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中考考点集训
考点 1实数的相关概念
命题点1 实数的分类及正负数的意义
1.(2024烟台)下列实数中的无理数是( )
2
A. B.3.14 C.√15 D.√364
3
2.(2023江西)下列各数中,正整数是 ( )
A.3 B.2.1 C.0 D.-2
3.(2024连云港)如果公元前121年记作-121年,那么公元2024年应记作
年.
命题点2 相反数、倒数、绝对值
4.(2024安徽)-5的绝对值是 ( )
1 1
A.5 B.-5 C. D.-
5 5
5.(2024扬州)实数2的倒数是 ( )
1 1
A.-2 B.2 C.- D.
2 2
6.(2024盐城)2 024的相反数是 ( )
1 1
A.2 024B.-2 024 C. D.-
2024 2024
7.(2024威海)一批食品,标准质量为每袋454 g.现随机抽取4个样品进行检测,把
超过标准质量的克数用正数表示,不足的克数用负数表示.那么,最接近标准质量
的是 ( )
A.+7 B.-5 C.-3 D.10
命题点3 数轴
8.(2024河南)如图,数轴上点P表示的数是 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.29.(2024南充)如图,数轴上表示√2的点可能是 ( )
A.点A B.点B C.点C D.点D
(第9题) (第10题)
10.(2023长春)实数a,b,c,d在数轴上对应点的位置如图所示,这四个数中绝对值最
小的是 ( )
A.a B.b C.c D.d
11.(2024北京)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是
( )
A.b>-1 B.|b|>2 C.a+b>0 D.ab>0
(第11题) (第12题)
12.(2024烟台)实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,下列结论正确的是( )
A.b+c>3 B.a-c<0
C.|a|>|c| D.-2a<-2b
13.(2023陕西)如图,在数轴上,点A表示√3,点B与点A位于原点的两侧,且与原点
的距离相等,则点B表示的数是 .
14.(2023兰州)如图,将面积为7的正方形OABC和面积为9的正方形ODEF分别
绕原点O顺时针旋转,使OA,OD落在数轴上,点A,D在数轴上对应的数字分别为
a,b,则b-a= .
命题点4 平方根、算术平方根、立方根
15.(2024内江)16的平方根是( )
A.2 B.-4 C.4 D.±4
16.(2024广东)完全相同的4个正方形面积之和是100,则正方形的边长是 ( )
A.2 B.5 C.10 D.20
17.(2024青海)-8的立方根是 .18.(2023广安)√16的平方根是 .
19.(2023邵阳)√64的立方根是 .
命题点5 科学记数法
角度1大数的科学记数法
20.(2024天津)据2024年4月18日《天津日报》报道,天津市组织开展了第43届
“爱鸟周”大型主题宣传活动.据统计,今春过境我市的候鸟总数已超过800 000
只.将数据800 000用科学记数法表示应为 ( )
A.0.08×107 B.0.8×106 C.8×105D.80×104
21.(2024临沂)2023年山东省扎实落实民生实事,全年新增城乡公益性岗位61.9万
个,将61.9万用科学记数法表示应为 ( )
A.0.619×103B.61.9×104
C.6.19×105 D.6.19×106
22.(2024河南)据统计,2023年我国人工智能核心产业规模达5 784亿元.数据“5
784亿”用科学记数法表示为 ( )
A.5 784×108 B.5.784×1010
C.5.784×1011 D.0.578 4×1012
23.(2024烟台)目前全球最薄的手撕钢产自中国,厚度只有0.015毫米,约是A4纸
厚度的六分之一.已知1毫米=1百万纳米,0.015毫米等于多少纳米?将结果用科
学记数法表示为 ( )
A.0.15×103纳米 B.1.5×104纳米
C.15×10-5纳米 D.1.5×10-6纳米
24.(2023武汉)新时代十年来,我国建成世界上规模最大的社会保障体系,其中基本
医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿,参保率稳定在95%.将数据13.6亿用
科学记数法表示为1.36×10n的形式,则n的值是 (备注:1亿=100 000
000).
角度2小数的科学记数法
25.(2024威海)据央视网2023年10月11日消息,中国科学技术大学中国科学院量
子创新研究院与上海微系统所、国家并行计算机工程技术研究中心合作,成功构建了255个光子的量子计算原型机“九章三号”.“九章三号”处理高斯玻色取样
的速度比上一代“九章二号”提升一百万倍,在百万分之一秒时间内所处理的最
高复杂度的样本,需要当前最强的超级计算机花费超过二百亿年的时间.将“百万
分之一”用科学记数法表示为 ( )
A.1×10-5 B.1×10-6C.1×10-7D.1×10-8
26.(2024广元)1阿秒是10-18秒,也就是十亿分之一秒的十亿分之一.目前世界上最
短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒.将43阿秒用科学记数法表示为 秒.
角度3含计算过程的科学记数法
27.(2024北京)北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为
4×1017 Flops(Flops是计算机系统算力的一种度量单位),整体投产后,累计实现的
算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍,达到m Flops,则m的值为
( )
A.8×1016 B.2×1017 C.5×1017 D.2×1018
28.(2024上海)科学家研发了一种新的蓝光唱片,一张蓝光唱片的容量约为2×105
GB,一张普通唱片的容量约为25 GB,则蓝光唱片的容量是普通唱片的
倍.(用科学记数法表示)
考点 2实数的大小比较及运算(含二次根式)
命题点1 实数的大小比较
1.(2024自贡)在0,-2,-√3,π四个数中,最大的数是 ( )
A.-2 B.0 C.π D.-√3
2.(2024甘肃)下列各数中,比-2小的数是 ( )
A.-1 B.-4 C.4 D.1
3.(2024临沂)下列实数中,平方最大的数是 ( )
1
A.3 B. C.-1 D.-2
2
4.(2024辽宁)亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表:
大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲
最低海拔/m -415 -28 -156 -40其中最低海拔最小的大洲是( )
A.亚洲 B.欧洲 C.非洲 D.南美洲
5.(2024苏州)用数轴上的点表示下列各数,其中与原点距离最近的是 ( )
A.-3 B.1 C.2 D.3
6.(2024广西)写出一个比√3大的整数: .
7.(2024安徽)我国古代数学家张衡将圆周率取值为√10,祖冲之给出圆周率的一种
22 22
分数形式的近似值,为 .比较大小:√10 (填“>”或“<”).
7 7
命题点2 二次根式
角度1二次根式的概念、性质及有意义的条件
8.(2023烟台)下列二次根式中,与√2是同类二次根式的是 ( )
A.√4 B.√6 C.√8 D.√12
9.(2023衡阳)对于二次根式的乘法运算,一般地,有√a·√b=√ab,该运算法则成立的
条件是 ( )
A.a>0,b>0 B.a<0,b<0
C.a≤0,b≤0 D.a≥0,b≥0
10.(2024北京)若√x-9在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是 .
角度2二次根式的运算
11.(2024济宁)下列运算正确的是 ( )
A.√2+√3=√5 B.√2×√5=√10
C.2÷√2=1 D.√(-5)2=-5
√14a2
12.(2023河北)若a=√2,b=√7,则 = ( )
b2
A.2 B.4 C.√7 D.√2
13.(2024乐山)已知1b)的A类和B类正方形纸片、长为a宽
为b的C类矩形纸片若干张.如图所示要拼一个边长为a+b的正方形,需要1张A
类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片.若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩
形,则需要C类纸片的张数为 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
⏟a·a·…·a
20.(2024河南)计算( )3的结果是( )
a个
A.a5 B.a6C.aa+3 D.a3a
⏟2a+2a+…+2a ⏟2b×2b×…×2b
21.(2024河北)若a,b是正整数,且满足 = ,则a与b的关
8个2a相加 8个2b相乘
系正确的是( )
A.a+3=8b B.3a=8b
C.a+3=b8 D.3a=8+b
22.(2024泰安)单项式-3ab2的次数是 .
23. (2024河南)请写出2m的一个同类项: .
24.(2024德阳)若一个多项式加上y2+3xy-4,结果是3xy+2y2-5,则这个多项式为
.
25. (2024新疆)如图,在正方形ABCD
中,若面积S =12,周长C =16,则S +S = .
矩形AEOH 矩形OFCG 正方形EBFO 正方形HOGD角度2整式的变形及相关推理
26.(2024南充)已知m是方程x2+4x-1=0的一个根,则(m+5)(m-1)的值为 .
27.(2023济宁) 已知实数m满足m2-m-1=0,则2m3-3m2-m+9= .
28.(2023连云港)若W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3(x,y为实数),则W的最小值为 .
29.(2023河北)现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张,卡片的边长如图(1)所示
(a>1).某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙),如图(2)和图(3),其
面积分别为S ,S .
1 2
(1)请用含a的式子分别表示S ,S ;当a=2时,求S +S 的值;
1 2 1 2
(2)比较S 与S 的大小,并说明理由.
1 2
图(1) 图(2)
图(3)
角度3整式的化简及求值
30.(2024重庆A)计算:x(x-2y)+(x+y)2.31.(2024重庆B)计算:a(3-a)+(a-1)(a+2).
32.(2023天门)计算:(12x4+6x2)÷3x-(-2x)2(x+1).
33.(2024南充)先化简,再求值:(x+2)2-(x3+3x)÷x,其中x=-2.
34.(2024吉林)先化简,再求值:(a+1)(a-1)+a2+1,其中a=√3.
35.(2024甘肃)先化简,再求值:[(2a+b)2-(2a+b)(2a-b)]÷2b,其中a=2,b=-1.
36.(2024赤峰)已知a2-a-3=0,求代数式(a-2)2+(a-1)(a+3)的值.1
37.(2023凉山州)先化简,再求值:(2x+y)2-(2x+y)(2x-y)-2y(x+y),其中x=( )2 025,y=22
2
024.
命题点3 因式分解
38.(2024云南)分解因式:a3-9a= ( )
A.a(a-3)(a+3) B.a(a2+9)
C.(a-3)(a+3)D.a2(a-9)
39.(2024广西)如果a+b=3,ab=1,那么a3b+2a2b2+ab3的值为 ( )
A.0 B.1 C.4 D.9
40.(2024陕西)分解因式:a2-ab= .
41.(2024盐城)分解因式:x2+2x+1= .
42.(2024达州)分解因式:3x2-18x+27= .
43.(2024威海)因式分解:(x+2)(x+4)+1= .
命题点4 规律探索题
角度1数式规律
44.(2024云南)按一定规律排列的代数式:2x,3x2,4x3,5x4,6x5,…,第n个代数式是 (
)
A.2xn B.(n-1)xn C.nxn+1 D.(n+1)xn1 1 1
45.(2024眉山)已知a =x+1(x≠0且x≠-1),a = ,a = ,…,a = ,则a
1 2 1−a 3 1−a n 1−a 2 024
1 2 n-1
的值为 .
46.(2024宁夏)观察下列等式:
第1个:1×2-2=22×0;
第2个:4×3-3=32×1;
第3个:9×4-4=42×2;
第4个:16×5-5=52×3;
……
按照以上规律,第n个等式为 .
角度2图形规律
47.(2024重庆B)用菱形按如图所示的规律拼图案,其中第①个图案中有2个菱形,
第②个图案中有5个菱形,第③个图案中有8个菱形,第④个图案中有11个菱
形……按此规律,则第⑧个图案中菱形的个数是 ( )
A.20 B.21 C.23 D.26
48.(2024青海)如图是由火柴棒摆成的图案,按此规律摆放,第(7)个图案中有
根火柴棒.
49.(2024泰安)如图是用图形“ ”和“ ”按一定规律摆成的“小屋子”.
按照此规律继续摆下去,第 个“小屋子”中图形“ ”的个数是图形“
”的个数的3倍.考点 4分式及其运算
命题点1 分式有意义的条件、分式的值
1
1.(2023广西)若分式 有意义,则x的取值范围是 ( )
x+1
A.x≠-1 B.x≠0 C.x≠1 D.x≠2
x2-x
2.(2023凉山州)分式 的值为0,则x的值是 ( )
x-1
A.0 B.-1 C.1 D.0或1
3
3.(2024烟台)若代数式 在实数范围内有意义,则x的取值范围为 .
√x-1
1
4. (2024吉林)当分式 的值为正数时,写出一个满足条
x+1
件的x的值: .
1 1
5.(2024大庆)若a+ =√5,则a2+ = .
a a2
1 1
6.(2024内江)已知实数a,b满足ab=1,则 + = .
a2+1 b2+1
命题点2 分式的简单运算及化简
4a 2b
7.(2024甘肃)计算: - =( )
2a-b 2a-b
A.2 B.2a-b
2 a-b
C. D.
2a-b 2a-b
y3
8.(2023河北)化简x3( )2的结果是 ( )
x
A.xy6 B.xy5 C.x2y5 D.x2y6
A y x- y
9.(2024河北)已知A为整式,若计算 - 的结果为 ,则A=( )
xy+ y2 x2+xy xy
A.x B.y C.x+y D.x-y
m 1
10.(2024湖北)计算 + 的结果是 .
m+1 m+1
4 x2
11.(2024威海)计算: + = .
x-2 2−x
a2-b2 a-b
12.(2024新疆)计算: ÷ .
a2+2ab+b2 a+b1 2
13. (2024连云港)下面是某同学计算 - 的解题过
m-1 m2-1
程:
1 2 m+1 2
解: - = - ①
m-1 m2-1 (m+1)(m-1) (m+1)(m-1)
=(m+1)-2 ②
=m-1 ③
上述解题过程从第几步开始出现错误?请写出完整的正确解题过程.
a a2-1 1
14.(2024辽宁)计算: · + .
a+1 a2 a
2 1 1
15.(2024宜宾)计算: ÷( - ).
a2-1 a-1 a+1
2 x2-4
16.(2024重庆B)计算:(1+ )÷ .
x-2 x2-4x+4
17. (2024滨州)欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之
一,他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献,也在初等数学中留下了不凡的足迹.an bn cn
设a,b,c为两两不同的数,称P = + +
n (a-b)(a-c) (b-c)(b-a) (c-a)(c-b)
(n=0,1,2,3)为欧拉分式.
(1)写出P 对应的表达式;
0
(2)化简P 对应的表达式.
1
命题点3 分式的化简求值
角度1已知字母的值
x2-4 x 3
18.(2024湖南)先化简,再求值: · + ,其中x=3.
x2 x+2 x
1 a+2
19.(2024临沂)先化简,再求值:(1- )÷ ,其中a=1.
a+3 a2-9
角度2结合实数的运算
20.(2024烟台)利用课本上的计算器进行计算,按键顺序如下:
m 7m-4
3 x2 - 5 =,若m是其显示结果的平方根,先化简:( + )÷
m-3 9−m2
4−2m
,再求值.
m+3
角度3结合方程、不等式a2-6a+9 5 a-1
21.(2023烟台)先化简,再求值: ÷(a+2+ ),其中a是使不等式 ≤1成
a-2 2−a 2
立的正整数.
a a2-b2 a-b
22.(2024广元)先化简,再求值: ÷ - ,其中a,b满足b-2a=0.
a-b a2-2ab+b2 a+b
角度4自选值代入
x x x2+x
23.(2024达州)先化简:( - )÷ ,再从-2,-1,0,1,2之中选择一个合适的数作
x-2 x+2 x2-4
为x的值代入求值.
角度5整体代入
2ab-b2 a-b
24.(2023成都)若3ab-3b2-2=0,则代数式(1- )÷ 的值为 .
a2 a2b
3(a-2b)+3b
25.(2024北京)已知a-b-1=0,求代数式 的值.
a2-2ab+b2
考点 5一次方程(组)及其应用
命题点1 一元一次方程的解法及解的应用
1.(2023永州)关于x的一元一次方程2x+m=5的解为 x=1,则m的值为( )A.3 B.-3 C.7 D.-7
2.(2024新疆)解方程:2(x-1)-3=x.
2x-1 x+1
3.(2024滨州)解方程: = .
3 2
命题点2 二元一次方程(组)的解法及解的应用
4.(2023无锡)下列4组数中,不是二元一次方程2x+y=4的解的是 ( )
{x=1, {x=2, {x=0.5, {x=−2,
A. B. C. D.
y=2 y=0 y=3 y=4
{3x+ y=2m-1,
5.(2023南充)关于x,y的方程组 的解满足x+y=1,则4m÷2n的值是
x- y=n
( )
A.1 B.2 C.4 D.8
{x+2y=3,
6.(2024广西)解方程组:
x-2y=1.
{ x-2y=1,①
7.(2023常德)解方程组:
3x+4 y=23.②
命题点3 一次方程(组)的实际应用
角度1数学文化
8.(2024广西)《九章算术》是我国古代重要的数学著作,其中记载了一个问题,大
致意思为:现有田出租,第一年3亩1钱(注:1亩≈666.67米2),第二年4亩1钱,第三
年5亩1钱.三年共得100钱.问:出租的田有多少亩?设出租的田有x亩,可列方程
为 ( )
x x x x x x
A. + + =1 B. + + =100
3 4 5 3 4 5
C.3x+4x+5x=1 D.3x+4x+5x=1009.(2024南充)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公,众客都
来到店中.一房七客多七客,一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是:如果每一间
客房住7人,那么有7人无房可住;如果每一间客房住9人,那么就空出一间客房.设
有客房x间,客人y人,则可列方程组为 ( )
{7x-7= y, {7x-7= y,
A. B.
9(x+1)= y 9(x-1)= y
{7x+7= y, {7x+7= y,
C. D.
9(x+1)= y 9(x-1)= y
10.(2024威海)《九章算术》是我国古老的数学经典著作,书中提到这样一道题目:
以绳测井,若将绳三折测之,绳多四尺(注:1尺≈0.33米);若将绳四折测之,绳多一尺.
绳长、井深各几何?题目大意是:用绳子测量水井的深度,如果将绳子折成三等份,
一份绳长比井深多4尺;如果将绳子折成四等份,一份绳长比井深多1尺.绳长、井
深各是多少尺?若设绳长x尺,井深y尺,则符合题意的方程组是 ( )
x x
{ - y=4, { +4= y,
{3x- y=4, {3x+4= y, 3 3
A. B. C. D.
4x- y=1 4x+1= y x x
- y=1 +1= y
4 4
11.(2024泰安)我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题,其内容大致如下:
用九百九十九文钱,可买甜果苦果共一千个,若…,…,试问买甜果苦果各几个?
{
x+ y=1000,
若设买甜果x个,买苦果y个,可列出符合题意的二元一次方程组 11 4
x+ y=999.
9 7
根据已有信息,题中用“…,…”表示的缺失的条件应为( )
A.甜果七个用四文钱,苦果九个用十一文钱
B.甜果十一个用九文钱,苦果四个用七文钱
C.甜果四个用七文钱,苦果十一个用九文钱
D.甜果九个用十一文钱,苦果七个用四文钱
12.(2024宜宾)元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中,记载了这样一道题:“良马日行
二百四十里,驽马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良马几何日追及之?”其大
意是:快马每天行240里,慢马每天行150里,慢马先行12天,问快马几天可追上慢
马?则快马追上慢马的天数是(提示:1里=500米) ( )
A.5天 B.10天 C.15天 D.20天
13.(2024烟台)《周髀算经》是中国现存最早的数理天文学著作.书中记载这样一道题:“今有女
子不善织,日减功迟.初日织五尺(注:1尺≈0.33米),末日织一尺,今三十日织讫.问织
几何?”意思是:现有一个不擅长织布的女子,织布的速度越来越慢,并且每天减少的
数量相同.第一天织了五尺布,最后一天仅织了一尺布,30天完工,问一共织了多少
布? ( )
A.45尺 B.88尺 C.90尺 D.98尺
14.(2024盐城)中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题,
大意是:现有一根竿子和一条绳索,用绳索去量竿子,绳索比竿子长5尺;若将绳索
对折去量竿子,绳索就比竿子短5尺.问绳索、竿子各有多长?该问题中的竿子长
为 尺(注:1尺≈0.33米).
角度2增长率问题
15.(2024福建)今年我国国民经济开局良好,市场销售稳定增长,社会消费增长较快,
第一季度社会消费品零售总额120 327亿元,比去年第一季度增长4.7%,求去年
第一季度社会消费品零售总额.若将去年第一季度社会消费品零售总额设为x亿
元,则符合题意的方程是 ( )
A.(1+4.7%)x=120 327 B.(1-4.7%)x=120 327
x x
C. =120 327D. =120 327
1+4.7% 1−4.7%
角度3工作量分配问题
16.(2024陕西)星期天,妈妈做饭,小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次
大扫除的任务量,若小峰单独完成,需4 h;若爸爸单独完成,需2 h.当天,小峰先单
独打扫了一段时间后,去参加篮球训练,接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务.小
峰和爸爸这次一共打扫了3 h,求这次小峰打扫了多长时间.
角度4购买问题
17.(2024连云港)我市将5月21日设立为连云港市“人才日”,以最大诚意礼遇人
才,让人才与城市“双向奔赴”.活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化
的折扇作为当天一项活动的纪念品.折扇单价为8元,其中邮费和优惠方式如下表
所示:
邮
100以上
购 1~99
(含100)
数量
邮
总价
寄 免费邮
的
费 寄
10%
用
折
扇 不优
打九折
价 惠
格
若两次邮购折扇共花费1 504元,求两次邮购的折扇各多少把.
18.(2024湖南)某村决定种植脐橙和黄金贡柚,助推村民增收致富.已知购买1棵脐
橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元;购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗
共需190元.
(1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价.
(2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1 000棵,总费用不超过38 000元,
问最多可以购买脐橙树苗多少棵?
