中考数学真题分类训练答案_2024全国中考数学真题分类(1)

中考考点集训答案 考点1实数的相关概念 1 C 2 A 3 +2 024 4 A 5 D 6 B 7 C 8 A 9 C 10 B 11 C 12 B 13 -√3 14 3-√7 15 D 16 B 17 -2 18 ±2 19 2 20 C 21 C 22 C 23 B 24 9 25 B 26 4.3×10-17 27 D 28 8×103 考点2实数的大小比较及运算(含二次根式) 1 C 2 B 3 A 4 A 5 B 6 2(答案不唯一) 7 > 8 C 9 D 10 x≥9 11 B 12 A 13 B 14 10 15 -2√3 16 2 【解析】∵|a-1|+(b-3)2=0,∴a-1=0,b-3=0,∴a=1,b=3,∴√a+b=√4=2. 要点归纳 ◀ ◀ ◀ 1.常见的三种非负数:|a|,a2,√a. 2.若几个非负数的和为0,则这几个非负数均为0.例如:若a2+|b|+√c=0,则a=0,b=0,c=0. 17 2(答案不唯一) √ 3 18 原式=3√2- 12× 2 =3√2-3√2 =0. 19 A ∵4<5<9,∴2<√5<3,即√5的值在2到3之间,故选A. 20 C S=√2×√5=√10.∵9<10<16,∴3<√10<4. 21 C √12(√2+√3)=√24+6,∵4<√24<5,∴10<√24+6<11,即√12(√2+√3)的值应在10和11之间. 22 B k=√2(√5+√3)·(√5-√3)=√2·(5-3)=2√2=√8.∵6.25<8<9,∴2.5<√8<3,∴与k最接近的整数是 3. 23 2(答案不唯一,或3) 24 A 25 D 26 3 27 8 28 0(或2或-2,写出其中一个即可) 29 原式=4+1-3 =2. 30 答案一:选择①②③, 22+|-2|+(-1)0 =4+2+1 =7. 答案二:选择①②④, 1 22+|-2|+ ×2 2 =4+2+1 =7. 答案三:选择①③④,1 22+(-1)0+ ×2 2 =4+1+1 =6. 答案四:选择②③④, 1 |-2|+(-1)0+ ×2 2 =2+1+1 =4. 31 原式=-2-4+(-4) =-10. 32 |-1|+(-3)2-√16+(√2+1)0 =1+9-4+1 =7. √3 33 原式=4+2× -1+2-√3 2 =5. 34 原式=2√3+4-2√3+3 =7. 35 (1)-4+2+32=30. AB 2−(−4) 1 = = . AC 32−(−4) 6 DE AB x 1 (2)由题意知 = ,即 = , DF AC 12 6 解得x=2. 考点3代数式、整式及其运算 1 C 2 30n 3 4 4 11 5 2 6 1 7 220 5 8 -2 2 2x+1 2×2+1 5 5 2x+1 2n+1 【解析】当x=2时, = = ,即a= ;当 x=n时, = =1,∴n=-1.当x=-1时, x 2 2 2 x n 3x+1=3×(-1)+1=-2,即b=-2. 9 A 10 D 11 D 12 B 13 D 14 C 15 D 16 D 17 B 18 B (2k+3)2-4k2=(2k+3)2-(2k)2=(2k+3+2k)(2k+3-2k)=3(4k+3),所以原式总能被3整除. 19 C 长为3a+b、宽为2a+2b的矩形的面积为(3a+b)·(2a+2b)=6a2+2b2+8ab,∴要拼一个长为3a+b、 宽为2a+2b的矩形,需要6张A类纸片、2张B类纸片和8张C类纸片.故选C. ⏟a·a·…·a 20 D ( )3=(aa)3=a3a. a个 21 A 由题意,得8×2a=(2b)8,∴23×2a=28b,∴23+a=28b,∴3+a=8b,故选A. 知识积累 ◀ ◀ ◀ 幂的运算法则 (1)am·an=am+n(m,n都是整数,a≠0); (2)am÷an=am-n(m,n都是整数,a≠0); (3)(am)n=amn(m,n都是整数,a≠0); (4)(ab)n=anbn(n是整数,a≠0,b≠0).22 3 23 m(答案不唯一) 24 y2-1 25 40 【解析】设正方形EBFO的边长为x,正方形HOGD的边长为y,则S =x2,S =y2.由题意, 正方形EBFO 正方形HOGD { xy=12, 得 2(x+ y)=16, ∴x+y=8,∴x2+y2=(x+y)2-2xy=82-2×12=40,即S 正方形EBFO +S 正方形HOGD =40. 设正方形EBFO的边长为x,正方形HOGD的边长为y,则S 正方形EBFO =x2,S 正方形HOGD =y2,由题意,得 { xy=12, ∴x+y=8,则x,y可看作是关于m的一元二次方程m2-8m+12=0的两个根,解得m=6,m=2, 2(x+ y)=16, 1 2 故 S 正方形EBFO +S 正方形HOGD =62+22=40. 26 -4 【解析】∵m是方程x2+4x-1=0的一个根,∴ m 2 + 4 m= 1 (关键点),∴(m+5)(m-1)=m2-m+5m-5=m2+4m-5=1- 5=-4. 本题也可利用求根公式求出方程的根,即m的值,再将m的值代入(m+5)(m-1),求解即 可.这种方法计算量相对较大,容易出错,请酌情使用. 27 8 【解析】∵m2-m-1=0,∴m2-m=1,∴2m3-3m2-m+9=2m(m2-m)-m2-m+9=2m-m2-m+9=m-m2+9=-(m2-m) +9=-1+9=8. 28 -2 【解析】W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3=x2+4x2-4xy+y2-2y+4x+4x+3=(2x-y)2+4x-2y+x2+4x+3=(2x-y)2+2(2x-y) +1-1+x2+4x+4-4+3=[(2x-y)2+2(2x-y)+1]+(x2+4x+4)-2=(2x-y+1)2+(x+2)2-2.∵x,y均为实数,∴(2x-y+1)2≥0, (x+2)2≥0,∴W≥-2,∴W的最小值为-2. 29 (1)根据题意,得S=(a+1)(a+2)=a2+3a+2,S=(5a+1)×1=5a+1, 1 2 当a=2时,S+S=a2+8a+3=22+8×2+3=23. 1 2 (2)S>S. 1 2 理由:由(1)知,S=a2+3a+2,S=5a+1, 1 2 ∴S-S=a2+3a+2-(5a+1)=a2-2a+1=(a-1)2. 1 2 ∵a>1, ∴(a-1)2>0, ∴S>S. 1 2 30 原式=x2-2xy+x2+2xy+y2 =2x2+y2. 31 原式=3a-a2+a2-a+2a-2 =4a-2. 32 原式=4x3+2x-4x2(x+1) =4x3+2x-4x3-4x2 =2x-4x2. 33 原式=x2+4x+4-(x2+3) =x2+4x+4-x2-3 =4x+1. 当x=-2时,原式=4×(-2)+1=-7. 34 原式=a2-1+a2+1 =2a2. 当a=√3时,原式=2×(√3)2=6.35 原式=[4a2+4ab+b2-(4a2-b2)]÷2b =(4a2+4ab+b2-4a2+b2)÷2b =(4ab+2b2)÷2b =2a+b. 当a=2,b=-1时,原式=2×2+(-1)=4+(-1)=3. 36 (a-2)2+(a-1)(a+3) =a2-4a+4+a2+3a-a-3 =2a2-2a+1. ∵a2-a-3=0,∴a2-a=3, ∴原式=2(a2-a)+1=2×3+1=6+1=7. 37 原式=4x2+4xy+y2-4x2+y2-2xy-2y2 =2xy. 1 当x=( )2 025,y=22 024时, 2 1 原式=2×( )2 025×22 024 2 1 1 =2× ×( )2 024×22 024 2 2 1 =( ×2)2 024 2 =1. 38 A a3-9a=a(a2-9)=a(a-3)(a+3). 解题步骤 ◀ ◀ ◀ 因式分解的一般步骤 39 D a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=1×32=9. 40 a(a-b) 41 (x+1)2 42 3(x-3)2 【解析】3x2-18x+27=3(x2-6x+9)=3(x-3)2. 43 (x+3)2 【解析】(x+2)(x+4)+1=x2+4x+2x+8+1=x2+6x+9=(x+3)2. 44 D 1 45 - x1 1 1 1 1 x 1 【解析】∵a=x+1,∴a= = =- ,∴a= = 1 = ,∴a= = 1 2 1−a 1−(x+1) x 3 1−a 1−(− ) x+1 4 1−a 1 2 x 3 1 1 1 x x = 1 =x+1,∴a=- ,∴a= ……由上可知,每三个为一个循环.∵2 024÷3=674…… 1− 5 x 6 x+1 x+1 x+1 1 2,∴a =- . 2 024 x 46 n2×(n+1)-(n+1)=(n+1)2×(n-1) 47 C 由题图可知,第①个图案中菱形的个数是2+3×(1-1)=2,第②个图案中菱形的个数是2+3×(2- 1)=5,第③个图案中菱形的个数是2+3×(3-1)=8,第④个图案中菱形的个数是2+3×(4-1)=11……按此规 律,则第⑧个图案中菱形的个数是2+3×(8-1)=23. 48 15 49 12 【解析】分析如下: “小屋子”“小屋子”中“ ” “小屋子”中“ ”的个数 编号 的个数 第1个 1=1 1×2+2=4 第2个 1+2=3 2×2+2=6 第3个 1+2+3=6 3×2+2=8 第4个 1+2+3+4=10 4×2+2=10 … … … 1+2+3+…+n= n(n+1) 第n个 2n+2 2 n(n+1) 令 =3(2n+2),解得n=-1,n=12.∵n为正整数,∴n=12.故第12个“小屋子”中图形“ ”的个 2 1 2 数是图形“ ”的个数的3倍. 考点4分式及其运算 1 A 2 A 3 x>1 4 1(答案不唯一,写出一个大于-1的数即可) 5 3 6 1 1 1 ab ab b a 【解析】 + = + = + =1. a2+1 b2+1 a2+ab b2+ab a+b b+a 4a 2b 4a-2b 2(2a-b) 7 A - = = =2.故选A. 2a-b 2a-b 2a-b 2a-b y3 y6 8 A x3( )2=x3· =xy6. x x2 A y x- y x- y y x2- y2+ y2 x2 9 A ∵ - = ,∴A=( + )(xy+y2)= ·y(x+y)= =x. xy+ y2 x2+xy xy xy x2+xy xy(x+ y) x 10 1 m 1 m+1 【解析】 + = =1. m+1 m+1 m+111 -x-2 4 x2 4−x2 (2+x)(2-x) 【解析】原式= - = = =-x-2. x-2 x-2 x-2 x-2 a2-b2 a-b 12 ÷ a2+2ab+b2 a+b (a+b)(a-b) a+b = · (a+b)2 a-b =1. 13 从第②步开始出现错误. 正确的解题过程为: m+1 2 原式= - (m+1)(m-1) (m+1)(m-1) m+1−2 = (m+1)(m-1) m-1 = (m+1)(m-1) 1 = . m+1 a (a+1)(a-1) 1 14 原式= · + a+1 a2 a a-1 1 = + a a =1. 2 a+1−a+1 15 原式= ÷ (a+1)(a-1) (a+1)(a-1) 2 (a+1)(a-1) = · (a+1)(a-1) 2 =1. x-2+2 (x+2)(x-2) 16 原式= ÷ x-2 (x-2)2 x (x-2)2 = · x-2 (x+2)(x-2) x = . x+2 17 (1)由题意,得 a0 b0 c0 P= + + 0 (a-b)(a-c) (b-c)(b-a) (c-a)(c-b) 1 1 1 = + + . (a-b)(a-c) (b-c)(b-a) (c-a)(c-b) (2)由题意,得a1 b1 c1 P= + + 1 (a-b)(a-c) (b-c)(b-a) (c-a)(c-b) a b c = - + (a-b)(a-c) (b-c)(a-b) (a-c)(b-c) a(b-c)-b(a-c)+c(a-b) = (a-b)(b-c)(a-c) ab-ac-ab+bc+ac-bc = (a-b)(b-c)(a-c) 0 = (a-b)(b-c)(a-c) =0. (x+2)(x-2) x 3 18 原式= · + x2 x+2 x x-2 3 = + x x x+1 = . x 3+1 4 当x=3时,原式= = . 3 3 绝不跳坑 ◀ ◀ ◀ 先化简,再求值是分式运算中常见的考查形式,解答时要注意以下三点: 1.一定要先化简,而且要化为最简分式或整式,再求值.化简时,除法运算一定要转化为乘法后再运算,分子、分 母是多项式的,可先将分子、分母因式分解,再进行运算. 2.求值时,要指出字母的取值,再代入计算. 3.开放性的字母取值时,一定要使原分式及化简过程中出现的分式都有意义,切忌随心所欲地取值. a+3 1 a+2 19 原式=( - )÷ a+3 a+3 (a+3)(a-3) a+2 (a+3)(a-3) = · a+3 a+2 =a-3. 当a=1时,原式=1-3=-2. m 7m-4 2(2−m) 20 原式=( - )÷ m-3 m2-9 m+3 m(m+3) 7m-4 m+3 =[ - ]· (m+3)(m-3) (m+3)(m-3) 2(2−m) m2-4m+4 m+3 = · (m+3)(m-3) 2(2−m) (m-2)2 m+3 = · (m+3)(m-3) -2(m-2) m-2 = -2(m-3)m-2 = . 6−2m ∵32-5=4,∴32-5的平方根为±2, 由题意,得4-2m≠0,m+3≠0,m-3≠0, ∴m≠2,m≠±3,∴m=-2, -2-2 2 ∴原式= =- . 6−2×(−2) 5 a2-6a+9 5 21 ÷(a+2+ ) a-2 2−a (a-3)2 4−a2 5 = ÷( + ) a-2 2−a 2−a (a-3)2 9−a2 = ÷ a-2 2−a (a-3)2 a2-9 = ÷ a-2 a-2 (a-3)2 a-2 = · a-2 (a+3)(a-3) a-3 = . a+3 a-1 ∵ ≤1,∴a≤3. 2 又∵a是正整数, a- 2 ≠ 0 , a- 3 ≠ 0 , a+ 3 ≠ 0 (易错点:不要忽略分母不为0的条件), 1−3 1 ∴a=1, ∴原式= =- . 1+3 2 a (a-b)2 a-b 22 原式= · - a-b (a-b)(a+b) a+b a a-b = - a+b a+b b = . a+b ∵b-2a=0,a-b≠0,a+b≠0,∴b=2a,a≠0, 2a 2 ∴原式= = . a+2a 3 x x x2+x 23 ( - )÷ x-2 x+2 x2-4 x(x+2)−x(x-2) x(x+1) = ÷ (x-2)(x+2) (x-2)(x+2) x2+2x-x2+2x (x-2)(x+2) = · (x-2)(x+2) x(x+1) 4x (x-2)(x+2) = · (x-2)(x+2) x(x+1) 4 = . x+1∵要使分式有意义,则(x+2)(x-2)≠0,x(x+1)≠0, ∴x≠±2,x≠0,x≠-1,∴x=1, 4 ∴原式= =2. 1+1 2 24 3 a2-2ab+b2 a2b (a-b)2 a2b 2 【解析】原式= · = · =(a-b)b=ab-b2.∵3ab-3b2-2=0,∴ab-b2= ,∴原式 a2 a-b a2 a-b 3 2 = . 3 3a-6b+3b 25 原式= (a-b)2 3(a-b) = (a-b)2 3 = . a-b ∵a-b-1=0, ∴a-b=1, 3 ∴原式= =3. 1 考点5一次方程(组)及其应用 1 A 2 去括号,得2x-2-3=x, 移项、合并同类项,得x=5. 3 去分母,得2(2x-1)=3(x+1), 去括号,得4x-2=3x+3, 移项,得4x-3x=3+2, 合并同类项,得x=5. 4 D {3x+ y=2m-1,① 2m-n-1 2m-n-1 5 D 由①-②,得2x+2y=2m-n-1,∴x+y= .∵x+y=1,∴ x- y=n,② 2 2 =1,∴2m-n=3,∴4m÷2n=22m÷2n=22m-n=23=8. {x+2y=3,① 6 x-2y=1,② ①+②,得2x=4,解得x=2. 1 将x=2代入①中,得2+2y=3,解得y= . 2 {x=2, 故此方程组的解为 1 y= . 2 7 ①×2,得2x-4y=2,③②+③,得5x=25,解得x=5. 将x=5代入①,得5-2y=1,解得y=2, {x=5, 故 是原方程组的解. y=2 8 B … , x 题干:… x 第一年 亩 1 钱 x 第二年 亩 1 钱 , ¿ 可得 钱 第 可得 钱 可得 钱 5 3 4 三年 亩 1 钱 .三年共得100钱.问:出租的田有多少亩…… x x x 提取信息: + + =100. 3 4 5 9 D 10 C 11 D 12 D 设快马追上慢马的天数是x天,根据题意,得240x=150(x+12),解得x=20,∴快马追上慢马的天数 是20天.故选D. 4 13 C 设每天织布减少x尺,则5-29x=1,解得x= ,∴5+5-x+5-2x+5-3x+…+5-29x=5×30- 29 (1+29)×29 30×29 4 x=150- × =90(尺). 2 2 29 14 15 {y=x+5, {x=15, 【解析】设竿子的长为x尺,绳索的长为y尺,由题意,得 y 解得 =x-5, y=20. 2 15 A 16 设总任务量为1,这次小峰打扫了x h,则爸爸打扫了(3-x) h, 1 1 由题意可知,小峰打扫每小时可完成总任务的 ,爸爸打扫每小时可完成总任务的 , 4 2 1 1 由题意,得 x+ (3-x)=1, 4 2 解得x=2. 答:这次小峰打扫了2 h. 知识积累 ◀ ◀ ◀ 常见的方程应用题类型及其数量关系 路程 基本数量关系:时间= 速度 行程 问题 相同路程 相同路程 常用数量关系: - =时间差(注意时间单位统一) 慢速 快速 工作总量 基本数量关系:工作时间= 工作效率 常用数量关系: 工程 工作总量 工作总量 问题 - =时间差 原工作效率 改进后工作效率 甲工作总量 乙工作总量 - =时间差 甲工作效率 乙工作效率总价 基本数量关系: =数量 单价 销售 问题 总销售金额 总销售金额 常用数量关系: - =数量差 变化后单价 原单价 17 若每次购买都是100把,则200×8×0.9=1 440≠1 504, ∴一次购买少于100把,另一次购买多于100把, ∴设一次邮购折扇x(x<100)把,则另一次邮购折扇(200-x)把. 由题意得:8x(1+10%)+0.9×8(200-x)=1 504, 解得x=40, ∴200-x=200-40=160. 答:两次邮购的折扇分别是40把和160把. 18 题干①:……购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元;购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需 190元…… {脐橙树苗单价+2×黄金贡柚树苗单价=110元, 提取信息: 2×脐橙树苗单价+3×黄金贡柚树苗单价=190元. 题干②:……该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1 000棵,总费用不超过38 000元…… 提取信息:脐橙树苗数量+黄金贡柚树苗数量=1 000棵,脐橙树苗单价×脐橙树苗数量+黄金贡柚树苗单价× 黄金贡柚树苗数量≤38 000元. (1)设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x元,y元, { x+2y=110, {x=50, 根据题意,得 解得 2x+3 y=190, y=30. 答:脐橙树苗的单价为50元,黄金贡柚树苗的单价为30元. (2)设购买脐橙树苗a棵,则购买黄金贡柚树苗(1 000-a)棵, 根据题意,得50a+30(1 000-a)≤38 000, 解得a≤400. 答:最多可以购买脐橙树苗400棵. 19 (1)根据题意,得4×3+2×1+4×(-2)=6(分), 故珍珍第一局的得分为6分. (2)∵第二局得分比第一局提高了13分, ∴第二局的得分为6+13=19(分). 根据题意,得3k+3×1+(10-k-3)×(-2)=19, 解得k=6. 20 设A,B两种农作物的种植面积分别为x公顷,y公顷, {4x+3 y=24, 根据题意,得 8x+9 y=60, {x=3, 解得 y=4. 答:A,B两种农作物的种植面积分别为3公顷和4公顷. 21 方法一:(1)设乙区有农田x亩,则甲区有农田(x+10 000)亩, 根据题意,得80%(x+10 000)=x, 解得x=40 000, 所以x+10 000=40 000+10 000=50 000. 答:甲区有农田50 000亩,乙区有农田40 000亩. (2)甲区试种的农田为80%×50 000=40 000(亩). 设派往甲区无人机y架次,则派往乙区无人机1.2y架次,40000 40000 50 根据题意,得 = + , y 1.2y 3 解得y=400, 经检验,y=400是原方程的解,且符合题意. 40000 所以 =100. 400 答:派往甲区的每架次无人机平均喷洒100亩. 方法二:(1)设甲区有农田x亩,则乙区有农田(x-10 000)亩, 由题意得80%x=x-10 000, 解得x=50 000, 则x-10 000=50 000-10 000=40 000. 答:甲区有农田50 000亩,乙区有农田40 000亩. (2)设派往甲区的每架次无人机平均喷洒y亩,派往甲区a架次无人机,则派往乙区的每架次无人机平均 50 喷洒(y- )亩,派往乙区1.2a架次无人机, 3 50 50 由题意得ay=1.2a(y- ),即y=1.2(y- ), 3 3 解得y=100. 答:派往甲区的每架次无人机平均喷洒100亩. 3 {x=8, 22 C 设可以装x箱大箱,y箱小箱,根据题意,得4x+3y=32,∴x=8- y.又∵x,y均为自然数,∴ 或 4 y=0 {x=5, {x=2, 或 ∴x+y=8或9或10,∴所装的箱数最多为10箱.故选C. y=4 y=8, 23 设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克,白银y克. { y=x+760, 根据题意,得 2.5x=0.6 y, {x=240, 解得 y=1000. 答:从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克,白银1 000克. 24 符合. 理由:设技术改进后该汽车的A类物质排放量为x mg/km,则B类物质排放量为(40-x)mg/km. x 40−x 由题意,得 + =92, 1−50% 1−75% 解得x=34. ∵34<35, ∴这次技术改进后该汽车的A类物质排放量符合“标准”. 考点6分式方程及其应用 1 D 方程两边同乘x(x-3),得2x=3(x-3),解得x=9.检验:当x=9时,x(x-3)≠0,∴x=9是原分式方程的解. 2 A 2 m 3 B 方程两边同时乘(x-1),得2=x-1-m,解得x=m+3.∵分式方程 =1- 的解为正数, x-1 x-1 ∴m+3>0,∴m>-3.又∵x≠1,即m+3≠1,∴ m ≠ - 2 (易忽略点),∴m的取值范围为m>-3且m≠-2.故选B. 4 x=-3 【解析】等号两边同时乘(x-3)(x-1),得 (x-1)x=(x-3)(x+1),解得 x=-3.检验:当x=-3时,(x-3)(x-1)≠0,∴x=-3 是该分式方程的解.5 x=4 6 2或-1 6 6 【解析】去分母,得3-(kx-1)=x-2,解得x= .①当x=2,即 =2时,方程无解,此时k=2.②当k+1=0, 1+k 1+k 即k=-1时,方程无解.故k的值为2或-1. 7 去分母,得2+x(x+1)=x2-1, 去括号,得2+x2+x=x2-1, 移项、合并同类项,得x=-3, 检验:把x=-3代入(x+1)(x-1),得(-3+1)(-3-1)=8≠0(提示:解分式方程时,一定要验根), ∴x=-3是原方程的解. 8 小丁和小迪的解法都错误. 去分母,得x+x-3=x-2, 移项、合并同类项,得x=1, 检验:当x=1时,x-2≠0, ∴原方程的解是x=1. 9 C 10 C 11 (1)设购买杂酱面x份,则购买牛肉面(170-x)份, 根据题意,得15x+20(170-x)=3 000, 解得x=80, 则170-x=90. 答:该公司购买杂酱面80份,牛肉面90份. (2)设购买牛肉面y份,则购买杂酱面(1+50%)y份, 1260 1200 根据题意,得 = -6, (1+50%)y y 解得y=60, 经检验 , y= 60 是原方程的解且符合题意 (提示:解分式方程请务必验根). 答:该公司购买牛肉面60份. 12 题干①:……更新完这30条生产线的设备,该企业可获得70万元的补贴…… 提取信息:更新1条甲类生产线的设备获得的补贴×甲类生产线的条数+更新1条乙类生产线的设备获得的 补贴×乙类生产线的条数=70. 题干②:……用200万元更新甲类生产线的设备数量和用180万元更新乙类生产线的设备数量相同…… 200 提取信息: = 更新1条甲类生产线的设备需投入的资金 180 . 更新1条乙类生产线的设备需投入的资金 (1)设该企业甲类生产线有x条,则乙类生产线有(30-x)条, 根据题意,得3x+2(30-x)=70, 解得x=10, 30-x=30-10=20. 答:该企业甲类生产线有10条,乙类生产线有20条. (2)设更新1条甲类生产线的设备需投入m万元,则更新1条乙类生产线的设备需投入(m-5)万元, 200 180 根据题意,得 = , m m-5 解得m=50, 经检验,m=50是所列方程的解,且符合题意,m-5=50-5=45. 10×50+20×45-70=1 330. 答:该企业还需投入1 330万元资金更新生产线的设备. 1 13 D 5 min= h (注意:不要忘记单位换算).甲车的速度为x km/h,则乙车的速度为1.2x km/h,由题意 12 20 20 1 得 - = .故选D. x 1.2x 12 14 D 15 设D型车的平均速度是x千米/时,则C型车的平均速度是3x千米/时, 300 300 根据题意,得 = -2, 3x x 解得x=100, 经检验,x=100是所列方程的解,且符合题意. 答:D型车的平均速度是100千米/时. 600 400 16 B 设改造后每天生产x件产品,则改造前每天生产(x-100)件产品,根据题意,得 = ,解得 x x-100 x=300, 经检验 , x= 300 是分式方程的解 (易错点:解分式方程不要忘记检验),且符合题意.故选B. 120 120 30 17 D 乙每小时加工x个零件,则甲每小时加工1.2x个零件,由题意,得 - = .故选D. x 1.2x 60 18 设甲组有x名工人,则乙组有(35-x)名工人, 2700 3000 根据题意得 = ×1.2, 35−x x 解得x=20. 检验:当x=20时,x(35-x)≠0,且符合题意, ∴原分式方程的解为x=20, ∴35-x=35-20=15. 答:甲组有20名工人,乙组有15名工人. 19 设B型机器每天处理x吨垃圾,则A型机器每天处理(x+40)吨垃圾, 500 300 根据题意,得 = , x+40 x 解得x=60. 经检验,x=60是所列方程的解. 