专题8.1空间几何体及其三视图和直观图2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料

专题 8.1 空间几何体及其三视图和直观图 练基础 1.（2020·广西兴宁�南宁三中高一期末）已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成方式为（ ） A．上面为圆台，下面为圆柱 B．上面为圆台，下面为棱柱 C．上面为棱台，下面为棱柱 D．上面为棱台，下面为圆柱 【答案】A 【解析】 结合图形分析知上面为圆台，下面为圆柱. 故选：A. 2.（2021·江西师大附中高二月考（理））如图是一个棱锥的正视图和侧视图，它们为全等的等腰直角三角 形，则该棱锥的俯视图不可能是（ ） A． B．C． D． 【答案】C 【解析】 根据棱锥的三视图想象原几何体的结构，可以在正方体中想象描出原几何体，确定其结构． 【详解】 若几何体为三棱锥，由其正视图和侧视图可知，其底面在下方且为直角三角形，故ABD均有可能， 若几何体是四棱锥，由其正视图和侧视图可知，其底面在下方，且为正方形，俯视图为正方形，但对角线 应从左上到右下，C不正确． 故选：C． 3.（2021·江苏高一期末）已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为 ，则该圆锥的高为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解析】 由侧面积求出圆锥的底面圆半径，再根据勾股定理可求得其高. 【详解】 设圆锥的底面圆的半径为 ，母线为 ，则 ， 所以其侧面积为 ，解得 ，所以圆锥的高为 . 故选：C. 4.（2020·河北易县中学高三其他（文））若圆台的母线与高的夹角为 ，且上、下底面半径之差为2，则 该圆台的高为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】 设上、下底面半径分别为 ， ，圆台高为 ， 由题可知： ，即 ， 所以 ． 故选：D 5.（2020届浙江绍兴市诸暨市高三上期末）某几何体的正视图与侧视图如图所示：则下列两个图形①②中， 可能是其俯视图的是（ ） A．①②都可能 B．①可能，②不可能C．①不可能，②可能 D．①②都不可能 【答案】A 【解析】 若是①，可能是三棱锥； 若是②，可能是棱锥和圆锥的组合； 所以①②都有可能， 故选：A. 6．（2021·石家庄市第十七中学高一月考）如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，每个圆锥的底面直径和 高均为 ，现有体积为 的细沙全部漏入下圆锥后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆， 则此锥形沙堆的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 根据圆锥的体积公式列方程求出沙堆的高． 【详解】 解：细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为 ，设高为 ， 则沙堆的体积为 ， 解得 ， 所以圆锥形沙堆的高度为 ． 故选： ． 7.（2021·云南弥勒市一中高一月考）如图，正方形 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直 观图，则原图形的周长是（ ）A．8 B．6 C． D． 【答案】A 【解析】 根据斜二测画法的规则，得到原图形的形状为平行四边形，进而求得其边长，即可求解. 【详解】 由斜二测画法的规则，可得原图形为 是一个平行四边形，如图所示， 因为水平放置的一个平面图形的直观图 的边长为1的正方形， 可得 ，所以原图形中 ， 在直角 中，可得 ， 所以原图形的周长为 . 故选：A. 8．（2021·浙江高三三模）如图，等腰直角三角形 在平面 上方， ，若 以 为旋 转轴旋转，形成的旋转体在平面 内的投影不可能的是（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 对直线 与平面 的位置关系进行分类讨论，判断出投影的形状，即可得出合适的选项. 【详解】 若 ，则形成的旋转体在平面 内的投影如D选项所示； 若 ，则形成的旋转体在平面 内的投影为正方形； 若 与 所成的角的取值范围是 时，则形成的旋转体在平面 内的投影如A、B选项所示. 投影不可能如C选项所示. 故选：C. 9．（2020·上海市进才中学高二期末）设 是半径为 的球的直径，则 两点的球面距离是 ________． 【答案】 【解析】 是半径为 的球的直径，则 两点所对的球心角为 ，球面距离为 ． 故答案为： ． 10．（2020·全国）如图为一几何体的平面展开图，按图中虚线将它折叠起来，画出它的直观图．【答案】见解析 【解析】 由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥， 其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示. 练提升 TIDHNE 1.（2021·四川高一期末（理））某圆柱的高为 ，底面周长为 ，其三视图如图.圆柱表面上的点 在正视 图上的对应点为 ，圆柱表面上的点 在左视图上的对应点为 ，则在此圆柱侧面上，从 到 的路径中， 最短路径的长度为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据三视图分析出 所在的位置，然后结合圆柱的侧面展开图即可求出结果. 