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期末模拟试题
一、选择题（每小题3分，共30分）每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求．
1．（3分）在 ， ， ，0，这四个数中，为无理数的是
A． B． C． D．0
【答案】C
【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和
无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解： 、 是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
、 是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
、 属于无理数，故本选项符合题意；
、0是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选： ．
【点睛】本题主要考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： ，
等；开方开不尽的数；以及像 ，等有这样规律的数．
2．（3分）在直角坐标系中，点 关于 轴对称的点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面直角坐标系的性题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐
标特点．
【详解】解：点 关于 轴对称点的坐标 ，
点 关于 轴对称的点的坐标为
故选： ．
【点睛】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3．（3分）某中学演讲比赛中，进入决赛的七位选手的成绩分别为91、93、95、96、97、97、97，那么这
组数据的众数和中位数分别是
A．93，96 B．97，97 C．97，96 D．93，97
【答案】C
【分析】直接根据众数和中位数的概念求解即可．
【详解】解： 这组数据分别为91、93、95、96、97、97、97，
这组数据的众数为97，中位数为96，
故选： ．
【点睛】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
4．（3分）在下列四个命题中，假命题是
A．同角或等角的余角相等
B．两点之间，线段最短
C．两直线平行，同旁内角互补
D．两边对应相等的两个三角形全等
【答案】D
【分析】对各个命题逐一判断后找到错误的即可确定假命题．
【详解】解： 、同角或等角的余角相等，是真命题；
、两点之间，线段最短，是真命题；
、两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
、三边对应相等的两个三角形全等，原命题是假命题；
故选： ．
【点睛】此题主要考查了命题与定理，熟练利用相关定理以及性质进而判定举出反例即可判定出命题正确
性．
5．（3分）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是
A．5，6，7 B．4，5，6 C．6，7，8 D．5，12，13
【答案】D
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解： 、 ，故不是直角三角形，故本选项不符合题意；
、 ，故不是直角三角形，故本选项不符合题意；
、 ，故不是直角三角形，故本选项不符合题意；
、 ，故是直角三角形，故本选项符合题意．
故选： ．
【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理：已知三角形 的三边满足： 时，则三角形 是
直角三角形．解答时，只需看两较小数的平方和是否等于最大数的平方即可．
6．（3分）已知点 和 是一次函数 图象上的两点，则
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【分析】由点 和 是一次函数 图象上的两点，利用一次函数图象上点的坐标特征
可求出 ， 的值，比较后即可得出结论．
【详解】解：当 时， ；
当 时， ．
，
．
故选： ．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式
是解题的关键．
7．（3分）一副直角三角板如图放置，点 在 的延长线上， ， ，则
的度数为A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出 ，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得： ， ，
，
，
．
故选： ．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，根据题意得出 的度数是解题关键．
8．（3分）关于 ， 的方程组 的解是 ，其中 的值被盖住了，不过仍能求出 ，则
的值是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将 代入方程 求得 的值，将 、 的值代入 ，可得关于 的方程，可求得
．
【详解】解：根据题意，将 代入 ，可得 ，
将 ， 代入 ，得： ，
解得： ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解的概念，根据方程组的解会准确将方程的解代入是前提，严格
遵循解方程的基本步骤求得方程的解是关键．9．（3分）甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人 10次射箭成绩的平均数均是 8.9环，方差分别是