答:B型机器每天处理60吨垃圾. 20 (1)设B种外墙漆每千克的价格为x元,则A种外墙漆每千克的价格为(x+2)元, 根据题意,得300x+300(x+2)=15 000, 解得x=24, x+2=24+2=26. 答:A种外墙漆每千克的价格为26元,B种外墙漆每千克的价格为24元. 4 (2)设甲每小时粉刷外墙的面积为y平方米,则乙每小时粉刷外墙的面积为 y平方米, 5 500 500 根据题意,得4 = +5, y y 5 解得y=25, 经检验,y=25是所列方程的解,且符合题意. 答:甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米.解题步骤 ◀ ◀ ◀ 列方程(组)解决实际问题的一般步骤 1.审:审清题意,分清题中的已知量、未知量. 2.设:设出关键未知数. 3.列:根据题意,找出题中的等量关系,列方程(组). 4.解:解所列的方程(组),求得未知数的值. 5.验:检验未知数的值是否符合题意. 6.答:规范作答,注意单位名称. 21 设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦·时,则一盏A型节能灯每年的用电量为(2x-32)千瓦·时. 16000 9600 根据题意,得 = , 2x-32 x 整理,得5x=3(2x-32), 解得x=96. 经检验 , x= 96 是原分式方程的解 , 且符合题意 (易错点:解分式方程一定要验根), 2x-32=160. 答:一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦·时. 22 (1)依题意易知:d =0.2%,d =0.01%, 前 后 0.5×0.2% 代入浓度关系式,得 =0.01%, 0.5+w 解得w=9.5. 检验:当w=9.5时,0.5+w≠0, 所以w=9.5是原分式方程的解. 答:需要9.5 kg清水. (2)4÷2=2(kg). 0.5×0.2% 第一次漂洗后浓度:d = =0.04%. 后1 0.5+2 0.5×0.04% 第二次漂洗后浓度:d = =0.008%<0.01%. 后2 0.5+2 答:进行两次漂洗,能达到洗衣目标. (3)达到相同的清洗效果,分两次漂洗更节约水.(注:答案不唯一,合理即可) 考点7一元二次方程及其应用 1 D 一元二次方程x2-6x+8=0,移项,得x2-6x=-8.等式两边同时加9,得x2-6x+9=1.配方,得(x-3)2=1.故选 D. 2 B 3 A 4 C 由题意,得2a+1=a2,解得a=1+√2,a=1-√2(不合题意,舍去),故选C. 1 2 1 7 5 - 或 2 4 3 1 1 3 7 【解析】当x≤0时,x􀱋1=x2-1=- ,解得x= (舍去),x=- ;当x>0时,x􀱋1=-x+1=- ,解得x= ,综上,x的 4 1 2 2 2 4 4 1 7 值为- 或 . 2 4 6 原方程可化为x2-2x-3=0, 因为Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16>0, 2+√16 2−√16 所以方程有两个不等的实数根x= =3,x= =-1. 1 2 2 2 7 (1)Δ=(-4)2-4×3=4,4±√4 ∴x= , 2 ∴x=3,x=1. 1 2 (2)当3是直角三角形的斜边长时,第三边的长为√32-12=2√2. 当3是直角三角形的直角边长时,第三边的长为√32+12=√10. 综上可知,第三边的长为2√2或√10. 8 C ∵方程有两个相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×c=0,解得c=4. 9 B 10 A ∵Δ=m2-4×1×(-2)=m2+8>0,∴方程有两个不相等的实数根.故选A. 9 11 B ∵关于x的一元二次方程2x2-3x+k=0有实数根,∴Δ=(-3)2-4×2×k≥0,解得k≤ .故选B. 8 12 A ∵关于x的一元二次方程(m+1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,∴Δ=(-2)2-4(m+1)>0,解得m<0. 又∵m+1≠0,∴ m ≠ - 1 (易忽略点),∴m的取值范围是m<0且m≠-1.故选A. 13 A 方程(k-3)􀱋x=k-1可化为x2-(k-3)x-k+1=0,∴Δ=[-(k-3)]2-4×1×(-k+1)=(k-1)2+4>0,∴关于x的方程 (k-3)􀱋x=k-1有两个不相等的实数根.故选A. 14 c>1 【解析】若一元二次方程x2-2x+c=0无实数根,则Δ=(-2)2-4c<0,∴c>1. 9 15 k< 4 9 【解析】∵一元二次方程x2+3x+k=0有两个不相等的实数根,∴Δ=b2-4ac=9-4k>0,解得k< . 4 1 16 0(答案不唯一,c< 即可) 4 17 (1)∵原方程有两个不相等的实数根(信息点),∴Δ>0, ∴Δ=(-2k)2-4×1×(k2-k+1) =4k2-4k2+4k-4=4k-4>0, 解得k>1. (2)∵10, ∴m>3. (2)∵m>3,∴|m-3|=m-3, (1+m)(1-m) 2 m-3 ∴原式= × × m-3 m-1 m+1 =-2. 19 A 20 B 1 21 2 1 1 x +x -1 1 1 2 【解析】∵方程x2+x-2=0的两个根分别为x,x,∴x+x=-1,xx=-2,∴ + = = = . 1 2 1 2 1 2 x x x x -2 2 1 2 1 23 22 2 1 1 【解析】由题意,可知a,b可以看作是一元二次方程x2-3x+2=0的两个实数根,∴a+b=3,ab=2,∴ + = a b a+b 3 = . ab 2 23 7 【解析】∵m,n是方程x2-5x+2=0的两个实数根,∴m+n=5,n2-5n+2=0,两式相加,得m+n2-4n=3,∴m+ (n-2)2=m+n2-4n+4=3+4=7. 24 3 【解析】∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有两个不相等的实数根,∴Δ=(2m)2-4(m2- m+2)=4m-8>0,解得m>2.∵x+x=-2m,xx=m2-m+2,x+x+x·x=2,∴-2m+m2-m+2=2,解得m=3,m=0(不 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 合题意,舍去),∴m=3. 要点归纳 ◀ ◀ ◀ 一元二次方程根的情况与根的判别式的关系 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式为b2-4ac,通常用“Δ”表示. 方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数 Δ>0 根. 方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数 Δ=0 根. 方程ax2+bx+c=0没有实数根. Δ<0 25 6 1 【解析】∵一元二次方程2x2-4x-1=0的两根为m,n,∴ m+n= 2 , mn=- (提示:一元二次方程根与系数的关系), 2 1 2m2-4m=1,∴3m2-4m+n2=2m2-4m+m2+n2=m2+n2+1=(m+n)2-2mn+1=22-2×(- )+1=6. 2 知识积累 ◀ ◀ ◀ 一元二次方程根与系数的关系 b c 若x,x 是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根,则x+x=- ,x·x= . 1 2 1 2 a 1 2 a 26 (1)证明:Δ=[-(m+2)]2-4×1×(m-1)=m2+8. ∵无论m取何值,都有m2+8>0, ∴无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根. (2)∵x,x 是方程x2-(m+2)x+m-1=0的两个实数根, 1 2 ∴x+x=m+2,xx=m-1, 1 2 1 2 ∴x2 +x2 -xx=(x +x )2 -3xx=(m+2)2-3(m-1)=9, 1 2 1 2 1 2 1 2 整理,得m2+m-2=0, 解得m=1,m=-2, 1 2 ∴m的值为1或-2. 高分技法 ◀ ◀ ◀ 利用根与系数的关系求代数式值的方法 求与一元二次方程的两根有关的代数式的值时,一般利用恒等变形将代数式转化为含x+x,xx 的形式,再结 1 2 1 2 合根与系数的关系进行求解.几种常用变形如下:①x 1 2 +x 2 2 =(x 1 +x 2 )2-2x 1 x 2 . ②(x 1 -x 2 )2=(x 1 +x 2 )2-4x 1 x 2 . ③(x 1 +1)(x 2 +1)=x 1 x 2 +(x 1 +x 2 )+1. 1 1 x +x 1 2 ④ + = . x x x x 1 2 1 2 x x x2+x2 (x +x )2-2x x 1 2 1 2 1 2 1 2 ⑤ + = = . x x x x x x 2 1 1 2 1 2 ⑥|x 1 -x 2 |=√(x 1 -x 2 )2 =√(x 1 +x 2 )2-4x 1 x 2 . 27 (1)p 1 1 1 x +x p 1 2 (2) + = = =p. x x x x 1 1 2 1 2 ∵x 是方程x2-px+1=0的根, 1 ∴x 2 -px+1=0. 1 1 易知x≠0, 1 1 1 ∴x-p+ =0,∴x+ =p. 1 x 1 x 1 1 (3)x2+x2=(x+x)2-2xx=p2-2=2p+1, 1 2 1 2 1 2 整理,得p2-2p-3=0, 解得p=-1,p=3. 1 2 ∵方程x2-px+1=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=(-p)2-4>0,∴p2>4, ∴p=3. 28 B 29 200(1+x)2=401 要点归纳 ◀ ◀ ◀ 解决增长、降低率问题的方法 设a为原来的量,当m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量时,a(1+m)n=b;当m为平均下降率,n 为下降次数,b为下降后的量时,a(1-m)n=b. 30 10% 【解析】设该公司这两年缴税的年平均增长率为x,由题意得40(1+x)2=48.4,解得 x=0.1=10%,x=-2.1(不符合题意,舍去). 1 2 1 1 31 C 设BC的长为x m,则CD的长为 (10-x+1)m,根据题意,得 (10-x+1)x=15,解得x=5,x=6(不合题 2 2 1 2 意,舍去),∴BC=5 m,故选C. 32 设AB=x m,则BC=70-2x+2=(72-2x)(m). (1)根据题意,得x(72-2x)=640, 化简,得x2-36x+320=0,解得x=16,x=20. 1 2 当x=16时,72-2x=72-32=40; 当x=20时,72-2x=72-40=32. 答:当羊圈的长为40 m,宽为16 m或长为32 m,宽为20 m时,能围成一个面积为640 m2的羊圈. (2)不能. 理由:令x(72-2x)=650. 化简,得x2-36x+325=0. ∵Δ=(-36)2-4×325=-4<0, ∴该一元二次方程没有实数根, ∴羊圈的面积不能达到650 m2. 33 (1)设豆沙粽的单价为x元,则肉粽的单价为2x元, 由题意,得10x+12×2x=136, 解得x=4,则2x=8, 答:豆沙粽的单价为4元,肉粽的单价为8元. (2)①设豆沙粽优惠后的单价为a元,肉粽优惠后的单价为b元, {20a+30b=270, {a=3, 列方程组,得 解得 30a+20b=230, b=7. 答:豆沙粽优惠后的单价为3元,肉粽优惠后的单价为7元. ②[3m+(40-m)×7]×(80-4m)+[3×(40-m)+7m]×(4m+8)=17 280, 解得m=19或m=10. 1 40 ∵m≤ (40-m),∴m≤ , 2 3 ∴m=10. 考点8不等式(组)及其应用 1 D 2 D 3 A 4 A ∵x+1≥2,∴x≥1.故选A. 绝不跳坑 ◀ ◀ ◀ 在数轴上表示解集时,实心点表示解集中含该点数值,空心圈表示解集中不含该点数值. 5 D 7 6 A ∵5x-1<6,∴x< .四个选项中的数,只有1符合,故选A. 5 7 A 8 D 解不等式2x+1>x+2,得x>1,解不等式x+3≥2x-1,得x≤4,故不等式组的解集为12√7(答案不唯一) x+1 2−x 13 -1≤ , 3 2 2(x+1)-6≤3(2-x), 2x+2-6≤6-3x, 2x+3x≤6+6-2, 5x≤10, x≤2. 将不等式的解集在数轴上表示如下.14 (Ⅰ)x≤1 (Ⅱ)x≥-3 (Ⅲ) (Ⅳ)-3≤x≤1 15 解不等式①,得x≥-2; 解不等式②,得x<9. 故不等式组的解集为-2≤x<9. {3(x-1)<4+2x,① 16 x-9 <2x.② 5 解不等式①,得x<7, 解不等式②,得x>-1, 故不等式组的解集为-10,解 2 2 得m<1,∴m的值可以是0. 20 2或-1 {2x+1>x+a,① 【解析】 x 5 由①得x>a-1,由②得x≤5,∴不等式组的解集为a-1 . 2 1 ∴原不等式组的解集为 2①, 24 B 解不等式①,得x>2+a,解不等式②,得x5且a为整数) 26 - ≤a<0 2 27 16 4x-1 a-2 a-2 【解析】解 0,b<0,∴选项A中的结论正确,kb<0,∴选项B中 的结论正确. ∵一次函数y=kx+b的图象经过点(2,0),∴2k+b=0,则b=-2k,∴k+b=k-2k=-k<0,故选项C中 1 的结论错误.∵b=-2k,∴k=- b,故选项D中的结论正确. 2 12 D13 B 在正比例函数y=3x中,∵3>0,∴y随x的增大而增大.又x0,即m>-1时,y随x的增大而增大,∴当x=5时,y=6,即 5(m+1)+m2+1=6,整理,得m2+5m=0,解得m=0,m=-5(舍去).②当m+1<0,即m<-1时,y随x的增大而减 1 2 小,∴当x=2时,y=6,即2(m+1)+m2+1=6,整理,得m2+2m-3=0,解得m=-3,m=1(舍去).综上,m=0或m=-3, 1 2 故选A. 16 -2(答案不唯一,满足y<0即可) 17 1(答案不唯一) 18 (1)将(2,1)代入y=-kx+3,得-2k+3=1, 解得k=1. 将(2,1)代入y=x+b, 得2+b=1,解得b=-1. (2)m≥1. 解法提示:当m=1时,如图,易知直线y=x与直线y=x-1平行,且当x>2时,x>x-1,且x>-x+3. 将直线y=x绕点O逆时针旋转,旋转角小于45°,在此期间,旋转得到的直线对应的函数满足题意. 综上可知,m的取值范围为m≥1. 5 3 19 (1)把A(2,m)代入y=2x- ,得m= . 2 2 { 3 { 3 3 2k+b= , k=− , 设直线AB的函数表达式为y=kx+b,把A(2, ), B(0,3)的坐标分别代入得 2 解得 4 2 b=3, b=3, 3 ∴直线AB的函数表达式为y=- x+3. 4 5 (2)∵点P(t,y)在线段AB上,点Q(t-1,y)在直线y=2x- 上, 1 2 2 3 5 9 ∴y=- t+3(0≤t≤2),y=2(t-1)- =2t- , 1 4 2 2 2 3 9 11 15 ∴y-y=- t+3-(2t- )=- t+ . 1 2 4 2 4 2 11 ∵- <0,∴y-y 的值随t的值的增大而减小, 4 1 2 15 ∴当t=0时,y-y 取得最大值,为 . 1 2 2 20 A 21 5 【解析】平移后的直线的解析式为y=x+3,将(2,m)代入,得m=2+3=5. 22 y=√3x-√3【解析】设直线l 与y轴的交点为B,易得OA=OB=1.又∠AOB=90°,∴∠OAB=∠OBA=45°.设直线l 与y 1 2 轴的交点为C,易知∠OAC=60°,∴OC=OA·tan∠OAC=√3OA=√3,∴C(0,-√3).设直线l 的函数表达式为 2 {0=k+b, { k=√3, y=kx+b,将A(1,0),C(0,-√3)分别代入,得 解得 ∴直线l 的函数表达式为y=√3x- -√3=b, b=−√3, 2 √3. 23 B 24 D 25 x=-2 【解析】∵OA=2,∴A(-2,0).∵一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A,∴-2k+b=0,∴关于x的方程 kx+b=0的解为x=-2. 3 26 B ∵点B在直线y= x上,点B的横坐标是8,∴B(8,6),∴BO=10,∴BC=10.又∵BC∥x轴,∴C(-2,6). 4 1 27 C 易得S= ×30×20=300.由A(0,30),O(0,0)可得OA边上的格点为(0,0),(0,1),(0,2),…,(0,30),共31个; 2 1 由点B(20,10),O(0,0)易得直线OB的解析式为y= x,∴OB边上的格点为(2,1),(4,2),(6, 3),(8,4),(10,5), 2 (12,6),(14, 7),(16,8),(18,9),(20, 10),共10个;由点B(20,10),A(0,30)易得直线AB的解析式为y=-x+30,∴AB 1 边上的格点为(1,29),(2,28),(3,27),(4,26),…,(19,11),共19个,∴L=31+10+19=60.∴300=N+ ×60- 2 1,∴N=271. 好题评析 ◀ ◀ ◀ 本题虽然是求△AOB内部格点的个数,但结合皮克定理之后,实际是求△AOB边界上的格点个数,考查了学生转 化问题的能力,考法也比较新颖. 28 9 29 (-3,1) 考点11一次函数的实际应用 1 A 设 y 与 x 之间的关系式为 y=kx+b (提示:待定系数法),将(6,45.5),(10,75.5)分别代入,得 {6k+b=45.5, {k=7.5, 解得 故y与x之间的关系式为y=7.5x+0.5.故选A. 10k+b=75.5, b=0.5, 本题可选用特殊值法.例如将(10,75.5)依次代入各选项中的关系式进行验证,可知选A. 2 A 3 B 由题图可得,小桌的长是小桌宽的两倍,则小桌的长为2x,∴y=x+x+2x=4x.故选B. 4 250100 60 【解析】如图,设A(a,100),B(a,160),由此易得直线OP的解析式为s= t,直线BP的解析式为s= a a 100 60 5 100 t+100,令 t= t+100,解得t= a,代入s= t,得s=250,故P点的纵坐标为250. a a 2 a 5 A 根据函数图象可得A,B两地之间的距离为20 km,乙车中途休息了1 h,4 h时,两车同时到达C地, 40+20 故选项D不正确.易知甲车的速度为 =60(km/h),∴A,C两地的距离为4×60=240(km),故选项B,C 1 8 8 均不正确.设x h时两辆车相遇,依题意,得60(x-2)=40,解得x= ,故甲车行驶 h与乙车相遇.故选项A 3 3 正确. 6 (1)设y与x之间的关系式为y=kx+b, 将(0,80),(150,50)分别代入y=kx+b, { 80=b, 得 50=150k+b, { b=80, 解得 k=−0.2, ∴y与x之间的关系式为y=-0.2x+80. (2)当x=240时,y=-0.2×240+80=32, 32 ×100%=32%. 100 答:该车的剩余电量占“满电量”的32%. 7 (1)∵O(0,0),A(5,1 000), ∴OA所在直线的表达式为y=200x. (2)设BC所在直线的表达式为y=kx+b. ∵B(0,1 000),C(10,0), {1000=0+b, {k=−100, ∴ 解得 0=10k+b, b=1000, ∴y=-100x+1 000. 10 甲、乙两机器人相遇时,200x=-100x+1 000,解得x= , 3 10 ∴出发后甲机器人行走 分钟,与乙机器人相遇. 3 (3)设甲机器人行走t分钟时到达P地,则P地与M地间的距离y=200t, 乙机器人(t+1)分钟后到达P地,P地与M地间的距离 y=-100(t+1)+1 000, 由200t=-100(t+1)+1 000,解得t=3, ∴y=600. 答:P,M两地间的距离为600米. 对于第(2)(3)问,也可通过计算甲、乙的速度解题,方法如下: (2)设甲、乙两机器人的速度分别是v ,v . 甲 乙 根据图象可知v =1 000÷5=200(米/分),v =1 000÷10=100(米/分), 甲 乙 10 设甲机器人行走m分钟与乙机器人相遇,则200m+100m=1 000,解得m= , 3 10 ∴出发后甲机器人行走 分钟,与乙机器人相遇. 3(3)设甲机器人行走t分钟后到达P地,则乙行走(t+1)分钟后到达P地. ∵v =200米/分,v =100米/分, 甲 乙 ∴200t+100(t+1)=1 000,解得t=3, 则MP=200t=600. 答:P,M两地间的距离为600米. 8 (Ⅰ)①0.15 0.6 1.5 ②0.075 ③当0≤x≤4时,y=0.15x; 当40,∴W随x的增大而增大,∴当x=60时,W取得最大值,W =5×60+1 500=1 800. 最大 100-60=40. 答:购进A款文创产品60件、B款文创产品40件时,销售完后获得的利润最大,最大利润是1 800元. 11 (1)设A,B两种柑橘礼盒每件的售价分别为a元,b元, { a+20=b, {a=80, 根据题意,得 解得 25a+15b=3500, b=100. 答:A,B两种柑橘礼盒每件的售价分别为80元,100元. (2)设售出A种柑橘礼盒x盒,则售出B种柑橘礼盒(1 000-x)盒, { x≤1.5(1000−x), 根据题意,得 50x+60(1000−x)≤54050, 解得595≤x≤600. 设收益为y元, 根据题意,得y=(80-50)x+(100-60)(1 000-x)=-10x+40 000. ∵-10<0,∴y随x的增大而减小, ∴当x=595时,y取得最大值,最大值为-10×595+40 000=34 050, 此时1 000-595=405(盒). 答:要使农户收益最大,销售方案为售出A种柑橘礼盒595盒,售出B种柑橘礼盒405盒,最大收益为34 050元. 12 (1)设A种花卉的单价为x元,B种花卉的单价为y元, {2x+3 y=21, 由题意,得 4x+5 y=37, {x=3, 解得 y=5. 答:A种花卉的单价为3元,B种花卉的单价为5元. (2)设采购A种花卉m株,则采购B种花卉(10 000-m)株,总费用为W元, 由题意得W=3m+5(10 000-m)=-2m+50 000. 由题意得m≤4(10 000-m), 解得m≤8 000. 在W=-2m+50 000中, ∵-2<0, ∴W随m的增大而减小, ∴当m=8 000时,W的值最小, W =-2×8 000+50 000=34 000, 最小 此时10 000-m=2 000. 答:当购进A种花卉8 000株,B种花卉2 000株时,总费用最少,最少总费用为34 000元. 13 (1)设选用A种食品x包,B种食品y包. {700x+900 y=4600, 根据题意,得 10x+15 y=70. {x=4, 解得 y=2. 答:选用A种食品4包,B种食品2包. (2)设选用A种食品a包,则选用B种食品(7-a)包, 根据题意,得10a+15(7-a)≥90. ∴a≤3. 设总热量为w kJ,则w=700a+900(7-a)=-200a+6 300. ∵-200<0, ∴w随a的增大而减小, ∴当a=3时,w最小,∴7-a=7-3=4. 答:应选用A种食品3包,B种食品4包. 14 (1)A B (2)y =0.8x. A { x(0≤x<100), y = B x-30(100≤x<200). 当100≤x<200时,列方程,得0.8x=x-30,解得x=150. 综上,当0≤x<100时,选择A超市更省钱; 当100≤x<150时,选择B超市更省钱; 当x=150时,选择A,B超市费用一样; 当1501 200). (3)∵400×2.67+(1 200-400)×3.15=3 588<3 855, ∴甲户该年的用气量达到了第三阶梯. 由(2)知,当y=3 855时,3.63x-768=3 855,解得x≈1 273.6. 又∵2.67×(100+400)+3.15×(1 200+200-500)=4 170>3 855, 且2.67×(100+400)=1 335<3 855, ∴乙户该年的用气量达到第二阶梯,但未达到第三阶梯. 设乙户年用气量为a m3,则有2.67×500+3.15(a-500)=3 855,解得a=1 300.0. ∴1 300.0-1 273.6=26.4≈26(m3). 答:该年乙户比甲户多用约26立方米的燃气. 16 (1)如图所示. (2)分析可知,x每增加1,y就增加7,故此函数是一次函数,故选择y=ax+b. 将(23,156),(24,163)分别代入, {23a+b=156, { a=7, 得 解得 24a+b=163, b=−5, ∴y=7x-5. 故这个函数的解析式为y=7x-5. (3)将x=25.8代入y=7x-5,得y=175.6, 故估计这个人的身高为175.6 cm.考点12反比例函数的图象与性质、实际应用 1 B 2 A 3 5 4 0 k k k k k 【解析】∵函数y= (k≠0)的图象经过点(3,y)和(-3,y),∴y= ,y=- ,∴y+y= - =0. x 1 2 1 3 2 3 1 2 3 3 5 < 5 5 5 【解析】∵点A(-2,y)和点B(m,y)均在反比例函数y=- 的图象上,∴y= ,y=- 1 2 x 1 2 2 m 5 .∵00,∴图象位于第一、 A ✕ 三象限. 因x≠0,y≠0,故图象与坐标 B ✕ 轴无公共点. 图象所在的每一个象限 C √ 内,y随x的增大而减小. 图象过点(a,a+2),则 D ✕ a(a+2)=3,解得a=1或a=-3. 7 A 方法一:将点M,N的大致位置标注如图,易知y<00,∴k<4. 1 2 1 2 x 5 9 B ∵5>0,∴反比例函数y= 的图象位于第一、三象限,且在每个象限内y随x的增大而减小.∵点 x 5 B(x,1),C(x,5)在第一象限反比例函数y= 的图象上,1<5,∴x>x>0.∵点A(x,-1)在第三象限反比例函数 2 3 x 2 3 1 5 y= 的图象上,∴x<0,∴x0,∴k>1,∴点(k,-3)在第四象限. x 12 1(答案不唯一,满足k>0即可) 13 C 14 6(答案不唯一,满足3≤k≤9且k为整数即可) k k 【解析】当点A(3,3)在反比例函数y= 的图象上时,k=9;当点B(3,1)在反比例函数y= 的图象上时, x x k=3,故k的取值范围是3≤k≤9且k为整数. 好题评析 ◀ ◀ ◀ 此题考查了反比例函数图象与线段的交点问题,找出线段上的两个关键点,并将关键点的坐标代入反比例函 数解析式,继而可得到k的取值范围.此题难易适中,考查的知识既基础又核心,结果的不唯一导致的开放性,是 这道题的亮点. k k 15 (1)把(1,3)代入y= ,得3= , x 1 ∴k=3, 3 ∴反比例函数的表达式为y= . x (2)方法一:∵k=3, ∴a=-1,b=3,c=1, ∴a0, ∴函数图象位于第一、三象限. ∵点(-3,a),(1,b),(3,c)都在反比例函数的图象上,-3<0<1<3, ∴a<00), R 将(9,4)代入,得k=9×4=36, 36 ∴这个反比例函数的解析式为I= (R>0). R 36 (2)由(1)知I= (R>0),当R=3时,I=12, R 即当电阻为3 Ω时,电流为12 A. 33 B 过点A作BC的垂线,垂足为点D,设BC与y轴交于点E,如图.