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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 55 练 二项分布、超几何分布与正态分布（精
练）
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知
该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ，且 ．记该棋手连胜两盘的概率为p，
则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
2．（2021·全国·统考高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布 ，下列结论中不正确的是
（ ）
A． 越小，该物理量在一次测量中在 的概率越大
B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．该物理量在一次测量中落在 与落在 的概率相等
3．（2021·全国·统考高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取
两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是
2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
4．（2023·全国·统考高考真题）某地的中学生中有 的同学爱好滑冰， 的同学爱好滑雪， 的
同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰
的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4二、多选题
5．（2023·全国·统考高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率
为 ，收到0的概率为 ；发送1时，收到0的概率为 ，收到1的概率为 . 考
虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复
发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到
的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当 时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的
概率
三、填空题
6．（2022·全国·统考高考真题）已知随机变量X服从正态分布 ，且 ，则
．
四、双空题
7．（2023·天津·统考高考真题）甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为 ．这
三个盒子中黑球占总数的比例分别为 ．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑
球的概率为 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 ．
8．（2022·天津·统考高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为
；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为
9．（2022·浙江·统考高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随
机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为 ，则 ， ．
10．（2021·天津·统考高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，
则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 和 ，且每次活动中甲、
乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 ，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 ．
11．（2021·浙江·统考高考真题）袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球
数为 ，若取出的两个球都是红球的概率为 ，一红一黄的概率为 ，则 ，
.
五、解答题
12．（2023·全国·统考高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其
中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白
鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）.
(1)设 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求 的分布列和数学期望；
(2)实验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.1
32.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.2
19.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40只小鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于的数据的个数，完成如
下列联表：
对照
组
实验
组
（ii）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加
量有差异．
附：
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.63513．（2023·全国·统考高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续
投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的
命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第 次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，则 ．
记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ．
14．（2023·北京·统考高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价
格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用
“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时段 价格变化
第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
用频率估计概率．
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；
(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天
中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下
跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
15．（2022·全国·统考高考真题）在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，
得到如下的样本数据的频率分布直方图：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间 的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为 ，该地区年龄位于区间 的人口占该地区总人口的 .从该
地区中任选一人，若此人的年龄位于区间 ，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年龄
位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
16．（2022·全国·统考高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生
习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时
在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良
良好
好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该
疾病”． 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标
为R．
（ⅰ）证明： ；（ⅱ）利用该调查数据，给出 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附 ，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
17．（2021·全国·统考高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为
第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独
立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， ．
（1）已知 ，求 ；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：
的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时， ；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
18．（2021·北京·统考高考真题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一
起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，
检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人
的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为 .设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，
试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)19．（2022·全国·统考高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10
分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中
获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
20．（2022·北京·统考高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到
以上（含 ）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙
以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
21．（2021·全国·统考高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的
同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确
则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题
回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回
答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．某校团委决定举办“鉴史知来”读书活动，经过选拔，共10名同学的作品被选为优秀作品，其中高一
年级5名同学，高二年级5名同学，现从这10个优秀作品中随机抽7个，则高二年级5名同学的作品全被抽出的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．若某品种水稻杂交试验成功率是失败率的2倍，一次试验只有成功与失败两种结果，用 描述一次试验
的成功次数，则 （ ）
A．0 B． C． D．
3．红心猕猴桃是六盘水市著名特产之一，富含维生素C及多种矿物质和18种氨基酸，特别是微量元素中
的含钙量为果中之首，被誉为“人间仙果”“果中之王”“维C之王”．据统计，六盘水市某种植基地红
心猕猴桃的单果重量（单位：克）近似服从正态分布 ，则单果重量在 的概率约为
（ ）（附：若 ，则 ， ，
）
A．0.9545 B．0.6827 C．0.2718 D．0.1359
4．甲、乙两人各加工一个零件，若甲、乙加工的零件为一等品的概率分别是 和 ，两个零件是否加工为
一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．若随机变量 服从两点分布，其中 ， ， 分别为随机变量 的均值与方差，则
下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．某学校有2000人参加模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布 ，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的 ，则此次数学考试成绩在90分到
120分（含90分和120分）之间的人数约为（ ）．
A．400 B．600 C．800 D．1200
7．有 件产品，其中 件是次品，从中任取两件，若 表示取得次品的个数，则 等于（ ）
A． B． C． D．
8．甲、乙两类水果的质量（单位： ）分别服从正态分布 ， ，其相应的分
布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大
B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右
C．水果的质量服从的正态分布的参数
D．甲类水果的平均质量
9．甲班和乙班同学在体育课上进行拔河比赛，比赛采取三场两胜制（当一个班获得两场胜利时，该班获
胜，比赛结束），假设每场比赛甲班获胜的概率为 ，每场比赛结果互不影响，则甲班最终获胜的概率为
（ ）
A． B． C． D．
10．50个乒乓球中，合格品为45个，次品为5个，从这50个乒乓球中任取3个，出现次品的概率是（
）A． B． C．1－ D．
11．“石头､剪刀､布"，又称“猜丁壳”，是一种流传多年的猜拳游戏，起源于中国，然后传到日本､朝鲜
等地，随着亚欧贸易的不断发展，它传到了欧洲，到了近代逐渐风靡世界游戏规则是：“石头"胜"剪刀”､
“剪刀”胜“布”､“布”胜“石头”，若所出的拳相同，则为和局.小明和小华两位同学进行三局两胜制
的“石头､剪刀､布”游戏比赛，则小华经过三局获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，
将3次遇到黑色障碍物，最后落入 袋或 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的
概率都是 ，则小球落入 袋中的概率为（ ）
A． B． C． D．
13．设随机变量 服从两点分布，若 ，则 （ ）
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
14．若 ，则 取得最大值时， （ ）
A．4或5 B．6或7 C．8 D．10
15．在10个排球中有6个正品，4个次品，从中随机抽取4个，则正品数比次品数少的概率为（ ）
A． B． C． D．16．李克强总理提出，要在960万平方公里土地上掀起“大众创业”､“草根创业”的新浪潮，形成“万众
创新”､“人人创新”的新势态.为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两
名员工，若某节假日每位员工的休假概率均为 ，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而
另一家无人休假，则调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日
能正常开业的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
17．若随机变量 服从两点分布，其中 ， ， 分别为随机变量 的均值与方差，
则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
18．已知 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．若 越大，则 越大
19．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．随机变量 服从二项分布 ，若 ， ，则
B．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关
成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为 ，则游戏者闯关成功的概率为
C．设随机变量 服从正态分布 ，若 ，D．某人在10次射击中，击中目标的次数为 ， ，则当且仅当 时概率最大
20．袋子中有3个黑球2个白球现从袋子中有放回地随机取球4次取到白球记1分，黑球记0分，记4次取
球的总分数为 ，则（ ）
A． B．
C． 的期望 D． 的方差
21．一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台，如果从中随机挑选2台，下列说法正确的
是（ ）
A．这2台电脑中A品牌台数为1的概率是
B．这2台电脑中A品牌台数为2的概率是
C．这2台电脑中至多有1台A品牌电脑的概率是
D．这2台电脑中至少有1台B品牌电脑的概率是
22．在一个袋中装有大小一样的6个豆沙粽，4个咸肉粽，现从中任取4个粽子，设取出的4个粽子中成肉
粽的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．随机变量X服从超几何分布 D．
三、填空题
23．若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 的值为 ．
24．已知随机变量 服从两点分布，且 ，设 ，那么 ．
25．已知随机变量X服从两点分布，且 ，则 ．
26．某校高中三年级1600名学生参加了区第一次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩量 服从正态分
布 （试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的 ，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为 人.
