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专题 22.16 实际问题与二次函数（专项练习）（培优练）
【题型目录】
【题型1】图形问题； 【题型2】图形运动问题；
【题型3】拱桥问题； 【题型4】销售问题；
【题型5】投球问题； 【题型6】喷水问题；
【题型7】增长率问题； 【题型8】其他问题.
【题型1】图形问题；
1．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）如图，用长为34米的篱笆，围成一面利用墙（墙的最大可用长度
为16米）的一个矩形场地花圃 ， 边上留有2米宽的小门 （用其他材料做，不用篱笆围），
设花圃的一边 长为x（米），面积为y（平方米）．
（1）若矩形场地面积为144平方米，求矩形场地的长和宽；
（2）矩形场地的长和宽为多少时，矩形场地的面积最大，并求出最大面积．
2．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，某农户计划用篱笆围成一个矩形场地养殖家禽，为充分利用现有
资源，该矩形场地一面靠墙（墙的长度为 )，另外三面用篱笆围成，中间再用篱笆把它分成三个面积
相等的矩形分别养殖不同的家禽，计划购买篱笆的总长度为 ，设矩形场地的长为 ， 宽为 ，
面积为 ．
（1）分别求出y与x，s与x的函数解析式；
（2）当x为何值时，矩形场地的总面积最大？最大面积为多少？
（3）若购买的篱笆总长增加 ，矩形场地的最大总面积能否达到 若能，请求出x的值；若不能，
请说明理由．3．（2024·河南周口·模拟预测）如图，某会展中心大门的截面图是由抛物线 和矩形 构成的，
矩形 的边 米， 米，以 所在直线为x轴，以 所在直线为y 轴建立平面直角坐
标系，抛物线顶点D 的坐标为 ．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）近期要在该会展中心召开科技博览会，需要对大门进行粉刷，工人师傅搭建了一条木板 ，点M
在抛物线上，支撑柱 垂直于x 轴， 米，工人师傅站在木板 上，他能利用工具刷到的最大
垂直高度是 米．请你判断工人师傅能否刷到顶点D．
【题型2】图形运动问题；
4．（2024·吉林·二模）如图，在等腰直角三角形 中， ， ．动点E，F分别从点
A，B同时出发，点E沿折线A→C→B向终点B运动，在AC上的速度为2cm/s，在CB上的速度为
cm/s，点F以1cm/s的速度沿线段 向终点A运动，连接 ， ．设运动时间为x（s）， 的面
积为y（cm2）（ ）．
（1） 的长为______cm（用含x的代数式表示）．
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
（3）当 为钝角三角形时，直接写出x的取值范围．5．（23-24八年级下·北京·期中）如图所示，在直角坐标系中，矩形 的边 在 轴上，点 在原
点， ， 若矩形以每秒 个单位长度沿 轴正方向做匀速运动 同时点 从 点出发以每秒
个单位长度沿 的路线做匀速运动 当 点运动到 点时停止运动，矩形 也随之停止运
动．
（1）求 点从 点运动到 点所需的时间；
（2）设 点运动时间为 秒 ．
①当 时，求出点 的坐标；
②若 的面积为 ，试求出 与 之间的函数关系式 并写出相应的自变量 的取值范围 ．
6．（2024·重庆·二模）如图1，在 中， ．点 从点 出发，以 的
速度沿折线 运动，同时点 从点 出发，以 的速度沿线段BC运动．当点 到达点 时，
P，Q停止运动．设点 运动的时间为 的面积为 ．（1）请直接写出 与 的函数关系式，并注明自变量 的取值范围；
（2）在图2平面直角坐标系中，画出 的函数图象，并写出这个函数的一条性质：____________；
（3）若 与 的函数图象与直线 有两个交点，则 的取值范围是_____________．
【题型3】拱桥问题；
7．（2024·河南商丘·模拟预测）商丘古城位于河南省商丘市睢阳区，是一座历史文化名城，可以追溯到
4500年前，尧封阏伯为火正，也就是传说中的火神．阏伯的封号为“商”，商丘由此而来．商丘古城是
当今世界上现存的唯一一座集八卦城、水中城、城摞城三位一体的大型古城遗址．如图为商丘古城西城
门，其形状可以用抛物线来表示，如右图建立平面直角坐标系，x轴为水平地面，城门在距O点水平距离
3米处为城门的最大高度9米．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）为宣传古城，政府部门在距离O点1米处修建了一排竖直排放的宣传栏，宣传栏的顶部交抛物线于
点C，准备在抛物线的右侧修建一组射灯P，且满足点P到点B和点C的距离相等．
①请在抛物线上标出点P的坐标（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）；
②求出点P的坐标．
8．（2024·陕西咸阳·模拟预测）人勤春来早，奋进正当时．眼下正是温室大棚育苗的好时节，大棚种植