在等腰三角形ABC中,AD⊥BC,D k k k 是BC的中点,设A(a, )(a>0),B(b, )(b<0).∵AB=AC,∴BD=DC=a-b,∴C(2a-b, ).∵AC的中点为M,∴ M ( a b b 3a-b k(a+b) 3a-b k(a+b) , )(点拨:中点坐标公式).∵点M在反比例函数图象上,∴ · 2 2ab 2 2ab AN DE a 1 =k,∴b=-3a(b=a不合题意,已舍去).由题可知,AD∥NE,∴ = = = .故选B. AB BD a-b 4 34 A k 35 (1)∵反比例函数y= (x>0)的图象经过点A(3,2), xk ∴2= , 3 ∴k=6, 6 ∴这个反比例函数的表达式为y= . x (2)作图如图所示. 9 (3) 2 36 (1)根据图象信息,点A的坐标为(-3,2), k 设反比例函数表达式为y= (k≠0), x ∵反比例函数的图象过点A, ∴k=-3×2=-6, 6 ∴反比例函数表达式为y=- . x (2)直线OA经过点A,设直线OA的表达式为y=mx, 将A(-3,2)代入表达式,得2=-3m, 2 解得m=- , 3 2 ∴直线OA的表达式为y=- x. 3 ∵直尺为矩形, ∴OA∥BC. 由图象可知,直线OA向上平移三个单位长度得到直线BC, 2 ∴直线BC的表达式为y=- x+3, 3 2 6 3 令- x+3=- ,∴x=- (不符合题意的值已舍去), 3 x 2 3 ∴C(- ,4). 2 k 37 A 将x=3代入y=2-x中,得y=-1.将(3,-1)代入 y= 中,得k=3×(-1)=-3. x 38 A 39 C 40 C 反比例函数与正比例函数的图象均关于坐标原点中心对称,若有交点,一定是两个,且这两个点 关于原点对称,故结论①正确.AC⊥x轴,则AC∥y轴.又∵AO=BO,∴ DB=DC , 即点 D 是 BC 的中点 (依据:平 行线分线段成比例),故结论②正确.当点P,Q在同一象限内时,若y>y,则x1. 2 7 解法提示:由表格信息可得两函数的交点坐标分别为(- ,-2),(1,7),画出两函数的大致图象如图所示, 2 k 7 由图象可知,当函数y=2x+b的图象在函数y= 的图象上方时,x的取值范围为- 1. x 2 43 (1)∵一次函数y=x+m的图象经过点A(-3,0), ∴-3+m=0,∴m=3,∴y=x+3. 将(n,4)代入y=x+3,得n=1, ∴B(1,4),∴k=1×4=4. (2)a>1. 44 (1)∵将函数y=ax的图象向上平移3个单位长度,得到一次函数y=ax+b的图象, ∴b=3,∴y=ax+3. k ∵y=ax+3与y= (x>0)的图象交于点A(2,4), x 1 1 ∴2a+3=4,解得a= .故一次函数的表达式为y= x+3. 2 2 k 8 =4,解得k=8.故反比例函数的表达式为y= . 2 x (2)由已知可得点C,点D的纵坐标都等于2.1 当y=2时, x+3=2,解得x=-2,∴C(-2,2), 2 8 当y=2时, =2,解得x=4,∴D(4,2), x ∴CD=CB+BD=2+4=6. 如图,过点A作AM⊥x轴于点N,交CD于点M, ∴AM=AN-MN=4-2=2, 1 1 ∴S = CD·AM= ×6×2=6. △ACD 2 2 45 (1)∵点A(0,-2),B(-1,0)在直线y=kx+b上, {0+b=−2, ∴ -k+b=0, {k=−2, 解得 ∴直线的解析式为y=-2x-2. b=−2, ∵点C(a,2)在直线y=-2x-2上, ∴a=-2,即点C(-2,2). m ∵双曲线y= (x<0)过点C(-2,2),∴m=-4, x 4 ∴双曲线解析式为y=- (x<0). x (2)点P的坐标为(-4,0),(-1,0),(1,0)或(4,0). 解法提示:易知OA=2,BD=1,CD=2,∠CDB=∠AOP=90°. 当以O,A,P为顶点的三角形与△BCD相似时,分两种情况进行讨论: AO OP AO CD ①当△AOP∽△CDB时, = ,∴ = =2, CD DB OP DB 1 ∴OP= OA=1,∴P(1,0)或P(-1,0). 2 OP OA OP DC ②当△POA∽△CDB时, = ,∴ = =2, DC DB OA DB ∴OP=2OA=4,∴P(4,0)或P(-4,0). 综上,点P的坐标为(-4,0),(-1,0),(1,0)或(4,0). 考点13反比例函数与其他知识的综合 k 1 (1)∵点A(√3,1)在反比例函数y= 的图象上, x ∴k=√3×1=√3. (2)如图,连接AC交OD于点G.∵四边形AOCD为菱形, ∴AC⊥OD,∠AOC=2∠AOG. ∵点A的坐标为(√3,1), ∴OG=√3,AG=1, ∴OA=√OG2+AG2=√(√3)2+12=2, AG 1 ∴sin∠AOG= = , OA 2 ∴∠AOG=30°, ∴∠AOC=2∠AOG=60°. 综上,扇形AOC的半径为2,圆心角的度数为60°. 2π (3)3√3- . 3 解法提示:设OE,BF交于点N, ∵四边形OBEF是菱形, 1 ∴OE⊥BF,BN=FN,∴S =2S =2× |k|=√3. △OBF △OBN 2 1 又S =2S =2× |k|=√3=S , △OAC △OAG 2 △OBF 60π×22 √3 2π ∴S =S -S =S -(S -S )=√3×2-( - ×22)=3√3- . 阴影 菱形AOCD 弓形AC 菱形AOCD 扇形AOC △AOC 360 4 3 2 (1)如图(1),过点A作AD⊥x轴于点D,过点B作BE⊥x轴于点E,则∠ACD+∠CAD=90°. 在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC, ∴∠ACD+∠BCE=90°, ∴∠CAD=∠BCE. 又∵∠ADC=∠CEB=90°, ∴ △ ACD ≌△ CBE (“一线三直角”模型), ∴AD=CE,CD=BE. ∵C(3,0),B(6,m), ∴AD=CE=3,CD=BE=m, ∴OD=OC-CD=3-m, ∴A(3-m,3),而B(6,m), ∴k=3(3-m)=6m,解得m=1, 即A(2,3),B(6,1), ∴k=2×3=6, 6 ∴反比例函数的表达式为y= . x设直线AB的表达式为y=ax+b, {2a+b=3, 将A(2,3),B(6,1)分别代入,得 6a+b=1, { 1 a=− , 解得 2 b=4, 1 ∴直线AB所对应的一次函数的表达式为y=- x+4. 2 图(1) 图(2) (2)存在点P使△ABP的周长最小. 如图(2),作B(6,1)关于x轴的对称点B'(6,-1),连接AB'交x轴于点P,连接PB,由对称性可知PB=PB', ∴PA+PB=PA+PB'=AB'. 故此时PA+PB的值最小. 易得 AB= 2 √5 , AB'= 4 √2(提示:利用两点间距离公式计算), 故此时PA+PB+AB的值也最小. ∴△ABP周长的最小值为PA+PB+AB=AB'+AB=4√2+2√5. 3 (1)∵A(-2,0),C(6,0),∴AC=8. 又∵AC=BC,∴BC=8. ∵∠ACB=90°,∴B(6,8). 设直线AB的函数表达式为y=ax+b, 将A(-2,0),B(6,8)代入y=ax+b, {-2a+b=0, {a=1, 得 解得 6a+b=8, b=2, ∴直线AB的函数表达式为y=x+2. 将D(m,4)代入y=x+2,得m=2. ∴D(2,4). k 将D(2,4)代入y= ,得k=8. x (2)如图,延长NP交y轴于点Q,交AB于点L. ∵AC=BC,∠BCA=90°,∴∠BAC=45°. ∵PN∥x轴,∴∠BLN=∠BAC=45°,∠NQM=90°. ∵AB∥MP,∴∠MPL=∠BLP=45°, ∴∠QMP=∠QPM=45°,∴QM=QP. 8 设点P的坐标为(t, )(20), t 6 6 把y=- 代入y=-x-5,得x= -5, t t 6 6 ∴M( -5,- ), t t 6 ∴MQ=| -5-t|, t 1 1 6 ∴S = ×MQ×(y -y )=21,即 ×| -5-t|×7=21, △QAB 2 A B 2 t 6 6 ∴ -5-t=6或 -5-t=-6. t t 6 -11+√145 -11-√145 当 -5-t=6时,解得t= ,t= (舍去); t 1 2 2 2 6 当 -5-t=-6时,解得t=-2(舍去),t=3, t 3 4 -11+√145 11+√145 ∴点Q的坐标为(3,-2)或( ,- ). 2 2m 6 (1)∵一次函数y=kx+b与反比例函数y= (x>0)的图象交于点A(1,6),B(n,2), x m ∴ =6,∴m=6, 1 6 ∴反比例函数的表达式为y= . x 6 6 把B(n,2)代入y= ,得2= ,∴n=3, x n ∴B(3,2). {k+b=6, 把A(1,6),B(3,2)分别代入y=kx+b,得 3k+b=2, {k=−2, 解得 b=8, ∴一次函数的表达式为y=-2x+8. (2)点P的坐标为(0,5). 解法提示:如图,作点A关于y轴的对称点A',连接A'B交y轴于点P,则此时△PAB的周长最小. ∵A(1,6),∴A'(-1,6). 设直线BA'的表达式为y=ex+c. 将B(3,2),A'(-1,6)分别代入,得 {-e+c=6, 3e+c=2, {e=−1, 解得 c=5, ∴直线BA'的表达式为y=-x+5. 当x=0时,y=5, ∴点P的坐标为(0,5). (3)∵直线AB的表达式为y=-2x+8, ∴由平移可知直线EF的表达式为y=-2x+8-a, 8−a ∴E( ,0),F(0,8-a). 21 ∵EF= AB, 2 √ 8−a 1 ∴ ( )2+(8-a)2= ×√(1-3)2+(6-2)2, 2 2 整理,得(8-a)2=4, 解得a=6或a=10. k 7 (1) 将点 A 的坐标代入反比例函数的表达式 (点拨:待定系数法),得4= , 1 ∴k=4, 4 ∴反比例函数的表达式为y= . x 4 将点B的坐标代入反比例函数的表达式,得n= =-4, -1 ∴B(-4,-1). 将点A,B的坐标分别代入一次函数表达式, { a+b=4, {a=1, 得 解得 -4a+b=−1, b=3, 则一次函数表达式为y=x+3. (2)00),则D(-d,0). 若△BAE∽△BDA,如图(2),图(2) BE AB 则 = ,∴AB2=BE·BD, BA DB ∴(4√2)2=(6-d)(6+d), 解得d=2,d=-2(舍去). 1 2 由A(2,4),D(-2,0),得直线AD的解析式为y=x+2. k 令 =x+2,整理,得x2+2x-k=0, x 由题意可知,关于x的方程x2+2x-k=0有两个相等的实数根, ∴4+4k=0,解得k=-1. 由题意可知,△ABD∽△ABE不存在, 故满足条件的k的值为-1. 10 (1)当x=0时,y=-x+5=5,∴A(0,5). 将(a,4)代入y=-x+5,得4=-a+5, 解得a=1, ∴B(1,4). k 将(1,4)代入y= , x 得k=4, 4 ∴反比例函数的表达式为y= . x (2)∵A(0,5),B(1,4), ∴AB=√12+12=√2. ∵S =5,AB⊥l,点C在l上, △ABC 1 ∴ BC×√2=5, 2 ∴BC=5√2,∴BC2=50. ∵AB⊥l,直线AB的表达式为y=-x+5, ∴可设直线l的表达式为y=x+d, 将(1,4)代入,得4=1+d,解得d=3, 故直线l的表达式为y=x+3. 设点C(m,m+3),则BC2=(m-1)2+(m+3-4)2=50, 解得m=-4或m=6, ∴点C的坐标为(6,9)或(-4,-1). (3)∵△PAB,△PDE是以点P为位似中心的位似图形, ∴点P,B,E和点P,A,D分别共线,且AB∥DE.4 如图,过点E作ED∥AB,交反比例函数y= 的图象于点D,交y轴于点F,连接AD交直线l于点P,则点P x 即为所求的位似中心. 4 ∵反比例函数y= 的图象关于直线y=-x对称,直线AB,ED均与直线y=-x平行, x ∴直线AB,ED关于直线y=-x对称, ∴F(0,-5), ∴直线ED的表达式为y=-x-5. 4 令-x-5= ,解得x=-1,x=-4, x 1 2 ∴D(-1,-4),E(-4,-1). 由A(0,5),D(-1,-4),可求得直线AD的表达式为y=9x+5. { y=x+3, 联立直线AD,l的表达式,得 y=9x+5, 1 {x=− , 4 解得 11 y= , 4 1 11 ∴P(- , ). 4 4 ∵AB=√2,DE=√32+32=3√2, 3√2 ∴m= =3. √2 考点14二次函数的图象与性质 1 D 2 A 将x=0,1,2分别代入y=x2,得y=0,y=1,y=4,∴y>y>y. 1 2 3 3 2 1 易知抛物线y=x2关于y轴对称,且开口向上,∴当x≥0时,y随x 的增大而增大.∵0<1<2,∴y>y>y. 3 2 1 3 C 易知该二次函数的图象的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-3).∵a=-3<0,∴抛物线开口向下,故该 函数的最大值为-3,没有最小值.故选C. 4 B 由题意得y=(x+1)􀱋2=(x+1+2×2)(x+1-2)=(x+5)(x-1)=x2+4x-5=(x+2)2-9,∴当x=-2时,函数 y=(x+1)􀱋2取得最小值-9.故选B.5 B 如图,分别过点A,C作y轴的垂线,垂足分别为点M,N,易知A(m,-m2+4),C(n,-n2+4),∴AM=m,MO=- m2+4,CN=n,NO=-n2+4.易证△CDN≌△DAM,∴DM=CN=n,DN=AM=m,∴MN=DM+DN=m+n.又MN=NO- MO=m2-n2,∴m2-n2=m+n,即(m+n)(m-n)=m+n.∵m>n>0,∴m+n≠0,∴m-n=1. k 6 D 由题意可知,x,x 是关于x的方程kx=ax2-a的两个根,整理方程,可得ax2-kx-a=0,∴x+x= .又 1 2 1 2 a k ∵x+x<0,∴ <0.当a>0,k<0时,直线y=ax+k经过第一、三、四象限;当a<0,k>0时,直线y=ax+k经过 1 2 a 第一、二、四象限.综上,直线y=ax+k一定经过第一、四象限.故选D. 7 D ∵二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标为(-1,4),∴二次函数图象的对称轴是直线x=-1,故A错误. -3+m 设二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点的横坐标是m,则 =-1,∴m=1,故B错误.观察 2 函数图象可知当x<-1时,y随x的增大而增大,故C错误.设二次函数的解析式为y=a(x+1)2+4,把(-3,0)代 入,得0=a(-3+1)2+4,解得a=-1,∴y=-(x+1)2+4,当x=0时,y=-(0+1)2+4=3,∴二次函数图象与y轴的交点的 纵坐标是3.故选D. 8 B 如图,设直线y=m与抛物线y=x2+2x-3交于A,B两点,直线y=n与抛物线y=x2+2x-3交于C,D两点. ∵m>n>0,关于x的方程x2+2x-3-m=0的解为x,x(x1时,y随x的增大而减小.∵函数图象开口向下且经过原点, 顶点坐标为(1,1),∴图象经过第一、三、四象限.故选D. 1 10 m≤ 11 y=-x2+1(答案不唯一) 8 12 4 {0=9a+3b+3, {a=−1, 【解析】把(3,0),(2,3)分别代入y=ax2+bx+3,得 解得 ∴y=-x2+2x+3.令y=0, 3=4a+2b+3, b=2, 得0=-x2+2x+3,解得x=-1或x=3,∴A(-1,0),∴AB=3-(-1)=4. 3 13 - 5 { a+b+c=−m, 【解析】把B(1,-m),D(3,-m),A(0,m)分别代入y=ax2+bx+c(a≠0),得 9a+3b+c=−m,解得 c=m, 2 { a= m, 3 2 8 2 8 2 8 5 8 ∴y= mx2- mx+m.把C(2,n)代入y= mx2- mx+m,得n= m×22- m×2+m,∴n=- m,∴ b=− m, 3 3 3 3 3 3 3 3 c=m, m m 3 = 5 =- . n - m 5 3 14 -11,此时n不存在.当点A在对称轴右侧,点B在对 称轴左侧时,2n+3>1,n-1<1,此时-12n+3-1,∴n<0,∴-10, ∴抛物线开口向上, ∴抛物线上离对称轴越远的点纵坐标越大. 又∵y0时,如图(1).图(1) ∵y4,解得a<-4. 综上可知,a的取值范围为00) 式 y=ax2+ 向左 y=a(x+n)2+b(x+n)+c bx+c 向右 y=a(x-n)2+b(x-n)+c向上 y=ax2+bx+c+n 向下 y=ax2+bx+c-n 19 k≥3 20 < b 21 D ∵抛物线开口向下,∴a<0.∵抛物线的对称轴在y轴右侧,∴- >0,∴b>0,∴直线y=x+b经过第一、 2a 二、三象限,不经过第四象限.故选D. 22 C 根据题意,画出抛物线的草图如图所示,可知c>0,抛物线开口向上,且与x轴有两个交点,∴a>0,b2- 4ac>0.故选项A,B,D中的结论错误.将(-1,-2)代入y=ax2+bx+c,得a-b+c=-2,故选项C中结论正确. -2n+4>0, { n-1 23 C 由图象可得 - >0, 解得-10, 24 A 由反比例函数的图象可知k>1,∴k-1>0,故函数y=x2-bx+k-1的图象与y轴交于正半轴,由此排除 选项B,C.观察选项A,D,可知二者的一个区别在于当x=1时y值的正负,此时y=1-b+k-1=k-b.由题图可 知,当x=1时,反比例函数与一次函数的函数值相等,即k=-1+b,∴k-b=-1,∴对于函数y=x2-bx+k-1,当x=1 时,y=-1.故选A. 解题突破 ◀ ◀ ◀ 对于此类在平面直角坐标系中判断函数图象的问题,通常用排除法可快速解题,入手点为函数图象与坐标轴 交点的位置、函数图象所在(或经过)的象限等. 25 B 逐项分析如下,故选B. 序 分析 正误 号 ∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为 b ① 直线x=1,∴- √ 2a =1,∴b=-2a,∴2a+b=0. ∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为 直线x=1,且与x轴的一个交点的 横坐标在2和3之间,∴抛物线与x ② ✕ 轴的另一个交点的横坐标在-1和0 之间,∴方程ax2+bx+c=0一定有一 个根在-1和0之间. 易知抛物线y=ax2+bx+c与直线y= 3 3 ③ 有两个交点,∴方程ax2+bx+c- √ 2 2 =0一定有两个不相等的实数根. ∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另 ④ ✕ 一个交点的横坐标在-1和0之间,且抛物线开口向下,∴当x=-1 时,y<0,即a-b+c<0.∵抛物线与y轴 交点的纵坐标是2,∴c=2,∴a- b+2<0,∴b-a>2. 26 B 分析如下: 正 分析 误 只知抛物线的顶点为(1,2),a<0, 所以b>0,但不能确定c的取值 范围,如图: ① ✕ 当x>1时,即在对称轴右侧,y随 ② √ x的增大而减小. 若ax2+bx+c=0的一个根为3,则 另一根为-1,故抛物线的表达式 ③ 为y=a(x-3)(x+1),将(1,2)代入,得 √ 1 2=-4a,解得a=- . 2 抛物线的表达式表示为顶点式, ④ 为y=a(x-1)2+2,抛物线向左平移 ✕ 1个单位,可得到抛物线y=ax2+2. 27 C ∵抛物线y=ax2+bx+c(a<0)交x轴于点B(1,0),∴a+b+c=0,故结论①正确.∵抛物线 b -3+1 y=ax2+bx+c(a<0)交x轴于点A(-3,0),B(1,0),∴- = 2a 2 =-1,∴b=2a.∵a+b+c=0,∴c=-3a,∴a+3b+2c=a+6a-6a=a.∵a<0,∴a+3b+2c<0,故结论②正确.如图所示,连 接AC,BC.∵抛物线的对称轴为直线x=-1,∴AC≠BC.∵A(-3,0),B(1,0),C(0,c),∴AB=4,OC=c.当AC=AB=4时, 由AC2=OA2+OC2,得42=32+c2,解得c=√7(负值已舍去);当BC=AB=4时,BC2=OB2+OC2,∴42=12+c2,解得 c=√15(负值已舍去).综上,当以点A,B,C为顶点的三角形是等腰三角形时,c=√7或√15,故结论③错误. 4 4 OH 2 OP 2 OH 当c=3时,C(0,3),则OC=3.如图所示,取点 H ( - , 0 ) ,连接PH,则OH= ,∴ = .∵ = ,∴ = 3 3 OP 3 OA 3 OP OP PH OH .又∵∠HOP=∠POA,∴ △ HOP ∽△ POA (依据:两边对应成比例及夹角相等的三角形相似),∴ = = OA AP OP 2 2 2 2 ,∴PH= AP(关键:将 AP进行转化),∴CP+ AP=CP+PH.当C,P,H三点共线时,CP+PH的值最小,即此 3 3 3 3 2 √97 时CP+ AP的值最小,最小值为CH的长.在Rt△CHO中,CH=√OH2+OC2= ,故结论④正确.故 3 3 选C.28 ②③④ b -1+m 【解析】由题意,得 抛物线的对称轴为直线 x=- = (提示:抛物线上纵坐标相等的两个点关于抛 2a 2 1 -1+m 1 b 物线的对称轴对称).∵01,即(-1,1),(m,1)两点之间的距离大于1.又∵a<0,∴x=m-1时,y>1,∴若01,故②中结论正确.∵- <- <0,a=-1, ∴- < <0,∴-1x 时,总有 1 1 2 2 1 2 y- 1 2 1 2 1 x +x 1 1 -1+m 1 1 ,∴ 1 2>- ,∴- < ≤- ,解得00时,抛物线上的点到对称轴的距离越小,对应的函数值越小,如图(1); ②当a<0时,抛物线上的点到对称轴的距离越小,对应的函数值越大,如图(2). 图(1) 图(2) 29 ①②④ 【解析】逐个分析如下: 序 正 分析 号 误 令x2+mx+m=x2+nx+n,∴(m-n)x=n- n-m ① m,∵m≠n,∴x= =-1,当x=-1 √ m-n 时,y=1,∴C 与C 的交点为(-1,1). 1 2 ② 当y=0时,x2+mx+m=0,解得x= √-m±√m2-4m ,∴AB=| 2 -m+√m2-4m - 2 -m-√m2-4m |=√m2-4m.当 2 y=0时,x2+nx+n=0,解得x= -n±√n2-4n ,∴CD=| 2 -n+√n2-4n -n-√n2-4n - | 2 2 =√n2-4n.∵AB=CD,∴√m2-4m =√n2-4n,即m2-4m=n2-4n,∴m2- n2=4m-4n,即(m+n)(m-n)=4(m- n),∵m≠n,∴m+n=4. 易知方程x2+mx+m=0有两个不相 等的实数根,∴Δ=m2-4m>0,∴m<0 ③ 或m>4.由②得m+n=4,∴m=4-n.当 ✕ m<0,即4-n<0时,n>4;当m>4,即4- n>4时,n<0,∴mn<0. -m-√m2-4m 易知A( ,0),D( 2 -n+√n2-4n ,0).∵m=4-n,∴A( 2 -(4-n)-√(4-n)2-4(4-n) 2 ④ -4+n-√n2-4n √ ,0),整理,得A( 2 1 -4+n-√n2-4n ,0),∴ ( + 2 2 -n+√n2-4n )=-1,∴A,D两点关 2 于(-1,0)对称. 综上可知,①②④正确. 30 ①②④ -3+1 【解析】由表格可知, 抛物线的对称轴为直线 x= =- 1 (提示:抛物线上纵坐标相等的两个点关于抛物 2 线的对称轴对称),∴抛物线的顶点坐标为(-1,9),故抛物线的表达式为y=a(x+1)2+9.将(-4,0)代入,得 a=-1,∴y=-(x+1)2+9=-x2-2x+8,∴abc>0,故结论①正确.易知抛物线与直线y=9只有一个交点,∴关于x的 一元二次方程ax2+bx+c=9有两个相等的实数根,故结论②正确.当-4 2 时 , ax 2 +bx+c<-x+ 2 (关键点:通过“数形 结合”判断不等式的解集),即ax2+(b+1)x+c<2,故结论⑤错误.综上所述,正确的结论为①②④.结论②和⑤也可通过以下方法判断:对于方程-x2-2x+8=9,化简,得x2+2x+1=0,解得x=x=-1,∴方程有两个相 1 2 {x+3>0, {x+3<0, 等的实数根,故结论②正确.不等式-x2-x+8<2,即为x2+x-6>0,化简,得(x+3)(x-2)>0,∴ 或 x-2>0 x-2<0, ∴x>2或x<-3,故结论⑤错误. 高分技法 ◀ ◀ ◀ 解有关抛物线与系数a,b,c之间关系问题的一般方法 1.根据抛物线开口方向判断a的符号:开口向上,则a>0;开口向下,则a<0. 2.由a和对称轴的位置判断b的符号:左同右异. 3.由抛物线与y轴的交点判断c的符号:交于正半轴,则c>0;交于负半轴,则c<0;交于原点,则c=0. 4.结合a,b,c 判断ab,ac,bc,abc的符号. 5.由抛物线与x 轴交点的个数判断b2-4ac 与0的关系. 6.特殊式子的判断:看到a+b+c,令x=1,看纵坐标;看到a-b+c,令x=-1,看纵坐标;看到4a+2b+c,令x=2,看纵坐标; 看到4a-2b+c,令x=-2,看纵坐标. b b 7.结合对称轴与直线x=1的位置关系,即- >1或- <1,判断2a+b的符号;结合对称轴与直线x=-1的位置 2a 2a b b 关系,即- >-1或- <-1,判断2a-b的符号. 2a 2a 考点15二次函数的实际应用 1 C 对于h=30t-5t2(0≤t≤6),令h=0,则30t-5t2=0,解得t=0,t=6,∴小球从抛出到落地需要6 s,故①正确. 1 2 ∵h=30t-5t2=-5(t-3)2+45,∴小球运动的最大高度为45 m,∴小球运动中的高度可以是30 m,故②正确.对 于h=30t-5t2(0≤t≤6),当t=2时,h=30×2-5×22=40,当t=5时,h=30×5-5×52=25,∴小球运动2 s时的高度大 于运动5 s时的高度,故③错误.故选C. v 2 (1) 0 10 v 0 (2)根据题意,得当t= 时,h=20, 10 v v ∴-5×( 0)2+v× 0=20, 0 10 10 ∴v=20,即小球被发射时的速度为20 m/s. 0 (3)小明的说法不正确. 理由如下: 由(2),得h=-5t2+20t. 当h=15时,15=-5t2+20t, 解得t=1,t=3. 1 2 ∵3-1=2(s), ∴小明的说法不正确.35 3 3 7 【解析】如图,以点O为原点,OM所在直线为x轴,OP所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则P(0, ), 4 7 7 抛物线的顶点坐标为(5,4).设抛物线的解析式为y=a(x-5)2+4,将P(0, )代入,得 =a(0-5)2+4,解得a=- 4 4 9 9 9 35 5 ,∴抛物线的解析式为y=- (x-5)2+4.当y=0时,- (x-5)2+4=0,解得x= ,x=- (不符合题意, 100 100 100 1 3 2 3 35 舍去),∴OM= m. 3 4 能 【解析】假设DE刚好在点B的正下方,∵CD=4,B(6,2.68),∴OC=6-4=2.对于y=-0.02x2+0.3x+1.6,当x=2 时,y=2.12,∵2.12>1.8,∴货车能完全停到车棚内. 