27．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局，甲每局赢的概率为 ，
已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为 ．
28．袋中有大小､质地完全相同8个球，其中黑球5个､红球3个，从中任取3个球，则红球个数不超过1
的概率为 .
29．弘扬中学有一支篮球队，甲、乙为该球队队员，已知甲、乙两名队员投篮命中的概率分别为 和 .现
两人各进行一次投篮比赛，假定两人是否投中互不影响，则甲、乙两人至少有一人投中的概率为 .
30．假设苏州肯帝亚球队在某赛季的任一场比赛中输球的概率都等于 ，其中 ，且各场比赛互不影
响.令X表示连续9场比赛中出现输球的场数，且令 代表9场比赛中恰有k场出现输球的概率 .
已知 ，则该球队在这连续9场比赛中出现输球场数的期望为 .
31．为了提高学生的数学应用能力和创造力，某学校组织了“数学建模”知识竞赛活动，学生的竞赛成绩
服从正态分布 ，且 ．现有参加了竞赛活动的3名学生，则恰有1名学生的
竞赛成绩超过90分的概率为 .
32．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位
成员中使用移动支付的人数， ，则 .
33．《中国诗词大会》是央视首档全民参与的诗词节目，节目以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之
美”为宗旨.每一期的比赛包含以下环节：“个人追逐赛”、“攻擂资格争夺赛”和“擂主争霸赛”，其中
“擂主争霸赛”由“攻擂资格争夺赛”获胜者与上一场擂主进行比拼.“擂主争霸赛”共有九道抢答题，抢
到并答对者得一分，答错则对方得一分，率先获得五分者即为该场擂主.在《中国诗词大会》的某一期节目
中，若进行“擂主争霸赛”的甲乙两位选手每道抢答题得到一分的概率都是为0.5，则抢答完七道题后甲
成为擂主的概率为 .
34．袋中装有大小和质地相同的5个白球，3个黑球.现在依次不放回地摸5个球，则摸出至少3个白球的
概率为 .（结果用最简分数表示）35．甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为 ；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为 ，假
定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下
是等可能的，则甲胜第一局，乙胜第二局的概率为 .
四、解答题
36．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3
张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X
的分布列．
37．某校高一、高二的学生组队参加辩论赛，高一推荐了3名男生、2名女生，高二推荐了3名男生、4名
女生．推荐的学生一起参加集训，最终从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表
队．
(1)求高一至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列．
38．某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，
得到如下列联表：
喜欢游
不喜欢游泳 合计
泳
男生 25
女生 35
合计
已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为 .
(1)请将上述列联表补充完整；
(2)依据小概率值 的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；
(3)将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为
，求随机变量 的分布列和期望．
附： .
0.100 0.050 0.010 0.0012.706 3.841 6.635 10.828
39．为了解高三学生体能情况，某中学对所有高三男生进行了掷实心球测试，测试结果表明所有男生的成
绩 （单位：米）近似服从正态分布 ，且 .
(1)若从高三男生中随机挑选1人，求他的成绩在 内的概率.
(2)为争夺全省中学生运动会的比赛资格，甲､乙两位同学进行比赛.比赛采取“五局三胜制”，即两人轮流
掷实心球一次为一局，成绩更好者获胜（假设没有平局）.一共进行五局比赛，先胜三局者将代表学校出战
省运会.根据平时训练成绩预测，甲在一局比赛中战胜乙的概率为 .
①求甲代表学校出战省运会的概率.
②丙､丁两位同学观赛前打赌，丙对丁说：“如果甲 获胜，你给我100块，如果甲 获胜，你给我50
块，如果甲 获胜，你给我10块，如果乙获胜，我给你200块”，如果你是丁，你愿意和他打赌吗？说
明你的理由.