户开始了新一年的辛勤劳作，在新的一年播下希望的种子．如图是小颖爸爸在屋侧的菜地上搭建的一抛
物线型蔬菜大棚，其中一端固定在离水平地面高3米的墙体A处（墙高大于4米），另一端固定在地面上
的C点处，现分别以地面和墙体为x轴和y轴建立平面直角坐标系，已知大棚的高度y（米）与大棚离墙体的水平距离x（米）之间的关系式用 表示，抛物线的顶点B的横坐标为2．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）小颖的爸爸准备在抛物线上取一点P（不与A，C重合），安装一直角形钢架 对大棚进行加固
（点D、E分别在y轴，x轴上，且 轴， 轴），小颖为爸爸设计了两种方案：
方案一：如图1，将点P设在抛物线的顶点B处，安装直角形钢架 对大棚进行加固；
方案二：如图2，将点P设在到墙的水平距离为5米的抛物线上，安装直角形钢架 对大棚进行加固．
方案一、二中钢架DPE所需钢材长度分别记为 、 ，请通过计算说明哪种方案更省钢材？（忽略接口
处的材料损耗）
9．（2024·陕西西安·模拟预测）如图①，是某高速公路正在修建的隧道．图②是其中一个隧道截面示意
图，由矩形 和抛物线的一部分 构成，矩形 的边 ， ，抛物线的最高点
离地面 ．
（1）以点 为原点、 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系 ．求抛物线的表达式；（2）为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移 所扫过的区域
即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为 ；
（3）该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于 范围内行驶，并保持车辆顶部
与隧道有不少于 的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度．
【题型4】销售问题；
10．（22-23九年级上·广东广州·期中）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元．据市场调查，销
售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售
单价不得低于成本．现公司决定降价出售．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？（每
天的总成本＝每件的成本×每天的销售量）
11．（2024·四川成都·模拟预测）龙泉驿水蜜桃有果大质优、色泽艳丽、汁多味甜三大特点，素有“天下
第一桃”的美誉．某商家在龙泉驿以 元 的价格收购了一批水蜜桃后出售，售价不低于 元 ，不
超过 元 ．该商家对销售情况进行统计后发现，日销售量 与售价 （元 ）之间的函数关系
如图所示．（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）设日销售利润为 元，当销售价格定为多少时，日销售利润最大？最大是多少？
12．（22-23九年级上·福建莆田·阶段练习）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出
200件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的
售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
（3）若获得月利润不低于2000元，试确定销售单价x的取值范围？
【题型5】投球问题；
13．（22-23九年级上·福建莆田·开学考试）掷实心球是高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1
是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度 与水平距离 之间的函数关系
如图2所示，掷出时起点处高度为 ，当水平距离为 时，实心球行进至最高点 处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据福建省高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的
水平距离大于等于 ，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
14．（22-23九年级上·吉林·期末）一名身高为 的篮球运动员甲在距篮筐（点B）水平距离 处跳起投篮，篮球准确落入篮筐，已知篮球的运动路线是抛物线，篮球在运动员甲头顶上方 处（点A）出
手，篮球在距离篮筐水平距离为 处达到最大高度 ，以水平地面为x轴，篮球达到最大高度时的