5 (1)由题意可知点A的坐标为(0,10),故可设y与x的函数表达式为y=ax2+bx+10, 易知该抛物线的对称轴为直线x=1,且过点(3,7), { b - =1, {a=−1, 由此可得 2a 解得 b=2, 9a+3b+10=7, ∴y关于x的函数表达式为y=-x2+2x+10. (2)令y=0,得-x2+2x+10=0, 解得x=-√11+1,x=√11+1, 1 2 ∴OB=√11+1. 6 (1)①3 6 {x=1, {x=2, ②方法一:把 7和 分别代入y=ax2+bx, y= y=6 2 { 7 a+b= , 得 2 4a+2b=6. { 1 a=− , 解得 2 b=4, 1 ∴y=- x2+4x. 2 1 1 令 x=- x2+4x, 4 215 解得x=0(舍),x= . 1 2 2 15 1 15 将x= 代入y= x,得y= , 2 4 8 15 15 ∴点A的坐标是( , ). 2 8 方法二:设y=a(x-4)2+8, 将(2,6)代入,得a(2-4)2+8=6, 1 解得a=- , 2 1 ∴y=- (x-4)2+8, 2 1 即y=- x2+4x. 2 1 1 令 x=- x2+4x, 4 2 15 解得x=0(舍),x= . 1 2 2 15 1 15 将x= 代入y= x,得y= , 2 4 8 15 15 ∴点A的坐标是( , ). 2 8 v2 (2)①8(填“ ”亦可) 20 v v2 ②方法一:∵y=-5t2+vt=-5(t- )2+ , 10 20 v2 ∴ =8, 20 ∴v=4√10,v=-4√10. 1 2 v v2 v ∵y=-5t2+vt=-5(t- )2+ 图象的对称轴为直线t= , 10 20 10 v ∴ >0. 10 ∴v>0, ∴v=4√10.(答案写“4√10米/秒”亦可) 方法二:∵y=-5t2+vt图象的顶点纵坐标为8, 4×(−5)×0−v2 ∴ =8, 4×(−5) ∴v=4√10,v=-4√10. 1 2 当v=-4√10时,y=-5t2+vt=-5t2-4√10t. ∵t≥0, ∴y≤0, ∴v=-4√10不成立, ∴v=4√10.(答案写“4√10米/秒”亦可)1 7 探究发现 x=5t,y=- t2+12t. 2 1 问题解决 (1)依题意,得- t2+12t=0, 2 解得t=0(舍),t=24, 1 2 当t=24时,x=120. 答:飞机落到安全线时飞行的水平距离为120 m. 1 1 12 另解:由y=- t2+12t和x=5t,得y=- x2+ x,通过y=0求出x的值. 2 50 5 1 (2)设发射平台相对于安全线的高度为n m,飞机相对于安全线的飞行高度y'=- t2+12t+n. 2 ∵1250, ∴当x=2时,y取最小值,最小值为8, ∴四边形EFGH的面积的最小值为8. 11 答案一:设售价为x万元/吨,每天的销售收入为y万元, 则y=x[100+50(5-x)]=-50x2+350x=-50(x-3.5)2+612.5, ∴当售价为3.5万元/吨时,每天的销售收入最大,最大为612.5万元. 答案二:设售价为x万元/吨,每天的利润为w万元, 则w=(x-2)[100+50(5-x)]=-50x2+450x-700=-50(x-4.5)2+312.5, ∴当售价为4.5万元/吨时,每天的利润最大,最大为312.5万元. 12 (1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b, 将(45,55),(55,45)分别代入, {45k+b=55, {k=−1, 得 解得 55k+b=45, b=100, ∴y与x之间的函数关系式为y=-x+100. (2)这种商品日销售额不能达到2 600元. 理由如下: 设这种商品日销售额为w元,则w=xy=x(-x+100)=-x2+100x=-(x-50)2+2 500, ∴这种商品每件的售价为50元时,日销售额最大,最大值为2 500元, ∴这种商品日销售额不能达到2 600元. 13 (1)设A种客房每间定价为x元,B种客房每间定价为y元, {24x+20 y=7200, 由题意可得 10x+10 y=3200, {x=200, 解得 y=120. 答:A种客房每间定价为200元,B种客房每间定价为120元. (2)设A种客房每间定价为a元, a-200 1 则W=(24- )a=- a2+44a 10 10 1 =- (a-220)2+4 840. 10 1 ∵- <0, 10 ∴当a=220时,W取最大值,W =4 840. 最大值 答:当A种客房每间定价为220元时,A种客房一天的营业额W最大,最大营业额为4 840元. 14 (1)设每件A类特产的售价为m元,则每件B类特产的售价为(132-m)元. 根据题意得3m+5(132-m)=540, 解得m=60. 每件B类特产的售价为132-60=72(元). 答:A类特产的售价为60元/件,B类特产的售价为72元/件. (2)由题意得y=10x+60(0≤x≤10).(3)w=(60-50-x)(10x+60)+100×(72-60) =-10x2+40x+1 800=-10(x-2)2+1 840. ∵-10<0,∴当x=2时,w有最大值1 840. ∴A类特产每件降价2元时,总利润最大,最大总利润为1 840元. 1 7 15 (1)∵( , )为抛物线的顶点, 2 4 1 7 ∴ 可设抛物线的函数解析式为 y =a ( x- ) 2 + (点拨:顶点式). 2 2 4 1 7 将(2,4)代入y=a(x- )2+ , 2 2 4 1 7 得4=a(2- )2+ ,∴a=1, 2 4 1 7 ∴抛物线的函数解析式为y=(x- )2+ . 2 2 4 1 (2)当x= 时,y 最小,最小值为1.75万元. 2 2 1 5 对于y=5x,当x= 时,y= , 1 2 1 2 5 此时y-y= -1.75=0.75. 1 2 2 答:成本最低时,所获利润为0.75万元. (3)设当销售量为x吨时,利润为w万元. 1 7 则w=5x-(x- )2- =-x2+6x-2=-(x-3)2+7. 2 4 ∵0.4≤x≤3.5, ∴x=3时,w取最大值,最大值是7. 答:当销售量为3吨时,可获得最大利润,最大利润是7万元. 考点16二次函数综合题 {4a+2b+1=1, 1 (1)①由题意,得 a-b+1=4, { a=1, 解得 b=−2, 所以y=x2- 2x+1. ②答案不唯一,如x<1. (2)因为二次函数的图象经过点(0,1),(2,1), 所以二次函数的图象的对称轴是直线x=1, 所以b=-2a. 所以 m=p=a-b+ 1 = 3 a+ 1 , n=a+b+ 1 =-a+ 1 (关键点). 因为在m,n,p这三个实数中,只有一个是正数, 所以n>0,m=p≤0, {-a+1>0, 所以 3a+1≤0, 1 解得a≤- . 3解题突破 ◀ ◀ ◀ 对于本题第(2)问,需要学生画出草图,结合抛物线的对称轴,分析抛物线不同开口方向的情况下x=-1,1,3时y 值的正负,以及m,p之间的数量关系,列出不等式组求解. 2 (1)方法一:由题意得,二次函数y=ax2+bx-3(a>0)的图象与y轴的交点坐标为(0,-3). 又∵点P(2,-3)在函数图象上, 0+2 ∴m= =1. 2 方法二:∵点P(2,-3)在二次函数y=ax2+bx-3(a>0)的图象上, ∴4a+2b-3=-3,∴b=-2a, b -2a ∴抛物线的对称轴为直线x=- =- =1, 2a 2a ∴m=1. (2)将P(2,-3),Q(1,-4)分别代入y=ax2+bx-3, {-3=4a+2b-3, { a=1, 得 解得 -4=a+b-3, b=−2, ∴y=x2-2x-3, -2 ∴平移后新的二次函数的解析式为y=x2-2x+2,其对称轴为直线x=- =1. 2×1 ∵0≤x≤4, ∴当x=1时,函数取最小值,最小值为12-2×1+2=1, 当x=4时,函数取最大值,最大值为42-2×4+2=10, ∴当0≤x≤4时,新的二次函数的最大值与最小值的和为10+1=11. (3)∵y=ax2-2ax-3的图象与x轴的交点为(x,0),(x,0)(x0,∴抛物线开口向上, ∴当x=4时,y取最小值,最小值为-23. (2)y=x2+2ax+a-3=(x+a)2-a2+a-3, ∵1>0,∴抛物线开口向上, ∴当x=-a时,y取最小值. ∴甲同学的说法合理. (3)乙同学的猜想正确. 当x=-a时,y取最小值, 1 11 此时y =-a2+a-3=-(a- )2- , 最小值 2 4 ∵-1<0,∴抛物线开口向下,1 11 ∴当a= 时,y 取最大值,最大值为- . 2 最小值 4 4 (1)把(0,1)代入y=-x2+2x+c,得c=1, 故该抛物线的解析式为y=-x2+2x+1. (2)∵y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2, ∴该抛物线的顶点坐标为(1,2). 又点Q与抛物线的顶点重合, 1 ∴2m=1,解得m= . 2 (3)分两种情况讨论. ①当AP∥x轴时,易知此时点A与点P关于抛物线的对称轴直线x=1对称, ∴点P的横坐标为2,∴点Q的横坐标为4, ∴y -y =(-22+2×2+1)-(-42+2×4+1)=8; P Q ②当AQ∥x轴时,易知此时点A与点Q关于抛物线的对称轴直线x=1对称, ∴点Q的横坐标为2,∴点P的横坐标为1, ∴y -y =(-12+2×1+1)-(-22+2×2+1)=1. P Q 综上所述,点P和点Q的纵坐标的差为1或8. 1 5 (4) 或 . 3 4 解法提示:易知P(m,-m2+2m+1),Q(2m,-4m2+4m+1). 分四种情况讨论. ①当点P和点Q都在抛物线的顶点左侧时,0<2m<1, 1 解得02时,h=2+m2-2m-1=m2-2m+1,h=4m2-4m+1, 1 2 ∴4m2-4m+1-m2+2m-1=m,整理,得3m2-3m=0, 解得m=0(舍去),m=1(舍去). 1 2 1 5 综上所述,m的值为 或 . 3 4 5 (1) ∵二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0),B(1,0)两点, {-4-2b+c=0, ∴ -1+b+c=0,{b=−1, 解得 c=2, ∴b=-1,c=2. (2)∵A(-2,0),B(1,0),∴AB=3. 1 ∵S = AB·|y |=6,∴|y |=4. △PAB 2 P P 当y =4时,令-x2-x+2=4,方程无解. P 当y =-4时,令-x2-x+2=-4,解得x=-3,x=2. P 1 2 ∴点P的坐标为(-3,-4)或(2,-4). 对于第一问,可用如下方法解题. 二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0),B(1,0)两点,故 二次函数的表达式为 y=- ( x+ 2 ) ( x- 1 )(提示:交点 式),即y=-x2-x+2,∴b=-1,c=2. 6 (1)将A(-2,0),C(0,-2)代入y=x2+bx+c, {4−2b+c=0, {b=1, 得 解得 c=−2, c=−2. 故二次函数的表达式为y=x2+x-2. (2)设P(m,n),因为点P在第二象限,所以m<0,n>0. 1 BD·n S 2 △PDB 依题意,得 =2,即 =2, S 1 △CDB BD·CO 2 n 所以 =2. CO 由已知,得CO=2, 所以n=2CO=4. 由m2+m-2=4, 解得m=-3,m=2(舍去), 1 2 所以点P的坐标为(-3,4). 7 (1)分别将A(-1,0),B(4,0)代入y=ax2+bx-1,得 1 { a= , { a-b-1=0, 4 解得 16a+4b-1=0. 3 b=− . 4 1 3 ∴抛物线对应的函数表达式为y= x2- x-1. 4 4 (2)∵b=1,∴y=ax2+x-1. 当x=-1时,y=a-2,即点M(-1,a-2),当x=1时,y=a,即点N(1,a).连接CN, ∵C(-1,a),N(1,a),∴CN=2,CM=a-(a-2)=2,CM⊥CN, ∴在Rt△CMN中,MN=√CM2+CN2=2√2. ∵DN=a+2√2-a=2√2,∴DN=MN,∴∠NDM=∠NMD. ∵DN∥CM,∴∠NDM=∠CMD,∴∠NMD=∠CMD, ∴MD平分∠CMN. (3)当a=1时,y=x2+bx-1.设G(m,m-1),则H(m,m2+bm-1),1≤m≤3. 令x2+bx-1=x-1,解得x=0,x=1-b. 1 2 ∵b≤-2,∴x=1-b≥3,∴点G在H的上方(如图(1)). 2 图(1) 设GH=t,故t=-m2+(1-b)m, 1−b 1−b 3 其图象对称轴为直线m= ,且 ≥ . 2 2 2 3 1−b ①当 ≤ ≤3时,得-5≤b≤-2. 2 2 1−b (1-b)2 由图(2)可知:当m= 时,t取得最大值 =4, 2 4 解得b=-3或b=5(舍去). 图(2) 图(3) 1−b ②当 >3时,得b<-5, 2 由图(3)可知:当m=3时,t取得最大值-9+3-3b=4. 10 解得b=- (舍去). 3 综上所述,b的值为-3. 8 (1)令y=0,得ax2-2ax-3a=0, 解得x=-1,x=3, 1 2 ∴A(-1,0),B(3,0), ∴AB=3-(-1)=4. (2)x =(-1+3)÷2=1,∴y =-4, C C ∴C(1,-4). 如图,过点D作DH⊥x轴于点H.设D(d,d2-2d-3), 则直线AD的解析式为y=(d-3)x+d-3,DH=-d2+2d+3. 过点C作CG⊥x轴交AD于点G,则G(1,2d-6), ∴CG=2d-6+4=2d-2. 1 1 ∵S =S ,∴ CG·(x -x )= AB·DH, △ACD △ABD 2 D A 2 ∴(2d-2)(d+1)=4(-d2+2d+3), 7 解得d=-1(舍去),d= , 1 2 3 20 7 20 DH 9 10 ∴D( ,- ),∴tan∠ABD= = = . 3 9 BH 7 3 3− 3 (3)抛物线L'与抛物线L交于某个定点. 设D(d,m). ∵点E在x轴上,且AD=DE,∴E(2d+1,0). ∵△ADB平移得到△A'EB',且点A',B'在抛物线L'上, ∴相当于将抛物线L向右平移(d+1)个单位长度,向上平移-m个单位长度,得到抛物线L', ∴抛物线L'的解析式为y=a(x-d-1)2-2a(x-d-1)-3a-m. 联立抛物线L,L'的解析式,得ax2-2ax-3a=a(x-d-1)2-2a(x-d-1)-3a-m,其中m=ad2-2ad-3a, 整理,得2x-6-6d+2xd=0,即2(d+1)(x-3)=0, ∴x=3, 故抛物线L'与L交于定点(3,0). 考点17角、相交线与平行线 1 C 2 D 3 C 4 两点之间,线段最短 5 B 6 B 7 C 8 35 9 C 如图,过点O作OQ⊥MN,则∠COQ=∠DOQ=90°.又 ∠ AOQ= ∠ BOQ (提示:反射角等于入射角), ∴∠BOD=∠AOC=35°.又∵PD⊥CD,∴∠OBD=90°-∠BOD=55°.故选C. (第9题) (第10题) 10 100 【解析】如图,∵∠B=∠E=90°,∠1=∠2,∴∠BFE=∠BAE=35°,∴∠BFD=∠BFE+∠DFE=80°,∴∠DFC=180°- ∠BFD=100°. 11 B 12 C 13 B 14 B 15 B 16 B 17 B 18 C 19 B 20 B ∵AB∥CD,∴∠ACD=∠1=65°.又∵∠2=120°,∴∠3=∠2-∠ACD=55°.21 A 如图, ∵l∥AB,∴∠A+∠3=180°,∠2=∠B.∵∠3=∠1=108°,∴∠A=72°.∵∠A=2∠B,∴∠B=36°,∴∠2=∠B=36°. (第21题) (第22题) 22 C 如图, 延长 AB 交 EG 于点 M , 延长 CD 交 GF 于点 N , 过点 G 作 AB 的平行线 GH (关键点). ∵∠E=∠F=47°,∠EBA=∠FDC=80°,∴∠EMA=∠EBA-∠E=33°, ∠ FNC= ∠ FDC- ∠ F= 33 ° (提示:三角形外角的 性质).∵AB∥CD,AB∥HG,∴HG∥CD∥AB,∴∠MGH=∠EMA=33°,∠NGH=∠FND=33°,∴∠EGF=33° +33°=66°. 23 C ∵△EFG是等边三角形,∴∠FEG=∠EFG=60°.如图,延长FE交l 于点H.在四边形ADEH中, 1 ∠α=50°,∠ADE=146°,∠DEH=∠FEG=60°,∴∠AHE=360°-(50°+146° +60°)=104°.∵l∥l,∴∠EFG+∠β=∠AHE=104°,∴∠β=104°-60°=44°. 1 2 如图,设直线BD分别交l 1 ,l 2 于点H,I.∵∠ADE=146°,∴∠ADB=180°- ∠ADE=34°.∵∠α=∠ADB+∠AHD,∴∠AHD=∠α-∠ADB=50°- 34°=16°.∵l 1∥l 2 ,∴∠GIF=∠AHD=16°.∵∠EGF=∠β+∠GIF,∴∠β=∠EGF-∠GIF=60°-16°=44°. 24 140° 25 C 26 B 27 A 28 A 如图,由题意,得∠3=30°.∵m∥n,∠1=20°,∴∠4=∠1+∠3=50°,∴∠2=90°-∠4=40°. 29 75 【解析】由题意可得∠B=45°,∠D=30°.∵AB∥OD,∴∠BOD=∠B=45°,∴ ∠ 1 = ∠ BOD+ ∠ D= 45 ° + 30 ° = 75 ° (依 据:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和). 30 B ∵AB∥CD,∴∠1+∠2=180°.又∵∠1=120°,∴∠2=180°-120°=60°. 31 B 32 B ∵水面与容器底面平行(隐含条件),∴∠1=∠2+∠3.又∵∠1=80°,∠2=40°,∴∠3=∠1-∠2=80°- 40°=40°.故选B. 33 C 34 C 由平行线的性质知∠PFO=180°-∠1=180°-155°=25°.又 ∵∠POF=∠2=30°,∴ ∠ 3 = ∠ POF+ ∠ PFO= 30 ° + 25 ° = 55 ° (依据:三角形外角的性质). 35 A 36 C37 (1)证明:∵DE∥BC, ∴∠AED=∠C. ∵∠EDF=∠C, ∴∠EDF=∠AED, ∴DF∥AC, ∴∠BDF=∠A. (2)△ABC是等腰直角三角形. 38 A 39 C 考点18三角形 1 D 2 B 在△ACD中,AD=CD=2,根据三角形三边关系(提示:三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差 小于第三边)可知,0AE,∴∠ABE≠∠BAE,∴∠ABE≠∠DFE.又 ∵∠ABE+∠BHE=90°,∠DFE+∠EGF=90°,∴∠BHE≠∠EGF,故结论②错误.设AB与DF的交点为 K.∵∠DFE+∠EGF=90°,∴∠BAE+∠AGD=90°,∴∠AKG=90°=∠BAC,∴DF∥AC.又∵DF=AC,∴四边形 ADFC是平行四边形,∴AD=CF,故结论④正确.故正确结论为①③④.考点19全等三角形的判定与性质 1 A 2 A 3 DE=EF(答案不唯一) 4 证明:∵∠BAE=∠CAD, ∴∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,即∠BAC=∠EAD. 在△ABC与△AED中, { AB=AE, ∠BAC=∠EAD, AC=AD, ∴△ABC≌△AED. 5 (1)证明:∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE. {AB=DE, 在△ABC和△DEF中, AC=DF, BC=EF, ∴△ABC≌△DEF(SSS). (2)∵△ABC≌△DEF,∴∠FDE=∠A=55°, ∴∠F=180°-(∠FDE+∠E)=180°-(55°+45°)=80°. 6 选择①,理由如下: ∵AE∥BF, ∴∠EAC=∠FBD. ∵CE∥DF, ∴∠ACE=∠BDF, 在△AEC和△BFD中, {∠ACE=∠BDF, ∠EAC=∠FBD, AE=BF, ∴△AEC≌△BFD(AAS), ∴AC=BD, ∴AC-BC=BD-BC, ∴AB=CD. 选择③,理由如下: ∵AE∥BF, ∴∠EAC=∠FBD, 在△AEC和△BFD中, {∠EAC=∠FBD, AE=BF, ∠E=∠F, ∴△AEC≌△BFD(ASA), ∴AC=BD, ∴AC-BC=BD-BC, ∴AB=CD. 7 (1,4) 8 证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD,∠B=∠D. 在△ABE和△ADF中,{ ∠B=∠D, ∠AEB=∠AFD, AB=AD, ∴△ABE≌△ADF, ∴BE=DF. 9 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC,∠B=∠C=90°. ∵BE=CF, ∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE, ∴△ABF≌△DCE(SAS), ∴AF=DE. 10 (1)证明:由作图知BD=CD. {AB=AC, 在△ABD和△ACD中, BD=CD, AD=AD, ∴△ABD≌△ACD. (2)∵△ABD≌△ACD,∠BDC=120°, ∴∠BDA=∠CDA=60°. 又∵BD=CD,∴DA⊥BC,BE=CE. √3 ∵BD=2,∴BE=BD·sin∠BDA=2× =√3, 2 ∴BC=2BE=2√3. 11 (1)证明:∵AD⊥BC, ∴∠ADB=∠ADC=90°. { AD=AD, 在△ADB和△ADC中, ∠ADB=∠ADC, BD=CD, ∴△ADB≌△ADC, ∴∠B=∠C. (2)补充完整小军的证明过程如下: 分别延长DB,DC至E,F两点,使得BE=BA,CF=CA,如图所示. ∵AB+BD=AC+CD, ∴BE+BD=CF+CD,即DE=DF. ∵AD⊥BC,∴∠ADE=∠ADF=90°. { AD=AD, 在△ADE和△ADF中, ∠ADE=∠ADF, DE=DF, ∴△ADE≌△ADF,∴∠E=∠F. ∵BE=BA,CF=CA, ∴∠E=∠BAE,∠F=∠CAF. 又∵∠ABC=∠E+∠BAE,∠ACB=∠F+∠CAF,∴∠ABC=∠ACB. 补充完整小民的证明过程如下: ∵AD⊥BC,∴△ADB与△ADC均为直角三角形, 根据勾股定理,得AD2+BD2=AB2,AD2+CD2=AC2, ∴AB2-BD2=AC2-CD2, ∴AB2+CD2=AC2+BD2. ∵AB+BD=AC+CD, ∴AB-CD=AC-BD, ∴(AB-CD)2=(AC-BD)2, ∴AB2-2AB·CD+CD2=AC2-2AC·BD+BD2, ∴AB·CD=AC·BD, AB BD ∴ = . AC CD 又∵∠ADB=∠ADC=90°, ∴△ADB∽△ADC, ∴∠B=∠C. 12 D 13 (1)证明:∵D为BC的中点,∴BD=CD. ∵BE∥AC,∴∠E=∠DAC,∠DBE=∠C. {∠E=∠DAC, 在△BDE和△CDA中, ∠DBE=∠C, BD=CD, ∴△BDE≌△CDA(AAS). (2)证明:∵△BDE≌△CDA,∴ED=AD. ∵AD⊥BC,∴BD垂直平分AE,∴BA=BE(依据:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等). 14 (1)∵∠A=90°,AB=AC, ∴BC=√2AB. ∵BC=AB+BD, ∴√2AB=AB+BD,即(√2-1)AB=BD. (2)证明:如图(1), 图(1) ∵CE=CB,∠1=∠2,CF=CD, ∴△CEF≌△CBD, ∴∠E=∠DBC, ∴EF∥BD. ∵BD⊥AB, ∴AB⊥EF. (3)证明:如图(2),延长EF,CH交于点G.图(2) ∵EF⊥AB,AC⊥AB, ∴GE∥AC, ∴∠CGE=∠ACG. ∵CH平分∠ACE, ∴∠ACG=∠ECG, ∴∠CGE=∠ECG, ∴EG=EC, ∴EG=BC. ∵△CBD≌△CEF, ∴EF=BD. ∵BC=AB+BD,EG=FG+EF, ∴AB+BD=FG+EF, ∴FG=AB=AC(点拨:通过等量代换得到线段相等). ∵AC∥FG,∴∠HAC=∠HFG. 在△AHC和△FHG中, {∠HAC=∠HFG, ∠AHC=∠FHG, AC=FG, ∴△AHC≌△FHG, ∴AH=HF. 15 C 如图,易证△DCF≌△CBE,∴∠1=∠2.又∠2+∠3=90°,∴∠1+∠3=90°,∴∠DPC=90°.同理可得 ∠CNB=90°,从而易证△DPC≌△CNB,∴DP=CN.∵GC􀱋AE,∴四边形GAEC是平行四边形,∴GA∥CE.又 DG=GC,∴DQ=QP.同理可得CP=PN,∴DP=2CP.设CP=x,则DP=2x,∴x2+(2x)2=52,∴x=√5(负值已舍去, 1 不合题意),∴CP=√5,DP=2√5.易知S =S =S =S ,∴S =5×5-4× ×√5×2√5=5. △DPC △CNB △BMA △AQD 四边形MNPQ 2 { BC=DE, 16 (1)证明:在△ABC和△ADE中, ∠B=∠D, AB=AD, ∴△ABC≌△ADE(SAS). (2)∵△ABC≌△ADE, ∴AC=AE,∠DAE=∠BAC=60°, ∴∠AEC=∠ACE. ∵∠AEC+∠ACE=2∠ACE=180°-∠DAE=120°,∴∠ACE=60°. 17 (1)证明:如图(1),连接CD. ∵BC=BD,∠CBD=180°-2α, 1 ∴∠1= (180°-∠CBD)=α, 2 ∴∠1=∠A,∴CD=CA. ∵∠2=90°-∠A=90°-α,∠3=90°-∠1=90°-α, ∴∠2=∠3,∴CD=CE, ∴CA=CE,即点C为AE的中点. 图(1) 图(2) (2)EF=2AC. 证明:如图(2),在AM上取点H,使BH=BA,连接DH,则∠4=∠A=α, ∴∠ABH=180°-2α=∠CBD, ∴∠6=∠9. 又AB=HB,CB=DB,∴△ABC≌△HBD, ∴DH=AC,∠5=∠A=α,∴∠DHF=2α. ∵DF∥AB,∴∠7=∠A=α,∠FDE=90°. 取EF的中点G,连接DG,则EF=2DG,DG=FG, ∴∠8=∠7=α,∴∠DGH=2α=∠DHF, ∴DH=DG,∴DG=AC, ∴EF=2AC. 18 D ∵∠A=∠C=90°,∴AE∥CD.∵△EAB≌△BCD,∴CD=AB=a,AE=BC=b,EB=BD,∠EBA=∠BDC,∴∠EBA+∠CBD =∠BDC+∠CBD=90°,∴∠EBD=90°,∴△BDE是等腰直角三角形,∴ED=√2 BE,∠BDE=45°.∵ABBE,∴a+b>√a2+b2,故结论②正确.∵a+b>√a2+b2,∴√2(a+b)>√2· √a2+b2,即√2(a+b)>c,故结论③正确.故选D. 19 3 【解析】 ∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠BEA=∠AFC=90°,∴∠BAE+∠ABE=90°.∵∠BAC=90°,∴∠BAE+∠FAC=90°,∴∠FAC =∠ABE.又AB=AC,∴△ABE≌△CAF,∴AF=BE=4,AE=CF=1,∴EF=AF-AE=4-1=3. 20 (1)证明:∵△ABC是等边三角形, ∴∠A=∠B=60°,AC=AB. 又∵CF=AD,∴AF=BD. 在△ADF和△BED中, { AF=BD, ∠A=∠B, AD=BE, ∴△ADF≌△BED.