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第 15 课 应用一元二次方程
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为 ，
根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．
解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，
∴可列方程为： ，
故选：A．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．
2．南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，
问阔及长各几步．”意思是：一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多
少步？设它的宽为x步，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设它的宽为x步，则长为(60-x)步，根据面积列出方程即可得出结果．
解：设它的宽为x步，则长为(60-x)步，
x(60-x) 864，
∴ =故选：D．
【点睛】
题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．
3．鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天的时间，某养鸡场于某日发现一例鸡瘟病例，两
天后发现共有169只鸡患有这种病．若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数
为（ ）
A．11只 B．12只 C．13只 D．14只
【答案】B
【解析】
【分析】
设每只病鸡传染健康鸡x只，则第一天有x只鸡被传染，第二天有x（x+1）只鸡被传染，所以经过两天的
传染后感染患病的鸡共有：x +1 +x（x+1）只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量
关系列出方程求出符合题意的值即可．
解：设每只病鸡传染健康鸡x只，由题意得：
x+1+x（x+1）＝169，
整理，得x2+2x﹣168＝0，
解，得x＝12，x＝﹣14（不符合题意舍去）．
1 2
答：设每只病鸡传染健康鸡12只．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系（经过两天感染患病的鸡一定）列出方程求解．
4．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果
要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A．x2+130x﹣1400＝0 B．x2+65x﹣350＝0
C．x2﹣130x﹣1400＝0 D．x2﹣65x﹣350＝0
【答案】B【解析】
【分析】
先用 表示出矩形挂图的长和宽，利用面积公式，即可得到关于 的方程．
解：由题意可知：挂图的长为 ，宽为 ，
，
化简得：x2+65x﹣350＝0，
故选：B．
【点睛】
本题主要是考查了一元二次方程的实际应用，熟练根据等式列出对应的方程，是解决该类问题的关键．
5．“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指
厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元
时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，
该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则
w与x之间的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设每件电子产品售价为 元，主播每天的利润为 元，根据每件利润=实际售价－成本价，销售量=原销售
量+变化量，总利润=每件利润×数量，即可得出答案．
解：设每件电子产品售价为 元，主播每天的利润为 元，
则每件盈利 元，每天可销售 件，
根据题意得： ．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的应用（降价促销问题），理清题意找准数量与价格变化关系是解题的关键．
6．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，
每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）＝28 B． x（x﹣1）＝28
C．x（x﹣1）＝28 D． x（x+1）＝28
【答案】B
【解析】
【分析】
球队总数×每支球队需赛的场数÷2＝4×7，把相关数值代入即可．
解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为： x（x﹣1）＝4×7．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程．
7．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为175亿元，
若设平均每月的增长率为 ，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设平均每月的增长率为x，则二月份工业产值为50（1+x）亿元，三月份工业产值为50（1+x）2亿元，根
据第一季度的产值为175亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：设平均每月的增长率为x，则二月份工业产值为50（1+x）亿元，三月份工业产值为50（1+x）2亿元，
依题意，得：50+50（1+x）+50（1+x）2=175．
故选：D．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班
有x名同学，根据题意，列出方程为（ ）
A．x（x+1）＝1056 B．x（x﹣1）＝1056×2
C．x（x﹣1）＝1056 D．2x（x+1）＝1056
【答案】C
【解析】
【分析】
如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名同学，那么总共送的张数应该是x（x-1）
张，即可列出方程．
解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x-1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x-1）=1056．
故选C．
【点睛】
本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关
键．
9．某种服装平均每天可销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1
元，则每天可多售5件，如果每天要盈利1600元，每件降价多少元？设每件降价x元，则可列方程为（
）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）=1600，为了减少库存，计算得到降价多的
数量即可．
解：设每件服装降价x元，根据题意，得：
（44-x）（20+5x）=1600，
故选：B．【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等
量关系是解决本题的关键．
10．《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如x（x+5）＝24的方程的正数解，方法为：如图，将四
个长为x+5，宽为x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形，于是大正方形的面积为：24×4+25＝
121，边长为11，故得x（x+5）＝24的正数解为x＝ ，小明按此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0
时，构造出同样的图形．已知大正方形的面积为10，小正方形的面积为4，则（ ）
A．m＝2，n＝3 B．m＝ ，n＝2 C．m＝ ，n＝2 D．m＝2，n=
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意将x的方程x2+mx﹣n＝0 化为x（x+m）=n，即长方形的长为x+m，宽为x ，进而依据大正方形的
面积为10，小正方形的面积为4用代数式表示出边长即可得出答案.