角度5比赛积分问题
19.(2023河北)某磁性飞镖游戏的靶盘如图.珍珍玩了两局,每局投10次飞镖,若投
到边界则不计入次数,需重新投.计分规则如下:
投中 A B 脱
位置 区区靶
一次
计 3 1 -2
分/分在第一局中,珍珍投中A区4次,B区2次,脱靶4次.
(1)求珍珍第一局的得分;
(2)第二局,珍珍投中A区k次,B区3次,其余全部脱靶.若本局得分比第一局提高
了13分,求k的值.
角度6种植面积问题
20.(2024安徽)乡村振兴战略实施以来很多外出人员返乡创业.某村有部分返乡青
年承包了一些田地.采用新技术种植A,B两种农作物.种植这两种农作物每公顷所
需人数和投入资金如下表:
农作 每公顷 每公顷所
物品 所需人 需投入资
种 数 金(万元)
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24位,且每人只参与一种农作物种植,投入资金共60万元,
问A,B这两种农作物的种植面积各多少公顷?
21.(2023重庆B)某粮食生产基地为了落实在适宜地区开展双季稻中间季节再种
一季油菜的号召,积极扩大粮食生产规模,计划用基地的甲、乙两区农田进行油菜
试种.甲区的农田比乙区的农田多10 000亩(注:1亩≈666.67平方米),甲区农田的
80%和乙区全部农田均适宜试种,且两区适宜试种农田的面积刚好相同.
(1)求甲、乙两区各有农田多少亩.
(2)在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上油菜后,为加强油菜的虫害治理,基地派
出一批性能相同的无人机,对试种农田喷洒除虫药.由于两区地势差别,派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍(每架次无人机喷洒时间相同).喷洒任务完成后,发
50
现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒 亩,求派往甲区的每架次无人
3
机平均喷洒多少亩.
角度7其他问题
22.(2024宜宾)某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售,其中每个大箱装4千
克荔枝,每个小箱装3千克荔枝.该果农现采摘有32千克荔枝,根据市场销售需求,
大小箱都要装满,则所装的箱数最多为 ( )
A.8箱 B.9箱 C.10箱 D.11箱
23.(2024山西)当下电子产品更新换代速度加快,废旧智能手机数量不断增加.科学
处理废旧智能手机,既可减少环境污染,还可回收其中的可利用资源.据研究,从每
吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克.已知从2.5吨废旧智能手机
中提炼出的黄金,与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银质量相等.求从每吨废
旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克.
24.(2024北京)为防治污染,保护和改善生态环境,自2023年7月1日起,我国全面
实施汽车国六排放标准6b阶段(以下简称“标准”).对某型号汽车,“标准”要求
A类物质排放量不超过35 mg/km,A,B两类物质排放量之和不超过50 mg/km.
已知该型号某汽车的A,B两类物质排放量之和原为92 mg/km.经过一次技术改
进,该汽车的A类物质排放量降低了50%,B类物质排放量降低了75%,A,B两类物质排放量之和为40 mg/km.判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否
符合“标准”,并说明理由.
考点 6分式方程及其应用
命题点1 分式方程的解法及解的应用
2 3
1.(2024广东)方程 = 的解是( )
x-3 x
A.x=-3 B.x=-9 C.x=3 D.x=9
1 5
2.(2024济宁)解分式方程1- =- 时,去分母变形正确的是 ( )
3x-1 2−6x
A.2-6x+2=-5 B.6x-2-2=-5
C.2-6x-1=5 D.6x-2+1=5
2 m
3.(2024遂宁)分式方程 =1- 的解为正数,则m的取值范围是 ( )
x-1 x-1
A.m>-3 B.m>-3且m≠-2
C.m<3 D.m<3且m≠-2
x x+1
4.(2024武汉)分式方程 = 的解是 .
x-3 x-1
1 m
5.(2023永州)若关于x的分式方程 - =1(m为常数)有增根,则增根是
x-4 4−x
.
3 kx-1
6.(2024达州)若关于x的方程 - =1无解,则k的值为 .
x-2 x-2
2 x
7.(2024陕西)解方程: + =1.
x2-1 x-1
x x-3
8.(2023嘉兴)小丁和小迪分别解方程 - =1,过程如下:
x-2 2−x
小丁:
解:去分母,得x-(x-3)=x-2,
去括号,得x-x+3=x-2,
合并同类项,得3=x-2,
解得x=5,
∴原方程的解是x=5. 小迪:
解:去分母,得x+(x-3)=1,去括号,得x+x-3=1,
合并同类项,得2x-3=1,
解得x=2,
经检验,x=2是方程的增根,
∴原方程无解.
你认为小丁和小迪的解法是否正确?若正确,请在框内打“√”;若错误,请在框内
打“×”,并写出你的解答过程.
命题点2 分式方程的实际应用
角度1数学文化
9. (2023张家界)《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作.该
著作记载了“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文
足,无钱准与一株椽”.大意是:现请人代买一批椽,这批椽的总售价为6 210文.如
果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价
钱,试问6 210文能买多少株椽?设6 210文购买椽的数量为x株,则符合题意的方
程是 ( )
6210
A.3(x-1)= B.3(x-1)=6 210
x-1
6210 6210
C.3(x-1)= D. =3x
x x-1
角度2购买、销售问题
10.(2024广元)广元市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓
手,从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的
“口袋公园”,现需要购买A,B两种绿植,已知A种绿植单价是B种绿植单价的3
倍,用6 750元购买的A种绿植比用3 000元购买的B种绿植少50株.设B种绿
植单价是x元,则可列方程为( )
6750 3000 3000 6750
A. -50= B. -50=
3x x 3x x6750 3000 3000 6750
C. +50= D. +50=
3x x 3x x
11.(2023重庆A)某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面
两种食品.
(1)该公司花费3 000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份,此时每份杂酱面、
牛肉面的价格分别为15元、20元,求购买两种食品各多少份.
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整,现该公司分别花费1 260元、1 200
元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品,已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数
多50%,每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元,求购买牛肉面多少份.
12.(2024重庆A)为促进新质生产力的发展,某企业决定投入一笔资金对现有甲、
乙两类共30条生产线的设备进行更新换代.
(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新,某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策,
更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴,更新1条乙类生产线的设备可
获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备,该企业可获得70万元的补
贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条?
(2)经测算,更新1条甲类生产线的设备比更新1条乙类生产线的设备需多投入5
万元,用200万元更新甲类生产线的设备数量和用180万元更新乙类生产线的设
备数量相同,那么该企业在获得70万元的补贴后,还需投入多少资金更新生产线
的设备?
角度3行程问题
13.(2024新疆)某校九年级学生去距学校20 km的科技馆研学,一部分学生乘甲车
先出发,5 min后其余学生再乘乙车出发,结果同时到达.已知乙车的速度是甲车速
度的1.2倍,设甲车的速度为x km/h,根据题意可列方程 ( )
20 20 20 20
A. - =5 B. - =5
1.2x x x 1.2x
20 20 1 20 20 1
C. - = D. - =
1.2x x 12 x 1.2x 1214.(2024绥化)一艘货轮在静水中的航速为40 km/h,它以该航速沿江顺流航行
120 km所用时间,与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间相等,则江水的流速
为 ( )
A.5 km/h B.6 km/h C.7 km/h D.8 km/h
15.(2024云南)某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观,已知A地到B
地的路程为300千米,乘坐C型车比乘坐D型车少用2小时,C型车的平均速度是
D型车的平均速度的3倍,求D型车的平均速度.
角度4生产、工程问题
16.(2024临沂)为提高生产效率,某工厂将生产线进行升级改造.改造后比改造前每
天多生产100件,改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同,则改
造后每天生产的产品件数为( )
A.200 B.300 C.400 D.500
17.(2024达州)甲、乙两人各自加工120个零件,甲由于个人原因没有和乙同时进
行,乙先加工30分钟后,甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度,加工的速度是乙的
1.2倍,最后两人同时完成.求乙每小时加工零件多少个.设乙每小时加工x个零件.
可列方程为( )
120 120 120 120
A. - =30B. - =30
1.2x x x 1.2x
120 120 30 120 120 30
C. - = D. - =
1.2x x 60 x 1.2x 60
18.(2024泰安)随着快递行业的快速发展,全国各地的农产品有了更广阔的销售空
间.某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人,甲组每天加工3 000件农产
品,乙组每天加工2 700件农产品,已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲
组每人每天平均加工的农产品数量的1.2倍,求甲、乙两组各有多少名工人.19.(2024扬州)为了提高垃圾处理效率,某垃圾处理厂购进A,B两种机器,A型机器
比B型机器每天多处理40吨垃圾,A型机器处理500吨垃圾所用天数与B型机器
处理300吨垃圾所用天数相等.B型机器每天处理多少吨垃圾?
20.(2024重庆B)某工程队承接了老旧小区改造工程中1 000平方米的外墙粉刷
任务,选派甲、乙两人分别用A,B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半.据测算需
要A,B两种外墙漆各300千克,购买外墙漆总费用为15 000元,已知A种外墙漆
每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元.
(1)求A,B两种外墙漆每千克的价格各是多少元.
4
(2)已知乙每小时粉刷外墙的面积是甲每小时粉刷外墙的面积的 ,乙完成粉刷任
5
务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时.问甲每小时粉刷外墙的面积是
多少平方米.
角度5其他问题
21.(2024威海)某公司为节能环保,安装了一批A型节能灯,一年用电16 000千瓦·
时.后购进一批相同数量的B型节能灯,一年用电9 600千瓦·时.一盏A型节能灯
每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦·时.求一盏A型节
能灯每年的用电量.22. (2024广西)综合与实践
在综合与实践课上,数学兴趣小组通过洗一套夏季校服,探索清洗衣物的节约
用水策略.
【洗衣过程】
步骤一:将校服放进清水中,加入洗衣液,充分浸泡揉搓后拧干;
步骤二:将拧干后的校服放进清水中,充分漂洗后拧干,重复操作步骤二,直至校服
上残留洗衣液浓度达到洗衣目标.
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%,每次拧干后校服上都残留
0.5 kg水.
0.5d
浓度关系式:d = 前.其中d ,d 分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓
后 0.5+w 前 后
度;w为单次漂洗所加清水量(单位:kg).
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%.
【动手操作】请按要求完成下列任务:
(1)如果只经过一次漂洗,使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,需要多少清水?
(2)如果把4 kg清水均分,进行两次漂洗,是否能达到洗衣目标?
(3)比较(1)和(2)的漂洗结果,从洗衣用水策略方面,说说你的想法.
考点 7一元二次方程及其应用
命题点1 一元二次方程的解法及解的应用
1.(2023新疆)用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0,配方后得到的方程是 ( )
A.(x+6)2=28B.(x-6)2=28C.(x+3)2=1 D.(x-3)2=1
2.(2024贵州)一元二次方程x2-2x=0的解是 ( )
A.x =3,x =1 B.x =2,x =0
1 2 1 2
C.x =3,x =-2 D.x =-2,x =-1
1 2 1 2
3.(2024凉山州)若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,则a
的值为 ( )
1
A.2 B.-2 C.2或-2D.
2
4.(2024河北)淇淇在计算正数a的平方时,误算成a与2的积,求得的答案比正确
答案小1,则a= ( )
A.1 B. -1
√2
C.√2+1 D.1或√2+1
{a2-b,a≤0,
5.(2024广州)定义新运算:ab= 例如:-24=(-2)2-4=0,23=-2+3=1.
-a+b,a>0.
3
若x1=- ,则x的值为 .
4
6.(2024安徽)解方程:x2-2x=3.
7.(2024青海)(1)解一元二次方程:x2-4x+3=0;
(2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根,求第三边的长.
命题点2 一元二次方程根的判别式
8.(2024北京)若关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有两个相等的实数根,则实数c
的值为 ( )A.-16 B.-4 C.4 D.16
9.(2024吉林)下列方程中,有两个相等实数根的是 ( )
A.(x-2)2=-1 B.(x-2)2=0
C.(x-2)2=1 D.(x-2)2=2
10.(2024自贡)关于x的方程x2+mx-2=0的根的情况是 ( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
11.(2024泰安)关于x的一元二次方程2x2-3x+k=0有实数根,则实数k的取值范围
是 ( )
9 9 9 9
A.k< B.k≤ C.k≥ D.k>
8 8 8 8
12.(2024广安)若关于x的一元二次方程(m+1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,
则m的取值范围是 ( )
A.m<0且m≠-1 B.m≥0
C.m≤0且m≠-1 D.m<0
13.(2023内江)对于实数a,b定义运算“”为ab=b2-ab,例如:32=22-3×2=-2,则
关于x的方程(k-3)x=k-1的根的情况,下列说法正确的是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定
14.(2024云南)若一元二次方程x2-2x+c=0无实数根,则实数c的取值范围为
.
15.(2024新疆)若关于x的一元二次方程x2+3x+k=0有两个不相等的实数根,则k
的取值范围为 .
16. (2023金昌)关于x的一元二次方程x2+2x+4c=0有两个
不相等的实数根,则c= (写出一个满足条件的值).
17.(2024南充)已知x ,x 是关于x的方程x2-2kx+k2-k+1=0的两个不相等的实数根.
1 2
(1)求k的取值范围.
(2)若k<5,且k,x ,x 都是整数,求k的值.
1 2
18.(2024广州)关于x的方程x2-2x+4-m=0有两个不等的实数根.
(1)求m的取值范围;1−m2 m-1 m-3
(2)化简: ÷ · .
|m-3| 2 m+1
命题点3 一元二次方程根与系数的关系
19.(2023天津)若x ,x 是方程x2-6x-7=0的两个根,则 ( )
1 2
7
A.x +x =6 B.x +x =-6 C.x x = D.x x =7
1 2 1 2 1 2 6 1 2
20. (2024绥化)小影与小冬一起写作业,在
解一道一元二次方程时,小影在解答过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根
是6和1;小冬在解答过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是-2
和-5.则原来的方程是 ( )
A.x2+6x+5=0 B.x2-7x+10=0
C.x2-5x+2=0 D.x2-6x-10=0
1 1
21.(2024眉山)已知方程x2+x-2=0的两根分别为x ,x ,则 + 的值为 .
1 2 x x
1 2
1 1
22.(2023鄂州)若实数a,b分别满足a2-3a+2=0,b2-3b+2=0,且a≠b,则 + =
a b
.
23.(2024成都)若m,n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个实数根,则m+(n-2)2的值
为 .
24.(2023岳阳)已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有两个不相等的实
数根x ,x ,且x +x +x ·x =2,则实数m= .
1 2 1 2 1 2
25.(2024烟台)若一元二次方程2x2-4x-1=0的两根为m,n,则3m2-4m+n2的值为
.
26.(2024遂宁)已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+m-1=0.(1)求证:无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根;
(2)如果方程的两个实数根为x ,x ,且x2+x2-x x =9,求m的值.
1 2 1 2 1 2
27.(2024内江)已知关于x的一元二次方程x2-px+1=0(p为常数)有两个不相等的
实数根x 和x .
1 2
(1)填空:x +x = ,x x = ;
1 2 1 2
1 1 1
(2)求 + ,x + 的值;
x x 1 x
1 2 1
(3)已知x2+x2=2p+1,求p的值.
1 2
命题点4 一元二次方程的实际应用
角度1增长率(或降低率)问题
28.(2024云南)两年前生产1千克甲种药品的成本为80元,随着生产技术的进步,
现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x,根
据题意,下列方程正确的是 ( )
A.80(1-x2)=60 B.80(1-x)2=60
C.80(1-x)=60 D.80(1-2x)=6029.(2024重庆B)重庆在低空经济领域实现了新的突破.今年第一季度低空飞行航
线安全运行了200架次,预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次.设
第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x,根据题意,可列方程为
.
30.(2024重庆A)随着经济复苏,某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年
缴税40万元,2023年缴税48.4万元,该公司这两年缴税的年平均增长率是
.
角度2图形面积问题
31.(2024通辽)如图,小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长
5.5 m)的矩形鸭舍,其面积为15 m2,在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门(门由
其他材料做成),则BC的长为( )
A.5 m或6 m B.2.5 m或3 m
C.5 m D.3 m
32.(2023东营)如图,老李想用长为70 m的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)
围成一个矩形羊圈ABCD,并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处,另用其他
材料).
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为640 m2的羊圈?
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由.
角度3购买、销售问题
33.(2023宜昌)为纪念爱国诗人屈原,人们有了端午节吃粽子的习俗.某顾客端午节
前在超市购买豆沙粽10个,肉粽12个,共付款136元,已知肉粽单价是豆沙粽的2
倍.
(1)求豆沙粽和肉粽的单价.(2)超市为了促销,购买粽子达20个及以上时实行优惠,下表列出了小欢妈妈、小
乐妈妈的购买数量(单位:个)和付款金额(单位:元):
豆沙
肉粽付款
粽数
数量金额
量
小
欢
20 30 270
妈
妈
小
乐
30 20 230
妈
妈
①根据上表,求豆沙粽和肉粽优惠后的单价.
②为进一步提升粽子的销量,超市将两种粽子打包成A,B两种包装销售,每包都是
40个粽子(包装成本忽略不计),每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合
计.A,B两种包装中分别有m个豆沙粽,m个肉粽,A包装中的豆沙粽数量不超过肉
粽的一半.端午节当天统计发现,A,B两种包装的销量分别为(80-4m)包,(4m+8)包,
A,B两种包装的销售总额为17 280元.求m的值.
考点 8不等式(组)及其应用
命题点1 不等式的性质
1.(2024广州)若ab+3 B.a-2>b-2
C.-a<-bD.2a<2b
2.(2024苏州)若a>b-1,则下列结论一定正确的是 ( )
A.a+1b D.a+1>b
3. (2024长春)不等关系在生活中广泛存在.如图,a,b分别
表示两位同学的身高,c表示台阶的高度.图中两人的对话体现的数学原理是 (
)A.若a>b,则a+c>b+c B.若a>b,b>c,则a>c
a b
C.若a>b,c>0,则ac>bc D.若a>b,c>0,则 >
c c
命题点2 一元一次不等式(组)的解法
角度1不等式(组)的解法及解集表示
4.(2024湖北)不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是 ( )
5.(2024陕西)不等式2(x-1)≥6的解集是 ( )
A.x≤2 B.x≥2 C.x≤4 D.x≥4
6.(2024河北)下列数中,能使不等式5x-1<6成立的x的值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.(2024河南)下列不等式中,与-x>1组成的不等式组无解的是 ( )
A.x>2 B.x<0
C.x<-2 D.x>-3
{2x+1>x+2,
8.(2024眉山)不等式组 的解集是 ( )
x+3≥2x-1
A.x>1 B.x≤4
C.x>1或x≤4 D.1√7的一元一次不等
式: .
x+1 2−x
13.(2024眉山)解不等式: -1≤ ,并把它的解集表示在数轴上.
3 2
{ 2x+1≤3,①
14.(2024天津)解不等式组
3x-1≥x-7. ②
请结合题意填空,完成本题的解答.
(Ⅰ)解不等式①,得 .
(Ⅱ)解不等式②,得 .
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
(Ⅳ)原不等式组的解集为 .
{2x+3≥−1,①
15.(2024成都)解不等式组: x-1 x
-1< .②
2 3
{3(x-1)<4+2x,
16.(2024北京)解不等式组: x-9
<2x.
5角度2不等式(组)的特殊解
{x+2≥1,
17. (2024临沂)写出满足不等式组 的一个整数解:
2x-1<5
.
{
x-2
x> ,
18.(2024大庆)不等式组 2 的整数解有 个.
5x-3<9+x
x
19.(2024烟台)关于x的不等式m- ≤1-x有正数解,则m的值可以是 (写出
2
一个即可).
{2x+1>x+a,
20.(2023宜宾)若关于x的不等式组 x 5 所有整数解的和为14,则整数a
+1≥ x-9
2 2
的值为 .
1+x
21.(2024盐城)求不等式 ≥x-1的正整数解.
3
{2x-6≤0,
22.(2024扬州)解不等式组 4x-1 并求出它的所有整数解的和.
x< ,
2
命题点3 含参不等式(组)问题{2x-1<5,
23.(2024南充)若关于x的不等式组 的解集为x<3,则m的取值范围是
x2 B.m≥2 C.m<2 D.m≤2
{x-a>2,
24.(2023鄂州)已知不等式组 的解集是-12√2,写出a的一个整数值 .
{4−2x≥0,
26.(2024黑龙江龙东地区)关于x的不等式组 1 恰有 3个整数解,则a的
x-a>0
2
取值范围为 .
{
4x-1
70+12n B.52+15n<70+12n
C.52+12n>70+15n D.52+12n<70+15n
29.(2023广东)某商品进价4元,标价5元出售,商家准备打折销售,但其利润率不能
少于10%,则最多可打 折.
30.(2024山西)为加强校园消防安全,学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉
灭火器共50个,其中水基灭火器的价格为540元/个,干粉灭火器的价格为380
元/个.若学校购买这两种灭火器的总价不超过21 000元,则最多可购买这种型号
的水基灭火器多少个?命题点5 不等式（组）与方程结合的实际应用
31.(2024辽宁)甲、乙两个水池注满水,蓄水量均为36 m3.工作期间需同时排水,乙
池的排水速度是8 m3/h.若排水3 h,则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍.
(1)求甲池的排水速度.
(2)工作期间,如果这两个水池剩余水量的和不少于24 m3,那么最多可以排水几小
时?
32.(2024江西)如图,书架宽84 cm,在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书,已
知每本数学书厚0.8 cm,每本语文书厚1.2 cm.
(1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架,求书架上数学书和语文书各多少本.
(2)如果书架上已摆放10本语文书,那么数学书最多还可以摆多少本?
33.(2024成都)推进中国式现代化,必须坚持不懈夯实农业基础,推进乡村全面振兴.