√3 (2)如图,分别过点C,F作AB的垂线,垂足分别为H,G,则CH=AC·sin 60°=4× =2√3, 2 1 ∴S = AB·CH=4√3. △ABC 2 AD=x,则AF=BD=4-x, √3 ∴FG=AF·sin 60°= (4-x), 2 1 √3 ∴S = AD·FG= x(4-x). △ADF 2 4 同(1)易证△CFE≌△BED≌△ADF, 3√3 3√3 ∴y=S -3S =4√3- x(4-x)= x2-3√3x+4√3. △ABC △ADF 4 4 (3)由题意知00, 4 2× 4 4 ∴当0OC=4,∴AC=2√5+2. 180°(n-2) n边形的内角和为180°×(n-2),正n边形的每个内角度数为 . n 13 B 14 D 15 B 16 C 17 B ∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.又∵E为OC的中点, EF CE EF CE ∴OC=2CE,∴AC=4CE.∵EF∥AB,∴△CEF∽△CAB,∴ = ,即 = ,∴EF=1. AB CA 4 4CE 18 B 如图,延长DF,AB相交于点G.∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,即 CE DE DC DE DC CE 1 DC∥AG,∴△DEC∽△GEA,∴ = = .∵AC=5,CE=1,∴AE=4,∴ = = = .又 AE GE AG GE AG AE 4 EF 1 DC DC 1 DC 1 EF DC 1 BG FG 3 ∵EF=DE,∴ = .∵ = = ,DC=AB,∴ = ,∴ = = ,∴ = = .∵∠ FG 3 AG AB+BG 4 BG 3 FG BG 3 AG EG 4 BF FG 3 G=∠G,∴△BGF∽△AGE,∴ = = .又∵AE=4,∴BF=3.故选B. AE EG 4 知识积累 ◀ ◀ ◀ 相似三角形的判定与性质 1.相似三角形的判定方法:①对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似;②平行于三角形一边的直线和其 他两边或两边的延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似;③有两个角相等的两个三角形相似;④两边对 应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;⑤三边对应成比例的两个三角形相似. 2.相似三角形的性质:如果两个三角形相似,那么它们的对应角相等,对应边的比、对应高的比、对应中线的 比、对应角平分线的比、对应周长的比都等于相似比,它们对应面积的比等于相似比的平方. 19 C20 D 逐项分析如下,故选D. 结论 选项 分析 正误 ∵四边形ABCD是平行四边 CE 形,∴AD=BC,AB=CD.若 = CF A AD CE BC 正确 ,则 = .又 AB CF CD ∠ECF=∠BCD,∴△CEF∽△CBD,∴ ∠CEF=∠CBD,∴EF∥BD. 在Rt△ACE和Rt△ACF中, {AE=AF, ∴Rt△ACE≌Rt△AC AC=AC, F,∴CE=CF,∠ACB=∠ACD,由此易 B 得四边形ABCD是菱 正确 形,∴AC⊥BD.∵AE=AF,CE=CF,∴ AC ⊥ EF (依据:到一条线段两个端 点距离相等的点,在这条线段的垂 直平分线上),∴EF∥BD. ∵CE=CF,∴∠CEF=∠CFE.∵EF∥B D,∴∠CBD=∠CEF,∠CDB=∠CFE, ∴∠CBD=∠CDB,∴CB=CD,∴四边 形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.又 C 正确 ∵EF∥BD,∴AC⊥EF.又 ∵CE=CF,∴AC垂直平分 EF,∴ ∠ EAC= ∠ FAC (依据:等腰三角 形“三线合一”). 当AB=AD时,四边形ABCD是菱 形.只有当BE=DF时,EF∥BD,但 D 错误 当AE=AF时,BE与DF不一定相 等,故EF∥BD不一定成立. 21 OB=OD(答案不唯一) 22 5 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=2,AD∥BC,∴∠CBA=∠BAE.∵BA平分 ∠EBC,∴∠CBA=∠EBA,∴∠BAE=∠EBA,∴EA=BE=3,∴DE=EA+AD=5. 1 23 (或填0.5) 2 1 【解析】如图,设AC,BD交于点O.∵AD=BC,AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD= BD= 2 1 OB 1 AB,∴tan∠CAB= = . 2 AB 2 24 √3【解析】如图,连接EF.由尺规作图可知BP平分∠ABE,AB=BE.∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,∴∠AFB=∠EBF=∠ABF,∴AF=AB=BE,∴四边形ABEF是菱形,∴∠EOF=90°.易求得 OF ∠OEF=60°,∴ =tan∠OEF=√3. OE 20√5 25 19 AE 【解析】在Rt△ABE中,tan∠ABE= =2,AB=√5,可得BE=1,AE=2.∵四边形ABCD是平行四边形, BE ∴BC=AD=4,∴CE=BC-BE=3.∵∠ACF=∠CAF,∴AF=CF(依据:等角对等边).设EF=x,则FC=AF=x+2,在 5 5 Rt△EFC中,由勾股定理,得FC2=CE2+EF2,即(x+2)2=32+x2,解得x= ,即EF= .如图,过点G作GH⊥CB, 4 4 EF CE 垂足为H,则GH∥AF,∴△CEF∽△CHG,∴ = (依据:相似三角形的对应边成比例). GH CH 5 3 20 ∵∠HBG=∠EBA,∴tan∠HBG=tan∠EBA=2.设BH=m,则GH=2m,BG=√5m,∴ 4 = ,∴m= 4+m 19 2m 20√5 ,∴BG=√5m= . 19 5 在得到EF= 后,可用如下方法解题. 4 方法一:如图(1),过点F作FI∥AB交BC于点I,则 ∠ EIF= ∠ ABE (依据:两直线平行,内错角相等), 1 5 5√5 5 19 ∴tan∠EIF=tan∠ABE=2,∴EI= EF= ,∴FI=√EI2+EF2= ,CI=CE-EI=3- = 2 8 8 8 8 19 5√5 CI IF 20√5 .∵FI∥AB,∴△CIF∽△CBG,∴ = ,即 8 = 8 ,∴BG= . CB BG 19 4 BG图(1) 图(2) EF 5 5 方法二:如图(2),过点B作BK⊥BC交CG于点K,易得tan∠FCE= = ,∴BK=BCtan∠BCK= .易得 EC 12 3 5 GB BK GB 3 20√5 △ GBK ∽△ GAF (点拨:“A”型相似),∴ = ,即 = ,∴GB= . GA AF GB+√5 13 19 4 方法三:以点B为坐标原点,BC所在直线为x轴建立如图(3)所示的平面直角坐标系,则B(0,0),A(1,2),可知直线 5 5 5 5 5 AB的函数表达式为y=2x.由C(4,0),F(1,- ),可知直线CF的函数表达式为y= x- .令2x= x- ,解得x=- 4 12 3 12 3 20 20 40 √ 20 40 20√5 .对于y=2x,当x=- 时,y=- ,∴BG= ( )2+( )2 = . 19 19 19 19 19 19 图(3) 26 证明:∵点O是AB的中点, ∴AO=BO. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,即DE∥BC, ∴∠EAO=∠CBO. 又∠AOE=∠BOC, ∴△AOE≌△ BOC, ∴AE=BC. 27 证明:∵AM=DN, ∴AM+MN=DN+MN, AM DN ∴AN=DM,∴ = . DM AN ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥DC,AB=DC, ∴△AME∽△DMC,△DNF∽△ANB, AE AM DF DN ∴ = , = , DC DM AB AN AE DF ∴ = , DC AB ∴AE=DF. 28 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠D.∵AF=CE,∴AD-AF=BC-CE,即DF=BE, ∴△ABE≌△ CDF(SAS). (2)AF=BE(答案不唯一). 29 (1)证明:∵E是AB的中点,DF=FB, ∴ EF ∥ AD (依据:三角形的中位线定理). 又∵AF∥DC, ∴四边形AFCD是平行四边形. FB (2)在Rt△EFB中,tan∠FEB= =3,EF=1, FE ∴FB=3. 由(1)知,AD=2EF=2. ∵四边形AFCD是平行四边形, ∴CF=AD=2, ∴CB=√CF2+BF2=√13. 30 ①(②) (1)选择①. 证明:∵∠B=∠AED,∴DE∥CB. 又∵AB∥CD, ∴ 四边形 BCDE 为平行四边形 (依据:两组对边分别平行的四边形是平行四边形). 选择②. 证明:∵AE=BE,AE=CD, ∴CD=BE. 又∵AB∥CD, ∴ 四边形 BCDE 为平行四边形 (依据:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). (2)由(1),得四边形BCDE为平行四边形, ∴DE=BC=10. ∵AD⊥AB,AD=8, ∴AE=√DE2-AD2=6. 31 (1)△BDE是等腰三角形. 理由如下: ∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠DBC. ∵DE∥BC, ∴∠EDB=∠DBC, ∴∠EDB=∠EBD, ∴EB=ED, ∴△BDE是等腰三角形. (2)①B ②方法一:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD,AD∥BC,AD=BC, ∴∠AEB=∠EBC,∠BAF=∠AFD. ∵BE平分∠ABC, ∴∠ABE=∠EBC, ∴∠ABE=∠AEB, ∴AB=AE. ∵AF⊥BE, ∴∠BAF=∠DAF, ∴∠DAF=∠AFD,∴DF=AD=BC. ∵AB=3,BC=5, ∴CF=DF-CD=BC-AB=5-3=2. 方法二:如图,连接BF,EF. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD,AD∥BC,AD=BC, ∴∠AEB=∠EBC,∠EDF=∠FCB,∠ABF+∠CFB=180°. ∵BE平分∠ABC, ∴∠ABE=∠EBC, ∴∠ABE=∠AEB, ∴AB=AE. ∵AF⊥BE, ∴AF垂直平分BE, ∴EF=BF, 又∵AF=AF, ∴△ABF≌△ AEF, ∴∠ABF=∠AEF. ∵∠DEF+∠AEF=180°, ∴∠DEF+∠ABF=180°, ∴∠DEF=∠CFB, ∴△DEF≌△ CFB, ∴DE=CF. ∵ED=AD-AE=BC-AB=5-3=2, ∴CF=2. 32 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC,AB=CD, ∴∠AEB=∠DAE. ∵AE是∠BAD的平分线,∴∠BAE=∠DAE, ∴∠AEB=∠BAE,∴BE=BA. 同理可得DF=DC,∴BE=DF, ∴EC=AF. 又EC∥AF,∴四边形AECF是平行四边形. (2)如图,过点G作GM⊥AD于点M,设直线MG交BC于点N,则MN⊥BC. 过点C作CP⊥AD于点P,则CP=CDsin∠FDC=2×sin 60°=√3 , ∴MN=√3. ∵DF=2AF=2,∴EC=AF=1. ∵AD∥BC,∴△FGD∽△CGE, GM FD 2 2√3 ∴ = =2,∴GM= MN= , GN EC 3 3 1 2√3 2√3 ∴S = ×2× = . △GDF 2 3 3考点23矩形的判定与性质 1 C 1 1 2 C ∵四边形ABCD为矩形,∴OA= AC= BD=OB.又∵∠ABD=60°,∴△AOB是等边三角形, 2 2 ∴OA=AB=2,∴AC=2OA=4.故选C. 3 A ∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=8,∠C=∠D=∠B=90°.由折叠可知 AF=AD=8,∠AFE=∠D=90°,∴∠CEF+∠CFE=90°,∠CFE+∠AFB=90°,∴ ∠ CEF= ∠ AFB (点拨:“一线三直 BF 2√7 √7 角”模型).在Rt△ABF中,BF=√AF2-AB2=√82-62=2√7,∴cos∠AFB= = = AF 8 4 √7 ,∴cos∠CEF= . 4 4 A ∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD=BC=4,CD=AB=3,∠BCD=90°,∴BD=√32+42=5.设BP,CN 交于点G.由作图可知∠CBG=∠MBG,又 BG=BG,∠BGC=∠BGM=90°,∴△BGC≌△ BGM(ASA),∴BM=BC=4,∴DM=5- DN DM DN 1 4=1.∵AD∥BC,∴△DMN∽△ BMC,∴ = ,即 = ,∴DN=1,∴CN=√CD2+DN2 =√10 . BC BM 4 4 5 C 如图,过点A作BC的平行线,交EB的延长线于点F,交DC的延长线于点G,则四边形BCGF为矩 1 1 1 1 1 形,∴FG=BC,AF⊥BE,AG⊥CD,∴S= BE·AF,S= CD·AG,∴S+S= BE(AF+AG)= BE·BC= S 12 22 1 22 2 2 矩形 1 1 1 ,∴S=S +S -(S+S)=S + S ,∴S-S-S=S + S - S =S .故选C. BCDE △ABC 矩形BCDE 1 2 △ABC 2 矩形BCDE 1 2 △ABC 2 矩形BCDE 2 矩形BCDE △ABC (第5题) (第6题) 6 2√10 1 【解析】如图,由折叠的性质,得CF= CD=2,AG⊥BF,∴∠1+∠3=90°.又 2 BG CF BG 2 2√10 ∠2+∠3=90°,∴∠1=∠2,∴tan∠1=tan∠2,∴ = .由题意可知,BC=5BG,∴ = ,∴BG= AB BC 4 5BG 5 ,∴BC=2√10. 3 7 2【解析】∵BM=3,BC'=4,∴C'M=√C'B2+BM2=√42+32=5.由折叠的性质可得 CM=C'M=5,C'D'=CD=AB=7,∠D'C'M=∠C=90°,∠D'=∠D=90°,∴AD=BC=BM+CM=3+5=8.易证 △ BC'M ≌△ AEC '(点拨:“一线三直角”全等模型),∴AE=BC'=4,C'E=MC'=5,∴DE=AD-AE=8- 4=4,∴D'E=C'D'-C'E=7-5=2.设D'N=DN=a,则EN=4-a.在Rt△D'EN中,由勾股定理,得NE2=D'E2+D'N2, 3 3 即(4-a)2=a2+22,解得a= ,即DN= . 2 2 8 2√2 【解析】∵ED=3=AB=CD,∠D=90°,∴∠DCE=45°,∴∠ECB=∠ECD. 在 CD 上找点 N ' , 使 CN'=CN (关键辅 助线:结合特殊角构造全等三角形).如图 (1),∵CN'=CN,∠PCN'=∠PCN,CP=CP,∴△CPN'≌△ CPN,∴PN=PN'.∵PM+PN=4,∴PM+PN'=4.如图(2),过 点M作CD的垂线,垂足为点Q,∵BC⊥CD,BC=4,∴PM+PN'=BC=MQ,∴ 点 P 在 MQ 上 , 点 N ' 与点 Q 重合 (依据:垂线段最短).设BM=BN=m,易得四边形BMQC是矩形,∴CQ=BM=BN=m,且 CN=CQ=m.∵BC=4,∴CQ=CN=BN=2,∴CP=2√2. 图(1) 图(2) 9 (1)证明:∵AB=AC,D是BC的中点, ∴ AD ⊥ BC (依据:等腰三角形“三线合一”), ∴∠ADC=90°. ∵CE∥AD,∴∠DCE=90°. ∵AE⊥AD,∴∠DAE=90°, ∴ 四边形 ADCE 是矩形 (依据:有三个角是直角的四边形是矩形). (2)∵D是BC的中点,BC=4, 1 ∴DC= BC=2. 2 由(1)知四边形ADCE是矩形. ∴AE=DC=2,∠AEC=90°, ∴AC=√AE2+CE2=√22+32=√13. 1 1 ∵S = AE·CE= EF·AC, △ACE 2 2 1 1 即 ×2×3= EF·√13, 2 2 6√13 ∴EF= . 13 知识积累 ◀ ◀ ◀ 特殊四边形的判定方法 1.平行四边形的判定 (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形; (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形; (3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形; (5)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 2.矩形的判定 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形; (2)有三个角是直角的四边形是矩形; (3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形; (4)对角线相等的平行四边形是矩形. 3.菱形的判定 (1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形; (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形; (3)四条边都相等的四边形是菱形. 4.正方形的判定 (1)有一个角是直角的菱形是正方形; (2)有一组邻边相等的矩形是正方形; (3)有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形是正方形; (4)对角线互相垂直的矩形是正方形; (5)对角线相等的菱形是正方形; (6)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. 10 (1)答案一:选择①. 证明:∵AB∥CD,AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵∠ABC=90°, ∴四边形ABCD是矩形. 答案二:选择②. 证明:∵AD∥BC,AD=BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵∠ABC=90°, ∴四边形ABCD是矩形. (2)∵∠ABC=90°, ∴BC=√AC2-AB2=√52-32=4, ∴矩形ABCD的面积为3×4=12. 11 (1)对角线互相平分的四边形是平行四边形 (2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD, ∴∠ABC+∠BCD=180°. ∵AC=BD,BC=CB,AB=CD, ∴△ABC≌△ DCB(SSS), ∴∠ABC=∠DCB=90°, ∴四边形ABCD是矩形. 12 (1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,且∠ABC=90°, 所以四边形ABCD是矩形, 所以AC=BD. (2)在Rt△ABC中,AC=√AB2+BC2=√62+82=10. 1 所以CO= AC=5. 2 因为∠CEO=∠COE, 所以CE=CO=5. 如图,过点O作OF⊥BC于点F. 因为四边形ABCD是矩形,所以OB=OC, 1 所以CF= BC=4, 2 所以EF=CE-CF=5-4=1.在Rt△COF中,OF=√OC2-CF2=√52-42=3, OF 所以tan∠CEO= =3. EF 考点24菱形的判定与性质 1 A 2 D 3 A 4 C 5 C 6 B 如图,延长BC至格点E,则∠ACE=∠BCD.连接AE,易得∠AEC=90°,AE=2×4cos 30°=4√3 AE 4√3 ,CE=2,∴tan∠BCD=tan∠ACE= = =2√3.故选B. CE 2 1 7 A 连接EF,FG,GH,EH,如图.∵点E,F分别是AB,BC的中点,∴EF是△ABC的中位线,∴EF􀱋 AC.同理 2 1 1 GH􀱋 AC,FG􀱋 BD,∴GH=EF,GH∥EF,∴ 四边形 EFGH 是平行四边形 (依据:一组对边平行且相等的四边 2 2 形是平行四边形).∵AC=BD,∴GH=FG,∴ 四边形 EFGH 是菱形 (依据:一组邻边相等的平行四边形是菱形),∴ 线段EG和FH互相垂直平分. 知识积累 ◀ ◀ ◀ 中点四边形 顺次连接四边形各边中点所得的四边形,我们称之为中点四边形.中点四边形的形状由原四边形两对角线的 关系(相等、垂直、相等且互相垂直)决定.判定中点四边形的形状时,一般要用到三角形的中位线定理. 常见的中点四边形的结论有: (1)顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形; (2)顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形; (3)顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形; (4)顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形; (5)顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形;(6)顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是矩形. 8 AD∥BC(答案不唯一) 9 8√3 【解析】如图,∵AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.过点A作AE⊥CD于点E,过点C作 CF⊥AD于点F,则AE=CF=3 cm.又S =CD·AE=AD·CF,∴CD=AD,∴四边形ABCD是菱形.又AD= ▱ABCD 3 AE =√3=2√3(cm),∴菱形ABCD的周长为8√3 cm. sin60° 2 10 2√7 2√65 11 3 EG 4 【解析】易证△ABE≌△ ADF,∴AF=AE=5.如图,过点E作EG⊥AF,垂足为G,则sin∠EAF= = AE 5 ,∴EG=4,∴AG=3,∴GF=2.延长AF交BC的延长线于点M,则由点F是CD的中点易证 △ADF≌△ MCF,∴MC=AD=AB,MF=AF=5,∴GM=7.在Rt△EGM中,EM2=EG2+MG2=42+72=65,∴EM=√65 √65 2√65 .设CE=x,则MC=AB=2x,∴√36x=5 ,∴x= ,∴AB= . 3 3 模型分析 ◀ ◀ ◀ 常见的中点模型 作法说明 图示 倍长中线或类中 见中 线(与中点有关的 线,可 线段)构造全等三 倍长 角形或平行四边 形. 见等 已知等腰三角形 腰三 底边的中点,可以 角形, 考虑与顶角顶点 想 相连,用“三线合 “三 一”解题.线合 一” 已知直角三角形 斜边的中点,可以 见斜 考虑构造斜边上 边,想 的中线,目的是得 中线 到三条相等的线 段和两对等角. 已知三角形两边 的中点,可以连接 这两个中点,构造 中位线. 已知一边中点,可 见一 以在其他边上取 个或 中点,连接两个中 多个 点构造中位线. 中点, 已知三角形的一 想中 条中线,通过倍长 位线 三角形的一边,构 造一个大三角形, 使原三角形的中 线变为大三角形 的中位线. 12 10 【解析】如图,连接AF.∵E为AB的中点,∴BE=AE,∴S = 2 S = 8 (提示:高相等的两个三角形,面积比等 △ABF △BEF 1 1 于底之比).易得S = S =12,∴S =S -S -S =4.易得S = S =6,∴S =S △AFD 2 菱形ABCD △CFD 菱形ABCD △ABF △AFD △AED 4 菱形ABCD 阴影 -S -S -S =24-6-4-4=10. 菱形ABCD △AED △BEF △CFD 4√7 13 5 【解析】∵菱形ABCD的边长为6,∠BAD=120°,∴AD=BC=CD=6,AD∥BC,∠BCD=120°,∴∠DCE=60°.在 Rt△DCE中,CE=CDcos 60°=3,DE=CDsin 60°=3√3,∴BE=BC+CE=9.∵AD∥BE,∴∠ADE=180°- ∠DEC=90°.在Rt△ADE中,AE=√DE2+AD2=√(3√3)2+62=3√7.∵AD∥BE,∴△AFD∽△EFB,∴ AF AD 6 2 2 6√7 AG AD 6 2 = = = ,∴AF= AE= .∵AD∥CE,∴△AGD∽△EGC,∴ = = =2,∴AG= AE=2 FE BE 9 3 5 5 EG CE 3 3 6√7 4√7 √7,∴FG=AG-AF=2√7- = . 5 5 14 证明:∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠C. 又∵BE=BF, ∴AB-BE=BC-BF,即AE=CF. 在△ADE和△CDF中,{DA=DC, ∠A=∠C, AE=CF, ∴△ADE≌△ CDF(SAS), ∴DE=DF, ∴ ∠ DEF= ∠ DFE (依据:等边对等角). 15 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥CB, ∴∠OED=∠OFB. ∵点O是▱ABCD对角线的交点,∴OD=OB. 在△ODE和△OBF中, {∠OED=∠OFB, ∠DOE=∠BOF, OD=OB, ∴△ODE≌△ OBF(AAS). (2)由(1)得△ODE≌△ OBF,∴DE=BF. 又∵DE∥BF, ∴四边形BEDF是平行四边形. 又∵EF⊥BD,∴四边形BEDF是菱形, ∴DF+BF+BE+DE=4DE=4×15=60(cm), ∴四边形BEDF的周长为60 cm. 16 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,∠BAD=∠BCD, ∴∠BEA=∠DAE. ∵AE,CF分别是∠BAD,∠BCD的平分线, 1 1 ∴∠DAE= ∠BAD,∠BCF= ∠BCD, 2 2 ∴∠BCF=∠DAE=∠BEA, ∴AE∥FC. 又AF∥EC, ∴ 四边形 AECF 是平行四边形 (依据:两组对边分别平行的四边形是平行四边形). 又∵AE=AF, ∴ 四边形 AECF 是菱形 (依据:一组邻边相等的平行四边形是菱形). (2)∵AD∥BC,∠ABC=60°, ∴∠BAD=120°, 1 ∴∠EAD=∠BAE= ∠BAD=60°, 2 ∴△ABE是等边三角形, ∴BE=AB. 如图,过点A作AG⊥BE于点G, √3 则AG=ABsin 60°= AB, 2 1 1 √3 ∴S = BE·AG= AB× AB=4√3, △ABE 2 2 2 ∴AB=4(负值已舍去).连接AC, ∵四边形AECF是菱形, 1 ∴∠EAC= ∠EAD=30°, 2 ∴∠BAC=60°+30°=90°, ∴AC的长即为平行线AB与DC间的距离,AC=ABtan 60°=4√3. 考点25正方形的判定与性质 AD 1 B 由题意可得AD=CD=AB=6,GF=CG=CE=2,∴DG=4.∵AD∥BE∥GF,∴△ADH∽△FGH,∴ = GF DH 6 DH ,即 = ,∴DH=3. GH 2 4−DH 2 C ∵四边形ABCD是边长为6的正方形,∴AD=CD=6,∠ADC=90°,∠ADM=∠CDM=45°.