铅直方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求篮球运动路线（抛物线）的函数解析式；
（2）求篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度是多少米？
15．（2024·河南驻马店·模拟预测）投壶是中国古代士大夫宴饮时做的一种投掷游戏，是把箭向壶里投，
投中多的为胜．小明与小颖一起玩投壶游戏，使用底面边长为0.2米的正方形、高0.5米的长方体木桶做
壶，投掷点O到壶中心的水平距离4米．下图抛物线是小明投出箭头的运动轨迹，已知箭离手时箭头的
位置点A距离地面1.5米，飞行到离小明水平距离1米处达到最高点，箭头恰好穿过壶中心进入壶中．
（1）求出小明投掷时，箭头运动路线的表达式；
（2）小颖投掷时，箭头运动路线的表达式为 ，请判断小颖此次投掷能否成功进
壶？并说明理由；如果不能，小颖想把壶的位置移动一下，你帮助小颖计算一下这次投掷如果成功进壶，
那么壶需要移动的方向以及移动距离d的范围．
【题型6】喷水问题；
16．（2024·河南商丘·模拟预测）大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点 建立平面直角坐标系，
设水柱距水面的高度为 ，与射水鱼的水平距离为 与 的函数表达式为 ，水柱
的最大高度为 ．
（1）求 关于 的函数表达式．
（2）一只昆虫位于点 处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点 出发，需要水平向右游动
多少距离才能击中昆虫？
17．（2024·山东青岛·三模）如图，无人机在离地面 的A处发现大楼E处出现火灾，同时观察到A点
与大楼前的旗杆 顶端C及着火点E正好在同一直线上．此时消防员正在其正下方离地面 的B处进
行喷水灭火，水流近似的呈抛物线形状喷出，且正好经过C，E．已知旗杆 离消防员的水平距离是
，高度是 ，大楼离旗杆 ，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求直线 的解析式，并求E点坐标；
（2）求抛物线的解析式，并求水喷出的最大高度；
（3）由于火势太猛，消防员退后了 ，要使水仍然能喷到着火点E处，消防员应升高多少米？（期间
抛物线形状保持不变）
（4）在（3）的条件下，水流能否顺利越过旗杆？请说明理由．18．（2024·湖北武汉·二模）某广场建了一座圆形音乐喷水池，在池中心竖直安装一根水管 ，安装在
水管顶端A处的圆形喷头向四周喷水，且各个方向喷出的抛物线形水柱形状相同．如图1，以池中心O点
为坐标原点，水平方向为x轴， 所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．x轴上的点C，D为水柱的
落水点，若落地直径 ，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 处达到最高 ．
（1）求图1中右边抛物线的解析式；
（2）计划在图1中的线段 上的点B处竖立一座雕像，雕像高 ，若想雕像不碰到水柱，请求
出线段 的取值范围；
（3）圆形水池的直径为 ，喷水造型会随着音乐节奏起伏而变化，从而产生一组不同的抛物线（如图
2），若右侧抛物线顶点始终在直线 上，当喷出的抛物线水柱最大高度为 时，水柱会喷到圆
形水池之外吗？请说明理由．
【题型7】增长率问题；
19．（2015·山东临沂·一模）某工厂一种产品2013年的产量是100万件，计划2015年产量达到121万件．
假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同．
（1）求2013年到2015年这种产品产量的年增长率；
(2)2014年这种产品的产量应达到多少万件？20．（22-23九年级上·湖北荆州·期中）向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的
纯收入是7.26万元．
（1）求李明这两年纯收入的年平均增长率；
（2）随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边
靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度．
21．（2021·重庆沙坪坝·一模）中国新冠疫苗研发成功，举世瞩目，疫情得到有效控制，国内旅游业也逐
渐回温，我市某酒店有A、B两种房间，A种房间房价每天200元，B种房间房价每天300元，今年2月，
该酒店登记入住了120间，总营业收入28000元．
（1）求今年2月该酒店A种房间入住了多少间？
（2）该酒店为提高房间入住量，增加营业收入，大力借助网络平台进行宣传，同时将A种房间房价调低
2a元，将B种房间房价下调a%，由此，今年3月，该酒店吸引了大批游客入住，A、B两种房间入住量
都比2月增加了 a%，总营业收入在2月的基础上增加了a%，求a的值．
【题型8】其他问题.
