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专题 7.6 数列综合练
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023·江苏苏州·模拟预测）2022年11月8日，著名华人数学家张益唐教授以视频方
式作学术报告，与北大数学师生分享他围绕“朗道—西格尔零点猜想”所做的研究工作，
他在“大海捞针”式的研究过程中提出的新想法是基于一个简单的代数恒等式：
.已知数列 的通项公式为 ，则其
前9项的和 等于（ ）
A．13280 B．20196 C．20232 D．29520
2．（2023·全国·高三对口高考）若两个等差数列 ， 的前n项和 满足
，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）数列 满足 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．3
4．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有
“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过x的
最大整数，则 称为“高斯函数”，例如： ， ．已知数列 满足
， ， ，若 ， 为数列 的前n项和，则
（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三对口高考）设 是公比为 的等比数列，其前 项的积为 ，并且满足条件： ， ， ．给出下列结论：① ；② ；③
；④使 成立的最小的自然数n等于199．其中正确结论的编号是（ ）
A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③④
6．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，令
，则错误选项是（ ）
A． B．数列 是等差数列 C． 为整数
D．数列 的前2022项和为4044
7．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，
，则数列 第2023项为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，若对于
任意 ，都有 ，则 的取值范围是（ ）
A． ， B． ， C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的
得0分
9．（2023春·辽宁鞍山·高二鞍山一中校考期中）已知数列 ， ，下列说法正确的有
（ ）
A．若 ，则 为递减数列
B．若 ， ，则 为等比数列
C．若数列 的公比 ，则 为递减数列D．若数列 的前n项和 ，则 为等差数列
10．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）设 是数列 的前n项和，
且 ， ，则（ ）
A．
B．数列 是公差为 的等差数列
C．数列 的前5项和最大
D．
11．（2023秋·江苏南京·高二南京大学附属中学校考期末）设数列 的前 项和为 ，
且 ，则（ ）
A．数列 是等比数列 B．
C． D． 的前 项和为
12．（2023·浙江·校联考三模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》
中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差
并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列1，3，6，10，它的前后两项
之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，则数列1，3，6，10被称为二阶等
差数列，现有高阶等差数列 ､其前7项分别为5，9，17，27，37，45，49，设通项公式
.则下列结论中正确的是（ ）
（参考公式： ）
A．数列 为二阶等差数列
B．数列 的前11项和最大
C．
D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．（2023春·天津北辰·高二天津市第四十七中学校考阶段练习）设 且 ，已知数
列 满足 ，且 是递增数列，则a的取值范围是__________．
14．（2023·全国·高三对口高考）根据下面各数列的前几项，写出该数列的一个通项公式：
① __________.②1，3，6，10，15，…，
__________.③1，3，3，5，5，7，7，9，9，…， __________.
15．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知数列 与 的
前n项和分别为 ，则 ______；若 对于任意 恒成立，
则实数 的取值范围是______.
16．（2023·山东日照·三模）已知数列 中， ， ， 是 ， 的等差中项，
是其前n项和，若数列 是公差为3的等差数列，则 ___________.
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
17．（2023·广东韶关·统考模拟预测）设等比数列 的前 项和为 ，已知 ，
.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
18．（2023·全国·高二专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ， .
求数列 的通项公式.
19．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）已知数列 的前 项和
为 ， ， ， ．
(1)求数列 的通项公式；(2)求证： ．
20．（2023·云南保山·统考二模）已知 是数列 的前n项和， ，______.
① ， ；②数列 为等差数列，且 的前3项和为6.从以上两个
条件中任选一个补充在横线处，并求解：
(1)求 ；
(2)设 ，求数列 的前6项和 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
21．（2023·全国·校联考二模）已知数列 中，
(1)证明：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若 恒成立，试求实数 的取
值范围.
22．（2023·浙江·校联考三模）记 为数列 的前 项和，已知 ，且满足
.
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
