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2.2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数 y=ax2 和 y=ax2+c 的图象与性质
教学内容 第2课时 二次函数 y=ax2 和 y=ax2+c 的图象与性质 课时 1
1.使学生能利用描点法正确作出函数y=2x2与y=2x2+1的图象.
2.理解二次函数y=ax2+c的性质及它与函数y=ax2的关系.
核心素养
3.让学生经历二次函数y=ax2+c性质探究及性质应用的过程，发展运算能力和
目标
数形结合的思想能力，能够探究实际生活中蕴含的数学规律.
4.培养学生动手操作的能力及归纳总结与灵活应用知识的能力.
1．能画出二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的图象；
知识目标
2．掌握二次函数y＝ax2与y＝ax2＋c(a≠0)图象之间的联系；
3．能灵活运用二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的知识解决简单的问题．
教学重点 1．能画出二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的图象；
2．掌握二次函数y＝ax2与y＝ax2＋c(a≠0)图象之间的联系；
教学难点 能灵活运用二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的知识解决简单的问题.
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、情境 一、创设情境，导入新知
导入 门禁反映了图形的平移，大家还记得平移的要点
设计意图：首先用情境和
吗？
问题作为切入点，引出新
知.学生会根据己有的知
识储备轻松得出结果，同
时为后面知识讲解做铺
垫.
羽毛球的运动轨迹可以用y = ax2 的图象刻画，
大家能回忆出二次函数 y = x2 的性质吗？
二、探究
新知
二、小组合作，探究概念和性质
知识点一：二次函数 y = ax2 的图象与性质
合作探究 设计意图：通过让学生自
画出函数 y = 2x2 的图象. 主填表，启发学生观察表
师生活动：师生一起完成画图，教师先出示表 达式的特点，调动学生的
格，由学生说出x对应的y值，再描点、连线.教 思维. 体现启发式教学，
师强调在连线时，注意要用平滑的曲线连线，不 让每位学生都参与到学习
能直接用线段把点与点之间连接. 过程中，加深学生对知识
的理解，充分调动学生学
解：列表. 习的积极性.
描点，连线.
1设计意图：让学生思考和
交流对函数性质的认识,
并积累从图象的角度研究
函数性质的经验.
观察思考
问题1 二次函数 y = 2x2 的图象是什么形状？
二次函数 y = 2x2 的图象是一条抛物线，
并且抛物线开口向上.
问题2 图象的对称轴是什么？
y 轴就是它的对称轴.
问题3 图象的顶点坐标是什么？
原点 (0，0).
问题4 当 x 取何值时，y 的值最小？最小值是 设计意图：培养学生归
什么？ 纳、整理知识的意识.注
当 x = 0 时，y = 0. 意将图象与表达式进行联
min
问题5 当 x < 0 时，随着 x 值的增大，y 值如 系，
何变化？当 x > 0 时呢？ 让学生理解知识点.
当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大.
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师
生共同得出答案.
师提问：想一想函数 y = ax 2 的性质是什么？
要点归纳
设计意图：巩固所学知
识，加深对二次函数性质
的理解.
练一练
1. 函数 y = 4x2 的图象的开口 ，对称轴
是 ，顶点是 ；
2. 函数 y = －3x2 的图象的开口 ，对称
轴是 ，顶点是_____ 顶点是抛物线
的最____点.
3. 函数 y = √3x2 的图象的开口 ，对
称轴是 ，顶点是 ；顶点
设计意图：让学生画完整
2是抛物线的最____点. 的二次函数图象，然后用
4. 函数 y = －0.2x2 的图象的开口 ， 自己的语言进行描述图象
对称轴是 ，顶点是 . 的性质，初步体验二次函
数 y=ax2的系数 a 对图象
的影响.
师生活动：学生独立思考并作答.
答案：
1. 向上，y轴，(0,0)
2. 向下，y 轴，(0,0)，高
3. 向上，y轴，(0,0)，低
4. 向下，y轴，(0,0)，
合作探究
问题1 在同一直角坐标系中画出二次函数
的 图 象 如
图，观察其开口大小与 a 的绝对值有什么关系？
当 a > 0 时，
a 的绝对值越大，
开口越小
问题2 在同一直角坐标系中画出二次函数
设计意图：通过做题巩固
的图象如图，观察其
y=ax2的图象与系数a之
开口大小与a的绝对值有什么关系？
间的关系.
在二次函数 y = ax2 中，
a 的绝对值越大，
开口越小.
设计意图：引导学生通过
表格上函数值的变化让学
5.把图中图象的号码，填在它的函数式后面：(填
生猜想函数图象的位置变
序号)
化，再结合图象，从图象
直观理解函数之间(a 相
同)的平移关系，掌握图
象的平移规律，培养学生
的动态思维.
答案：(1) ③ ； (2) ① ； (3) ④ ； (4) ②.
知识点二：二次函数 y = ax2+c 的图象与性质
合作探究
师生活动：在同一直角坐标系中，画出二函数 y
= 2x2 + 1 与 y = 2x2 - 1 的图象．
1)同桌之间，一个列表，一个描点，
然后用彩笔连线.
2)教师巡视，指导画法.
3)展示好的作品(以做探讨，研究性质之用) .
