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第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数 y=ax2 和 y=ax2+c 的图象与性质
学习目标：
1．能画出二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的图象；(重点)
2．掌握二次函数y＝ax2与y＝ax2＋c(a≠0)图象之间的联系；(重点)
3．能灵活运用二次函数y＝ax2和y＝ax2＋c(a≠0)的知识解决简单的问题．(难点)
自主学习
一、复习回顾
羽毛球的运动轨迹可以用y = ax2 的图象刻画,大家能回忆出二次函数 y = x2 的性质吗？
合作探究
一、要点探究
知识点一：二次函数 y = ax2 的图象与性质
合作探究
画出函数 y = 2x2 的图象.
列表.
描点，连线.
1观察思考
问题1 二次函数 y = 2x2 的图象是什么形状？
问题2 图象的对称轴是什么？
问题3 图象的顶点坐标是什么？
问题4 当 x 取何值时，y 的值最小？最小值是什么？
问题5 当 x < 0 时，随着 x 值的增大，y 值如何变化？当 x > 0 时呢？
要点归纳
练一练
1. 函数 y = 4x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ；
2. 函数 y = －3x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是_____
顶点是抛物线的最____点.
3. 函数 y = √3x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是
；顶点是抛物线的最____点.
4. 函数 y = －0.2x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是
.
2合作探究
问题1 在同一直角坐标系中画出二次函数
的图象如图，观察其开口大小与 a 的绝对值有什么关系？
问题2 在同一直角坐标系中画出二次函数
的图象如图，观察其开口大小与a的绝对值有什么关系？
练一练
5.把图中图象的号码，填在它的函数式后面：(填序号)
知识点二：二次函数 y = ax2+c 的图象与性质
合作探究
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y = 2x2 + 1 与 y = 2x2 - 1 的图象．
问题：抛物线 y=2x2+1, y=2x2 - 1与抛物线 y=2x2 有什么关系？
可以发现，把抛物线 y = 2x2 向 平移1个单位长度，
就得到抛物线 ；
把抛物线 y = 2x2 向 平移1个单位长度，
就得到抛物线 y = 2x2 - 1.
要点归纳
3二次函数 y = ax2 与 y = ax2+c（a ≠ 0）的图象的关系
练一练
6. (湖州中考)将抛物线 y＝x2 向上平移 3 个单位，所得抛物线的解析式( )
A．y＝x2＋3 B．y＝x2－3
C．y＝(x＋3)2 D．y＝(x－3)2
合作探究
问题 抛物线 y = 2x2+1， y = 2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
问题 抛物线 y = 2x2+1， y = 2x2-1的增减性又如何？
想一想
根据图象回答下列问题：
(1) 图象的形状都是 ；
(2) 图形的开口方向 ；
(3) 对称轴都是 ；
(4) 从上而下顶点坐标分别是 _________________；
(5) 顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、________.
(6) 函数的增减性都相同： _____________________________________________________.
想一想：通过上述例子，函数 y = ax2 + k 的性质是什么？
要点归纳
4二次函数 y = ax2 + c 的性质
想一想
1. 画抛物线 y = ax2+c 的图象有些方法？
2. 抛物线 y = ax2+c 中的 a 决定什么？c 决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样
表示？
例1 关于抛物线 y = −x2 + 1 与 y = x2 − 1，下列说法正确的是（ ）
A．开口方向相同
B．顶点相同
C．对称轴相同
D．当 x＞0 时， y 随 x 的增大而增大
二、课堂小结
5当堂检测
1.填表：
2.不画函数 y = -x2 和 y= -x2+1 的图象回答下面的问题：
(1) 抛物线 y = -x2 + 1 经过怎样的平移才能得到抛物线 y = -x2.
(2) 函数 y = -x2 + 1，当 x 时， y 随 x 的增大而减小；
当 x 时，函数 y 有最大值，最大值 y是 ，其图象与 y 轴的交点坐标是 ，
与 x 轴的交点坐标是 .