【详解】 由三视图还原几何体，如图： 即点 在距离点 在底面投影的 圆弧 处， 沿 所在的母线得到如图所示的侧面展开图， 圆柱的底面周长即为侧面展开图的长，圆柱的高即为侧面展开图的宽， 而线段 的距离即为所求 到 的路径中的最短路径， 因为底面周长为 ,所以 ，又因为高为 ，则 ，所以 , 故选：B. 2.【多选题】（2021·宁波市北仑中学高一期中）如图，棱长为 的正四面体形状的木块，点 是 的 中心．劳动课上需过点 将该木块锯开，并使得截面平行于棱 和 ，则下列关于截面的说法中正确的 是（ ） A．截面不是平行四边形 B．截面是矩形C．截面的面积为 D．截面与侧面 的交线平行于侧面 【答案】BCD 【解析】 过点 构建四边形，通过相关直线间的平行关系进一步证明为平行四边形，找对应线之间的垂直证明截面 为矩形，从而计算截面面积 【详解】 解：如图所示，在正四面体中，4个面均为正三角形，由于点 为 的中心， 所以 位于 的中线的 外，分别取 的三等分点， 则 ∥ ， ∥ ， ∥ ， ∥ ， 所以 ∥ ， ∥ ，所以截面 为平行四边形，所以A错误， 延长 交 于 ，连接 ，由于 为 的中心，所以 为 的中点，因为 ， 所以 ，因为 ，所以 平面 ，所以 ，因为 ∥ ， ∥ ，所以 ，所以截面 为矩形，所以B正确， 因为 ， 所以 ， 所以C正确， 对于D，截面 平面 ， ∥ ， 平面 ， 平面 ， 所以 ∥平面 ，所以D正确， 故选：BCD3.（2021·湖北随州市·广水市一中高一月考）如图所示，矩形 是水平放置一个平面图形的直观图， 其 ， ，则原图形是（ ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】C 【解析】 由已知得原图为平行四边形， ，利用勾股定理计算边长得到 , 可判断原图形的形状. 【详解】 因为 ， ， 所以直观图还原得 ， ， 四边形 为平行四边形， ， 则 ， ， ， ，， 所以 ， 故原图形为菱形． 故选：C. 4．（2021·肇州县第二中学高一月考）如图是利用斜二测画法画出的 的直观图，已知 ，且 的面积为16，过点 作 轴于点 ，则 的长为（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】 利用面积公式，求出直观图的高，求出 ，然后在直角三角形 中求解即可 【详解】 解：由直观图可知，在 中， ， 因为 的面积为16， , 所以 ，所以 ， 所以 ， 因为 ， 轴于点 ， 所以 ， 故选：A 5．（2021·宁夏大学附属中学高一月考）三棱锥 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱 的长为（ ）A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 根据几何体的三视图，结合几何体的数量关系，在直角 中，即可求解. 【详解】 如图所示，根据三棱锥 及其三视图中的正视图和侧视图， 可得底面 中，点 为 的中点， ，且 底面 ， 又由点 为 的中点，且根据侧视图，可得 ， 在直角 中，可得 又由 ，在直角 中，可得 . 故选：B. 6．（2021·江苏省镇江中学）点 是平面 外一点，且 ，则点 在平面 上的射影一 定是 的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【解析】过点 作 平面 ，因为 ，得到 ，即可求解. 【详解】 如图所示，过点 作 平面 ， 可得 因为 ，可得 ， 所以 为 的外心. 故选：A. 7.（2021·上海高二期末）圆锥的高为1，底面半径为 ，则过圆锥顶点的截面面积的最大值为 ____________ 【答案】2 【解析】 求出圆锥轴截面顶角大小，判断并求出所求面积最大值． 【详解】 如图， 是圆锥轴截面， 是一条母线， 设轴截面顶角为 ，因为圆锥的高为1，底面半径为 ，所以 ， ， 所以 ， ， 设圆锥母线长为 ，则 ， 截面 的面积为 ， 因为 ，所以 时， ．故答案为：2． 8．（2021·浙江绍兴市·高一期末）已知四面体 的所有棱长均为4，点 满足 ， 则以 为球心， 为半径的球与四面体 表面所得交线总长度为______. 【答案】 【解析】 根据正四面体的结构特征求得 到面的距离，进而利用球的截面的性质求得各面所在平面与球的截面圆的 半径，注意与各面的三角形内切圆的半径比较，确定此截面圆是否整个在面所在的三角形内，进而确定球 与各面的交线，得到球与四面体表面所得交线总长度． 【详解】 已知四面体ABCD的所有棱长均为4，所以四面体ABCD是正四面体， 因为点O满足 ，所以 为正四面体ABCD的中心 设正三角BCD的中心为F，正三角ACD的中心为G，CD的中点为E， 则连接 则 ．则 ， ， ， ． 因为球O的半径为 ，所以球O被平面 截得圆半径为 ， 因为正三角形BCD的边长为4，所以正三角形内切圆半径为 ， 故球O与四面体ABCD的每一个面所得的交线为正好为内切圆，每个内切圆的周长为 ，所以 球与四面体ABCD表面所得交线总长度 ． 故答案为： ． 9.（2020届浙江杭州四中高三上期中）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中 的x的值是_____，最长棱长为_____．【答案】 【解析】 由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面的四棱锥，且梯形上下边长为1和2，高为2， 如图： ， ， ， ， ， 平面 ， ， ∴底面的面积 ， ∴几何体的体积 ， 可得 ， 最长棱长为： ， 故答案为： ； ． 