， ， ， ，其中成绩最稳定的是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【分析】根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量，故由甲、乙、丙、丁的方差可作出判断．
【详解】解：由于 ，则成绩较稳定的是丁．
故选： ．
【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平
均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均
数越小，即波动越小，数据越稳定．
10．（3分）已知一次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象大致是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数 的图象可以得到 、 的正负情况，然后根据一次函数的性质可以得到一次函数 的图象经过哪几个象限，从而可以解答本题．
【详解】解：由一次函数 的图象可知， ， ，
故一次函数 的图象经过第二、三、四象限，
故选： ．
【点睛】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
11．（4分）比较大小：4 （填“ ”或“ ” ．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质求出 ，比较 和 的值即可．
【详解】解： ，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和实数的大小比较等知识点，关键是知道 ，题目较好，难度
也不大．
12．（4分）若 ，则 ．
【答案】
【分析】根据算术平方根、绝对值的非负性，求出 、 的值是正确计算的前提．
【详解】解：因为 ，
所以 ， ，
解得 ， ，所以 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查非负数算术平方根、绝对值的非负性，理解算术平方根、绝对值的性质是解决问题的关
键．
13．（4分）已知 和 都是方程 的解，则 ．
【答案】
【分析】把 和 分别代入方程 ，得出关于 、 的二元一次方程组，解方程组得
出 、 的值即可求解．
【详解】解：把 和 分别代入方程 ，
得 ，
解得 ，
所以 ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的解，得出关于 、 的二元一次方程组是解答本题的关键．
14．（4分）如图，在 中， ， ， ，以点 为圆心， 长为半径作弧，
交 于点 ，再分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 ，作射线 交
于点 ，则 的长为 ．【答案】4.8
【分析】利用基本作图得到 于 ，先利用勾股定理计算出 ，然后利用面积法计算 的
长．
【详解】解：由作法得 于 ，
， ， ，
，
，
．
故答案为4.8．
【点睛】本题考查了作图 基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知
角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了勾股定理．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，）
15．（12分）解下列各题：
（1）计算： ；
（2）计算： ．
【答案】见详解
【分析】（1）首先计算零指数幂、乘方、开方和绝对值，然后合并同类项，求出算式的值是多少即可．
（2）根据乘法分配律和平方差公式，求出算式的值是多少即可．
【详解】解：（1）．
（2）
．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有
理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面
的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
16．（10分）解方程（或方程组）
（1） ；
（2） ．
【答案】见详解
【分析】（1）方程开方转化为一元一次方程，求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】解：（1） ，
整理得： ，
开方得： ，
或 ，
解得： ， ；（2） ，
① ②得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
解得： ，
则方程组的解为 ．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元二次方程，解二元一次方程组利用了消元的思想，消
元的方法有：代入消元法与加减消元法．
17．（6分）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 ， ， 均在正方形网格的格点
上．
（1）画出 关于 轴对称的图形△ 并写出顶点 ， ， 的坐标；
（2）已知 为 轴上一点，若 与 的面积相等，请直接写出点 的坐标．
【答案】见详解
【分析】（1）分别作出 ， ， 的对应点 ， ， 即可．
（2）设 ，构建方程求解即可．
【详解】解：（1）作出 关于 轴对称的△ 如图所示．△ 顶点坐标为： ， ， ．
（2）设 ，
由题意， ，
解得 或 ，