某合作社着力发展乡村水果网络销售,在水果收获的季节,该合作社用17 500元
从农户处购进A,B两种水果共1 500 kg进行销售,其中A种水果收购价格为10
元/kg,B种水果收购价格为15元/kg.
(1)求A,B两种水果各购进多少千克;(2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4%,若合作社计划A种水果至少要
获得20%的利润,不计其他费用,求A种水果的最低销售价格.
34.(2024泸州)某商场购进A,B两种商品,已知购进3件A商品比购进4件B商品
费用多60元;购进5件A商品和2件B商品总费用为620元.
(1)求A,B两种商品每件进价各为多少元.
(2)该商场计划购进A,B两种商品共60件,且购进B商品的件数不少于A商品件
数的2倍.若A商品按每件150元销售,B商品按每件80元销售,为满足销售完
A,B两种商品后获得的总利润不低于1 770元,则购进A商品的件数最多为多少?
35.(2023常德)“六一”儿童节将至,张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销
售,若用1 200元购买A型玩具的数量比用1 500元购买B型玩具的数量多20个,
且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍.
(1)求一个A型玩具和一个B型玩具的进价分别是多少.
(2)若A型玩具的售价为12元/个,B型玩具的售价为20元/个,张老板购进A,B型
玩具共75个,要使总利润不低于300元,则A型玩具最多购进多少个?
考点 9平面直角坐标系与函数
命题点1 平面直角坐标系中点的坐标特征
1.(2023怀化)在平面直角坐标系中,点P(2,-3)关于x轴对称的点P'的坐标是 (
)A.(-2,-3)B.(-2,3) C.(2,-3) D.(2,3)
2.(2024成都)在平面直角坐标系xOy中,点P(1,-4)关于原点对称的点的坐标是 (
)
A.(-1,-4)B.(-1,4) C.(1,4) D.(1,-4)
3.(2024广西)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P的坐标为(2,1),则点
Q的坐标为 ( )
A.(3,0) B.(0,2) C.(3,2) D.(1,2)
(第3题) (第5题) (第7
题)
4.(2024广元)如果单项式-x2my3与单项式2x4y2-n的和仍是一个单项式,则在平面直
角坐标系中点(m,n)在 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.(2024贵州)为培养青少年的科学态度和科学思维,某校创建了“科技创新”社
团.小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中,若建立平面直角
坐标系,使“创”“新”的坐标分别为(-2,0),(0,0),则“技”所在的象限为 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.(2024滨州)若点P(1-2a,a)在第二象限,则a的取值范围是 ( )
1 1 1 1
A.a> B.a< C.00,ab>0,则在如图所示的平面直角坐标系中,小手盖住的点
的坐标可能是 ( )
A.(a,b) B.(-a,b) C.(-a,-b)D.(a,-b)
8.(2024江西)在平面直角坐标系中将点A(1,1)向右平移2个单位长度,再向上平移
3个单位长度得到点B.则点B的坐标为 .
9.(2024辽宁)在平面直角坐标系中,线段AB的端点坐标分别为A(2,-1),B(1,0),将线
段AB平移后,点A的对应点A'的坐标为(2,1),则点B的对应点B'的坐标为
.
10.(2023巴中)已知a为正整数,点P(4,2-a)在第一象限中,则a= .
11.(2023连云港)画一条水平数轴,以原点O为圆心,过数轴上的每一刻度点画同心
圆,过原点O按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为
30°,60°,90°,120°,…,330°的射线,这样就建立了“圆”坐标系.如图,在建立的
“圆”坐标系内,我们可以将点A,B,C的坐标分别表示为
A(6,60°),B(5,180°),C(4,330°),则点D的坐标可以表示为 .命题点2 函数及其自变量的取值范围、图象
角度1函数自变量的取值范围
12.(2024巴中)函数y=√x+2的自变量的取值范围是 ( )
A.x>0 B.x>-2 C.x≥-2 D.x≠-2
√x+3
13.(2024牡丹江)函数y= 中,自变量x的取值范围是 .
x
角度2函数的图象
1
14.(2023扬州)函数y= 的大致图象是 ( )
x2
15.(2023绍兴)已知点M(-4,a-2),N(-2,a),P(2,a)在同一个函数图象上,则这个函数图
象可能是 ( )
4
16.(2024扬州)在平面直角坐标系中,函数y= 的图象与坐标轴的交点个数是
x+2
( )
A.0 B.1 C.2 D.4命题点3 图形与坐标
17.(2024吉林)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-4,0),点C的坐标为(0,2).
以OA,OC为边作矩形OABC,若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°,得到矩形
OA'B'C',则点B'的坐标为( )
A.(-4,-2)B.(-4,2) C.(2,4) D.(4,2)
18.(2024湖北)如图,点A的坐标是(-4,6),将线段OA绕点O顺时针旋转90°,点A的
对应点的坐标是 ( )
A.(4,6) B.(6,4)
C.(-6,-4)D.(-4,-6)
(第18题) (第19题)
19.(2023山西)蜂巢结构精巧,其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房
的横截面图,图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙,将其放在平面直角坐标系
中,点P,Q,M均为正六边形的顶点.若点P,Q的坐标分别为(-2√3,3),(0,-3),则点M的
坐标为 ( )
A.(3 ,-2) B.(3 ,2)
√3 √3
C.(2,-3 ) D.(-2,-3 )
√3 √3
20. (2023东营)如图,一束光线从点 A(-2,5)出发,经过y轴
上的点B(0,1)反射后经过点C(m,n),则2m-n的值是 .(第20题) (第21题) (第22
题)
21.(2023本溪)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点坐标分别是
O(0,0),A(1,0),B(2,3),C(-1,2),若四边形OA'B'C'与四边形OABC关于原点O位似,且
四边形OA'B'C'的面积是四边形OABC面积的4倍,则第一象限内点B'的坐标为
.
22.(2024河南)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点A的
坐标为(-2,0),点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠,点C落在点F处.若点F的坐标
为(0,6),则点E的坐标为 .
命题点4 实际问题中分析、判断函数图象
23.(2024武汉)如图,一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体,向
水槽匀速注水.下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系
的是 ( )
24. (2024江西)将常温中的温度计插入一杯60 ℃的热水
(恒温)中,温度计的读数y(℃)与时间x(min)的关系用图象可近似表示为( )25. (2024青海)化学实验小组查阅资料了解到:某种絮凝剂
溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降,从而达到净水的目的.实验得出加入絮
凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示,下列说法正确的是( )
A.加入絮凝剂的体积越大,净水率越高
B.未加入絮凝剂时,净水率为0
C.絮凝剂的体积每增加0.1 mL,净水率的增加量相等
D.加入絮凝剂的体积是0.2 mL时,净水率达到76.54%
26. (2024河南)把多个家用电器连接在同一个插线板上,同
时使用一段时间后,插线板的电源线会明显发热,存在安全隐患.数学兴趣小组对
这种现象进行研究,得到时长一定时,插线板电源线中的电流I与使用电器的总功
率P的函数图象(如图(1)),插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象(如图(2)).
下列结论中错误的是 ( )
图(1)
图(2)
A.当P=440 W时,I=2 A
B.Q随I的增大而增大
C.I每增加1 A,Q的增加量相同
D.P越大,插线板电源线产生的热量Q越多
命题点5 几何问题中分析、判断函数图象
27.(2024河北)扇文化是中华优秀传统文化的组成部分,在我国有着深厚的底蕴.如图,某折扇张
开的角度为120°时,扇面面积为S;该折扇张开的角度为n°时,扇面面积为S ,若m=
n
S
n,则m与n关系的图象大致是 ( )
S
A B C D
28.(2024甘肃)如图(1),动点P从菱形ABCD的点A出发,沿边AB→BC匀速运动,
运动到点C时停止.设点P的运动路程为x,PO的长为y,y与x的函数图象如图(2)
所示,当点P运动到BC中点时,PO的长为 ( )
图(1) 图(2)
A.2 B.3 C. D.2
√5 √2
29.(2024兰州)如图(1),在菱形ABCD中,∠ABC=60°,连接BD,点M从点B出发沿
BD方向以√3 cm/s的速度运动至点D,同时点N从点B出发沿BC方向以1 cm/s
的速度运动至点C.设运动时间为x(s),△BMN的面积为y(cm2),y与x的函数图象
如图(2)所示,则菱形ABCD的边长为 ( )
图(1) 图(2)
A.2 cm B.4 cm C.4 cm D.8 cm
√2 √230.(2023河南)如图(1),点P从等边三角形ABC的顶点A出发,沿直线运动到三角
PB
形内部一点,再从该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为x, =y,图(2)是
PC
点P运动时y随x变化的关系图象,则等边三角形ABC的边长为 ( )
图(1) 图(2)
A.6 B.3 C.4 D.2
√3 √3
31.(2024安徽)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=2,BD是边AC上的高.点
E,F分别在边AB,BC上(不与端点重合),且DE⊥DF.设AE=x,四边形DEBF的面积
为y,则y关于x的函数图象为 ( )
32.(2024烟台)
如图,水平放置的矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,菱形EFGH的顶点E,G在同
一水平线上,点G与AB的中点重合,EF=2√3 cm,∠E=60°.现将菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向匀速运动,当点E运动到CD上时停止.在这个运动过程中,
菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积S(cm2)与运动时间t(s)之间的函数关系
图象大致是( )
A B
C D
考点 10一次函数的图象与性质
命题点1 一次函数解析式的确定
1.(2024陕西)一个正比例函数的图象经过点A(2,m)和点B(n,-6),若点A,点B关于原
点对称,则这个正比例函数的表达式为 ( )
A.y=3x B.y=-3x
1 1
C.y= x D.y=- x
3 3
2.(2023鄂州)象棋起源于中国,中国象棋文化历史悠久,如图所示是某次对弈的残
图的一部分,如果建立平面直角坐标系,使棋子“帅”位于点(-2,-1)的位置,则在同
一坐标系下,经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为 ( )
A.y=x+1 B.y=x-1
C.y=2x+1 D.y=2x-13. (2024宁夏)在平面直角坐标系中,一条直线与两坐标轴
围成的三角形是等腰三角形,则该直线的解析式可能为 .(写出
一个即可)
4.(2023杭州)在“探索一次函数y=kx+b的系数k,b与图象的关系”活动中,老师
给出了直角坐标系中的三个点:A(0,2),B(2,3),C(3,1)(如图).同学们画出了经过这三
个点中每两个点的一次函数的图象,并得到对应的函数表达式
y =k x+b ,y =k x+b ,y =k x+b .分别计算k +b ,k +b ,k +b 的值,其中最大的值等于
1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 2 2 3 3
.
5.(2023北京)在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(0,1)和
B(1,2),与过点(0,4)且平行于x轴的直线交于点C.
(1)求该函数的解析式及点C的坐标;
2
(2)当x<3时,对于x的每一个值,函数y= x+n的值大于函数y=kx+b(k≠0)的值且
3
小于4,直接写出n的值.
命题点2 一次函数的图象与性质
角度1一次函数解析式与象限的关系
6.(2024兰州)一次函数y=2x-3的图象不经过 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.(2024临夏州)一次函数y=kx-1(k≠0)的函数值y随x的增大而减小,它的图象不经
过的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8.(2024包头)在平面直角坐标系中,若一次函数的图象经过第一、二、三象限,请
写出一个符合该条件的一次函数的表达式: .
角度2分析、判断一次函数的图象
9.(2023陕西)在同一平面直角坐标系中,函数y=ax和y=x+a(a为常数,a<0)的图象
可能是 ( )
10.(2024通辽)如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数y=k x+b 与y=k x+b (其
1 1 2 2
中k k ≠0,k ,k ,b ,b 为常数)的图象分别为直线l ,l .下列结论正确的是 ( )
1 2 1 2 1 2 1 2
A.b +b >0 B.b b >0
1 2 1 2
C.k +k <0 D.k k <0
1 2 1 2
11.(2023临沂)对于某个一次函数y=kx+b(k≠0),根据两位同学的对话得出的结论,
错误的是 ( )
1
A.k>0 B.kb<0 C.k+b>0 D.k=- b
2角度3与一次函数增减性、最值、取值范围有关的问题
12.(2024新疆)若一次函数y=kx+3的函数值y随x的增大而增大,则k的值可以是
( )
A.-2 B.-1
C.0 D.1
13.(2024山西)已知点A(x ,y ),B(x ,y )都在正比例函数y=3x的图象上,若x y B.y 时,y<0
2
D.它的图象经过第一、二、三象限
15.(2024南充)当2≤x≤5时,一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6,则实数m的值为
( )
A.-3或0 B.0或1
C.-5或-3 D.-5或1
16. (2024甘肃)已知一次函数y=-2x+4,当自变量x>2时,函
数y的值可以是 (写出一个合理的值即可).
17.(2024自贡)一次函数y=(3m+1)x-2的函数值随x的增大而增大,请写出一个满
足条件的m的值: .
18.(2024北京)在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+b(k≠0)与y=-kx+3的图象交
于点(2,1).
(1)求k,b的值;
(2)当x>2时,对于x的每一个值,函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=kx+b的值,也
大于函数y=-kx+3的值,直接写出m的取值范围.5
19.(2023温州)如图,在直角坐标系中,点A(2,m)在直线y=2x- 上,过点A的直线交y
2
轴于点 B(0,3).
(1)求m的值和直线AB的函数表达式.
5
(2)若点P(t,y )在线段AB上,点Q(t-1,y )在直线y=2x- 上,求y -y 的最大值.
1 2 2 1 2
命题点3 一次函数图象的平移、旋转
20.(2023无锡)将函数y=2x+1的图象向下平移2个单位长度,所得图象对应的函
数表达式是( )
A.y=2x-1 B.y=2x+3
C.y=4x-3 D.y=4x+5
21.(2023天津)若直线y=x向上平移3个单位长度后经过点(2,m),则m的值为
.
22.(2024苏州)直线l :y=x-1与x轴交于点A,将直线l 绕点A逆时针旋转15°,得到
1 1
直线l ,则直线l 对应的函数表达式是 .
2 2
命题点4 一次函数与方程、不等式的关系23.(2024广东)已知不等式kx+b<0的解集是x<2,则一次函数y=kx+b的图象大致
是 ( )
3
24.(2024呼伦贝尔)点P(a,b)在直线y=- x+4上,a,b是二元一次方程5a-6b=33的
4
解,则点P在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
25.(2024扬州)如图,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象分别与x,y轴交于A,B两点,
若OA=2,OB=1,则关于x的方程kx+b=0的解为 .
命题点5 一次函数与几何图形的综合
26.(2024辽宁)如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形AOBC的顶点A在x轴负半轴
3
上,顶点B在直线y= x上,若点B的横坐标是8,则点C的坐标为 ( )
4A.(-1,6) B.(-2,6)
C.(-3,6) D.(-4,6)
27.(2023武汉)皮克定理是格点几何学中的一个重要定理,它揭示了以格点为顶点
1
的多边形的面积S=N+ L-1,其中N,L分别表示这个多边形内部与边界上的格点
2
个数.在平面直角坐标系中,横、纵坐标都是整数的点为格点.已知
A(0,30),B(20,10),O(0,0),则△ABO内部的格点个数是 ( )
A.266 B.270 C.271 D.285
28.(2024凉山州)如图,一次函数y=kx+b的图象经过A(3,6),B(0,3)两点,交x轴于点
C,则△AOC的面积为 .
29.(2024广安)如图,直线y=2x+2与x轴、y轴分别相交于点A,B,将△AOB绕点A
沿逆时针方向旋转90°得到△ACD,则点D的坐标为 .
考点 11一次函数的实际应用
命题点1 历史文化、跨学科类问题1. (2024山西)生物学研究表明,某种蛇在一定生长阶段,其
体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数,部分数据如下表所示,则y与x之间的关系式
为 ( )
尾长
6 8 10
x/cm
体长 456075
y/cm .5 .5 .5
A.y=7.5x+0.5 B.y=7.5x-0.5
C.y=15xD.y=15x+45.5
2.(2024广西)激光测距仪L发出的激光束以3×105 km/s的速度射向目标M,t s后
测距仪L收到M反射回的激光束,则L到M的距离d km与时间t s的关系式为
( )
3×105
A.d= t B.d=3×105t
2
C.d=2×3×105t D.d=3×106t
3. (2024甘肃)如图(1),“燕几”即宴几,是世界上最早的一套组合
桌,由北宋进士黄伯思设计.全套“燕几”一共有七张桌子,包括两张长桌、两张
中桌和三张小桌,每张桌面的宽都相等.七张桌面分开可组合成不同的图形.如图
(2)给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式,若设每张桌面的宽为x
尺(注:1尺≈0.33米),长桌的长为y尺,则y与x的关系可以表示为 ( )
A.y=3x B.y=4x
C.y=3x+1 D.y=4x+1
图(1) 图(2)(第3题) (第4题)
4. (2023武汉)我国古代数学经典著作《九章算术》记载:“今
有善行者行一百步,不善行者行六十步.今不善行者先行一百步,善行者追之.问几何步及之.”如图是善行者与不善行者行走路程s(单位:步)关于善行者的行走时间t
的函数图象,则两图象交点P的纵坐标是 .
命题点2 工程问题
5.(2024威海)
同一条公路连接A,B,C三地,B地在A,C两地之间.甲、乙两车分别从A地、B地
同时出发前往C地.甲车速度始终保持不变,乙车中途休息一段时间,继续行驶.如
图表示甲、乙两车之间的距离y(km)与时间x(h)的函数关系.下列结论正确的是
( )
8
A.甲车行驶 h与乙车相遇 B.A,C两地相距220 km
3
C.甲车的速度是70 km/h D.乙车中途休息36 min
6. (2024陕西)我国新能源汽车快速健康发展,续航里程
不断提升,王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A市前往B市,他驾车从A市一高速公
路入口驶入时,该车的剩余电量是80 kW·h,行驶了240 km后,从B市一高速公路
出口驶出,已知该车在高速公路上行驶的过程中,剩余电量y(kW·h)与行驶路程
x(km)之间的关系如图所示.
(1)求y与x之间的关系式;
(2)已知这辆车的“满电量”为100 kW·h,求王师傅驾车从B市这一高速公路出
口驶出时,该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少.7.(2023绍兴)一条笔直的路上依次有M,P,N三地,其中M,N两地相距1 000米.甲、
乙两机器人分别从M,N两地同时出发,去目的地N,M,匀速而行.图中OA,BC分别
表示甲、乙机器人离M地的距离y(米)与行走时间x(分钟)的函数关系图象.
(1)求OA所在直线的表达式.
(2)出发后甲机器人行走多少时间,与乙机器人相遇?
(3)甲机器人到P地后,再经过1分钟乙机器人也到P地,求P,M两地间的距离.
8.(2024天津)已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上,画社离家0.6
km,文化广场离家1.5 km.张华从家出发,先匀速骑行了4 min到画社,在画社停留
了15 min,之后匀速骑行了6 min到文化广场,在文化广场停留6 min后,再匀速
步行了20 min返回家.下面图中x表示时间,y表示离家的距离.图象反映了这个
过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系.
请根据相关信息,回答下列问题:
(Ⅰ)①填表.
张华离开
家的时 1 4 13 30
间/min
张华离家
的距离/ 0.6
km
②填空:张华从文化广场返回家的速度为 km/min.
③当0≤x≤25时,请直接写出张华离家的距离y关于时间x的函数解析式.(Ⅱ)当张华离开家8 min时,他的爸爸也从家出发,匀速步行了20 min直接到达了
文化广场,那么从画社到文化广场的途中(0.61 200),该年此户需缴纳燃气费
用为y元,求y与x的函数表达式;
(3)甲户家庭人口为3人,乙户家庭人口为5人,某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均
为3 855元,求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气.(结果精确到1 m3)
命题点7 其他问题16.(2024广州)一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征.某数学
兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据,通过对数据的整理和分析,发现
身高y和脚长x之间近似存在一个函数关系,部分数据如下表:
脚长 2 2 2 2 2 2
… …
x/cm 3 4 5 6 7 8
1 1 1 1 1 1
身高
…5 6 7 7 8 9…
y/cm
6 3 0 7 4 1
(1)在图(1)中描出表中数据对应的点(x,y);
k
(2)根据表中数据,从y=ax+b(a≠0)和y= (k≠0)中选择一个函数模型,使它能近似地
x
反映身高和脚长的函数关系,并求出这个函数的解析式(不要求写出x的取值范
围);
(3)如图(2),某场所发现了一个人的脚印,脚长约为25.8 cm,请根据(2)中求出的函
数解析式,估计这个人的身高.
图(1)
图(2)
考点 12反比例函数的图象与性质、实际应用
命题点1 反比例函数图象上的点10
1.(2024重庆B)反比例函数y=- 的图象一定经过的点是( )
x
A.(1,10)B.(-2,5) C.(2,5) D.(2,8)
k
2.(2023永州)已知点M(2,a)在反比例函数y= 的图象上,其中a,k为常数,且k>0,则
x
点M一定在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
10
3.(2024云南)已知点P(2,n)在反比例函数y= 的图象上,则n= .
x
k
4.(2024北京)在平面直角坐标系xOy中,若函数y= (k≠0)的图象经过点(3,y )和
x 1
(-3,y ),则y +y 的值是 .