40．某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“北京冬奥会开幕式”当晚的收看情
况进行了随机抽样调查．统计发现，通过手机收看的约占 ，通过电视收看的约占 ，其他为未收看者：
(1)从被调查对象中随机选取3人，其中至少有1人通过手机收看的概率；
(2)从被调查对象中随机选取3人，用 表示通过电视收看的人数，求 的分布列和期望．
41．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北
斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛.2020年6月23日，
中国第55颗北斗导航卫星成功发射标志着拥有全部知识产权的北斗卫星导航系统全面建成．据统计，2019
年卫星导航与位置服务产业总产值达到 亿元，较2018年约增长 ．从全球应用北斗卫星的城市
中选取了 个城市进行调研，上图是这 个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万
元）的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，求产值小于 万元的调研城市个数；
(2)在上述抽取的 个城市中任取 个，设 为产值不超过 万元的城市个数，求 的分布列及期望和方
差．
(3)把频率视为概率，从全球应用北斗卫星的城市中任取 个城市，求恰有 个城市的产值超过 万元的概
率．
42．天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分．2021年6月17日，
神舟十二号载人飞船搭载着聂海胜、刘伯明和杨洪波三名宇航员升空并顺利“入住”天和核心舱．这是中
国人首次进入自己的空间站，这也标志着中国载人航天事业迈入了一个新的台阶．为了能顺利的完成航天
任务，挑选航天员的要求非常严格．经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标 服从正态
分布 ，航天员在此项指标中的要求为 ．某学校共有1000名学生，为了宣传这一航天盛事，
特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动．学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行
4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔．假设学生通过每个环节的概率均
为 ，且相互独立．
(1)设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；
(2)请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）．以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终
通过学校选拔的人数Y的期望值．
参考数值： ， ， ．
43．2020年，由于新冠肺炎疫情的影响，2月底学生不能如期到学校上课，某校决定采用教育网络平台和老师钉钉教学相结合的方式进行授课，并制定了相应的网络学习规章制度，学生居家学习经过一段时间授
课，学校教务处对高一学生能否严格遵守学校安排，完成居家学习的情况进行调查，现从高一年级随机抽
取了 两个班级，并得到如表数据：
A班 B班 合计
严格遵守 36 56
不能严格遵守
合计 50 50
(1)补全下面的 列联表，并且根据调查的数据，判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为
“学生能严格遵守学校安排，完成居家学习”和学生所在班级有关系；
(2)网络授课结束后，高一年级800名学生进行了测试，学生的数学成绩近似服从正态分布 ，若
90分以下都算不及格，问高一年级不及格的学生有多少人？
附1：参考公式： ；
附2：若随机变量X服从正态分布 ，则 ，
44．甲､乙两人进行投篮比赛，每局比赛，甲先投，投两次，每次投中得1分，未投中不得分；接下来乙投
两次，两次均投中得3分，恰有一次投中得1分，两次均末投中得 分；已知甲､乙每次投篮投中的概率
分别为 和 ，且两人各次投篮是否投中相互独立.
(1)求一局比赛中，甲的得分低于乙的得分的概率；
(2)若进行两局比赛，求甲､乙的累计得分相同的概率.
45．为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内 个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，
全是小城市的概率为 .
(1)求n的值；
(2)若一次抽取4个城市，
①假设抽取出的小城市的个数为X，求X的可能值及相应的概率；
②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.
46．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况.随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出
它们的质量（单位：克），质量的分组区间为 ， ，…， ，由此得到样本的频
率分布直方图，如图所示.
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量和样本平均值 ；
(2)由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值 服从正态分布 ，其
中 近似为（1）中的样本平均值 ，计算该批产品质量指标值 的概率；
(3)从该流水线上任取2件产品，设 为质量超过505克的产品数量，求 的分布列和数学期望.
附；若 ，则 ， ，47．某人参与一种答题游戏，需要解答 三道题．已知他答对这三道题的概率分别为p，p， ，且各
题答对与否互不影响，若他全部答对的概率为 ．
(1)求p的值；
(2)若至少答对2道题才能获奖，求他获奖的概率．
48．据世界田联官方网站消息，原定于2023年5月13、14日在中国广州举办的世界田联接力赛延期至
2025年4月至5月举行.据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加2025年4月至5月在广州举行的 米
接力的角逐.接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛.已知甲队在预赛和
半决赛中获胜的概率分别为 和 ；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为 和 ；丙队在预赛和半决
赛中获胜的概率分别为 和 .
(1)甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为 ，求 的分布列.
49．教师教学技能训练是高等师范学校学生的必修内容.某师范类高校为了在有限的课时内更好的训练学生
的教学技能，制定了一套考核方案：学生从6个试讲内容中一次性随机抽取3个，并按照要求在规定时间
内独立完成.规定：至少合格完成其中2个便可提交通过.已知6个试讲内容中学生甲有4个能合格完成，2
个不能完成；学生乙每个内容合格完成的概率都是 ，且每个内容合格完成与否互不影响
(1)分别写出甲、乙两位学生在一起考核中合格完成试讲内容数量的概率分布列，并分别计算其数学期望；
(2)试从两位学生合格完成试讲内容的数学期望及至少合格完成2个试讲内容的概率分析比较两位学生的教
学技能.
50．在一个计算机网络服务器系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度.
(1)若该系统采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一
台能正常工作，该网络就不会断掉.设三台设备的可靠度均为0.9，它们之间相互不影响.求能正常工作的设
备数X的分布和数学期望；(2)若该网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能带来约50万的经济损失.
为减少经济损失，有以下两种方案：方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更
新设备硬件总费用为8万元；方案2：对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护总费
用为5万元.请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策？
51．某中学为宣传《未成年人保护法》.特举行一次《未成年人保护法》知识竞赛.规则如下：两人一组.每
一轮竞赛中.小组两人分别答两题.若小组答对题数不小于3.则获得“优秀小组”称号．已知甲、乙两位同
学组成一组.且甲同学和乙同学答对每道题的概率分别为 . ．
(1)若 . .求在第一轮竞赛中.他们获得“优秀小组”称号的概率；
(2)若 .且每轮竞赛结果互不影响.如果甲、乙同学想在此次竞赛活动中获得9次“优秀小组”称号.