22．（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的
始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂
直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线 和直线 ．其中，当
火箭运行的水平距离为 时，自动引发火箭的第二级．
（1）若火箭第二级的引发点的高度为 ．
①直接写出a，b的值；
②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低 ，求这两个位置之间的距离．
（2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过 ．
23．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点B的坐标为
，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线。在跳某个规定动作
时，运动员在空中最高处A点的坐标为 ，正常情况下，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规
定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误。运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失
误？通过计算说明理由
（3）在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且 ， ，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为 ，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点D在 之间（包括M，
N两点），求a的取值范围．
24．（2024·浙江·模拟预测）在生活中，我们会观察到这样的现象：当道路上车辆增多，车流密度增大，
司机会被迫降低车速；当车流密度减小，车速又会增加.我们通常用车流密度K，速度 v，交通量Q对道
路的交通状况进行宏观描述.车流密度K 是指在单位长度（通常为)路段上，一条道路上某一瞬时的车辆
数，它是表示在一条道路上车辆的密集程度.交通量Q是指单位时间(通常为1小时)通过道路某断面的车辆
数目.已知车流速度 v(单位： )是车流密度K(单位：辆 )的函数.某城市某条道路上，v关于K的函
数图象如图所示.
当车流密度 时，则速度v的值为理论最高值 ；
②当车流密度 时，v关于K 的函数关系为 (a，b是常数)，若车流密度K达到最大
值270时，则 .已知v关于K 的函数图象经过 .
（1）若 辆 时，求对应v的值.
（2）点 是图象 上一个动点，过点 P 作横轴的垂线交于点 E，作纵轴的垂线交于点 D，此时
矩形 所围成的面积为交通量Q（单位：辆/小时），求交通量Q的最大值.参考答案：
1．(1) ，
(2)矩形的长为 ，宽为 ，矩形面积最大，最大面积为
【分析】本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，构造二次函数求最值，熟练掌握矩
形的性质，一元二次方程的应用，构造二次函数是解题的关键．
（1）根据题意，得宽 ，长为 ，根据矩形场
地面积为144平方米，列出方程 ，解方程即可；
（2）设矩形的面积为 ，根据题意，得 ，
，构造二次函数解答即可．
【详解】（1）解：根据题意，得宽 ，
长为 ，
∵矩形场地面积为144平方米，
∴ ，
即 ，
解得： ， ，
当 时， ，符合题意，
当 时， ，舍去，
故当 时，成立，
答：矩形的长为 ，宽为 ．
（2）∵ ，
∴ ，
根据题意，得 ，
∴当 时， 随 增大而减小，∴当 时， 有最大值160，此时矩形的长为 ，宽为 ．
答：矩形的长为 ，宽为 ，矩形面积最大，最大面积为 ．
2．(1) ，
(2)当 时，矩形场地的总面积最大，最大为 ；
(3)矩形场地的最大总面积不能达到 ，理由见解析．
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题以后，准确列出
二次函数关系式，正确运用二次函数的有关性质来解题．
（1）设饲养室长为 ，则宽为 ，根据长方形面积公式即可得，由墙可用长 可得
的范围；
（2）把函数关系式化成顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）由题意列出函数关系式，再将 代入求解，最后再验证即可．
【详解】（1）根据题意得， ， ；
（2） ，
当 时，矩形场地的总面积最大，最大为 ；
（3）由题意得 ， ，
将 代入 得： ，
解得： ，
，
不符合要求，舍去，
矩形场地的最大总面积不能达到 ．
3．(1)(2)不能，理由见解析
【分析】本题主要考查二次函数的应用，用待定系数法求出抛物线的函数表达式是解题的关键．
（1）设抛物线函数表达式为顶点式，把点 的坐标代入即可；
（2）根据求出的函数解析式，将 代入进行计算后进行比较即可得到答案，
【详解】（1）解： 抛物线顶点D 的坐标为 ，
设抛物线的函数表达式为： ，
由题意得：点 的坐标为 ，
抛物线经过点 ，
