书？请写
出全部可能的情况。
分析：如下表所示，共有15种可能
小悦课外书数量 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 5
冬冬课外书数量 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 1 2 1
阿奇课外书数量 5 4 3 2 1 4 3 2 1 3 2 1 2 1 1
拓展篇
1. 如图，小悦画了一个小房子，如果每画一笔都不能拐弯，那么她最少画了几笔？
分析：31笔
Page 12 of 1072. 小悦把8块绿豆糕摆成如图所示的图形，让冬冬挑两块挨在一起的绿豆糕。请问：冬冬一共有多少种不同的
挑法？
分析：7种
3. 小悦、冬冬、阿奇三个人去看电影，他们买了三张座位相邻的票。他们三人的座位顺序一共有多少种不同的
安排方法？
分析：6种
4. 小李摆摊卖货，小木偶每个卖1元，大木偶每个卖2元。他今天一共卖出了5个木偶。小李今天一共可能卖了
多少钱？
分析：5元、6元、7元、8元、9元或10元
5. （1）老师给小悦14个相同的练习本。如果小悦把这些本子全都分给冬冬和阿奇，有多少种不同的分法？
（2）老师给小悦14个相同的练习本，如果小悦只需要把这些本子分成2堆，又有多少种不同的分法？
分析：（1）15种 （2）7种
6. 盘子里一共有20颗花生，小悦和冬冬一起吃。每人一口吃2颗，两个人一起把花生吃完（每人至少吃一口）。
他们分别可能吃了多少颗花生？
分析：20=2+18=4+16=6+14=8+12=10+10=12+8=14+6=16+4=18+2
7. 如图，有7个按键，上面分别写着：1、2、3、4、5、6、7这七个数字。请问：
（1）从中选出2个按键，使它们上面数字的差等于2，一共有多少种选法？
（2）从中选出2个按键，使他们上面数字的和大于9，一共有多少种选法？
分析：（1）5种 （2）6种
8. 小王有5个相同的飞机模型，他要把它们放在一个3层的货架上，每层至少要放1个。小王一共有多少种不
同的放法？过了几天，他又要把18个相同的汽车模型放到另一个3层货架上，每层最少要放5个，这时有多
少种不同的放法？
分析：6种；10种
9. （1）小明买回了一袋糖豆，他数了一下，一共有10个。现在他要把这些糖豆分成3堆，一共有多少种不同的
分法？
（2）如果小明有两袋糖豆，每袋10个。要把这两袋糖豆分成3堆，每堆最少要有5个，一共有多少种不同的分法？
分析：（1）8种；（2）5种
10.A、B、C、D、E这五个人一起回答一道题目，结果只有两个人答对了。所有可能的回答情况一共有多少种？
分析：10种
Page 13 of 10711.（1）有2个相同的白球和1个红球。如果把这3个小球排成一排，有多少种不同的排法？
（2）有2个相同的白球和3个相同的红球。把这5个小球排成一排，有多少种不同的排法？
分析：（1）3种 （2）10种
12.班主任要从甲、乙、丙、丁、戊这五个小朋友里面选出四个人参加乒乓球赛，有多少种不同的选法？如果已经
选出了甲、乙、丙、丁，现在要把他们分成两组，进行双打比赛，有多少种不同的分法？
分析：5种 ；3种
超越篇
1. 小明参加了一次小测验，每个小题2分，每个大题5分。两种题目各有3道，小明的得分一共有多少种不同的
可能？
分析：16种
2. 几个小朋友在屋子里玩石头剪子布。冬冬在门外问他们一共有几个人。其中一个小朋友说：“不能直接告诉
你人数，不过我们现在一共伸出来了22根手指，并且有3个人出石头。”请问：屋子里可能有几个人在玩游
戏？（出石头的不伸手指，出剪子的伸2根，出布的伸5根）
分析：8人、11人或14人
3. 一次小测验一共4道题，最初每位同学都有4分的基础分，然后每答对一道题加3分，每答错一道题扣1分。
同学们的得分可能是多少？
分析：得分可能是：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，12，13，16，有14种情况
4. 现在又1分、2分、5分的硬币各5枚，要用这些硬币凑出2角钱，一共有多少种不同的凑法？
分析：8种
5. 如图，妈妈在5张卡片上分别写了1、1、1、2、2这5个数字，让小明从里面挑出3张组成一个三位数。小明可
能组成多少个不同的三位数？
分析：7个
6. 刘老师在一个星期中要去3次健身馆，但是为了防止运动过量，不能连续两天都去。刘老师一共有多少种满
足条件的时间安排？
分析：10种
7. 在算盘上，用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数？
分析：14个
8. 一座99层摩天大楼的电梯上，有显示楼层的液晶屏，如图，由于屏幕受到损坏，显示左边数字的7根线段中
有1根不能亮了，显示右边数字的7根线段中有3根不能亮了。请问：电梯在运行的过程中，最多还有多少个
楼层的显示是正确的？
Page 14 of 107分析：12个
第五讲 找规律
内容概述
通过观察已知项，找出所给数列、数表或图形的变化规律，并根据规律对其进行补填。解题中注意多重规律
的叠加。
兴趣篇
1. 找规律，填空：
（1）2，6，10，14，18，22，_______,______,34；
（2）1，3，9，27，81，______,729；
（3）1，1，2，3，5，8，13，21，______,______,89;
（4）1，4，9，16，25，______,______,64.
分析：（1）26，30；（2）243（3）34，55（4）36，49
2. 找规律，填空：
（1）97，88，79，70，61，______,______,34;
（2）______，______，15，24，35，48，63，80，99；
（3）______，______，12，19，31，50，81，131，212.
分析：（1）52，43（2）3，8（3）5，7
3. 找规律，填空：
（1）40，2，37，4，34，6，31，8，______，______，25，12；
（2）1，2，2，4，3，8，4，16，5，______，______，64，7.
分析：（1）28，10（2）32，6
4. 找规律，请在下图的空格中填入适当的数。
分析：（1）62 (2)12
5. 下图所示的表格中的数有一定的规律，请你按照规律填出空格中的数。
Page 15 of 1071 5 5 13 9 34 89 17
3 3 8 7 21 11 15 144
分析：13，55
6. 下图所示的两组图形中的数各自都有规律，请先把规律找出来，再填上空缺的数。
（1）
（2）
分析：365，130
7. 观察图中各组图形的规律，填出问号处的图形。
（1）
（2）
分析：（1）第一行 ， 。第二行： ， ；（2）
8. 观察下图中四幅图的规律，把D处的图补充完整。
分析：
9. 下图原本是由9个小人排列成的方阵，但又一个人没有到位。请你根据图形的规律，在标有问号的位置画出
你认为合适的小人。
Page 16 of 107分析：
10.有一列数组，每组由三个数组成，它们依次是（1，3，6），（2，6，12），（3，9，18），…。请问：第20个数组内三个
数的和是多少？
分析：200
拓展篇
1. 找规律，填空：
（1）8，15，22，29，36，______，______，57；
（2）1，2，4，8，______，32，64；
（3）3，4，6，9，13，18，______，31；
（4）3，5，9，17，33，______，129.
分析：（1）43，50（2）16 （3）24 （4）65
2. 找规律，填空：
（1）______，______，76，70，64，58，52，46；
（2）______，66，56，47，39，32，26，21；
（3）1，2，2，4，8，32，______；
（4）2，6，12，20，30，42，______，72，90.
分析：（1）88，82 （2）77 （3）256 （4）56
3. 找规律，填空：
（1）1，2，4，4，7，8，10，16，13，32，______，______，19，128；
（2）1，2，3，3，6，5，10，8，15，13，______，______，28，34.
分析：（1）16，64 （2）21，21
4. 下图中的数都是按某种规律排列的，请分别根据规律填上“？”处的数：
Page 17 of 107（1）
（2）
分析：（1）5，20 （2）33，49
5. 观察下图中各组图形中数的规律，填出“？”处的数。
（1）
（2）
分析：（1）23； （2）19
6. 如图所示，5个方格表中的数有一定的规律，请按照规律填出第4个方格表中的数：
分析： 4 11
165 15
7. 观察下图中的规律，请按照这种规律，填出空格中的图形。
Page 18 of 107分析：
8. 观察下图中的图形，找出它们的规律，然后填出“？”处的图形。
分析：
9. 根据下图中的规律，填出图中第5列其余三个图形。
分析：从上至下依次为
10.下图中的前3个图形都是由A、B、C、D（线段或圆）中的两个组合而成，记为A*B，C*D,A*D。请你画出B*C表示
的图形。
分析：
Page 19 of 10711.观察下图中各图形与它下面的数之间的关系，写出“？”处的数。
分析：99
12.下面是一串按某种规律排列的自然数：1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，6，6，…。请问：其中第101个数至第110个
数的和是多少？
分析：530
超越篇
1. 找规律，填空：
（1）1，3，4，7，1，8，9，7，______，3，9，2；
（2）1，2，6，24，120，______，5040；
（3）2，3，10，15，26，35，______，63，82，99.
分析：（1）60； （2）720 （3）50
2. 如下图，请按照已有图形的规律画出下一个图形。
分析：
3. 请在下图中的横线上填入恰当的图形，使得整幅图的构成具有某种规律。
Page 20 of 107分析：
4. 观察下图每幅图中三个数的规律。请问：其中第几幅图的三个数之和为1234？
分析：第308幅图
5. 下图中所填的数之间有着统一的规律，那么空白圆圈内应该填几？
分析：12
6. 观察下图中各图形的规律，画出“？”处的图形。
Page 21 of 107分析：
7. 找规律，请在下图的空格中填入恰当的数。
分析：321
8. 下面这几个数列的规律很特别，你能填出其中的数吗？
（1）1，121，2，61，3，41，4，31，______，______，6，21；
（2）1，7，12，24，31，47，50，______，73，85，90，96；
（3）3，6，21，42，84，69，291，483，______，______。
分析：（1）5，25 （2）66 （3）867,6351
第六讲 简单加减法竖式
内容概述
补全加法和减法竖式中缺少的数字，基本方法为依据运算规则推理与枚举试算，重点掌握首末位分析和进
位与借位分析的方法。
兴趣篇
1. 在空格中填入适当的数，使下图中的加法竖式成立。
分析：438+204=642
2. 在空格内填入适当的数字，使下图中的加法竖式成立。
Page 22 of 107分析：84+938=1022
3. 在下图中的空格内填入适当的数字，使竖式成立。
分析：981+959=1940；169+130=299
4. 在下图中的空格内填入适当的数字，使减法竖式成立。
分析：2909-1798=1111
5. 在下图的空格内填入适当的数字，使减法竖式成立。
分析：10237-9656=581
6. 下图是一个加减混合运算的竖式，在空格内填入适当的数字使竖式成立。
分析：91+999=1090，1090-995=95
7. 在下图所示的竖式里，四张小纸片各盖住了一个数字，被盖住的4个数字的总和是多少？
Page 23 of 107分析：23
8. 1492年，哥伦布率领船队“发现”了新大陆。到达新大陆的当晚，他们举行了盛大的庆祝活动。在宴会最热
闹的时候，哥伦布举杯说道：“今年是1492年，我们要永远记住这个数字。我现在给大家出一道河1492有
关的数学题，谁能答出来，他就会获得丰厚的奖赏，”哥伦布的问题时这样的：把下图中的竖式填写完整，使
得填入的数字之和最大，答对的船员会得到与这个最大值数量相同的金币。最后，一个聪明的船员拿到了金
币。请问：这个船员得到了多少个金币？
分析：43
9. 如下图，口、 分别代表三个不同的数字，请找出它们分别代表的数字，把这个竖式补充完整。
分析：19+99=118
10.请将1-5这五个数字填入下图的空格中，把竖式补充完整。（每个数字只能用一次）
分析：56739-2418=54321
拓展篇
1. 下图是一个加法竖式，请在空格内填入适当的数字，使竖式成立。
Page 24 of 107分析：139+393=532
2. 如图所示，如果在空格内填入合适的数字，可以使竖式成立，那么所有空格内填写的数字之和是多少？
分析：28
3. 在下图的空格内填入适当的数字，使竖式分别成立。
分析：971+959=1930；38+999+963=2000
4. 在下图的空格内填入适当的数字，使竖式成立。
分析：3001-2007=994
5. 在下图的空格内填入适当的数字，使竖式分别成立。
分析：104-95=9；1005-998=7
6. 在下图的空格内填入适当的数字，使竖式成立。
Page 25 of 107分析：990-100=890
7. 在下图的空格内填入适当的数字，使竖式成立。
分析：1098-999=99，99+892+9=1000
8. 在下图的每个空格内填入1、3、5、7、9这五个数字钟的一个，使其成为正确的加法竖式，那么所填的各个数
字之和是多少？
分析：38
9. 在下图的空格内填入适当的数字，使得竖式成立，那么所有空格内数字的和最大是多少？
分析：最大52
10.如图所示，口、 分别代表不同的数字。请找出它们分别表示什么数字。
Page 26 of 107分析：△表示5，□表示9，○表示8
11.下图是一个加法竖式，其中 分别代表三个不同的数字，那么 等于多少？
分析：有两种可能：①△表示7，◇表示1，□表示4时，△+□-◇=10
②△表示8，◇表示4，□表示9时，△+□-◇=13
12.如下图，用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字各一次，可组成一个正确的加法竖式，现已写出三个数字，那
么这个算式的结果是多少？
分析：1053
超越篇
1. 在下图的两个加法竖式中，相同的汉字代表形态的数字，不同的汉字戴白哦不同的数字。请问：
代表的七位数是什么？
分析：1243765
2. 在下图的每个空格内填入2、3、4、5、6这五个数字中的一个，使其成为正确的加法竖式，那么这九个空格中
的数字之和是多少？
Page 27 of 107分析：38
3. 在下图中的竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，请求出每个汉字分别代表什
么数字？
分析:“数”代表1，“学”代表2，“为”代表4，“好”代表6，“用”代表8
4. 如图，用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字各一次，可组成一个正确的加法竖式。现已写出三个数字，请将
竖式补充完整。
分析：1305-879=426
5. 在下图的空格内分别填入适当的数字，可以使竖式成立。所填的七个数字之和最大是多少？
分析：51
6. 在下图的空格内分别填入4、5、6、7、8、9中的某个数字（可以重复使用），使得第一个加数的各位数字互不相
同，并且它的四个数字与第二个加数的四个数字相同，只是排列顺序不同。
Page 28 of 107分析：4859+4598=9457
7. 如图，竖式中相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，且忐=上+心，忑=下+心，请完成图中
的算式。
分析：7386+5841=13227
8. 将0、2、4、6、8各三个填入下图的加法算式中，使算式成立，其中三个0已经填好。请问：算式的结果最小是
多少？最大是多少？
分析：最小4800；最大6600
第七讲 周期问题
内容概述
各种涉及事物循环变化的周期问题，学会通过观察、试算发现周期规律，并由此进行计算，有时需灵活选择
周期起点。学会处理多重周期的问题，以及与星期有关的日期问题。
兴趣篇
1. 如图，由一系列黑、白三角形按一定的规律排成一行。请问：第26个图形应该是什么样子？
分析：△
2. 在学校运动会的开幕式上，46名同学组成仪仗队站成一排。如图所示，每人手里都举着一面彩旗，从左到右
颜色依次是红、黄、蓝、绿四种颜色依次循环。最右侧的同学手里的彩旗是什么颜色的？
Page 29 of 107分析：黄色
3. 如图所示，将自然数从1开始顺次写在A、B、C、D、E这五个字母下面。问：208会出现在哪个字母下面？.
