文档内容
专题 3-1 导数的概念与运算
近5年考情（2020-2024）
考题统计 考点分析 考点要求
2024年甲卷第6题，5分
2024年I卷第13题，5分
高考对本节内容的考查相对稳
（1）导数的概念和定义
定，考查内容、频率、题型、
2023年甲卷第8题，5分 （2）导数的运算
难度均变化不大．重点考查导
（3）求过某点的切线方
数的计算、四则运算法则的应
程
2021年I卷第7题，5分 用和求切线方程为主．
2021年甲卷第13题，5分
模块一
【题型1】平均速度（变化率）与瞬时速度（变化率）
1.求平均变化率的主要步骤：
(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x)－f(x).
2 1
(2)再计算自变量的改变量热Δ点x＝题x 2型－x解1 .读（目录）
(3)得平均变化率＝.
2．瞬时速度是当Δt→0时，运动物体在t 到t＋Δt这段时间内的平均速度的极限值，瞬时速度与平
0 0
均速度二者不可混淆．
1．函数 在区间 ， 上的平均变化率为15，则实数 的值为
A． B． C．1 D．2
2．已知函数y＝f(x)＝2x2＋1在x＝x 处的瞬时变化率为－8，则f(x )＝________．
0 0s(3 t)s(3)
【巩固练习1】某物体的运动方程为 s(t)3t2，若v
li
t
m
0
t
18m/s（位移单位：
m
，
时间单位：s)，则下列说法中正确的是( )
A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度
B．18m/s是物体从3s到(3△t)s这段时间内的速度
C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度
D．18m/s是物体从3s到(3△t)s这段时间内的平均速度
【巩固练习2】若函数 f(x)x2在区间[x ，x △x]上的平均变化率为k ，在区间[x △x，x ]
0 0 1 0 0
上的平均变化率为k ，则( )
2
A．k k
1 2
B．k k
1 2
C．k k
1 2
D．k 与k 的大小关系与x 的取值有关
1 2 0
【巩固练习3】如图1，现有一个底面直径为 高为 的圆锥容器，以 的速度向该容
器内注入溶液，随着时间 （单位： ）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，
忽略容器的厚度，则当 时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ）
A． B． C． D．
【题型2】 导数的定义中极限的简单计算
函数 在 处瞬时变化率是 ，我们称它为函数 在处的导数，记作 或 ．
知识点诠释：
①增量 可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0． 的意义： 与0之间距离要多近
有多近，即 可以小于给定的任意小的正数；
②当 时， 在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与
无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一
时刻的瞬间变化率，即 ．
导数的物理意义
函数 在点 处的导数 是物体在 时刻的瞬时速度 ，即 ； 在点 的
导数 是物体在 时刻的瞬时加速度 ，即 ．
3．若函数 在区间 内可导，且 ，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．0
4．（2024·江苏南通·二模）已知 ，当 时， .
f(1 x) f(1)
【巩固练习1】设函数 可导， （1） 则lim ．
f(x) f 1 x0 3 x
f(x h) f(x h)
【巩固练习2】函数 在区间 内可导，且 若lim 0 0 2，则
y f(x) (a,b) x 0 (a,b) h0 h (
)A． f(x )1 B． f(x )2 C． f(x )4 D． f(x )不确定
0 0 0 0
【巩固练习3】（多选题）已知 ， 在R上连续且可导，且 ，下列关于导数与
极限的说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型4】导数的运算
一、基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
（c为常数）
二、导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则： ；
（2）函数积的求导法则： ；
（3）函数商的求导法则： ，则 ．
特别地：① ，
② ，
5．求下列函数的导数．
(1) (2) ；
6．设函数 ，则 的值为（ ）
A．10 B．59 C． D．0
【巩固练习1】求下列函数的导数．
(1)
(2)
(3)
(4)
【巩固练习2】求下列函数的导函数．
(1) ；
(2) ；
【巩固练习3】在等比数列 中， ，若函数 ，
则 （ ）
A． B． C． D．【题型3】导数的几何意义初步
导数的几何意义
导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数的大小可以根据函数图象，观察对应切线的斜率的
大小，函数 在 处的导数 的几何意义即为函数 在点 处的切线
的斜率．
7．函数 的图像如图所示，下列不等关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（湖南省2024届高三数学模拟试题）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24高三上·福建福州·期中）已知直线l与曲线 相切，则下列直线中可能与l
平行的是（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】函数 y f(x)的图象如图所示， f(x)是函数 f(x)的导函数，则下列数值排序正确
的是( )A．2f（2） f （4）f （2）2f（4）B．2f（4）2f（2） f （4）f （2）
C．2f（2）2f（4） f （4）f （2）D． f （4）f （2）2f（4）2f（2）
【巩固练习2】（2024·全国·高考真题）设函数 ，则曲线 在点 处的
切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】（2024·福建厦门·一模）已知直线 与曲线 在原点处相切，则 的倾斜角为
（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习4】（2024·四川宜宾·模拟预测）若曲线 在 处的切线也是曲线 的切
线，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【题型5】复合函数求导
简单复合函数的导数
（1）复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这
个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)).
（2）复合函数的求导法则 正确地拆分复合函数是求导的前提一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数y＝f(u)，u＝g(x)的导数
间的关系为y′＝y′·u′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
x u x
10．求下列函数的导数．
(1) ； (2) ；
【巩固练习1】求下列各函数的导数：
(1) ；(2)
【巩固练习2】（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的导数：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4)
【巩固练习3】求下列函数的导数．
(1) ；
(2) ；
(3)
(4) ；【题型6】导数的赋值运算
若导函数中含有某个数的导数时，可以通过对x赋值来求出解
11．已知函数 （ 是 的导函数），则 ________
12．已知函数 满足满足 ；求 的解析式
13．（2024·全国·模拟预测）已知函数 （ 是 的导函数），则曲线
在 处的切线方程为 ．
【巩固练习1】已知函数f(x)=f '(1)+xln x,则f(e)=________
【巩固练习2】已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则
______
【巩固练习3】已知函数y=f(x),其导函数y=f '(x)满足f(x)=2xf '(e)+ln x,则f '(e)= .
【巩固练习4】已知函数 ，则 __________.
【巩固练习5】已知 ，则 .
