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专题 13 数列的性质必刷小题 100 题
任务一:善良模式(基础)1-30题
一、单选题
1．已知 为等差数列 的前n项和，且满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 为等比数列， 是它的前n项和．若 ，且 与 的等差中项为 ，则 （
）
A．29 B．31 C．33 D．35
3．已知数列 的通项公式是 ，则 （ ）
A． B． C．3027 D．3028
4．在等比数列 中，已知 ， ，则 （
）
A．63 B． C．2 D．
5．记 为正项等比数列 的前 项和，若 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．等差数列{a}的首项为1，公差不为0.若a，a，a 成等比数列，则{a}前6项的和为（ ）
n 2 3 6 n
A．－24 B．－3
C．3 D．87．已知数列 的前 项和为 ，且 满足 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C．10 D．
8．若 为数列 的前 项和，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
9．在公差大于0的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列，则数列 的
前21项和为（ ）
A．12 B．21 C．11 D．31
10．在等差数列 中， ， ，则 （ ）
A．165 B．160 C．155 D．145
11．记等比数列 的前 项和为 ，若 则 （ ）
A． B． C． D．
12．已知 为等比数列 的前n项和， ， ，则 （ ）．
A．30 B． C． D．30或
13．已知数列 为等差数列，其前n项和为 ， ，则 （ ）
A．110 B．55 C．50 D．45
14．数列 中的前n项和 ，数列 的前n项和为 ，则 （ ）.
A．190 B．192 C．180 D．18215．已知数列 的前n项积为 ，且满足 ，若 ，则 为（ ）.
A． B． C． D．
16．在等比数列 中，公比为 ，前6项的和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
17．已知数列 的前 项和为 ，下列说法正确的是（ ）
A．若点 在函数 为常数 的图象上，则 为等差数列
B．若 为等差数列，则 为等比数列
C．若 为等差数列， ， ，则当 时， 最大
D．若 ，则 为等比数列
18．已知等差数列 的前n项和为 ，若 且 ，则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
19．数列{a}的前n项和为S， ，则有（ ）
n n
A．S＝3n－1 B．{S}为等比数列
n n
C．a＝2·3n－1 D．
n20．记等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则有（ ）
A． B． C． D．
21．已知S 为等差数列{a}的前n项和，a＋S＝－18，a＝－a，则（ ）
n n 3 5 6 3
A．a＝2n－9 B．a＝2n－7
n n
C．S＝n2－8n D．S＝n2－6n
n n
22．设等比数列 的各项都为正数，其前n项和为 ，已知 ，且存在两项 ，使得
，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
23．设 是数列 的前 项和， ， ，则下列说法正确的有（ ）
A．数列 的前 项和为
B．数列 为递增数列
C．数列 的通项公式为
D．数列 的最大项为
第II卷（非选择题）
三、填空题
24．已知等比数列 满足 ，则 _________．25．已知数列 的各项均为正数，其前 项和为 ，且满足 ，则满足 的最大的正
整数 等于_________．
26．已知数列 的首项 ，满足 ，则 __________.
27．九连环是中国的一种古老智力游戏，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷．中
国的末代皇帝溥仪 也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）．现假设有
个圆环，用 表示按照某种规则解下 个圆环所需的银和翠玉制九连环最少移动次数，且数列 满足
， ， ，则 _______．
28．已知 为数列 的前 项和，数列 是等差数列，若 ， ，则 ___________.
29．正项等差数列 的前 和为 ，已知 ，则 =__________.