解：∵ 大正方形的面积为10，小正方形的面积为4，
∴关于 x的方程x2+mx﹣n＝0 可化为x（x+m）=n，
∴图中长方形的长为x+m，宽为x ，
∴图中小正方形的边长是 ，
大正方形的边长是 ，
∴ ，∴ ，
故m=2， ，
故答案为：D．
【点睛】
本题考查解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读懂题
目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
二、填空题
11．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交均价由去年10月份的7000元/m2下降到12月份的5670
元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是_______%．
【答案】10
【解析】
【分析】
设11、12两月平均每月降价的百分率是x，则11月份的成交价是7000-7000x=7000（1-x），12月份的成交
价是7000（1-x）（1-x）=7000（1-x）2，由12月份的房价为5670元/m2，从而可得方程，再解方程可得答
案．
解：设11、12两月平均每月降价的百分率是x，则11月份的成交价是7000-7000x=7000（1-x），12月份的
成交价是7000（1-x）（1-x）=7000（1-x）2，由题意，得
∴7000（1-x）2=5670，
∴（1-x）2=0.81，
∴x=0.1，x=1.9（不合题意，舍去）．
1 2
故答案为：10．
【点睛】
本题是一道一元二次方程的运用题，是有关降低的百分率问题，与实际生活结合比较紧密，正确理解题意，
找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．
12．游行队伍有8行12列，后又增加了69人，要使得队伍增加的行数和列数相同，需要增加___行．
【答案】3
【解析】
【分析】
设游行队伍增加的行数和列数均为x，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．解：设游行队伍增加的行数和列数均为x，
根据题意得出：
解得：x=3或x＝﹣23（舍）
∴需增加3行，3列
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确解读题意设未知数，并列出正确的一元二次方程．
13．有一人患了流感，经过两轮传染后共有 169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了_______人．
【答案】12
【解析】
【分析】
设平均一人传染了x人，一轮传染后有（x+1）人，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解．
解：设平均一人传染了x人，得：
x＋1＋(x＋1)x＝169
解得x＝12或x＝－14（舍去）．
故平均一人传染12人．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，考查了理解题意的能力，题目关键是看到两轮传染．
14．2019年元旦节期间班上数学兴趣小组的同学互发微信祝贺，每两个同学都互相发一次，小明统计全组
共互发了90次微信，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为
____________．
【答案】x(x-1)=90
【解析】
【分析】
每个人都要发送（x-1）次微信，有x个人，由微信的总数量列出方程，即可得到答案．
解：设数学兴趣小组的人数为x个，
∴每人要发送（x-1）次微信，
∴全班共送x（x-1）=90，
故答案为：x（x-1）=90．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是本题的关键．
15．如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为 的无盖长方体纸盒，他将
纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为
xcm，则可列出关于x的方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设剪去的正方形边长为xcm，根据题意，列出方程，即可求解．
解：设剪去的正方形边长为xcm，根据题意得：
．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
16．将进货单价为40元的商品按50元出售时，就能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量
就减少10个，为了赚得8000元的利润，商品售价应为________元．
【答案】60或80
【解析】
【分析】
设商品售价应为x元，由题意可得 ，进而求解即可．
解：设商品售价应为x元，由题意可得：
，
解得： ，
∴当商品售价为60元或80元时，赚得8000元的利润；
故答案为60或80．【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
17．如图，有一块长 ，宽 的长方形铁皮，如果在铁皮的四个角上截去四个相同的小正方形，然
后把四边折起来，做成一个底面面积为 的无盖的盒子，则这个盒子的容积为___ ．
【答案】192
【解析】
【分析】
根据题意，可设截去的四个相同的小正方形边长为 ，则可表示出该无盖盒子底面的长和宽，从而列出一
元二次方程并求解得到 的值，进而得出该无盖盒子的高，即可得出其容积．
解：设截去的四个相同的小正方形边长为 ，
则无盖盒子的底面长为 ，宽为 ，
由题意： ，
解得： 或 （不合题意，舍去），
∴小正方形边长为2，
则该无盖盒子的高为2，
∴其容积为： ，
故答案为：192．
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找准等量关系并建立方程是解题关键．
18．如图，在等腰 中， ，动点P从点A出发沿折线 向点终B以
的速度运动， 于点Q．设运动时间为 ，当 _______s时， 的面积为 ．【答案】 或
【解析】
【分析】
利用等腰直角三角形的性质求出AB，设时间为 秒，分 和 两种情况结合三角形面积分别计
算．
解：∵在等腰 中， ， ，
∴ ， ， ．
∵ 于点 ．
∴设当时间为 秒时， 的面积为 ．
当 时， ， ，
，即 ，
解得： 或 （舍去）．
当 时， ， ，
，即 ，
解得： 或 （舍去）．
综上所述：当 或 秒时， 的面积为 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，解一元二次方程，解题的关键是理解点
的运动情况，注意分类讨论．
三、解答题19．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．
（1）一个长方形的长比宽多 ，面积是 ，求长方形的长x；
（2）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x；
（3）在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，假设参加聚会小朋友
有x人．
【答案】（1） ，化为一般形式是 ；（2） ，化为一般形式是
；（3） ，化为一般形式为 ．
【解析】
【分析】
（1）先表示出长方形的宽，再根据长方形的面积公式可列方程；
（2）先表示出两条直角边，再根据勾股定理可列方程；
（3）先表示出每个小朋友应该送出的礼物件数，再根据送出礼物总数可列方程．
解：（1）设长方形的长为 ，则宽为 ，
∴ ，
化为一般形式是 ；
（2）依题意得 ，
化为一般形式是 ；
（3）假设参加聚会的有x个小朋友，那么每个小朋友应该送出 件礼物，则x个小朋友共送出
件礼物，可列方程为 ，
化为一般形式为 ．
【点睛】
本题考查了根据实际问题列出一元二次方程的知识，列一元二次方程的关键是找到实际问题中的相等关系．
20．如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的
门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米，求：鸡场的长和宽各为多少米？【答案】鸡场的长为15米，宽为10米．
【解析】
【分析】
设长为x，则根据图可知一共有三面用到了篱笆，长用的篱笆为（x-2）米，与2倍的宽长的总和为篱笆的
长33米，长×宽为面积150米，根据这两个式子可解出长和宽的值．
解：设鸡场的长为x，因为篱笆总长为33米，由图可知宽为： 米，