分析：C
4. 在一根绳子上依次穿2个红球、3个白珠、5个黑珠，并按此方式重复。如果从头开始一共穿了77棵珠子，那
么这77颗珠子中白珠比黑珠少多少颗？
分析：13颗
5. 如图，四只小动物不断交换座位。一开始，小鼠坐第1号椅子，小猴坐第2号椅子，小兔坐第3号椅子，小猫
坐第4号椅子。第一次前后两排交换，第二次在第一次交换的基础上左右两列交换，第三次又是前后两排交
换，第四次再左右两列交换……这样一直换下去。第十次交换座位后，四只小动物分别坐在第几号椅子上？
分析：猫坐1，兔坐2，猴坐3，鼠坐4
6. 将一些自然数排列成一列，其中任意相邻的五个数之和都等于15.已知第一个数等于1，第二个数等于2，第
三个数等于3，第四个数等于4.问：
（1）请写出这个数列的前十项；
（2）第一百个数等于多少？
分析：（1）前十项：1，2，3，4，5，1，2，3，4，5；（2）5
7. 100位同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学报1，然后从第二位同学开
始，每位同学都把前一位同学所报的数乘以7，再报出乘积的个位来。请问：第100个同学报的是几？
分析：3
8. （1）如图所示，甲、乙两只蚂蚁，分别沿正方形ABCD和AEFG按照顺时针的方向爬行。甲2分钟能爬完正方形
的一条边，乙1分钟能爬完正方形的一条边，现在两只蚂蚁在A点同时出发，那么50分钟后甲、乙分别在什
么位置？
Page 30 of 107（2）如图所示，如果蚂蚁甲从C点出发，沿着C D A E F G A B C的路线爬行，1分钟能爬完正方形的
一条边；蚂蚁乙从F点出发，沿着F G A B C D E F的路线爬行，2分钟能爬完正方形的一条边。它们同
时出发，90分钟后甲、乙分别在什么位置？
分析：（1）蚂蚁甲爬到B点，蚂蚁乙爬到F点
（2）蚂蚁甲爬到A点，蚂蚁乙爬到D点
9. 一只蜗牛从深30米的井底向上爬，第一天向上爬了6米；第二天休息，于是向下滑了4米；第三天再向上爬
6米；第四天又向下滑4米……按这样的规律进行下去，蜗牛第几天才能爬到井口？
分析：第25天
10.（1）今天是星期六，再过60天是星期几？
（2）2008年6月1日式星期日，2008年8月1日是星期几？
（3）2008年2月8日是星期五，2009年2月8日是星期几？
分析：（1）星期三 （2）星期五 （3）星期日
拓展篇
1. 下图是一行按规律排列的图形。请问：第88个图形应该是什么？
分析：○
2. 观察下图中黑、白两色三角形的变化规律。请问：前200个图形中有多少个白色三角形？
分析：133个
3. 如图所示，表格中每行的文字都是循环出现的：第一行是“黎曼假设”4个汉字不断重复，第二行是“庞加
莱猜想”5个汉字不断重复，第三行是“哥德巴赫猜想”6个汉字不断重复。第200列从上到下依次是哪3
个汉字？
分析：设、想、德
4. 阿奇和其他5个小朋友围成一圈，圆圈中央摆放着55个乒乓球。从阿奇开始，小朋友们沿逆时针方向依次拿
Page 31 of 107球，每人每次拿3个，直到把乒乓球全部拿完为止（最后剩下的球不足3个就全拿）。阿奇总共拿到了几个球？
分析：10个
5. 如图，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈。现在，一只红跳蚤从标有数“1”的圆圈按顺时针
方向跳了100步，落在一个圆圈里，一只黑跳蚤也从标有数“1”的圆圈起跳，但它是沿着逆时针方向跳了
200不，落在另一个圆圈里。这两个圆圈里的数的乘积是多少？
分析：12
6. （1）工厂的仓库里有80吨货物，这些货物都由同一辆卡车负责运输。第一天卡车往仓库里运进50吨，第二
天运出了60吨，第三天又运进50吨，第四天再运出60吨….如此不停地运下去。第几天的时候，仓库里的货
物恰好被运完？
（2）工厂的仓库里有80吨货物，同样是由一辆卡车负责货物的运输。第一天，卡车从仓库里运出60吨，第二天
再运进50吨，第三天又运出60吨，第四天再运进50吨……如此不停地运下去。第几天的时候，仓库里的货物恰
好被运完？
分析：（1）第16天 (2)第5天
7. 如图所示，16幅图按规律排成一排，其中前三幅图已经画好，请按规律画出第16幅图的样子。
分析：
8. 甲、乙、丙、丁兄弟四人各收藏了一些宝石。每天早上他们都要聚在一起，重新分配宝石，分配的规则就是：
拥有宝石最多的人分给其他三个人每人1颗。如果第1天早上分配完之后，甲、乙、丙、丁四人分别有10、7、
5、4颗宝石，那么第100天早上分完宝石后，四个人手中分别有几颗宝石？
分析：甲、乙、丙、丁分别有5、6、8、7颗宝石
9. 500名士兵排成一排，第一次从左到右1至3循环报数，第二次从左到右1至4循环报数。请问：既报过1又
报过4的士兵有多少名？
分析：42名
Page 32 of 10710.如图，伸出左手，然后从大拇指起开始数数，当数到200的时候，正好数到哪根手指？
分析：食指
11.今天是2008年3月16日星期日，阿奇研究日历时，发现再过1天使2008年3月17日星期一，再过2天则是
2008年3月18日星期二……请问：
（1）再过多少天才是2008年儿童节呢？
（2）2008年的儿童节是星期几？
分析：（1）77天； （2）星期日
12.哥哥比妹妹大5岁，而且两人生日相同。如果哥哥是1982年6月17日星期四出生的，那么妹妹是在星期几
出生的？妹妹出生后第一次在星期二过生日的时候是哪一年？
分析：星期三；1997年
超越篇
1. 观察下图中图形的规律，第200个图形应该是下面A、B、C、D四个图形中的哪一个？
分析：A
2. 如图所示，7个小朋友围成一圈，沿顺时针方向依次编号为1-7.然后，按如下方法给他们发糖；先给1号小
朋友1块糖；然后沿顺时针方向隔过一个人后，给3号小朋友1块糖；再沿顺时针方向隔过两个人后，给6号
小朋友1块糖；接着又沿顺时针方向隔过一个人后，给1号小朋友1块糖……如此反复地间隔一个人、两个
人，直到1997块糖全部分完，那么最先发到糖的那位小朋友一共得到了多少块糖？
分析：286块
3. 如图所示，用红、黄、蓝3种颜色的彩笔，按规律给表格染色。第20行和第30列交叉处的方格所染的颜色是
什么？
Page 33 of 107分析：红色
4. （1）某月有31天，有4个星期二和4个星期五，那么这个月的20日是星期几？
（2）某月的星期二比星期一多，那么这个月的25日是星期几？
分析：（1）星期四 （2）星期五
5. 500名士兵排成一排，第一次从左到右1-5循环报数，第二次从右到左1-4循环报数。请问：既报1又报5的
士兵有多少名？
分析：25名
6. 有六十多人站成一行，从左到右由1开始按1、2、3、4依次循环报数，然后从右到左由1开始按1、2、3依次
循环报数，最后发现刚好有12个人既报了1又报了2.请问：这一行最少有多少人？最多有多少人？
分析：最少62人；最多69人
7. 实验室里有两只不同的怪钟，每只钟只有一个指针，而且都是每分钟跳一次。第一只钟一圈又12个格，格线
上依次标着0-11，指针一次跳过2个格（例如从4跳到6）。第二只钟一圈又7个格，格线上依次标着0至6，
指针一次跳过3个格。开始时两个指针都指向0.如果把这看作两个指针第1次指向同一个标数，那么当两
个指针第30次指向同一个标数时，它们的指针指着哪个数字？
分析：6
8. 如图，在A、B两地之间有7个车站，一辆列车不停地往返于A、B两地直接爱你。它从A出发，每天行驶到下
一站，到达B地后的下一天又回到7号站，如此反复，已知列车第4次驶入4号站时时星期六，那么它第20
次驶入5号站时是星期几？
分析：星期日
第八讲 智巧趣题一
内容概述
Page 34 of 107使用火柴棒构造图形的问题；一笔画问题；不涉及专门的数学知识，只需要一些巧妙思路和简单计算即可解
决的问题
1. 如图所示，用12根火柴可以摆出3个正方形，如果要用11根火柴刚好摆出3个正方形，应该怎么摆？用10
根火柴呢？
分析：答案不唯一
2. 如图所示，如果一根火柴长度为1，那么拼1个边长为1的小等边三角形需要3根火柴，拼2个边长为1的小
等边三角形需要5根火柴。你能用12根火柴拼出6个边长为1的小等边三角形吗？
分析：
3. 如图所示，我们用13根火柴摆放成了一头向右前进的猪。请移动1根火柴，使得这头猪掉头向左前进。
Page 35 of 107分析：
4. 在下图中，哪些图形可以一笔画成？
分析：图形②、④、⑤、⑥可以一笔画出
5. 如图所示，两条河流的交汇处有两个小岛，有7座桥连接这两个岛及河岸。一个散步者能不能一次走遍这7
座桥，而且每座桥恰好经过1次？
分析：能
6. 过节了，爸爸妈妈给小光和小强每人买了一盒相同数目的弹珠。打开后发现，小光的弹珠全是红的，而小强
的弹珠全是绿的。第一天玩弹珠时，小光输给小强10枚弹珠，第二天小光又同小强玩弹珠，结果小光赢了10
枚弹珠。这时，小光盒里的绿弹珠多，还是小强盒里的红弹珠多？
分析：两者相等
7. 如图，有6个杯子放成一排。前三个杯子中盛了一些水，而后三个杯子是空的。要使得盛水的杯子和空杯子
相互交叉排成一排，最少要动几个杯子？
Page 36 of 107分析：一个杯子，把第2个杯子中的水倒入第5个杯子中
8. 有一根粗细不均匀的绳子。如果从一端把它点燃，这根绳子能燃烧2个小时。但由于绳子粗细不均匀，所以
不能确定燃烧到一半是在什么时候。但现在想用这根绳子来确定1个小时的时间，应该怎么做？
分析：同时点燃绳子的两端，1小时后这根绳子刚好烧完。
9. 池塘里生长着一种浮萍。这种植物在水面上繁殖，而且每天都能增长一倍。如果10天后，池塘里刚好长满这
种浮萍，那么多少天后，池塘里的浮萍会正好占据了一半的水面？
分析：9天
10.一休去河边打水，他有两个桶，大桶能装9升水，小桶能装4升水。要想恰好从河中打上6升的水带回去，他
应该怎么办？
分析：答案不唯一，一种做法如下：
盛满9升的大桶——此时大桶中有9升水，小桶中没有水；
把大桶中的水倒满小桶——此时大桶中有5升水，小桶中有4升水；
把小桶中的水倒入河中，然后用大桶中的水把小桶倒满——此时大桶中有1升水，小桶有4升水；
把小桶中的水倒入河中，再把大桶中的1升水倒入小桶——此时大桶中没有水，小桶中有1升水；
把大桶盛满水，小桶不动——此时大桶中有9升水，小桶中有1升水；
把大桶中的水倒满小桶——此时大桶中有6升水，小桶中有4升水；
再把小桶清空，把大桶中的6升水带回去即可。
拓展篇
1. （1）如图（a）所示，我们用8根火柴摆放成了一条向左游动的鱼，请移动3根火柴，使得这条鱼掉头向右游动；
（2）如图（b）所示，我们用10根火柴摆放成了一把椅子，请移动2根火柴，将这把椅子倒过来。
分析：
2. 如图，我们用9根火柴棒摆成了3个三角形。最少需要移动几根火柴，才能使得它变成含有4个三角形的图
Page 37 of 107形？
分析：2根
3. 如图所示，12根火柴组成1大4小5个正方形。
（1）请拿掉2根火柴，使得余下的火柴恰好构成2个正方形；
（2）请移动3根火柴，使得它变成3个相同的正方形。
分析：
4. 下图是一座博物馆的示意图，游客从入口进入博物馆。是否能找到一条参观路线。每扇门恰好经过一次？
Page 38 of 107分析：不能
5. 下图中哪些图形可以一笔画成，哪些不能？不能一笔画出的图形最少需要画几笔？
分析：图形②、③、⑤、⑥可以一笔画出；图形①至少画3笔；图形④至少要画9笔
6. 如图，现在又7个满杯的果汁、7个半杯的果汁和7个空杯。要想把它们平分给三个人，使得每人都分到同样
多的果汁和被子，应该怎么分？
Page 39 of 107分析：第一、第二个人各分得3个满杯、一个半杯和3个空杯；第三个人分得1个满杯、5个半杯和一个空杯
7. 足球队有18名队员，其中有10人穿大号球衣。小马虎将10件大号球衣和8件小号球衣领回来后，一人一件
随便地发给了每个队员，结果又的大个队员领到了小号球衣，有的小个队员领到了大号球衣。问：大个队员
领到了小号球衣的人数与小个队员领到了大号球衣的人数哪个多？
分析：一样多
8. 如图所示，桌子上有3张卡片，每张卡片上写着一个数字。请你用这3张卡片组成一个三位数，使得这个三
位数除以9以后没有余数。
分析：把6倒过来当9使用，如459
9. 小吃店需要制作3个煎饼，每制作一个煎饼必须把这个煎饼正反两面各煎3分钟。现在又2个炉子，每只炉
子每次只能煎1个煎饼的某一面。要想煎好所有的煎饼，最少需要花多长时间？
分析：9分钟
10.商场举行促销活动，在购买商品时，每消费50元现金就可以得到一张20元的购物券，每消费100元现金就
能得到一张50元的购物券。现在小明要买37件10元的商品，他该怎样去买才能让花出去的钱最少？
分析：100+100+50=250元
11.有大、中、小3个瓶子，分别可以装水1000克、700克和300克。现在大瓶中装满水，希望利用3个瓶子相互
间倒水，使得在中瓶和小瓶上能够标出装100克水的刻度线，但是水不能洒到地上，可以怎么办？
分析：按如下步骤操作：把大瓶的水倒满中瓶，再把中瓶的水倒满小瓶，把小瓶的水都倒回大瓶，再把中瓶剩下
的水倒满小瓶，此时中瓶剩下100克水，可以把中瓶的100克刻度标出。再把小瓶的水都倒入大瓶中，并把中瓶
的100克水倒入小瓶中，这样就能在小瓶上也标出100克水的刻度线了。
12.如图，有一个院子里住着A、B、C三户人家，中间B户人家想修一条专用路通向中间院门F。A户人家要修一
条专用路道右边院门G。C户人家要修一条专用路到左边院门E。如果这三条专用路彼此不能交叉，那么应该
怎么修？
Page 40 of 107分析：答案不唯一。
超越篇
1. 用4根火柴可以组成小杯子的形状，下图给出了两种不同的组成方式，而且两个杯子里各放了一颗五角星。
（1）请移动图（a）中的两根火柴，使得五角星在杯子外面，但杯子的形状不得改变；
（2）请移动图（b）中的两根火柴，使得五角星在杯子外面，但杯子的形状不得改变。
分析：
2. 如图，现在用14根火柴摆成的两个正方形。请你只移动其中的4根火柴，使它变成两个完全相同的正方形。
Page 41 of 107分析：
3. 如图，黑板上画了9个点，我们可以用5条线段把它们串联起来，而且这5条线段是可以用一笔画成的。实际
上我们可以做得更好：用4条线段就能把这9个点串联起来，而且这4条线段仍然是用一笔画成的。请大家
找出这种画法。
分析：
4. 在国际象棋中，皇后可以沿横线、竖线、斜线吃子。如图，我们在棋盘上放置一个皇后（图中的五角星），可以
吃掉对应8个方向的棋子。要想在一个4 4的棋盘中放下4个皇后，同时它们相互之间不能吃子，可以怎么
放？
Page 42 of 107分析：
5. 3个朋友去旅馆住宿，每人交了10元押金，第二天老板发现他们一共消费了25元，于是从押金中扣除了，让
服务员将剩余的5元送到客房。服务员在路上想：反正客人也不知道他们花了多少钱，5元钱3个人也没法
分，不如我藏起2元钱算了。于是他就找给了客人3元，相当于每人找了1块钱。请大家想一想：3个人每人
交了10元，又找回了1元，相当于花了9元，3个人一共花了27元。如果加上服务员藏的2元一共是29元。
可一开始三个人总共交了30元。这之间相差了1元！那这1元钱哪儿去了呢？
分析：实际上，客人话费的27元中包括了服务员藏的2元，这两元可以看作是给服务员的小费。也就是说客人的
消费有两部分，一部分25元的真实消费，另一部分则是由服务员私自藏起来的“小费”2元，而2+25=27——这
就是三个人的总消费。把这27元加上最后找给他们的3元钱，正好是30元.
6. 玩具加工厂要把小正方体形状积木的六个面染色，两个面染红色，两个面染蓝色，另两个面染黄色。厂里的
机器可以同时给6个小正方体的一面染上相同的颜色，每次需要5分钟。现在有8个积木要加工，那么用这
种机器最少需要多少分钟才能完成？
分析：45分钟
7. 哈利波特的魔杖被敌人藏在了魔法迷宫中。如图，迷宫共有25个房间，分别标有号码，魔杖就在13号房间
中。在这座迷宫中有如下的机关：每次走进一个房间，就会立刻被转移到标有相同号码的那个房间，然后再
走近相邻的一个房间（有公共边的房间时相邻的），立刻又会被转移，如此继续。如果哈利波特先走入了1号
房间，并要走近最中间的13号房间。请你写出转移次数最少的路线上依次经过的房间号（相同的房间号只
写一个即可）。如果偶数号房间时陷阱，哈利波特要不重复的经过所有的奇数号房间。最终到达13号房间，
有多少种不同的可能路线？
分析：1→11→9→13；一种
8. 如图所示，水面上又7块石头，除了中间的1块空石头外，左侧蹲着3只青蛙，只能往右跳；右侧蹲着3只青
蛙，只能往左跳。跳跃的规则是：必须按照特定的房向，跳到与之相邻的空石头上，或者跃过相邻的1只青蛙
跳到紧挨着的空石头上。请设计一个合理的跳跃顺序，使得右侧的三只青蛙都能跳到最左侧的三块石头上，
左侧的三只青蛙都跳到最右侧的三块石头上。（注：每次只能有1只青蛙跳跃，每块石头上最多只能有1只
青蛙。）
Page 43 of 107分析：略
第九讲 四则运算二
内容概述
学习乘法运算中的各种计算技巧，例如凑整、带着符号搬家、乘除相消、数的分解等等；掌握一些特殊数的
计算规律，并利用这些规律简化计算；掌握乘除法运算中添、去括号的法则；学会正确使用分配律。
兴趣篇
1. 口算：2 7 5；4 17 4.
分析：70，17
2. 口算：4 3 25；8 125.
分析：300；1000
3. 口算：12 25；125 16.
分析：300；2000
4. 口算：24 5；5 38.
分析：120；190
5. 计算：（1）25 25；65 65.
（2）13 17；32 38.
分析：（1）625，4225； （2）221，1216
6. 计算：（1）（96 8） （8 4） （4 1）；
（2）（6 21） （21 7） （7 1）
分析：（1）96； （2）6
7. 计算：（1）4 16 25 3；
（2）35 12 7 4
分析：（1）4800 （2）15
Page 44 of 1078. 先把下面算式中的括号去掉，再计算：
（20 3） 5； 4 （25-1）； 5 （20-4 1）
分析：115；96；85
9. 计算：23 101； 34 102； 13 99
分析：2323；3468；1287
10.计算：（27 23 9） 99 70
分析：891
拓展篇
1. 计算：2 13 5； 51 17 17 51； 12 7 3 7
分析：130；1；4
2. 计算：25 13 14； 3 125 7 8； 25 2 3 4 5.
分析：1300；21000；3000
3. 计算：（1）25 28； 125 24；
（2）300 25；8000 125.
分析：（1）700，3000；（2）12，64
4. 计算：（1）36 5； 5 122；
（2）8 15； 15 222.