点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查作图 轴对称变换三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常
考题型．
18．（8分）某中学为调查本校学生周末平均每天做作业所用时间的情况，随机调查了 50名同学，如图是
根据调查所得数据绘制的统计图的一部分．请根据以上信息，解答下列问题：
（1）在这次调查的数据中，做作业所用时间的众数是 3 ，中位数是 ，平均数是 ，并补全统计
图；
（2）若该校共有1500名学生，根据以上调查结果估计该校全体学生每天做作业时间在 3小时内（含3小
时）的同学共有多少人．
【答案】见详解
【分析】（1）首先求得平均每天作业用时是4小时的人数，然后利用众数，中位数，平均数的定义即可求
解；（2）利用总人数1500乘以每天做作业时间在3小时内（含3小时）的同学所占的比例即可求解．
【详解】解：（1）每天作业用时是4小时的人数是： （人 ，
则众数是3小时，中位数是3小时，平均数是 小时；
（2） （人 ．
【点睛】本题考查的是条形统计图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统
计图能清楚地表示出每个项目的数据．除此之外，本题也考查了平均数、中位数、众数的认识．
19．（8分）某厂的甲、乙两个小组共同生产某种产品，若甲组先生产1天，然后两组又各自生产5天，
则两组产品一样多；若甲组先生产了300个产品，然后两组又各自生产了4天，则乙组比甲组多生产100
个产品；甲、乙两组每天各生产多少个产品？（请用方程组解）
【答案】见详解
【分析】设甲、乙两组每天个各生产 、 个产品，则根据若甲组先生产1天，然后两组又一起生产了5
天，则两组产量一样多．若甲组先生产了300个产品，然后两组同时生产4天，则乙组比甲组多生产100
个产品两个关系列方程组求解．
【详解】解：设甲、乙两组每天个各生产 、 个产品，根据题意得：
，
解得： ．
答：甲、乙两组每天个各生产500、600个产品．
【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，关键是理清两个相等关系列方程组．20．（10分）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象过点 与正比例函数
的图象相交于点 ，与 轴相交于点 ．
（1）求一次函数和正比例函数的表达式；
（2）若点 是点 关于 轴的对称点，且过点 的直线 交 于 ，求点 的坐标；
（3）在坐标轴上是否存在一点 ，使 ．若存在，请求出点 的坐标，若不存在，请说明理
由．
【答案】见详解
【分析】（1）将点 坐标代入 可求出一次函数解析式，然后可求点 坐标，将点 坐标代入
即可求出正比例函数的解析式；
（2）首先求出点 坐标，根据 设直线 解析式为： ，代入点 坐标即可求出直线
解析式，联立直线 解析式和正比例函数解析式即可求出点 的坐标；
（3）首先求出 的面积，然后分点 在 轴和点 在 轴两种情况讨论，设出点 坐标，根据
列出方程求解即可．
【详解】解：（1）把点 代入函数 ，
得 ，
解得 ，
一次函数的表达式为 ，把点 代入函数 得： ，
，
，
过点 ，
，
，
正比例函数的表达式 ；
（2） 与 轴交于点 ，
，
点 与点 关于 轴对称，
，
与直线 平行，
设直线 的表达式为 ，
把 代入 得 ，
直线 的表达式为 ，
联立列方程组得， ，
解得 ，
点 的坐标 ；（3） ，
，
，
，
（Ⅰ） 点在 轴上：设 ，
，
，
，
，解得： ，
或 ；
（Ⅱ） 点在 轴上设 ，
，
，
，
， ，
或
综上所述， 或 或 或 ．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，
一次函数的性质以及一次函数图象交点的求法，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求
出函数解析式； （2）利用平行直线的系数 相等求出直线 解析式； （3）求出 的面积，利用方程思想和分类讨论思想解答．
一、填空题（本大题共5分，每小题4分，共20分）
21．（4分）使二次根式 有意义的 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：由题意得， ，
解得， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
22．（4分）已知一组数据 ， ， ， ， 的平均数是2，方差是1，则数据 ， ，
， ， 的平均数是 ，方差是 ．
【答案】4,9
【分析】根据平均数公式与方差公式即可求解．
【详解】解： 数据 ， ， ， ， 的平均数是2，
，
，
数据 ， ， ， ， 的方差是1，
，
，
故答案为：4，9．
【点睛】本题考查了平均数的计算公式和方差的定义，熟练运用公式是本题的关键．
23．（4分）如果方程组 的解满足 ，则 的值为 ．【答案】
【分析】先用 表示出方程组的解，再代入 即可求出 的值，代入代数式即可得出结论．
【详解】解： ，
① ② ，得 ，
把 代入②，得 ，
解得 ，
，
，
解得 ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解，根据题意得出关于 的一元一次方程是解答此题的关键．
24．（4分）已知直线 与 轴正半轴相交于点 ，与 轴正半轴相交于点 ，点
在第四象限， 是以 为斜边的等腰直角三角形，则点 的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据等腰直角三角形的性质构造全等三角形，证明全等后，根据全等的性质可得对应线段相等，
即可得出等量关系，列出方程组求解即可．
【详解】解：如图，过点 作 轴， 轴，则四边形 为矩形， ，
，
