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难点探究专题：平面直角坐标系中的新定义与规律题
——掌握不同规律，以不变应万变
类型一 新定义 5．如图，正方形AAAA，AAAA，
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1．在平面直角坐标系xOy中，对于点 AA A A ，…(每个正方形从第三象限的顶
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P(a，b)和点Q(a，b′)，给出下列定义：若b′＝ 点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A，
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则称点Q为点P的限变点．例如：点(2，3)的 A，A，A；A，A，A，A；A，A ，A ，A ；…)
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限变点的坐标是(2，3)，点(－2，5)的限变点 的中心均在坐标原点O上，各边均与x轴或
的坐标是(－2， y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…，
－5)．如果一个点的限变点的坐标是(，－1)， 则顶点A 的坐标为__________．
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那么这个点的坐标是( )
A．(－1，) B．(－，－1)
C．(，－1) D．(，1)
2．(2016·黔南州中考)在平面直角坐标
系中，对于平面内任一点(a，b)，若规定以下
三种变换：①△(a，b)＝(－a，b)；②○(a，b)
＝(－a，－b)；③Ω(a，b)＝(a，－b)，按照以 6．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕
上变换，例如△(○(1，2))＝(1，－2)，则 点A顺时针旋转到△ABC 的位置，点B，O
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○(Ω(3，4))＝________． 分别落在点B，C 处，点B 在x轴上，再将
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3．(2016·常德中考)平面直角坐标系中 △ABC 绕点B 顺时针旋转到△ABC 的位
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有两点M(a，b)，N(c，d)，规定(a，b)⊕(c，d)＝ 置，点C 在x轴上，将△ABC 绕点C 顺时
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(a＋c，b＋d)，则称点Q(a＋c，b＋d)为点M， 针旋转到△ABC 的位置，点A 在x轴上，
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N的“和点”．若以坐标原点O与任意两点 依次进行下去….若点A，点B(0，2)，则点B
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及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则 的坐标为________；点 B 的坐标为
2016
称这个四边形为“和点四边形”，现有点 ________．
A(2，5)，B(－1，3)，若以O，A，B，C四点为顶
点的四边形是“和点四边形”，则点C的坐
标是________．
类型二 规律探究
4．一个质点P在第一象限及坐标轴上 7．如图所示，在直角坐标系中，第一次
运动，在第1秒钟，从原点运动到(0，1)，然 将△OAB变换成△OAB，第二次将△OAB
1 1 1 1
后按箭头的方向运动[即：(0，0)→(0， 变换成△OAB ，第三次将△OAB 变换成
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1)→(1，1)→(1，0)→…]，每秒移动一个单位， △OAB，已知A(1，3)，A(2，3)，A(4，3)，
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则点 P 运动到(7，7)位置时共运动了 A(8，3)，B(2，0)，B(4，0)，B(8，0)，B(16，
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________秒． 0)．
(1)求△OAB的面积；
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(2)写出△OAB 的各个顶点的坐标；
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(3)按此图形变化规律，你能写出
△OAB 的面积与△OAB的面积的大小关系
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吗？
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参考答案与解析
1．C ＝2nS ，即S△OAB＝2nS .
△OAB n n △OAB
2．(－3，4) 解析：○(Ω(3，4))＝○(3，
－4)＝(－3，4)．
3．(1，8)或(－3，－2)或(3，2) 解析：∵
以O，A，B，C四点为顶点的四边形是“和点
四边形”，①当C为A，B的“和点”时，C
点的坐标为(2－1，5＋3)，即C(1，8)；②当B
为A，C的“和点”时，设C点的坐标为(x，
1
y)，则解得C(－3，－2)；③当A为B，C的
1
“和点”时，设C点的坐标为(x，y)，则解
2 2
得C(3，2)；∴点C的坐标为(1，8)或(－3，－
2)或(3，2)．
4．56 解析：质点P每秒移动一个单位，
(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)用的秒数分别
是1秒，2秒，3秒，到(1，1)用2秒，到(2，2)
用6秒，到(3，3)用12秒，到(4，4)用20秒，
依此类推，点P运动到(7，7)位置时共运动
了2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝56(秒)．
5．(5，－5) 解析：∵＝5，∴A 在第四
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象限．∵A 所在正方形的边长为2，∴A 的
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坐标为(1，－1)，同理可得A 的坐标为(2，－
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2)，A 的坐标为(3，－3)，∴A 的坐标为(5，
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－5)．
6．(6，2) (6048，2) 解析：∵A，B(0，
2)，∴Rt△AOB中，AB＝，∴OC ＝OA＋AB
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＋BC ＝＋＋2＝6，∴点B 的横坐标为6，
1 2 2
且BC ＝2，即点B 的坐标是(6，2)，∴点B
2 2 2 4
的横坐标为2×6＝12，∴点B 的横坐标
2016
为2016÷2×6＝6048，点B 的纵坐标为2，
2016
即点B 的坐标是(6048，2)．
2016
7．解：(1)S ＝OB·y ＝×2×3＝3；
△OAB A
(2)根据图示知O的坐标是(0，0)；已知
A(1，3)，A(2，3)，A(4，3)，A(8，3)，对于A，
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A，…，A 的坐标，找规律比较发现A 的横
2 n n
坐标为2n，而纵坐标都是3；同理B，B，…，
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B 也一样找规律，规律为B 的横坐标为2n＋
n n
1，纵坐标为0.由以上规律可知：A 的坐标是
4
(16，3)，B 的坐标是(32，0)．综上所述，O(0，
4
0)，A(16，3)，B(32，0)；
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(3)根据规律，后一个三角形的底边是前
一个三角形底边的 2倍，高相等都是 3，
∴OB ＝2n＋1，S△OAB ＝×2n＋1×3＝3×2n
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