分析：（1）180，610；（2）120，3330
5. 计算：（1）45 45； 95 95；
（2）23 27； 41 49.
分析：（1）2025，9025； （2）621，2009
6. 计算：（1）（126 9） （9 3） （6 3）；
（2）512 （512 16 8）
分析：（1）21 （2）2
7. 计算：（1）23 70 22 11 7；
（2）300 13 4 25
分析：（1）460； （2）39
8. 计算：168 25 14 7 5
分析：420
9. 先把下面算式中的括号去掉，再计算：
（20+3） 25； 8 （125-7）； 4 （90+4-25）
分析：575；944；276
10.计算：（48+66） 6； （126-48） 6； 48 （8+16）
分析：19；13；2
Page 45 of 10711.计算：48 102； 37 99； 1016 8.
分析：4896；3663；127
12.计算：29 （1008 8-49 18 7 6） 40 8
分析：609
超越篇
1. 计算：（1）5 （7 11） （11 15） （15 21）；
（2）（26 25） （27 17） （25 9） （17 39）
分析：（1）15；（2）2
2. 计算：11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 （22 24 25 27）
分析：112
3. 请问：6 16 24 5 15 25 125结果的末尾有多少个连续的零？
分析：7个
4. 计算：85 85-84 86+83 87-82 88+81 89-80 90
分析：15
5. 计算：62 102+52 101-48 99-38 98
分析：3100
6. （1）已知12345679 9=111111111，请问12345679 49的结果是多少？
（2）已知7 11 13=1001.请问：14 33 39的结果是多少？
分析：（1）555555555 （2）18018
7. 9张扑克牌，点数分别为1、1、1、2、2、3、4、5、10.阿奇从中取了5张，发现乘积是80.冬冬也从中取了5张，
发现乘积是120.如果两人所取的扑克牌只有一张是相同的，这张扑克牌的点数是多少？
分析：4
8. 阿奇和几个号朋友去老师家玩，吃午饭时，老师想考考大家的计算能力，于是提出了一个问题：“从31、33、
35、37、39这5个数中选4个，并计算它们的乘积，谁算得快谁就能得到一份神秘的礼物。”其他小朋友马上
找出纸笔开始演算，而阿奇眼珠一转，稍作思考就说出了一个正确的答案。如果你也参与这个游戏中，你会
选择哪4个数，最后算出的乘积是多少？
分析：略
第十讲 和差倍问题二
内容概述
学会分析较为隐藏的和差倍关系，进一步掌握画线段图的方法，学会利用不变量进行分析的方法，处理多个
Page 46 of 107对象的和差倍问题时注意选取合适的“1”倍量。
兴趣篇
1. 甲班和乙班一共有60人。如果甲班调6个人到乙班，那么甲班的人数就是乙班人数的2倍。求甲、乙两班原
来的人数。
分析：甲班46人，乙班14人
2. 甲、乙两位学生原计划每周做同样数量的习题，实际上甲每周多做了18道题，而乙偷懒每周少做了14道题，
结果乙三周的做题量只相当于甲一周的做题量。请问：他们原计划每周做几道题？
分析：30道
3. 一辆公共汽车出发时有48人，到达第一站时有若干人下车，而且下车的比留下的多8人。达到第二站时，又
有人下车，这次下车的比留下的少8人。请问：最后又几个人留在了车上？（注：每个车站都无人上车）
分析：14人
4. 刘老师给大家布置了若干道数学题作为寒假作业。寒假快结束的时候，冬冬已经做完48道，阿奇则做完40
道。如果阿奇未做的题数是冬冬的3倍，那么老师一共布置了多少道题？
分析：52道
5. 甲房地产公司有资金100亿元，乙房地产公司有资金40亿元，两公司联合投资一块地皮，用去同样多的资金
后，甲公司剩下的资金是乙公司的5倍。请问：两公司投资这块地皮共用去多少亿元？
分析：50亿元
6. 甲、乙两人一起参加吃汉堡包大赛。在30分钟的限时内，甲吃的汉堡包个数是乙的一半，而乙吃的汉堡包比
甲的5倍少12个。请问：甲、乙两人一共吃了几个汉堡包？
分析：12个
7. 在一个减法算式里，被减数、减数与差的和是240，减数是差的5倍，则减数是多少？
分析：100
8. 费叔叔买来三箱水果，总重100千克。其中前两箱重量相差11千克，且前两箱的总重量是第三箱的3倍。请
问：这三箱水果中最重的那箱重多少千克？
分析：43千克
9. 甲、乙、丙三个物体的总重量是93千克，甲物体比乙、丙两个物体的重量之和轻1千克，乙物体比丙物体重
量的2倍还重2千克。那么甲、乙、丙各重多少千克？
分析：甲46千克，乙32千克，丙15千克
10.某驻军有三个坦克连，共有115辆坦克，一连坦克数量比二连的2倍多2辆，而二连的坦克数量比三连的3
倍多1辆。请问：一连比三连多几辆坦克？
分析：59辆
拓展篇
1. 小悦和冬冬一起去书店买书，一共买了15本数学书和22本语文书，其中小悦买的数学书是冬冬的4倍，冬
冬买的语文书比小悦的3倍多2本。请问：冬冬买的书比小悦多多少本？
分析：3本
Page 47 of 1072. 小悦和冬冬玩游戏，每玩一局，输的就要给赢的1枚棋子。一开始小悦有18枚棋子，冬冬则有22枚。玩了若
干局之后，小悦反而比冬冬多了10枚棋子。请问：此时小悦有多少枚棋子？
分析：25枚
3. 甲水库有43亿立方米水，乙水库有37亿立方米水。请问：需要从甲水库调多少亿立方米水到乙水库，才能
使乙水库的水比甲水库多两倍？
分析：23亿立方米
4. 阿奇家有两根绳子，长的那根有163米，短的只有97米。他把两根绳子剪去同样长的一段，结果长绳所剩长
度比短绳所剩长度的7倍还多6米。那么两根绳子都剪去了多少米？
分析：87米
5. 用杯子往一个空瓶里倒水，如果倒进6杯水，连瓶共重680克，如果倒进9杯水，连瓶共重920克。求空瓶的
重量。
分析：200克
6. 有两根粗细不同但长度相同的蜡烛，把它们同时点燃，1小时后细蜡烛缩短了15厘米，而粗蜡烛只缩短了3
厘米，此时粗蜡烛长度正好是细蜡烛的3倍。请问：粗蜡烛还能烧多久？
分析：6小时
7. 拍卖行卖出了两件艺术品，第一件的拍卖价格比第二件的3倍多3万元，而第二件的价钱比第一件的3倍
少74万元。请问：这两件艺术品一共卖了多少万元？
分析：35万元
8. 小华有数学书、语文书和英语书一共70本，其中数学书和语文书的数量之和是英语书的4倍，数学书和英
语书的数量之和比语文书的3倍少2本。那么小华有几本数学书？
分析：38本
9. 四个人的年龄之和等于77，其中年龄最小的是10岁，他与年龄最大的人的年龄之和比另外两人的年龄之和
大7岁，那么年龄最大的人是多少岁？
分析：32岁
10. 一堆苹果分给甲、乙、丙三人，三人分得的数量一样多。后来，甲给了乙2个，乙给了丙6个，丙又给了甲8个，
此时甲的苹果数恰好是丙的2倍。那么此时乙有多少个苹果？
分析:6个
11. “超级女生”比赛开始报名，一共有上海、北京和湖南三个赛区，总的报名人数为600人。其中湖南的报名
人数比上海的2倍少80人，而上海的报名人数比北京的3倍多20人。问：三个赛区各有多少人报名？
分析:北京62人，上海206人，湖南332人
12. 小明、小红、小玲共有73块糖。如果小玲吃掉3块，那么小红与小玲的糖就一样多；入股小红给小明2块，那
么小明的糖酒师小红的糖的2倍。问：小红有多少块糖？
分析：19块
超越篇
Page 48 of 1071. 公园里柳树和杨树共43棵，松树和柏树共42棵，并且杨树比松树多2棵，比柳树少7棵。那么公园里有柏树
多少棵？
分析：26棵
2. 超市运来的西瓜个数是哈密瓜个数的4倍，如果每天卖掉120个西瓜和40个哈密瓜，那么哈密瓜卖完后还
剩下600个西瓜。请问：超市运来西瓜、哈密瓜各多少个？
分析：西瓜2400个，哈密瓜600个
3. 黑、白棋子总共62枚，把它们分成3堆；在第一堆中，黑子数量正好是白子的2倍；在第二堆中，黑子数量则
是白子的3倍；在第三堆中，黑子数量是白子的4倍。如果第二堆白子是第一堆白子的2倍，第三堆黑子是第
二堆总数的2倍。那么第三堆有几个白子，几个黑子？
分析：白子8个，黑子32个
4. 有50名学生参加联欢会。第一个到会的女生同学全部男生握过手，第二个到会的女生只差1个男生没握过
手，第三个到会的女生只差2个男生没握过手，依次类推，最后一个到会的女生同7个男生握过手。问：这些
学生中有多少名男生？
分析：28名
5. 小悦、冬冬和阿奇三个人各有一些钱，其中小悦的钱数是冬冬的两倍，小悦和冬冬的钱数总和是阿奇的6倍。
老师给了小悦一些钱，现在小悦一共有56元，然后小悦把老师给他的钱全部分给了冬冬和阿奇，这时冬冬
有36元，阿奇有16元。那么老师一共给了小悦多少元钱？
分析：40元
6. 有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取8个给乙堆后，甲、乙两堆石子个数就相等了；此时再从乙堆中取6个给
丙堆，乙、丙两堆石子个数就相等了；接着再从丙堆中取2个给甲堆，这样甲堆石子正好是丙堆的2倍。问：
原来甲堆有多少个石子？
分析：26个
7. 超市同时运进甲、乙两个品种的苹果，甲比乙的总重量少210千克。一开始卖这两种苹果，甲种苹果很受欢
迎，每天卖出的重量是乙的2倍多30千克。一星期后，超市决定对乙种苹果进行降价促销，结果乙种苹果的
销量变为原来的4倍，甲的销量不变，这样又过了两周后两种苹果全部售完。请问：甲、乙两种苹果原来共有
多少千克？
分析：4830千克
8. 一条鱼分为鱼头、鱼身、鱼尾三段。如果鱼尾重4千克，鱼头重量等于鱼身的一半加上鱼尾的重量，鱼身重量
等于鱼头加鱼尾的重量。请问：这条鱼有多重?
分析：32千克
第十一讲 鸡兔同笼问题一
内容概述
Page 49 of 107学会求解已知“头数和与腿数和”的典型鸡兔同笼问题，以及与其结构相同的问题，熟练掌握假设法，并理
解逐步调整的思想，初步了解其他类型的鸡兔同笼问题，例如已知“头数差与腿数和”，或者已知“头数的倍数
关系与腿数和”的问题，并学会分组的方法。
兴趣篇
1. 一只鸡有1个头2条腿，一只兔子有1个头4条腿。如果笼子里的鸡和兔子共有10个头和26条腿，你知道
鸡和兔子各有几只吗？
分析：鸡7只，兔子3只
2. 停车场上的自行车和三轮车一共有24辆，其中每辆自行车有2个轮子，每辆三轮车有3个轮子，所有自行车
和三轮车一共有56个轮子。请问：有多少辆自行车？有多少辆三轮车？
分析：自行车16辆，三轮车8辆
3. 晨星小学有30间宿舍，其中大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人。如果这些宿舍一共可以住168人，那么
有几间大宿舍？
分析：24间
4. 理想小学150名教师参加新年联欢会，其中有一个趣味游戏，要求男教师2人一组，女教师3人一组。结果共
分了62组，恰好分完。请问：女教师有多少人，男教师有多少人？
分析：女教师78人，男教师72人
5. 阿奇的存钱罐里有5角和1元的硬币共25枚，总钱数为19元。这两种硬币各有多少枚？
分析：1元硬币13枚，5角硬币12枚
6. 张老师给幼儿园两个班的孩子分水果。大班每人分得2个苹果和5个桔子，小班每人分得2个苹果和3个桔
子，张老师一共分出了80个苹果和158个桔子。请问：小班有多少个孩子？
分析：21个
7. 鸡兔同笼，鸡和兔的数量一样多，共有48条腿，求鸡和兔各有几只？
分析：各8只
8. 动物园里，鸵鸟和斑马生活在同一片草地上，斑马的数量是鸵鸟的3倍，斑马和鸵鸟一共有140条腿，求斑
马和鸵鸟各有几只？
分析：斑马30只，鸵鸟10只
9. 阿奇去参加奥运知识竞赛抢答，按规定每答对一题得5分，答错一题倒扣1分。阿奇抢答10道题后，共得到
26分。请问：阿奇答对了几道题？
分析：6道
10.货运公司运送50箱玻璃仪器，合同规定每箱运费20元。但如果有损坏，被损坏的那一箱不仅不给运费，还
要赔偿60元。货运公司最后只得到了760元，请求出损坏了多少箱？
分析：3箱
拓展篇
1. 中国古代的数学著作《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四只，
问雉兔各几何？”这四句的意思就是：有一些鸡和兔子在同一个笼子里，从上面看有35个头；从下面看有
94条腿。请求出笼中的鸡和兔子各有几只？
Page 50 of 107分析：鸡23只，兔子12只
2. 同学们去游乐场游玩，老师用500元钱买了套票和普通票两种门票，普通票10元一张，套票20元一张，共买
了35张。请问：两种门票各买了多少张？
分析：普通票20张，套票15张
3. 班主任黄老师和班上的50名同学在中秋晚会上一起吃月饼。黄老师吃了5块月饼，男生每人吃4块，女生每
人吃2块。最后一共吃了135块月饼。求有几名男生，有几名女生。
分析：男生15名，女生35名
4. 松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个。它一连几天一共采了112个松籽，平均每天
采14个。请问：这些天里有几天是雨天？
分析：6天
5. 猪八戒曾卖过一段时间的牛肉和羊肉，牛肉3文钱一斤，羊肉5文钱一斤。有一天，一个人来他的肉铺买肉，
牛肉和羊肉一共买了28斤。结账时，猪八戒错误地把牛肉算成5文钱一斤，把羊肉算成3文钱一斤了，结果
那人一共付了100文钱。请问：与实际的价钱相比，猪八戒是亏了还是赚了？如果赚了，赚多少？如果亏了，
亏多少？
分析：亏了；亏24文钱
6. 甲、乙两个班去不同的地方春游，甲班每个人需要交10元车钱和15元门票钱，乙班每个人需要交10元车钱
和20元门票钱，结果两个班共收了520元车钱和940元门票钱。求甲、乙两个班分别有多少人？
分析：甲班20人，乙班32人
7. 一张试卷共有20道题目，每人都有20分的初始分。每答对一题得4分，每答错一题倒扣1分。阿奇答了全部
的题目，却还是20分。请问：他一共答对了几道题？
分析：4道
8. 在某电视机厂质量检测评比中，每生产出一台合格电视机记5分，每生产出一台不合格电视机扣10分。第一
小组每天生产电视机100台，四天内共得了1850分。请问：这四天一共生产了多少台合格电视机？
分析：390台
9. 鸡兔同笼，鸡比兔子多4只，兔子和鸡的腿数总和为32，鸡和兔子各有几只？
分析：鸡8只，兔子4只
10.鸡兔同笼，兔子比鸡多10只，兔子和鸡的腿数总和为100，鸡和兔子各有几只？
分析：鸡10只，兔子20只
11.鸡兔同笼，鸡的数量是兔子的3倍，兔子和鸡的腿数总和为110，鸡和兔子各有几只？
分析：鸡33只，兔子11只
12.河边有一群狗追一群鸭子，鸭子的只数是狗的4倍，鸭子的总腿数比狗的总腿数多20，狗和鸭子各有多少只？
分析：狗5只，鸭子20只
超越篇
1. 幼儿园里，老师给大班和小班的同学发桔子，大班每人发5个，小班每人发3个。已知小班比大班多7人，老
Page 51 of 107师总共发了101个桔子，求大班和小班的人数。
分析：大班10人，小班17人
2. 在手工课上，同学们剪出了一些三角形、四边形和五边形的纸片，所有纸片总共有394条边，其中五边形有2
个，四边形比三角形多82个。请问：四边形有多少个？
分析：90个
3. 超市里，水果糖每千克卖20元，奶糖每千克卖25元，巧克力糖每千克卖30元。某天上午，这三种糖一共卖
了20千克，总收入是480元。已知奶糖和巧克力糖总共卖了300元。请问：其中卖出奶糖多少千克？
分析：6千克
4. 蜘蛛、蜻蜓和蝉三种动物一共有21只，蜘蛛有8条腿但没有翅膀，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1
对翅膀。三种动物一共有140条腿，23对翅膀。请问：三种动物各有多少只？
分析：蜘蛛7只，蜻蜓9只，蝉5只
5. 某杂志每期定价5元，全年共出12期。某班一些学生订半年，其余学生订全年，共需订费900元；如果订半
年的改订全年，而订全年的改订半年，那么共需订费990元。问：这个班有多少名学生？
分析：21名
6. 中秋节前夕，公司给员工发购物券，市场部每人得到3张月饼盒2张水果券，技术部每人得到2张月饼券和
3张水果券。已知共发了110张月饼券和90张水果券。问：市场部和技术部各有多少人？
分析：市场部30人，技术部10人
7. 商店国庆节促销，汽水的价格由3瓶3元改为每4瓶3元，而酸奶则是买1瓶送1瓶。冬冬花28元按照优惠
价购买汽水和酸奶若干瓶，其中汽水瓶数比酸奶瓶数的3倍少2，冬冬发现这比平时便宜了14元。求每瓶酸
奶的正常价格？
分析：1.4元
8. 有鸡和兔子若干只，它们的总腿数比总头数的3倍多8，而鸡的只数的5倍比兔子的只数的4倍少19.问：鸡
和兔子一共有多少只？
分析：34只
第十二讲 枚举法二
内容概述
巩固字典排列的方法；使用树形图的方法解决更复杂的计数问题；熟练掌握分类枚举的方法
兴趣篇
1. 有一些三位数的各位数字都不是0，且各位数字之和为6，这样的三位数共有多少个？
分析：10个
Page 52 of 1072. 汤姆、杰瑞和德鲁比都有蛀牙，他们一起去牙医诊所看病。医生发现他们一共有8颗蛀牙，他们三人可能分
别有几颗蛀牙？
分析：共21中情况，详解略
3. 老师让小明写出3个非零的自然数，且3个数的和是9，如果数相同、顺序不同算同一种写法，例如1+2+6、
2+1+6还有6+1+2都算是同一种写法。请问：小明一共有多少种不同的写法？
分析：7种
4. 生物老师让大家观察蚂蚁的习性。第二天小悦在小区的广场上发现了12只黑蚂蚁，这12只蚂蚁恰好凑成了
3堆，每堆至少有2只。请问：这3堆蚂蚁可能各有几只？
分析：共7种情况：（2，2，8）；（2，3，7）；（2，4，6）；（2，5，5）；（3，3，6）；（3，4，5）；（4，4，4）
5. 一个三位数，每一位上的数字都是1、2、3中的某一个，并且相邻的两个数字不相同。一共有多少个满足条件
的三位数？
分析：12个
6. 如图，一只小蚂蚁药从一个正四面体的顶点A出发，沿着这个正四面体的棱依次走遍4个顶点再回到顶点
A。请问：这只小蚂蚁一共有多少种不同的走法？
分析：6种
7. 5块六边形的地毯拼成了下图中的形状，每块地毯上都有一个编号。现在阿奇站在1号地毯上，他想要走到5