是以 为斜边的等腰直角三角形，
， ，
，
， ，
设点 坐标为 ，则 ， ，
，
解得： ，
点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用等腰三角形构造全等三角形
从而得到方程组是解题的关键．
25．（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于 ， 两点，以 为边
在第二象限内作正方形 ．则 点坐标是 ；在 轴上有一个动点 ，当 的周长值最小时，
则这个最小值是 ．【答案】 ， ．
【分析】把 和 分别代入 ，求出 ， 两点的坐标，过 作 垂直于 轴，证
，证出 ， ，即可求出 的坐标；先作出 关于 轴的对称点 ，连接
， 与 轴交于点 ，则 ，求出 的坐标，进而求出 ，即可求解．
【详解】解： ，
当 时， ，
当 时， ，
点 的坐标为 、 的坐标为 ， ， ，
由勾股定理得： ，
过 作 垂直于 轴，
四边形 是正方形，
， ，
， ，
，
在 与 中，
，，
， ，
，
所以点 的坐标为 ，
同理：点 的坐标为 ，
作 关于 轴的对称点 ，连接 ， 与 轴交于点 ，
， ，此时 取最小值，
点 关于 轴的对称点 坐标为 ，
，
的周长最小值为： ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，能求与 轴 轴的交点坐标和
理解有关最小值问题是解本题的关键，难点是理解 的值最小如何求．
二、解答题（本大题共30分）
26．（8分）某商店销售篮球和足球共60个．篮球和足球的进价分别为每个40元和50元，篮球和足球的
卖价分别为每个50元和65元．设商店共有 个足球，商店卖完这批球（篮球和足球）的利润为 ．
（1）求 与 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（2）商店现将篮球每个涨价 元销售，足球售价不变，发现这批球卖完后的利润和 的取值无关．求卖完
这批球的利润和 的值．【答案】见详解
【分析】（1）根据总利润 足球的利润 篮球的利润可得 与 的函数关系式，并写出自变量 的取值范
围；
（2）根据总利润 足球的利润 篮球的利润得出将篮球每个涨价 元后 与 的函数关系式，由卖完后的
利润和 的取值无关．可得 的值，即可得卖完这批球的利润．
【详解】解：（1）设商店共有 个足球，依题意得：
；
（2）根据题意，有 ，
的值与 无关，
，
卖完这批球的利润为900元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
27．（10分）在 中， ， 为 边上一点（不与点 ， 重合），将线段 绕点 逆
时针旋转 得到 ．
（1）连接 ，如图①，试探索线段 ， ， 之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（2）连接 ，如图②，求证： ；
（3）如图③，在四边形 中， ．若 ， ，则 的长为
．（直接写出答案）
【答案】见详解
【分析】（1）结论： ．证明 即可解决问题．
（2）结论： ．由 ，推出 ， ，可得 ，利用勾股定理即可解决问题．
（3）作 ，使 ，连接 ， ．由 ，推出 ，由
， ，可得 ，再利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：（1）结论： ．
理由：如图①中，
，
，即 ，
在 和 中，
，
，
，
，
即： ．
（2）结论： ，
理由：连接 ，
由（1）得， ，， ，
，
，
即： ，
在 中， ，又 ，
，
．
（3） 的长为 ．
作 ，使 ，连接 ， ．
，
即 ，
在 与 中，
，
，
，
， ，
，，
，
， ，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，
勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
28．（12分）在平面直角坐标系中，已知点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
（1）求直线 的表达式；
（2）若点 的坐标为 ，且 ，求 的值；
（3）若点 的坐标为 ，在射线 上有两点 ， ，使得以 ， ， 为顶点的三角形与
全等，求点 的坐标．
【答案】见详解
【分析】（1）设直线 的表达式为 ，将 、 代入解得 、 ，即得表达式；
（2）过 轴上的点 作 轴平行线，交 于 ，求出 坐标，用 的代数式表示 和 ，再由 列方程，即可解得 ；
（3）分当点 在线段 上、点 在 的延长线上讨论，分别画出图形，由以 ， ， 为顶点的三角
形与 全等这一条件应满足的条件出发，利用面积法、全等三角形等即可求得 坐标．
【详解】解：（1）设直线 的表达式为 ，
点 、 在直线 上，
，
，
，
直线 的表达为 ；
（2）过 轴上的点 作 轴平行线，交 于 ，如图：
点 的坐标为 ，
点 的纵坐标为9，
当 时， ，解得 ，
，
，，
，
，
解得 或 ；
（3）①当点 在线段 上时，
若点 在 ， 之间，如图：
， ，
，
设 中 边上的高为 ，
则 ，
，即 ，
当 时， ， ， ，此时 ，
， ，
当 时， ，
；若点 在 ， 之间，如图：
当 ，且 时，有 ，
，
，
，
，
作 于 ，则 ，
，
，
当 时， ，解得 ，
；
②当点 在 的延长线上时
若点 在 ， 之间，当 ， 时， ，
作 于 ， 于 ，
，且 ， ，
，
，
，
当 时， ，解得 ，
若点 在 的延长线上或 的反向延长线上，都不存在满足条件的 ， 两点；
综上所述，满足条件的点 为 或 或 ．
【点睛】本题考查一次函数、全等三角形判定及性质等综合知识，难度较大，解题的关键是分类画出图形，
利用面积法、全等三角形等求 坐标．