30．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 ________________．任务二:中立模式(中档)1-40题
一、单选题
1．设数列 满足 ，则数列 的前n项和 为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知等差数列 且 ，则数列 的前13项之和为（ ）
A．26 B．39 C．104 D．52
3．已知公比不等于 的等比数列 的前 项乘积为 ，若 ，则（ ）A． B． C． D．
4．设数列 和 的前 项和分别为 ， ，已知数列 的等差数列，且 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
5．数列 的前 项和为 ，若 ， ，则（ ）
A．数列 是公比为2的等比数列 B．
C． 既无最大值也无最小值 D．
6．已知数列 满足： ， ，则 ( )
A． B． C． D．
7．已知数列 满足 ， （ 且 ），数列 的前n项和为
S，则（ ）
n
A． B．
C． D．
8．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 （ ）A．15 B．23 C．28 D．30
9．已知数列 满足 ，且 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知数列 满足 ， ，设 ，若数列 是单调递
减数列，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．在数列 中， ，则 （ ）
A．25 B．32 C．62 D．72
12．已知数列 满足 ，若 ，则 =（ ）
A．-1 B．
C．1 D．2
13．记首项为1的数列 的前 项和为 ，且 时， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．14．设 为数列 的前 项和， ，且 .记 为数列 的前 项和，
若对任意 ， ，则 的最小值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
15．设等比数列 的公比为 ，前 项和为 .若 ， ，且 ， ，则
的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
16．设数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 （ ）
A．510 B．511 C．512 D．514
17．设等差数列 的前 项和为 ，数列 的前 和为 ，已知 ，若
，则正整数 的值为（ ）
A． B． C． D．
18．已知数列 满足 ， ，若 前n项之和为 ，则满足不等式
的最小整数n是（ ）
A．60 B．62 C．63 D．65
19．已知函数 的图像过点 ，且 ， ．记数列 的前 项和为（
）
A． B．C． D．
20．已知数列 的前n项和为 ，且满足 ，数列 的通项 ，
则使得 恒成立的最小的k值最接近（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题
21．已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ， ， 是 与 的等比中项，则下列选项正
确的是( )
A． B．
C． 有最大值 D．当 时， 的最大值为21
22．等差数列 的前 项和为 ，公差为 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 最小
C．
D．
23．已知数列{a}满足a＝1，na ﹣（n+1）a＝1，n∈N*，其前n项和为S，则下列选项中正确的是（
n 1 n+1 n n
）
A．数列{a}是公差为2的等差数列
n
B．满足S＜100的n的最大值是9
nC．S 除以4的余数只能为0或1
n
D．2S＝na
n n
24．等差数列 与 的前 项和分别为 与 ，且 ，则（ ）
A． B．当 时，
C． D． ，
25．已知等比数列 的前n项和为 ，且 ， 是 与 的等差中项，数列 满足
，数列 的前n项和为 ，则下列命题正确的是（ ）
A．数列 的通项公式为
B．
C．数列 的通项公式为
D． 的取值范围是
26．已知等差数列 的前n项和为 ，且满足 ， ，则（ ）
A．数列 是递增数列 B．数列 是递增数列
C． 的最小值是 D．使得 取得最小正数的27．已知 为等差数列，其前 项和 ，若 ， ，则（ ）
A．公差 B．
C． D．当且仅当 时
28．已知数列 满足 ， ，对于任意 ， ， ，不等式 恒成
立，则 的取值可以是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
29．设等差数列 的前 项和为 ，公差为 ．已知 ， ， ，则（ ）
A．数列 的最小项为第 项 B．
C． D． 时， 的最大值为
30．已知 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题
31．已知等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若 ，则 ______．
32．已知 是数列 的前 项和， ， ， ，求数列 的通项公式
___________.33．已知数列 满足： ， （ ， ），则 ___________.
34．数列 的前 项和 ， .设 ，则数列 的前 项和 ___________.
35．数列 满足 ，则 _______.
36．已知数列 ， 均为等比数列，前 项和分别为 ， ，若 ，则 ___________.
37．已知数列 为等差数列，公差 ，且满足 ，则
___________.
38．设数列 满足 ， ， ，数列前n项和为 ，且 （ 且 ），
若 表示不超过x的最大整数， 数列 的前n项和为 ，则 _____________．
39．已知数列 满足 ，设 ， 为数列 的前n项和．若
对任意 恒成立，则实数 的最小值为________40．设 为数列 的前 项和， ，则数列 的前7项和为________.