2 1 2
5
5.(2024陕西)已知点A(-2,y )和点B(m,y )均在反比例函数y=- 的图象上,若
1 2 x
0”“=”或“<”)
1 2
命题点2 反比例函数的图象与性质
3
6.(2023武汉)关于反比例函数y= ,下列结论正确的是 ( )
x
A.图象位于第二、四象限
B.图象与坐标轴有公共点
C.图象所在的每一个象限内,y随x的增大而减小
D.图象经过点(a,a+2),则a=1
2
7.(2024广西)已知点M(x ,y ),N(x ,y )在反比例函数y= 的图象上,若x <00 C.k<4 D.k>4
5
9.(2024天津)若点A(x ,-1),B(x ,1),C(x ,5)都在反比例函数y= 的图象上,则x ,x ,x
1 2 3 x 1 2 3
的大小关系是 ( )
A.x 0时,00时,
x
y随x的增大而减小.写出一个满足条件的k的值: .
命题点3 反比例函数解析式的确定
角度1直接代点的坐标型
k
13.(2024重庆A)已知点(-3,2)在反比例函数y= (k≠0)的图象上,则k的值为( )
x
A.-3 B.3 C.-6 D.6
k
14. (2023河北)如图,已知点A(3,3),B(3,1),反比例函数y=
x
(k≠0)图象的一支与线段AB有交点,写出一个符合条件的k的整数值: .
k
15.(2024贵州)已知点(1,3)在反比例函数y= 的图象上.
x
(1)求反比例函数的表达式;
(2)若点(-3,a),(1,b),(3,c)都在反比例函数的图象上,比较a,b,c的大小,并说明理由.角度2求点的坐标代入型
16.(2024绥化)如图,已知点A(-7,0),B(m,10),C(-17,n),▱ABCO的对角线OB与反比
k
例函数y= (k≠0)的图象相交于点D,且OD∶OB=1∶4,则k= .
x
k
17.(2023徐州)如图,点P在反比例函数y= (k>0)的图象上,PA⊥x轴于点A,PB⊥y
x
轴于点B,PA=PB.一次函数y=x+1的图象与PB交于点D.若D为PB的中点,则k
的值为 .
(第17题) (第18题)
18.(2023新疆)如图,在平面直角坐标系中,△OAB为直角三角形,
k
∠A=90°,∠AOB=30°,OB=4.若反比例函数y= (k≠0)的图象经过OA的中点C,交
x
AB于点D,则k= .
角度3利用|k|的几何意义求解型
k
19.(2023广西)如图,过反比例函数y= (x>0)的图象上点A,分别作x轴,y轴的平行
x
1
线,交反比例函数y=- 的图象于B,D两点,以AB,AD为邻边的矩形ABCD被坐标
x
5
轴分割成四个小矩形,面积分别记为S ,S ,S ,S ,若S +S +S = ,则k的值为 ( )
1 2 3 4 2 3 4 2A.4 B.3 C.2 D.1
(第19题) (第20题)
(第21题)
20.(2024牡丹江)矩形OBAC在平面直角坐标系中的位置如图所示,反比例函数y=
k
的图象与AB边交于点D,与AC边交于点F,与OA交于点E,OE=2AE,若四边形
x
ODAF的面积为2,则k的值是 ( )
2 3 4 8
A. B. C. D.
5 5 5 5
k
21.(2024齐齐哈尔)如图,反比例函数y= (x<0)的图象经过▱ABCO的顶点A,OC
x
在x轴上,若点B(-1,3),S =3,则实数k的值为 .
▱ABCO
k
22.(2023连云港)如图,矩形OABC的顶点A在反比例函数y= (x<0)的图象上,顶
x
点B,C在第一象限,对角线AC∥x轴,交y轴于点D.若矩形OABC的面积是
2
6,cos∠OAC= ,则k= .
3
(第22题) (第23题)
2
23.(2023达州)如图,一次函数y=2x与反比例函数y= 的图象相交于A,B两点,以
x
k
AB为边作等边三角形ABC,若反比例函数y= 的图象过点C,则k的值为
x
.24.(2024通辽)如图,平面直角坐标系中,原点O为正六边形ABCDEF的中心,EF∥x
k
轴,点E在双曲线y= (k为常数,k>0)上,将正六边形ABCDEF向上平移√3个单位
x
长度,点D恰好落在双曲线上,则k的值为 .
(第24题) (第25题)
(第26题)
角度4其他类型
25.(2024扬州)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),点B在反比例函数
k
y= (x>0)的图象上,BC⊥x轴于点C,∠BAC=30°,将△ABC沿AB翻折,若点C的对应
x
点D落在该反比例函数的图象上,则k的值为 .
k
26.(2023本溪)如图,矩形ABCD的边AB平行于x轴,反比例函数y= (x>0)的图象
x
经过点B,D,对角线CA的延长线经过原点O,且AC=2AO,若矩形ABCD的面积是
8,则k的值为 .
命题点4 反比例函数的实际应用
27.(2024河北)节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购买500度电,若平均每天
用电x度,则能使用y天.下列说法错误的是 ( )
A.若x=5,则y=100 B.若y=125,则x=4
C.若x减小,则y也减小 D.若x减小一半,则y增大一倍28. (2024连云港)杠杆平衡时,“阻力×阻力臂=动力×动力
臂”,已知阻力和阻力臂分别为1 600 N和0.5 m,动力为F(N),动力臂为l(m).则
动力F关于动力臂l的函数表达式为 .
29.(2024山西)机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置,其最快移
动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数.已知一款机器狗载重后总质量
m=60 kg时,它的最快移动速度v=6 m/s;当其载重后总质量m=90 kg时,它的最
快移动速度v= m/s.
30.(2023温州)在温度不变的条件下,通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压,加
压后气体对汽缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例,p关
于V的函数图象如图所示.若压强由75 kPa加到100 kPa,则气体体积压缩了
mL.
31.(2023扬州)某气球内充满了一定质量的气体,在温度不变的条件下,气球内气体
的压强 p(Pa)是气球体积V(m3)的反比例函数,且当V=3 m3时,p=8 000 Pa.当气球
内的气体压强大于40 000 Pa时,气球将爆炸,为确保气球不爆炸,气球的体积应不
小于 m3.
32. (2024吉林)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电
流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示.
(1)求这个反比例函数的解析式(不要求写出自变量R的取值范围).
(2)当电阻R为3 Ω时,求此时的电流I.
命题点5 反比例函数与几何图形的简单综合k
33.(2024宜宾)如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,反比例函数y= (k≠0)的图象经过
x
AN
点A,B及AC的中点M,BC∥x轴,AB与y轴交于点N,则 的值为 ( )
AB
1 1 1 2
A. B. C. D.
3 4 5 5
(第33题) (第34题)
12
34.(2024黑龙江龙东地区)如图,双曲线y= (x>0)经过A,B两点,连接OA,AB,过点
x
B作BD⊥y轴,垂足为D,BD交OA于点E,且E为AO的中点,则△AEB的面积是 (
)
A.4.5 B.3.5 C.3 D.2.5
35.(2024河南)如图,矩形ABCD的四个顶点都在格点(网格线的交点)上,对角线
k
AC,BD相交于点E,反比例函数y= (x>0)的图象经过点A.
x
(1)求这个反比例函数的表达式.
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点,再画出反比例函数的
图象.
(3)将矩形ABCD向左平移,当点E落在这个反比例函数的图象上时,平移的距离为
.
36.(2024盐城)小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象,并把矩形
直尺放在上面,如图.
请根据图中信息,求:(1)反比例函数表达式;
(2)点C坐标.
命题点6 反比例函数与一次函数的简单综合
k
37.(2024安徽)已知反比例函数y= (k≠0)与一次函数y=2-x的图象的一个交点的
x
横坐标为3,则k的值为( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
38.(2024泸州)已知关于x的一元二次方程x2+2x+1-k=0无实数根,则函数y=kx与
2
函数y= 的图象的交点个数为 ( )
x
A.0 B.1 C.2 D.3
k
39.(2024大庆)在同一平面直角坐标系中,函数y=kx-k(k≠0)与y= 的大致图象为
|x|
( )2
40.(2024新疆)如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx(k>0)与双曲线y= 交于A,B
x
两点,AC⊥x轴于点C,连接BC交y轴于点D,结合图象判断下列结论:①点A与点
2
B关于原点对称;②点D是BC的中点;③在y= 的图象上任取点P(x ,y )和点
x 1 1
1
Q(x ,y ),如果y >y ,那么x >x ;④S = .其中正确结论的个数是 ( )
2 2 1 2 1 2 △BOD 2
A.1 B.2 C.3 D.4
k
41.(2024威海)如图,在平面直角坐标系中,直线y =ax+b(a≠0)与双曲线y = (k≠0)
1 2 x
交于点A(-1,m),B(2,-1).则满足y ≤y 的x的取值范围是 .
1 2
42.(2024临沂)列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法,它们从不同角
k
度反映了自变量与函数值之间的对应关系.下表是函数y=2x+b与y= 部分自变
x
量与函数值的对应关系:
7
x - a 1
2
2x
a 1
+b
k
7
x
(1)求a,b的值,并补全表格;
k
(2)结合表格,当y=2x+b的图象在y= 的图象上方时,直接写出x的取值范围.
x43.(2024湖北)如图,一次函数y=x+m的图象与x轴交于点A(-3,0),与反比例函数
k
y= (k为常数,k≠0)的图象在第一象限的部分交于点B(n,4).
x
(1)求m,n,k的值;
k
(2)若C是反比例函数y= 的图象在第一象限部分上的点,且△AOC的面积小于
x
△AOB的面积,直接写出点C的横坐标a的取值范围.
44.(2024甘肃)如图,在平面直角坐标系中,将函数y=ax的图象向上平移3个单位
k
长度,得到一次函数y=ax+b的图象,与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A(2,4).
x
k
过点B(0,2)作x轴的平行线分别交y=ax+b与y= (x>0)的图象于C,D两点.
x
k
(1)求一次函数y=ax+b和反比例函数y= 的表达式;
x
(2)连接AD,求△ACD的面积.m
45.(2024南充)如图,直线y=kx+b经过A(0,-2),B(-1,0)两点,与双曲线y= (x<0)交于
x
点C(a,2).
(1)求直线和双曲线的解析式.
(2)过点C作CD⊥x轴于点D,点P在x轴上,若以O,A,P为顶点的三角形与△BCD
相似,直接写出点P的坐标.
考点 13反比例函数与其他知识的综合
命题点1 反比例函数与几何图形的综合
1. (2023河南)小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案.如图,在平面直角坐标
k
系中,以反比例函数y= 图象上的点A(√3,1)和点B为顶点,分别作菱形AOCD和
x
⏜
菱形OBEF,点D,E在x轴上,以点O为圆心,OA长为半径作 ,连接BF.
AC
(1)求k的值;
(2)求扇形AOC的半径及圆心角的度数;
(3)请直接写出图中阴影部分面积之和.2.(2023宜宾)如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰直角三角形ABC的直角顶点
k
C(3,0),顶点A,B(6,m)恰好落在反比例函数y= 第一象限的图象上.
x
(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式.
(2)在x轴上是否存在一点P,使△ABP周长的值最小?若存在,求出最小值;若不存在,
请说明理由.
k
3.(2024苏州)如图,△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,A(-2,0),C(6,0),反比例函数y=
x
(k≠0,x>0)的图象与AB交于点D(m,4),与BC交于点E.
(1)求m,k的值;
k
(2)点P为反比例函数y= (k≠0,x>0)图象上一动点(点P在D,E之间运动,不与D,E
x
重合),过点P作PM∥AB,交y轴于点M,过点P作PN∥x轴,交BC于点N,连接MN,
求△PMN面积的最大值,并求出此时点P的坐标.命题点2 反比例函数与一次函数的综合
m
4.(2024达州)如图,一次函数y=kx+b (k,b为常数,k≠0)的图象与反比例函数y= (m
x
为常数,m≠0)的图象交于点A(2,3),B(a,-2).
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)若点C是x轴正半轴上的一点,且∠BCA=90°,求点C的坐标.
5.(2024自贡)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数
m
y= 的图象交于A(-6,1),B(1,n)两点.
x
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)P是直线x=-2上的一个动点,△PAB的面积为21,求点P的坐标;
m
(3)点Q在反比例函数y= 位于第四象限的图象上,△QAB的面积为21,请直接写
x
出Q点的坐标.6.(2024眉山)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b与反比例函数y=
m
(x>0)的图象交于点A(1,6),B(n,2).
x
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)若点P在y轴上,当△PAB的周长最小时,请直接写出点P的坐标;
1
(3)将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴,y轴分别交于E,F两点,当EF= AB
2
时,求a的值.
k
7.(2024宜宾)如图,一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y= (k≠0)的图象交
x
于点A(1,4),B(n,-1).
(1)求反比例函数和一次函数的表达式.
k
(2)利用图象,直接写出不等式ax+b< 的解集.
x
(3)已知点D在x轴上,点C在反比例函数图象上.若以A,B,C,D为顶点的四边形是
平行四边形,求点C的坐标.8.(2024连云港)如图(1),在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+1(k≠0)的图象与
6
反比例函数y= 的图象交于点A,B,与y轴交于点C,点A的横坐标为2.
x
(1)求k的值;
6
(2)利用图象直接写出kx+1< 时x的取值范围;
x
6
(3)如图(2),将直线AB沿y轴向下平移4个单位,与函数y= (x>0)的图象交于点D,
x
6
与y轴交于点E,再将函数y= (x>0)的图象沿AB平移,使点A,D分别平移到点
x
C,F处,求图中阴影部分的面积.
图(1) 图(2)
9.(2024成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+m与直线y=2x相交于点
k
A(2,a),与x轴交于点B(b,0),点C在反比例函数y= (k<0)图象上.
x
(1)求a,b,m的值.
(2)若O,A,B,C为顶点的四边形为平行四边形,求点C的坐标和k的值.
(3)过A,C两点的直线与x轴负半轴交于点D,点E与点D关于y轴对称.若有且只
有一点C,使得△ABD与△ABE相似,求k的值.备用图
10.(2023成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+5与y轴交于点A,与反
k
比例函数y= 的图象的一个交点为B(a,4),过点B作AB的垂线l.
x
(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式.
(2)若点C在直线l上,且△ABC的面积为5,求点C的坐标.
(3)P是直线l上一点,连接PA,以点P为位似中心画△PDE,使它与△PAB位似,相似
比为m.若点D,E恰好都落在反比例函数图象上,求点P的坐标及m的值.
考点 14二次函数的图象与性质
命题点1 二次函数的基本性质
k
1.(2024广州)函数y =ax2+bx+c与y = 的图象如图所示,当y ,y 均随着x的增大
1 2 x 1 2
而减小时,x的取值范围是 ( )
A.x<-1 B.-11(第1题) (第5题)
2.(2024广东)若点(0,y ),(1,y ),(2,y )都在二次函数y=x2的图象上,则 ( )
1 2 3
A.y >y >y B.y >y >y
3 2 1 2 1 3
C.y >y >y D.y >y >y
1 3 2 3 1 2
3.(2023兰州)已知二次函数y=-3(x-2)2-3,下列说法正确的是 ( )
A.对称轴为直线x=-2 B.顶点坐标为(2,3)
C.函数的最大值是-3D.函数的最小值是-3
4.(2024眉山)定义运算:ab=(a+2b)(a-b),例如43=(4+2×3)×(4-3),则函数
y=(x+1)2的最小值为 ( )
A.-21 B.-9 C.-7 D.-5
5.(2024赤峰)如图,正方形ABCD的顶点A,C在抛物线y=-x2+4上,点D在y轴上.
若A,C两点的横坐标分别为m,n(m>n>0),则下列结论正确的是 ( )
A.m+n=1 B.m-n=1
m
C.m=1 D. =1
n
6.(2023台州)抛物线y=ax2-a(a≠0)与直线y=kx交于A(x ,y ),B(x ,y )两点.若x +x <0,
1 1 2 2 1 2
则直线y=ax+k一定经过 ( )
A.第一、二象限B.第二、三象限
C.第三、四象限D.第一、四象限
7.(2024贵州)如图,二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标
是-3,顶点坐标为(-1,4),则下列说法正确的是 ( )
A.二次函数图象的对称轴是直线x=1
B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2C.当x<-1时,y随x的增大而减小
D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
8.(2023衡阳)已知m>n>0,若关于x的方程x2+2x-3-m=0的解为x ,x (x 0时,y的值随x值的增大而增大
C.图象经过第二、三、四象限
D.图象的对称轴是直线x=1
10.(2024宁夏)若二次函数y=2x2-x+m的图象与x轴有交点,则m的取值范围是
.
11. (2023上海)一个二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y轴正
半轴上,且其对称轴左侧的部分是上升的,那么这个二次函数的解析式可以是
.
12.(2024辽宁)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点
A,B,点B的坐标为(3,0),若点C(2,3)在抛物线上,则AB的长为 .
13.(2024苏州)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点A(0,m),B(1,-m),C(2,n),D(3,-
m
m),其中m,n为常数,则 的值为 .
n14.(2023福建)已知抛物线y=ax2-2ax+b(a>0)经过A(2n+3,y ),B(n-1,y )两点,若A,B
1 2
分别位于抛物线对称轴的两侧,且y 0)上任意两点.设抛物线的对称轴为x=t.
(1)若对于x =1,x =2,有y =y ,求t的值;
1 2 1 2
(2)若对于0”或“<”).
1 2 1 2
命题点3 与系数a,b,c有关的判断
21.(2023河南)二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,则一次函数y=x+b的图象一
定不经过 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(第21题) (第23题)
22.(2024湖北)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的顶点坐标为(-1,-2),与y
轴的交点在x轴上方.下列结论正确的是 ( )
A.a<0 B.c<0
C.a-b+c=-2 D.b2-4ac=0
n+1
23.(2024自贡)一次函数y=x-2n+4,二次函数y=x2+(n-1)x-3,反比例函数y= 在
x
同一直角坐标系中的图象如图所示,则n的取值范围是( )
A.n>-1 B.n>2
C.-11时,y随x的增大而减小;③若ax2+bx+c=0的一个根为3,则a=-
1
;④抛物线y=ax2+2是由抛物线y=ax2+bx+c向左平移1个单位,再向下平移2个
2
单位得到的.其中一定正确的是 ( )
A.①② B.②③
C.③④ D.②④27.(2024宜宾)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)交x轴于点A(-3,0),B(1,0),交y轴于点
C.以下结论:①a+b+c=0;②a+3b+2c<0;③当以点A,B,C为顶点的三角形是等腰三
2
角形时,c=√7;④当c=3时,在△AOC内有一动点P,若OP=2,则CP+ AP的最小值
3
√97
为 .其中正确结论有 ( )
3
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
28.(2024武汉)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a<0)经过(-1,1),(m,1)两点,且
00;
②若01;
③若a=-1,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=2无实数解;
1 1
④点A(x ,y ),B(x ,y )在抛物线上,若x +x >- ,x >x ,总有y 0;④A,D两点关于(-1,0)对称.其中正确
1 2
的结论是 .(填写序号)
30.(2024烟台)已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:
x -4 -3 -1 1 5
-2
y 0 5 9 5
7
下列结论:①abc>0;②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有两个相等的实数根;③
当-43.
1 2
其中正确结论的序号为 .
考点 15二次函数的实际应用命题点1 物体抛起高度与时间的关系问题
1.(2024天津)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时
间t(单位:s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).有下列结论:
①小球从抛出到落地需要6 s;②小球运动中的高度可以是30 m;
③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度.
其中,正确结论的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.(2024河南)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h(m)满足关系式
h=-5t2+v t,其中t(s)是物体运动的时间,v (m/s)是物体被发射时的速度.社团活动时,
0 0
科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球.
(1)小球被发射后 s时离地面的高度最大(用含v 的式子表示).
0
(2)若小球离地面的最大高度为20 m,求小球被发射时的速度.
(3)按(2)中的速度发射小球,小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明
说:“这两次间隔的时间为3 s.”已知实验楼高15 m,请判断他的说法是否正确,并
说明理由.
命题点2 抛物线形问题
7
3.(2024广西)如图,壮壮同学投掷实心球,出手(点P处)的高度OP是 m,出手后
4
实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是5 m,高度是4 m.若实心球
落地点为M,则OM的长为 m.
4.(2024甘肃)如图(1)为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以看作抛物线的一部分,
如图(2)是棚顶的竖直高度y(单位:m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=-0.02x2+0.3x+1.6的图象,点B(6,2.68)在图象上.若一辆厢式
货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长CD=4 m,高DE=1.8 m的矩形,则可判
定货车 完全停到车棚内(填“能”或“不能”).
图(1) 图(2)
5.(2023兰州)一名运动员在10 m高的跳台进行跳水,身体(看成一点)在空中的运
动轨迹是一条抛物线,运动员离水面OB的高度y(m)与离起跳点A的水平距离
x(m)之间的函数关系如图所示,运动员离起跳点A的水平距离为1 m时达到最高
点,当运动员离起跳点A的水平距离为3 m时离水面的距离为7 m.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)求运动员从起跳点到入水点的水平距离OB的长.
6.(2024江西)如图,一小球从斜坡点O以一定的方向弹出,球的飞行路线可以用二
1
次函数y=ax2+bx(a<0)刻画,斜坡可以用一次函数y= x刻画,小球飞行的水平距离
4
x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如下表:x 0 1 2 m 4 5 6 7…
7 15 15 7
y 0 6 8 n …
2 2 2 2
(1)①m= ,n= ;
②小球的落点是A,求点A的坐标.
(2)小球飞行高度y(米)与飞行时间t(秒)满足关系:y=-5t2+vt.
①小球飞行的最大高度为 米;
②求v的值.
7.(2023武汉)某课外科技活动小组研制了一种航模飞机.通过实验,收集了飞机相
对于出发点的飞行水平距离x(单位:m)、飞行高度y(单位:m)随飞行时间t(单位:s)
变化的数据如下表.
飞行时
0 2 4 6 8 …
间t/s
飞行水
平距离 0 10203040…
x/m
飞行高
0 22405464…
度y/m
探究发现 x与t、y与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述.直接
写出x关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式(不要求写出自变量的取值范
围).