那么理论上至少要进行多少轮竞赛？
52．在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册
的人间奇迹，习近平总书记指出：“脱贫摘帽不是终点，而是新生活､新奋斗的起点.”某农户计划于2021
年初开始种植某新型农作物，已知该农作物每年每亩的种植成本为2000元，根据前期各方面调查发现，该
农作物的市场价格和亩产量均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如下表：
90
该经济农作物亩产量（kg） 1200
0
概率 0.5 0.5
该经济农作物市场价格（元
30 40
∕kg）
概率 0.4 0.6
(1)设2021年该农户种植该农作物一亩的纯收入为X元，求X的分布列.
(2)若该农户从2021年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中该农
户种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于30000元的概率.【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．中国的景观旅游资源相当丰富，5A级为中国旅游景区最高等级，代表着中国世界级精品的旅游风景区
等级．某地7个旅游景区中有3个景区是5A级景区，现从中任意选3个景区，下列事件中概率等于 的是
（ ）
A．至少有1个5A级景区 B．有1个或2个5A级景区
C．有2个或3个5A级景区 D．恰有2个5A级景区
2．在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布 ，试卷满分 分，
统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的 ，数学考试成绩在 分到 分（含 分和 分）
之间的人数为 人，则可以估计参加本次联考的总人数约为（ ）
A． B． C． D．
3．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生
素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数 ，使得 是素数．素数对
称为孪生素数对．从8个数对 ， ， ， ， ， ， ，
中任取3个，设取出的孪生素数对的个数为 ，则 （ ）
A． B． C． D．3
4．一个盒子里装有大小相同的4个黑球和3个白球，从中不放回地取出3个球，则白球个数的数学期望是
（ ）
A． B． C． D．
5．已知随机变量 服从正态分布 ，函数 ，则（ ）
（参考数据： ； ）
A． 是偶函数 B． 的图象关于 对称C． 的图象关于 对称 D．方程 有解
6．技术员小李对自己培育的新品种蔬菜种子进行发芽率的试验，每个试验组3个坑，每个坑种1粒种子.
经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数平均数为 ，则每粒种子发芽的概率 （ ）
A． B． C． D．
7．如果随机变量 ，且 ， ，则 等于
A． B． C． D．
8．设随机变量 ，函数 没有零点的概率是0.5，则 （ ）
附：若 ，则 ， .
A．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413
9．2021年10月16日0时23分，长征二号 运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，直入苍穹，将神
舟十三号载人飞船成功送入预定轨道，通常发射卫星的运载火箭可靠性要求约为0.9，发射载人飞船的运
载火箭可靠性要求为0.97．为进一步提高宇航员的安全，使火箭安全性评估值达到0.99996这一国际先进
水平，某载人飞船改进了逃逸系统（假设火箭安全性评估值由运载火箭的可靠性和逃逸系统的可靠性共同
决定，它们的可靠性相互独立，并且当运载火箭和逃逸系统至少有一个正常工作时即认为火箭安全），则
逃逸系统的可靠性至少应该是（ ）（精确到0.0001）
A．0.9996 B．0.9997 C．0.9987 D．0.9986
10．已知 ， 两个盒子中均有除颜色外其它完全相同的3个红球和3个白球，甲从盒子 中，乙从盒子
中各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，且将取出的2个球全部放入盒子 中；若2个球异色，
则乙胜，且将取出的2个球全部放入盒子 中.按上述规则重复两次后，盒子 中恰有8个球的概率是
（ ）
A． B． C． D．
11．2022年11月29日神舟十五号载人飞船发射任务取得圆满成功，开启了我国空间站应用发展的新阶段.
在太空站内有甲，乙、丙三名航天员，按照一定顺序依次出仓进行同一试验、每次只派一人、每人最多出
仓一次，且时间不超过10分钟.若第一次试验不成功，返仓后派下一人重复进行试验，若试验成功终止试验.已知甲，乙，丙10分钟内试验成功的概率分别为 ， ， ，每人试检能否成功相互独立，则试验成
功的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．设随机变量 ， 满足： ， ，若 ，则 （ ）
A．3 B． C．4 D．
13．为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，
否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为 ，第二轮检测不合格的概率为 ，两轮检测是否
合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80
元，已知一轮中有4件产品，记一箱产品获利X元，则 等于（ ）
A． B． C． D．
14．排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲､乙两队的比赛中，每场
比赛甲队获胜的概率为 ，乙队获胜的概率为 ，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为
（ ）
A． B． C． D．
15．已知随机变量 ，则概率 最大时， 的取值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
二、多选题
16．已知随机变量 ，则（ ）（附：随机变量 服从正态分布 ，则
， ）
A． B．
C． D．17．下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量 服从二项分布 ，则
B．若随机变量 服从正态分布 ，则
C．若随机变量 服从两点分布， ，则
D．若随机变量 的方差 ，则
18．袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，取出一个黑球记2分，取
出一个白球记1分，则下列结论中正确的是（ ）
A．取出的白球个数X服从二项分布
B．取出的黑球个数Y服从超几何分布
C．取出2个白球的概率为
D．取出球总得分最大的概率为
19．袋中有除颜色外完全相同的2个黑球和8个红球，现从中随机取出3个，记其中黑球的数量为 ，红
球的数量为 ，则以下说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
20．一个盒子中装有3个黑球和1个白球，现从该盒子中有放回的随机取球3次，取到白球记1分，取到
黑球记0分，记3次取球后的总得分为X，则（ ）
A．X服从二项分布 B．
C． D．
21．下列说法正确的是（ ）
A．随机变量X服从两点分布，若 ，则
B．随机变量 ，若 ， ，则C．随机变量X服从正态分布 ，且 ，则
D．随机变量X服从正态分布 ，且满足 ，则随机变量Y服从正态分布
22．在10件产品中，其中有3件一等品，4件二等品，3件三等品，现从这10件产品中任取3件， 记X
为取出的3件产品中一等品件数，事件A为取出的3件产品中一等品件数等于一等品件数，事件B为取出
的3件产品中一等品件数等于三等品件数，则下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．A，B相互独立
23．下列命题中，正确的有（ ）
A． 服从 ，若 ， ，则 ；
B．若已知二项式 的第三项和第八项的二项式系数相等．若展开式的常数项为 ，则
C．设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 ；
D． 位男生和 位女生共 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 位女生中有且只有两位女生相邻，
则不同排法有 种．
三、填空题
24．某公司有日生产件数为95的“生产能手”3人，有日生产件数为55的“菜鸟”2人，从这5人中任意
抽取2人，则2人的日生产件数之和 的方差为 .