则根据题意列方程为：
=150，
解得：x=15，x=20（大于墙长，舍去）．
1 2
宽为：10米．
所以鸡场的长为15米，宽为10米．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，正确的列方程，牢记长方形的面积求解：长×宽，一元二
次方程的求解是本题的关键与重点．
21．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学
过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染
的电脑会不会超过700台？
【答案】每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑，3轮感染后被感染的电脑会超过700台．
【解析】
【分析】
根据题意可直接设每轮传染x台，从而列出两轮后共计传染数量为 台，建立一元二次方程求解即可，
求出每轮传染数之后即可判断三轮传染之后的总数，即可得出结论．
设每轮感染中平均1台电脑会感染 台电脑．根据题意可列： ，
解得： ， （舍去）．
∴3轮感染后，被感染得电脑为： ．
答：每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑，3轮感染后被感染的电脑会超过700台．
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用，根据题意准确列出一元二次方程是解题关键．
22．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略，某市汽车零部件生产企业的利润逐年提高，
据统计，2016年利润为2亿元，2018年利润为2.88亿元．
（1）求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率；
（2）若利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能否超过3.5亿元？
【答案】（1）这两年该企业年利润平均增长率为 ；（2）该企业2019年的利润不能超过3.5亿元．
【解析】
【分析】
（1）设年利润平均增长率为x，根据“2016年利润为2亿元，2018年利润为2.88亿元”，列出关于x的
一元二次方程，解之，根据实际情况，即可得到答案；
（2）结合（1）的结果，列式计算，求出2019年的利润，即可得到答案．
解：（1）设年利润平均增长率为x，
根据题意，得 ，
解得 ， （不合题意，舍去）．
答：这两年该企业年利润平均增长率为 ；
（2） ．
答：该企业2019年的利润不能超过3.5亿元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
23．在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣
液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用6000元购进的甲种
品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同．
(1)求甲、乙两种品牌的洗衣液的进价；(2)在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙
种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，
乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为多少元时，两种品牌的洗衣液
每天的利润之和可达到4700元？
【答案】(1)甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元
(2)当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元
【解析】
【分析】
（1）设甲种品牌的洗衣液的进价为x元，乙种品牌的洗衣液的进价为（x+10）元，然后根据题意可列方程
进行求解；
（2）设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元，然
后根据题意可列方程进行求解．
(1)
解：设甲种品牌的洗衣液的进价为x元，乙种品牌的洗衣液的进价为（x+10）元，由题意得：
，
解得： ，
经检验：x=30是原方程的解，
∴乙种品牌的进价为：30+10=40（元），
答：甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元．
(2)
解：设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元，由
题意得：
整理得： ，
解得： ，
答：当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元．
【点睛】
本题主要考查分式方程及一元二次方程的应用，解题的关键是找准已知与未知量的等量关系．培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．如图是某公园在一长35m，宽23m的矩形湖面上修建的等宽的人行观景曲桥，它的面积恰好为原矩形
湖面面积的 ，求人行观景曲桥的宽．若设人行观景曲桥的宽为xm，则x满足的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图中曲桥分布，列出方程即可；
解：如图，
将曲桥移至同一水平上可得，
故选：C
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键．
2．空地上有一段长为a米的旧墙MN，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总
长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（ ）A．若a＝16，S＝196，则有一种围法 B．若a＝20，S＝198，则有两种围法
C．若a＝24，S＝198，则有两种围法 D．若a＝24，S＝200，则有一种围法
【答案】A
【解析】
【分析】
分两种情况讨论：采用图1围法，图2围法，设矩形菜园的宽为x米，分别表示矩形的长，再利用矩形面
积列方程，解方程，注意检验x的范围，从而可得答案．
解：设矩形菜园的宽为x米，则长为 米，
∴
当 时，采用图1围法，则此时
当 时，
解得：
此时都不符合题意，
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为 米，结合 可得
∴
解得： 经检验不符合题意，
综上：若a＝16，S＝196，则没有围法，故A符合题意；
设矩形菜园的宽为x米，则长为 米，
∴
当 时，采用图1围法，则此时
当 时，
解得： 经检验 符合题意；
采用图2围法，如图，
此时矩形菜园的宽为x米，即
则 则 所以长为 米，
结合 可得
∴
解得： 经检验 符合题意，
综上：若a＝20，S＝198，则有两种围法，故B不符合题意；
同理可得：C不符合题意，D不符合题意；故选A
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，表示图2中矩形的长是解本题的关键．
3．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内
其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一
共有( )
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【答案】B
【解析】
试题解析：设这个QQ群共有x人，
依题意有x（x-1）=90，
解得：x=-9（舍去）或x=10，
∴这个QQ群共有10人．
故选B.
4．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样的一个问题：“直田积八百六十四步，只
云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽和为60步，问长比宽
多多少步？若设长比宽多x步，则下列符合题意的方程是（ ）
A．(60 - x)x = 864 B． = 864
C．(60 + x)x = 864 D．(30 + x)(30 - x)= 864
【答案】B
【解析】
【分析】
画图分析即可得，宽为 步，长为 步，根据面积关系即可得方程．
画图如下：由图知：宽为 步，长为 步
则可得方程为： = 864
故选：B