又 DM=DM,∴△ADM≌△ CDM,∴∠DAM=∠DCM.∵PM=PC,∴∠CMP=∠DCM,∴ ∠ APD= 2 ∠ DCM= 2 ∠ DAM (提示:三角形外角的性质),∴∠DAM=30°,∴DP=2√3,AP=4√3,∴PM=PC=6-2√3,∴AM=AP-PM=4√3-(6-2 √3)=6(√3-1). 3 D ∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABE=∠ADC=∠ADF=∠C=90°,AB=AD=CD=BC=4.又 ∵BE=DF=1,∴△ABE≌△ ADF(SAS),∴AE=AF.∵AM平分∠EAF,∴∠EAM=∠FAM.又 ∵AM=AM,∴△AEM≌△ AFM,∴EM=FM.设DM=x,则EM=FM=DM+DF=x+1,CM=CD-DM=4-x,在 12 12 Rt△CEM中,CE=BC-BE=3,由勾股定理得EM2=CE2+CM2,∴(x+1)2=32+(4-x)2,解得x= ,∴DM= . 5 5 4 B 设AC,BD的交点为O.∵正方形ABCD中,点E,F分别为对角线BD,AC的三等分点, ∴OD=OC,∠DOC=90°,DE=CF,∴OE=OF,∴∠OFE=∠OEF=45°.∵AB∥CD,∴ △ ABE ∽△ GDE (提示:“8”字型 DG DE 1 1 1 相似),∴ = = ,∴DG= BA= CD=CG.又 BA BE 2 2 2 1 1 ∠EDG=∠GCF=45°,∴△DEG≌△ CFG(SAS),∴GE=GF,∴∠GEF=∠GFE= (180°-∠AGF)=90°- 2 2 1 1 90°−α α,∴∠FAG=∠GEF-∠AFE=90°- α-45°=45°- α= . 2 2 2 5 AB=AD(答案不唯一) 6 AC=BD(答案不唯一) 7 2 8 (-2,-1) 1 9 2 【解析】由四边形ABCD是正方形可知∠CAD=45°.又∵∠FEO=45°,∴EF∥AD.又∵E是AO的中点,∴F 1 1 EF 1 是 DO 的中点 (依据:平行线分线段成比例),∴EF= AD= BC(依据:三角形的中位线定理),∴ = . 2 2 BC 2 10 80 【解析】∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°,∵∠ABE=55°,∴∠CBE=90°-55°=35°.∵△ABE绕点B按 顺时针方向旋转90°得到△CBF,∴∠EBF=90°,BE=BF,∴∠BEF=45°,∴∠EGC=∠CBE+∠BEF=35° +45°=80°.27 11 8 【解析】如图,∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3.又 ∠CGD=∠DFA=90°,CD=AD,∴ △ CDG ≌△ DAF (点拨:“一线三A直D角”D全F等模型5), 4 25 25 DE AD DE 5 4 4 ∴DF=CG=4,∴AF=3.∵cos∠3= = ,∴ = ,∴DE= ,∴EF= -4= ,∴S = × ×3= . 9 1 9 27 △AEF 4 2 4 8 12 ①②③ 【解析】∵E为AB的中点,∴AE=EB.由折叠可知BE=EP,∴AE=EP,∴△AEP是等腰三角形,故①正 确.∵AE=EP,∴∠EAP=∠EPA.由折叠可知∠PEC=∠BEC.又∵ ∠ BEP= ∠ EAP+ ∠ EPA (依据:三角形外角的性 质),∴2∠PEC=2∠EPA,∴∠PEC=∠EPA,∴AF∥EC.又∵AE∥FC,∴四边形AECF是平行四边形, 1 1 ∴CF=AE,∴CF= AB= CD,即F是CD的中点,故②正确.设正方形ABCD的边长为2a,则 2 2 AE=EP=a,CP=BC=2a,∴EC=√(2a)2+a2=√5a.如图,连接BP交EC于点M,由折叠的性质可知 1 1 EP×PC 2√5 PB⊥EC,PM=BM,PC=BC=2a.在Rt△EPC中, EP×PC= EC×PM,∴PM= = a,∴PB= 2 2 EC 5 4√5 2√5 2√5 3√5 a.∵AF∥EC,∴∠APB=∠PMC=90°,∴AP=√AB2-BP2= a,∴PF=AF-AP=√5a- a= 5 5 5 5 a,∴AP∶PF=2∶3,故③正确. ∵∠EAP=∠EPA,∠EAQ=∠EPQ=90°,∴∠QAP=∠QP1A,∴AQ=PQ,∴CQ=52a+AQ.在Rt△CDDQC中,4 2 2 CQ 5 CD2+QD2=CQ2,∴(2a)2+(2a-AQ)2=(2a+AQ)2,∴AQ= a,∴CQ=2a+AQ= a,∴cos∠DCQ= = ,故④错 13 证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC=BE+EC=3+6=9,∠B=∠C. AB 9 3 BE 3 ∵ = = , = , EC 6 2 CF 2 AB BE ∴ = , EC CF ∴△ABE∽△ECF. 14 (1)四边形BPCO是平行四边形. 理由:∵▱ABCD的对角线AC,BD交于点O, ∴AO=OC,BO=OD. 1 1 ∵分别以点B,C为圆心, AC, BD长为半径画弧,两弧交于点P, 2 2 1 1 ∴BP= AC=OC,CP= BD=OB, 2 2∴ 四边形 BPCO 是平行四边形 (依据:两组对边分别相等的四边形是平行四边形). (2)当AC⊥BD,且AC=BD时,四边形BPCO是正方形. 1 1 ∵AC=BD,OC= AC,OB= BD, 2 2 ∴OC=OB. 由(1)知四边形BPCO是平行四边形, ∴平行四边形BPCO是菱形. 又AC⊥BD, ∴菱形BPCO是正方形. 15 (1)证明:在正方形ABCD中,AD⊥CD,GE⊥CD, ∴AD∥GE, ∴∠DAG=∠EGH. (2)AH与EF垂直. 理由如下: 如图,连接GC交EF于点O. ∵BD为正方形ABCD的对角线, ∴∠ADG=∠CDG=45°, 又∵DG=DG,AD=CD,∴△ADG≌△ CDG, ∴∠DAG=∠DCG. 在正方形ABCD中,∠ECF=90°, 又∵GE⊥CD,GF⊥BC,∴四边形FCEG为矩形, ∴OE=OC,∴∠OEC=∠OCE,∴∠DAG=∠OEC. 由(1)得∠DAG=∠EGH,∴∠EGH=∠OEC, ∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°, ∴∠GHE=90°, ∴AH⊥EF. 考点26特殊平行四边形的综合 1 (1)四边形ABCD是菱形. 理由:在矩形纸条中, AB ∥ CD , BC ∥ AD (依据:矩形的对边平行), ∴四边形ABCD是平行四边形. 过点A作CD的垂线,垂足为点M,过点C作AD的垂线,垂足为点N,如图(1). 图(1) 由矩形纸条的宽度相等,可知AM=CN. 又∵∠ADM=∠CDN,∠AMD=∠CND=90°, ∴△ADM≌△ CDN,∴AD=CD, ∴ ▱ ABCD 是菱形 (依据:有一组邻边相等的平行四边形是菱形). (2)如图(2),过点A作CD的垂线,垂足为点G. 图(2) 矩形纸条的宽度为2 cm,故AG=2 cm. ∵ S =CD·AG, 菱形ABCD ∴CD=4 cm, ∴AD=CD=4 cm, AG 1 ∴sin∠1= = , AD 2 ∴∠1=30°. 2 (1)证明:连接AC,BD,两线交于点O,BD交HG于点M,AC交FG于点N,如图. ∵AB∥CD,AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵四边形EFGH是矩形, ∴∠HGF=90°, ∵H,G分别是AD,DC的中点, ∴ HG ∥ AC (依据:三角形的中位线定理), ∴∠GNC=∠HGF=90°. ∵G,F分别是DC,BC的中点, ∴GF∥BD, ∴∠MOC=∠GNC=90°, ∴BD⊥AC, ∴ 四边形 ABCD 是菱形 (依据:对角线互相垂直的平行四边形是菱形). (2)∵矩形EFGH的周长为22, ∴HG+FG=11, ∴AC+BD=22. ∵菱形ABCD的面积为10, 1 ∴ AC·BD=10, 2 ∴AC·BD=20. ∵(AC+BD)2=AC2+2AC·BD+BD2,即222=AC2+BD2+2AC·BD, ∴AC2+BD2=444, ∴4AO2+4BO2=444, ∴AO2+BO2=111, ∴AB2=AO2+BO2=111, ∴AB=√111.解题突破 ◀ ◀ ◀ (a+b)2-(a2+b2) (a+b)2=a2+2ab+b2,ab= . 2 3 (1)证明:∵BD,CE是△ABC的中线, ∴点E和点D分别为AB和AC的中点, ∴DE是△ABC的中位线, 1 ∴ DE 􀱋 BC(依据:三角形的中位线定理). 2 1 同理可得,FG􀱋 BC, 2 ∴DE􀱋FG, ∴ 四边形 DEFG 是平行四边形 (依据:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). (2)证明:∵DE∥BC, ∴ △ OED ∽△ OCB (点拨:“8”字型相似), OD OE ED 1 ∴ = = = . OB OC BC 2 ∵点F,G分别是OB,OC的中点, ∴OF=FB,OG=GC, ∴OD=OF=FB,OE=OG=GC, 2 2 ∴DF= BD,EG= CE. 3 3 又∵BD=CE, ∴DF=EG, ∴ 平行四边形 EFGD 是矩形 (依据:对角线相等的平行四边形是矩形). 4 (1)①证明:∵DF∥AC,DE∥AB, ∴ 四边形 AFDE 为平行四边形 (依据:两组对边分别平行的四边形是平行四边形). ②证明:如图(1),延长BA到点G,使得AG=AC,连接AD,CG,则∠G=∠ACG. 图(1) AB BD AB BD BA BD ∵ = ,∴ = ,∴ = . AC DC AG DC BG BC 又∵∠B=∠B, ∴△BAD∽△BGC, ∴∠BAD=∠G, ∴AD∥GC, ∴∠DAC=∠ACG, ∴∠BAD=∠DAC. ∵AB∥DE,∴∠BAD=∠ADE, ∴∠DAE=∠ADE,∴AE=DE, ∴ 四边形 AFDE 为菱形 (依据:一组邻边相等的平行四边形是菱形).(2)如图(2),菱形MPKO即为所求作. 图(2) 5 【操作发现】两组对边分别平行的四边形是平行四边形 【探究提升】证明:∵∠B=∠FEH, ∴AB∥EN. 又AD∥BC, ∴四边形ABEN是平行四边形, ∴AB=NE. 又∵AB=EF, ∴NE=EF, ∴▱EFMN是菱形. 【结论应用】80 解法提示:易知四边形MDPG是菱形,再结合四边形EFMN是菱形可知,四边形ECPH是菱形, ∴PC=CE=10. ∵GF∥CP,∴∠C=∠EFG,∴sin C=sin∠EFG. 如图,过点P作PI⊥BC于点I, 4 则PI=PCsin C=10× =8, 5 ∴四边形ECPH的面积为10×8=80. 考点27圆的基本性质 1 C 2 B 由扇形的定义(提示:由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形)可知,只有乙 是扇形.故选B. 3 D ∵不在同一直线上的三个点确定一个圆,∴能作圆的情况有A,B,P;A,C,P;A,D,P;B,C,P;B,D,P;C,D,P, 共6种,故最多可画出圆的个数为6个.故选D. 4 C ∠ BOC= 2 ∠ BAC= 90 ° (依据:同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍). 1 ⏜ ⏜ 5 B 连接OB,∵AC=BC,∴ ∠ BOC= ∠ AOC= 36 ° (依据:等弧所对的圆心角相等),∴ ∠ D= ∠ BOC= 18 ° (依据: 2 圆周角定理). 6 A ∵∠A=35°,∴ ∠ O= 2 ∠ A= 70 ° (依据:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一 半).∵AC⊥OB,∴∠CDO=90°,∴∠C=90°-∠O=20°.故选A. 7 A ∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°(依据:圆周角定理的推论).∵∠A=∠CDB=60°(依据:同弧所对的圆周 角相等),∴∠ABC=180°-∠ACB-∠A=90°-∠A=30°.故选A. 8 C 由题意知,四边形ABCD是矩形,∴BC⊥CD,∴在Rt△BCD中,BC=√BD2-CD2 =√252-72 =24(寸),故选C.1 9 A ∵∠AOD=50°,∴ ∠ ABD= ∠ AOD= 25 ° (依据:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半).∵BA 2 平分∠CBD,∴∠ABC=∠ABD=25°.∵AB是☉O的直径,∴ ∠ C= 90 ° (依据:直径所对的圆周角是直角), ∴∠A=180°-90°-25°=65°.故选A. 10 A 如图,连接BD,CD.∵BC是☉O的直径,∴ ∠ BAC= ∠ BDC= 90 ° (依据:圆周角定理的推理).∵AD平分 ⏜ ⏜ ∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴BD=DC,∴BD=CD.将△ADC绕点D逆时针旋转90°,得到 △A'DB,∠A'BD+∠ABD=∠ABD+∠ACD=180°,故A,B,A'三点共线,∴AB+AC=AB+A'B=AA'(点拨:截长补短 法).∵由旋转可知∠A'DB=∠ADC,A'D=AD,∴∠A'DA=∠A'DB+∠BDA=∠ADC+∠BDA=∠BDC=90°,∴在等 AA' AB+AC 腰直角三角形A'DA中, =√2,∴ =√2.故选A. AD AD √2 AB+AC 本题可利用特殊位置求解.当点A在BC的垂直平分线上时,AD为直径,易得AB=AC= BC,∴ = 2 AD √2BC =√2. AD 11 A △PPP 的周长=PP+PP+PP=a,四边形PPPP 的周长=PP+PP+PP+PP=b.如图,连 1 3 7 7 3 1 3 1 7 3 4 6 7 7 3 4 6 3 4 6 7 接PP,PP,则PP+PP>PP.∵点P~P 是☉O的八等分点, 1 8 7 8 1 8 7 8 1 7 1 8 ∴PP=PP,PP=PP=PP=PP,∴PP+PP>PP,∴b>a. 1 3 4 6 1 8 7 8 3 4 6 7 3 4 6 7 1 7 12 A 如图,延长AB至点E,使BE=AD,连接BD,CE.∵AB+AD=2,∴AB+BE=AE=2.∵四边形ABCD内接 于☉O,∴ ∠ ADC+ ∠ ABC= 180 ° (提示:圆内接四边形对角互补).又 ∠ABC+∠CBE=180°,∴∠ADC=∠CBE.∵∠BAC=∠CAD=45°,∴ ∠ CDB= ∠ CBD= 45 ° (依据:同弧所对的圆周 角相等), ∴DC=BC,∠DCB=90°,∴△ADC≌△ EBC(SAS),∴∠ACD=∠ECB,CA=CE,∴∠ACE=∠DCB=90°,∴△ACE是 √2 等腰直角三角形,∴AC= AE=√2.连接CO并延长交☉O于点F,连接AF,则 ∠ FAC= 90 ° (依据:直径所对 2 AC 2√6 1 √6 的圆周角为直角).又∵∠AFC=∠ABC=60°,∴CF= = ,∴OF=OC= CF= . sin60° 3 2 313 55 【解析】∵直径AB平分弦CD,∴AB⊥CD.∵ ∠ A= ∠ D= 35 ° (依据:同弧所对的圆周角相等),∴∠C=90°- 35°=55°. 14 75 1 【解析】∵∠BOC=30°,∴∠AOC=180°-∠BOC=150°,∴ ∠ ADC= ∠ AOC= 75 ° (依据:一条弧所对的圆周角等 2 于它所对圆心角的一半). 1 连接BD,∵AB是☉O的直径,∴ ∠ ADB= 90 ° (依据:直径所对的圆周角是直角).∵∠BOC=30°,∴∠BDC= 2 ∠BOC=15°,∴∠ADC=∠ADB-∠BDC=75°. 15 62 【解析】如图,连接OC,∵OB=OC,∠OBC=28°,∴∠OCB=∠OBC=28°,∴∠BOC=180°-∠OCB- 1 ∠OBC=124°,∴ ∠ A= ∠ BOC= 62 ° (依据:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半). 2 16 90° 17 40° 【解析】如图,连接OB,∵∠ACB=25°,∴ ∠ AOB= 2 ∠ ACB= 50 ° (依据:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角 1 的一半).∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA= (180°- 2 ∠AOB)=65°.∵OA∥CB,∴∠OAC=∠ACB=25°,∴∠CAB=∠OAB-∠OAC=40°. 18 90 【解析】如图,连接FD,FE,FB,则 ∠ AFB= 90 ° (依据:直径所对的圆周角为直角), ∠ CFD= ∠ 2 , ∠ DFE= ∠ 3 , ∠ EFB= ∠ 4 (依据:同弧所对的圆周角相等), ∴∠1+∠2+∠3+∠4=∠1+∠CFD+∠DFE+∠EFB=∠AFB=90°.19 8 【解析】如图,延长AC,BD交于点E.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=∠ADE=∠ACB=∠BCE=90°.∵AD平分 ∠BAC,∴∠BAD=∠DAE.又∵AD=AD,∴△ABD≌△ AED(ASA),∴DE=BD=√25 ,∴BE=√45 .∵AB=10,BD=2 √5,∴AD=√102-(2√5)2=4√5.∵∠DAC=∠CBD,∠BAD=∠DAE,∴∠BAD=∠CBD,∴△ABD∽△BEC,∴ BE BC 4√5 BC = ,∴ = ,∴BC=8. AB AD 10 4√5 1 20 B ∵AB是☉O的直径,且AB⊥CD,∴DE= CD= 4 (依据:垂径定理).在Rt△DOE中,OE=√52-42 2 =3,∴BE=5-3=2.故选B. 1 21 C 连接AO.∵∠ABC=30°,∴∠AOC=60°.设OC与AB交于点D.∵OC⊥AB,∴AD=BD= AB=2√3 2 AD ,∴OA= =4.∵OP=5>4,∴点P在☉O外. sin60° 22 B ∵∠D=28°,∴∠BOC=2∠D=56°.∵OC⊥AB,OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=90°-∠BOC=34°. 23 B 24 C 25 26 【解析】如图,连接OA.∵AB⊥CD,AB=10,∴AE=BE=5.设☉O的半径为x,则OC=OA=x,∴OE=x-1.在 Rt△AOE中,根据勾股定理,得x2-(x-1)2=52,∴2x=26,即直径CD的长度是26寸. 26 A 27 C ∵BE∥AD,∴∠D=∠BEC=50°,∴ ∠ ABC= 180 ° - ∠ D= 130 ° (点拨:圆内接四边形对角互补). 28 C 29 60 【解析】∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠B+∠D=180°.∵四边形OABC是菱形, ∴∠B=∠AOC,∴∠AOC+∠D=180°.又∠AOC=2∠D,∴3∠D=180°,∴∠D=60°.如图,连接OB,∵四边形OABC是菱形,∴△OAB是等边三角形, 1 ∴∠OAB=60°,∴∠OAB+∠AOC=180°,∴∠AOC=180°-∠OAB=120°,∴ ∠ D= ∠ AOC= 60 ° (依据:一条弧所对的圆 2 周角等于它所对的圆心角的一半). 30 (1)证明:因为FA=FE,所以∠FAE=∠AEF. ⏜ 又∠FAE与∠BCE都是BF所对的圆周角, 所以∠FAE=∠BCE. 由于∠AEF=∠CEB,所以∠CEB=∠BCE. 因为CE平分∠ACD,所以∠ACE=∠DCE. 又AB是直径,所以∠ACB=90°. 于是∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°. 故∠CDE=90°,即CD⊥AB. (2)由(1)知,∠BEC=∠BCE,所以BE=BC. 又AF=EF,FM⊥AB,所以MA=ME=2,AE=4, 从而圆的半径OA=OB=AE-OE=3, 于是BC=BE=OB-OE=2. 在△ABC中,AB=6,BC=2,∠ACB=90°, 所以AC=√AB2-BC2=√62-22=4√2, 即AC的长为4√2. ⏜ ⏜ 31 (1)证明:∵AD=BD, ∴ ∠ ACD= ∠ BCE (依据:等弧所对的圆周角相等). 又∵ ∠ ADC= ∠ ABC (依据:同弧所对的圆周角相等), ∴△ACD∽△ECB. (2)∵AB是☉O的直径, ∴ ∠ ACB= ∠ ADB= 90 ° (依据:直径所对的圆周角是直角), ∴∠ACD=∠BCD=45°. √2 √2 过点B作BF⊥CD于点F,如图,则BF=CF= BC= . 2 2 ∵∠CAB=∠CDB, 1 ∴tan∠CDB=tan∠CAB= , 3BF 1 ∴ = , DF 3 3√2 ∴DF= , 2 ∴CD=CF+DF=2√2. ∵△ACD∽△ECB, CA CD 3 2√2 ∴ = ,即 = , CE CB CE 1 3√2 ∴CE= . 4 第(2)问有其他解法: 方法一:∵AB是☉O的直径, ∴∠ACB=∠ADB=90°. 在Rt△ACB中,AB=√BC2+AC2=√12+32=√10, √10 3√10 √10 ∴sin∠CAB= ,cos∠CAB= ,AO=BO= . 10 10 2 3√10 9√10 过点C作CG⊥AB于点G,如图(1),则CG=ACsin∠CAG= ,AG=ACcos∠CAG= , 10 10 2√10 ∴OG=AG-AO= . 5 ⏜ ⏜ 连接OD,∵AD=BD,∴AD=BD. 又∵AO=OB, ∴ DO ⊥ AB (依据:等腰三角形“三线合一”), ∴DO∥CG, ∴ △ OED ∽△ GEC (依据:“8”字型相似), √10 OE OD 2 5 ∴ = = = , EG CG 3√10 3 10 3 3√10 ∴EG= OG= . 8 20 3√2 在Rt△CEG中,CE=√CG2+EG2= . 4 图(1) 图(2) 方法二:如图(2),过点E作EM⊥BC于点M.∵AB是直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠ACD=∠BCE=45°, ∴∠CEM=45°=∠ECM, ∴ME=MC. ∵∠ACM=∠EMB=90°, ∴EM∥AC, ∴ ∠ BEM= ∠ BAC (依据:两直线平行,同位角相等), 1 ∴tan∠BEM=tan∠BAC= . 3 在Rt△BEM中,设BM=m,则CM=EM=3m, ∴BC=BM+CM=4m. 1 3 ∵BC=1,∴m= ,∴CM= , 4 4 3√2 ∴CE=√2CM= . 4 32 (1)∵∠BAC=∠BCD,∠B=∠B,∴△BAC∽△BCD, BC BA ∴ = . BD BC ∵AB=4√2,D为AB的中点,∴BD=AD=2√2, BC 4√2 ∴ = ,∴BC=4. 2√2 BC (2)如图,过点A作AE⊥CD,垂足为E,连接CO,并延长交☉O于F,连接AF. DE √2 在Rt△AED中,cos∠CDA= = . AD 4 ∵AD=2√2,∴DE=1, ∴AE=√AD2-DE2=√7. AC AB ∵△BAC∽△BCD,∴ = =√2. CD BC 设CD=x,则AC=√2x,CE=x-1. ∵在Rt△ACE中,AC2-CE2=AE2, ∴(√2x)2-(x-1)2=(√7)2, 即x2+2x-8=0,解得x=2,x=-4(舍去). 1 2 ∴CD=2,AC=2√2. ⏜ ∵∠AFC与∠ADC都是AC所对的圆周角, ∴∠AFC=∠ADC. ∵CF为☉O的直径, ∴ ∠ CAF= 90 ° (依据:直径所对的圆周角是直角), AC AE √14 ∴sin∠AFC= =sin∠CDA= = . CF AD 4 8√7 4√7 ∴CF= ,∴☉O的半径为 . 7 733 【感知】45 【探究】补充证明过程如下: ∴PB=EB,∠PBC=∠EBA, ∴∠EBA+∠ABP=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°, ∴△PBE是等边三角形, ∴PB=PE=PA+AE=PA+PC. 2√2 【应用】 3 解法提示:如图,延长PA至点E,使AE=PC,连接BE. ∵四边形ABCP是☉O的内接四边形, ∴ ∠ BAP+ ∠ BCP= 180 ° (依据:圆内接四边形对角互补). 又∵∠BAP+∠BAE=180°, ∴∠BCP=∠BAE. 又∵PC=AE,BC=AB, ∴△PBC≌△ EBA(SAS), ∴PB=EB,∠PBC=∠EBA, ∴∠EBA+∠ABP=∠PBC+∠ABP=∠ABC=90°, ∴PE=√2PB. ∵PE=PA+AE=PA+PC, ∴PA+PC=√2PB, 又∵PB=2√2PA, ∴PA+PC=√2×2√2PA=4PA, ∴PC=3PA, PB 2√2PA 2√2 ∴ = = . PC 3PA 3 考点28切线的判定与性质 1 1 D 易得 ∠ B= ∠ AOD= 40 ° (依据:圆周角定理).∵AB是☉O的直径,AC是☉O的切线, 2 ∴∠CAB=90°,∴∠C=90°-∠B=50°. 1 ⏜ 2 A 如图,∵点C为AB的中点,∴∠AOC=∠BOC= ∠AOB=36°.延长CO交☉O于点D,连接AD,则 ∠ D= 2 1 ∠ AOC= 18 ° (依据:圆周角定理), ∠ CAD= 90 ° (依据:直径所对圆周角为直角),∴∠ACD=72°.∵直线MN与☉O 2 相切于点C,∴OC⊥MN,∴∠ACM=90°-72°=18°.3 C 4 B 如图,连接DB,DE,易证BA与圆相切于点A,又∵BE与圆相切于点E,∴AB=BE(依据:切线长定理), ∠DAB=∠DEB=90°.又 AB 1 ∵AD=DE,∴△DAB≌△DEB,∴∠ABD=∠EBD.∵AB∥CD,∴∠BDC=∠ABD=∠DBC,∴CD=CB.∵ = ,∴可 CD 3 DE √5a √5 设AB=BE=a,CD=CB=3a,∴CE=2a,∴DE=√(3a)2-(2a)2=√5a,∴sin C= = = . CD 3a 3 如图,连接DE,过点B作BF⊥DC于点F,则∠BFC=∠DEC=90°.∵AB∥CD,AD⊥AB,∴AD⊥DC,∴四边形ADFB是 AB 1 矩形,∴BF=AD=DE,DF=AB.又∵∠C=∠C,∴△BFC≌△DEC,∴BC=CD.∵ = ,∴可设 CD 3 BF √5a √5 AB=DF=a,CD=CB=3a,∴CF=2a,∴BF=√(3a)2-(2a)2=√5a,∴sin C= = = . BC 3a 3 5 105° 10 6 3 【解析】∵PA与☉O相切于点A,∴∠OAC=90°.又OA=5,PA=12,∴OP=√52+122=13,∴PB=13-5=8.如图, 连接OC,∵OA=OB,CA=CB,OC=OC,∴△OCA≌△OCB(SSS),∴∠OBC=∠OAC=90°,∴∠PBC=90°. PB CB 8 CB 10 10 方法一:∵∠PBC=∠PAO=90°,∠P=∠P,∴△PBC∽△PAO,∴ = ,即 = ,∴CB= ,∴CA= . PA OA 12 5 3 3方法二:设CA=CB=x,则CP=12-x.在Rt△BCP中,由勾股定理,得CB2+BP2=CP2,即x2+82=(12-x)2,解得x= 10 10 ,∴CA= . 3 3 7 √5 【解析】∵AB是☉O的直径,∴∠ADF=∠ADB=90°.