号地毯上。如果阿奇每次都只能走到河他相邻的地毯上（两个六边形如果又公共边就称为相邻），并且只能
向右边走，例如1 2 3 5就是一种可能的走法。请问：阿奇一共有多少种不同的走法？
分析：5种
8. 在下图中，一共能找出多少个长方形（包括正方形）？
Page 53 of 107分析：29个
9. 如果只能用1元、2元、5元的纸币付款，那么要买价格是13元的东西，一共有多少种不同的付款办法？（不
考虑找钱的情况）
分析：14种
10.有一类小于1000的自然数，每个数都由若干个1和若干个2组成，并且在每个数中，1的个数比2的个数多。
这样的数一共有多少个？
分析：3个
拓展篇
1. 小悦、冬冬、阿奇三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了5件宝物，这三个人可能分别找到了几件
宝物？
分析：共21种情况，详解略
2. 小悦、冬冬和阿奇三个人一起吃完了一盘薯条，这盘薯条总共有20根，并且每个人吃的薯条都比5根多。请
问：每个人可能吃了几根薯条？
分析：共6种情况，详解略
3. 老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8.如果两个同学写出的3个自然数相同，只是
顺序不一样，就算是同一种写法。请问：同学们最多能给出多少种不同的写法？
分析：10种
4. 费叔叔准备去打羽毛球，他拿了3个一模一样的球桶，每个球桶最多能装8个羽毛球。他数了一下，发现3个
球桶里面一共有16个羽毛球。请问：3个球桶里面可能分别有几个羽毛球？
分析：共10种情况，详解略
5. 商店里有12种不同的签字笔，价格分别是1，2，3，4，…，11，12元。小悦准备买3支不同价格的签字笔，并且
希望恰好花掉15元。请问：小悦一共有多少种不同的买法？
分析：12种
6. 费叔叔提着一个带密码锁的公文包，但是他忘记了密码，只记得密码是一个三维数。这个三位数的个位数字
比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有比5大的数字。试问：费叔叔最多只需要试多少次就肯定
能打开这个公文包？
分析：10次
7. 常昊与古力两人进行围棋赛，谁先胜三局就会取得比赛的胜利。如果最后常昊获胜了，那么比赛的进程有多
Page 54 of 107少种可能？
分析：10种
8. 从下图的左下角的A点走到右上角的B点。如果要求只能向上或者向右走，一共有多少种不同的走法？如果
要求只要不走重复的路线就可以，那么从A点走到B点一共有多少种不同的走法？
分析：（1）5种； （2）9种
9. 妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止。如果天数不限，可能的吃法一共有多少种？
分析：8种
10.老师拿来三块木板，上面分别写着数字1、2、3.小悦可以用这些模板拼出多少个不同的数？
分析：15个
11.午餐的时候，食堂给同学们准备了苹果、香蕉和桔子这三种水果，每种都有很多个。冬冬想要挑3个水果吃。
请问：冬冬一共有多少种选择？
分析：10种
12.（1）如图（a），方格纸的黑点位置上有一只小蚂蚁，它沿着方格纸上的横线和竖线爬行，方格纸上每一小段
的长度都是1厘米。试问：小蚂蚁爬了2厘米之后，可能在哪些位置？把可能的位置在图上标出来。
（2）如图（b），方格纸上每一小段的长度也是1厘米，黑点的位置上有一只小蚂蚁，如果它爬了3厘米之后，恰好
在黑线上。请问：这只小蚂蚁爬行的线路一共有多少种不同的可能？
分析：（1）有8个可能的位置； （2）20种
超越篇
1. 小悦买了一些大福娃和小福娃，一共不到10个，且两种福娃的个数不一样多。请问：两种福娃的个数可能有
多少种不同的情况？
分析：32种
Page 55 of 1072. 三条边的边长均为整数，且最长边的边长是8厘米，这样的三角形共有多少种？
分析：20个
3. 有19本书，分成5份。如果每份至少有一本书，且每份的本数都不相同，一共有多少种分法？
分析：5种
4. 在NBA总决赛中，由洛杉矶湖人队对底特律活塞队。比赛采用7场4胜制。每胜一场会获得1分的积分。最终
湖人队获得了胜利，双方的积分是4：2，并且在整个比赛过程中，湖人队的积分从来没有落后过。问：比赛过
程中的胜负情况共有多少种可能？
分析：5种
5. 甲、乙、丙三个人传球。第一次传球是由甲开始，将球传给乙或丙……经过4次传球后，球正好回到甲手中。
那么一共有多少种不同的传球方式？
分析：６种
6. 如图，现在要从图中的A点走到B点，如果每个点最多只能经过一次，那么一共有多少种不同的走法？
分析：16种
7. （1）刚开学时，甲、乙、丙、丁、戊五位同学的作为表如图12-7所示。一段时间后，他们觉得每天坐同样的位
置太无聊，每人都想要换到与原来座位不相邻的位置上，那么有多少种换座位的方法？
（2）甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学的座位如图12-8所示，如果每人都要换座位，而且每人都要换到与原来作为
不相邻的位置上，那么有多少种换座位的方法？
分析：（1）4种； （2）8种
8. 如图，一只蚂蚁从A点出发，沿着八面体的棱行进，要求恰好经过每个顶点各一次，一共有多少种不同的走
法？
Page 56 of 107分析：40种
第十三讲 等差数列．
内容概述
掌握等差数列中的首项、末项、项数、公差等基本概念及其相互关系；理解等差数列中的各种计算公式，并
能熟练运用公式解决与等差数列相关的各种问题
兴趣篇．
1. （1）2，5，8，11，14，···。
上面是按规律排列的一串数，其中第21项是多少?
（2）把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？
分析：（1）62； （2）141
2. 如图13．1，有一堆按规律摆放的砖，从上往下数，第1层有1块砖，第2层有5块砖·，第3层有9块
砖······按照这样的规律，第19层有多少块砖？
分析：73块
3. 已知一个等差数列第9项等于131，第10项等于137，这个数列的第1项是多少？第19项是多少？
分析：83；191
4. 冬冬先在黑板上写了一个等差数列，刚写完阿奇就冲上讲台，擦去了其中的大部分数，只留下第四个数31
和第十个数73，你能算出这个等差数列的公差和首项吗？
分析：公差7，首项10
Page 57 of 1075. 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。
（1）如果冬冬报3，阿奇报25，每位同学报的数都比前一位多2，那么队伍里一共有多少人？
（2）如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？
分析：（1）12； （2）20
6. 计算：
（1）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12；
（2）11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19。
分析：（1）78 （2）135
7. 计算：
（1）100＋99＋98＋97＋96＋95＋94＋93＋92＋91＋90；
（2）21＋19＋17＋···＋3＋1。
分析：（1）1045 （2）121
8. 计算：
（1）2＋6＋10＋···＋90；
（2）41＋44＋47＋···＋101。
分析：（1）1058 （2）1491
9. 已知一个等差数列第8项等于50，第15项等于71。请问：
（1）这个等差数列的第1项是多少？
（2）这个等差数列前10项的和是多少？
分析：（1）29 （2）425
10.编号为1~9的九个盒子中共有351颗小玻璃珠，除编号为1的盒子外，每个盒子里的玻璃珠都比前一号盒子
多同样多的颗数。
（1）如果1号盒子内放了11颗小玻璃珠，那么后面的盒子比其它前一号的盒子多放几颗？
（2）如果3号盒子内放了23颗小玻璃珠，那么8号盒子放了几颗？
分析：7颗 （2）63颗
拓展篇．
1. （1）一个等差数列共有13项，每一项都比他的前一项大2，并且首项为23，求末项是多少；
（2）一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项小7，并且末项为125，求首项是多少。
分析：（1）47 （2）209
2. 一个等差数列的首项为1 1，第1 0项为2 0 0，这个等差数列的公差等于多少？第1 9项等于多少？
分析：21 ；389
3. 小月读一本课外书，第一天读了15页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了36页，刚好把书读完。
请问：小月一共读了多少天？这本课外书共有多少页？
分析：8天； 204页
4. 计算：
（1）3 ＋ 6 ＋ 9 ＋ 12 ＋ 15 ＋ 18 ＋ 21 ＋ 24 ＋ 27 ＋ 30；
（2）41 ＋ 37 ＋ 33 ＋ 29 ＋ 25 ＋ 21 ＋ 17 ＋ 13 ＋ 9 ＋ 5 ＋ 1。
Page 58 of 107分析：（1）165 （2）231
5. 计算：
（1）5 ＋ 11 ＋ 17 ＋···＋77 ＋ 83；
（2）193 ＋187 ＋ 181 ＋···＋103。
分析：（1）616 （2）2368
6. 有一堆粗细均匀的圆木，堆成如图1 3－2的形状。已知最上面一层有6根，共堆了2 5层。请问：这堆圆木
共有多少根？
分析：450根
7. 一个等差数列的第1项是2 1，前7项的和为1 0 5，这个数列的第1 0项是多少？
分析：3
8. 把2 4 8表示成8个连续偶数的和，其中最大的那个偶数是多少？
分析：38
9. 魔术师表演魔术。刚开始，桌上的盒子里放着3个乒乓球。第一次，他从盒子里拿出1个球，把它变成3个后
全部放回盒子里；第二次，他从盒子里拿出2个球，把每个球变成3个后，又全部放回盒子里······
第十次，他从盒子里拿出1 0个球，把每个球变成3个后，再全部放回盒子里。请你算一算，现在盒子里一共
有几个乒乓球？
分析：113个
10.小王和小高同时开始工作。小王第一个月得到1 0 0 0元工资，以后每月多得6 0元；小高第一个月得到5
0 0元工资，以后每月多得4 5元。两人工作一年后，所得的工资总数相差多少元？
分析：6990元
11.在一次考试中，第一组同学的分数恰好构成了公差为3的等差数列，总分为6 0 9，冬冬发现自己的分数少
了，找老师更正后，加了2 1分，这时他们的成绩还是一个等差数列。请问：冬冬正确的分数是多少？
分析：99分
12.已知一个等差数列的前1 5项之和为4 5 0，前2 0项之和为7 5 0，请问：这个数列的公差是多少？首项是
多少？
分析：3；9
超越篇．
1. 图1 3－3是一个堆放铅笔的“V”形架，如果“V”形架上一共放有2 1 0支铅笔，那么最上层有多少支铅
笔？
分析：20支
2. 下面的各算式是按规律排列的：1 ＋ 1，2 ＋ 3，3 ＋ 5，1 ＋ 7，2 ＋ 9，3 ＋ 1 1，1 ＋ 1 3，2 ＋ 1 5，3
＋ 1 7，···，请写出其中所有结果为9 8的算式。
分析：3+95 ， 1+97
3. 一串数共有1 1个，中间数最大。从中间数往前数，一个比一个小2；从中间数往后数，一个比一个小已知这
1 1个数的总和是2 0 0，那么中间数是多少？
Page 59 of 107分析：25
4. 如图1 3－4，有一个边长为1米的大等边三角形，将它分割成许多边长为2厘米的小等边三角形。请问：
（1）边长为2厘米的小等边三角形共有多少个？
（2）图中所有长度为2厘米的线段的总长度是多少？
图1 3－4
分析：（1）2500个； （2）7650厘米
5. 按规律写出一系列算式：1 0 0 0－1，9 9 3－4，9 8 6－7，9 7 9－1 0，···，如果要保证被减数比减数
大，最多能写出几个算式？请写出最后的算式。
分析：100个 ； 最后的算式是307-298
6. 在一次数学竞赛中，获得一等奖的八名同学的分数恰好构成等差数列，总分为6 5 6，且第一名的分数超过
了9 0分（满分为1 0 0分）。已知同学们的分数都是整数，那么第三名的分数是多少？
分析：88分
7. 三年级一班期末数学考试中，前10名的成绩恰好构成一个等差数列，已知考试满分1 0 0分，每个同学的得
分都是整数，而且第3、4、5、6名同学一共得了3 5 4分，又知道小悦得了9 6分，那么第1 0名同学得了多
少分？
分析：72分
8. 费叔叔给小区里的一些小朋友发游戏卡片，这些小朋友得到的卡片数目恰好构成一个等差数列。阿奇发现
自己分到的最少，于是找到费叔叔要卡片，费叔叔给阿奇加了3 6张，这时所有小朋友的卡片数也构成一个
等差数列；变化后，冬冬的卡片最少，于是向费叔叔要来1 8张，这时所有小朋友的卡片数仍构成一个等差
数列，又已知在发卡片的过程中，每个小朋友手中的，卡片都没有超过1 0 0张，而且刚开始时有人拿的卡
片数超过了9 0张，请问：费叔叔开始时给冬冬发的卡片比给阿奇的多几张？
分析：24张
Page 60 of 107第十四讲几何图形的认知．
内容概述
认识各种基本平面图形和立体图形；了解简单的几何图形剪拼和立体图形展开；看懂立体图形的示意图，锻
炼一定的空间想象能力。
兴趣篇．
1. 根据图1 4－1中的几个图形的变化规律，在横线上画出适当的图形：
图1 4－1
分析：
2. 如图1 4－2，数一数，图中共有多少个角？
分析：8个
3. 如图1 4－3，将一个边长为4厘米的正方形对折，在沿折线剪开，得到两个长方形，请问：这两个长方形的
周长之和比原来正方形的周长多几厘米？
图1 4－3
分析：8厘米
4. 用1 2个边长为1的小正方形拼成一个大长方形，这个长方形的周长最短是多少？
分析：14
Page 61 of 1075. 用7根长度都是1寸的火柴棍拼成了一个三角形。请问：这个三角形的三条边长分别是多少？
分析：3寸、3寸、1寸或3寸、2寸、2寸
6. 有两个相同的指教三角形纸片，三天边分别为3厘米、4厘米、和5厘米。不许折叠，用这两个直角三角形可
以拼成几种平行四边形？
分析：3种
7. 图1 4－4中哪些是三角形？那些事长方形？哪些是平行四边形？哪些是菱形？
分析：三角形有2个：④和⑦；长方形有2个：①和②；平行四边形有4个：①、②、③、⑥；菱形有2个：①和⑥
8. 图1 4－5的金字塔和图1 4－6的正八面体各有几条棱，几个面？
图1 4－5 图1 4－6
分析：金字塔有8条棱，5个面；正八面体有12条棱，8个面
9. 一个正方体的六个面上分别写着A、B、C、D、E、F六个字母。请你根据图1 4－7的三种摆放情况，判断每个
字母的对面是什么？
Page 62 of 107图1 4－7
分析：B与D相对，E与A相对，C与F相对。
10. 如图1 4－8，在一个正方体的表面上写着1至6这6个自然数，并且1对着4，2对着5，3对着6．现在将正
方体的一些棱剪开，使它的表面展开图如图1 4－9所示。如果只知道1和2所在的面，那么6应该在哪个
面上（请写出字母代号）？
图1 4－8 图1 4－9
分析：A
拓展篇
1. 如图1 4－1 0，数一数，图中共有多少个直角？多少个锐角？多少个钝角？
图1 4－1 0
分析：8个；12个；6个
2. 如图1 4－1 1，数一数，图中共有多少个正方形？
图1 4－1 1
分析：5个
3. 用两个完全相同的、各边长分别为5、1 2、1 3的执教三角形纸片，可以拼成多少种不同的
（1）等腰三角线形？
Page 63 of 107（2）平行四边形？
分析：2个；3个
4. 如图1 4－1 2，有一张长方形纸片，长为2，宽为1，A点是长边上的中点，沿着图中虚线将这张纸片剪成两
块，再将这两块重新组合（不能重叠），可以拼成哪些你熟悉的图形？请将它们画出来。
图1 4－1 2
分析：可以拼成等腰梯形、平行四边形、长方形和等腰直角三角形；
5. 如图1 4－1 3，将正方形纸片沿对角线对折一次，得到一个等腰直角三角形；再对折一次，得到一个较小的
三角形；最后，再对折一次，然后将多得到的小等腰直角形用剪刀沿斜边上的高线剪。那么展开后，原来的
正方形纸片一共被剪成了几片？都是什么图形？
分析：5片；4个等腰直角三角形和1个正方形
6. 如图1 4－1 4，用四个完全相同的边长分别为5、1 2、1 3的直角三角形拼成了一个“风车”，求这个风车
的周长。
图1 4－1 4
分析：80
7. 一个等腰三角形的两条边的长度分别是3和4，那么这个三角形的周长可能是多少？另外一个等腰三角形
的两条边的长度分别是4和9，这个三角形周长可能是多少？
分析：10或11；22
8. 周长是1 2，各边长都是整数的等腰三角形有几种？长方形有几种？
分析：2种；3种
9. 图1 4－1 5中的四个正方体标字母的方式是完全相同的，请你利用图中已知的信息，判断A、B、C的对面分
别标的是哪个字母？
Page 64 of 107图1 4－1 5
分析：A的对面标有D，B的对面标有F，C的对面标有E
10. 如图1 4－1 6，第1个方格内放着一个正方体木块，木块六个面上分别写着A B C D E F六个字母。其中A
与D相对，B与E相对，C与F相对。现在将木块标有字母A的那个面朝上，标有字母D的那个面朝下放在第
一个方格内，然后让木块按照箭头指向，沿着图中方格滚动，当木块滚到21格时，木块向上的面上写的是哪
个字母？
图14-16
分析：字母A
11. 图14－17是一个立体图形的展开图，请问：原来立体图形的棱和面各有多少？
图14－17
分析：16条棱，9个面
12. 一个棱长为4厘米的正方体，将其6个面都涂满红漆，然后把它锯成棱长为1厘米的小正方体，请问，这些
Page 65 of 107小正方体中：
（1）3面涂上红色的有多少块？
（2）只有2面涂上红色的有多少块？
（3）只有1面涂上红色的有多少块？
（4）没有涂色的有多少块？
（5）至少有1面涂上红色的有多少块？
分析：（1）8块 （2）24块 （3）24块 （4）8块 （5）56块
超越篇
1. 图14－18是一个任意形状的三角形A B C，可以把它折叠成如图所示的长方形，使得A、B、C都重合在B C
上P这一点。请在三角形A B C中标出P点的位置，并画出折痕。
分析：从A点作BC边的垂线交BC于P，将A、B、C三点都折叠到P点即可