问题解决 如图,活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平
台试飞该航模飞机.根据上面的探究发现解决下列问题.
(1)若发射平台相对于安全线的高度为0 m,求飞机落到安全线时飞行的水平距离;(2)在安全线上设置回收区域MN,AM=125 m,MN=5 m.若飞机落到MN内(不包括
端点M,N),求发射平台相对于安全线的高度的变化范围.
命题点3 面积问题
8.(2024泰安)如图,小明的父亲想用长为60米的栅栏,再借助房屋的外墙围成一个
矩形菜园.已知房屋外墙长40米,则可围成的菜园的最大面积是 平方米.
9.(2024湖北)如图,某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏,围成一块一边靠墙
的矩形实验田,墙长为42 m.栅栏在安装过程中不重叠、无损耗.设矩形实验田与
墙垂直的一边长为x(单位:m),与墙平行的一边长为y(单位:m),面积为S(单位:m2).
(1)直接写出y与x,S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围).
(2)矩形实验田的面积S能达到750 m2吗?如果能,求x的值;如果不能,请说明理由.
(3)当x的值是多少时,矩形实验田的面积S最大?最大面积是多少?
10.(2023徐州)如图,正方形纸片ABCD的边长为4,将它剪去4个全等的直角三角
形,得到四边形EFGH.设AE的长为x,四边形EFGH的面积为y.
(1)求y关于x的函数表达式.
(2)当AE取何值时,四边形EFGH的面积为10?(3)四边形EFGH的面积是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理
由.
命题点4 销售、利润问题
11. (2024广东)广东省全力实施“百县千镇万村高质量发
展工程”,2023年农产品进出口总额居全国首位,其中荔枝鲜果远销欧美.某果商
以每吨2万元的价格收购早熟荔枝,销往国外.若按每吨5万元出售,平均每天可售
出100吨.市场调查反映:如果每吨降价1万元,每天销售量相应增加50吨.该果商
如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大?并求出其最大值.(题中
“元”为人民币)
12.(2024辽宁)某商场出售一种商品,经市场调查发现,日销售量y(件)与每件售价
x(元)之间满足一次函数关系,部分数据如下表所示:
每件售
…455565…
价x/元
日销售
…554535…
量y/件
(1)求y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围).
(2)这种商品日销售额能否达到2 600元?如果能,求出每件售价;如果不能,请说明
理由.13.(2024遂宁)某酒店有A,B两种客房,其中A种客房24间,B种客房20间.若全部
入住,一天营业额为7 200元;若A,B两种客房均有10间入住,一天营业额为3
200元.
(1)求:A,B两种客房每间定价分别是多少元?
(2)酒店对A种客房调研发现:如果客房不调价,房间可全部住满;如果每个房间定
价每增加10元,就会有一个房间空闲.当A种客房每间定价为多少元时,A种客房
一天的营业额W最大,最大营业额为多少元?
14.(2024南充)2024年“五一”假期期间,阆中古城景区某特产店销售A,B两类特
产.A类特产进价50元/件,B类特产进价60元/件.已知购买1件A类特产和1件
B类特产需132元,购买3件A类特产和5件 B类特产需540元.
(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元.
(2)A类特产供货充足,按原价销售每天可售出60件.市场调查反映,若每降价1元,
每天可多售出10件(每件售价不低于进价).设每件A类特产降价x元,每天的销售
量为y件,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
(3)在(2)的条件下,由于B类特产供货紧张,每天只能购进100件且能按原价售完.
设该店每天销售这两类特产的总利润为w元,求w与x的函数关系式,并求出每件
A类特产降价多少元时总利润w最大,最大利润是多少元?(利润=售价-进价)15.(2024新疆)某公司销售一批产品,经市场调研发现,当销售量在0.4吨至3.5吨
之间时,销售额y (万元)与销售量x(吨)的函数解析式为y =5x;成本y (万元)与销售
1 1 2
1 7
量x(吨)的函数图象是如图所示的抛物线的一部分,其中( , )是其顶点.
2 4
(1)求出成本y 关于销售量x的函数解析式.
2
(2)当成本最低时,销售产品所获利润是多少?
(3)当销售量是多少吨时,可获得最大利润?最大利润是多少?
(注:利润=销售额-成本)
考点 16二次函数综合题
命题点1 二次函数图象与性质的综合题
1.(2023杭州)设二次函数y=ax2+bx+1(a≠0,b是实数).已知函数值y和自变量x的
部分对应取值如下表所示:
x … -1 0 1 2 3 …
y … m 1 n 1 p …
(1)若m=4,
①求二次函数的表达式;
②写出一个符合条件的x的取值范围,使得y随x的增大而减小.
(2)若在m,n,p这三个实数中,只有一个是正数,求a的取值范围.2.(2024临沂)在平面直角坐标系xOy中,点P(2,-3)在二次函数y=ax2+bx-3(a>0)的
图象上,记该二次函数图象的对称轴为直线x=m.
(1)求m的值.
(2)若点Q(m,-4)在y=ax2+bx-3的图象上,将该二次函数的图象向上平移5个单位
长度,得到新的二次函数的图象.当0≤x≤4时,求新的二次函数的最大值与最小值
的和.
(3)设y=ax2+bx-3的图象与x轴的交点为(x ,0),(x ,0)(x 0),连接AP,AQ.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)当点Q与此抛物线的顶点重合时,求m的值.
(3)当∠PAQ的边与x轴平行时,求点P与点Q的纵坐标的差.
(4)设此抛物线在点A与点P之间部分(包括点A和点P)的最高点与最低点的纵坐
标的差为h ,在点A与点Q之间部分(包括点A和点Q)的最高点与最低点的纵坐
1
标的差为h .当h -h =m 时,直接写出m的值.
2 2 1
备用图
命题点2 二次函数与线段长、图形面积的综合题
5.(2024扬州)如图,已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0),B(1,0)两点.
(1)求b,c的值;
(2)若点P在该二次函数的图象上,且△PAB的面积为6,求点P的坐标.6.(2024福建)如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交
于点C,其中A(-2,0),C(0,-2).
(1)求二次函数的表达式;
(2)若P是二次函数图象上的一点,且点P在第二象限,线段PC交x轴于点
D,△PDB的面积是△CDB的面积的2倍,求点P的坐标.
7.(2024连云港)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx-1(a,b为常数,
a>0).
(1)若抛物线与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点,求抛物线对应的函数表达式.
(2)如图,当b=1时,分别过点C(-1,a),D(1,a+2√2)作y轴的平行线,交抛物线于点
M,N,连接MN,MD.求证:MD平分∠CMN.
(3)当a=1,b≤-2时,过直线y=x-1(1≤x≤3)上一点G作y轴的平行线,交抛物线于点H.
若GH的最大值为4,求b的值.
8.(2024成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线L:y=ax2-2ax-3a(a>0)与x轴交
于A,B两点(点A在点B的左侧),其顶点为C,D是抛物线第四象限上一点.
(1)求线段AB的长.
(2)当a=1时,若△ACD的面积与△ABD的面积相等,求tan∠ABD的值.(3)延长CD交x轴于点E,当AD=DE时,将△ADB沿DE方向平移得到△A'EB'.将抛
物线L平移得到抛物线L',使得点A',B'都落在抛物线L'上.试判断抛物线L'与L是
否交于某个定点.若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由.
备用图
考点 17角、相交线与平行线
命题点1 图形认识初步
1.(2024盐城)下列四幅图片中的主体事物,在现实运动中属于翻折的是( )
A.工作中的
雨刮器 B.移动中
的黑板 C.折叠中
的纸片 D.骑行中的
自行车
2.(2024甘肃)若∠A=55°,则∠A的补角为 ( )
A.35° B.45° C.115° D.125°
3.(2024广西)如图,2时整,钟表的时针和分针所成的锐角为 ( )
A.20° B.40° C.60° D.80°
(第3题) (第4题)
4.(2024吉林)如图,从长春站去往胜利公园,与其他道路相比,走人民大街路程最近,
其蕴含的数学道理是 .命题点2 相交线
5.(2024北京)如图,直线AB和CD相交于点O,OE⊥OC.若∠AOC=58°,则∠EOB的
大小为 ( )
A.29° B.32° C.45° D.58°
(第5题) (第6题)
6.(2023河南)如图,直线AB,CD相交于点O,若∠1=80°,∠2=30°,则∠AOE的度数为
( )
A.30° B.50° C.60° D.80°
7. (2024山西)一只杯子静止在斜面上,其受力分析如图所示,
重力G的方向竖直向下,支持力F 的方向与斜面垂直,摩擦力F 的方向与斜面平
1 2
行.若斜面的坡角α=25°,则摩擦力F 与重力G方向的夹角β的度数为 ( )
2
A.155° B.125° C.115° D.65°
8.(2024广西)已知∠1与∠2为对顶角,∠1=35°,则∠2= °.
9.(2023江西)如图,平面镜MN放置在水平地面CD上,墙面PD⊥CD于点D,一束光
线AO照射到镜面MN上,反射光线为OB,点B在PD上.若∠AOC=35°,则∠OBD的
度数为( )
A.35° B.45° C.55° D.65°
(第9题) (第10题)
10.(2023十堰)一副三角板按如图所示放置,点A在DE上,点F在BC上.若
∠EAB=35°,则∠DFC= °.命题点3 平行线的判定
11.(2024兰州)如图,小明在地图上量得∠1=∠2,由此判断幸福大街与平安大街互相
平行,他判断的依据是 ( )
A.同位角相等,两直线平行 B.内错角相等,两直线平行
C.同旁内角互补,两直线平行D.对顶角相等
(第11题) (第13题)
12.(2023临沂)在同一平面内,过直线l外一点P作l的垂线m,再过P作m的垂线
n,则直线l与n的位置关系是 ( )
A.相交 B.相交且垂直
C.平行 D.不能确定
13.(2023苏州)如图,在正方形网格内,线段PQ的两个端点都在格点上,网格内另有
A,B,C,D四个格点,下面四个结论中,正确的是 ( )
A.连接AB,则AB∥PQ B.连接BC,则BC∥PQ
C.连接BD,则BD⊥PQ D.连接AD,则AD⊥PQ
命题点4 利用平行线的性质证明或求角度
角度1直接利用平行线的性质解题
14.(2024重庆A)如图,AB∥CD,∠1=65°,则∠2的度数是( )
A.105° B.115° C.125° D.135°
(第14题) (第15题)
15.(2024陕西)如图,AB∥DC,BC∥DE,∠B=145°,则∠D的度数为 ( )
A.25° B.35° C.45° D.55°
16.(2024甘孜州)如图,AB∥CD,AD平分∠BAC,∠1=30°,则∠2= ( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
(第16题) (第17题)
17.(2024资阳)如图,AB∥CD,过点D作DE⊥AC于点E.若∠D=50°,则∠A的度数为
( )A.130° B.140° C.150° D.160°
18.(2024包头)如图,直线AB∥CD,点E在直线AB上,射线EF交直线CD于点G,则
图中与∠AEF互补的角有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(第18题) (第19题)
19.(2024泰安)如图,直线l∥m,等边三角形ABC的两个顶点B,C分别落在直线l,m
上,若∠ABE=21°,则∠ACD的度数是 ( )
A.45° B.39° C.29° D.21°
20.(2024苏州)如图,AB∥CD,若∠1=65°,∠2=120°,则∠3的度数为 ( )
A.45° B.55° C.60° D.65°
21.(2023陕西)如图,l∥AB,∠A=2∠B.若∠1=108°,则∠2的度数为( )
A.36° B.46° C.72° D.82°
(第21题) (第22题)
(第23题)
22.(2023荆州)如图所示的“箭头”图形中,AB∥CD,∠B=∠D=80°,∠E=∠F=47°,则
图中∠G的度数是 ( )
A.80° B.76° C.66° D.56°
23.(2023河北)如图,直线l ∥l ,菱形ABCD和等边三角形EFG在l ,l 之间,点A,F分
1 2 1 2
别在l ,l 上,点B,D,E,G在同一直线上.若∠α=50°,∠ADE=146°,则∠β= ( )
1 2
A.42° B.43° C.44° D.45°
24.(2023台州)用一张等宽的纸条折成如图所示的图案,若∠1=20°,则∠2的度数为
.(第24题) (第25题)
角度2与直尺或直角三角板结合
25.(2024广东)如图,一把直尺、两个含30°角的三角尺拼接在一起,则∠ACE的度
数为 ( )
A.120° B.90° C.60° D.30°
26.(2024盐城)小明将一块直角三角板摆放在直尺上,如图,若∠1=55°,则∠2的度数
为 ( )
A.25° B.35° C.45° D.55°
(第26题) (第27题)
27.(2024福建)在同一平面内,将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按
如图方式摆放,若AB∥CD,则∠1的大小为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
28.(2023恩施州)将含60°角的直角三角板按如图方式摆放,已知m∥n,∠1=20°,则
∠2= ( )
A.40° B.30° C.20° D.15°
29.(2024滨州)一副三角板如图(1)所示摆放,把三角板AOB绕公共顶点O顺时针
旋转至图(2),即AB∥OD时,∠1的大小为 °.
图(1)
图(2)
角度3平行线的性质与实际情境结合30.(2024湖北)如图,一条公路的两侧铺设了AB,CD两条平行管道,并有纵向管道
AC连通.若∠1=120°,则∠2的度数是 ( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
(第30题) (第31题)
31.(2024河南)如图,乙地在甲地的北偏东50°方向上,则∠1的度数为 ( )
A.60° B.50° C.40° D.30°
32. (2024达州)当光线从空气射入水中时,光线的传播方向
发生了改变,这就是光的折射现象(如图所示).图中∠1=80°,∠2=40°,则∠3的度数为
( )
A.30° B.40° C.50° D.70°
(第32题) (第33题)
(第34题)
33.(2024南充)如图,两个平面镜平行放置,光线经过平面镜反射时,∠1=∠2=40°,则
∠3的度数为 ( )
A.80° B.90° C.100° D.120°
34.(2023山西)如图,一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后,其折射光线与一束
经过光心O的光线相交于点P,点F为焦点.若∠1=155°,∠2=30°,则∠3的度数为
( )
A.45° B.50° C.55° D.60°
35.(2024宁夏)小明与小亮要到科技馆参观.小明家、小亮家和科技馆的方位如图
所示,则科技馆位于小亮家的( )
A.南偏东60°方向 B.北偏西60°方向
C.南偏东50°方向 D.北偏西50°方向(第35题) (第36题)
角度4平行线的性质与判定结合
36.(2023金华)如图,已知∠1=∠2=∠3=50°,则∠4的度数是 ( )
A.120° B.125° C.130° D.135°
37.(2024自贡)如图,在△ABC中,DE∥BC,∠EDF=∠C.
(1)求证:∠BDF=∠A;
(2)若∠A=45°,DF平分∠BDE,请直接写出△ABC的形状.
命题点5 命题
38.(2024湖南)下列命题中,正确的是 ( )
A.两点之间,线段最短
B.菱形的对角线相等
C.正五边形的外角和为720°
D.直角三角形是轴对称图形
39.(2023达州)下列命题中,是真命题的是 ( )
A.平行四边形是轴对称图形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
D.在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,则△ABC是直角三角形考点 18三角形
命题点1 三角形及边角关系
1.(2023衡阳)下列长度的各组线段能组成一个三角形的是 ( )
A.1 cm,2 cm,3 cm B.3 cm,8 cm,5 cm
C.4 cm,5 cm,10 cmD.4 cm,5 cm,6 cm
2.(2023河北)四边形ABCD的边长如图所示,对角线AC的长度随四边形形状的改
变而变化.当△ABC为等腰三角形时,对角线AC的长为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
(第2题) (第4题)
(第5题)
3. (2023连云港)一个三角形的两边长分别是3和5,则第三
边长可以是 .(只填一个即可)
4.(2024连云港)如图,直线a∥b,直线l⊥a,∠1=120°,则∠2= °.
5.(2024凉山州)如图,△ABC中,∠BCD=30°,∠ACB=80°,CD是边AB上的高,AE是
∠CAB的平分线,则∠AEB的度数是 .
6. (2024达州)如图,在△ABC中,AE ,BE 分
1 1
1 1
别是内角∠CAB、外角∠CBD的三等分线,且∠E AD= ∠CAB,∠E BD= ∠CBD.在
1 3 1 3
1
△ABE 中,AE ,BE 分别是内角∠E AB、外角∠E BD的三等分线,且∠E AD=
1 2 2 1 1 2 3
1
∠E AB,∠E BD= ∠E BD,…,以此规律作下去.若∠C=m°,则∠E = 度.
1 2 3 1 n
(第6题) (第7题)
命题点2 与三角形有关的重要线段7.(2024广安)如图,在△ABC中,点D,E分别是AC,BC的中点,若
∠A=45°,∠CED=70°,则∠C的度数为 ( )
A.45° B.50° C.60° D.65°
8.(2024兰州)如图,小张想估测被池塘隔开的A,B两处景观之间的距离,他先在A,B
外取一点C,然后步测出AC,BC的中点D,E,并步测出DE的长约为18 m,由此估
测A,B之间的距离约为 ( )
A.18 m B.24 m C.36 m D.54 m
9.(2024凉山州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,DE垂直平分AB交BC于点D.若
△ACD的周长为50 cm,则AC+BC= ( )
A.25 cm B.45 cm C.50 cm D.55 cm
(第8题) (第9题)
(第10题)
10.(2023陕西)如图,DE是△ABC的中位线,点F在DB上,DF=2BF,连接EF并延长,
与CB的延长线相交于点M.若BC=6,则线段CM的长为 ( )
13 15
A. B.7 C. D.8
2 2
11.(2023新疆)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以点A为圆心,适当长为半径作弧,交
1
AB于点F,交AC于点E,分别以点E,F为圆心,大于 EF长为半径作弧,两弧在
2
∠BAC的内部交于点G,作射线AG交BC于点D.若AC=3,BC=4,则CD的长为 (
)
7 3
A. B.1 C. D.2
8 2
(第11题) (第12题)
命题点3 等腰三角形12.(2024兰州)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=130°,DA⊥AC,则∠ADB= ( )
A.100° B.115° C.130° D.145°
13.(2024云南)已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高,若点F到直线AB的距
离为3,则点F到直线AC的距离为 ( )
3 7
A. B.2 C.3 D.
2 2
14.(2024湖南)若等腰三角形的一个底角的度数为40°,则它的顶角的度数为
°.
15.(2024重庆B)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.若
BC=2,则AD的长度为 .
(第15题) (第16题)
16.(2024内江)如图,在△ABC中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为
.
17.(2024陕西)如图,在△ABC中,AB=AC,E是边AB上一点,连接CE,在BC右侧作
BF∥AC,且 BF=AE,连接CF.若AC=13,BC=10,则四边形EBFC的面积为 .
(第17题) (第18题)
18.(2024临夏州)如图,等腰三角形ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,将△ABC沿其底
1
边中线AD向下平移,使A的对应点A'满足AA'= AD,则平移前后两三角形重叠部
3
分的面积是 .
命题点4 等边三角形
19.(2024辽宁)如图,在矩形ABCD中,点E在AD上,当△EBC是等边三角形时,
∠AEB为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.120°(第19题) (第20题) (第21题)
20.(2024自贡)如图,等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D,AB长12 m.现将
钢架立柱缩短成DE,∠BED=60°,则新钢架减少用钢 ( )
A.(24-12 )m B.(24-8 )m
√3 √3
C.(24-6 )m D.(24-4 )m
√3 √3
21.(2024兰州)如图,四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形,EF⊥AB于点F,
若AD=4,则EF= .
22.(2023江西)将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置,已知
∠α=60°,点B,C表示的刻度分别为1 cm,3 cm,则线段AB的长为 cm.
(第22题) (第23题)
23.(2023济宁)如图,△ABC是边长为6的等边三角形,点D,E在边BC上,若
1
∠DAE=30°,tan∠EAC= ,则BD= .
3
24.(2024宜宾)如图,点D,E分别是等边三角形ABC边BC,AC上的点,且
BD=CE,BE与AD交于点F.
求证:AD=BE.
命题点5 直角三角形
角度1直角三角形的识别25.(2024陕西)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的高,E是DC的中点,连
接AE,则图中的直角三角形有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
(第25题) (第27题)
(第28题)
26.(2023遂宁)若三角形三个内角的比为1∶2∶3,则这个三角形是 三角
形.
角度2勾股定理及其应用
27.(2023天门)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,点D在边AC上,且BD平
分△ABC的周长,则BD的长是 ( )
6√5 3√6
A.√5 B.√6 C. D.
5 4
28.(2023随州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AC上一点,若BD是
∠ABC的平分线,则AD= .
29.(2023东营)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏
西30°方向航行40 km至C港,则A,C两港之间的距离为 km.
30. (2024吉林)图(1)中有一首古算诗,根据诗中的描述可以计
算出红莲所在位置的湖水深度,其示意图如图(2),其中AB=AB',AB⊥B'C于点
C,BC=0.5尺,B'C=2尺(1尺≈0.33米).设AC的长度为x尺,可列方程为
.
诗文:波平如镜一湖面,半尺高处生红莲.亭亭多姿湖中立,突遭狂风吹一边.离开原处二尺远,花
贴湖面像睡莲.图(1) 图(2)
角度3赵爽弦图
31.(2024眉山)图(1)是北京国际数学家大会的会标,它取材于我国古代数学家赵爽
的“弦图”,是由四个全等的直角三角形拼成的.若图(1)中大正方形的面积为24,小正方形的面积为4,现将这四个直角三角形拼成图(2),则图(2)中最大的正方形的
面积为 ( )
A.24 B.36 C.40 D.44
图(1) 图(2)(第31题)
(第32题)
32. (2024武汉)如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算
经》时给出的“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形
MNPQ拼成的一个大正方形ABCD.直线MP交正方形ABCD的两边于点E,F,记
正方形ABCD的面积为S ,正方形MNPQ的面积为S .若BE=kAE(k>1),则用含k
1 2
S
1
的式子表示 的值是 .