∵AH是☉O的切线,∴ ∠ BAF= 90 ° (依据:圆的切线垂直于 DF AD 1 过切点的半径),∴∠DAF=90°-∠DAB=∠ABD,∴△DAF∽△DBA,∴ = =tan B= .又 AD BD 2 ⏜ ⏜ ⏜ ∵DF=1,∴AD=2,∴AF=√AD2+DF2=√5.∵点D为AC的中点,∴AD=CD,∴∠DAC=∠ABD=∠DAF. 又∵∠ADE=∠ADF=90°,∴∠AED=∠AFD,∴AE=AF=√5(依据:等角对等边). 8 C 连接OC,∵点I是△ABC的内心,∴AI平分∠BAC.∵∠CAI=35°,∴∠BAC=2∠CAI=70°.∵点O是△ABC 1 1 外接圆的圆心,∴∠BOC=2∠BAC=140°.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB= ×(180°-∠BOC)= ×(180°- 2 2 140°)=20°,故选C. 9 35° 【解析】如图,连接OE,OD,OB,设OB交DE于点H.∵☉O是△ABC的内切圆,∴ AO , BO 分别是 1 1 ∠ CAB , ∠ CBA 的平分线 (点拨:三角形的内心是三条角平分线的交点),∴∠OAB= ∠CAB,∠OBA= 2 2 1 1 ∠CBA.∵∠ACB=70°,∴∠OAB+∠OBA= (∠CAB+∠CBA)= (180°-∠ACB)=55°,∴∠AOB=125°.∵☉O与 2 2 AB,BC分别相切于点D,E,∴BD=BE(依据:切线长定理).又∵OD=OE,∴OB是DE的垂直平分线,∴OB⊥DE, 即∠OHF=90°,∴∠AFD=∠AOH-∠OHF=35°. 10 2√13 ⏜ ⏜ 11 (1)证明:∵BC=BD, ∴ ∠ CAB= ∠ BAE (依据:等弧所对的圆周角相等). ⏜ ⏜ ∵AC=AC, ∴ ∠ ABC= ∠ ADC (依据:同弧所对的圆周角相等). 又∵∠ADC=∠AEB,∴∠ABC=∠AEB. ∵AB是☉O的直径, ∴ ∠ ACB= 90 ° (依据:直径所对的圆周角是直角), ∴∠CAB+∠ABC=90°, ∴∠BAE+∠AEB=90°,即AB⊥BE. ∵OB为☉O的半径,∴BE是☉O的切线. (2)∵OB=2, ∴AB=2OB=4,AC=√AB2-BC2=√42-32=√7,AC √7 ∴tan∠AEB=tan∠ABC= = . BC 3 12 (1)证明:如图,连接OC, ∵l是☉O的切线,C为切点, ∴OC⊥l. ∵AD⊥l, ∴∠ADC =∠OCD=90°, ∴∠ADC +∠OCD=180°, ∴OC∥AD, ∴∠CAD=∠ACO. 又∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA=∠CAD. ∵AB为直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠ADC=∠ACB, ∴△ABC∽△ACD. (2)∵AC=5,CD=4,∠ADC=90°, ∴AD=√AC2-CD2=3. ∵△ABC∽△ACD, AB AC ∴ = , AC AD AB 5 ∴ = , 5 3 25 ∴AB= , 3 25 ∴☉O的半径为 . 6 13 (1)证明:如图,连接OD. ∵BD=BC,OB=OB,OD=OC, ∴△OBD≌△OBC(SSS), ∴∠ODB=∠OCB=90°,即OD⊥BD. 又∵OD为☉O的半径,∴AB是☉O的切线. (2)∵∠ODB=90°,∴∠ODA=90°. 设☉O的半径为x. 在Rt△AOD中,AO2=OD2+AD2,即(x+1)2=x2+(√3)2 ,解得x=1,∴OD=OC=1,OA=2, OD 1 ∴cos∠AOD= = ,∴∠AOD=60°. OA 2 ∵△OBD≌△OBC, 1 ∴∠BOD=∠COF= ×(180°-60°)=60°, 2 60π×1 π ⏜ ∴CF的长为 = . 180 3 高分技法 ◀ ◀ ◀ 圆中与切线相关的常见辅助线 判定切线时,连接圆心和直线与圆的公共点或过圆心作这条直线的垂线;有切线时,常常连接切点和该圆的圆 心得到半径. 14 (1)证明:如图,连接OA,OD,过点O作ON⊥AB交AB于点N, ∵△ ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, ∴ AO ⊥ BC , AO 平分 ∠ BAC (依据:等腰三角形“三线合一”). ∵AC与半圆O相切于点D,∴OD⊥AC. 又∵ON⊥AB, ∴ON=OD(提示:角平分线上的点到角两边的距离相等), ∴AB是半圆O的切线. (2)连接OD,由(1)可知AO⊥BC,OD⊥AC, ∴∠AOD+∠DOC=90°,∠AOD+∠OAD=90°, CD ∴∠OAC=∠COD,∴sin∠OAC=sin∠COD= . OC ∵在Rt△ODC中,由勾股定理,得OC2=CD2+OD2, ∴(OD+2)2=42+OD2,解得OD=3, CD CD 4 4 ∴sin∠OAC=sin∠COD= = = = . OC OD+2 3+2 5 15 (1)证明:∵OD平分∠AOC, 1 ∴∠AOD= ∠AOC. 2 1 又∵∠B= ∠AOC, 2 ∴∠B=∠AOD, ∴OD∥BC. (2)设☉O的半径为r. 如图,∵OD∥BC,∴△EOF∽△CBF,∠1=∠2,OE OF r 5 ∴ = ,即 = , BC BF BC 6 6r ∴BC= . 5 1 3r 过点O作OG⊥BC于点G,则BG= BC= . 2 5 3 ∴cos∠2= . 5 ∵BP是☉O的切线,切点为B, ∴OB⊥PB,∴OB=OPcos∠1=OPcos∠2, 3 3 ∴r=(r+1)× ,解得r= . 5 2 3 故☉O半径的长为 . 2 16 (1)证明:∵直线l与☉O相切于点A, ∴∠BAD=90°, ∴∠BDA+∠ABD=90°. ∵AB是☉O的直径, ∴∠BFA=90°, ∴∠BAF+∠ABD=90°, ∴∠BAF=∠CDB. (2)∵AD=9,AC=12,∴CD=21. ∵r=6,∴AB=12=AC. 又AD=9,∠BAD=90°, ∴BD=15,△ABC是等腰直角三角形, ∴∠ABC=∠ACB=45°,BC=12√2. 连接AE, ∵AB是☉O的直径,∴∠BEA=90°, 1 ∴BE= BC=6√2. 2 ∵∠BEF=∠BAF,∠BAF=∠CDB, ∴∠BEF=∠CDB. 又∠EBF=∠DBC, ∴△BEF∽△BDC(相似模型——反A共角型相似: ), BE EF 6√2 EF ∴ = ,即 = , BD CD 15 2142√2 ∴EF= . 5 17 (Ⅰ)∵AB为☉O的弦, ∴OA=OB,∴∠A=∠ABO. ∵△ AOB中,∠A+∠ABO+∠AOB=180°, 又∠ABO=30°, ∴∠AOB=180°-2∠ABO=120°. ∵直线MN与☉O相切于点C,CE为☉O的直径, ∴CE⊥MN,即∠ECM=90°.又AB∥MN, ∴∠CDB=∠ECM=90°. 在Rt△ODB中,∠BOE=90°-∠ABO=60°. 1 ∵∠BCE= ∠BOE, 2 ∴∠BCE=30°. (Ⅱ)如图,连接OC. 同(Ⅰ),得∠COB=90°. ∵CG⊥AB,得∠FGB=90°. ∴在Rt△FGB中,由∠ABO=30°, 得∠BFG=90°-∠ABO=60°. ∴∠CFO=∠BFG=60°. OC 在Rt△COF中,tan∠CFO= ,OC=OA=3, OF OC 3 ∴OF= = =√3. tan∠CFO tan60° ⏜ ⏜ 18 (1)证明:∵AC=BD,∴∠DAB=∠CBA. 如图(1),连接OC,则∠COA=2∠CBA. ∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°, ∴∠CAD+∠DAB+∠CBA=∠CAD+2∠CBA=∠CAD+∠COA=90°. 又∵∠CEA=∠CAD, ∴∠CEA+∠COA=90°, ∴∠ECO=90°,即OC⊥CE. 又∵OC是☉O的半径, ∴CE是☉O的切线.图(1) 图(2) (2)如图(2),连接OC,OD. 由(1)知∠ECO=90°. ∵∠DOB=2∠DAB,∠CEA=2∠DAB, ∴∠CEA=∠DOB, ∴CE∥OD,∴∠DOC=∠ECO=90°. ⏜ ⏜ ∵AC=BD,∴∠COA=∠DOB=45°, 45×π×8 ⏜ ∴BD的长为 =2π. 180 19 (1)∠DCE(或∠AEO)(答案不唯一,正确即可) (2)证明:如图,连接OC. ∵PC与半圆O相切于点C, ∴OC⊥CD,即∠DCE+∠ACO=90°. ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠ACO. ∵ ∠ DCE= ∠ DEC= ∠ AEO ,(关键点:角之间的等量代换) ∴∠AEO+∠CAO=90°, ∴∠AOE=90°, ∴OD⊥AB. (3)设OE=x,则OF=BO=AO=OC=2x, ∴EF=x,OD=2x+2, ∴DC=DE=2+x. 如图,在Rt△ODC中,OD2=CD2+OC2, ∴(2+2x)2=(x+2)2+(2x)2, 解得x=4,x=0(舍去), 1 2 ∴OD=10,CD=6,OC=8. OP OC ∵tan D= = , OD CD OP 8 ∴ = , 10 6 40 ∴OP= , 3 16 ∴BP=OP-OB= . 3 20 (1)证明:如图,连接AO并延长交BC于点F,连接OC,则OB=OC. ∵AB=AC,OB=OC,∴ AF ⊥ BC (依据:到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上). ∵AE∥BC, ∴ ∠ OAE= ∠ OFB= 90 ° (依据:两直线平行,内错角相等). 又∵OA是☉O的半径, ∴AE是☉O的切线. (2)∵OB=OA,AF⊥BC, ∴∠BAF=∠ABE, BF 1 ∴ =tan∠BAF=tan∠ABE= , AF 2 ∴AF=2BF. ∵AB=√AF2+BF2=√(2BF)2+BF2=√5BF=10, ∴BF=2√5,AF=4√5. ∵BF2+FO2=OB2,且OB=OA=4√5-FO, ∴(2√5)2+FO2=(4√5-FO)2, 3√5 解得FO= , 2 3√5 5√5 ∴OD=OB=OA=4√5- = . 2 2 ∵OB=OD,BF=CF, 3√5 ∴ CD= 2 FO= 2 × = 3 √5(依据:三角形的中位线定理). 2 OA FO ∵ =cos∠AOE=cos∠FOB= , OE OB 5√5 5√5 × OA·OB 2 2 25√5 ∴OE= = = , FO 3√5 6 2 25√5 5√5 5√5 ∴DE=OE-OD= - = . 6 2 3 21 (1)AD BE 1 (2)证明:如图,过点O作OH⊥MN于点H,连接OD,OE,OF,则∠OHN=∠ODN=∠OEC=∠OFC=90°. 又∵∠ANM=∠ACB=90°, ∴四边形OHND,OFCE均为矩形, ∴ND=OH,CF=OE. ∵∠ANM=90°=∠ACB,∠A=∠A,AM=AB, ∴△AMN≌△ABC(AAS), ∴AN=AC. 又∵AD=AF, ∴AN-AD=AC-AF,即DN=CF, ∴OH=OE,即OH是☉O的半径. 又∵OH⊥MN, ∴MN是☉O的切线. 22 (1)证明: 方法一:连接FC,AD,如图(1), ∵E为AC的中点,DE=EF, ∴四边形AFCD是平行四边形, ∴AF∥CD,AF=CD. ∵D为BC的中点, ∴BD=CD,∴AF=BD, ∴四边形ABDF是平行四边形. 图(1) 图(2) 方法二:如图(2),∵点D,E分别是BC,AC的中点, ∴ DE ∥ AB (依据:三角形中位线定理),即FD∥AB. ∵∠1=∠2,CE=AE,DE=FE, ∴△EDC≌△EFA(SAS), ∴∠3=∠4,∴AF∥BD, ∴四边形ABDF是平行四边形. (2)证明:如图(1),∵AB=AC,点D为BC的中点, ∴AD⊥BC. ∵AF∥BC,∴AF⊥AD. ∵BC是☉O的一条弦,AD是BC的中垂线, ∴ AD 必经过圆心 O , OA 为 ☉ O 的半径 ,(易错点:要判断OA为半径,这一步不能缺少) ∴AF与☉O相切. (3)如图(3),连接CO并延长,交☉O于点G,连接GB, 则 ∠ GBC= 90 ° (依据:直径所对的圆周角为直角), ∠ G= ∠ BAC (依据:同弧所对的圆周角相等), 12 BC BC ∴BG= = = 3 =16, tanG tan∠BAC 4 ∴在Rt△GBC中,GC=√BG2+BC2=√162+122=20, 1 ∴OC= GC=10, 2 ∴☉O的半径为10.图(3) 知识积累 ◀ ◀ ◀ 平行四边形的判定方法 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形; 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形; 4.对角线互相平分的四边形是平行四边形; 5.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ⏜ ⏜ 23 (1)证明:∵AF=BE, ∴ ∠ ABF= ∠ BAE (依据:等弧所对的圆周角相等). 又∵∠CAD=∠CDA,∠ADC+∠ABF+∠BAE+∠CAD=180°, ∴∠BAE+∠CAD=90°, 即∠BAD=90°,∴AD⊥AB, ∴AD是☉O的切线. ⏜ ⏜ (2)如图,连接AF.∵AF=BE, ∴ AF=BE= 4 (依据:等弧对等弦). ∵AB是☉O的直径,∴ ∠ AFB= 90 ° (依据:直径所对的圆周角是直角),∴∠AFD=90°. 在Rt△ADF中,DF=√AD2-AF2=2. AB AF AB 4 ∵tan D= = ,∴ = ,∴AB=4√5. AD DF 2√5 2 又∵AB是☉O的直径,∴☉O的半径长为2√5. 24 (1)证明:如图,连接OC,则∠OAC=∠OCA. ⏜ ⏜ ∵BC=CD,∴BC = CD, ∴ ∠ DAC= ∠ CAB (依据:等弧所对的圆周角相等), ∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AD,∴∠OCE=∠F. ∵EH平分∠FEG, ∴∠FEG=2∠HEG, ∴∠F=∠FEG-∠FAE=2∠HEG-2∠CAB=2(∠HEG-∠CAB)=2∠H=2×45°=90°, ∴∠OCE=∠F=90°. 又∵OC是☉O的半径, ∴EF是☉O的切线. (2)如图,设☉O的半径为r,则OE=OB+BE=r+2. ∵OC2+CE2=OE2, 即r2+42=(r+2)2,解得r=3, ∴AE=AB+BE=6+2=8,OE=5. 由(1)知OC∥AD,∴△ECO∽△EFA, AE AF 8 AF 24 ∴ = ,即 = ,解得AF= . OE OC 5 3 5 25 D 如图,过点O作OE⊥AC于点E,OD⊥BC于点D,OF⊥AB于点F.连接AO,BO,CO.易证四边形 OECD是正方形,△AEO≌△AFO,△BDO≌△BFO,∴EC=CD,AE=AF,BD=BF.设OE=OD=OF=r,则 a+b-c EC=CD=r,∴AF=AE=b-r,BF=BD=a-r.∵AF+BF=AB,∴a-r+b-r=c,∴r= ,∴d=2r=a+b-c.故选项A 2 1 1 1 1 ab 正确.∵S =S +S +S ,∴ ab= br+ ar+ cr,∴ab=r(a+b+c),∴r= ,即d=2r= △ABC △AOC △BOC △AOB 2 2 2 2 a+b+c 2ab .故选项B正确.∵d=a+b-c,∴d2=(a+b-c)2=(a+b)2-2c(a+b)+c2=a2+2ab+b2- a+b+c 2ac-2bc+c2.∵a2+b2=c2,∴d2=2c2+2ab-2ac-2bc=2(c2+ab-ac-bc)=2[(c2-ac)+b(a-c)]=2(c-a)(c-b),∴d= √2(c-a)(c-b).故选项C正确.故选项D错误. 本题作为选择题,用特殊值法可快速定位答案. 2ab ∵△ABC为直角三角形,∴令a=3,b=4,c=5,∴选项A:d=a+b-c=2,选项B:d= =2,选项C:d= a+b+c √2(c-a)(c-b)=2,选项D:d=|(a-b)(c-b)|=1.很明显,只有D选项的结果跟其他选项的结果不一致,∴表达 式错误的是D选项. 1 26 (1)如图,连接OM,则OM=AO= AB=25 cm. 2∵点O为圆心,OC⊥MN,MN=48 cm, 1 ∴MC= MN= 24 cm (依据:垂径定理), 2 ∴OC=√OM2-MC2=√252-242=7(cm). (2)∵ GH 与半圆 O 的切点为 E (信息点), ∴ OE ⊥ GH (依据:圆的切线垂直于经过切点的半径). 又∵MN∥GH, ∴OD⊥MN. ∵∠ANM=30°,ON=25 cm, 1 ∴OD= ON=12.5 cm, 2 ∴操作后水面高度下降了12.5-7=5.5(cm). (3)∵OD⊥MN,∠ANM=30°, ∴∠DOB=60°. ∵ 半圆的中点为 Q (信息点), ⏜ ⏜ ∴AQ=QB,∴∠QOB=90°, ∴∠QOE=90°-60°=30°, √3 25√3 30π×25 25π l ∴EF=OE·tan∠FOE=25tan 30°=25× = (cm), ⏜ = = (cm). 3 3 EQ 180 6 25√3 25π 50√3-25π 25(2√3-π) ∵ - = = >0, 3 6 6 6 l ∴EF> ⏜ . EQ 考点29与圆有关的计算 150π×24 ⏜ 1 C AB的长为 =20π. 180 2 B ⏜ 1 3 B ∵OB⊥AC,点O是AC 所在圆的圆心,∴AD= AC= 150√ 3 (依据:垂径定理),∠AOD=∠COD.设 2 AO=OB=x,则DO=x-150.在Rt△ADO中,由勾股定理,得x2=(x-150)2+(150 )2,解得x=300,∴sin∠AOD= √3 = = ,∴∠AOD=60°,∴∠AOC=120°,∴ = =200π(m). AD 150√3 √3 120×π×300 l ⏜ AO 300 2 AC 180 4 C 如图,连接AE.∵AB是半圆的直径,∴∠AEB=90°,即AE⊥BC.又∵∠C=70°,∴∠CAE=90°-70°=20°,∴ 40π×5 10π ⏜ ⏜ DE 所对的圆心角度数为 40 ° (依据:圆周角定理),∴DE的长度为 = .故选C. 180 9如图,连接 OD,OE.∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=70°.∵OE=OB,∴∠OEB=∠ABC=70°,∴∠OEB=∠C,∴OE∥AC,∴∠ADO=∠DOE. 1 在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,∴∠A=180°-70°-70°=40°.又OA=OD= AB=5,∴∠A=∠ADO=40°=∠DOE,∴ 2 40π×5 10π ⏜ DE的长度为 = .故选C. 180 9 5 108 n×π×10 【解析】根据题意可知,☉M顺时针转动3周时,点P移动的路程为3×2π×1=6π(cm),∴ =6π, 180 解得n=108. 2π 6 3 7 8π 【解析】∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形,∴∠AOB=60°,OA=OB,∴△AOB为等边三角形, 1 ∴∠OAB=∠OBA=60°.如图,过点C作CE⊥AB于点E,则AE=BE= AB=√3 (依据:等腰三角形“三线合 2 ⏜ 一”).∵AB 所在圆的圆心 C 恰好是 △ ABO 的内心 (点拨:三角形的三条内角平分线的交点叫做三角形的内 AE 120π×2 4 ⏜ 心),∴∠CAE=∠CBE=30°,∴∠ACB=120°,∴AC= =2,∴AB的长为 = π,∴花窗的周长 cos30° 180 3 4 为 π×6=8π. 3 8 0.11 【解析】如图, 连接OC,∵点C为弦AB的中点,OA=OB,∴∠AOC= ∠AOB=45°,OC⊥AB.又CD⊥AB,∴ 2 点 D , C , O 共线 (提示:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直),∴OD=OA=2.在Rt△AOC中, √2 (2-√2)2 90π×2 AC=OC= OA=√2,∴AB=2√2,CD=2-√2,∴s=2√2+ =3.又l= =π,∴|l-s|=π-3≈0.1. 2 2 180 9 (1)方法一:∵AB是半圆O的直径, ∴∠ACB=90°. ∵∠ABC=60°, ∴∠BAD=30°. 又∵∠D=60°, ∴∠ABD=90°, ∴BD⊥OB. 又∵点B是半径OB的外端点, ∴BD是半圆O的切线. 方法二:∵AB是半圆O的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠CAB+∠ABC=90°. 又∵∠D=∠ABC, ∴∠CAB+∠D=90°, ∴∠ABD=90°, ∴BD⊥OB. 又∵点B是半径OB的外端点, ∴BD是半圆O的切线. (2)如图,连接OC. 在Rt△ABC中, ∵∠ABC=60°, ∴∠BAD=30°. ∵BC=3, ∴AB=2BC=6, ∴OA=OC=3, ∴∠ACO=∠BAD=30°, ∴∠AOC=120°, 120×π×3 ⏜ ∴AC的长= =2π. 180 10 C 如图,连接AD,∵△ ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°,∴ ∠ BDC= 180 ° - ∠ BAC= 120 ° ⏜ (依据:圆内接四边形的对角互补).∵D为BC的中点,∴BD=CD,∴AD垂直平分线段BC,∴AD经过点√3 √3 O, ∠ BAD= 30 ° (依据:等腰三角形“三线合一”),∴∠ABD=90°,∴DB= AB= ×4√3=4,∴S = 3 3 阴影部分 120π×42 16π = . 360 3 11 6π (8-2)×180° 135π×42 【解析】由题意知∠HAB= =135°,AH=AB=4,∴S = =6π. 8 阴影 360 12 D 如图,连接AC,由题意得AC=2AD=8.∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ADC=∠DAB=∠BCD=90°,∴CD=√AC2-AD2=4√3,∴图中阴影部分的面积为4×4√3-2× 90π×42 =16√3-8π. 360 13 A 14 11π 40π×102 40π×12 π(100-1) 【解析】S =S -S = - = = 11 π (易错点:圆心角为n°,半径为 阴影 扇形BOC 扇形AOD 360 360 9 nπR2 R的扇形的面积为 ,不要与弧长公式混淆). 360 π 1 15 ( - ) 4 8 90 1 1 1 π 1 【解析】S =S -S = π×12- × × =( - )(m2). 阴影 扇形AOB △COD 360 2 2 2 4 8 16 D 如图,易知MN垂直平分线段AB,PQ垂直平分线段BC,设MN与PQ相交于点O,则点O是△ABC 外接圆的圆心,连接OA,OB,OC,由题意,得OC2=OA2=12+22=5,AC2=12+32=10,∴OA2+OC2=AC2,OA=OC= √5,∴ △ AOC 是直角三角形 (依据:勾股定理的逆定理),∴∠AOC=90°,∴S =S -S -S = 阴影 扇形AOC △AOC △ABC 90π×(√5)2 1 1 5π 5 5 7 - ×√5×√5- ×2×1= - -1= π- . 360 2 2 4 2 4 217 A 如图,连接AO,AO',过点A作AB⊥OO'于点B.∵OA=OO'=AO'=2,∴△ AOO'是等边三角形,∴AB=√3 60π×22 1 2π 2π 2π ,∴S =S -S = - ×√2×3 = √3- ,∴S =S +S = √3- + = 弓形AO' 扇形AOO' △AOO' 360 2 3 阴影 弓形AO' 扇形AO'O3 3 4π -√3.故选A. 3 2 18 √3+ π 3 19 (1)证明:如图,连接BG. ∵AE=AD=1,AB=2, ∴BF=BE=1,∴AD=BF. 又∵AD∥BC,即AD∥BF, ∴ 四边形 ABFD 是平行四边形 (依据:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形), ∴∠BFD=∠DAB=60°. 又∵BG=BF, ∴△BFG是等边三角形,∴GF=BF. ∵BC=2AD=2BF,∴BF=CF. ∴GF=BF=FC. ∴G在以BC为直径的圆上, ∴ ∠ BGC= 90 ° (依据:直径所对的圆周角是直角). ⏜ 又∵BG为EF所在圆的半径, ⏜ ∴CG为EF所在圆的切线. (2)如图,过点D作DH⊥AB于点H. 在Rt△AHD中,AD=1,∠DAB=60°, √3 √3 ∴DH=AD·sin∠DAB=1× = . 2 2 由(1)知,DF=AB=2,GF=BF=AD=1,∴DG=1,1 1 √3 3√3 ∴S = (DG+AB)×DH= ×(1+2)× = . 四边形ABGD 2 2 2 4 ∵∠DAE=∠EBG=60°,AE=BE=1, 60π×12 π ∴S =S = = , 扇形DAE 扇形BEG 360 6 3√3 π 3√3 π ∴S =S -S -S = -2× = - . 阴影 四边形ABGD 扇形DAE 扇形BEG 4 6 4 3 20 B ∵∠AOB=90°,CE⊥AO,ED⊥OB,∴ 四边形 OCED 是矩形 (依据:有三个角是直角的四边形是矩形), 1 1 DE ∴DE=OC,S =S ,∴S =S .∵点C是AO的中点,∴DE=OC= OA= OE,∴sin∠EOD= = △OCE △ODE 阴影 扇形BOE 2 2 OE 1 30π×AO2 π×AO2 90π×AO2 π×AO2 ,∴∠EOD=30°,∴S =S = = .又∵S = = ,∴ 2 阴影 扇形BOE 360 12 扇形AOB 360 4 π×AO2 S 12 1 阴影 点P落在阴影部分的概率是 = = . S π×AO2 3 扇形AOB 4 21 C 22 C ∵底面圆的半径为30,圆锥的母线长为40,∴圆锥的侧面积为π×30×40=1 200π. 知识积累 ◀ ◀ ◀ 圆锥侧面积的3个计算公式 1.S=πrl(r为底面半径,l为母线长); 1 2.S= Cl(C为底面周长,l为母线长); 2 nπl2 3.S= (n为圆锥侧面展开后的扇形的圆心角的度数,l为母线长). 360 72π×5 23 D 设圆锥底面圆的半径为r,则2πr= ,解得r=1,则圆锥的高h=√52-12=2√6,∴该圆锥的 180 1 2√6 体积为 π×12×2√6= π. 3 3 24 5 1 【解析】设圆锥底面圆的半径为r cm,则 2π r= × 2π × 10 (点拨:圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆的周 2 长),∴r=5. 25 √3 (6-2)·180° 【解析】∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠BAF=∠AFE=∠E= 6 1 =120°,AB=AF=EF=DE=6,∴∠AFB=∠ABF=∠EFD=∠EDF= (180°-120°)=30°,∴∠BFD=120°- 2 √3 2×30°=60°.如图,过点A作AG⊥BF于点G,则BF=2FG=2AF·cos 30°=2×6× =6√3 .设这个圆锥的底 2 60π 面半径为r,则2πr= ×6√3,∴r=√3. 18026 (1)滤纸能紧贴此漏斗内壁. 