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第二章 实数
2.1 认识无理数
基础篇
一、单选题
1．【2022陕师大第一月考】下列实数中，无理数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据无理数的定义判断即可．
【详解】
解：A、分数属于有理数，不符合题意；
B、 是无理数，符合题意；
C、 ，是有理数，不符合题意；
D、 ，是有理数，不符合题意．
故选：B．
【点睛】
本题考查了无理数的定义，实数的分类，对各选项化简后再判断是解题的关键．
2．【2022无锡中学第二次测评】下列实数是无理数的是（ ）
A． B． C．3.14159 D．
【答案】B
【分析】
根据无理数的概念判断即可．
【详解】是有理数， 是无理数，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查无理数，掌握无理数的概念是关键．
3．【2022渭南高级中学期末】下列实数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．0.6
【答案】A
【分析】
根据无理数的定义判断即可．
【详解】
解：A选项， 是无理数，该选项符合题意；
B选项， 是有理数，该选项不符合题意；
C选项， ，分数属于有理数，该选项不符合题意；
D选项，0.6，有限小数，属于有理数，该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π
等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
4．【2022邯郸中学期末】给出下列各数：① ，② ，③0.3，④2，⑤0.1060060006…（每两6之间依
次多一个0），⑥ 其中都是无理数的是（ ）
A．②④⑤ B．①③⑥ C．①⑤⑥ D．③④⑤
【答案】C【分析】
根据有理数的定义、无理数的定义进行判断即可得解．
【详解】
解：在① ，② ，③0.3，④2，⑤0.1060060006…（每两6之间依次多一个0），⑥ 中，
无理数有① ，⑤0.1060060006…（每两6之间依次多一个0），⑥ ，共3个，
故选C．
【点睛】
本题考查了实数的分类，主要利用了有理数和无理数定义，熟记概念是解题的关键．
5．【2022陕西中考第一次模拟】有下列说法：（1）绝对值等于它本身的数是非负数；
（2）多项式 最高次项的系数是3；
（3）两个无理数之和仍为无理数；
（4）若 ，那么 ．
其中说法正确的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
根据绝对值的性质判断（1）；根据多项式的定义判断（2），根据无理数的定义判断（3），根据近似数
与精确数的概念判断（4）．
【详解】
解：（1）绝对值等于它本身的数是非负数是正确的；
（2）多项式1+2xy-3xy2最高次项的系数是-3，故选项错误；
（3）两个无理数之和可能是有理数，故选项错误；
（4）若a≈5.34，那么5.335≤a＜5.345是正确的．
故说法正确的有2个．
故选：B．
【点睛】
本题考查绝对值，多项式，无理数，以及准确数的取值范围，属于基础题型．6．【2022西安市第85中学】已知a为有理数，b、c为无理数，下列各数： 、 、 、 中一
定是无理数的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的
统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：已知 为有理数， 、 为无理数，
则 一定是无理数；
不一定是无理数，例如 ；
不一定是无理数，例如 ；
不一定是无理数，例如 ．
故 、 、 、 中一定是无理数的只有 共1个．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： ， 等；开方开不尽的数；以及像
，等有这样规律的数．
7．【2022华阴中学期中测评】下列各数：① 、②-0.1010010001、③ 、④ 、⑤ 、⑥
中，其中无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】
根据π是无理数，无限不循环小数是无理数，开方不尽的数是无理数判断即可【详解】
∵π是无理数，
∴ 是无理数，
∴①符合题意；
∵-0.1010010001是小数，是有理数，
∴②不符合题意；
∵ 是分数，是有理数，
∴③不符合题意；
∵ 是开方不尽的数，是无理数，
∴④符合题意；
∵ 是无限循环小数，是有理数，
∴⑤不符合题意；
∵ 的 是开方不尽的数，是无理数，
∴⑥符合题意；
故选B．
【点睛】
本题考查了无理数的常见表现形式，准确判定无理数是解题的关键．
8．【2022汉滨中学期末测评】在下列各数：2.01001000100001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），
0，0.333，3π，0.101101101中，无理的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的
统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
解：无理数有：3π， 2.01001000100001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）共有2个．
故选：B.