，
解得 ，
故抛物线的函数表达式为： ；
（2）解：当 时， ，
，
设直线 的解析式为： ，
，
解得 ，
，
当 时， ，
作 轴于点 ，交 于点 ，
米，
由题意得 米，，
，
故师傅不能刷到顶点D．
4．(1) 或
(2)当 时， ；当 时，
(3) 或
【分析】本题考查动点的函数，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，解直角三角形，恰当
分类是解题的关键．
（1）分两种情况： 和 ，根据动点运动的路程、速度和时间的关系，结合勾股定理
求解即可；
（2）分两种情况： 和 ，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求解即可；
（3）先画出 是直角三角形的图形，求出此时 的值，再结合 的取值范围求解即可．
【详解】（1）当 时， 点E运动的路程就是 的长，即： = ，
当 时，作 于点 ，如图所示，
在 中， ， ，在 中， ， 。
故答案为： 或 ；
（2）点F运动的路程就是线段 的长，即 ，
当 时， ，即 ；
当 时，作 于点 ，如图所示，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
综上可得，求y关于x的函数解析式为： ；
（3）当 时， 是直角三角形，如图所示，
在 中， ， ， ，
∴ ，
解得： ，
当 时， 是直角三角形，如图所示，在 中， ， ，
，
∴ ，
解得： ，
∴当 为钝角三角形时，x的取值范围是： 或 ．
5．(1)16秒
(2)① ；②
【分析】 根据路程，速度，时间的关系，构建方程求解；
当 时， 点从 点运动到 上，此时 点到 点的时间 秒， ， ，
再过点 作 于点 ，则 ， ，得出 ，所
以得出点 的坐标；
可分三种情况“ ， ， ”进行讨论解题即可．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积，行程问题等知识，解题关键是理解题
意，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
【详解】（1）由题意 ，
点从 点运动到 点所需的时间为 秒；
（2） 当 时， 点从 点运动到 上，
此时 点到 点的时间 秒， ，，
过点 作 于点 ，则 ， ，
，
点 的坐标为 ；
分三种情况：
当 时，点 在 上运动，此时 ， ，
；
当 时，点 在 上运动，此时 ，
；
当 时，点 在 上运动，此时 ， ，
，
；
综上所述， 与 之间的函数关系式是： ．
6．(1)
(2)当 时， 为最大值（答案不唯一）
(3)
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数与二次函数综合．
（1）分两种情况分别计算即可；
（2）画出函数图象后分析函数图象即可得到性质；
（3）平移 ，找到与 的函数图象有两个交点的范围即可．
【详解】（1）当点 在线段 上时， ，
此时 ， ，∴ ；
当点 在线段 上时， ，
此时 ， ，
∴ ，
∴ ；
综上所述，
（2）函数图象如下：
根据函数图象可得，当 时， 为最大值（答案不唯一）；
（3）平移 ，如图所示：当 过 时，有两个交点，此时函数解析式为 ， ，
当 过 时，有一个交点，此时函数解析式为 ， ，
∴若 与 的函数图象与直线 有两个交点，则 的取值范围是 ，
故答案为： ．
7．(1)
(2)①见解析；②
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，线段垂直平分线的实际应用：
（1）由题意知，抛物线顶点为 ，据此把解析式设为顶点式，再根据抛物线经过原点利用待定
系数法求解即可；
（2）①点P到点B和点C的距离相等，则点P在点P在线段 的垂直平分线上，据此作线段
的垂直平分线与抛物线在 右侧的交点即为点P；②求出点C的坐标，进而求出 的中点坐标，
则可求出点P的纵坐标，进而求出点P的坐标即可．
【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为 ，∴设二次函数的解析式为 ，
∵抛物线过原点，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）解：①如图所示，即为所求；
②由题意得：B点坐标为 ，
将 代入抛物线解析式得： ，
∴ ，
∵P到B，C距离相等，
∴点P在线段 的垂直平分线上，
记BC中点为Q，连接PQ，
∴PQ为等腰 的中线，．
∴ ，则P纵坐标为 ，
设 ，代入 中，
解得： 或 （舍去），
∴ ．
8．(1)(2)方案一更省钢材，见解析
【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的
关键．
（1）由题意可得 ，将其代入表达式结合抛物线对称轴联立方程组即可
（2）分别将点p在顶点上时和横坐标为5时，代入解析式，求出纵坐标，根据 轴，
轴，即可得出答案．
【详解】（1）由题知 ，
将 代入 ，得 ，
抛物线的顶点B的横坐标为2．
，即 ，
解得 ，
抛物线的函数表达式为 ．
（2）方案一： 抛物线 的顶点B的横坐标为2．
，
将点P设在抛物线的顶点B处，
轴， 轴，
，
（米）．
方案二： 点P设在到墙的水平距离为5米的抛物线上，
即当 时， ，