任务三:邪恶模式(困难)1-30题
一、单选题
1．数列 满足 ， ， ，若数列 为单调递增数列，则 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
2．已知正项数列 中， ， ， ， ，则使不等式 成立的
最小整数n为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知数列 满足 ，记数列 前 项和为 ，
则（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列 满足 ， ．记 为数列 的前n项和，则（ ）
A． B． C． D．
5．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若
数列 满足 ，则称数列 为牛顿数列.如果函数 ，数列 为牛顿数列，设 且 ， ，数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
6．在数列{a}中．a＝4，a＝6，且当 时， ，若T 是数列{b}的前n项和，b＝
n 1 2 n n n
，则当 为整数时，λn＝（ ）
A．6 B．12 C．20 D．24
7．已知等比数列 的公比为3，前 项和为 ，若关于 的不等式 有且仅有两个不
同的整数解，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知数列 的前 项和为 ，且 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
9．已知无穷递减实数列 满足 ，则下列可作为 递推公式 的是（ ）A． B．
C． D．
10．已知 ，若数列 的前 项和是 ，设 ，设
，当且仅当 时，不等式 成立，则实数 的范围为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知数列 的各项均不为零， ，它的前n项和为 ．且 ， ， （ ）成等比数
列，记 ，则（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
12．已知数列{a}满足3a＝1，n2a ﹣a2＝n2a（n∈N*），则下列选项正确的是（ ）
n 1 n+1 n n
A．{a}是递减数列
n
B．{a}是递增数列，且存在n∈N*使得a＞1
n n
C．
D．13．已知数列 满足 ， ，且 ， ，则下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
14．已知数列 满足 ， ，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知数列 满足 .记数列 的前n项和为 ，则（ ）
A． B． C． D．
16．已知数列 与 满足 ， ， ，且 ，下列正确的
是（ ）
A． B．
C． 是等差数列 D． 是等比数列
二、多选题
17．设 是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意 ，均有 ，则称 是间隔递增数列，
k是 的间隔数.则下列说法正确的是（ ）A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列
B．已知 ，则 是间隔递增数列
C．已知 ，则 是间隔递增数列且最小间隔数是2
D．已知 ，若 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则
18．我国明代音乐理论家和数学家朱载堉在所著的《律学新说》一书中提出了“十二平均率”的音乐理论，
该理论后被意大利传教士利玛窦带到西方，对西方的音乐产生了深远的影响.以钢琴为首的众多键盘乐器就
是基于“十二平均率”的理论指导设计的.图中钢琴上的每12个琴键（7个白键5个黑键）构成一个“八度”，
每个“八度”各音阶的音高都是前一个“八度”对应音阶的两倍，如图中所示的琴键的音高 （ 称
为“中央C”）.将每个“八度”（ 如 与 之间的音高变化）按等比数列十二等份，得到钢琴上88个琴键
的音阶.当钢琴的 键调为标准音440Hz时，下列选项中的哪些频率（单位：Hz）的音可以是此时的钢琴
发出的音（ ）
（参考数据： ， ， ， ， ， ）
A．110 B．233 C．505 D．1244
19．在数列 中，其前 的和是 ，下面正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ，则
C．若 ，则D．若 ，且 ，则
20．数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，
它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于
螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形 中，作它的内接正方形 ，且使得
；再作正方形 的内接正方形 ，且使得 ；类似地，依次进行下去，就
形成了阴影部分的图案，如图所示.设第n个正方形的边长为 (其中第1个正方形 的边长为 ，
第2个正方形 的边长为 ，…)，第n个直角三角形(阴影部分)的面积为 (其中第1个直角三
角形 的面积为 ，第2个直角三角形 的面积为 ，…)，则（ ）
A．数列 是公比为 的等比数列 B．
C．数列 是公比为 的等比数列 D．数列 的前n项和
21．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波
那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方
形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，
又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为 ， ， ，边长为斐波那契数的正方形所对应扇形面积记为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
22．已知数列 满足： ， 是数列 的前 项和， ，下列命题正确的是（ ）
A． B．数列 是递增数列
C． D．
23．已知数列 满足： ， .下列说法正确的是（ ）
A．存在 ，使得 为常数数列 B．
C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题
24．已知数列 满足： ， ，若取整函数 表示不小于 的最小整数(例如： ， )，设 ，数列 的前 项和为 ，则 ___________.
25．已知数列 中， ， ， ，若对任意的正整数 ，存在 ，使不等
式 成立，则整数 的最大值为______.
26．若数列 满足 ，则称数列 为“差半递增”数列.若数列
为“差半递增”数列，且其通项 与前 项和 满足 ，则实数 的取值范围是______.
27．设数列 满足 ，且 ，若 表示不超过x的最大
整数，则 ____________．
28．已知数列 满足： ， ，若前2010项中恰好含有666项为0，则
的值为___________.
29．已知数列 和 满足 ， ， ， .则 ＝_______.
30．已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，满足 ，设 数列
的前 项和为 ，则使得 成立的最小的 的值为________.