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用，弄懂题意并画图分析得到宽与长是关键．
5．一个容器盛满纯药液 千克，第一次倒出一部分药液后加满水，第二次又倒出同样多的药液，再加满
水，此时容器内的纯药液利下 千克，那么每次倒出的药液是（ ）
A． 千克 B． 千克 C． 千克 D． 千克
【答案】B
【解析】
【分析】
设每次倒出药液 升，根据倒出两次后容器内的纯药液剩下28千克，即可得出关于 的一元二次方程，解
之即可得出结论．
解：设每次倒出药液 升，第一次倒出后剩 升药液，第二次倒出后还剩
升药液，即列方程为: ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
故选： ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品．该商品可以自行定价．据市场调查，该商品的售价与销售量的关系是：若每件售价a元，则可卖出 件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进货
价的25%，如果商店计划要获利400元．则每件商品的售价应定为（ ）
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
【答案】A
【解析】
【分析】
根据利润和售价建立一元二次方程组，得到 ，解方程组得到售价，最后对售价的合理性
进行判断即可得到最终的答案．
设商店的获利为 元，
得 ，
当 时， ，
得 ，
，
解方程得 元或 元，
当 元， ，
∴ 元舍去，
∴ 元，
故选：A．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用及性质，解题的关键是掌握一元二次方程的相关知识．
7．如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿折线AB－BC向终点C运动．设点P
的运动时间为ts，△APC的面积为 ，图2是点P运动过程中S与t之间函数关系的图象，则AC的长
为（ ）A．10cm B．8cm C．14cm D．12cm
【答案】A
【解析】
【分析】
设AB=xcm，BC=ycm，由题意可得AB+BC=14， ，列方程组求出AB、BC的长，再用勾股定
理求出AC的长．
解：设AB=xcm，BC=ycm，
由图1结合图2可得：当点P与点C重合时，t=7，即点P经过的路程为：7×2=14（cm），
∴AB+BC=14，
即x+y=14①，
当点P与点B重合时，△APC的面积最大，为24（cm2），
∴ ，
即 ②，
由①②列方程组 ，
解得 或 （根据图形，舍去）
所以 ，
∴ （cm），
故选：A【点睛】
本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的
思想解答．
8．清代著名数学家梅文鼎在《勾股举隅》一书中，用四个全等的直角三角形拼出正方形 的方法证
明了勾股定理（如图）．设四个全等直角三角形的较短直角边为 ，较长直角边为 ，五边形 的面
积为 ， 的面积为 ，若 ， ，则 的值为
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质得到 ， ， ，
，推出 ， ， 三点共线，分别表示出五边形 的面积 ， 的面积 ,然
后利用 ， 列出方程即可求得结论 ．
解： 四个直角三角形全等，
， ， ， ，
，
四边形 是正方形，
，
，
， ， 三点共线，
五边形 的面积为 ，
，，
，
，
的面积为
，
，
，
， （不合题意，舍去），
故 的值为5．
故选： ．
【点睛】
本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关
键．
二、填空题
9． 年 月 日，山西省政府新闻办举行新闻发布会， 年山西省教育经费支出首次突破 亿元，
达到 亿元，成为继社会保障支出后的第二大支出．据有关资料显示， 年山西省教育经费支出为
亿元，若 ， 这两年山西省教育经费支出的年平均增长率相同，求这两年的年平均增长率，
若设这两年的年平均增长率为 ，则根据题意，可列方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知： 的支出 年的支出，然后列出方程即可．
解：根据题意，可列方程为： ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程，
这是一道典型的增长率问题．
10．从前有一人拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽 ，竖着比城门高 ，一个聪明人
告诉他沿着城门的两对角斜着拿杆，这个人试了试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？设竹竿
的长为xm，请列出符合条件的方程______（要求化为一般式）．
【答案】
【解析】
【分析】
用竹竿表示出门框的边长，根据门框的边长的平方和等于竹竿的长的平方列方程即可．
解：设竹竿的长为x米．由题意得：
，
化简得：
故答案为：
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，得到门框的边长和竹竿长的等量关系是解决本题的关键．
11．某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠现有墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置
的墙最大可用长度为15米），另两面用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如
图的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．若饲养场的面积为180平方米，则饲养场
（矩形ABCD）的一边AB的长为 _____米．【答案】10
【解析】
【分析】
设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米，则饲养场另一边BC＝（总长+3个1米的门的宽度）﹣3x米
＝（48﹣3x）（米），根据矩形的面积公式列出方程，解得即可．
解：设饲养场（矩形ABCD）的一边AB长为x米，则饲养场另一边BC＝（总长+3个1米的门的宽度）﹣
3x米＝（45+3）﹣3x＝（48﹣3x）（米），
根据题意得：x（48﹣3x）＝180，
解得x＝6，x＝10，
1 2
0≤48﹣3x≤27，0≤x≤15，
∴7≤x≤15，
∴x＝10，
答：饲养场（矩形ABCD）的一边AB的长为10米，
故答案为：10．
【点睛】
考查了一元二次方程的应用．读懂题目的意思，根据矩形的面积公式列出方程是解决问题的关键．
12．2022年女足亚洲杯在2022年1月20日至2月6日举行，由小组赛和淘汰赛组成．按比赛规则小组赛
赛制为单循环赛制（即每个小组的两个球队之间进行一场比赛），在小组赛阶段，中国队凭借着小组赛比
赛前几个场次的赢球，成为最先获得八强资格的球队，并在2022年2月6日的亚洲杯决赛中以3∶2战胜韩
国女足，获得亚洲杯冠军．已知中国女足队所在的A组共安排了6场比赛，则中国女足所在的A组共有
______支球队．
【答案】4
【解析】
【分析】
设中国女足所在的A组共有x支球队，则每支球队需要比赛的场数为 场，根据 ×球队数×每支球队
需要比赛的场数=6，列出方程，解方程即可．解：设中国女足所在的A组共有x支球队，根据题意得：
，
解得： ， （舍去）
故答案为：4．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，列出方程，是解题的关键．
13．开学伊始，各校新生都组织了军训，某校军训汇演的场地为一块长方形地块，某班准备学生在场地内
站成行距、列距均为 的方阵，场地边缘不站人，且最靠边的行、列距离边缘都是 ．但后来发现这样
安排只能刚好站下参加汇演的所有女生，就决定男生站在边缘一圈的位置，且行、列与女生对齐，发现刚
好占满所有可以站人的位置．汇报演出时男生挥舞彩旗，女生摇动啦啦球，采购彩旗和啦啦球时发现啦啦
球的单价是彩旗的4倍，而啦啦球的总价是彩旗总价的4.8倍．如果场地面积不超过 ，那么场地的面
积为___________ ．
【答案】50
【解析】
【分析】
先设出相应未知数，再根据题意列出方程，利用实际问题的限制要求，得到a和b的取值范围，在范围内
判断求解即可．
解：设长方形地块的长为am，宽为bm，彩旗的单价为x元/个；
由题意可知女生占地的长为（a-2）m，宽为（b-2）m，
由间隔均为1m，可得女生人数为（a-2+1）(b-2+1)，即为（ab-a-b+1）人，