解：先列表：
3再描点，连线.
问题：抛物线 y=2x2+1, y=2x2 - 1与抛物线 y=2x2 设计意图：培养学生归
有什么关系？ 纳、整理知识的意识.注
可以发现，把抛物线 y = 2x2 向 平移1个 意将图象与表达式进行联
单位长度， 系，
就得到抛物线 ； 让学生理解知识点，体会
把抛物线 y = 2x2 向 平移1个单位长度， 图象平移的概念.
就得到抛物线 y = 2x2 - 1.
师生活动：老师播放PPT动图，学生观察图形尝
试解答，并互相交流、总结，归纳解题步骤，教
师结合学生的具体活动，加以指导.
答案：上；y = 2x2 + 1；下
要点归纳
二次函数 y = ax2 与 y = ax2+c（a ≠ 0）的图象
的关系
二次函数 y = ax2+c 的图象可以由 y = ax2 的图
象平移得到：
设计意图：对二次函数性
当c > 0 时，向上平移 c 个单位长度得到.
质的巩固与拓展，从图象
当c < 0 时，向下平移 -c 个单位长度得到.
直观理解函数之间(a相
上下平移规律：
同)的平移关系，培养学
平方项不变，常数项上加下减.
生的动态思维.
练一练
6. (湖州中考)将抛物线 y＝x2 向上平移 3 个单
位，所得抛物线的解析式( A )
A．y＝x2＋3 B．y＝x2－3
C．y＝(x＋3)2 D．y＝(x－3)2
合作探究
问题 抛物线 y = 2x2+1， y = 2x2-1的开口方向、
设计意图：培养自主学习
对称轴和顶点各是什么？
习惯，在探究中加深 y =
ax2 + k 的性质理解，体
会数形结合思想.
问题 抛物线 y = 2x2+1， y = 2x2-1的增减性又如
何？
当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大.
4想一想
三、当堂 根据图象回答下列问题：
练习，巩 (1) 图象的形状都是 ；
固所学 (2) 图形的开口方向 ；
(3) 对称轴都是 ；
(4) 从 上 而 下 顶 点 坐 标 分 别 是
_________________；
(5) 顶点都是最____点，函数都有最____值，从
上而下最大值分别为_______、________.
(6) 函数的增减性都相同：
__________________________
___________________________.
想一想：通过上述例子，函数 y = ax2 + k 的
性质是什么？
师生活动：
1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。
2小组内批阅。
3.对板演的内容进行评价纠错。
答案：(1) 抛物线；(2)向下 ；(3) y 轴 ；(4)
(0，1)， (0，−1) ； 设计意图：帮助学生总结
(5) 高，大， y = 1 ，y = −1 ； 二次函数与系数之间的关
(6) 对称轴左侧 y 随 x 增大而增大，对称轴右侧 系.
y 随 x 增大而减小.
要点归纳
二次函数 y = ax2 + c 的性质
设计意图：考查学生对二
想一想 次函数的性质的掌握.
1. 画抛物线 y = ax2+c 的图象有些方法？ 及时练习巩固，体现学以
第一种方法：平移法，两步即第一步画 y = ax2 致用的观念，消除学生学
无所用的思想顾虑。
的图象，再向上（或向下）平移︱c ︱单位.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
2. 抛物线 y = ax2+c 中的 a 决定什么？c 决定
什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
a 决定开口方向和大小；c 决定顶点的纵坐标.
对称轴为 y 轴；顶点坐标为(0,c).
5三、当堂练习，巩固所学
1. 填表：
2. 不画函数 y = -x2 和 y= -x2+1 的图象回答下面
的问题：
(1) 抛物线 y = -x2 + 1 经过怎样的平移才能得到
抛物线 y = -x2.
(2) 函数 y = -x2 + 1，当 x 时， y 随 x 的
增大而减小；
当 x 时，函数 y 有最大值，最大值 y是
，其图象与 y 轴的交点坐标是 ，与 x 轴
的交点坐标是 .
(3) 试说出抛物线 y = x2 - 3的开口方向、对称
轴和顶点坐标.
3. 在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y = 2x2 的
图象经过点 M（x，y），N（x，y）两点，若
1 1 2 2
-4＜x＜-2，0＜x＜2，则 y 与 y 的大小关系
1 2 1 2
是__________.
4. 在同一直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋c和
二次函数 y＝ax2＋c 的图象大致为( )
第2课时 二次函数 y=ax2 和 y=ax2+c 的图象与性质
1．二次函数y＝ax2的图象与性质：
板书设计 2．二次函数y＝ax2＋c的图象与性质：
3．二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c的应用：
6课后小结
本节课的设计重视学生数学学习的过程，采取数学归纳的方式，使学生有
机会回忆亲身体验，亲历知识的自主建构过程，使学生学会从具体情境中提
取概念，并作更深层次的数学概括与抽象，从而学会数学思考方式．注重创
教学反思 设机会，使学生有机会看到数学的全貌，体会数学的全过程．整堂课的设计
围绕研究函数的图象及性质展开，以问题：“函数的性质有哪些？”为主
线，通过对性质的探讨让学生清楚研究函数的必要性，明确学习目标，又让
学生学会如何应用性质解决问题，体会知识的价值，增强求知欲.
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