2. 请尝试：（1）把一个正方形折叠成一次后变成一个三角形；（2）把一个正方形折叠一次后变成一个长方形；
（3）把一个正方形折叠一次后变成一个梯形。
分析：略
3. 如图1 4－1 9，有五个完全相同的骰子摆成一排，五个骰子底面的点数之和是多少？
图1 4－1 9
分析：18
4. 如图1 4－2 0，在正方体的6个表面上写有计算机字体的1、2、3、4、5、6（虚线表示通过透视所能看到的情
况）。现在将这个正方体剪开，如图14－21所示，请你在剩下的5个方格中标出数字1、2、3、4、5，请注意这
些数字的方向要和原来的正方体保持一致。
Page 66 of 107分析：
5. 如图14－22，一个正方体的8个顶点被截去后，得到一个新的几何体，这个新的几何体有几个面？几个顶
点？几条棱？
图14-22
分析：14个面；24个顶点；36条棱
6. 有一个3×4×5的长方体先把其中相邻的两个面染红，再把它切成60个1×1×1的小正方体。请问：这些
小正方体中最多有多少个是恰有一个面被染红的？
分析：25个
7. 将一个正方体纸盒的某些棱剪开后，可以将其平铺成一个“平面展开图”，也就是由6个正方形连接起来
的一整张纸片，那么正方体的平面展开图一共有多少种？请全部画出来。（注意：如果经过旋转或者翻转后，
两个展开图可以完全重合，那么能算作一种平面图形）
分析：11种
8. 图14－23是一个边长为3厘米的大正方体，它是由边长为1厘米的小正方体组成的，已知A、B、C、D、E、F、
G、H是正方体的八个顶点，P是ABCD面上的中心。请回答下列问题：
（1）如图14－24所示，用一个通过P、E、F三点的平面将大正方体切开，这时切开的面是什么形状？此时一
共还剩下多少个完整的小正方体（边长为1厘米）？
（2）如图14－25所示，用一个通过P、A、C、F四点的平面将大正方体切开，这时切开的面是什么形状？此时
一共还剩下多少个完整的小正方体？
Page 67 of 107P
图14－23
P
图14－24
P
图14－25
分析：（1）长方形18个 （2）正三角形18个
Page 68 of 107第十五讲盈亏问题一
内容概述
了解盈亏问题的两种基本类型，一种是由人数差别而产生的盈亏，另一种是由每个人分得的物品数量差别
产生的盈亏。通过比较法，解决较为简单的盈亏问题，主要涉及“盈盈比较”和“盈亏比较”
兴趣篇
1. 老师给同学们发作业本，每人发了同样多的作业本后，还剩下20本。后来给新来的2个人页发了同样数目
的作业本，就只剩下12本了，请问：每个人发了几本？剩下的作业本还能再发给几个人？
分析：4本；3人
2. 老师把一堆苹果分给小朋友，每人分的同样多，如果分给9个人，那么还剩下21个苹果；如果分给12个人，
就只剩下12个苹果，请问：这堆苹果一共有多少个？
分析：48个
3. 把一些桃子分给猴子吃，每只猴子分的一样多。如果分给5只猴子，那么还剩下12个桃子；如果分给7只猴
子，就会缺4个桃子。问：这堆苹果一共有多少个？
分析：8个
4. 老师拿来一些香蕉，分给每个同学5根之后，还剩下6根，于是老师又拿来了4根香蕉，正好能给每个人再
分1根。请问：一共有多少名同学？开始老师拿来了多少根香蕉？
分析：10名；56根
5. 学校将某个班的的学生分到各个宿舍，如果每间宿舍安排5个人，那么还有10个人没地方住；如果安排每
间宿舍6人，那么还有3个人没地方住。请问：一共又多少间宿舍，多少个学生？
分析：7间；45个
6. 运动会上，班长给参赛选手发矿泉水。如果每名选手分4瓶水，那么还多5瓶；如果每名选手分5瓶水，就会
缺少3瓶。请问：又多少名选手，多少瓶水？
分析：8名；37瓶
7. 某车队买回了一些新轮胎。小明数了一下，发现要是把每辆车的2个前胎全部换掉，还能剩下20个轮胎；如
果要把每辆车的4个轮胎全都换掉，就只剩下6个轮胎了。请问：车队一共又几辆汽车？
分析：7辆
8. 张老师拿着一些图片发给大家，开始想要给每个小朋友5张图片，结果发现差了12张，所以只能给每个小
朋友3张图片，这样还能剩下4张，请问：一共有多少个小朋友？张老师共有多少张图片？
分析：8个；28张
9. 冬冬请3名同学去看电影，买完票之后还剩下一张10元钱、一张5元钱和两张1元钱。这时又来了两名同
学，冬冬也想请他们一起看，可是他发现还差3元钱。请问：冬冬一共又多少钱？
分析：57元
Page 69 of 10710. 过年了，爷爷给小建一些压岁钱，都是10元的新钞票。小建数了一下，如果买6元钱一本的普通版《加菲
猫》漫画，买了一套之后，还能剩下5张新钞票；要是改买10钱一本的精装版，买了一套之后，就只剩下10
块钱了。请问：小建一共得到了多少压岁钱？（一套普通版和一套精装版所含的书本数一样多，只是包装不
一样）
分析：110元
拓展篇
1. 老师拿来很多剪纸，分给5个同学，每人分到的一样多，还剩下22张，后来又来了两个同学，分给他们同样
多的剪纸后，就只剩下6张了，请问：老师一共拿来了多少张剪纸？
分析：62张
2. 小悦去文具店买水彩笔，如果买7支，还能剩下7元9角钱；后来小悦决定买13支，结果只剩1角钱。请问：
小悦一共带了多少钱？
分析：17元
3. 某仓库来了一队货车，工人们都去卸货，每辆货车分配的工人一样多，剩下30名工人；后来又来了6辆货车
要卸货，结果缺6名工人。请问：每个货车分配了多少名工人？
分析：6名
4. 同学们早餐吃面包，每袋面包有10片，开始来了9个同学，老师给每人发了同样多片面包之后，还剩下半袋，
后来又来了5个同学，老师发现还要在买两袋面包，才够给新来的同学每人发同样多的面包。请问：老师开
始准备了多少袋面包？
5. 一个运输班有9个人，如果每个人背的钢盔数都相同，正好能够把全部钢盔背上，后来增加了2个人，但是
有一个人偷懒少背了2个钢盔，剩下的士兵每人背的钢盔个数不变，这样一共比原来多背了10个钢盔，请
问：开始全班一共背了多少个钢盔？
分析：54个
6. 过年了，某工厂打算拿出一笔钱给表现优秀的工人发奖金，每人发同样多的钱。开始一数，共有40名优秀的
工人，按原计划发完奖之后还能剩下400元钱。后来发现少统计了10名优秀工人，结果总钱数不够了，还缺
500元钱。如果公司只有这么些奖金，那么请问：只能给每名优秀工人发多少元钱？
分析：80元
7. 老师拿来了一批树苗，分给同学们去种。每人分8棵树苗，最后还剩下6棵树苗，如果在拿来18棵树苗，正
好可以给每个同学再分2棵。请问：原来共有多少棵树苗？
分析：102棵
8. 裁缝做衣服，他已经做好了一些西服，现在要往上面缝扣子。如果每件西服缝3个扣子，还会剩下26个扣子；
如果每件缝5个，就只能剩下4个扣子了。请问：裁缝一共有多少个扣子？他已经做好了多少件西服？
分析：59个；11件
9. 小张准备了一些钱买CD，如果每张CD的价格是30元钱，买完后还能剩下10元钱。结果CD的实际价格是40
元钱一张，所以他还需要回家再取50元才正好够。请问：小张原来准备了多少钱？
分析：190元
Page 70 of 10710. 小明的爸爸发了一些奖金，准备用这些钱全家取海南旅游，结果发现每人需要花费2600元，需要的总钱数
比奖金还多500元，于是大家只能改往去桂林，这样每人只需要花费2300元，结果还能剩下400元，请问：
小明全家一共有多少人？爸爸一共发了多少元奖金？
分析：3人；7300元
11. 学校组织学生们去农村郊游，如果每户农家住4命同学，就会有7个人没地方住；
（1）如果每户农家住5名同学，就会空出3个床位。请问：这批学生一共有多少人？
（2）如果每户农家住5名同学，最后2个农家就正好空着没有同学住了。请问：这批学生一共有多少人？
分析：（1）47人； （2）75人
12. 有两堆一样多的苹果。老师将第一堆苹果分给男生，每人4个，最后剩下6个；老师又将第二堆苹果分给女
生，每人5个，最后剩下5个。已知男生比女生多1人。请问：每堆苹果有多少个？
分析：30个
超越篇
1. 少先队员去植树，如果每人挖5个树坑，还剩下3个树坑每人挖；如果其中两人各挖4个树坑，其余每人挖6
个树坑，就恰好把所有的树坑都挖完。请问：一共有多少名少先队员？一共有多少个树坑要挖？
分析：7名；38个
2. 小明计划用用若干天做一本习题集，如果他每天做5道题，那么最后两天每天要做10道题才能做完；如果
他每天做6道题，恰好可以提前一天做完。请问：这本习题集中共有多少到题？
分析：90道
3. 幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分5个，则余10个；如果全部分给小班的
小朋友，每人分8个，则缺2个。已知大班比小班多3个小朋友，请问：这筐苹果一共有多少个？
分析：70个
4. 军训时全年级的同学一起吃午饭，教官算了一下，如果每张桌子坐6个人，那么还剩下22个人没有地方坐，
入座时发现有三张桌子坏了，于是改为每张桌子坐8个人，结果还剩下6个人没地方坐。请问：全年级一共
有多少人？
分析：142人
5. 一班的同学去春游，原计划坐校车，还空出6个座位。后来二班的38个同学决定和一班同学一起去春游，于
是两班的同学决定换乘大车，结果需要多派一辆车，并且还空出4个座位，已知大车每车坐12人，小车每车
坐8人。求一班的人数。
分析：42人
6. 宿舍里4名同学原计划合买一台电脑，费用大家均摊，后来隔壁宿舍的2名同学也加入进来一起购买，并且
电脑由于促销价格降低了1000元，于是每人将比原来少出824元，求电脑的促销价格。
分析：6888元
7. 老师给幼儿园的小朋友分水果，苹果的个数是梨的个数的2倍，如果给每人分3个梨，就多出2个梨；如果
给每人分7个苹果，那么还少6个苹果。请问：共有多少个小朋友分水果？一共有多少个苹果？
分析：10个；64个
8. 老师买了13盒钢笔分给同学们，每盒钢笔的支数都相同，每人拿到的钢笔数目也相同，分完后发现剩下半
Page 71 of 107盒钢笔。这时又来了8名同学，于是老师又买了3盒钢笔，给他们发了同样数目的钢笔后，还剩下2支，后来
又来了10名同学，老师又买了4盒钢笔后，正好全部分完。请问：原来有多少名同学？
分析：30名
第十六讲智巧趣题二
内容概述
使用火柴棒构造算式的问题；多笔画的问题；较复杂的需要巧妙方法进行分析和构造的问题。
兴趣篇
1. 把算式152＋58＋1用火柴棒摆在桌子上，可以摆成下面的样子，我们从镜子中看过去，在镜子里面出现的
算式是什么？结果是多少？
分析：
2. 请移动一根火柴棍，使下列算式成立：
分析：
3. 请移动一根火柴棍，使下列算式成立：
分析：
Page 72 of 1074. 图16－1是一个由火柴棍组成的图形，请问：最少要从中拿出几根火柴棍，才能使余下的图案中没有三角形？
分析：3根
5. 图16－2是一个用12根火柴棍组成的图形，请问：最少要去掉几根火柴棍，才能使余下的图案中不包含正
方形？
图16－2
分析：3根
6. 图16－3中的两个图形都不能只用一笔画出来，现在要求在这两个图形中各去掉一条线段，使它们都能用
一笔画出来，应该怎么办？
图16－3
分析：答案不唯一。
7. 阿奇开始买了64瓶汽水，如果4个空瓶可以换1瓶汽水，那么请问：他最多能喝到多少瓶汽水？如果他开
始卖了67瓶汽水呢？
分析：85瓶； 89瓶
Page 73 of 1078. 三年级一班共有49名同学，现在他们要渡过一条河，只有一条可乘7人的橡皮船，没过一次河需要花3分
钟。请问：利用这条橡皮艇把全班同学都运到河对岸，最少需要多少分钟？
分析：45分钟
9. 一名农夫带着一条狗、一只兔子和一筐白菜要过河，现在只有一条小船，农夫一次最多带一样东西过河，农
夫不在的时候，狗会咬兔子，兔子会吃白菜。请问：农夫用什么办法可以将三洋东西安全地带过河呢？
分析：农夫先带兔子过河，空手返回，再回来带狗（或菜）过河，并带兔子返回，再把菜（或狗）带过河，空手回来
接兔子过河即可。
10. 有3枚外表完全相同的硬币，已知其中有一枚假币。假币和真币的重量不一样，但是不知道假币比真币轻还
是重，现有一台无砝码天平。请问：至少要称多少次才能找出这枚假币，并且推断出假币比真币重还是轻？
分析：2次
拓展篇
1. 请移动一根火柴棍，使下列算式成立：
分析：
2. 请移动一根火柴棍，使下列算式成立：
分析：
3. 请移动一根火柴棍，使下列算式成立：
分析：
Page 74 of 1074. 图16－4是一个由22根火柴棍组成的图形，请问：最少要从中拿出几根火柴棍，才能使余下的图案中没有
正方形？
图16－4 图16－5
分析：5根
5. 图16－5是一个由火柴棍组成的图形，请问：最少要从中拿出几根火柴棍，才能使余下的图案中没有三角形？
分析：4根
6. 图16－6中的三个图形都不能只用一笔画出来，现在要求在这三个图形中各去掉一些线段，使它们都能用
一笔画出来，现在最少各需要去掉多少条线段？
图16－6
分析：2；1；2
7. 图16－7中每个小正方形的边长都是1米，现在要求从某一点出分，沿着小正方形的边前进，如果每条线只
能走一次，请问：最多能走多少米？
图16－7
分析：21米
8. 河边有一条船，现在有3个大人和4个小孩要过河，这条船能坐2个大人，或者1个大人和两个小孩，或者
Page 75 of 107是4个小孩，请问：这些人要全部到达河对岸，最少需要划船过河几次？
分析：5次
9. 某班同学开始购买了64瓶汽水，如果5个空瓶可以换1瓶汽水，并且他们会把喝剩下的得空瓶换汽水喝，
那么请问：他们最后一共能喝到多少瓶汽水？
分析：80瓶
10. 4个相同的盒子排成一排，小悦把6个相同的棋子分装在这些盒子中，其中恰有一个盒子没有装棋子，然后
她外出了，冬冬从三个有棋子的盒子里各拿了1个棋子放在空盒内，再把盒子重新排了一下，小悦回来后查
看了一遍，没有发现有人动过这些盒子和棋子，请问：开始时，这4个盒子中分别有多少颗棋子？
分析：四个盒子分别有0、1、2、3个棋子
11. 如图16－8，有4条铁链，每条有2个环。已知打开一个环要用2分钟，闭封一个打开的环要用3分钟。现在
要把4条铁链连成一条长铁链，至少需要用多少分钟？
图16－8
分析：10分钟
12. 有4枚外表完全相同的硬币，其中有三枚真币和一枚假币。假币与真币的重量不同，但是不知道假币是比真
币重还是轻。现在只有一架没有砝码的天平，请问：怎样利用这架天平称两次，就能弄清楚假币究竟是比真
币轻，还是比真币重？
分析：把4枚硬币编号，先称①②与③④，再称①与②
超越篇
1. 如图16－9，在六面体的顶点A和B出各有一只蚂蚁，它们比赛看谁能最快爬完所有的棱线，最先到达终点
C。如果它们的爬行速度相同，那么请问：哪只蚂蚁能够获胜？
C
B
A
Page 76 of 107图16－9
分析：从A点出发的蚂蚁获胜
2. （1）植树节到了，老师带着同学们去植树，他要求大家把6棵树种成3行，每行都有3棵树，这下可把大家都
难住了，你知道怎么种才能满足老师的要求吗？
（2）小悦突然发现可以改变一棵树的位置，可以让6棵树变成4行，每行3棵树，你知道小悦是怎么做的吗？
（3）冬冬发现再种一棵树后，可以让7棵树变成6行，每行3棵树，你知道冬冬是怎么做的吗？
分析：
3. 商店规定，用5个空瓶可以换1瓶汽水，某班同学一共喝了100瓶汽水，其中有一些是用喝剩下的空瓶换的，
请问：他们开始至少掏钱买了多少瓶汽水？
分析：80瓶
4. 如图16－10，一个钥匙圈上挂着5个分别编有号码1、2、3、4、5的铁皮。现在把其中一个铁皮绕下来，接着
将钥匙圈转一转，再把那个铁皮绕上去，钥匙圈的铁皮就可以排成如图16－11所示的情形，请问：取下的铁
皮的编号是多少？
分析：2
5. 下面用火柴拼成的算式显然是错误的，请你移动其中两根火柴，使得它成为一个正确的等式。
分析：
6. 如图16－12，将正方形制片由下往上对折，再有左向右对折，成为完成一次操作。按上述方法完成4次操作
以后，请问：
（1）如果在所得小正方形的中间打穿一个动，那么展开之后纸片上会有多少个洞？
（2）如果剪去所得小正方形的左下角，当展开这张正方形纸片后，会出现多少洞个？
图16－12
分析：（1）256个； （2）64个
7. 甲、乙、丙、丁四个人在晚上过一座桥，桥每次最多容纳两个人一起通。过桥需要手电筒，而四人只有1只手
电筒。甲、乙、丙、丁单独过桥需要的时间分别为1分钟、2分钟、5分钟、10分钟。请问：怎样安排过桥顺序，
才能使过四个人过桥的总时间最短？这个最短时间是多少分钟？（不允许过桥后将手电筒仍回，只能让人
携带回来）
分析：略；17分钟
Page 77 of 1078. 如图16－3，在一个圆周上放了一枚黑色的和666枚白色的围棋子。一个同学进行这样的操作：从黑子开始，
按顺时针方向，每隔一枚，取走一枚。请问：当他渠道黑子时，圆周上还剩下多少枚白子？
图16－3
分析：83枚
第十七讲四则运算三
内容概述
使用自己学过的各种运算技巧来解决较复杂的四则混合运算问题；掌握基准数法；学会利用分配律简化计
算
兴趣篇
1. 计算：49＋52＋49＋50＋47＋54＋48＋55；
分析：404
2. 计算：800×9÷4÷25；
分析：72
3. 计算：（1）96÷12×4； （2）84×7÷14；
分析：（1）32 （2）42
4. 计算：(1)26×7＋26×3； (2)18×22－18×10；
分析：（1）260 （2）216
5. 计算：(1)7×13＋7×6＋4×19； (2)17×12＋9×17－21×7；
分析：（2）209 （2）210
6. 计算：(1)11×5＋11×7＋22×4； (2)12×6＋24×4－36×2；
分析：（1）220 （2）96
7. 计算：27×88＋28×12；
分析：2712
8. 计算：126×3＋12×125－124×7；
分析：1010
9. 计算：(1)[3＋(11－9) ×9] ÷7； (2)21＋63÷[9－(17－3×5)]；
分析：（1）3 （2）30
10. 如图17－1中已经填充5个自然数，其余6个空格，每个空格中所填的数分别等于它最左侧的自然数乘以
Page 78 of 107它最上面的自然数。比如△所在的位子就应该填23与11的乘积，★所在的位子就应该填27与19的乘积。
按这种方法将表格填满，这张表格中所有数的总和是多少？
图17－1
分析：2479
拓展篇
1. 计算：（1）91＋85＋87＋106＋115＋94＋113＋101；
（2）123＋119×2＋121×3＋120×4；
分析：（1）792 （2）1204
2. 计算：（1）（1231＋2312＋3123）÷6；