由于男生站在边缘一圈的位置，且行、列与女生对齐，发现刚好占满所有可以站人的位置，所以男生人数
为2（a+1）+2(b-1)，即为（2a+2b）人；
∵采购彩旗和啦啦球时发现啦啦球的单价是彩旗的4倍，而啦啦球的总价是彩旗总价的4.8倍，
∴4.8（2a+2b）x=4（ab-a-b+1）x；
化简得： ，
∵长方形地块学生横纵间距都是1m，且刚好站满，
∴a和b都是正整数，且∴ 且 为5的整数倍，
∴ 或 ，
∴ ；
故答案为：50．
【点睛】
本题考查了列代数式和方程在实际问题中的应用，解决本题的关键是读懂题意，列出代数式，建立方程，
通过限定条件，求出未知数的值．
14．如图，某数学兴趣小组在学完矩形的知识后一起探讨了一个纸片折叠问题：如何将一张平行四边形纸
片 的四个角向内折起，拼成一个无缝隙、无重叠的矩形 ．图中 ， ， ， 表示折
痕，折后 的对应点分别是 ．若 ， ， ，则纸片折叠时 的长应取
________．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，作BP⊥AD，交DA延长线于P，作BQ∥FH，交AD于Q．先证明DH=BF，求出FH=10cm，再分别
求出AP、BP，设AH=xcm，求出PQ=（2x-6）cm，在Rt△BPQ中，根据勾股定理构造方程，解方程即可
求解．
解：如图，作BP⊥AD，交DA延长线于P，作BQ∥FH，交AD于Q．
由题意得，AE=EM=BE= AB=4cm，DG=NG=CG== CD=4cm，
AH=MH，BF=MF，
∵四边形 为矩形，
∴EF=HG，EF∥HG∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠EBF=∠GDH=60°
∵EF∥HG
∴∠EFM=∠GHN，
又∵∠EFM=∠EFB，∠GHD =∠GHN，
∴∠EFB=∠GHD，
∴△BEF≌△DGH,
∴DH=BF，
∴FH=FM+HM=BF+AH=10cm，
∵BQ∥FH，BF∥QH，
∴BQ=HF=10cm，
∵PD∥BC，
∴∠PAB=∠ABC=60°，
∴在Rt△ABP中，∠ABP=30°，
∴AP= AB=4cm，
∴BP= cm，
设AH=xcm，则HD=（10-x）cm，
∴PQ=14-2（10-x）=（2x-6）cm，
在Rt△BPQ中，根据勾股定理得
解得 （不合题意，舍去）
故答案为：【点睛】
本题考查了平行四边形性质，折叠性质，矩形性质，含30°角直角三角形性质，勾股定理，方程思想等知
识，综合性强．根据题意求出HF=10cm，进而构造直角三角形，利用勾股定理列出一元二次方程是解题关
键．
15．近年来，网红北京迎来了无数中外游客．除了游故宫、登长城、吃烤鸭以外，稻香村的传统糕点成为
了炙手可热的伴手礼．根据消费者的喜好，现推出A、B两种伴手礼礼盒，A礼盒装有2个福字饼，2个禄
字饼：B礼盒装有1个福字饼，2个禄字饼，3个寿字饼，A、B两种礼盒每盒成本价分别为盒中福禄寿三
种糕点的成本价之和．已知A种礼盒每盒的售价为96元，利润率为20%，每个禄字饼的成本价是寿字饼
的成本价的3倍．国庆期间，由于客流量大，一天就卖出A、B两种礼盒共计78盒，工作人员在核算当日
卖出礼盒总成本的时候把福字饼和禄字饼的成本看反了，后面发现如果不看反，那么当日卖出礼盒的实际
总成本比核算时的总成本少500元，则当日卖出礼盒的实际总成本为_____元．
【答案】5740
【解析】
【分析】
根据题意可得A礼盒的成本价格，进而可求出1个福字饼和1个禄字饼的成本和为40元，再设一个福字饼
成本x元，一个禄字饼成本（40﹣x）元，A种礼盒m袋，B种礼盒n袋，列出方程得到xn＝20n+250，最
后求出每日卖出礼盒的实际总成本即可．
解：设A礼盒成本价格a元，根据题意，得
96﹣a＝20%a，
解得a＝80，
∵A礼盒装有2个福字饼，2个禄字饼，
∴2个福字饼和2个禄字饼的成本价格为80元，
∴1个福字饼和1个禄字饼的成本价格为40元，
设个福字饼成本价x元，1个禄字饼成本价（40﹣x）元，则1个寿字饼成本价为 （40﹣x）元，
A种礼盒m袋，B种礼盒n袋，
根据题意，得
m+n＝78
80m+n[x+2（40﹣x）+3× （40﹣x）]+500＝80m+n[（40﹣x+2x+3× （40﹣x）]
∴xn＝20n+250
设A、B两种礼盒实际成本为w元，则有w＝80m+xn+2n（40﹣x）+n× （40﹣x）
＝80（m+n）﹣500
＝80×78﹣500
＝5740．
故答案为：5740．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是求出A礼盒的成本．
16．如图，菱形 中， ，点E在对角线 上，且 ，点F在 延长线上，连
接 ，作 ．交 延长线于点G， ，则 _________，延长 ， 交于点H，则
的长是________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据题意求得 ，如图，过点 作 ，则可的 是等边三角形，由 可得
, , 则 ， ,进而根据AAS可证明
，进而可得 的长，过点 作 于点 ，过 作 于 ，根据勾股定理
可得 的长，设 ，进而求得 的长由 ，可得 是等边三角形，进而求得
,根据 的面积等于 ，据此列出方程，解方程即可求得 ,进而求得 ．
如图，过点 作 ，四边形 是菱形，
， 是等边三角形
是等边三角形
，
,
即
在 和 中
（AAS）
,是等边三角形，
过点 作 于点 ，过 作 于 ，如图，
在 中，
在 中，
在 中，设 ,
是等边三角形，的面积等于
整理得
因式分解得：
解得 或 （舍）
故答案为：
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，添加辅助线是解题的
关键．
三、解答题
17．如图，某中学课外兴题小组准备围建一个矩形花园 ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60 m
的篱笆围成，与墙平行的一边 BC上要预留2 m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆），已知墙长为 28
m．
(1)当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；
(2)能否围成500平方米的矩形花园?若能求出 BC长；若不能，说明理由．
【答案】(1)当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米
(2)不能围成500平方米的矩形花园，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据可以砌60m长的墙的材料，即总长度是60m，BC=xm，则AB= （60-x+2）m，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．
（2）利用根的判别式进行判断即可．
(1)
设矩形花园BC的长为x米，则其宽为 （60﹣x+2）米，依题意列方程得：
（60﹣x+2）x＝300，
x2﹣62x+600＝0，
解这个方程得：x＝12，x＝50，
1 2
∵28＜50，
∴x＝50（不合题意，舍去），
2
∴x＝12．
答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米；
(2)
设矩形花园BC的长为x米，则其宽为 （60﹣x+2）米，依题意列方程得：
（60﹣x+2）x＝500，
x2﹣62x+1000＝0，
＝622﹣4000＝﹣156＜0，
△则该方程无解，即不能围成500平方米的矩形花园．
答：不能围成500平方米的矩形花园．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量
关系求解，注意围墙EF最长可利用28m，舍掉不符合题意的数据．
18．在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣
液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用6000元购进的甲种
品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同．
(1)求甲、乙两种品牌的洗衣液的进价；
(2)在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙
种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，
乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为多少元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？