S
2
33.(2023黄冈)如图是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为
“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方
b2 a2
形.设图中AF=a,DF=b,连接AE,BE.若△ADE与△BEH的面积相等,则 + =
a2 b2
.
角度4直角三角形的性质及相关计算
34.(2024青海)如图,在Rt△ABC中,D是AC的中点,∠BDC=60°,AC=6,则BC的长
是 ( )A.3 B.6 C. D.3
√3 √3
(第34题) (第35题)
(第36题)
35.(2024成都)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的一条角平分线,E为AD
中点,连接BE.若BE=BC,CD=2,则BD= .
36.(2024达州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在线段BC上,∠BAD=45°.若
AC=4,CD=1,则△ABC的面积是 .
命题点6 等腰直角三角形
37.(2024安徽)如图,在Rt△ABC中,AC=BC=2,点D在AB的延长线上,且CD=AB,
则BD的长是 ( )
A. - B. -
√10 √2 √6 √2
C.2 -2D.2 -
√2 √2 √6
38.(2024广州)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=6,D为边BC的中点,点E,F分别
在边AB,AC上,AE=CF,则四边形AEDF的面积为 ( )
A.18 B.9 C.9 D.6
√2 √2
(第38题) (第39题)39.(2023天门)如图,△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形,
∠BAC=∠DEB=∠AEF=90°,点E在△ABC内,BE>AE,连接DF交AE于点G,DE交
AB于点H,连接CF.给出下面四个结论:
①∠DBA=∠EBC;②∠BHE=∠EGF;③AB=DF;④AD=CF.其中所有正确结论的序号
是 .
考点 19全等三角形的判定与性质
命题点1 全等三角形的判定
1.(2024北京)下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.
(1)如图,以点O
为圆心,任意长
为半径画弧,分
别交OA,OB于
点C,D;
(2)作射线O'A',
以点O'为圆
心,OC长为半
径画弧,交
O'A'于点C',以
点C'为圆
心,CD长为半
径画弧,两弧交
于点D';
(3)过点D'作射
线O'B',则
∠A'O'B'=∠AO
B.
上述方法通过判定△C'O'D'≌△COD得到∠A'O'B'=∠AOB.其中判定△C'O'D'≌△COD
的依据是 ( )
A.三边分别相等的两个三角形全等
B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
2.(2023长春)如图,工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳,卡钳交叉点O为
AA',BB'的中点,只要量出A'B'的长度,就可以知道该零件内径AB的长度.依据的数
学基本事实是 ( )
A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C.两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例
D.两点之间,线段最短(第2题) (第3题)
3. (2024牡丹江)如图,△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,
CF∥AB,D,E,F三点共线.请添加一个条件: ,使得AE=CE.
4.(2024云南)如图,在△ABC和△AED中,AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD.
求证:△ABC≌△AED.
命题点2 全等三角形的判定与性质
角度1平移型
5.(2024内江)如图,点A,D,B,E在同一条直线上,AD=BE,AC=DF,BC=EF.
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若∠A=55°,∠E=45°,求∠F的度数.
6. (2024盐城)已知:如图,点A,B,C,D在同一条直线上,
AE∥BF,AE=BF.若 ,则AB=CD.
请从①CE∥DF;②CE=DF;③∠E=∠F这3个选项中选择一个作为条件(写序号),使
结论成立,并说明理由.角度2轴对称型
7.(2024临夏州)如图,在△ABC中,点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(4,1),点C的坐
标为(3,4),点D在第一象限(不与点C重合),且△ABD与△ABC全等,点D的坐标是
.
8.(2024福建)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC和CD上,且
∠AEB=∠AFD.
求证:BE=DF.
9.(2024陕西)如图,四边形ABCD是矩形,点E和点F在边BC上,且BE=CF.求证:
AF=DE.
1
10.(2024苏州)如图,△ABC中,AB=AC,分别以B,C为圆心,大于 BC长为半径画弧,
2
两弧交于点D,连接BD,CD,AD,AD与BC交于点E.(1)求证:△ABD≌△ACD;
(2)若BD=2,∠BDC=120°,求BC的长.
11. (2024滨州)【问题背景】
某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现:
①如图,在△ABC中,若AD⊥BC,BD=CD,则有∠B=∠C;
②某同学顺势提出一个问题:既然①正确,那么进一步推得AB=AC,即知
AB+BD=AC+CD.若把①中的BD=CD替换为AB+BD=AC+CD,还能推出∠B=∠C
吗?
基于此,社团成员小军、小民进行了探索研究,发现确实能推出∠B=∠C,并分别提
供了不同的证明方法.
小军
证明:分别延长DB,DC至E,F两点,使得……
小民
证明:∵AD⊥ BC,
∴△ADB与△ADC均为直角三角形
根据勾股定理,得……
【问题解决】
(1)完成①的证明;
(2)把②中小军、小民的证明过程补充完整.
备用图角度3中心对称型
12.(2024河北)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程:
已知:如图,△ABC中,AB=AC,AE平分△ABC的外角∠CAN,点M是AC的中点,连接BM并延
长交AE于点D,连接CD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠3.
∵∠CAN=∠ABC+∠3,∠CAN=∠1+∠2,∠1=∠2,
∴ ① .
又∵∠4=∠5,MA=MC,
∴△MAD≌△MCB( ② ),
∴MD=MB,∴四边形ABCD是平行四边形.
若以上解答过程正确,①,②应分别为 ( )
A.∠1=∠3,AAS B.∠1=∠3,ASA
C.∠2=∠3,AAS D.∠2=∠3,ASA
13.(2024南充)如图,在△ABC中,点D为BC边的中点,过点B作BE∥AC交AD的延
长线于点E.
(1)求证:△BDE≌△CDA.
(2)若AD⊥BC,求证:BA=BE.
14.(2023临沂)如图,∠A=90°,AB=AC,BD⊥AB,BC=AB+BD.
(1)写出AB与BD的数量关系.
(2)延长BC到E,使CE=BC,延长DC到F,使CF=DC,连接EF,求证:EF⊥AB.
(3)在(2)的条件下,作∠ACE的平分线,交AF于点H,求证:AH=FH.角度4旋转型
15.(2024广西)如图,边长为5的正方形ABCD,E,F,G,H分别为各边中点.连接
AG,BH,CE,DF,交点分别为M,N,P,Q,那么四边形MNPQ的面积为 ( )
A.1 B.2
C.5 D.10
16.(2024长沙)如图,点C在线段AD上,AB=AD,∠B=∠D,BC=DE.
(1)求证:△ABC≌△ADE;
(2)若∠BAC=60°,求∠ACE的度数.
17.(2024北京)已知∠MAN=α(0°<α<45°),点B,C分别在射线AN,AM上,将线段BC
绕点B顺时针旋转180°-2α得到线段BD,过点D作AN的垂线交射线AM于点E.
(1)如图(1),当点D在射线AN上时,求证:C是AE的中点.
(2)如图(2),当点D在∠MAN内部时,作DF∥AN,交射线AM于点F.用等式表示线段
EF与AC的数量关系,并证明.图(1) 图(2)
角度5“一线三等角”型
18.(2023北京)如图,点A,B,C在同一条直线上,点B在点A,C之间,点D,E在直线
AC同侧,AB√a2+b2;③√2(a+b)>c.
上述结论中,所有正确结论的序号是 ( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
(第18题) (第19题)
19.(2023重庆A)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC上一点,连接
AD.过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若
BE=4,CF=1,则EF的长度为 .
20.(2023广西)如图,△ABC是边长为4的等边三角形,点D,E,F分别在边AB,BC,CA
上运动,满足AD=BE=CF.
(1)求证:△ADF≌△BED;
(2)设AD的长为x,△DEF的面积为y,求y关于x的函数解析式;
(3)结合(2)所得的函数,描述△DEF的面积随AD的增大如何变化.考点 20图形的相似
命题点1 比例线段
角度1平行线分线段成比例
1.(2023吉林)如图,在△ABC中,点D在边AB上,过点D作DE∥BC,交AC于点E.若
AE
AD=2,BD=3,则 的值是 ( )
AC
2 1 3 2
A. B. C. D.
5 2 5 3
(第1题) (第2题)
BE
2.(2023北京)如图,直线AD,BC交于点O,AB∥EF∥CD.若AO=2,OF=1,FD=2,则
EC
的值为 .
角度2黄金分割
√5-1
3. (2024德阳)宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形,黄金
2
矩形给我们以协调、匀称的美感.已知四边形ABCD是黄金矩形(ABb D.a,b大小无法比较
12.(2024武汉)如图,四边形ABCD内接于
☉O,∠ABC=60°,∠BAC=∠CAD=45°,AB+AD=2,则☉O的半径是 ( )
√6 2√2 √3 √2
A. B. C. D.
3 3 2 2
(第12题) (第13题)
13.(2024北京)如图,☉O的直径AB平分弦CD(不是直径).若∠D=35°,则∠C=
°.14.(2024南充)如图,AB是☉O的直径,位于AB两侧的点C,D均在☉O上,
∠BOC=30°,则∠ADC= °.
(第14题) (第15题)
(第16题)
15.(2024苏州)如图,△ABC是☉O的内接三角形,若∠OBC=28°,则∠A= °.
⏜
16.(2024陕西)如图,BC是☉O的弦,连接OB,OC,∠A是
BC
所对的圆周角,则∠A与
∠OBC 的和的度数是 .
17.(2024临沂)如图,△ABC是☉O的内接三角形,若OA∥CB,∠ACB=25°,则∠CAB=
.
(第17题) (第18题)
(第19题)
18.(2024连云港)如图,AB是圆的直径,∠1,∠2,∠3,∠4的顶点均在AB上方的圆弧上,
∠1,∠4的一边分别经过点A,B,则∠1+∠2+∠3+∠4= °.
19.(2024眉山)如图,△ABC内接于☉O,点O在AB上,AD平分∠BAC交☉O于点D,
连接BD.若AB=10,BD=2√5,则BC的长为 .
命题点3 垂径定理及其推论
角度1垂径定理及其推论的相关计算
20.(2024新疆)如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若
CD=8,OD=5,则BE的长为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4(第20题) (第21题)
21.(2024广州)如图,☉O中,弦AB的长为4√3,点C在☉O上,
OC⊥AB,∠ABC=30°.☉O所在的平面内有一点P,若OP=5,则点P与☉O的位置关
系是 ( )
A.点P在☉O上 B.点P在☉O内
C.点P在☉O外 D.无法确定
22.(2024重庆B)如图,AB是☉O的弦,OC⊥AB交☉O于点C,点D是☉O上一点,连
接BD,CD.若∠D=28°,则∠OAB的度数为 ( )
A.28° B.34°
C.56° D.62°
角度2垂径定理的实际应用
23. (2024通辽)如图,圆形拱门最下端AB在地面上,D为AB的
中点,C为拱门最高点,线段CD经过拱门所在圆的圆心O.若AB=1 m,CD=2.5 m,
则拱门所在圆的半径为 ( )
A.1.25 m B.1.3 mC.1.4 mD.1.45 m
24.(2024凉山州)数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径,
小明的解决方案是:在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD⏜
交AB于点D,交 于点C,测出AB=40 cm,CD=10 cm,则圆形工件的半径为 (
AB
)
A.50 cm B.35 cm C.25 cm D.20 cm
(第24题) (第25题)
25. (2023东营)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算
术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.
问径几何.”转化为现在的数学语言表达就是:如图,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD,垂
足为E,CE=1寸(注:1寸≈3.33厘米),AB=10寸,则直径CD的长度为 寸.
命题点4 圆内接四边形
26.(2024广元)如图,已知四边形ABCD是☉O的内接四边形,E为AD延长线上一
点,∠AOC=128°,则∠CDE等于 ( )
A.64° B.60° C.54° D.52°
(第26题) (第27题)
27.(2024吉林)如图,四边形ABCD内接于☉O,过点B作BE∥AD,交CD于点E.若
∠BEC=50°,则∠ABC的度数是 ( )
A.50° B.100° C.130° D.150°
28.(2024济宁)如图,分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边,延长线相交于点
E,F.若∠E=54°41',∠F=43°19',则∠A的度数为 ( )
A.42° B.41°20'C.41° D.40°20'
(第28题) (第29题)29.(2024滨州)如图,四边形ABCD内接于☉O,若四边形OABC是菱形,则∠D=
°.
命题点5 圆的基本性质综合题
30.(2024安徽)如图,☉O是△ABC的外接圆,D是直径AB上一点,∠ACD的平分线交
AB于点E,交☉O于另一点F,FA=FE.
(1)求证:CD⊥AB;
(2)设FM⊥AB,垂足为M,若OM=OE=1,求AC的长.
⏜ ⏜
31.(2024新疆)如图,在☉O中,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E, = .
AD BD
(1)求证:△ACD∽△ECB;
(2)若AC=3,BC=1,求CE的长.
32.(2024苏州)如图,△ABC中,AB=4√2,D为AB的中点,∠BAC=∠BCD,cos∠ADC=
√2
,☉O是△ACD的外接圆.
4
(1)求BC的长;
(2)求☉O的半径.33.(2023长春) 【感知】如图(1),点A,B,P均在☉O上,∠AOB=90°,则锐角∠APB的
大小为 度.
【探究】小明遇到这样一个问题:如图(2),☉O是等边三角形ABC的外接圆,点P
⏜
在AC上(点P不与点A,C重合),连接PA,PB,PC.求证:PB=PA+PC.
小明发现,延长PA至点E,使AE=PC,连接BE,通过证明△PBC≌△EBA,可推得△PBE
是等边三角形,进而得证.
下面是小明的部分证明过程:
证明:延长PA至点E,使AE=PC,连接BE.
∵四边形ABCP是☉O的内接四边形,∴∠BAP+∠BCP=180°.
∵∠BAP+∠BAE=180°,∴∠BCP=∠BAE.
∵△ABC是等边三角形.∴BA=BC,
∴△PBC≌△EBA(SAS).
请你补全余下的证明过程.
【应用】如图(3),☉O是△ABC的外接圆,∠ABC=90°,AB=BC,点P在☉O上,且点P
PB
与点B在AC的两侧,连接PA,PB,PC.若PB=2√2PA,则 的值为 .
PC
图(1) 图(2) 图(3)
考点 28切线的判定与性质
命题点1 与切线性质相关的简单计算
1.(2024山西)如图,已知△ABC,以AB为直径的☉O交BC于点D,与AC相切于点A,
连接OD.若∠AOD=80°,则∠C的度数为 ( )
A.30° B.40° C.45° D.50°(第1题) (第2题)
(第3题)
2.(2024福建)如图,已知点A,B在☉O上,∠AOB=72°,直线MN与☉O相切,切点为C,
⏜
且C为AB的中点,则∠ACM等于 ( )
A.18° B.30° C.36° D.72°
3.(2024泸州)如图,EA,ED是☉O的切线,切点为A,D,点B,C在☉O上,若
∠BAE+∠BCD=236°,则∠E= ( )
A.56° B.60° C.68° D.70°
4.(2023武汉)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,以D为圆心、AD为半径的
AB 1
弧恰好与BC相切,切点为E.若 = ,则sin C的值是 ( )
CD 3
2 √5 3 √7
A. B. C. D.
3 3 4 4
5.(2024包头)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,点O在四边形ABCD内部,
过点C作☉O的切线交AB的延长线于点P,连接OA,OB.若
∠AOB=140°,∠BCP=35°,则∠ADC的度数为 .
(第5题) (第6题)
6.(2023河南)如图,PA与☉O相切于点A,PO交☉O于点B,点C在PA上,且
CB=CA.若OA=5,PA=12,则CA的长为 .7.(2024泰安)如图,AB是☉O的直径,AH是☉O的切线,点C为☉O上任意一点,点D
⏜
为AC的中点,连接BD交AC于点E,延长BD与AH相交于点F,连接AD.若
1
DF=1,tan B= ,则AE的长为 .
2
命题点2 三角形的内切圆、内心
8.(2023聊城)如图,点O是△ABC外接圆的圆心,点I是△ABC的内心,连接OB,IA.若
∠CAI=35°,则∠OBC的度数为 ( )
A.15° B.17.5° C.20° D.25°
(第8题) (第9题)
(第10题)
9.(2023天门)如图,在△ABC中,∠ACB=70°,△ABC的内切圆☉O与AB,BC分别相切
于点D,E,连接DE,AO的延长线交DE于点F,则∠AFD= .
10.(2024内江)如图,在△ABC中,∠ABC=60°,BC=8,E是BC边上一点,且BE=2,点I
是△ABC的内心,BI的延长线交AC于点D,P是BD上一动点,连接PE,PC,则
PE+PC的最小值为 .
命题点3 与切线的判定与性质相关的证明与计算
⏜ ⏜
11.(2024甘肃)如图,AB是☉O的直径, = ,点E在AD的延长线上,且
BC BD
∠ADC=∠AEB.(1)求证:BE是☉O的切线;
(2)当☉O的半径为2,BC=3时,求tan∠AEB的值.
12.(2024盐城)如图,点C在以AB为直径的☉O上,过点C作☉O的切线l,过点A作
AD⊥l,垂足为D,连接AC,BC.
(1)求证:△ABC∽△ACD;
(2)若AC=5,CD=4,求☉O的半径.
13.(2024湖北)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点E在AC上,以CE为直径的☉O
经过AB上的点D,与OB交于点F,且BD=BC.
(1)求证:AB是☉O的切线;
⏜
(2)若AD=√3,AE=1,求 的长.
CF
14.(2024武汉)如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AC与半圆O相
切于点D,底边BC与半圆O交于E,F两点.
(1)求证:AB与半圆O相切;(2)连接OA.若CD=4, CF=2,求sin∠OAC的值.
15.(2024北京)如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,OD平分∠AOC.
(1)求证:OD∥BC.
(2)延长DO交☉O于点E,连接CE交OB于点F,过点B作☉O的切线交DE的延长
OF 5
线于点P.若 = ,PE=1,求☉O半径的长.
BF 6
16.(2024陕西)如图,直线l与☉O相切于点A,AB是☉O的直径,点C,D在l上,且位
于点A两侧,连接BC,BD,分别与☉O交于点E,F,连接EF,AF.
(1)求证:∠BAF=∠CDB;
(2)若☉O的半径r=6,AD=9,AC=12,求EF的长.17.(2024天津)已知△AOB中,∠ABO=30°,AB为☉O的弦,直线MN与☉O相切于点
C.
(Ⅰ)如图(1),若AB∥MN,直径CE与AB相交于点D,求∠AOB和∠BCE的大小;
(Ⅱ)如图(2),若OB∥MN,CG⊥AB,垂足为G,CG与OB相交于点F,OA=3,求线段OF
的长.
图(1) 图(2)
⏜ ⏜ ⏜
18.(2024辽宁)如图,☉O是△ABC的外接圆,AB是☉O的直径,点D在 上, = ,
BC AC BD
点E在BA的延长线上,∠CEA=∠CAD.
(1)如图(1),求证:CE是☉O的切线;
⏜
(2)如图(2),若∠CEA=2∠DAB,OA=8,求
BD
的长.
图(1)
图(2)19.(2024贵州)如图,AB为半圆O的直径,点F在半圆上,点P在AB的延长线上,PC
与半圆相切于点C,与OF的延长线相交于点D,AC与OF相交于点E,DC=DE.
(1)写出图中一个与∠DEC相等的角: ;
(2)求证:OD⊥AB;
(3)若OA=2OE,DF=2,求PB的长.
20.(2024宜宾)如图,△ABC内接于☉O,AB=AC=10,过点A作AE∥BC,交☉O的直径
BD的延长线于点E,连接CD.
(1)求证:AE是☉O的切线;
1
(2)若tan∠ABE= ,求CD和DE的长.
2
21.(2024自贡)在Rt△ABC中,∠C=90°,☉O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F.
(1)图(1)中三组相等的线段分别是CE=CF,AF= ,BD= ;若
AC=3,BC=4,则☉O的半径长为 .(2)如图(2),延长AC到点M,使AM=AB,过点M作MN⊥AB于点N.求证:MN是☉O
的切线.
图(1) 图(2)
22.(2024广西)如图,已知☉O是△ABC的外接圆,AB=AC.点D,E分别是BC,AC的中
点,连接DE并延长至点F,使DE=EF,连接AF.
(1)求证:四边形ABDF是平行四边形;
(2)求证:AF与☉O相切;
3
(3)若tan∠BAC= ,BC=12,求☉O的半径.
4
⏜ ⏜ ⏜
23.(2024南充)如图,在☉O中,AB是直径,AE是弦,点F是 上一点, = ,AE,BF
AE AF BE
交于点C,点D为BF延长线上一点,且∠CAD=∠CDA.
(1)求证:AD是☉O的切线.(2)若BE=4,AD=2√5,求☉O的半径长.
24.(2024威海)如图,已知AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,且BC=CD.点E是线段
AB延长线上一点,连接EC并延长交射线AD于点F.∠FEG的平分线EH交射线
AC于点H,∠H=45°.
(1)求证:EF是☉O的切线;
(2)若BE=2,CE=4,求AF的长.