（2）（12＋23＋34＋45＋56＋61）÷7；
分析：（1）1111； （2）33
3. 计算：（1）34×77＋34×23；
（2）42×37－42×17；
（3）28×32－28×17＋28×84；
分析：（1）3400 ；（2）840； （3）2772
4. 计算：（1）26×14＋26×8＋22×4；
（2）132×31＋18×24－7×132；
分析：（1）660 （2）3600
5. 计算：（1）92×49＋108×51＋92×51＋49×108；
（2）127×42－58×38＋74×58－42×91；
分析：（1）20000； （2）3600
6. 计算：（1）11×13＋22×8＋33×7；
（2）123×36＋246×17＋3690；
分析：（1）550 （2）12300
7. 计算：（1）88×35－87×23－86×12；
（2）121×6＋120×5＋119×3－118×14；
分析：（1）47 （2）31
8. 计算：（1）11×22＋22×33＋33×44＋44×55＋55×66
分析 : 8470
9. 计算：（1）399÷7＋91÷7；
Page 79 of 107（2）25÷4＋25÷6＋35÷4＋35÷6；
分析：（1）70 （2）25
10. 计算：（1）39÷7＋62÷14；
（2）78÷17＋83÷34＋202÷68；
分析：（1）10 （2）10
11. 计算：（1）75÷[9×6－3×(13＋4)]；
（2）12×[34×2＋(34＋5) ×8] ＋34×80；
分析：（1）25 （2）7280
12. 图17－2的30个格子中各有一个数，其中最上面一行和最左面一列中的数已经填好。其余每个格子中的数
等于同一行最左面数与同一列最上面数之和（例如a=14＋17=31）。请问：这30个数的总和等于多少？
10 11 13 15 17 19
12
14 a
16
18
图17－2
分析：745
超越篇
1. 计算：76＋137＋80＋139＋74＋143＋83＋137＋84＋87＋137＋78＋75＋142；
分析：1472
2. 计算：[(83＋33) ×13＋66] ×2＋83×24；
分析：5140
3. 计算：787×53＋213×71＋187×18；
分析：60200
4. 计算：13×125－25×27＋75×21＋175×3；
分析：3050
5. 计算：12×29×13＋31×11×17－12×13×18－11×17×19；
分析：3960
6. 桌子上有16张纸，每张纸的正面用红色铅笔任意写1、3、5、7中的某个数字，zai反面用蓝色铅笔写2、4、
6、8中的某个数字，其中任意两张纸上所写的红色数和蓝色数不会相同，现在把每张纸上的红、蓝两个整数
相乘，求这16个乘积的和。
分析：320
7. 桌面上放有10张卡片，卡片背面分别写了10个数：61，61，62，63，64，65，65，65，68，68。小悦从中挑出了6
张卡片，计算出这6张卡片背面写的数的和为394，然后小悦将卡片放回。接着冬冬从中挑出了4张卡片，
计算出这4张卡片背面写的数的和为257，而且他们挑出的卡片中恰有2张是相同的，那么冬冬挑出的卡片
背面写的4个数分别是多少？
分析：62，63，64，68
8. 爱思考的阿奇发明了一个游戏，这个游戏由两个转盘组成，如图17－3．玩游戏时，每次转动两个转盘，等转
盘停下来之后，记下箭头正对的两个数的乘积。已知小悦和冬冬各玩了五次，一共记下了10个乘积。小悦记
下的五个乘积互不相同，总和为110；冬冬的五个乘积也互不相同，总和为133。如果小悦和冬冬的所有10
Page 80 of 107个乘积里面只有一对是相同的，那么请问：这对相同的乘积是多少？
3 4 9 8
2 7
图17－3
分析：27
第十八讲简单乘除法竖式
内容概述
补全乘法和除法竖式中缺少的数字，基本方法为依据运算规则推理与枚举试算，重点掌握末位分析和大小估计
的方法
兴趣篇
1. 如图18－1，请在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立。
口 7 口 6 口
× 7
3 口 2 9 口 6
图18－1
口 1
× 口 口
2 口
口 口
口 口 口 2
图18．2
分析：47568×7=332976
2. 图18．2是一个残缺的乘法竖式，这个算式的结果是多少？
分析：1012
3. 如图18－3，在图中的空格内填入合适的数字后，能使乘法竖式成立（其中的3表示两个乘数的个位数字相
乘时向十为进3），请问：这个算式的结果是多少？
4 口 口 4 口
× 口 × 口 6
3
口 1 口 1 口 口 0
口 口 5
8 口 口 口
图18－3 图18－4
Page 81 of 107分析：315
4. 如图18－4，在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立。
分析：245×36=8820
5. 图18－5是一个残缺的乘法算式。现在知道其中一个位置上的数字为8，请问：这个算式的结果是多少？
口 口 △ 口 ○
× 8 口 × 7
口 口 口 4 4 口 ◇
口 口
口 口 口 口
图18－5 图18－6
分析：1068
6. 如图18－6所示的乘法竖式中，△、□、○、◇分别代表不同的数字。请问：△□○这个三位数是多少？
分析：634
7. 如图18－7，在图中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立。
图18-7 图18-8
分析：595÷7=85
8. 如图18－8，在图中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立。
分析：1431÷27=53
9. 如图18－9，在图中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立。
分析：1533÷73=21或者1638÷78=21
10.如图18－10，在图中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立。
分析：1044÷9=116
拓展篇
Page 82 of 1071. 如图18－11在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立。
分析：142857×3=428571
2. 如图18－12在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立。
分析：922×7=6454
3. 如图18－13在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立。
分析：17×64=1088
4. 如图18－14在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立。
分析：415×382=158530
5. 在图18－15所示的乘法竖式中，有些数字被三角形纸片盖住了，请问：算式的结果是多少？
分析：1056
6. 图18－16是一个残缺的乘法算式，请补充完整并求出这个算式的结果。
分析：98×19=1862
7. 如图18－17 所示的竖式中，不同的汉字代表不同的数字。“车”、“马”、“炮”分别代表什么数字？
Page 83 of 107分析：车=8，马=6，炮=4
8. 如图18－18，在图中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立。
分析：6977÷64=109……1
9. 如图18－19，在图中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立。
分析：1008÷9=112
10.如图18－20，在图中的空格内填入合适的数字，使除法竖式成立。
分析：117684÷12=9807
11.图18－21是一个残缺的除法竖式，请问：这个算式中的被除数是多少？
分析：11087
12.在如图18－22所示的竖式中，不同的汉字代表不同的数字。请找出每一个汉字对应的数字，并把这个竖式
Page 84 of 107写出来。
图18-22
分析：408÷6=68
超越篇
1. 如图18－23，在图中的空格内填入1、2、3、4、5、6、8这几个数字（其中2已经填好），每个数字使用一次，是
竖式成立。
分析：158×4=632
2. 如图18－24在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立。
分析：992×19=18848
3. 如图18－25在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立。
分析：19×98=1862
4. 如图18－26在图中的空格内填入合适的数字，使乘法竖式成立。
分析：47×69=3243
5. 在如图18－27所示的竖式中，不同的符号代表不同的数字。请找出每一个符号对应的数字，并把这个竖式
写出来。
Page 85 of 107分析：544÷8=68
6. 如图18－28，在图中的每个方框内填入一个不是2的数字，可以使其成为正确的算式，求所得的乘积。
分析：30096
7. 在图18－29的除法竖式中，除了给出的数字4外，空格内的数字都不是4，求算式的被除数。
分析：38766
8. 图18－30是一个四位数除以一个一位数的除法竖式，图18－31是这个四位数除以另一个一位数的除法竖
式，求这个四位数。
分析：1014或1035
第十九讲鸡兔同笼问题二
内容概述
进一步运用假设法和分组法，解决较复杂的鸡兔同笼问题。注意观察和分析隐藏的条件；有时需要将多个对
Page 86 of 107象进行恰当组合而转化为两个对象再求解。
兴趣篇
1. 大卡车一次能运7吨图，小卡车一次能运4吨土，现在有大小卡车70辆，一次恰好能运土400吨，请问：大
卡车有多少辆？
分析：40辆
2. 一辆卡车运粮食，每次能运5吨，晴天时每天能运8次，雨天时每天只能运3次，这辆卡车10天共运了325
吨粮食。在这10天中，晴天和雨天各有几天？
分析：7天晴天，3天雨天
3. 有若干只鸡和兔子，其中鸡比兔子多12只，它们一共有84条腿。求鸡和兔子各自的只数。
分析：鸡22只，兔10只
4. 北京大学乒乓球馆内，一共有34人正在进行乒乓球比赛。其中单打比赛的球台比双打比赛的球台多2张，
请问：一共有多少张球台正在进行比赛？
分析：12张
5. 有若干只鸡和兔子，其中鸡和兔子的数量一样多，兔子的总腿数比鸡的总腿数多30条。请问：鸡、兔子各有
多少只？
分析：各15只
6. 癞蛤蟆和天鹅一块玩游戏癞蛤蟆比天鹅多12只，癞蛤蟆的总腿数比天鹅的总腿数都68条，那么癞蛤蟆和
天鹅各有多少只？
分析：癞蛤蟆22只，天鹅10只
7. 癞蛤蟆和天鹅一起研究“鸡兔同笼”问题。天鹅比癞蛤蟆多15只，癞蛤蟆的总腿数天鹅的总腿数多36条，
那么天鹅和癞蛤蟆各有多少只？
分析：癞蛤蟆33只，天鹅48只
8. 鸡兔同笼，鸡和兔子共有30只，鸡的总腿数和兔子的总腿数一样多。那么鸡和兔各有多少只？
分析：鸡20只，兔10只
9. 一群黄鼠狼给鸡拜年，黄鼠狼和鸡一共有24只，鸡的总腿数比黄鼠狼的总腿数多18条。求黄鼠狼和鸡各有
多少只？
分析：黄鼠狼5只，鸡19只
10. 第二天，又有一群黄鼠狼给鸡拜年，黄鼠狼和鸡一共有24只，黄鼠狼的总腿数比鸡的总腿数多54条。求黄
鼠狼和鸡各有多少只？
分析：黄鼠狼17只，鸡7只
拓展篇
1. 体育课上，三年级一班的46名同学都在操场上玩球。每个篮球有6名同学玩，每个排球有8名同学玩。篮球
和排球一共有7个。问：玩排球的同学有多少人？
分析：16人
Page 87 of 1072. 集体劳动时，女生抬土，每2名女生用1根扁担抬一个筐；男生挑土，每1名男生用1根扁担挑2个筐。结果
用了27根扁担和44个筐。请问：女生和男生各有多少人？
分析：女生20人，男生17人
3. 有大、小猴子各15只，它们一起去摘水蜜桃。猴王在场监督的时候（猴王不摘，也不算在15只猴子内），一
只大猴子每小时摘25个，一只小猴子每小时摘22个，猴王不在的时候，每只猴子每小时都会少摘10个，某
天猴子们共摘了8个小时，最后2小时猴王才到场监督，结果共摘了1980个水蜜桃。请问：大、小猴子各有
多少只？
分析：大猴子10只，小猴子5只
4. 天上一群九头鸟和地上一群九尾狐狸商量去吃唐僧，九头鸟有九头一尾，九尾狐狸有九尾一头。孙悟空将它
们抓起来关进笼子李，猪八戒在笼子外得意地数出了134个头和166条尾巴。请同学们算一算：共有多少只
九头鸟，多少只九尾狐狸？
分析：九头鸟13只，九尾狐17只
5. 宿舍楼的大、小寝室一共有20间，已知大寝室每间住了6个人，小寝室每间住了4个人，并且大寝室的总人
数比小寝室的总人数多30人。请问：大、小寝室各有多少间？
分析：大寝室11间，小寝室9间
6. 新华书店一天内卖出了《哈利波特》和《魔戒》共40本，其中《哈利波特》每本30元，《魔戒》每本25元。经过
统计，卖《哈利波特》的收入比卖《魔戒》的收入多650元，请问：这天卖出了多少本《哈利波特》？
分析：30本
7. 鸡兔同笼，兔子比鸡的3倍少6只，而且鸡和兔子共有116条腿。求鸡和兔子各有多少只？
分析：鸡10只，兔24只
8. 小悦的存钱罐李，5角硬币比1角硬币多18枚，5角硬币的总值比1角硬币的总值多21元。存钱罐李共有多
少枚硬币？
分析：78枚
9. 小悦、冬冬、阿奇三人每人脚上绑了一些气球，玩踩气球的游戏。踩到别人的一个气球得8分，脚上的气球
被别人踩破一个就倒扣5分。没有人踩破自己的气球，最后冬冬得了36分，并且他踩破的气球比他被踩破
的气球多3个。请问：冬冬有几个气球被踩破了？
分析：4个
10. 鸡兔同笼，鸡和兔子共有46条腿。如果将鸡和兔子的数量交换，那么总腿数变为38条，请问：原来鸡和兔子
各有多少只？
分析：鸡5只，兔9只
11. 鸡、龟、兔一共有20只，它们总共有72条腿，龟的数量是兔子的3倍。请问：鸡、龟、兔各有多少只？
分析：鸡4只，龟12只，兔4只
12. 香蕉、苹果和梨三种水果共40千克，其中苹果和梨的重量相等，如果香蕉每千克3元，苹果每千克2元，梨
每千克6元，这些水果共花了146元。请问：三种水果各有多少千克？
分析：苹果13千克，梨13千克，香蕉14千克。
Page 88 of 107超越篇
1. 1个大人一餐吃2个面包，2个小孩1餐吃1个面包。现在有大人和小孩一共33人，一餐刚好吃了33个面包。
问：有多少个小孩？
分析：22个
2. 八臂一头号夜叉，三头六臂是哪吒；两处争强来斗胜，不相胜负正交加；三十六头齐出动，一百八手乱想抓；
旁边看者殷勤问，几个哪吒几个夜叉？（本题的意思是：一个夜叉有8条手臂、1个头，一个哪吒有6条手臂、
3个头。有一些夜叉和哪吒正打得不分胜负。数一数，共有36个头，108条手臂。请问：有几个夜叉，有几个
哪吒？）
分析：6个夜叉，10个哪吒
3. 在一次考试中，小悦做完了所有的试题，作对的题目数量比做错的题目数量的3倍多5道。已知做对一题得
5分，做错一体不但不给分还倒扣2分。小悦最后得了90分，她做对了几道题？
分析：20道
4. 一次考试共有100道选择题，答对一题得3分，不答不得分，答错一题倒扣1分。冬冬最后得了244分，而且
她不答的题目数量和答错的题目数量一样多，那么请问：他答对了几道题？
分析：84道
5. 有红、黄、率三种颜色的卡片共20张。其中红色卡片的两面上分别写有1和2，黄色卡片的两面上分别写有
1和3，绿色卡片的两面上分别写有2和3.现在把这些卡片放在桌子上，让每张卡片写有较大的数字的那面
朝上显示出来。经计算，各卡片所显示的数字之和为56.如果把所有卡片的正反面翻转下，那么各卡片所显
示的数字之和为31.请问：黄色卡片有多少张？
分析：5张
6. 有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种动物各若干只。蜘蛛有8条腿但没有翅膀，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1
对翅膀。蜘蛛比蜻蜓多5只，三种动物一共有182只腿、22对翅膀。请问：三种动物各有多少只？
分析：蜘蛛10只，蜻蜓5只，蝉12只
7. 一些奇异的动物在草坪上聚会，其中有独角兽（1个头、1只脚）、双头龙（2个头、4只脚）、三脚猫（1个头、3
只脚）和四脚蛇（1个头、4只脚）这四种动物。如果它共有58个头、160只脚，且四脚蛇的数量恰好是双头龙
的2倍，那么其中独角兽有多少只？
分析：7只
8. 给四年级一班的小朋友分苹果，第一组每人3人，第二组每人4个，第三组每人5个，第四组每人6个。已知
第二组和第三组共有19人，第一组人数是第二组的2倍，第三组和第四组人数相等。总共分出去201个苹
果。请问：该班一共有多少名小朋友？
分析：46名
第二十讲算符与数字
内容概述
Page 89 of 107在已知数之间添加运算符号与括号，以求出特定结果或取得最大、最小值，通常可以采用枚举试算、顺推、
逆推等方法。以数字或数值为具体内容的数字谜问题，包括数字组成多位数，数字在运算中的变化，以及数的分
解、分组与排列等。
兴趣篇
1. 自傲下面各题中填上适当的运算符和和括号，使等式成立；
（1） 20 4 5=0；
（2） 2 4 6=1；
分析：（1）20-4×5=0 （2）（2+4）÷6=1
2. 在下面相邻两数之间，填上“＋”或者“－”，使等式成立。
6 5 4 3 2 1=11
分析：6-5+4+3+2+1=11 ，6+5-4+3+2-1=11 ， 6+5+4-3-2+1=11
3. 在下面算式中合适的地方填入“＋”或者“－”（两个数之间可以不填），使等式成立。
5 4 3 2 1=27
分析：5+4-3+21=27 ，5+43-21=27
4. 在下面各题的相邻两数之间，填上适当的运算符号和括号，使等式成立。
（1） 3 3 3 3=10；
（2） 6 6 6 6=4；
分析：（1）3×3+3÷3=10； （2）6-（6+6）÷6=4
5. 让我们来玩“24点游戏”。游戏规则是用给定的4个数凑24，数可以打乱顺序，每个数仅用一次，可用“＋、
－、×、÷或（）”。
（1）3，4，5，8
（2）5，6，7，8.