，轴， 轴，
，
（米）．
．
综上可知，方案一更省钢材．
9．(1)
(2)
(3) 米
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，
（1）根据题意得顶点 ， 进而待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据平移的性质可得所求区域为边长为矩形的面积，即可求解；
（3）依据题意，由车辆必须在距离隧道边缘大于等于 范围内行驶，代入 求得函数值，进而
根据题意，即可求解．
【详解】（1）解：又∵ ，
∴ , ，顶点
设抛物线解析式为
∴
解得：
∴抛物线解析式为：
（2）将该抛物线向上平移 所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域
∴贴黄黑立面标记的区域的面积为
（3）由题意，∵车辆必须在距离隧道边缘大于等于2m范围内行驶，
∴令x=2，则 ．又 （米），
∴该隧道车辆的限制高度为5米．
10．(1)
(2)当销售单价为82元时，每天的销售利润最大
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用．借助二次函数解决实际问题，根据数量关系列出函数
解析式是关键．
（1）根据“利润=（售价 成本） 销售量”列出二次函数解析式即可；
（2）每天的总成本=每件的成本×每天的销售量列出一元一次不等式，从而可求得x的范围，然后
利用二次函数的性质可求得最大值利润．
【详解】（1）解∶
（2）解∶∵企业每天的总成本不超过7000元，
∴ ，
∴ ，
，
∵抛物线的对称轴为 且 ，
∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x增大而减小．
∴当 时，y有最大，最大值 ，
即销售单价为82元时，每天的销售利润最大，最大利润为4480元．
11．(1) ；
(2)当销售价格定为 元 时，日销售利润最大，最大是 元．
【分析】（ ）根据图象，利用待定系数法即可求解；
（ ）根据“日销售利润 每千克的利润 日销售量”列出 与 的函数关系式，根据二次函数的性质和 的取值范围即可求解；
本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式，利用二次函数的性质求
解是解题的关键．
【详解】（1）设 与 之间的函数关系式为 ，
由所给函数图象可知，图象经过点 ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ 与 之间的函数关系式为 ；
（2）∵ ，
∴
，
∵ ，
∴当 时， 的值随 值的增大而增大，
∴当 时， 取得最大值，最大值为 ，
∴当销售价格定为 元 时，日销售利润最大，最大是 元．
12．(1) （ 且x为正整数）
(2)65元，最大月利润为2250元
(3)
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数与不等式的实际应用，依据题意建立等式是解
题关键．
（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每件商品的利润为： 元，每月的销售量为 ，根据利润 （售价 进价） 销售量，即可解答；
（2）由（1）知函数关系式，利用二次函数的性质即可解答；
（3）根据二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），
则每件商品的利润为： 元，
总销量为： 件，
商品利润为：
，
．
∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，
∴ 且x为正整数；
（2）解： ，
，
当 时，最大月利润2250元．
这时售价为 （元）．
（3）解：当 时，即
解得： ，
，
当 时，
则 ．
13．(1)y关于x的函数表达式为
(2)该女生在此项考试中不能得满分，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是
是解题的关键．
（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令 ，解方程即可求解．
【详解】（1）解∶∵当水平距离为 时，实心球行进至最高点 处，
∴设 ，
∵ 经过点 ，
∴
解得∶
∴ ，
∴y关于x的函数表达式为 ；
（2）解：该女生在此项考试中不能得满分，理由如下∶
∵对于二次函数 ，当 时，有
∴ ，
解得∶ ， (舍去)，
∵ ，
∴该女生在此项考试中不能得满分．
14．(1)
(2)0.2米
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是：
（1）设抛物线的表达式为 ，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值即可；
（2）设篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度为 ，求出A的坐标为 ，然后把A
的坐标代入（1）中所求解析式求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴设抛物线的解析式为 ．
由题意可知，抛物线上的点B的坐标为 ．