【答案】(1)甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元
(2)当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元
【解析】
【分析】
（1）设甲种品牌的洗衣液的进价为x元，乙种品牌的洗衣液的进价为（x+10）元，然后根据题意可列方程
进行求解；
（2）设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元，然
后根据题意可列方程进行求解．
(1)
解：设甲种品牌的洗衣液的进价为x元，乙种品牌的洗衣液的进价为（x+10）元，由题意得：
，
解得： ，
经检验：x=30是原方程的解，
∴乙种品牌的进价为：30+10=40（元），
答：甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元．
(2)
解：设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元，由
题意得：
整理得： ，
解得： ，
答：当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元．
【点睛】
本题主要考查分式方程及一元二次方程的应用，解题的关键是找准已知与未知量的等量关系．
19．某商店今年3月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个“冰墩墩”的进价比一个“雪容
融”的进价多40元，购进20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同．
(1)今年3月第一周每个“冰墩墩”和每个“雪容融”的进价分别是多少元？
(2)今年3月份第一周，商店以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个，第二周商店决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，销量比第一周增加了 个，每个“雪容融”的售
价在第一周的基础上下降了m元，销量比第一周增加了2m个，若该商家今年3月份第一、二周共获利
13200元，求m的值．
【答案】(1)今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是120元，每个“雪容融”的进价是80元
(2)15
【解析】
【分析】
（1）设今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是x元，每个“雪容融”的进价是y元，利用总价=单价×数
量，结合“冰墩墩”及“雪容融”单价间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结
论；
（2）利用总利润=每件的销售利润×销售数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出
结论．
(1)
解：设今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是x元，每个“雪容融”的进价是y元，
依题意得： ，
解得： ．
答：今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是120元，每个“雪容融”的进价是80元．
(2)
依题意得：（150-120）×120+（100-80）×150+（150-120）×（120+ ）+（100-m-80）×（150+2m）
=13200，
整理得：m2-15m=0，
解得：m=15，m=0（舍去）．
1 2
答：m的值为15．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确
列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
20．2022年某地桑葚节于4月5日到4月20举行，热情的当地居民为游客准备了桑葚茶、桑葚酒、桑葚酱、桑葚膏等等，在当地举行的“桑葚会”上，游客不仅可以品尝纯正的桑葚茶、桑葚酒、桑葚酱、桑葚音，
而且还能体验制作它们的过程．各类桑葚产品均对外销售，游客们可以买一些送给亲朋好友．已知桑葚酒
是桑葚酱单价的 ，预计桑葚节期间全镇销售桑葚酒和桑葚酱共7500千克，桑葚酒销售额为200000元，
桑葚酱销售额为125000元．
(1)求本次桑葚节预计销售桑葚酒和桑葚酱的单价；
(2)今年因受“新冠”疫情的影响，前来参加桑葚节的游客量比预计有所减少，当地镇府为了刺激经济，减
少库存，将桑葚酒和桑葚酱降价促销．桑葚酱在预计单价的基础上降低 销售，桑葚酒比预计单
价降低 元销售，这样桑葚酱的销量跟预计一样，桑葚酒的销量比预计减少了a%，桑葚酒和桑葚酱的销
售总额比预计减少了3500a元．求a的值
【答案】(1)预计销售桑葚酱的单价为50元/千克，销售桑葚酒的单价为40元/千克
(2)20
【解析】
【分析】
（1）设预计销售桑葚酱的单价为x元/千克，则销售桑葚酒的单价为 元/千克，根据销售桑菩酒和桑菩
酱共7500千克，桑葚酒销售额为200000元，桑葚酱销售额为125000元，列分式方程，解此分式方程即可
解答；
（2）根据题意分别计算出降价后，桑葚酱的销售单价、销售量，桑葚酒的销售单价、销售量，再由销售
总额比预计减少了3500a元列方程，解此方程即可解答．
(1)
解：设桑葚节预计销售桑葚酱的单价为x元/千克，则销售桑葚酒的单价为 元/千克，
根据题意得： ，
解得：
经检验， 是方程的解，答：预计销售桑葚酱的单价为50元/千克，则销售桑葚酒的单价为40元/千克．
(2)
桑葚酱降价后的单价为 ，桑葚酒降价后的单价为 元，
桑葚酱的销量为 千克，桑葚酒的销量为 千克，
∴
解得：a=20或a=0（舍去），
∴a=20
【点睛】
本题考查分式方程的应用、一元二次方程的应用等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
21．在菱形ABCD中，∠ABC=60°， 点E、G分别是边DC、BC上的点，AE与BD相交于点F，且
∠EFG=60°．
(1)如图1，当点G与点C重合时，证明：FA=FG；
(2)如图2，当点G与点C不重合时，FA=FG是否还成立，若不成立，请说明理由；若成立，请给出证明．
(3)如图3，若AB=6，当CE=CG时，直接写出DE的长；
【答案】(1)证明见解析
(2)成立，证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）先根据菱形的性质可得 ，再根据三角形全等的判定定理证出
，根据全等三角形的性质可得 ，然后结合 即可得证；（2）连接 ，先根据全等三角形的性质可得 ，再根据菱形的性质、平行线的性
质可得 ，从而可得 ，然后根据四边形的内角和可得 ，
从而可得 ，根据等腰三角形的判定可得 ，由此即可得证；
（3）过点 作 于点 ，连接 ，先根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得
，再根据三角形全等的判定定理证出 ，根据全等三角形的性质可得
，然后根据等腰三角形的判定可得 ，设 ，则 ，根据含
角直角三角形的性质可得 ，最后在 中，利用勾股定理求出 的值，由此即可得．
(1)
证明： 四边形 是菱形，
，
在 和 中， ，
，
，
点 与点 重合，
，
．
(2)
成立，证明如下：
如图，连接 ，
由（1）已证： ，
，
四边形 是菱形， ，
， ，，
，
，
，
又 ，
，
，
，
．
(3)
解：如图，过点 作 于点 ，连接 ，
，
，
四边形 是菱形， ， ，
，
，
，即 ，
在 和 中， ，
，
，
，
，
设 ，则 ，在 中， ，
，
由勾股定理得： ，即 ，
解得 或 （不符题意，舍去），
则 ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程
的应用等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每
件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
结合题意分析：第一次降价后的价格=原价×（1-降低的百分率），第二次降价后的价格=第一次降价后的
价格×（1-降低的百分率），把相关数值代入即可．
解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96，
故选：C．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价．