25．某次数学考试中，学生成绩 服从正态分布 .若 ，则从参加这次考试的学
生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩高于120的概率是 .
26．在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在
实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为 ．
27．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6的正方体玩具）先后抛掷3
次，至少出现一次6点向上的概率是 .
28．若随机变量 ，若 ，则 ．
29．一个口袋里装有大小相同的 个小球，其中红色 个，其余 个颜色各不相同，现从中任意取出 个小
球，设变量 为取出的 个小球中红球的个数，则 的数学期望 .30．已知甲每次投掷飞镖中靶的概率为0.6，若甲连续投掷飞镖n次，要使飞镖最少中靶一次的概率超过
90%，至少需要投掷飞镖 次.（参考数据： ）
31．长风工厂产品质量指标 服从正态分布 .质量指标介于98至102之间的产品为良品.为使这
种产品的良品率达到 ，则需要调整生产工艺，使得 至多为 .（若 ，则
）
32．为庆祝第19届亚运会在我国杭州举行，杭州某中学举办了一次“亚运知识知多少”的知识竞赛.参赛
选手从7道题（4道多选题，3道单选题）中随机抽题进行作答，若某选手先随机抽取2道题，再随机抽取
1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为 .
33．有 个人在一楼进入电梯，楼上共有 层，设每个人在任何一层出电梯的概率相等，并且各层楼无人
再进电梯，设电梯中的人走空时电梯需停的次数为 ，则 .
四、解答题
34．为营造浓厚的全国文明城市创建氛围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和
参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二（1）班某小组有男生4人，女生2人，现从中随
机选取2人作为志愿者参加活动.
(1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；
(2)记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及期望 、方差 .
35．某公司使用甲、乙两台机器生产芯片，已知每天甲机器生产的芯片占产量的六成，且合格率为 ；
乙机器生产的芯片占产量的四成，且合格率为 ，已知两台机器生产芯片的质量互不影响. 现对某天生
产的芯片进行抽样.
(1)从所有芯片中任意抽取一个，求该芯片是不合格品的概率；
(2)现采用有放回的方法随机抽取3个芯片，记其中由乙机器生产的芯片的数量为 ，求 的分布列以及数
学期望 .
36．厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需要随即抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.
(1)若厂家库房中的每件产品合格率为 ，从中任意取出 件进行检验，求至少有 件是合格的概率.
(2)若厂家发给商家 件产品，其中有 件不合格，按合同规定该商家从中任意取 件进行检验，只有 件
产品都合格才接收这批产品，否则拒收，求该商家检验出不合格产品数 的分布列，并求该商家拒收这批
产品的概率.
37．为了引导人民强健体魄，某市组织了一系列活动，其中乒乓球比赛的冠军由A，B两队争夺，已知A，
B两队之间的比赛采用5局3胜制，且本次比赛共设有3000元奖金，奖金分配规则如下：①若比赛进行3
局即可决定胜负，则赢方获得全部奖金，输方没有奖金；②若比赛进行4局即可决定胜负，则赢方获得
90%的奖金，输方获得10%的奖金；③若比赛打满5局才决定胜负，则赢方获得80%的奖金，输方获得
20%的奖金．已知每局比赛A队，B队赢的概率分别为 ， ，且每局比赛的结果相互独立．
(1)若比赛进行4局即可决定胜负，则A队赢得比赛的概率为多少？
(2)求A队获得奖金金额X的分布列及数学期望．
38．据调查，目前对于已经近视的高中学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一
种是佩戴角膜塑形镜，某市从该地区高中学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24
人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）.
(1)若从样本中选一位学生，已知这位高中生戴眼镜，那么，其戴的是角膜塑形镜的概率是多大？
(2)从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数 的分布列及期望.
39．学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中
与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是 .
(1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率；
(2)求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列
40．某医疗机构成立了一支研发小组负责某流感相关专题的研究.
(1)该研发小组研制了一种退烧药，经过大量临床试验发现流感患者使用该退烧药一天后的体温（单位：）近似服从正态分布 ，流感患者甲服用了该退烧药，设一天后他的体温为X，求
；
(2)数据显示人群中每个人患有该流感的概率为1%，该医疗机构使用研发小组最新研制的试剂检测病人是
否患有该流感，由于各种因素影响，该检测方法的准确率是80%，即一个患有该流感的病人有80%的可能
检测结果为阳性，一个不患该流感的病人有80%的可能检测结果为阴性.
（i）若乙去该医疗机构检测是否患有该流感，求乙检测结果为阴性的概率；
（ii）若丙在该医疗机构检测结果为阴性，求丙患有该流感的概率.
附： ，则 ， ，
.