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：设篮球出手时，运动员甲跳离地面的高度为 ．
， ．
由题意可得点A的坐标为 ，
∴ ，
∴ ．
∴篮球出手时，运动员跳离地面的高度是0.2米；
15．(1)
(2)小颖此次投掷不能成功进壶，移动距离 的范围是
【分析】本题考查二次函数的实际问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）运用待定系数法求函数解析式即可；
（2）令 ，则解方程 ，求出x值比较即可解题．
【详解】（1）由题可得抛物线的对称轴为直线 经过点 , ，
设小明投掷时箭头运动路线的表达式为 ,由题意可得：
，解得 ，而由题意可知箭飞行的范围是 到 ，即
∴小明投掷时箭头运动路线的表达式为 ；
（2）小颖此次投掷不能成功进壶，理由：
，
∴当 时, 即 ，
解得： (不符合题意，舍去)，
，
∴小颖此次投掷不能成功进壶，
小颖这次投掷如果成功进壶，那么壶需要移动的方向是向小颖方向移动，移动距离 的范围是
．
16．(1) 关于 的函数表达式为
(2)射水鱼需要水平向右游动 或 才能击中昆虫
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求出函数解析式是解题的关键．
（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据设射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动 才能击中昆虫，根据平移的性质得出平
移后的解析式，再把 代入解析式求出m即可．
【详解】（1）解： 水柱的最大高度为 ，
．
由题意，可知水柱过原点 ，将 代入 ，得 ，解得
．
关于 的函数表达式为 ．（2）解：设射水鱼水平向右游动 能击中昆虫．
游动后的抛物线表达式为 ．把 代入，得 ，解
得 或 ．
射水鱼需要水平向右游动 或 才能击中昆虫．
17．(1) ，
(2)
(3)消防员应升高4米
(4)水流能顺利越过旗杆，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；
（1）根据点A、C得坐标运用待定法求出直线 的解析式，再根据 ，令 ，求出
y，即可得出结论；
（2）设抛物线为 ，分别将B、C、E坐标代入即可得出解析式，然后化为顶点式即
可判断得解；
（3）由抛物线形状不变，消防员后退 ，设出新的抛物线 ，根据过点
E，求出k，可得解析式，然后令 即可解答；
（4）令 代入新的抛物线求出y，比较即可得出结论．
【详解】（1）解： 无人机在离地面 的A处发现大楼E处出现火灾，旗杆 离消防员的水
平距离是 ，高度是 ，
， ．
设直线 为 ，
，，
直线AC为 ，
又 ，
令 ，则 ．
．
（2）解：由题意知抛物线过 ， ， ，
设抛物线为 ，
，
．，
抛物线为 ，
当 时，y取最大值为 ．
水喷出的最大高度 ．
（3）由题意，∵抛物线形状保持不变，消防员后退 ，
可设新抛物线为 ，
又过 ， ，
，
新抛物线为 ，令 ，则 ，
又 ，
消防员应升高4米．
（4）解：∵新抛物线为 ，
令 ，则 ．
水流能顺利越过旗杆．
18．(1)
(2)
(3)水柱会落在圆形水池外，理由见解析
【分析】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、二次函数的实际应用，解题关键是理解题意求
出正确的二次函数解析式．
（1）求出点 和顶点坐标为 ，设顶点式，利用待定系数法解答即可；
（2）将 代入即可求得线段 的取值范围；
（3）求出 点坐标，由题意设右侧喷出的最高抛物线解析式为 ，求出坐标解析
式后可求抛物线喷出的最远距离，即可判断水柱是否会喷到圆形水池之外．
【详解】（1）解： ，
，
，
∵喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 处达到最高 ．
∴顶点坐标为 ，设右侧抛物线的解析式为： ，
把 代入得到， ，
解得 ，
∴图1中右边抛物线的解析式为 ；
（2）解：当 时， ，
解得 （不合题意，舍去）
∴线段 的取值范围为 ；
（3）解：水柱会落在圆形水池外，理由如下：
当 时， ，
∴点A的坐标为 ，
把 代入
，
，
当右侧喷出的抛物线最大高度为 时，
设抛物线的解析式为： ，
又上述抛物线过点 ，则
则 ，，
当 时， ，
，
， （舍去），
水柱会落在圆形水池之外．
19．(1)这种产品产量的年增长率为
(2)2014年这种产品的产量应达到110万件
【分析】（1）通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率；
（2）依据求得的增长率，代入2014年产量的表达式即可解决．
【详解】（1）解：设这种产品产量的年增长率为x，
根据题意列方程得 ，
解得 ， （舍去）．
答：这种产品产量的年增长率为 ．
（2）解： （万件）．
答：2014年这种产品的产量应达到110万件．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问
题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为 ；而增长率为
负数时，则降低后的结果为 ．