命题点4 与切线性质相关的实际应用25. (2024滨州)
刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基者
之一,被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多
解,其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导,他给出了内切圆直径的多种
表达形式.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,CA的长分别为c,a,b,则可以用含
错误
c,a,b的式子表示出△ABC的内切圆直径d,下列表达式 的是 ( )
··
2ab
A.d=a+b-c B.d=
a+b+c
C.d=√2(c-a)(c-b) D.d=|(a-b)(c-b)|
26.(2023河北)装有水的水槽放置在水平台面上,其横截面是以AB为直径的半圆
O,AB=50 cm,如图(1)和图(2)所示,MN为水面截线,GH为台面截线,MN∥GH.
计算 在图(1)中,已知MN=48 cm,过点O作OC⊥MN于点C.
(1)求OC的长.
操作 将图(1)中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动,使水流出一部分,当
∠ANM=30°时停止滚动,如图(2),其中,半圆的中点为Q,GH与半圆的切点为E,连接
OE交MN于点D.
探究 在图(2)中.
(2)操作后水面高度下降了多少?
⏜
(3)连接OQ并延长交GH于点F,求线段EF与 的长度,并比较大小.
EQ
图(1) 图(2)考点 29与圆有关的计算
命题点1 弧长的计算
⏜
1.(2024贵州)如图,在扇形纸扇中,若∠AOB=150°,OA=24,则 的长为 ( )
AB
A.30π B.25π C.20π D.10π
(第1题) (第2题)
⏜
2.(2024包头)如图,在扇形AOB中,∠AOB=80°,半径OA=3,C是
AB
上一点,连接
⏜
OC,D是OC上一点,且OD=DC,连接BD.若BD⊥OC,则
AC
的长为 ( )
π π π
A. B. C. D.π
6 3 2
⏜
3.(2023荆州)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧( ),点O是这段弧所在圆的圆
AC
⏜ ⏜
心,B为
AC
上一点,OB⊥AC于D.若AC=300√3 m,BD=150 m,则
AC
的长为 ( )
A.300π m B.200π m
C.150π m D.100 π m
√3
(第3题) (第4题)
4.(2024广安)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=10,∠C=70°,以AB为直径作半
⏜
圆,与AC,BC分别相交于点D,E,则 的长度为 ( )
DE
π 5π 10π 25π
A. B. C. D.
9 9 9 9
5. (2024兰州) “轮动发石车”是我国古代的一种投石工
具,在春秋战国时期被广泛应用,图(1)是陈列在展览馆的仿真模型,图(2)是模型驱动部分的示意图,其中☉M,☉N的半径分别是1 cm和10 cm,当☉M顺时针转动3
周时,☉N上的点P随之旋转n°,则n= .
图(1)
图(2)
6.(2024临夏州)如图,对折边长为2的正方形纸片ABCD,OM为折痕,以点O为圆
⏜
心,OM长为半径作弧,分别交AD,BC于E,F两点,则 的长度为 .(结果保
EF
留π)
(第6题) (第7题)
(第8题)
7. (2024苏州)铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.
如图是一个花瓣造型的花窗示意图,由六条等弧连接而成,六条弧所对应的弦构成
⏜
一个正六边形,中心为点O, 所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心,若AB=2√3,
AB
则花窗的周长(图中实线部分的长度)= .(结果保留π)
8. (2023常德)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的
⏜
杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图, 是以O为圆心,OA为半径
AB
⏜ ⏜
的圆弧,C是弦AB的中点,D在
AB
上,CD⊥AB.“会圆术”给出
AB
长l的近似值s的CD2
计算公式:s=AB+ .当OA=2,∠AOB=90°时,|l-s|= .(结果保留一位小
OA
数)
9.(2024江西)如图,AB是半圆O的直径,点D是弦AC延长线上一点,连接
BD,BC,∠D=∠ABC=60°.
(1)求证:BD是半圆O的切线;
⏜
(2)当BC=3时,求 的长.
AC
命题点2 阴影部分面积的计算
角度1直接用扇形面积公式计算
⏜
10.(2024河南)如图,☉O是边长为4√3的等边三角形ABC的外接圆,D是 的中点,
BC
连接BD,CD.以点D为圆心,BD的长为半径在☉O内画弧,则阴影部分的面积为(
)
8π 16π
A. B.4π C. D.16π
3 3
(第10题) (第11题)
11.(2023菏泽)如图,正八边形ABCDEFGH的边长为4,以顶点A为圆心,AB的长为
半径画圆,则阴影部分的面积为 (结果保留π).
角度2直接和差法
12.(2024重庆A)如图,在矩形ABCD中,分别以点A和C为圆心,AD长为半径画弧,
两弧有且仅有一个公共点.若AD=4,则图中阴影部分的面积为( )
A.32-8πB.16 -4π
√3C.32-4πD.16 -8π
√3
(第12题) (第13题) (第14
题)
13.(2024遂宁)工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积.如图所示,排污管道的横
截面是直径为2米的圆,为预估淤泥量,测得淤泥横截面(图中阴影部分)的宽AB为
1米,则淤泥横截面的面积为 ( )
1 √3 1 √3
A.( π- )米2 B.( π- )米2
6 4 6 2
2 1 1
C.( π-√3)米2 D.( π- )米2
3 6 4
14.(2024吉林)某新建学校因场地限制,要合理规划体育场地,小明绘制的铅球场地
设计图如图所示,该场地由☉O和扇形OBC组成,OB,OC分别与☉O交于点
A,D.OA=1 m,OB=10 m,∠AOD=40°,则阴影部分的面积为 m2(结果保留
π).
15.(2024山西)如图(1)是小区围墙上的花窗,其形状是扇形的一部分,图(2)是其几
何示意图(阴影部分为花窗).通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°,OA=1 m,点
C,D分别为OA,OB的中点,则花窗的面积为 m2.
图(1) 图(2)
角度3构造和差法
16.(2023天门)如图,在3×3的正方形网格中,小正方形的顶点称为格点,顶点均在
格点上的图形称为格点图形,图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分,小正方形
边长为1,图中阴影部分的面积为( )
5 7 5 7 5 7 5 7
A. π- B. π- C. π- D. π-
2 4 2 2 4 4 4 2
(第16题) (第17题)17.(2024泰安)两个半径相等的半圆按如图方式放置,半圆O'直径的一个端点与半
圆O的圆心重合,若半圆的半径为2,则阴影部分的面积是( )
4 4 2 4 √3
A. π-√3 B. π C. π-√3 D. π-
3 3 3 3 4
18.(2024资阳)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2.以点A为圆心,AD长为半径作弧
⏜
交AB于点E,再以AB为直径作半圆,与 交于点F,则图中阴影部分的面积为
DE
.
19.(2024临沂)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠DAB=60°,AB=BC=2AD=2.以点
⏜ ⏜
A为圆心,以AD为半径作 交AB于点E,以点B为圆心,以BE为半径作 交BC
DE EF
⏜
于点F,连接FD交 于另一点G,连接CG.
EF
⏜
(1)求证:CG为 所在圆的切线;
EF
(2)求图中阴影部分面积.(结果保留π)
角度4等积转化法
20.(2024威海)如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是AO的中点,过点C作
⏜
CE⊥AO交AB于点E,过点E作ED⊥OB,垂足为点D.在扇形内随机选取一点P,则
点P落在阴影部分的概率是( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
4 3 2 3(第20题) (第21题)
角度5容斥原理法
21.(2023广安)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2√2,以点A为
圆心,AC为半径画弧,交AB于点E,以点B为圆心,BC为半径画弧,交AB于点F,则
图中阴影部分的面积是 ( )
A.π-2 B.2π-2 C.2π-4 D.4π-4
命题点3 圆锥的相关计算
22.(2024云南)某校九年级学生参加社会实践,学习编织圆锥形工艺品.若这种圆锥
的母线长为40厘米,底面圆的半径为30厘米,则该圆锥的侧面积为 ( )
A.700π平方厘米 B.900π平方厘米
C.1 200π平方厘米 D.1 600π平方厘米
23.(2024广州)如图,圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形,若扇形的半径l
是5,则该圆锥的体积是 ( )
3√11 √11 2√6
A. π B. π C.2√6π D. π
8 8 3
(第23题) (第25题)
24.(2024扬州)若用半径为10 cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥
底面圆的半径为 cm.
25.(2024烟台)如图,在边长为6的正六边形ABCDEF中,以点F为圆心,以FB的长
⏜
为半径作BD,剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面半径为
.
26. (2024广东)综合与实践图(1)
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图(1)所示.
①一张直径为10 cm的圆形滤纸;
②一只漏斗口直径与母线均为7 cm的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】
步骤1:取一张滤纸;
步骤2:按如图(2)所示步骤折叠好滤纸;
步骤3:将其中一层撑开,围成圆锥形;
步骤4:将围成圆锥形的滤纸放入如图(1)所示漏斗中.
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)?用你所学的数学知识说明.
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时,求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留π)
图(2)
命题点4 圆与正多边形的相关计算
27. (2023福建)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》
中提到了著名的“割圆术”,即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算,
指出“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣”.
“割圆术”孕育了微积分思想,他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.141 6,
如图,☉O的半径为1,运用“割圆术”,以圆内接正六边形面积近似估计☉O的面3√3
积,可得π的估计值为 ,若用圆内接正十二边形作近似估计,可得π的估计值为
2
( )
A.√3 B.2√2 C.3 D.2√3
(第27题) (第28题)
28.(2023杭州)如图,六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形,设正六边形ABCDEF
S
1
的面积为S ,△ACE的面积为S ,则 = .
1 2 S
2
考点 30尺规作图及用无刻度的直尺作图
命题点 1 五种基本作图
角度1根据作图痕迹判断作图结果
1.(2024河北)观察图中尺规作图的痕迹,可得线段BD一定是△ABC的 ( )
A.角平分线 B.高线
C.中位线 D.中线
2.(2024烟台)某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动,各组展示作图
痕迹如下,其中射线OP为∠AOB的平分线的有 ( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
角度2根据作图步骤或痕迹进行计算或结论判断
3.(2024武汉)小美同学按如下步骤作四边形ABCD(如图):(1)画∠MAN;(2)以点A为
圆心,1个单位长为半径画弧,分别交AM,AN于点B,D;(3)分别以点B,D为圆心,1个
单位长为半径画弧,两弧交于点C;(4)连接BC,CD,BD.若∠A=44°,则∠CBD的大小
是 ( )
A.64° B.66° C.68° D.70°
(第3题) (第4题)
4.(2024湖北)如图,AB是半圆O的直径,C为半圆O上一点,以点B为圆心,适当长
1
为半径画弧,交BA于点M,交BC于点N,分别以点M,N为圆心,大于 MN的长为半
2
径画弧,两弧在∠ABC的内部相交于点D,画射线BD,连接AC.若∠CAB=50°,则
∠CBD的度数是( )
A.30° B.25° C.20° D.15°
1
5.(2024南充)如图,已知线段AB,按以下步骤作图:①过点B作BC⊥AB,使BC= AB,
2
连接AC;②以点C为圆心,以BC长为半径画弧,交AC于点D;③以点A为圆心,以
AD长为半径画弧,交AB于点E.若AE=mAB,则m的值为 ( )
√5-1 √5-2
A. B. C.√5-1 D.√5-2
2 2
(第5题) (第6题)6.(2024成都)如图,在▱ABCD中,按以下步骤作图:①以点B为圆心,以适当长为半
1
径作弧,分别交BA,BC于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于 MN的长为半径作
2
弧,两弧在∠ABC内交于点O;③作射线BO,交AD于点E,交CD延长线于点F.若
CD=3,DE=2,下列结论错误的是 ( )
A.∠ABE=∠CBEB.BC=5
BE 5
C.DE=DF D. =
EF 3
7.(2024湖南)如图,在锐角三角形ABC中 ,AD是边BC上的高,在BA,BC上分别截
1
取线段BE,BF,使BE=BF;分别以点E,F为圆心,大于 EF的长为半径画弧,在∠ABC
2
内,两弧交于点P,作射线BP,交AD于点M,过点M作MN⊥AB于点N,若
MN=2,AD=4MD,则AM= .
(第7题) (第8题)
8.(2024临沂)如图,已知∠MAN,以点A为圆心,以适当长为半径作弧,分别与AM,AN
1
相交于点B,C;分别以B,C为圆心,以大于 BC的长为半径作弧,两弧在∠MAN内部
2
1
相交于点P,作射线AP;分别以A,B为圆心,以大于 AB的长为半径作弧,两弧相交
2
于点D,E,作直线DE分别与AB,AP相交于点F,Q.若AB=4,∠PQE=67.5°,则F到
AN的距离为 .
9.(2024吉林)小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联,下面是他的研究
过程:
【探究论证】
(1)如图(1),在△ABC中,AB=BC,BD⊥AC,垂足为点D.若CD=2,BD=1,则S =
△ABC
.
(2)如图(2),在菱形A'B'C'D'中,A'C'=4,B'D'=2,则S = .
菱形A'B'C'D'
(3)如图(3),在四边形EFGH中,EG⊥FH,垂足为点O.若EG=5,FH=3,则S = ;
四边形EFGH
若EG=a,FH=b,猜想S 与a,b的关系,并证明你的猜想.
四边形EFGH
【理解运用】
如图(4),在△MNK中,MN=3,KN=4,MK=5,点P为边MN上一点.
小明利用直尺和圆规分四步作图:
(ⅰ)以点K为圆心,适当长为半径画弧,分别交边KN,KM于点R,I;
(ⅱ)以点P为圆心,KR长为半径画弧,交线段PM于点I';
(ⅲ)以点I'为圆心,IR长为半径画弧,交前一条弧于点R',点R',K在MN同侧;
(ⅳ)过点P画射线PR',在射线PR'上截取PQ=KN,连接KP,KQ,MQ.
请你直接写出S 的值.
四边形MPKQ
图(1) 图(2) 图(3) 图(4)
角度3根据要求直接作图
10.(2024新疆)如图,已知平行四边形ABCD.
(1)尺规作图:请用无刻度的直尺和圆规,作∠A的平分线交CD于点E;(要求:不写作
法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,求证:△ADE是等腰三角形.
11.(2024重庆A)在学习了矩形与菱形的相关知识后,智慧小组进行了更深入的研
究,他们发现,过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线,与矩形两边相交
的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形,可利用证明三角形全等得
到此结论.根据他们的想法与思路,完成以下作图和填空:
(1)如图,在矩形ABCD中,点O是对角线AC的中点.用尺规过点O作AC的垂线,分
别交AB,CD于点E,F,连接AF,CE (不写作法,保留作图痕迹).
(2)已知:矩形ABCD,点E,F分别在AB,CD上,EF经过对角线AC的中点O,且
EF⊥AC.求证:四边形AECF是菱形.证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD.
∴① ,∠FCO=∠EAO.
∵点O是AC的中点,
∴② ,
∴△CFO≌△AEO(AAS),
∴③ .
又∵OA=OC,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵EF⊥AC,
∴四边形AECF是菱形.
进一步思考,如果四边形ABCD是平行四边形呢?请你模仿题中表述,写出你猜想
的结论:④
.
12.(2024广西)如图,在△ABC中,∠A=45°,AC>BC.
(1)尺规作图:作线段AB的垂直平分线l,分别交AB,AC于点D,E;(要求:保留作图痕
迹,不写作法,标明字母)
(2)在(1)所作的图中,连接BE,若AB=8,求BE的长.
13.(2024河南)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,BE∥DC交AC的延长
线于点E.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM,使∠ECM =∠A,且射线CM交BE于点F(保
留作图痕迹,不写作法).
(2)证明(1)中得到的四边形CDBF是菱形.角度4转化类作图
14.(2024陕西)如图,已知直线l和l外一点A,请用尺规作图法,求作一个等腰直角
三角形ABC,使得顶点B和顶点C都在直线l上.(作出符合题意的一个等腰直角三
角形即可,保留作图痕迹,不写作法)
15.(2024广州)如图,Rt△ABC中,∠B=90°.
(1)尺规作图:作AC边上的中线BO(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)所作的图中,将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO,连接AD,CD.求证:
四边形ABCD是矩形.
16.(2024福建)如图,已知直线l ∥l .
1 2
(1)在l ,l 所在的平面内求作直线l,使得l∥l ∥l ,且l与l 间的距离恰好等于l与l 间
1 2 1 2 1 2
的距离;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下,若l 与l 间的距离为2,点A,B,C分别在l,l ,l 上,且△ABC为等腰
1 2 1 2
直角三角形,求△ABC的面积.
17.(2024威海)感悟
如图(1),在△ABE中,点C,D在边BE上,AB=AE,BC=DE.求证:∠BAC=∠EAD.
应用(1)如图(2),用直尺和圆规在直线BC上取点D,点E(点D在点E的左侧),使得
∠EAD=∠BAC,且DE=BC(不写作法,保留作图痕迹).
(2)如图(3),用直尺和圆规在直线AC上取一点D,在直线BC上取一点E,使得
∠CDE=∠BAC,且DE=AB(不写作法,保留作图痕迹).
图(1) 图(2)
图(3)
18. (2024甘肃)马家窑文化以发达的彩陶著称于
世,其陶质坚固,器表细腻,红、黑、白彩共用,彩绘线条流畅细致,图案繁缛多变,形
成了绚丽典雅的艺术风格,创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品,体现了古代劳
动人民的智慧.如图(1)的彩陶纹样呈现的是三等分圆周,古人用等边三角形三点定
位的方法确定圆周的三等分点,这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图(2),
已知☉O和圆上一点M.作法如下:
①以点M为圆心,OM长为半径,作弧交☉O于A,B两点;
②延长MO交☉O于点C.
即点A,B,C将☉O的圆周三等分.
(1)请你依据以上步骤,用不带刻度的直尺和圆规在图(2)中将☉O的圆周三等分(保
留作图痕迹,不写作法);
(2)根据(1)画出的图形,连接AB,AC,BC,若☉O的半径为2 cm,则△ABC的周长为
cm.图(1)
图(2)
19. (2024盐城)如图(1),E,F,G,H分别是▱ABCD各边的中
点,连接AF,CE交于点M,连接AG,CH交于点N,将四边形AMCN称为▱ABCD的
“中顶点四边形”.
(1)求证:中顶点四边形AMCN为平行四边形.
(2)①如图(2),连接AC,BD交于点O,可得M,N两点都在BD上,当▱ABCD 满足
时,中顶点四边形AMCN是菱形;
②如图(3),已知矩形AMCN为某平行四边形的中顶点四边形,请用无刻度的直尺
和圆规作出该平行四边形.(保留作图痕迹,不写作法)
图(1) 图(2) 图(3)
20.(2024扬州)如图,已知∠PAQ及AP边上一点C.
(1)用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O,使得∠COQ=2∠CAQ;(保留作图痕
迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,以点O为圆心,OA为半径的圆交射线AQ于点B,用无刻度直尺
和圆规在射线CP上求作点M,使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相
等;(保留作图痕迹,不写作法)
3
(3)在(1)、(2)的条件下,若sin A= ,CM=12,求BM的长.
5命题点2 用无刻度的直尺作图
角度1正方形网格中作图
21.(2024滨州)如图,在边长为1的正方形网格中,点A,B均在格点上.
(1)AB的长为 ;
只用
(2)请 无刻度的直尺,在如图所示的网格中,画出以AB为边的矩形ABCD,使其
··
26
面积为 ,并简要说明点C,D的位置是如何找到的(不用证明):
3
.
22.(2024安徽)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面
直角坐标系xOy,格点(网格线的交点)A,B,C,D的坐标分别为(7,8),(2,8),(10,4),(5,4).
(1)以点D为旋转中心,将△ABC旋转180°得到△A B C ,画出△A B C ;
1 1 1 1 1 1
(2)直接写出以B,C ,B ,C为顶点的四边形的面积;
1 1
(3)在所给的网格图中确定一个格点E,使得射线AE平分∠BAC,写出点E的坐标.23.(2024吉林)图(1)、图(2)均是4×4的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点.
点A,B,C,D,E,O均在格点上.图(1)中已画出四边形ABCD,图(2)中已画出以OE为
半径的☉O,只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图.
(1)在图(1)中,画出四边形ABCD的一条对称轴.
(2)在图(2)中,画出经过点E的☉O的切线.
图(1) 图(2)
24.(2024武汉)如图是由小正方形组成的3×4网格,每个小正方形的顶点叫做格点.
△ABC三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务,每
个任务的画线不得超过三条.
(1)在图(1)中,画射线AD交BC于点D,使AD平分△ABC的面积;
(2)在(1)的基础上,在射线AD上画点E,使∠ECB=∠ACB;
(3)在图(2)中,先画点F,使点A绕点F顺时针旋转90°到点C,再画射线AF 交BC
于点G;
(4)在(3)的基础上,将线段AB绕点G旋转180°,画对应线段MN(点A与点M对应,
点B与点N对应).图(1) 图(2)
角度2根据图形性质作图
25.(2024江西)如图,AC为菱形ABCD的对角线,请仅用无刻度的直尺按要求完成
以下作图(保留作图痕迹).
(1)如图(1),过点B作AC的垂线;
(2)如图(2),点E为线段AB的中点,过点B作AC的平行线.
图(1) 图(2)
26.(2023天门)已知正六边形ABCDEF,请仅用无刻度的直尺完成下列作图(保留作
图痕迹,不写作法,用虚线表示作图过程,实线表示作图结果).
(1)在图(1)中作出以BE为对角线的一个菱形BMEN;
(2)在图(2)中作出以BE为边的一个菱形BEPQ.