41．为推动网球运动的发展，某网球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员 名，
其中种子选手 名；乙协会的运动员 名，其中种子选手 名．从这 名运动员中随机选择 人参加比赛．
(1)设事件 为“选出的 人中恰有 名种子选手，且这 名种子选手来自同一个协会”，求事件 发生的
概率；
(2)设 为选出的 人中种子选手的人数，求随机变量 的分布列及均值 ．
42．高二（1）班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为 ，
该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验．
(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验（每次均种下一粒种子），求他们的试验中至少有3次发芽
成功的概率；
(2)第二小组做了若干次发芽试验（每次均种下一粒种子），如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验，
否则将继续进行下次试验，直到种子发芽成功为止，但试验的次数最多不超过5，求第二小组所做种子发
芽试验的次数ξ的概率分布．
43．2022年第24届冬季奥林匹克运动会期间，为保障冬奥会顺利运行，组委会共招募约2.7万人参与赛会
志愿服务.赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、文化展示服务等共12类志愿服务.(1)甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务.求甲被分配到对外联络服
务且乙被分配到竞赛运行服务的概率；
(2)已知来自某高校的每名志愿者被分配到文化展示服务的概率是 ，设来自该高校的2名志愿者被分配到
文化展示服务的人数为X，求X的分布列与数学期望 ；
(3)已知在2.7万名志愿者中，18~35岁人群占比达到95%，为了解志愿者们对某一活动方案是否支持，通
过分层随机抽样获得如下数据：
18~35岁人群 其他人群
支
支持 不支持 不支持
持
方
90人 5人 1人 4人
案
假设志愿者对活动方案是否支持相互独立.将志愿者支持方案的概率估计值记为 ，去掉其他人群后志愿
者支持方案的概率估计值记为 ，试比较 与 的大小.（结论不要求证明）
44．今年五一假期，上饶市游客接待再创历史新高，突破千万人次．三清山、婺源、龟峰、灵山、望仙谷
等各景区纷纷推出了精彩纷呈的节目内容，各地游客欢聚上饶“打卡”，感受大美上饶自在山水的魅力．
上饶市某中学一综合实践研究小组为了解上饶市民每年旅游消费支出费用（单位：千元），五一期间对游
览灵山的100名上饶市游客进行随机问卷调查，并把数据整理成如下表所示的频数分布表：
组别
频数 3 4 8 11 41 20 8 5
(1)从样本中随机抽取两位市民的旅游支出数据，求两人旅游支出均不低于1万元的概率；
(2)若上饶市民的旅游支出费用 近似服从正态分布 ， 近似为样本平均数 （同一组中的数据用
该组区间的中间值代表）， 近似为样本标准差 ，并已求得 ，利用所得正态分布模型解决以下问题：
（ⅰ）上饶市常住人口约为640万人，试估计上饶市有多少市民每年旅游费用支出在15000元以上；
（ⅱ）若在上饶市随机抽取3位市民，设其中旅游费用在9000元以上的人数为 ，求随机变量 的分布列和均值．
附：若 ，则 ， ，
．
45．2022年，随着最低工资标准提高，商品价格上涨，每个家庭的日常消费也随着提高，某社会机构随机
调查了200个家庭的日常消费金额并进行了统计整理，得到数据如下表：
消费金额（千
元）
人数 40 60 40 30 20 10
以频率估计概率，如果家庭消费金额可视为服从正态分布 ， 分别为这200个家庭消费金额的
平均数 及方差 （同一区间的花费用区间的中点值替代）．
(1)求 和 的值；
(2)试估计这200个家庭消费金额为 的概率（保留一位小数）；
(3)依据上面的统计结果，现要在10个家庭中随机抽取4个家庭进行更细致的消费调查，记消费金额为
的家庭个数为 ，求 的分布列及期望．
参考数据： ；
若随机变量 ，则 ， ，
.
46．某陶瓷厂准备烧制甲､乙､丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格
后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立.根据该厂现有技术水平，经过第一次烧制后，甲､乙､丙三
件产品合格的概率依次为 ， ， ，经过第二次烧制后，甲､乙､丙三件产品合格的概率依次为 ，
， ，
(1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；(2)分别求甲､乙､丙三件产品经过两次烧制后合格的概率
(3)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为 ，求随机变量 的数学期望和方差.
47．2021年5月11日，第七次全国人口普查结果显示，中国65岁及以上人口为19064万人，占总人口的
．随着出生率和死亡率的下降，我国人口老龄化趋势日益加剧，与老年群体相关的疾病负担问题越
来越受到社会关注，虚弱作为疾病前期的亚健康状态，多发于65岁以上人群.虚弱指数量表（frailty in—
dex，FI，取值范围是 ）可以用来判定老年人是否虚弱，若FI 分，则定义为“虚弱”.某研究团
队随机调查了某地1170名男性与1300名女性65岁及以上老年人的身体状况，并采用虚弱指数量表分析后
得出虚弱指数频数分布表如下：
FI
男 411 579 101 79
女 417 463 162 258
(1)根据所调查的65岁及以上老年人的虚弱指数频数分布表作出65岁及以上老年人虚弱与性别的 列联
表，并分析能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为老年人身体虚弱与性别有关？
非虚弱 虚弱 总计
男 1170
女 1300
总计
(2)以频率估计概率，现从该地区随机调查两位男性65岁以上老年人，这两位老人中身体虚弱的人数为随
机变量 ，求随机变量 的分布列、期望与方差？附表及公式： ，
．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82848．2023年4月23日第二届全民阅读大会在杭州举办，目的是为了弘扬全民阅读风尚，共建共享书香中
国．某市响应号召，推进全体学生阅读，在全市100000名学生中抽取1000名学生调查每周阅读时间，得
到频率分布直方图如下图：
由频率分布直方图可以认为该市学生每周阅读时间X服从正态分布 ，其中 可以近似为1000名
学生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示）， ．
(1)试估计全市学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数；
(2)若从全市学生中随机抽取5名学生进行座谈，设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数
为Y，求随机变量Y的分布列，均值与方差．
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则P ，
， ．
49．国务院印发《新时期促进集成电路产业和软件产业高质量发展的若干政策》．某科技公司响应国家号
召，加大了芯片研究投入力度．从2022年起，芯片的经济收入逐月攀升，该公司在2022年的第一月份至
第六月份的月经济收入 （单位：百万元）关于月份 的数据如下表所示：
时间 （月份） 1 2 3 4 5 6
月收入 （百万 1 3
6 9 22 47
元） 5 3
(1)请你根据提供数据，判断 与 （ 均为常数）哪一个适宜作为该公司月经济收入
关于月份 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的结果及表中的数据，求出 关于 的回归方程；(3)从这6个月中抽取3个，记月收入超过16百万的个数为 ，求 的分布列和数学期望．参考数据：
2.86 17.50 142 7.29
其中设
参考公式和数据：对于一组具有线性相关关系的数据 ，其回归直线 的斜率
和截距的最小二乘估计公式分别为： ．
50．甲，乙两学校进行体育比赛，比赛共设两个项目，每个项目胜方得 分，负方得 分，平局各得 分．
两个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在两个项目中获胜的概率分别为 ， ，
甲学校在两个项目中平局的概率分别为 ， ．各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校两场比赛后获得冠军的概率；
(2)用 表示甲学校两场比赛的总得分，求 的分布列与期望．
51．基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于
服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，某
试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节．2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩X近似服从
正态分布 ．其中， 近似为样本平均数， 近似为样本方差 ．已知 的近似值为76.5，s的近
似值为5.5，以样本估计总体．
(1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？
(2)若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数
为 ，求随机变量 的期望．
(3)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为 、 、 、 ．设这4名学
生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．参考数据：若 ，则： ； ；
．
52．某校举办颠乒乓球比赛，现从高一年级1000名学生中随机选出40名学生统计成绩，其中24名女生平
均成绩为70个，标准差为4；16名男生平均成绩为80个，标准差为6.