2．（2022·山东泰安·中考真题）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，
遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为
6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株楼后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问
6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设这批椽的数量为x株，则一株椽的价钱为3（x−1）文，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x的一元
二次方程，此题得解．
解：∵这批椽的数量为x株，每株椽的运费是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价
钱，
∴一株椽的价钱为3（x−1）文，依题意得：3（x−1）x＝6210，
故选：A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
3．（2022·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比
赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
设有x支队伍，根据题意，得 ，解方程即可．
设有x支队伍，根据题意，得 ，
解方程，得x=10，x=-9（舍去），
1 2
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
4．（2019·黑龙江伊春·中考真题）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若
干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 ，则这种植物每个支
干长出的小分支个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】
【分析】
设这种植物每个支干长出x个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x的一元二次
方程，解之取其正值即可得出结论
设这种植物每个支干长出 个小分支，
依题意，得： ，
解得： （舍去）， ．
故选C．
【点睛】
此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程
5．（2015·甘肃兰州·中考真题）股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再张，
叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回
到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为 ，则 满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：首先假设原件为1，则跌停后的价格为 ，根据连续涨价可得： =1，即 =
.
考点：一元二次方程的应用
6．（2015·山东济南·中考真题）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无
盖的盒子，已知盒子的容积为300 ，则原铁皮的边长为（ ）
A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm【答案】D
【解析】
设原铁皮的边长为xcm，
则(x－6)(x－6)×3=300，
解得：x=16或x=－4(舍去)，
即原铁皮的边长为16cm.
二、填空题
7．（2022·四川成都·中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程 的两
个实数根，则这个直角三角形斜边的长是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意解一元二次方程 得到 或 ，再根据勾股定理得到直角三角形斜边的
长是 ．
解： 一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程 的两个实数根，
由公式法解一元二次方程 可得 ，
根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查勾股定理求线段长，根据题意解出一元二次方程的两根是解决问题的关键．
8．（2021·江苏盐城·中考真题）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农
场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为 ，则可列方程为
________．
【答案】
【解析】
【分析】此题是平均增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），结合本题，如果设平均每年增
产的百分率为x，根据“粮食产量在两年内从300千克增加到363千克”，即可得出方程．
解：设平均每年增产的百分率为x；
第一年粮食的产量为：300（1+x）；
第二年粮食的产量为：300（1+x）（1+x）＝300（1+x）2；
依题意，可列方程：300（1+x）2＝363；
故答案为：300（1+x）2＝363．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为
b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
9．（2014·江苏宿迁·中考真题）一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2cm，那么菜地就变成正
方形，则原菜地的长是_______m．
【答案】12．
【解析】
【分析】
根据“如果它的长减少2，那么菜地就变成正方形”可以得到长方形的长比宽多2米，利用矩形的面积公
式列出方程即可．
设原菜地的长xm，则原菜地的宽是（x－2）m，根据面积是120m2，
可得：x（x－2）=120，
解得x=12或x=－10（不合题意舍去），
所以x=12．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清题意，并找到等量关系．
10．（2012·江苏盐城·中考真题）一批志愿者组成了一个“爱心团队”，专门到全国各地巡回演出，以募
集爱心基金．第一个月他们就募集到资金1万元，随着影响的扩大，第 ( ≥2)个月他们募集到的资金都将
会比上个月增加20%，则当该月所募集到的资金首次突破10万元时，相应的 的值为________．(参考数
据: ， ， )
【答案】14
【解析】
【分析】根据第 ( ≥2)个月募集到的资金都将会比上个月增加20%，可表示出第 ( ≥2)个月募集到的资金，求解
即可．
第一个月募集到资金1万元，则第二个月募集到资金（1+20%）万元，第三个月募集到资金（1+20%）2万
元，…，第n个月募集到资金（1+20%）n-1万元，由题意得：
（1+20%）n-1＞10
即 1.2 n-1＞10
∵1.26×1.27=10.8＞10
∴n-1=6+7=13
n=14
故答案为：14．
【点睛】
本题主要考查了增长率的问题，以及同底数幂的乘法，解题的关键是根据题意列出第n个月募集到的资金，
再根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．
三、解答题
11．（2021·山东烟台·中考真题）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元
的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价
每降低5元，日销售量增加10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？
（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，
小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？
【答案】（1）50元；（2）八折
【解析】
【分析】
（1）设每件的售价定为x元，根据利润不变，列出关于x的一元二次方程，求解即可；
（2）设该商品至少打m折，根据销售价格不超过（1）中的售价列出一元一次不等式，解不等式即可．