图(1) 图(2)
考点 31视图与投影、几何体的展开图
命题点1 三视图的判断
角度1实物的三视图
1. (2024广西)榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件,燕尾榫是
“万榫之母”,为了防止受拉力时脱开,榫头成梯台形,形似燕尾.如图是燕尾榫的
带榫头部分,它的主视图是 ( )2.(2024湖南)如图,该纸杯的主视图是( )
A B C D
3.(2024河南)信阳毛尖是中国十大名茶之一.如图是信阳毛尖茶叶的包装盒,它的
主视图为 ( )
4.(2024吉林)葫芦在我国古代被看作吉祥之物.如图是一个工艺葫芦的示意图,关
于它的三视图说法正确的是( )
A.主视图与左视图相同
B.主视图与俯视图相同
C.左视图与俯视图相同
D.主视图、左视图与俯视图都相同
5.(2023衡阳)作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶,成型工艺特别,造型式样丰
富,陶器色泽古朴典雅,从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识.如图是
一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”,其左视图的大致形状是( )6.(2024山西)斗拱是中国古典建筑上的重要部件.如图是一种斗形构件“三才
升”的示意图及其主视图,则它的左视图为 ( )
角度2小正方体组合体的三视图
7.(2024成都)如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成的,它的主视
图是 ( )
8.(2024辽宁)如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体,这个几何体的俯视图
是 ( )
9.(2024河北)如图是由11个大小相同的正方体搭成的几何体,它的左视图是 (
)
A B C D
10.(2024威海)下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的.其中主视图、
左视图和俯视图完全相同的是 ( )
A B C D
11.(2024烟台)如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体,若从标号为
①②③④的小正方体中取走一个,使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心
对称图形,则应取走 ( )A.① B.② C.③ D.④
12.(2024牡丹江)由5个形状、大小完全相同的小正方体组合而成的几何体,其主
视图和左视图如图所示,则搭建该几何体的方式有 ( )
A.1种 B.2种
C.3种 D.4种
13.(2024绥化)某几何体是由完全相同的小正方体组合而成的,如图是这个几何体
的三视图,那么构成这个几何体的小正方体的个数是 ( )
A.5个 B.6个
C.7个 D.8个
角度3简单几何体的三视图
14.(2024甘肃)如图所示,该几何体的主视图是( )
A B C D
15.(2024滨州)如图,一个三棱柱无论怎么摆放,其主视图不可能是 ( )
A B C D
16.(2024自贡)下列几何体中,俯视图与主视图形状相同的是 ( )
角度4简单组合体的三视图17.(2024武汉)如图是由两个宽度相同的长方体组成的几何体,它的主视图是 (
)
18.(2024福建)如图是由长方体和圆柱组成的几何体,其俯视图是 ( )
A B
C D
命题点2 根据三视图还原几何体
19.(2024云南)某图书馆的一个装饰品是由几个几何体组合成的.其中一个几何体
的三视图(主视图也称正视图,左视图也称侧视图)如图所示,这个几何体是 ( )
A.正方体 B.圆柱
C.圆锥 D.长方体
20.(2024临沂)下列几何体中,主视图如图所示的是 ( )
21.(2023苏州)小东同学准备送给父亲一个小礼物.已知礼物外包装的主视图如图
所示,则该礼物的外包装不可能是 ( )A.长方体 B.正方体 C.圆柱 D.三棱锥
22.(2024安徽)某几何体的三视图如图所示,则该几何体为 ( )
命题点3 立体图形的展开与折叠
角度1常见几何体的展开图
23.(2024扬州)如图是某几何体的表面展开后得到的平面图形,则该几何体是 (
)
A.三棱锥 B.圆锥 C.三棱柱 D.长方体
24.(2024常州)下列图形中,为四棱锥的侧面展开图的是 ( )
25.(2023长春)如图是一个多面体的表面展开图,每个面都标注了数字.若多面体的
底面是面③,则多面体的上面是 ( )
A.面① B.面② C.面⑤ D.面⑥26. (2024德阳)走马灯,又称仙音烛,据史料记载,走
马灯的历史起源于隋唐时期,盛行于宋代,是中国特色工艺品,常见于除夕、元宵、
中秋等节日.在一次综合实践活动中,一同学用如图所示的纸片,沿折痕折合成一
个棱锥形的“走马灯”,正方形做底,侧面有一个三角形面上写了“祥”字,当灯
旋转时,正好看到“吉祥如意”的字样.则在A,B,C处依次写上的字可以是 ( )
A.吉 如 意 B.意 吉 如
C.吉 意 如 D.意 如 吉
角度2正方体的展开图
27.(2024盐城)正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种平面展开图,那么
在原正方体中,与“盐”字所在面相对的面上的汉字是 ( )
A.湿 B.地 C.之 D.都
28.(2024江西)如图是4×3的正方形网格,选择一空白小正方形,能与阴影部分组成
正方体展开图的方法有 ( )
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
29.(2024宜宾)如图是正方体的表面展开图.将其折叠成正方体后,距顶点A最远的
点是 ( )A.B点 B.C点 C.D点 D.E点
考点 32图形的对称、平移、旋转与位似
命题点1 轴对称图形与中心对称图形的识别
1.(2024重庆A)下列四种化学仪器的示意图中,是轴对称图形的是 ( )
A B C D
2.(2024辽宁)纹样是我国古代艺术中的瑰宝.下列四幅纹样图形既是轴对称图形
又是中心对称图形的是 ( )
3.(2024广州)下列图案中,点O为正方形的中心,阴影部分的两个三角形全等,则阴
影部分的两个三角形关于点O对称的是 ( )
4.(2024自贡)我国古代数学家赵爽在他所著的《勾股圆方图注》中,运用弦图(如
图所示)巧妙地证明了勾股定理.“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家
大会的会徽图案.下列关于“赵爽弦图”的说法正确的是( )
A.是轴对称图形
B.是中心对称图形
C.既是轴对称图形又是中心对称图形
D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形
(第4题) (第5题)命题点2 图形的对称(含折叠)及相关计算
5.(2024河北)如图,AD与BC交于点O,△ABO和△CDO关于直线PQ对称,点A,B
的对称点分别是点C,D.下列不一定正确的是( )
A.AD⊥BC B.AC⊥PQ
C.△ABO≌△CDO D.AC∥BD
6. (2024福建)
小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案,如图.其中△OAB
与△ODC都是等腰三角形,且它们关于直线l对称,点E,F分别是底边AB,CD的中
点,OE⊥OF.下列推断错误的是 ( )
A.OB⊥OD B.∠BOC=∠AOB
C.OE=OF D.∠BOC+∠AOD=180°
7.(2024常州)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4,D是边AC的中点,E是
边BC上一点,连接BD,DE.将△CDE沿DE翻折,点C落在BD上的点F处,则CE=
.
(第7题) (第8题)
8.(2024南充)如图,在矩形ABCD中,E为AD边上一点,∠ABE=30°,将△ABE沿BE
折叠得△FBE,连接CF,DF,若CF平分∠BCD,AB=2,则DF的长为 .
命题点3 图形的平移及相关计算
9.(2024雅安)在平面直角坐标系中,将点P(1,-1)向右平移2个单位后,得到的点P
1
关于x轴的对称点的坐标是 ( )
A.(1,1) B.(3,1) C.(3,-1) D.(1,-1)
10.(2023黄石)如图,已知点A(1,0),B(4,m),若将线段AB平移至CD,其中点
C(-2,1),D(a,n),则m-n的值为 ( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3(第10题) (第11题)
(第12题)
命题点4 图形的旋转及相关计算
11.(2024广元)如图,将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE,点B,C的对应点分
别为点D,E,连接CE,点D恰好落在线段CE上,若CD=3,BC=1,则AD的长为 (
)
A. B. C.2 D.2
√5 √10 √2
12.(2024天津)如图,△ABC中,∠B=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,
点A,B的对应点分别为D,E,延长BA交DE于点F,下列结论一定正确的是 ( )
A.∠ACB=∠ACD B.AC∥DE
C.AB=EF D.BF⊥CE
13. (2024泸州)定义:在平面直角坐标系中,将一个图形
先向上平移a(a>0)个单位,再绕原点按逆时针方向旋转θ角度,这样的图形运动叫
做图形的ρ(a,θ)变换.如:点A(2,0)按照ρ(1,90°)变换后得到点A'的坐标为(-1,2),则点
B(√3,-1)按照ρ(2,105°)变换后得到点B'的坐标为 .
命题点5 图形的位似及相关计算
14.(2024绥化)如图,矩形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(3,2),C(0,2),以
1
原点O为位似中心,将这个矩形缩小为原来的 ,则顶点B在第一象限对应点的坐
3
标是 ( )
3 2
A.(9,4) B.(4,9) C.(1, ) D.(1, )
2 3(第14题) (第15题)
15.(2023长春)如图,△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形,点A在线
段OA'上.若OA∶AA'=1∶2,则△ABC和△A'B'C'的周长之比为 .
命题点6 网格作图及相关计算
16.(2024济宁)如图,△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(3,4),C(1,4).
(1)将△ABC向下平移2个单位长度得△A B C (点A ,B ,C 分别与点A,B,C对应).画
1 1 1 1 1 1
出平移后的图形,并直接写出点B 的坐标.
1
(2)将△A B C 绕点B 逆时针旋转90°得△A B C ,画出旋转后的图形,并求点C 运动
1 1 1 1 2 1 2 1
到点C 所经过的路径长.
2
17. (2023安徽)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点
A,B,C,D均为格点(网格线的交点).
(1)画出线段AB关于直线CD对称的线段A B ;
1 1
(2)将线段AB向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到线段A B ,画
2 2
出线段A B ;
2 2
(3)描出线段AB上的点M及直线CD上的点N,使得直线MN垂直平分AB.考点 33统计
命题点1 统计图的选择、调查方式
1.(2023扬州)空气的成分(除去水汽、杂质等)是:氮气约占78%,氧气约占21%,其
他微量气体约占1%.要反映上述信息,宜采用的统计图是 ( )
A.条形统计图 B.折线统计图
C.扇形统计图 D.频数分布直方图
2.(2023本溪)下列调查中,适宜采用全面调查方式的是( )
A.了解某种灯泡的使用寿命
B.了解一批冷饮的质量是否合格
C.了解全国八年级学生的视力情况
D.了解某班同学中哪个月份出生的人数最多
命题点2 样本估计总体
3.(2024贵州)为了解学生的阅读情况,某校在4月23日世界读书日,随机抽取100
名学生进行阅读情况调查,每月阅读两本以上经典作品的有20名学生,估计该校
800名学生中每月阅读经典作品两本以上的人数为 ( )
A.100 B.120 C.150 D.160
4.(2024赤峰)某市为了解初中学生的视力情况,随机抽取200名初中学生进行调
查,整理样本数据如下表.根据抽样调查结果,估计该市16 000名初中学生中,视力
不低于4.8的人数是( )
4.7 4.9
视 4. 4. 4.
以 以
力 7 8 9
下 上
人
39 413340 47
数
A.120 B.200 C.6 960D.9 600
5.(2024北京)某厂加工了200个工件,质检员从中随机抽取10个工件检测了它们
的质量(单位:g),得到的数据如下:
50.03 49.98 50.00 49.99 50.02
49.99 50.01 49.97 50.00 50.02
当一个工件的质量x(单位:g)满足49.98≤x≤50.02时,评定该工件为一等品,根据以
上数据,估计这200个工件中一等品的个数是 .
命题点3 平均数、中位数、众数、方差
6.(2024湖南)某班的5名同学1分钟跳绳的成绩(单位:次)分别为
179,130,192,158,141.这组数据的中位数是 ( )
A.130 B.158 C.160 D.192
7.(2024南充)学校举行篮球技能大赛,评委从控球技能和投球技能两方面为选手
打分,各项成绩均按百分制计,然后再按控球技能占60%,投球技能占40%计算选手的综合成绩(百分制).选手李林控球技能得90分,投球技能得80分.李林综合成
绩为 ( )
A.170分 B.86分 C.85分 D.84分
8.(2024扬州)第8个全国近视防控宣传教育月的主题是“有效减少近视发生,共
同守护光明未来”.某校积极响应,开展视力检查.某班45名同学视力检查数据如
下表:
视 4. 4. 4. 4. 4. 4. 4. 5.
力 3 4 5 6 7 8 9 0
人
1 4 4 7 1110 5 3
数
这45名同学视力检查数据的众数是 ( )
A.4.6 B.4.7 C.4.8 D.4.9
9.(2024烟台)射击运动队进行射击测试,甲、乙两名选手的测试成绩如图.其成绩
的方差分别记为s2 和s2 ,则s2 和s2 的大小关系是 ( )
甲 乙 甲 乙
A.s2 >s2 B.s2 90)的学生人数是多少.
考点 34概率
命题点1 事件的分类及概率的意义
1.(2024武汉)小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏,两人同时出相同的
手势,这个事件是 ( )
A.随机事件 B.不可能事件
C.必然事件 D.确定性事件
2.(2024湖北)在下列事件中,必然事件是 ( )
A.掷一次骰子,向上一面的点数是3
B.篮球队员在罚球线上投篮一次,未投中
C.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯
D.任意画一个三角形,其内角和是180°
3.(2024连云港)下列说法正确的是 ( )
A.10张票中有1张奖票,10人去摸,先摸的人摸到奖票的概率较大
B.从1,2,3,4,5中随机抽取一个数,取得偶数的可能性较大
C.小强一次掷出3颗质地均匀的骰子,3颗全是6点朝上是随机事件
1
D.抛一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率为 ,连续抛此硬币2次必有1次正面
2
朝上
命题点2 频率估计概率4.(2024贵州)小星同学通过大量重复的定点投篮练习,用频率估计他投中的概率
为0.4,下列说法正确的是 ( )
A.小星定点投篮1次,不一定能投中
B.小星定点投篮1次,一定可以投中
C.小星定点投篮10次,一定投中4次
D.小星定点投篮4次,一定投中1次
5.(2024扬州)数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后,整理的实验数据如下表:
1 2 3 5
累计抛 10203050
50 00000000
掷次数 0 0 0 0
0 0 0 0
1 1 2
盖面朝 10152652
2854 055865
上次数 6 7 4 7
6 7 0
盖面朝0.50.50.50.50.50.50.50.50.5
上频率604030232827282930
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率为 .(精确到0.01)
命题点3 一步概率的计算
6.(2024广西)不透明袋子中装有白球2个,红球1个,这些球除了颜色外无其他差
别.从袋子中随机取出1个球,取出白球的概率是 ( )
1 1 2
A.1 B. C. D.
3 2 3
7.(2024辽宁)一个不透明袋子中装有4个白球,3个红球,2个绿球,1个黑球,每个球
3
除颜色外都相同.从中随机摸出一个球,则下列事件发生的概率为 的是 ( )
10
A.摸出白球 B.摸出红球 C.摸出绿球 D.摸出黑球
8.(2024成都)盒中有x枚黑棋和y枚白棋,这些棋除颜色外无其他差别.从盒中随
3 x
机取出一枚棋子,如果它是黑棋的概率是 ,则 的值为 .
8 y
9.(2024湖南)有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“ ”“
”“ ”“ ”,将它们背面朝上任意放置,从中随机翻开一枚,恰好翻到棋
子“ ”的概率是 .
10.(2024天津)不透明袋子中装有10个球,其中有3个绿球、4个黑球、3个红球,
这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球,则它是绿球的概率为
.
命题点4 几何概型11.(2023烟台)如图,在正方形中,阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心,
以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形.将一个小球在该正方形内自由
滚动,小球随机地停在正方形内的某一点上.若小球停在阴影部分的概率为P ,停
1
在空白部分的概率为P ,则P 与P 的大小关系为 ( )
2 1 2
A.P
P D.无法判断 1 2 1 2 1 2 (第11题) (第12题) 12.(2024苏州)如图,正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形,任意转动这个转 盘一次,当转盘停止转动时,指针落在阴影部分的概率是 . 命题点5 两步及以上概率的计算 13.(2024北京)不透明袋子中仅有红、黄小球各一个,两个小球除颜色外无其他差 别.从中随机摸出一个小球,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,则两次摸出的 都是红球的概率是 ( ) 1 1 1 3 A. B. C. D. 4 3 2 4 14.(2024福建)哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和” 的猜想,我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在质 数2,3,5中,随机选取两个不同的数,其和是偶数的概率是 ( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 4 3 2 3 15.(2024临沂)某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动,甲、乙两 位同学各自任选其中一项参加,则他们选择同一项活动的概率是 ( ) 1 2 1 2 A. B. C. D. 9 9 3 3 16.(2024武汉)经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转,这三种 可能性大小相同.若两辆汽车经过这个十字路口,则至少一辆车向右转的概率是 ( ) 1 1 4 5 A. B. C. D. 9 3 9 9 17.(2024河南)豫剧是国家级非物质文化遗产,因其雅俗共赏,深受大众喜爱.正面 印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示,它们除正面外完全相同.把这三张卡 片背面朝上洗匀,从中随机抽取一张,放回洗匀后,再从中随机抽取一张,两次抽取 的卡片正面相同的概率为 ( )1 1 1 1 A. B. C. D. 9 6 5 3 18.(2024达州)“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中 国优秀文化的重要组成部分.某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本(先随 机抽取一本,不放回,再随机抽取另一本)开展“名著共读”活动,则该年级的学生 恰好抽到《三国演义》和《西游记》的概率是 . 19.(2024陕西)一个不透明的袋子中共装有5个小球,其中3个红球,1个白球,1个 黄球.这些小球除颜色外都相同.将袋中小球摇匀,从中随机摸出1个小球,记下颜 色后放回,记作随机摸球1次. (1)随机摸球10次,其中摸出黄球3次,则这10次摸球中,摸出黄球的频率是 ; (2)随机摸球2次,用画树状图或列表的方法,求这两次摸出的小球都是红球的概率. 20.(2024连云港)数学文化节猜谜游戏中,有四张大小、形状、质地都相同的字谜 卡片,分别记作字谜A、字谜B、字谜C、字谜D,其中字谜A、字谜B是猜“数 学名词”,字谜C、字谜D是猜“数学家人名”. (1)若小军从中随机抽取一张字谜卡片,则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概 率是 ; (2)若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片,请用画树状图或列表的方法求小军抽 取的字谜均是猜“数学家人名”的概率. 21.(2024江西)某校一年级开设人数相同的A,B,C三个班级,甲、乙两位学生是该 校一年级新生,开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班. (1)“学生甲分到A班”的概率是 ; (2)请用画树状图法或列表法,求甲、乙两位新生分到同一个班的概率.22.(2024盐城)在“重走建军路,致敬新四军”红色研学活动中,学校建议同学们利 用周末时间自主到以下三个基地开展研学活动. A.新四军纪念馆(主馆区);B.新四军重建军部旧址(泰山庙);C.新四军重建军部纪念 塔(大铜马). 小明和小丽各自随机选择一个基地作为本次研学活动的第一站. (1)小明选择基地A的概率为 ; (2)用画树状图或列表的方法,求小明和小丽选择相同基地的概率. 23.(2024甘肃)在一只不透明的布袋中,装有质地、大小均相同的四个小球,小球上 分别标有数字1,2,3,4.甲乙两人玩摸球游戏,规则为:两人同时从袋中随机各摸出1 个小球,若两球上的数字之和为奇数,则甲胜;若两球上的数字之和为偶数,则乙胜. (1)请用画树状图或列表的方法,求甲获胜的概率. (2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗?请说明理由. 24.(2024苏州)一个不透明的盒子里装有4张书签,分别描绘“春”“夏”“秋” “冬”四个季节,书签除图案外都相同,并将4张书签充分搅匀. (1)若从盒子中任意抽取1张书签,恰好抽到“夏”的概率为 ; (2)若从盒子中任意抽取2张书签(先抽取1张书签,且这张书签不放回,再抽取1张 书签),求抽取的书签恰好1张为“春”,1张为“秋”的概率.(请用画树状图或列 表等方法说明理由) 25.(2024河北)甲、乙、丙三张卡片正面分别写有a+b,2a+b,a-b,除正面的代数式 不同外,其余均相同. (1)将三张卡片背面向上并洗匀,从中随机抽取一张,当a=1,b=-2时,求取出的卡片 上代数式的值为负数的概率.(2)将三张卡片背面向上并洗匀,从中随机抽取一张,放回后重新洗匀,再随机抽取 一张.请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果(化为最简), 并求出和为单项式的概率. a+ 2a a-b b +b 2a a+b +2 2a b 2a+b a-b 2a 命题点6 统计与概率的综合 26.(2024滨州)某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程,分别是A:床铺整理,B: 衣物清洗,C:手工制作,D:简单烹饪,E:绿植栽培.课程开设一段时间后,李老师采用 抽样调查的方式在全校学生中开展了“我最喜欢的劳动实践课程”为主题的问 卷调查.根据调查所收集的数据进行整理,绘制了如下两幅不完整的统计图. 根据图中信息,请回答下列问题: (1)请将条形统计图补充完整,并直接写出“手工制作”对应的扇形圆心角度数; (2)若该校共有1 800名学生,请你估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数; (3)小兰同学从B,C,D三门课程中随机选择一门参加劳动实践,小亮同学从C,D,E 三门课程中随机选择一门参加劳动实践,求两位同学选择相同课程的概率. 27.(2024贵州)《国家学生体质健康标准》规定,七年级男生、女生50米短跑时 间分别不超过8.0秒、8.3秒为优秀等级.某校在七年级学生中挑选男生、女生各 5人进行集训,经多次测试得到10名学生的平均成绩(单位:秒)记录如下. 男生成绩:7.61,7.38,7.65,7.38,7.38. 女生成绩:8.23,8.27,8.16,8.26,8.32. 根据以上信息,解答下列问题: (1)男生成绩的众数为 ,女生成绩的中位数为 ;(2)判断下列两位同学的说法是否正确; (3)教练从成绩最好的3名男生(设为甲、乙、丙)中,随机抽取2名学生代表学校 参加比赛,请用画树状图或列表的方法求甲被抽中的概率.