20．(1) ；
(2)40米．【分析】（1）设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意列出方程 ，即可
求解；
（2）设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，则可求出与墙垂直的宽为 米，再根据长方形
的面积公式列出方程即可求解．
【详解】（1）解：设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意可得 ，
解得， ， （不合题意，舍去）
答：李明这两年纯收入的年平均增长率为 ；
（2）解：设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，根据题意可得
，
解得， ， （不合题意，舍去）
答：养鸡场与墙平行的一边的长度为40米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是要理解题意，能正确列出方程．
21．（1）80；（2）20．
【分析】（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，然后根据题目已知条件列方程组进行求解计
算即可；
（2）先根据已知条件算出A、B两种房间的入住间数，然后算出总营业收入，然后根据算出对比与
2月的增长率，列式计算即可得到答案．
【详解】解：（1）设A、B两种房间入住分别为x、y间，由题意可知：
把①×200得
用②-③得： ，解得
把 代入①中，解得
故入住A房间的有80间．
（2）由题意得：下调后A房间的房价= ，B房间的房价=
由题目已知条件和（1）中计算的结果知：
下调后A房间的入住间数= ，B房间的入住间数=
故三月份的总收入=
又∵三月份比二月份总营业收入增加了
∴
即
解得： ， （舍去）
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用问题，二次函数与增长率的问题，解题的关键
在于能够根据已知条件找到等量关系进行列式计算．
22．(1)① ， ；②
(2)
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象
和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关
键．（1）①将 代入即可求解；②将 变为 ，即可确定顶点坐
标，得出 ，进而求得当 时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可；
（2）若火箭落地点与发射点的水平距离为 ，求得 ，即可求解．
【详解】（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高度为
∴抛物线 和直线 均经过点
∴ ，
解得 ， ．
②由①知， ，
∴
∴最大值
当 时，
则
解得 ，
又∵ 时，
∴当 时，
则
解得
∴这两个位置之间的距离 ．
（2）解：当水平距离超过 时，火箭第二级的引发点为 ，
将 ， 代入 ，得
，
解得 ，
∴ ．
23．(1) ；
(2)该运动员此次跳水失误了，理由见解析
(3)
【分析】本题考查二次函数实际问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、二次函数的图象与性质、
根据计算做决策及求参数范围等，读懂题意，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键．
（1）根据题意，利用待定系数法求出抛物线解析式，令 得出点B的坐标为 ；
（2）当距点E水平距离为5时，对应的横坐标为 ，将 代入解析式得 ，根据
，确定该运动员此次跳水失误了；
（3）根据题意得到点 ，当抛物线过点M和点N时，分情况求
出a值，进而根据点D在 之间得出 ．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为 ，
把 代入解析式得： ，
∴抛物线的解析式为 ；令 ，则 ，
解得： （舍去）， ，
∴入水处B点的坐标为 ；
（2）解：当距点E水平距离为5时，对应的横坐标为 ，
将 代入解析式得 ，
∵ ，
∴该运动员此次跳水失误了；
（3）解：∵ ，点E的坐标为 ，
∴点M，N的坐标分别为 ，
∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为 ，
且顶点C 距水面4米，经过点 ，
∴当抛物线过点M时， ，
∴ 即
∴ ，
把 代入，得 ，
解得 ；
同理，当抛物线过点 时， ，
则 ，解得， ，
由点D在 之间得a的取值范围为 ．
24．(1)
(2)6075
【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用：
（1）将 代入 求出a，b，再将 代入求解；
（2）根据 列出Q关于K的二次函数关系式，变形为顶点式即可求出最值．
【详解】（1）解： 若车流密度K达到最大值270时，则 ，
，
将 代入 ，得： ，
解得 ，
v关于K 的函数关系为 ，
将 代入，得：
即 辆 时，对应v的值为 ；
（2）解：由（1）知v关于K 的函数关系为 ，
， ，
，
，
当 时，Q取最大值，最大值为6075．