分析：（1）3×8×（5-4）=24， 3×8÷（5-4）=24 ， （5+4）÷3×8=24
（8+4）×（5-3）=24，4×8-5-3=24， 4×（3+8-5）=24，4×（3+5）-8=24
（2）6×（5+7-8）=24 ，8×6÷（7-5）=24，（8-6）×（7+5）=24
6. 我们可以在算式8×3＋12÷4中添加括号来改变原有的运算顺序。如果只能添加一对括号，那么算是的结果
最小是多少？
分析：（8×3+12）÷4=9
7. 在下面的空格中填入“＋、－、×、÷”各一个，要是计算的结果最大，那么算式的结果最大是多少？
5口5口5口5口5
分析：5×5+5-5÷5=29
8. 有一类三位数，各位数上的数字之积是18.在所有这样的三位数中，最大的数与最小的数的差是多少？
分析：792
9. 有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，如246，1347.这类数中最大的
自然数是多少？
分析：10112358
10.12345678910111213···是从1开始的连续自然数安顺序写下的一个多位数。在这个多位数中，从左向右
数，当4、3两个数字第一回一次出现时，接下来的两个数字应该是什么？当3、1、2三个数字第一回一次出
Page 90 of 107现时，接下来的三个数字是什么？
分析：5和3；4、1和2
拓展篇
1. 把“＋、－、×、÷”这四个运算符号不重复地填入图20-1的四个方框内，使得这些算式的结果中最大数与
最小数的和是15.那么含有加号和乘号的那两个算式的结果的乘积是多少？
分析：60
2. 下面有9个数，在相邻两个数之间都填上一个“+”或“-”，使得结果为31.请问：所有减数（即前面为减
号的数）的乘积最大是多少？
9 8 7 6 5 4 3 2 1=31
分析：12
3. 让我们来玩“24点游戏”。游戏规则是用给定的4个数凑24，数可以打乱顺序，每个数仅用一次，可用“＋、
－、×、÷或（）”。
（1）2，4，6，8
（2）4，5，7，9.
分析：（1）8×6÷（4-2）=24，4×8-6-2=24，2×6×8÷4=24
（2）（7-4）×5+9=24，4×9-5-7=24，4×7-9+5=24，（9-5）×7-4=24
4. 在下面各题中填上适当的运算符号和括号，使等式成立。
（1） 1 2 3 4 5=20
（2） 5 5 5 5=30
分析：（1）1+2-3+4×5=20，1+2+3×4+5=20，（1+2-3+4）×5=20
（2）（5+5÷5）×5=30
5. 在下面各题中填上适当的运算符号和括号，使等式成立。
（1） 4 4 4 4 4 4=10
（2） 5 5 5 5 5 5=100
分析：（1）4+4+4÷4+4÷4=10，4×4-（4+4）÷4-4=10
（4×4+4）×4÷（4+4）=10，（4×4+4+4）÷4+4=10
（2）（5×5-5-5+5）×5=100， 5×5×（5×5－5）÷5=100
（5＋5）×5＋（5+5）×5=100 （5+5）×(5+5)×5÷5=100
（5+5）×（5+5）+5-5=100， （5+5+5）×5+5×5=100
6. 在下面的算式中合适的地方填入小括号，使等式成立：
（1）48－12×3÷2＋1=7
（2）30＋20÷10÷5×2=50
分析：（1）（48-12×3）÷2+1=7
（2）30+20÷（10÷5）×2=20 （30+20）÷（10÷5）×2=50
7. 在下面的算式中填入一对括号，使得算式的结果最大。
2＋3×4＋5×4＋3×2
分析：2＋3×（4＋5×4＋3）×2=164
8. 把“＋、－、×、÷”这四个运算符号，分别填入下面四个“口”内，使等式成立：
（1）（4口12口6）口（17口9）=48
（2）（6口18口3）口（7口2）=12
分析：（1）（4+13÷6）×（17-9）=48
Page 91 of 107（2）（6+18×3）÷（7-2）=12
9. （1）把“＋、－、×、÷”各一个填入下面的空格内，要使得算式的结果最大。那么请问：能得到的最大的结
果是多少？
5口4口3口2口1
（2）如果允许添上一对括号，那么请问：计算结果最大是多少
5口4口3口2口1
分析：（1）5×4+3-2÷1=21 （2）5×（4+3）-2÷1=33
10. 有一辆速度不超过每小时100千米的汽车，它的里程表显示这辆汽车已经行驶了15951千米。这个数从左
往右读与从右往左读是一样的。有开了两小时后，里程表上的数从左往右读与从右往左读仍然是一样的。请
问：汽车每小时行多少千米？
分析：55千米
11. 玲玲发现：将家里的电话号码从左往右，相邻的两个数字依次相加，得到的和分别是9、7、9、2、8、11，请你
推算一下玲玲家的电话号码是多少？
分析：9072083
12. 将写有数码的纸片倒过来看，其中0、1、8三个数码不变，6与9两个数码互换，而其余数码倒过来都没有意
义。那么请问：用这些卡片（各个数码的卡片都足够多）组成的两位数中，把纸片倒过来看，与原数相同的有
几个？用这些卡片组成的三位数中，把纸片倒过来看，与原数相同的有几个？
分析:4个；12个
超越篇
1. 康夫、小静和大雄三个人家里的电话号码都是八位的，并且每个电话号码任意相邻三位数字的和都是 26.
如果康夫和小静家的电话号码首位是相同的，那么请问：大雄家的电话号码是多少？
分析：89989989
2. 甲、乙两人同事计算一个加法算式。甲把第一个加数的个位抄成了8，得到的答案为123；而乙则把第二个加
数的十位数字抄成了5，得到的答案为132.那么请问：正确答案应该是多少？
分析：122
3. 让我们来玩“24点游戏”。游戏规则是用给定的4个数凑24，数可以打乱顺序，每个数仅用一次，可用“＋、
－、×、÷或（）”。
（1）3，4，4，10；
（2）11，11，5，1.
分析：（1）（10-3）×4-4=24 ； （2）（11×11-1）÷5=24
4. 在下面算式中合适的地方填入“＋、－、×、÷或（）”，是等式成立：
（1） 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=2008；
（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9=2008.
分析：(1)8×8×8×8×8÷（8+8）-8-8-8-8-8=2008
(2)1+(2+3×4)×（5+6+7）×8-9=2008
5. （1）在下面的算式中填入一对括号，使计算出来的结果最大，应该怎么填？
12＋4×5＋15－6＋8
Page 92 of 107（2）如果允许填入两对括号，要使计算出来的结果最大，应该怎么填？
12＋4×5＋15－6＋8
分析：（1）12+4×（5+15-6+8）=100； （2）（12+4）×（5+15-6+8）=352
6. 在桌上放着这样一道算术题：89＋16＋69＋ ＋ ＋88.甲、乙两位同学面对面坐在桌子两侧，看到这个
算式的个数码都有意义，而且他们计算这道题的结果恰相同，则A和B表示的数字分别是几？
分析：A=1， B=9
7. 老师在黑板上写了1至9中的4个不同的数字：△△△△，其中每个△代表一个数字，并给前两个数字加上
括号，给后两个数字也加上括号：（△△）（△△）。老师让学生在这四个数字之间添上3个互不相同的四则
运算符号（即加、减、乘、除中的三个）： （△口△）口（△口△），其中口表示运算符号。结果
发现无论怎样添运算符号，计算结果都是整数，请按顺序写出这4个△代表的数字。
分析：9，3，2，1
8. 在下面算式中合适的地方填入“＋、－、×、÷或（）”，是等式成立：
（1） 2 0 0 8 0 8 0 8=1000；
（2） 8 8 8 8 8 8 8 8=2008.
分析：（1）200+808+0-8=1000，（20+0+80）×80÷8=1000
（2）（8+8+8）×（88-8）+88=2008
第二十一讲间隔与阵列
内容概述
直线或环线上的排列问题，理解间隔数与端点数之间的数量关系。将若干物体排成阵列形式的问题，学会从
“层”的角度考察阵列的数量规律，并结合等差数列的相关知识进行计算。
兴趣篇
1. 社区门口有一条长为100米的马路，现在要在这条马路的一侧种树，每隔10米种一棵，而且马路的两端都
要种，请问：一共需要中多少棵树？
分析：11棵
2. 学校门前有条长100米的马路，马路两侧一共种了42棵树，每侧相邻两棵树之间的距离都相等，而且马路
的两端都种了树。请问：相邻两棵树之间的距离有多大？
分析：5米
3. 小悦上楼，从第一层走到第三层需要上36级台阶。如果各层楼之间的台阶数相等，那么小悦从第一层走到
第六层一共需要上多少级台阶？
分析：90级
4. 学校组织军训，教官让男生站一排，女生站一排。请问：
（1）小悦和同班女生站成一排，她发现自己的左侧有7个人，右侧有8个人，请问女生一共有多少人？
（2）冬冬和同班男生站在一排，他发现自己是左起的第7个、右起的第9个。请问男生一共有多少人？
（3）阿奇也在男生队伍里，他发现自己是左起的第4个，他的右侧应该有几个人？他应该是右起的第几个人？
分析：（1）16人 （2）15人 （3）11人，12人
Page 93 of 1075. 运动会闭幕式结束后，大家准备散场。班长小悦让全班同学站成一行清点人数（她自己并不在队伍中）。她
先从左往右数，发现冬冬是第25个；然后她又从右往左数，发现阿奇正好是第29个。如果队伍里一共有31
个人，那么请问：冬冬和阿奇之间有多少个人？
分析：21人
6. 一整块大豆腐长40厘米，宽20厘米。厨师准备把它切成一些长5厘米，宽4厘米的小块，而且每次只能沿
着直线切。如果不允许移动豆腐的位置，那么请问：厨师至少要切几次？
分析：11次
7. 学校有一个圆形水池，水池的周长为40米。如果绕着水池每隔4米种一棵树，一共要种几棵树？
分析：10棵
8. 50个男生沿着300米的跑道站成一圈，并且相邻两人之间的距离都相等。现在每相邻两个男生之间又加入
了两个女生，相邻两人之间的距离还是相等。请问：一共加入了多少个女生？加入女生后，相邻两人之间的
距离又是多少米？
分析：100个；2米
9. 有100个人站成一个实心方阵，那么这个方阵的最外层共有多少人？从外向里算起的第二层有多少人？从
里向外算起的第三层有多少人？
分析：36人；28人；20人
10. 一个实心方阵，最外层一共有20人。请问：
（1）最外层每边有多少人?这个方阵一共需要多少个人？
（2）如果要组成一个更大的方阵，至少需要增加多少个人？
（3）如果给这个方阵最外面再增加一层，那么需要增加多少人？
分析：（1）6人，36人；（2）13人；（3）28人
拓展篇
1. 费叔叔想做一张木凳。他先把一根木头锯成4段，用了12分钟。如果要把另一根木头据称8段，需要几分钟？
（假设费叔叔每锯断一次所花的时间一样长）
分析：28分钟
2. 小悦和冬冬去费叔叔家玩，费叔叔住在15层，两人同时从一楼往上走，速度都保持不变，当小悦走到第3层
的时候，冬冬恰好走到了第5层。请问：当冬冬走到费叔叔家的时候，小悦走到了第几层？
分析：第8层
3. 有一块三角形土地，三条边的长度分别为120米、150米、80米。在边界上每隔10米种一棵树，三角行的每
个顶点都必须种。那么请问：一共要种多少棵树？
分析：35棵
4. 体育课上老师让42名同学站成一行。冬冬发现偶一半人站在他自己的左边；阿奇发现自己是从右往左数的
第12个。请问：冬冬和阿奇之间有多少人？
分析：8人
5. 班里一共有42名学生，站成一圈做游戏。现在从小悦开始教。请问：
Page 94 of 107（1）如果冬冬是顺时针数第26个，阿奇是顺时针数第17个，冬冬与阿奇之间有多少名同学？
（2）如果冬冬是顺时针数第22个，阿奇是逆时针数第13个，冬冬与阿奇之间有多少名同学？
（3）如果冬冬是顺时针数第27个，阿奇是逆时针数第31个，冬冬与阿奇之间有多少名同学？
分析：（1）8名（2）8名（3）13名
6. 若干名同学站成一个15×15的实心方阵。请问：最外层一共有多少个人？这个方阵一共有多少层？从这里
向外算起的第七层有多少人？
分析：（1）56人 （2）8层 （3）48人
7. 一个实心方阵，最外层共有44人。请问：
（1）这个方阵一共有多少个人？
（2）要让这个方阵减少一行一列，一共减少了多少人？
分析：（1）144人; (2)23人
8. 红领巾小学三年级有120名学生。他们排成一个三层的空心方阵。请问：
（1）这个方阵最外层每边有多少个人？
（2）如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，应该增加多少个人？
（3）如果在内部再加一层，变成一个五层的空心方阵，还需要再增加多少个人？
分析：（1）13人 （2）56人 （3）24人
9. 用红、绿两种颜色的小正方形瓷砖铺成一块正方形墙面：由外到内算起，这个墙面最外层铺的是红色瓷砖，
第二层铺的是绿色瓷砖，第三层是红色瓷砖，第四层是绿色瓷砖······这样一次铺下去，一共使用了
400块瓷砖。请问：这个墙面上哪种颜色的瓷砖更多？两种颜色的瓷砖相差多少块？
分析：红色；40块
10. 费叔叔把一些诶树苗栽种成一个尽量大饿实心方阵，结果还多出了6棵树苗；后来又运来了34棵树苗，恰
好能补成一个更大的实心方阵。那么请问：后来的方阵最外层每边有多少棵树？
分析：11棵或7棵
11. 如图21-1，一块绿地由3块相同的等边三角形草地和一个水池构成。现在要在草地上种花，要求在草地与草
地的公共点处种上花（即图中的A、B、C点），且每块草地上的花朵排成一个三角形实心点阵，每块草地上最
外层的每条边上有10朵花。请问：整个绿地一共要种多少朵花？
图21-1
分析：162朵
12. 有10000人参加国庆节游行庆祝活动，这些人被平均分成25队，每队以20认为一排，前进过程中，排与排
Page 95 of 107之间相隔1米，队与队之间相隔6米。那么请问，这支游行队伍的长度为多少米？
分析：619米
超越篇
1. 如图21-2，有一个长方形的“田”字道路，整个长方形的长为100米、宽为70米。现在需要在所有道路上种
树，相邻两棵树之间的距离都相等，而且可以拐弯的地点（顶点或中点）都要种上树，那么最少要种多少棵
树？
图21-2
分析：99棵
2. 在学校的运动会上，同学们集体表演一个节目，站成了一个空心的正六边形正列，与图21-3中的阵列类似。
从外向内一共8层，依次站着两层六年级的同学、两层五年级的同学、两层四年级的同学以及两层三年级的
同学。已知参加表演的六年级同学有126名，请问：
（1）最外层有多少人？
（2）现在阵列中一共有多少人？
（3）如果想要让一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要多少人？
分析：（1）66人； （2）360人； （3）37人
3. 若干名男生站成一排，站好后冬冬的左侧有15人，阿奇恰好在正中间，而且他们两人之间（不包括他们自
己）一共有3人。队伍里可能有多少人？（写出所有可能的答案）
分析：39人或23人
4. 冬冬拿出一根绳子，对折之后在中间剪了一刀，结果绳子被剪成了3段。如果冬冬把这跟绳子对折3次，再
从中间剪2刀，绳子会被剪成几段？如果冬冬把这根绳子对折4次，再从中间剪3刀，绳子会被剪成几段？
分析：17段； 49段
5. 水池周围种了一些树，冬冬和小悦沿顺时针方向绕水池散步，边走边数树的棵树。由于两人的出发地点不同，
因此冬冬数的第20棵在小悦那儿是第7棵，冬冬数的第7棵在小悦那儿是第94棵。请问：水池周围一共种
了多少棵树？
分析：100棵
6. 阿奇用了一些棋子摆成了一个两层的空心方阵，后来他有多摆上去28个棋子，使得图形变成了一个三层的
空心方阵。那么请问：开始时阿奇可能摆了多少个棋子？
分析：32个、56个或80个
7. 阳光小学的学生在操场上排成一个方阵，方阵的行距和列距都相等，已知方阵最外面一圈都是男生，往内一
圈都是女生，然后是男生……如此下去直到最里面。如果男生总数比女生总数多52人那么共有学生多少人？
分析：676人
8. 如图21-3，这是一些棋子摆成的正三角形点阵。和“空心方阵”类似，也可以有“空心三角阵”。请问：
（1）如果有一个5层的空虚呢三角阵，最外层每边有20个棋子，那么一共有多少枚棋子？
（2）如果有一个空心三角阵共有294枚棋子，那么它最多有多少层？
Page 96 of 107（3）如果有一个空心三角阵共有294枚棋子，不止一层，那么它的最外层最多有多少枚棋子？
（4）已知一个空心三角阵共有108枚棋子，如果增加42枚棋子后可以让它增加一层，请你表示出如何增加这
42枚棋子。
图21-3
分析：（1）195枚；（2）7层 （3）87枚
（4）中心用7枚补一条边，外面用35枚补两条边.