10．（2019·全国高考真题（理））中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多 为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有 ________个面，其棱长为_________． 21 【答案】共26个面. 棱长为 . 【解析】 18826 由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有 个面． x AB  BE  x BC FE G BC 如图，设该半正多面体的棱长为 ，则 ，延长 与 交于点 ，延长 交正方体棱于 H BGE ，由半正多面体对称性可知， 为等腰直角三角形， 2 2 BG GE CH  x,  GH 2 xx( 21)x1 2 2 ， 1 x  21 21 ，即该半正多面体棱长为 21．练真题 TIDHNE 1.（2021·全国高考真题）已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设圆锥的母线长为 ，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得 的值，即为所求. 【详解】 设圆锥的母线长为 ，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则 ，解得 . 故选：B. 2．（2021·北京高考真题）定义：24小时内降水在平地上积水厚度（ ）来判断降雨程度．其中小雨（ ），中雨（ ），大雨（ ），暴雨（ ），小明用一个圆锥形容器 接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（ ） A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 【答案】B 【解析】 计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解. 【详解】由题意，一个半径为 的圆面内的降雨充满一个底面半径为 ，高为 的圆锥， 所以积水厚度 ，属于中雨. 故选：B. 3.（2020·全国高考真题（理））如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中 对应的点为 ，在俯视图中对应的点为 ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 根据三视图，画出多面体立体图形，上的点在正视图中都对应点M,直线 上的点在俯视图中对应的点为N, ∴在正视图中对应 ,在俯视图中对应 的点是 ,线段 ,上的所有点在侧试图中都对应 ,∴点 在侧视图中对应的点为 . 故选：A 4．(2019年高考全国Ⅲ卷理)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面 ABCD，M是线段ED的中点，则( ) A．BM=EN，且直线BM，EN 是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN 是相交直线 C．BM=EN，且直线BM，EN 是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN 是异面直线 【答案】BEO CD O ON 【解析】如图所示，作 于 ，连接 ，BD，易得直线BM，EN 是三角形EBD的中线，是相 交直线. M MF OD F BF 过 作 于 ，连接 ，  CDE  ABCD EO CD,EO CDE EO  ABCD MF  平面 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ABCD △MFB △EON EO 3,ON 1, EN 2 ， 与 均为直角三角形．设正方形边长为2，易知 ， 3 5 MF  ,BF  ,BM  7 2 2 ，BM  EN ，故选B． 5.（2018·北京高考真题（文））某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数 为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C 【解析】 分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数. PABCD PABCD PD2,AD 2,CD 2,AB 1 详解：由三视图可得四棱锥 ，在四棱锥 中， ， PA2 2,PC 2 2,PB3,BC  5 由勾股定理可知： ，则在四棱锥中，直角三角形有： PAD,PCD,PAB 共三个，故选C. 6.（2021·全国高考真题（理））以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成 某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）． 【答案】③④（答案不唯一） 【解析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可. 【详解】 选择侧视图为③，俯视图为④， 如图所示，长方体 中， ， 分别为棱 的中点， 则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥 . 故答案为：③④.