理由:如图,设大圆锥的顶点为O,小圆锥的顶点为O,连接AB,CD. 1 2 可得直径为10的圆形滤纸的周长为10π, 1 ∴小圆锥底面圆的周长为 ×10π=5π, 2 ∴AB=5π÷π=5. 由题意知AO=BO=5, 2 2 ∴AB=AO=BO, 2 2 ∴△AOB是等边三角形. 2 ∵CD=CO=DO, 1 1 ∴△OCD是等边三角形, 1 ∴滤纸能紧贴此漏斗内壁. 5√3 (2)由题意可得滤纸围成的圆锥形的高为5×sin 60°= , 2 1 5 5√3 125√3 ∴滤纸围成的圆锥形的体积为 ×π×( )2× = π(cm3). 3 2 2 24 1 1 1 27 C 如图 , 过点 A 作 AC ⊥ OB 于点 C (关键辅助线),则AC= OA= ,∴正十二边形的面积为12× ×1× 2 2 2 1 =3,∴☉O的面积近似为3,∴π×12≈3,∴π≈3.故选C. 2 28 2 【解析】如图,连接OA,OC,OE,易证△ABC≌△AOC,△AFE≌△AOE,△CDE≌△COE.易知△ACE是等边三角 S 1 形,由等边三角形的性质可知S =S =S ,设S =a,则S=S =6a,S=S =3a,∴ △AOC △AOE △COE △AOC 1 六边形ABCDEF 2 △ACE S 2 =2.考点30尺规作图及用无刻度的直尺作图 1 B 2 D 分析如下.故选D. 分析 第1 连接CP,DP.由作图可知CP=DP,OC=OD.又OP=OP,∴△OCP≌△ODP,∴∠COP=∠DOP,即OP为 个 ∠AOB的平分线. 题图 第2 由作图可知OC=OD,OA=OB,∴AC=BD.又∵∠AOD=∠BOC,∴△AOD≌△BOC,∴∠OAD=∠OBC. 个 又∵AC=BD,∠APC=∠BPD,∴△APC≌△BPD,∴AP=BP.又 题图 ∵OA=OB,OP=OP,∴△AOP≌△BOP,∴∠AOP=∠BOP,即OP为∠AOB的平分线. 第3 由作图可知∠ACP=∠AOB,OC=CP,∴CP∥OB,∠COP=∠CPO,∴∠CPO=∠BOP,∴∠COP=∠BOP, 个 即OP为∠AOB的平分线. 题图 第4 个 由作图可知OP⊥CD,OC=OD,∴OP为∠AOB的平分线. 题图 3 C 由作图可得AB=AD=BC=DC,∴ 四边形 ABCD 是菱形 (依据:四条边相等的四边形是菱形), 1 1 1 ∴AD∥BC,∠CBD= ∠ABC,∴∠CBD= (180°-∠A)= (180°-44°)=68°. 2 2 2 4 C ∵AB为半圆O的直径,∴ ∠ ACB= 90 ° (依据:直径所对的圆周角是直角).∵∠CAB=50°,∴∠ABC=40°.由 1 作图知,BD平分∠ABC,∴∠CBD= ∠ABC=20°. 2 1 √ 1 √5 5 A 设AB=a,则BC= a,∴在Rt△ABC中,AC=√AB2+BC2= a2+( a)2= a.由题意得 2 2 2 1 √5 1 √5-1 √5-1 AD=AE,CD=BC= a,∴AE=AD=AC-CD= a- a= a.∵AE=mAB,∴m= .故选A. 2 2 2 2 2 6 D 如图,由尺规作图可知,BF是∠ABC的平分线, ∴∠1=∠2.∵AD∥BC,∴∠3=∠2,∴∠1=∠3,∴AE=AB=CD=3,∴BC=AD=AE+DE=3+2=5.∵AB∥CD,∴∠F=∠ BE CD 3 1,∴∠2=∠F,∴CF=BC=5,∴DF=CF-CD=5-3=2=DE.∵AD∥BC,∴ = = .故选D. EF DF 2 7 6 【解析】由作图可知,BP平分∠ABC.又AD⊥BC,MN⊥AB,∴MD=MN=2.∵AD=4MD,∴AD=8,∴AM=6. 8 √21 【解析】如图,过点F作FH⊥AC于点H,由作图可得∠BAP=∠CAP,DE⊥AB,AF=BF= 2 √2 AB=2.∵∠PQE=67.5°,∴∠AQF=67.5°.∴∠CAP=∠BAP=90°-67.5°=22.5°,∴∠FAH=45°,∴AH=FH= 2 A√F2= ,∴F到AN的距离√2为 . 9 【探究论证】(1)2 (2)4 15 (3) 2 1 S = ab. 四边形EFGH 2 证明:∵EG⊥FH, 1 1 ∴S = EG·FO,S = EG·HO, △FEG 2 △EHG 2 1 1 1 1 1 ∴S =S +S = EG·FO+ EG·HO= EG(FO+HO)= EG·FH= ab. 四边形EFGH △FEG △EHG 2 2 2 2 2 【理解运用】S =10. 四边形MPKQ 解法提示:∵MN=3,KN=4,MK=5, ∴MN2+KN2=9+16=25=MK2, ∴∠MNK=90°,∴∠NMK+∠MKN=90°. 设PQ与MK交于点T. 由作图可知∠MPQ=∠MKN, ∴∠NMK+∠MPQ=90°, ∴∠PTM=90°,即PQ⊥MK, 1 1 ∴S = ×PQ×MK= ×4×5=10. 四边形MPKQ 2 2 10 (1)如图,AE即为所求. (2)证明:∵AE为∠BAD的平分线, ∴∠BAE=∠DAE. ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AB∥CD, ∴ ∠ BAE= ∠ DEA (依据:两直线平行,内错角相等), ∴∠DAE=∠DEA, ∴DA=DE(依据:等角对等边), ∴△ADE是等腰三角形. 11 (1)作答如图.(2)①∠CFO=∠AEO ②OC=OA ③OF=OE ④过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的 垂线,与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形 12 (1)如图(1)所示,直线l即为所作. 图(1) 图(2) (2)如图(2), ∵DE为线段AB的垂直平分线, ∴BE=AE, ∴∠EBA=∠A=45°, ∴△ABE为等腰直角三角形, √2 √2 ∴BE= AB= ×8=4√2. 2 2 13 (1)作图如图所示. (2)证明:由(1),得∠ECF=∠A, ∴CF∥AB. 又∵BE∥DC, ∴四边形CDBF是平行四边形. ∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线, ∴CD=BD, ∴▱CDBF是菱形. 14 如图,△ABC即为所求作.(答案不唯一) 15 (1)如图,线段BO即为所求.(2)证明:如图,∵BO是Rt△ABC的斜边AC上的中线, 1 ∴BO= AC=AO=CO. 2 由旋转可知DO=BO, ∴DO=BO=AO=CO, ∴AC=BD,四边形ABCD为平行四边形, ∴四边形ABCD是矩形. 16 (1)如图(1),直线l就是所求作的直线. 图(1) (2)①当∠BAC=90°,AB=AC时,如图(2). ∵l∥l∥l,直线l 与l 间的距离为2,且l与l 间的距离等于l与l 间的距离,根据图形的对称性可知BC=2, 1 2 1 2 1 2 ∴AB=AC=√2, 1 ∴S = AB·AC=1. △ABC 2 图(2) 图(3) ②当∠ABC=90°,BA=BC时,如图(3), 分别过点A,C作直线l 的垂线,垂足为M,N, 1 ∴∠AMB=∠BNC=90°. ∵l∥l∥l,直线l 与l 间的距离为2,且l与l 间的距离等于l与l 间的距离, 1 2 1 2 1 2 ∴CN=2,AM=1. ∵∠MAB+∠ABM=90°,∠NBC+∠ABM=90°, ∴∠MAB=∠NBC, ∴ △ AMB ≌△ BNC (模型:“一线三直角”全等模型), ∴BM=CN=2. 在Rt△ABM中,由勾股定理得AB2=AM2+BM2, ∴AB=√5. 1 5 ∴S = AB·BC= . △ABC 2 2 ③当∠ACB=90°,CA=CB时,如图(4),同理可得,5 S = . △ABC 2 5 综上所述,△ABC的面积为1或 . 2 图(4) 17 感悟 证明:∵AB=AE,∴∠B=∠E. { AB=AE, 在△ABC和△AED中, ∠B=∠E, BC=DE, ∴△ABC≌△AED, ∴∠BAC=∠EAD. 应用 (1)作图如图(1)所示. 图(1) (2)作图如图(2)所示. 图(2) 18 (1)作图如图(1)所示. 图(1) 即点A,B,C将☉O的圆周三等分. (2)6√3 解法提示:∵点A,B,C是☉O的三等分点, ⏜ ⏜ ⏜ ∴AB=BC=CA,∴AB=BC=CA, ∴△ABC是等边三角形. 如图(2),连接AO,易知∠AOC=120°,图(2) 1 ∴∠OCA= ×(180°-120°)=30°, 2 ∴AC=2×OCcos 30°=2√3 cm, ∴△ABC的周长为3×2√3=6√3(cm). 19 (1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AB∥CD,AD∥BC,AB=CD,AD=BC. ∵点E,F,G,H分别是▱ABCD各边的中点, 1 1 ∴AE= AB= CD=CG,AE∥CG, 2 2 ∴ 四边形 AECG 为平行四边形 (依据:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). 同理可得:四边形AFCH为平行四边形, ∴AM∥CN,AN∥CM, ∴四边形AMCN是平行四边形. (2)①AC⊥BD(答案不唯一) ②如图所示,即为所求.(作法不唯一) 20 (1)作图如图所示. (2)作图如图所示. (3)如图,过点M作MN⊥AB,垂足为点N,则MN=MC=12. 3 在Rt△AMN中,sin A= ,∴AM=20, 5 ∴AN=√AM2-M N2=16, AN 4 ∴cos A= = . AM 5∵AC=AM-MC=8, AC ∴AB= =10, cosA ∴BN=AN-AB=6. 在Rt△BMN中,BM=√BN2+M N2=6√5. 对于第(1)(2)问,可用如下方法作图. 21 (1)√13 (2) 26 根据相似三角形的性质和矩形的面积,可以得到AD与AB的乘积为 ,从而可以得到点C,D的位置(说 3 法不唯一,正确即可) 【解析】(1)根据勾股定理得AB=√22+32=√13.(2)如图,易证 △ ABF ∽△ DAE (点拨:“一线三直角”相似模 AE AD 2 AD 2√13 2√13 26 型),∴ = ,即 = ,∴AD= ,∴AD·AB= ×√13= .这样找到点D的位置,同理可 BF BA 3 √13 3 3 3 以找到点C的位置. 22 (1)△ABC 如图所示. 1 1 1(2)40. (3)(3,0)或(4,2)或(5,4)或(6,6).(写出一个即可) 解题突破 ◀ ◀ ◀ 本题第(3)问需要学生利用网格得到△ABC的边AB,AC的长,判断出AB=AC=5,再结合等腰三角形“三线合 一”的性质,判断出点E在BC的垂直平分线上,即可解决问题. 23 (1)如图(1),直线l 或l 即为所求(画出一条即可). 1 2 图(1) 图(2) (2)如图(2),直线l 即为所求. 3 24 (1)如图(1),射线AD即为所求. (2)如图(1),点E即为所求. (3)如图(2),点F及射线AF即为所求. (4)如图(2),线段MN即为所求. 图(1) 图(2) 25 (1)如图(1),直线BD即为所求.图(1) (2)方法一:如图(2),直线BF即为所求. 图(2) 方法二:如图(3),直线BF即为所求. 图(3) 26 (1)如图(1),菱形BMEN即为所求(注:只需作出一种即可). 图(1) (2)如图(2),菱形BEPQ即为所求(注:只需作出一种即可).图(2) 考点31视图与投影、几何体的展开图 1 A 2 A 3 A 4 A 5 B 6 C 7 A 8 A 9 D 10 D 11 A 12 C 13 A 14 C 15 A 16 C 17 B 18 C 19 D 20 D 21 D 22 D 23 C 24 B 25 C 26 A 27 C 28 B如图,打“√”的小正方形能与阴影部分组成正方体展开图,打“✕”的小正方形不能与阴影部分 组成正方体展开图. 要点归纳 ◀ ◀ ◀ 11种正方体的表面展开图及其相对面 1.“一四一”型 2.“一三二”型 3.“二二二”型 4.“三三”型 注:相同颜色表示相对的面. 29 B考点32图形的对称、平移、旋转与位似 1 C 2 B 3 C 4 B 5 A 1 6 B ∵△OAB和△ODC都是等腰三角形,点E,F分别是底边AB,CD的中点,∴ ∠ AOE= ∠ BOE= 2 1 ∠ AOB , ∠ COF= ∠ DOF= ∠ COD (依据:等腰三角形“三线合一”).∵△ OAB与△ODC关于直线l对称, 2 ∴∠AOB=∠DOC,OE=OF,∴∠BOE=∠DOF,∴∠BOD=∠BOF+∠DOF=∠BOF+∠BOE=∠EOF=90°,即 OB⊥OD,故A,C推断正确.∵∠BOC+∠AOD=∠BOC+ (∠AOE+∠DOF+∠EOF)=∠BOC+∠BOE+∠COF+∠EOF=2∠EOF=180°,故D推断正确.根据题中条件 无法判断∠BOC与∠AOB是否相等,故B推断错误. 3 7 2 8 √2 【解析】如图,过点F作FM⊥BC于点M,FN⊥CD于点N,则四边形CMFN是矩形.∵CF平分 ∠BCD,∴FM=FN,∴ 四边形 CMFN 是正方形 (依据:一组邻边相等的矩形是正方形).由折叠的性质可得 1 BF=AB=2,∠FBE=∠ABE=30°,∴∠FBM=30°,∴MF= BF=1,∴CN=NF=MF=1,∴DN=CD-CN=1.在 2 Rt△DNF中,由勾股定理得DF=√N F2+DN2=√12+12=√2. 9 B 10 B 11 A 12 D 逐项分析如下.故选D. 是否 选项 分析 一定 正确 由旋转可知∠ACD=60°.仅由 A 题目条件不能确定∠ACB的大 否 小,∴∠ACB不一定等于∠ACD. 如图,记BF与CE交于点H.设 ∠ACH=x,∴∠ACB=60°-x.又 ∵∠B=30°,∴∠EDC=∠BAC=18 0°-30°-(60°-x)=90° B +x,∴∠EDC+∠ACD=90° 否 +x+60°=150°+x.∵x不一定等 于30°,∴∠EDC+∠ACD不一定 等于180°,∴AC∥DE不一定成 立.由旋转的性质可得 C 否 AB=ED=EF+FD,∴BA>EF. 如图,由旋转可知∠BCE=60°. D 又∵∠B=30°,∴∠BHC=180°- 是 ∠BCE-∠B=90°,∴BF⊥CE. 13 (-√2,√2) 14 D 15 1∶3 16 (1)如图,△ABC 即为所求. 1 1 1 点B 的坐标为(3,2). 1 (2)如图,△ABC 即为所求. 2 1 2 90π×2 点C 运动到点C 所经过的路径长为 =π. 1 2 180 17 (1)线段AB 如图所示. 1 1 (2)线段AB 如图所示. 2 2 (3)点M,N如图所示. 要点归纳 ◀ ◀ ◀ 利用网格及无刻度直尺作图时常见的问题及方法 1.找中点,如图(1),点M即为线段AB的中点(虚线为所作辅助线).图(1) 2.作垂线,如图(2),CD⊥AB. 图(2) 注意:作AB的垂线时,需观察AB的端点及所经过的网格的情况,视具体情况灵活作图. 考点33统计 1 C 2 D 3 D 4 D 8 5 160【解析】10个工件中一等品有8个,∴这200个工件中一等品的个数为200× =160. 10 6 B 将这组数据按从小到大的顺序排列为:130,141,158,179,192,位于最中间的数据是158,故中位数为 158. 7 B 李林综合成绩为90×60%+80×40%=86(分). 8 B 9 A 10 A 1 11 B 对于这组数据,平均数= (65+67+75+65+75+80+75+88+78+80)=74.8,把这组数据按从小到 10 75+75 1 大的顺序排列为65,65,67,75,75,75,78,80,80,88,故中位数为 =75,众数为75,方差为 [(65- 2 10 74.8)2×2+(67-74.8)2+(75-74.8)2×3+(78-74.8)2+(80-74.8)2×2+(88-74.8)2]=49.16.故选B. 计算一组数据的方差时,可观察这组数据,若这组数据的数值完全相同,则方差为0,否则方差不为0. 12 D 分析如下: 选项 分析 正误 由统计图可知,五月份空气质 A √ 量为优的天数是16天. 15天出现了3次,出现次数最 B √ 多,故众数是15天. 将这组数据按从小到大的顺 C 序排列(单位: √ 天):12,14,15,15,15,16,其中中位数为(15+15)÷2=15(天). 这组数据的平均数为 D ✕ (12+14+15×3+16)÷6=14.5(天). 13 C 由被污染的数据在30~40之间,可知这组数据的中位数为28,∴“■”在范围内无论为何值都不影 响这组数据的中位数.故选C. 14 C 由题意可知,要使选定7个盲盒质量的中位数仍为100,则需要从甲、乙、丙和丁、戊里选择一 个100克以上的盲盒和一个100克以下的盲盒,故选C. 15 7 【解析】∵这组数据的众数为7,∴m=7.把这组数据从小到大排列为6,6,7,7,7,8,则这组数据的中位数为 7+7 =7. 2 16 B 17 A 18 (1)20 补全条形统计图如图. 解法提示:a=1-5%-15%-35%-25%=20%. 200×20%=40. (2)D (3)1 200×25%=300(人). 答:估计该校1 200名学生中成绩在90分以上(包括90分)的人数为300人. 19 (1)160 40 44 (2) ×360°=99°. 160 故“国风古韵观赏线”对应的圆心角度数为99°. 160−44−40−48 (3)2 200× =385(人). 160 故估计选择“园艺小清新线”的员工人数为385人. 20 (1)39 218-30 733=8 485(元). 答:收入最高的一年比收入最低的一年多8 485元. (2)35 128元. (3)① 21 (1)7.5 7 25% (2)答案不唯一,例如:①甲组成绩的优秀率为37.5%,高于乙组成绩的优秀率25%,所以从优秀率的角度 看,甲组成绩比乙组好;②虽然甲、乙两组成绩的平均数相等,但甲组成绩的方差为4.48,高于乙组成绩 的方差0.73,所以从方差的角度看,乙组成绩更整齐;③甲组成绩的中位数为7.5分,高于乙组成绩的中位 数7分,所以从中位数的角度看,甲组成绩比乙组好,等.因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样 好,可见,小祺的观点比较片面. 22 (1)甲 29 (2)因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分,且甲的得分更稳定,所以甲队员的表现更好.(答案不 唯一,合理即可) (3)甲的综合得分:26.5×1+8×1.5+2×(-1)=36.5.乙的综合得分:26×1+10×1.5+3×(-1)=38. 因为38>36.5,所以乙队员的表现更好. 23 任务1:a=200-(15+70+50+25)=40. 15×4+50×5+70×6+50×7+15×8 任务2:因为 =6, 200 所以乙园样本数据的平均数为6. 任务3:① 任务4:由样本数据频数直方图可得,乙园的一级柑橘所占比例大于甲园,根据样本估计总体,因此可以认 为乙园柑橘品质更优.(答案不唯一,合理即可) 24 (1)补全频数分布直方图如图. (2)83 解法提示:将所抽取50名学生的成绩按照从小到大排列,位于第25,26位的数据分别是83,83,∴中位数 1 为 ×(83+83)=83. 2 20+10 (3)1 000× =600(人). 50 答:估计全校1 000名学生中模型设计成绩不低于80分的人数为600人. 3 2 (4)甲的综合成绩为94× +90× =92.4(分), 5 5 3 2 乙的综合成绩为90× +95× =92(分), 5 5 ∵92.4>92, ∴甲的综合成绩更高. 25 (1)86 87.5 40 解法提示:根据七年级20名学生的竞赛成绩可知86出现的次数最多,故a=86. 八年级20名学生的竞赛成绩在A组的人数为20×10%=2,在B组的人数为20×20%=4,在C组的人数 为6,故在D组的人数为20-2-4-6=8,故m%=8÷20×100%=40%,故m=40. 87+88 将八年级20名学生的竞赛成绩从小到大排列后,第10,11个数据分别为87,88,故b= =87.5. 2 (2)答案一:我认为七年级学生的安全知识竞赛成绩较好. 理由:七年级学生的安全知识竞赛成绩的众数86大于八年级学生的安全知识竞赛成绩的众数79. 答案二:我认为八年级学生的安全知识竞赛成绩较好. 理由:八年级学生的安全知识竞赛成绩的中位数87.5大于七年级学生的安全知识竞赛成绩的中位数 86. (写出一种答案即可) 6 (3)400× +500×40%=320. 20 答:估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是320. 考点34概率 1 A 2 D3 C 分析如下: 正 分析 误 10个人去摸,每个人摸到奖票的 A ✕ 概率一样大. 2 取得偶数的可能性为 ,取得奇 5 B 3 ✕ 数的可能性为 ,故取得奇数的 5 可能性较大. 3颗全是6点朝上的可能性虽 C 小,但是是有可能发生的,故是随 √ 机事件. 连续抛此硬币2次,是有可能2 D ✕ 次反面都朝上的. 4 A 5 0.53 6 D 7 B 3 8 5 x 3 x 3 【解析】由题意可知, = ,∴5x=3y,∴ = . x+ y 8 y 5 1 3 9 10 4 10 11 B 如图,虚线将大正方形分割成4个大小相同的小正方形.易知①②③④这4个扇形面积相同,∴阴 影部分的面积等于两个小正方形的面积之和,∴P=P. 1 2 3 12 8 13 A 画树状图如下: 1 由树状图可知,共有4种等可能的结果,其中两次摸出的都是红球的结果有1种,故所求概率为 . 4 14 B 画树状图如图所示:2 1 由树状图可知,共有6种等可能的情况,其中和为偶数的情况有2种,故所求概率为 = . 6 3 15 C 把跳绳、踢毽子、韵律操分别记为A,B,C,根据题意,画树状图如下, 由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中甲、乙两位同学恰好选择同一项活动的结果有3种,故所求 3 1 概率为 = .故选C. 9 3 16 D 根据题意画树状图如下所示. 5 由树状图可知共有9种等可能的结果,至少一辆车向右转的结果有5种,故所求概率是 . 9 17 D 将三张卡片分别表示为A,B,C,列表如下: A B C A (A,A) (B,A) (C,A) B (A,B) (B,B) (C,B) C (A,C) (B,C) (C,C) 3 1 由表格可知,共有9种等可能的情况,其中两次抽取的卡片正面相同的情况有3种,故所求概率为 = . 9 3 1 18 6 【解析】把《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》四本书分别记为A,B,C,D,根据题意,画树 状图如图所示,由树状图可知,共有12种等可能的结果,恰好抽到《三国演义》和《西游记》的结果有 2 1 2种,故所求概率为 = . 12 6 19 (1)0.3 (2)将3个红球分别记为R,R,R,白球记为W,黄球记为Y.根据题意,列表如下. 1 2 3 R R R W Y 1 2 3 R (R,R) (R,R) (R,R) (R,W) (R,Y) 1 1 1 1 2 1 3 1 1 R (R,R) (R,R) (R,R) (R,W) (R,Y) 2 2 1 2 2 2 3 2 2 R (R,R) (R,R) (R,R) (R,W) (R,Y) 3 3 1 3 2 3 3 3 3W (W,R) (W,R) (W,R) (W,W) (W,Y) 1 2 3 Y (Y,R) (Y,R) (Y,R) (Y,W) (Y,Y) 1 2 3 9 由表可知,共有25种等可能的结果,其中两次摸出的小球都是红球的结果有9种,故所求概率为 . 25 1 20 (1) 2 (2)树状图如图所示: 由图可以看出一共有12种等可能结果,其中小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的结果有2种, 2 1 ∴P(小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”)= = . 12 6 1 答:小军抽取的字谜均是猜“数学家人名”的概率是 . 6 1 21 (1) 3 (2)方法一:根据题意,列表如下: 甲 A B C 乙 A (A,A) (B,A) (C,A) B (A,B) (B,B) (C,B) C (A,C) (B,C) (C,C) 由表格可知总共有9种结果,每种结果出现的可能性相同,而甲、乙分到同一个班的结果有3种:(A,A), (B,B),(C,C), 3 1 所以P(甲、乙分到同一个班)= = . 9 3 方法二:根据题意,画树状图如下: 由树状图可知总共有9种结果,每种结果出现的可能性相同,而甲、乙分到同一个班的结果有3种:(A,A), (B,B),(C,C), 3 1 所以P(甲、乙分到同一个班)= = . 9 3 1 22 (1) 3 (2)画树状图如下:由上可得,一共有9种等可能的结果,其中小明和小丽选择相同基地的结果有3种, 3 1 ∴P(小明和小丽选择相同基地)= = . 9 3 23 (1)列表如下: 乙 1 2 3 4 甲 1 (1,2) (1,3) (1,4) 2 (2,1) (2,3) (2,4) 3 (3,1) (3,2) (3,4) 4 (4,1) (4,2) (4,3) 或画树状图如下: ∵共有12种等可能的情况,两球上的数字之和为奇数的情况有8种, 8 2 ∴P(甲获胜)= = . 12 3 (2)游戏规则对甲乙双方不公平. 2 1 理由:P(甲获胜)= ,P(乙获胜)= . 3 3 2 1 ∵ ≠ ,∴游戏规则对甲乙双方不公平. 3 3 1 24 (1) 4 (2)画树状图如下: 所有等可能的结果:(春,夏),(春,秋),(春,冬),(夏,春),(夏,秋),(夏,冬),(秋,春),(秋,夏),(秋,冬),(冬,春),(冬,夏),(冬, 秋). ∵共有12种等可能的结果,其中抽取的书签恰好1张为“春”,1张为“秋”的结果有2种, 2 1 ∴P(抽取的书签恰好1张为“春”,1张为“秋”)= = . 12 6 25 (1)当a=1,b=-2时, a+b=-1,2a+b=0,a-b=1-(-2)=3, 1 ∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为 . 3 (2)补全表格如下: a+b 2a+b a-b a+b 2a+2b 3a+2b 2a 2a+b 3a+2b 4a+2b 3a a-b 2a 3a 2a-2b 由表格可知,共有9种等可能的结果,其中和为单项式的结果有4种,4 故所求概率为 . 9 26 (1)将条形统计图补充完整如图(1)所示. 图(1) “手工制作”对应的扇形圆心角的度数为72°. (2)1 800×30%=540(人). 答:估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生有540人. (3)画树状图如图(2)所示. 图(2) 由树状图可知,共有9种等可能的结果,其中两位同学选择相同课程的结果有2种, 2 故所求概率为 . 9 27 (1)7.38 8.26 (2)小星的说法正确,小红的说法错误. (3)根据题意,列表如下: 甲 乙 丙 甲 (甲,乙) (甲,丙) 乙 (乙,甲) (乙,丙) 丙 (丙,甲) (丙,乙) 由表格可知共有6种等可能的结果,其中甲被抽中的结果有4种, 4 2 故甲被抽中的概率为 = . 6 3