第二十二讲长度与角度的计算
内容概述
掌握长度与角度的概念和基本计算方法。学会运用平移、标方向等方法处理某些长度计算问题；掌握多边形
的内角和公式，并进行相关的计算。
兴趣篇
1. 如图22-1，用16个周长为8厘米的小正方形拼成了一个大正方形。请问：大正方形的周长是多少厘米？
图22-1
分析：32厘米
2. 20个边长为3厘米的小正三角形按如图22-2中的方式拼成一个平行四边形。这个平行四边形的周长是多
少厘米？
图22-2
分析：66厘米
3. 如图22-3所示，内部正方形的周长为24厘米。请根据图中给出的数，求出长方形的周长。（单位：厘米）
Page 97 of 107分析：44厘米
4. 长方形的院子里有一条“6”字形的小路，路宽1米。具体情况如图22-4所示。现要在小路上铺满砖，其余
地方种草，那么请问：砖地的周长是多少米？
图22-4
分析：50米
5. 如图22-5所示，在一个大方形的右上角挖去一个小长方形。如果大长方形的长是7厘米，宽是5厘米。小长
方形的长是5厘米，宽是3厘米。那么请问：该图形的周长是多少厘米？
图22-5
分析：24厘米
6. 如图22-6所示，这个多边形任意相邻的两条边都相互垂直。请根据图中所给出的数，求出这个多边形的周
长。
图22-6
Page 98 of 107分析：28厘米
7. 如图22-7所示，将3个边长为8厘米的正方形叠放在一起。后一个正方形的顶点恰好落在前一个正方形的
正中心。那么请问：它们覆盖住的圆形周长是多少厘米？
图22-7
分析：64厘米
8. （1）如图22-8所示，从一个大长方形的边上挖去一个正方形得到一个多边形。大长方形的长是6厘米，宽是
4厘米，正方形的边长是2厘米。这个图形的周长是多少厘米？
图22-8
（2）如图22-9所示，四个长方形组成了一个多边行，如果图中所标数值的单位都是厘米，那么请问：这个多边
形的周长是多少厘米？
图22-9
分析：（1）24厘米 （2）56厘米
9. 如图22-10所示，∠1等于130度，∠2等于110度，那么∠3等于多少度？
图22-10
分析：60度
10.如图22-11所示，在长方形ABCD中，∠ACB等于34度。现在将其沿对角线AC折起，形成如图22-12所示的图
形。那么请问：∠OCD的读数是多少？
Page 99 of 107图22-11 图22-12
分析：22度
拓展篇
1. 如图22-13所示，5个同样大小的小长方形拼成了一个大长方形，已知小长方形的长是12厘米，求大长方形
的周长。
图22-13
分析：88厘米
2. 如图22-14，用一个边长是4厘米的小正方形和4个相同的长方形，一起拼成一个边长是20厘米的大正方形
请问：长方形的长和宽分别是多少厘米？
图22-14
分析：长12厘米，宽8厘米
3. 如图22-15所示，在一个长为8厘米、宽为6厘米的长方形纸片上剪去一个边长为3厘米的正方形。那么请
问：
（1）如果剪去的正方形在右上角，那么剩下的图形周长是多少厘米？
（2）如果剪去的正方形在右边，那么剩下的图形周长是多少厘米？
图22-15
分析：（1）28厘米； （2）34厘米
Page 100 of 1074. 如图22-16，正方形树林每边长1000米，里面种有白杨树和榆树。小明从树林的西南角走入树林，向正东方
前进，他每碰见一株白杨树就往正北走，每碰到一株榆树就往正东走，最后他走到了东北角上。请问：小明一
共走了多少米的距离？
图22-16
分析：2000米
5. 如图22-17，把长为2厘米、宽为1厘米的6个长方形摆成3层。请问：摆成的图形周长是多少厘米？
图22-17
分析：18厘米
6. 如图22-18，有一个八边形，任意相邻的两条边都互相垂直。已知其中3条边的长度，请问：这个八边形的周
长是多少厘米？（单位：厘米）
12
图22-18
分析：48厘米
7. 如图22-19，这个多边形任意相邻的两条边都互相垂直，请问：这个多边形的周长是多少？
图22-19
分析：64
8. 如图22-20所示，一个边长10厘米的正方形纸片，被横着剪了一刀，竖着剪了两刀，分成了6个小长方形纸
Page 101 of 107片，请问：这6个小长方形的周长总和等于多少厘米？
图22-20
分析：100厘米
9. 如图22-21所示，∠1等于40度，∠2等于50度，∠3等于60度。请问：∠4等于多少度？
图22-21
分析：30度
10.如图22-22所示，∠1等于100度，∠2等于60度，∠3等于90度。请问：∠4等于多少度？
图22-22 图22-23
分析：110度
11.如图22-23所示，在三角形ABC中∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=130°。请问：∠A等于多少度？
分析：80度
12.如图22-24所示，纸上已经画有一个正方形。请你用一块三角板做工具，在纸上画出一个75°的角。
分析：略
超越篇
1. 从一张长15厘米、宽9厘米的长方形纸片上剪下一个边长尽可能大的正方形，剩下了一块长方形。然后从剩
下的长方形中再剪下一个边长尽可能大的正方形······按此方式不断重复，直到剩下一个正方形无
Page 102 of 107法再继续剪为止。请问：所有剪下的正方形的周长之和是多少厘米？
分析：84厘米
2. 有一个长20厘米、宽15厘米的长方形，用2条平行于长方形边界的直线可以将其划分成3个或者4个小长
方形。请问：这些儿小长方形周长之和最大是多少厘米？
分析：150厘米
3. 如图22-25，在一个长方形中有一段阴影部分。如果阴影部分恰好是正方形，那么请问，图中大长方形的周长
是多少厘米？
分析：30厘米
4. 如图22-26所示，在正方形ABCD中有一个点E，使三角形BCE是正三角形。求∠EAB的大小。
分析：75度
5. 如图22-27所示，五条线段依次首尾相连组成了一个五角星。请问：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5等于多少度？
分析：180度
6. 用9个相同的直角三角形可以拼成如图22-28所示的图形。请问：这种直角三角形的两个锐角分别是多少度？
分析：30度，60度
7. 如图22-29所示，在一个正六边形的内部有一个正五边形，请求出三角形ABC中角A的度数。
Page 103 of 107分析：42度
8. 如图22-30所示，有一个长22米、宽18米的迷宫，其中每条道路的宽度都是2米从A点出发，沿道路的中心
线向里走去，一直走到B点。请问：所走过的路线的长度是多少米？
分析：197米
第二十三讲盈亏问题二
内容概述
进一步学习如何处理较复杂的盈亏问题，例如“亏亏比较”的问题，被分配的物品总数与人数都发生变化
的问题等。注意题目中的各种隐藏条件，学会将条件复杂的问题转化为基本的盈亏问题。
兴趣篇
1. 新学期开始了，妈妈给了旺仔一些钱，让他去买作业本。旺仔开始买了几个本子，还剩下10元钱。然后他想
再买3个本子，结果发现缺2元钱。请问：每个作业本的价格是多少元钱？
分析：4元
2. 工会给大家发牛奶，每人发5袋，结果还缺3袋。如果还要再给2个人发，那么一共会缺多少袋牛奶？如果
最后发现一共缺少23袋牛奶，那么比开始增加了多少个人？
分析：13袋； 4人
3. 张老师给同学们买习题集，如果买7本缺3元钱；如果买10本缺12元钱。那么一本习题集的价格是多少元
钱？张老师一共有多少钱？
分析：3元；18元
4. 同学们买了几袋馒头当午餐，每袋有5个。结果发现：如果每人一顿吃2个，还剩下3袋；如果每人一顿吃4
个，就只剩下1袋了。请问：一共有多少名同学？他们总共买了多少个馒头？
分析：5名； 25个
5. 老师准备把一些苹果分给几名同学：如果每人分6个，还能剩下8个；如果每人分9个，最后会缺7个。一共
有几名同学？
Page 104 of 107分析：5名
6. 图画小组的同学们拿着一些钱去买彩笔，如果每个同学买一套5元钱的彩笔，就会剩下一张10元钱、一张5
元钱和两张1元钱的钞票。如果每个同学买一套7元钱的彩笔，就会缺少一张5元的钞票。请问：这些同学
一开始拿了多少钱？
分析：72元
7. 张老师带着几个学生去吃冰激凌。如果给每个学生卖一个碎碎冰和一个2元钱的小甜筒，一共缺15元钱；
如果只给每个学生买一个碎碎冰，还缺5元钱，请问一共有几个学生？
分析：5个
8. 某生产队要给麦田喷洒农药，每公顷麦田喷洒的数量是相同的。原计划每公顷麦田喷洒农药2千克，还缺10
千克。后来计划每公顷麦田喷洒农药3千克，结果农药缺了20千克。请问：一共要给多少公顷麦田喷洒农药？
分析：10公顷
9. 服务员小王在饭桌上放碟子，开始的时候要求每张桌子放5个碟子，结果发现缺了3个碟子；后来要求每张
桌子放8个碟子，这样就会缺少24个碟子。请问：这个饭店一共有多少张桌子？
分析：7张
10. 小明计划在若干天内做完一章习题。如果每天做5道题，恰好提前1天做完；如果每天做7道题，恰好提前3
天做完。这章习题一共有多少道题？
分析：35道
拓展篇
1. 学校把一笔钱发给教师当奖金，发给每位教师的钱数相同，最后还剩下2000元；后来又转来了3个教师，学
校本来也想给他们发同样多的奖金，结果发现还缺400元。那么请问：原来每个教师发了多少奖金？
分析：800元
2. 演戏之前班长准备给每个战士发几颗子弹，结果缺12颗。这时又来了3个新战士，也想发给他们每人同样
多的子弹，结果发现一共缺少30颗子弹，请问：每个战士应该发几颗子弹?
分析：6颗
3. 护士给几名大夫准备手术刀，开始准备给每人4把，结果缺3把；后来每名大夫都要求再加3把，这样就会
缺15把。那么请问：一共有多少名大夫，多少把刀？
分析：4名，13把
4. 一个旅店里，每层的房间数相同，如果每层有7间住人，一共空出6间房；如果每层只有5间住人，就会空出
18间房。请问：每层有几间房？
分析：8间
5. 学校安排学生到会议室听报告，如果每3人坐一条长椅，就会剩下16人没有座位；如果每5人坐一条长椅，
就会空1条长椅，还有一条长椅只坐2个人。一共有多少个学生去听报告？
分析：52个
6. 有一些老师和学生。如果一个老师教2个学生，会剩下10个学生没有老师教；如果一个老师教3个学生，就
会有2个老师没有学生可教。请问：一共有多少个学生？
Page 105 of 107分析：42个
7. 鞭炮厂买回了几盒火药，每一盒分成6包。用3包火药能制作一个小礼花，用4包火药能制作一个大礼花。
现在鞭炮厂想要生产几个大礼花，发现还缺少3盒火药；如果改成生产同样数量的小礼花，仍然会缺少6包
火药。请问：工厂一共买回了几盒火药？
分析：5盒
8. 有若干名士兵背炮弹。如果每个人背7枚炮弹，正好能够背上全部炮弹；如果其中有一个士兵只背2枚炮弹，
剩下的士兵每人背8枚炮弹，正好也能背上全部的炮弹。那么请问：一共有多少名士兵？
分析：6名
9. 几个朋友一起去超市采购。超市里一包牛板筋3元钱，一袋酱牛肉8元钱。如果每人买4包牛板筋、2袋酱牛
肉，还能剩下8元钱。如果每人买2包牛板筋、3袋酱牛肉，就会缺少4元钱。请问：一起去超市的一共有多
少个人？
分析：6人
10. 甲和乙各带了相同数目的钱去买面包。甲买了9个小面包，剩下5元5角；乙买了12个大面包，剩下了1元
6角。已知每个大面包比小面包贵2角，请问：大面包多少钱一个？
分析：7角
11. 幼儿园准备了许多苹果和梨，苹果的总数是梨的2倍。每个小朋友分得3个苹果和2个梨后，还剩下10个苹
果和2个梨，请问，原来一共有多少个梨？
分析：14个
12. 一些小朋友参加绘画兴趣小组，老师给大家发专用的画图纸来画画。如果每人画7张画，老好似还能剩下11
张纸；如果一般的小朋友每人画8张，另一半小朋友每人画10张，最后就会差13张纸。请问：一共有多少个
小朋友？
分析：12个
超越篇
1. 花店老板准备把一些玫瑰花放到花瓶里面。如果每瓶放入6朵玫瑰，那么剩下的玫瑰花正好还能装3瓶；如
果每瓶中多放入2朵玫瑰，就会有3个瓶子是空的。请问：一共有多少朵玫瑰花？
分析：144朵
2. 老师准备给同学们发一些糖果。如果给每个人各分12块，还会剩下14块糖果；如果学生的数量增加了一倍，
并给每个人各分7块，就会缺8块。请问：一共有多少块糖果？
分析：146块
3. 有若干名学生需要住宿。如果每间宿舍住4人，就会有10个人没有宿舍住；如果每间宿舍住6人，最后一间
宿舍就会住不满。请问：需要宿舍的同学最多可能有多少名？
分析：38名
4. 幼儿园阿姨给小朋友分水果，大班每人分到3个桃子和1个苹果，小班每人分到2个桃子和1个苹果。大班
比小班总共多分到8个桃子，少分到2个苹果。请问：大班共有多少位小朋友？
分析：12位
Page 106 of 1075. 小强做一本习题集，原计划30天完成。按计划坐4天后，他每天比原计划多做2道题，这样做了10天后他
每天又多做2道题目，结果恰好提前6天做完了全部习题。请问：这本书中共有多少道习题？
分析：300道
6. 张宇上午7时20分从家里出发到校上课。如果他每分钟走50步，到达学校时离上课还有7分钟；如果他每
分钟走35步，就要迟到5分钟。求学校的上课时间。
分析：7点55分
7. 幼儿园分水果，如果把苹果都分给小班的小朋友，每人恰好分7个；如果把梨都分给大班的小朋友，每人恰
好分5个。现在把这些水果平均分给两个班的小朋友，每人分得4个苹果和2个梨，并且苹果恰好分完，梨
还剩4个。请问：两个班一共有多少个小朋友？
分析：28个
8. 一盒咖啡中有若干袋，一包方糖中有若干块。小唐喝前两盒咖啡时每袋咖啡都放3块方糖，结果一共用了1
包方糖和第二包中的24块；小唐喝后三盒咖啡时每袋咖啡都只放1块方糖，最后第3包方糖还剩下36块。
那么请问：每盒咖啡有多少袋？
分析：12袋
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