解：（1）设每件的售价定为x元，
则有： ，
解得： (舍)，
答：每件售价为50元；
（2）设该商品至少打m折，根据题意得： ，
解得： ，
答：至少打八折销售价格不超过50元．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程是解决问题的
关键．
12．（2021·山东日照·中考真题）某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价
格销售，为更好地助力疫情防控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量 （桶）与每桶降价 （元）
（ ）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求 与 之间的函数关系式；
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？
【答案】（1）y=10x+100；（2）这种消毒液每桶实际售价43元
【解析】
【分析】
（1）设 与 之间的函数表达式为 ，将点 、 代入一次函数表达式，即可求解；
（2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于 的一元二次方程，通过解方程即可求解．
解：（1）设 与销售单价 之间的函数关系式为： ，
将点 、 代入一次函数表达式得： ，
解得： ，
故函数的表达式为： ；
（2）由题意得： ，
整理，得 ．解得 ， （舍去）．
所以 ．
答：这种消毒液每桶实际售价43元．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量 每件的
利润 总利润得出一元二次方程是解题关键．
13．（2022·江苏常州·中考真题）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学
元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数
3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是
，表示ICME-14的举办年份．
(1)八进制数3746换算成十进制数是_______；
(2)小华设计了一个 进制数143，换算成十进制数是120，求 的值．
【答案】(1)2022
(2)9
【解析】
【分析】
（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；
（2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解．
（1） ，故答案为：2022；
（2）根据题意有： ，整理得： ，解得n=9，（负值舍去），
故n的值为9．
【点睛】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程是解答本
题的关键．
14．（2022·贵州毕节·中考真题）2022北京冬奥会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款冰墩墩钥匙扣，
进货价和销售价如下表：（注：利润=销售价-进货价）
类别
A款钥匙扣 B款钥匙扣
价格
进货价（元/件） 30 25
销售价（元/件） 45 37
(1)网店第一次用850元购进A、B两款钥匙扣共30件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩嫩钥匙扣售完后，该网店计划再次购进A、B两款冰墩墩钥匙扣共80件（进货价和销
售价都不变），且进货总价不高于2200元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润
是多少？
(3)冬奥会临近结束时，网店打算把B款钥匙扣调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查
发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售
利润为90元？
【答案】(1)A、B两款钥匙扣分别购进20件和10件
(2)购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元
(3)销售价定为每件30元或34元时，才能使B款钥匙扣平均每天销售利润为90元
【解析】
【分析】
(1)设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，根据“用850元购进A、B两款钥匙扣共30件”列出二元一次方
程组即可求解；
(2)设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，根据“进货总价不高于2200元”列
出不等式 求出 ；设销售利润为 元，得到 ， 随着m的增大而
增大，结合m的范围由此即可求出最大利润；
(3)设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利润为(12-
a)元，由“平均每天销售利润为90元”得到(4+2a)(12-a)=90，求解即可．（1）解：设A、B两款钥匙扣分别购进x和y件，由题意可知： ，解出： ，故
A、B两款钥匙扣分别购进20和10件．
（2）解：设购进A款冰墩墩钥匙扣m件，则购进B款冰墩墩钥匙扣(80-m)件，由题意可知：
，解出： ，设销售利润为 元，则
，∴ 是关于m的一次函数，且3＞0，∴ 随着m的增大而增
大，当 时，销售利润最大，最大为 元，故购进A款冰墩墩钥匙扣40件，购进B款
冰墩墩钥匙扣40件时利润最大，最大为1080元．
（3）解：设B款冰墩墩钥匙扣降价a元销售，则平均每天多销售2a件，每天能销售(4+2a)件，每件的利
润为(12-a)元，由题意可知：(4+2a)(12-a)=90，解出：a=3，a=7，故B款冰墩墩钥匙扣售价为34元或30
1 2
元一件时，平均每天销售利润为90元．
【点睛】
本题考察了二元一次方程组、一元一次不等式的应用、一次函数增减性求利润最大问题及一元二次方程的
应用，属于综合题，读懂题意是解决本题的关键．
15．（2020·湖北宜昌·中考真题）资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营
销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积．
材料：某地有A，B两家商贸公司（以下简称A，B公司）．去年下半年A，B公司营销区域面积分别为m
平方千米，n平方千米，其中 ，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为 ；今年上半年，
受政策鼓励，各公司决策调整，A公司营销区域面积比去年下半年增长了 ，B公司营销区域面积比去
年下半年增长的百分数是A公司的4倍，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为 ，同时公共营
销区域面积与A，B两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了x个百分点．
问题：（1）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区
域面积与B公司营销区域面积的比），并解答；
（2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A公司每半年每平方千
米产生的经济收益均为B公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．
【答案】（1）见解析；（2）55:72【解析】
【分析】
(1)根据题意任意写出问题解答即可.
(2)根据题意列出等式，解出增长率再代入A，B的收益中计算即可.
解（1）问题1：求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比
解答：
问题2：A公司营销区域面积比B公司营销区域的面积多多少？
解答：
问题3：求去年下半年公共营销区域面积与两个公司总营销区域面积的比
解答：
（2）方法一：
方法二：
方法三：
解得 ， （舍去）
设B公司每半年每平方千米产生的经济收益为a，则A公司每半年每平方千米产生的经济收益为
今年上半年A，B公司产生的总经济收益为
去年下半年A，B公司产生的总经济收益为
去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为【点睛】
本题考查一元二次方程增长率的问题,关键在于理解题意列出等式方程.