【点睛】本题考查了无理数的定义，掌握无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这
样规律的数是解题的关键．
9．【2022交通大学附属中学第一次月考】下列实数: (相邻两个1之
依次多一个0)； ，其中无理数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】
根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】
，是有理数；
是有限小数，是有理数；
是分数，是有理数；
，0.010010001 (相邻两个1之依次多一个0)， ，是无理数，共3个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了无理数的定义，注意无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的
数．
10．【2022成都】在所给的数据： ， ， ， ，0.57，0.585885888588885…(相邻两个5
之间的8的个数逐次增加1个)，其中无理数的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】
根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【详解】解： ，π，0.585885888588885…（相邻两个5之间的8的个数逐次增加1个）是无理数，
故选：B．
【点睛】
本题考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，
0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
提升篇
11．【2022银川中学】如图为5×5的正方形格子，其中所有线段的端点都在格点上，长度是无理数的线段
有 __________
【答案】．b、c
【分析】
数网格可得到a，在网格中构造直角三角形，利用勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方，依次求出
b、c、d，再根据无理数定义判断即可．
【详解】
由图可知： ，
，
，
，
因此b、c为无理数．
【点睛】
本题考查勾股定理、无理数的定义，掌握勾股定理求第三边的知识和无理数的定义为解题关键．
12．【2022江西】在实数 ， ， ， ， ， 中，无理数有__________个．
【答案】2
【分析】
由于无理数就是无限不循环小数，初中范围内学习的无理数有： ，开方开不尽的数，以及像
0.1010010001...，等有这样规律的数，由此即可判定选择项；
【详解】
下列各数： 、0.3、 、 、 、0.01001000100001，
、 是无理数，
∴有2个无理数，
故答案为：2．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义注意带根号的数只有在开不尽方时才是无理数，无限不循环小数为无理数；
13．【2022铁一中一模】如图，在甲乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1．
（1）请求出图中阴影正方形的边长；
（2）大家知道 是无理数， ，∴它的整数部分为1，小数部分可以表示为 ．请在图乙
中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求边长为无理数，并求所画正方形边长的整数部分．
（3） 的整数部分是 ；小数部分是 ．
【答案】（1） ；（2）图见解析，整数部分为2；（2）6，
【分析】
（1）直接根据勾股定理即可求解；
（2）画出正方形，然后利用勾股定理求解即可；（3）估算出 的范围，即可找到答案．
【详解】
（1）边长为 ；
（2）如图，
边长为 ，
，
，
整数部分是2；
（3） ，
，
∴整数部分为6，小数部分为 ．
【点睛】
本题主要考查无理数，掌握无理数的估算和勾股定理是解题的关键 ．
14．【2022育才中学第三次月考】按一定规律排成的一列数依次为： ， ， ， ， ，……按
此规律排下去，这列数中的第10个数是__________．
【答案】
【解析】分子可以看出： ， ， ， ， ……，故第10个数的分子为 ，
分母可以看出：第几个数的分母是其序数的平方加1，
例如：12+1＝2，22+1＝5，32+1＝10，42+1＝17，52+1＝26，
故第10个数的分母为102+1＝101，
故这列数中的第10个数是： ．
故答案为： ．
15．【2022西安第一中学】在下列 网格中分别画出一个符合条件的直角三角形，要求三角形的顶点
均在格点上，且满足：
（1）三边均为有理数；（2）其中只有一边为无理数．
【答案】答案见解析
【分析】
（1）由勾股定理得出 5，画出图形即可；
（2）由勾股定理得出直角边长为2、斜边长为 的等腰直角三角形，画出图形即可．
【详解】
（1） 5，
△ABC即为所求，
如图1所示；
（2）由勾股定理得：
，
△DEF即为所求，
如图2所示．【点睛】
本题考查了勾股定理、实数的定义；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算与作图是解决问题的关键．
16．【2022西工大附中第一月考】把下列各数填入相应的横线里：
， ， ，0，0.8， ， ，
正有理数集合： ；
整数集合： ；
负分数集合： ；
无理数集合： ．
【答案】 ； ； ； .
【分析】
根据无理数的定义，以及有理数的分类进行解答，即可得到答案.
【详解】
解：∵ ， ， ，0，0.8， ， ， ，
∴正有理数集合： ；
整数集合： ；
负分数集合： ；
无理数集合： ；故答案为： ； ； ； .
【点睛】
本题考查了无理数的定义，以及有理数的分类，解题的关键是正确的把有理数和无理数进行分类.
17．【2022北京第八中学】把下列各数分别填入相应的集合里．
3.14、0.121121112…、 、 、-2011、 、 、20%
无理数集合：
负整数集合：
分数集合：
正数集合：
【答案】见解析
【分析】
根据有理数、无理数的分类正确填入即可.
【详解】
解：无理数集合：
负整数集合：
分数集合：
正数集合：
【点睛】
此题考察有理数、无理数的分类，熟记两者的分类方法及区别是解题的关键.
18．【2022交大二附北第二周测】已知 与 的小数部分分别是 和 ，求的值.
【答案】-13
【分析】
首先根据 的小数部分，即可得出a和b的值，然后代入即可得解.
【详解】
∵
∴ 的小数部分，即 ，
的小数部分，即
∴
=
=-13
【点睛】
此题主要考查二次根式性质的应用，关键是找出其整数部分和小数部分，即可解题.
19．【2022铜川中学】大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环的小数，因此 的小数部分我们
不可能全部地写出来，于是大明用 来表示 的小数部分.
(1)你同意大明的表示方法吗？如果同意，请简要说明理由；如果不同意，请你表示出 的小数部分；
(2)已知 ，其中x是整数，且 ，求 的相反数.
【答案】(1)同意 ,见解析； (2)
【分析】
（1）先估算出 的范围，即可得出答案；
（2）先估算出 的范围，求出x、y的值，再代入求出即可．
【详解】（1）同意大明的表示方法．理由如下：
因为 ，所以 ，即 ．
所以 ．
所以 是 的小数部分．
（2）因为 ，所以 ，所以 ．
所以 ， ．
所以 的相反数是 ．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，能估算出 、 的范围是解答此题的关键．
20．【2022法门中学期末测评】阅读下列材料：
设： ，①则 .②
由 ，得 ，即 .
所以 .
根据上述提供的方法.把 和 化成分数，并想一想.是不是任何无限循环小数都可以化成分数？
【答案】 ， .任何无限循环小数都可以化成分数.
【解析】
【分析】
设 ①则 ，②；由 ，得 ；由已知，得 ，所以 任何无限循环小数都可以这样化成分数.
【详解】
解：设 ①则 ，②
由 ，得 ，即 .
所以 .
由已知，得 ，
所以 .
任何无限循环小数都能化成分数.
【点睛】
考核知识点：无限循环小数和有理数.模仿，理解材料是关键.