(1)高一年级全员参加颠球比赛的成绩近似服从正态分布 ，若用这40名参赛的同学的样本平均数
和标准差 （四舍五入取整数）分别作为 ， ，估计高一年级颠球成绩不超过60个的人数（四舍五入
取整数）；
(2)颠球比赛决赛采用5局3胜制，甲、乙两名同学争夺冠亚军，如果甲每局比赛获胜的概率为 ，在甲获
胜的条件下，求其前2局获胜的概率.
附：若 ，则 ， ， .
53．现有 人要通过化验来确定是否患有某种疾病，化验结果阳性视为患有该疾病．化验方案 ：先将这
人化验样本混在一起化验一次，若呈阳性，则还要对每个人再做一次化验；否则化验结束．已知这 人
未患该疾病的概率均为 ，是否患有该疾病相互独立．
(1)按照方案 化验，求这 人的总化验次数 的分布列；
(2)化验方案 ：先将这 人随机分成两组，每组 人，将每组的 人的样本混在一起化验一次，若呈阳性，
则还需要对这 人再各做一次化验；否则化验结束．若每种方案每次化验的费用都相同，且 ，问方
案 和 中哪个化验总费用的数学期望更小？
54．小梅参加甲、乙两项测试，每次测试结果只有3种，分别是优秀、良好、合格，结果为优秀得3分、
良好得1分、合格得0分，小梅参加甲项测试结果为优秀的概率为 ，良好的概率为 ，参加乙项测试结
果为优秀的概率为 ，良好的概率为 ，两项测试互不影响，两项测试结束后，小梅得分之和为 .(1)求小梅参加两项测试恰有一次为合格的概率；
(2)求 的分布列与数学期望.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．我省高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政治、历史、地理、物理、化学、生物六门
选考科目组成，将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B＋，B，C＋，C，D＋，D，E共8个等
级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%，
选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到
[91,100]，[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成
绩，如果某次高考模拟考试物理科目的原始成绩 ，那么D等级的原始分最高大约为
（ ）
附： 若 ， ，则 ；
①
当 时， .
②
A．23 B．29 C．26 D．43
2．在体育选修课排球模块基本功 发球 测试中，计分规则如下 满分为10分 ：①每人可发球7次，每
成功一次记1分；②若连续两次发球成功加 分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加 分，
以此类推， ，连续七次发球成功加3分 假设某同学每次发球成功的概率为 ，且各次发球之间相互独立，
则该同学在测试中恰好得5分的概率是( )
A． B． C． D．
3．随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，
会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某
商品，此人购买此商品的概率为 ，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为 ；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为 ．记第n次推送时不购买此商品的概率为 ，当 时，
恒成立，则M的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．箱中有标号为1，2，3，4，5，6，7，8且大小相同的8个球，从箱中一次摸出3个球，记下号码并放
回，如果三球号码之积能被10整除，则获奖.若有2人参加摸奖，则恰好有2人获奖的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（1）将 个小球随机地投入编号为1，2…， 的 个盒子中（每个盒子容纳的小球个数没有限
制），记1号盒子中小球的个数为 ；（2）将 个小球随机地投入编号为1，2…， 的 个盒子
中（每个盒子容纳的小球个数没有限制），记 号盒子中小球的个数为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
6．现有4个人通过掷一枚质地均匀的骰子去参加篮球和乒乓球的体育活动，掷出点数为1或2的人去打篮
球，掷出点数大于2的人去打乒乓球.用 ， 分别表示这4个人中去打篮球和乒乓球的人数，记
，求随机变量 的数学期望 为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．中华人民共和国第十九届亚运会将于2023年9月在杭州举办．为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛
会志愿者队伍，向全国人民奉献一场精彩圆满的体育盛会，组委会欲从6名男志愿者，4名女志愿者中随
机抽取3人聘为志愿者队的队长．下列说法正确的是（ ）
A．设事件A：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B：“抽取的3人中全是男志愿者”，则B．设事件C：“抽取的3人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则
C．用 表示抽取的3人中女志愿者的人数，则
D．用 表示抽取的3人中男志愿者的人数，则
8．已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为 ，
p．记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为 ，在甲、乙这两个路口
遇到红灯个数之和为 ，则（ ）
A．
B．
C．小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为
D．当 时，
三、填空题
9．从由1,2,3,4,5,6组成的没有重复数字的六位数中任取5个不同的数,其中满足1,3都不与5相邻的六位偶
数的个数为随机变量X,则P(X=2)= .(结果用式子表示即可)
10．某人投篮命中的概率为0.3，投篮15次，最有可能命中 次．
四、解答题
11．2022年二十国集团领导人第十七次峰会11月16日在印度尼西亚巴厘岛闭幕，峰会通过《二十国集团
领导人巴厘岛峰会宣言》.宣言说，值此全球经济关键时刻，二十国集团采取切实、精准、迅速和必要的行
动至关重要，基于主席国印尼提出的“共同复苏、强劲复苏”主题，各国将采取协调行动，推进强劲、包
容、韧性的全球复苏以及创造就业和增长的可持续发展、中国采取负责任的态度，积极推动产业的可持续
发展，并对友好国家进行技术授助、非洲某芯片企业生产芯片Ⅰ有四道工序，前三道工序的生产互不影响，
第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.