(3) 试说出抛物线 y = x2 - 3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
3. 在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y = 2x2 的图象经过点 M（x，y），N（x，y）两
1 1 2 2
点，若 -4＜x＜-2，0＜x＜2，则 y 与 y 的大小关系是__________.
1 2 1 2
4. 在同一直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋c和二次函数 y＝ax2＋c 的图象大致为( )
6参考答案
二、小组合作，探究概念和性质
知识点一：二次函数 y = ax2 的图象与性质
合作探究
画出函数 y = 2x2 的图象.
解：列表.
描点，连线.
观察思考
问题1 二次函数 y = 2x2 的图象是什么形状？
二次函数 y = 2x2 的图象是一条抛物线，
并且抛物线开口向上.
问题2 图象的对称轴是什么？
y 轴就是它的对称轴.
问题3 图象的顶点坐标是什么？
原点 (0，0).
问题4 当 x 取何值时，y 的值最小？最小值是什么？
当 x = 0 时，y = 0.
min
问题5 当 x < 0 时，随着 x 值的增大，y 值如何变化？当 x > 0 时呢？
当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大.
7要点归纳
练一练
答案：
1. 向上，y轴，(0,0)
2. 向下，y 轴，(0,0)，高
3. 向上，y轴，(0,0)，低
4. 向下，y轴，(0,0)，
合作探究
问题1 在同一直角坐标系中画出二次函数
的图象如图，观察其开口大小与 a 的绝对值有什么关系？
当 a > 0 时，a 的绝对值越大，开口越小
问题2 在同一直角坐标系中画出二次函数
的图象如图，观察其开口大小与a的绝对值有什么关系？
在二次函数 y = ax2 中，a 的绝对值越大，开口越小.
5.把图中图象的号码，填在它的函数式后面：(填序号)
8答案：(1) ③ ； (2) ① ； (3) ④ ； (4) ②.
知识点二：二次函数 y = ax2+c 的图象与性质
合作探究
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y = 2x2 + 1 与 y = 2x2 - 1 的图象．
解：先列表：
再描点，连线.
问题：抛物线 y=2x2+1, y=2x2 - 1与抛物线 y=2x2 有什么关系？
可以发现，把抛物线 y = 2x2 向 平移1个单位长度，
就得到抛物线 ；
把抛物线 y = 2x2 向 平移1个单位长度，
就得到抛物线 y = 2x2 - 1.
答案：上；y = 2x2 + 1；下
练一练
6. (湖州中考)将抛物线 y＝x2 向上平移 3 个单位，所得抛物线的解析式( A )
A．y＝x2＋3 B．y＝x2－3
C．y＝(x＋3)2 D．y＝(x－3)2
合作探究
问题 抛物线 y = 2x2+1， y = 2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
9问题 抛物线 y = 2x2+1， y = 2x2-1的增减性又如何？
当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大.
想一想
答案：(1) 抛物线；
(2) 向下 ；
(3) y 轴 ；
(4) (0，1)， (0，−1) ；
(5) 高，大， y = 1 ，y = −1 ；
(6) 对称轴左侧 y 随 x 增大而增大，
对称轴右侧 y 随 x 增大而减小.
要点归纳
二次函数 y = ax2 + c 的性质
想一想
1. 画抛物线 y = ax2+c 的图象有些方法？
第一种方法：平移法，两步即第一步画 y = ax2的图象，再向上（或向下）平移︱c ︱单
位.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
2. 抛物线 y = ax2+c 中的 a 决定什么？c 决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样
表示？
a 决定开口方向和大小；c 决定顶点的纵坐标.
对称轴为 y 轴；顶点坐标为(0,c).
例1 C
10当堂检测
1.填表：
2.
答案：(1) 向下平移 1 个单位 ；
(2) ＞0 ； = 0；1；(0，1)； (-1，0)，(1，0)
(3) 开口方向向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标(0，-3).
3. 答：y＞y
1 2
4. D
11
