文档内容
3.9 弧长及扇形的面积
1．了解扇形的概念，理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握
它们的应用；(重点)
2．通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长l＝和扇形面积S
扇
＝的计算公式，并应用这些公式解决一些问题．(难点)
一、情境导入
如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°.你能求出这
段铁轨的长度吗(π 取3.14)?
我们容易看出这段铁轨是圆周长的，所以铁轨的长度l≈＝157(米). 如果圆心角是任意
的角度，如何计算它所对的弧长呢？
二、合作探究
探究点一：弧长公式
【类型一】 求弧长
如图，某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头盒，需将“蘑菇罐头”字样贴在
罐头侧面．为了获得较佳视觉效果，字样在罐头盒侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑
菇罐头”字样的长度为( )
A.cm B.cm C.cm D．7πcm
解析：∵字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，∴此弧所对的圆心角为90°.由题意
可得R＝cm，则“蘑菇罐头”字样的长＝ ＝(cm)．故选B.
方法总结：解答本题关键是根据题意得出圆心角及半径，代入弧长公式进行计算．
【类型二】 利用弧长公式求半径或圆心角
(1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于，则该扇形的半径是________；
(2)如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为________．
解析：(1)若设扇形的半径为R，则根据题意，得＝，解得R＝2；(2)根据弧长公式得＝，
解得n＝60，故扇形圆心角的大小为60°.故答案分别为2；60°.
方法总结：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径．
【类型三】 圆的切线与弧长公式的综合如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠D.
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)当BC＝4，AB＝8时，求劣弧AC的长．
解析：(1)连接BC，由AB是⊙O的直径，根据半圆(或直径)所对的圆周角是直角，可
得∠ACB＝90°，又由∠EAC＝∠D，则可得AE是⊙O的切线；(2)首先连接OC，易得∠ABC
＝60°，则可得∠AOC＝120°，由弧长公式，即可求得劣弧AC的长．
(1)证明：如图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠BAC＋∠ABC＝90°.又∵∠EAC＝
∠D，∠B＝∠D，∴∠BAC＋∠CAE＝90°，即BA⊥AE，∴AE是⊙O的切线；
(2)解：如图，连接OC，∵△ABC是直角三角形，∴sin∠BAC＝＝＝，∴∠BAC＝
30°，∴∠ABC＝60°，∴∠AOC＝120°.∴劣弧AC的长＝＝.
方法总结：此题考查了切线的判定、圆周角定理以及弧长公式等知识．注意数形结合
思想的应用，注意辅助线的作法．
探究点二：扇形的面积公式
【类型一】 求扇形面积
一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为________(结果保留
π)．
解析：把圆心角和半径代入扇形面积公式S＝＝＝3π.故答案为3π.
方法总结：公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个．扇形面积
还有另外一种求法S＝lr，其中l是弧长，r是半径．
【类型二】 求阴影部分的面积
如图，扇形AOB中，半径OA＝2，∠AOB＝120°，C是AB的中点，连接AC、
BC，则图中阴影部分的面积是( )
A.－2
B．2π－2
C.－
D.－
解析：连接OC，过O作OM⊥AC于M，∵∠AOB＝120°，C为AB中点，∴∠AOC＝
∠BOC＝60°.∵OA＝OC＝OB＝2，∴△AOC、△BOC是等边三角形，∴AC＝BC＝OA＝2，AM
＝1，∴△AOC的边AC上的高OM＝＝，△BOC边BC上的高为，∴阴影部分的面积是(－
×2×)×2＝－2.故选A.
方法总结：本题考查了扇形的面积、三角形的面积、等边三角形的判定和性质，解决
此题要利用扇形的面积公式求出各部分的面积．
【类型三】 求不规则图形的面积
如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为( )
A．4π－2
B．2π－2
C．4π－4
D．2π－4
解析：连接AB，由题意得阴影部分面积＝2(S －S )＝2(－×2×2)＝2π－4.故选
扇形AOB △AOB
D.
方法总结：关键是需要同学们仔细观察图形，将不规则图形的面积转化为规则图形的
面积的和或差．
三、板书设计
弧长及扇形的面积
1．弧长公式：l＝
2．扇形的面积公式：S ＝＝ lR
扇形
本节课的授课思路是：复习圆周长公式，推出弧长公式，由圆面积公式类比导出扇形面积
公式．使学生在经历数学知识发生、发展、形成的“再创造”活动中，获取广泛的数学活
动经验，进而促进自身的主动发展.