(1)在中国企业援助前，该芯片企业生产芯片Ⅰ的前三道工序的次品率分为 .
①求生产该芯片I的前三道工序的次品率 ；
②第四道工序中，智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.已知芯片Ⅰ智能自动检测显示合格率为98%，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片，该芯片
恰为合格品的概率；
(2)该芯片企业在中国企业援助下，改进生产工艺并生产了芯片Ⅱ.某手机生产厂商获得芯片Ⅰ与芯片Ⅱ，并
在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查，据统计，回访的100
名用户中，安装芯片Ⅰ的有40 部，其中对开机速度满意的占70%；安装芯片Ⅱ的有60部，其中对开机速
度满意的占 .现采用分层抽样的方法从开机速度满意的人群中抽取9人，再从这9人中选取4人进行座谈，
记抽到对安装芯片Ⅱ的手机开机速度满意的人数为X，求X 的分布列及其数学期望.
12．随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，
培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念.郴州市某中学食堂
每天都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），经过统计分析发现：学生第一天
选择A套餐的概率为 ，选择B套餐的概率为 .而前一天选择了A套餐的学生第二天选择A套餐的概率为
，选择 套餐的概率为 ；前一天选择 套餐的学生第二天选择A套餐的概率为 ，选择 套餐的概率
也是 ，如此往复.记同学甲第 天选择 套餐的概率为 .
(1)求同学甲第二天选择 套餐的概率；
(2)证明：数列 为等比数列；
(3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择去A餐厅就餐的人数 ，用 表示这100
名学生中恰有 名学生选择去A餐厅就餐的概率，求 取最大值时对应的 的值.
13．某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客.
为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2023年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进
行了问卷调查，据统计，有 的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加2024年的“清明文化节”，
只参加“菊花文化节”的游客记1分，两个文化节都参加的游客记2分.假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是否来年参加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率.
(1)从2023年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的数学期望；
(2)2024年的“清明文化节”拟定于4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向
到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务.已知游客甲每天的出行将会在该市提供的
这两种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为 ，若前一天选择“单车自由行”，后一
天继续选择“单车自由行”的概率为 ，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”
的概率为 ，如此往复.
（i）求甲第二天选择“单车自由行”的概率；
（ii）求甲第 （ ，2， ，16）天选择“单车自由行”的概率 ，并帮甲确定在2024年“清明文化
节”的16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数.
14．草莓具有较高的营养价值､医疗价值和生态价值.草莓浆果芳香多汁，营养丰富，素有“水果皇后”的
美称.某草莓园统计了最近100天的草莓日销售量（单位：千克），数据如下所示.
销售量区
天数
间
20
25
10
40
5
(1)求a的值及这100天草莓日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.
(2)该草莓的售价为60元每千克，为了增加草莓销售量，该草莓园推出“玩游戏，送优惠”活动，有以下
两种游戏方案供顾客二选一.
游戏一：不透明盒子里装有2个红球，4个黑球，顾客从中不放回摸出3个球，每摸出一个红球每千克草
莓优惠3元，摸出黑球不优惠.
游戏二：一张纸板共画了11个同心圆，圆心处标记数字0，从内到外的圆环内依次标记数字1到10，在圆
心处有一颗骰子，顾客抛掷硬币决定骰子从圆心向外环移动，若掷出的硬币正面向上，则骰子向外移动一
环（如：从圆心移动到标上数字1的环内）；若掷出的硬币反面向上，则骰子向外移动两环（如：从标上
数字1的环内移动到标上数字3的环内）.顾客重复掷硬币直到骰子移到标上数字9的环就可以获得“九折
优惠券”，或移到标上数字10的环就游戏结束无优惠.有两个孩子对于选择哪个游戏可以获得更大优惠出
现了分歧，你能帮助他们判断吗？
15．卡塔尔世界杯小组赛阶段，每个小组4支球队循环比赛，共打6场，每场比赛中，胜、平、负分别积
3，1，0分．每个小组积分的前两名球队出线，进入淘汰赛．若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球
数等规则决出前两名，每个小组前两名球队出线，进入淘汰赛．假定积分相同的球队，通过净胜球数等规
则出线的概率相同（例：若 ， ， 三支球队积分相同，同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概
率相同）．已知某小组内的 ， ， ， 四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜、平、负的概
率都是 ，每场比赛的结果相互独立．
(1)若 球队在小组赛的3场比赛中胜1场，负2场，求其最终出线的概率．
(2)已知该小组的前三场比赛结果如下： 与 比赛， 胜； 与 比赛， 胜； 与 比赛， 胜．设小
组赛阶段 ， 球队的积分之和为 ，求 的分布列及期望．
16．某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由 （ ）个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为 ，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，
设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为 （例如： 表示控制系统由3个元件组成
时设备正常运行的概率； 表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率）．
(1)若每个元件正常工作的概率 ．
①当 时，求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和均值；
②计算 ．
(2)已知设备升级前，单位时间的产量为a件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，
单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为 ，每件高端产品的
利润是2元．请用 表示出设备升级后单位时间内的利润y（单位：元），在确保控制系统中元件总数为
奇数的前提下，若将该设备的控制系统增加2个相同的元件，请分析一下能否提高利润．
