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模型二、含弹簧的物理模型
【模型概述】
纵观历年的高考试题，和弹簧有关的物理试题占有相当大的比重。高考命题者常以弹簧为载体设计出
各类试题，这类试题涉及静力学问题、动力学问题、动量守恒和能量守恒问题、振动问题、功能问题等，
几乎贯穿了整个力学的知识体系，能很好能很好地考查学生的综合分析能力。
【模型特点】
中学物理中的 “弹篑”和“橡皮绳”也是理想化模型，具有如下几个特性:
(1)弹力遵循胡克定律F=kx，其中x是弹簧的形变量。
(2)轻:即弹簧(或橡皮绳)的重力可视为零。
(3)弹簧既能受拉力，也能受压力(沿着弹簧的轴线)，橡皮绳只能受拉力，不能受压力。
(4)由于弹簧和橡皮绳受力时，其形变较大，发生形变需要一段时间，所以弹簧和橡皮绳中的弹力不
能突变。但是，当弹簧和橡皮绳被剪断时，它们产生的弹力立即消失。
【模型解题】
胡克定律、牛顿第二定律、动能定理、机械能守恒定律、动量定理、动量守恒定律
【模型训练】
【例1】如图所示，一劲度系数为k、原长为l 的轻弹簧，上端固定在天花板上，下端悬挂一个质量为
0
m的小球，小球处于静止状态。弹簧的形变在弹性限度内。已知重力加速度为g。下列判断中正确的是（
）
A．弹簧的伸长量为 B．弹簧的伸长量为 mgk
C．弹簧的总长度为l+ mgk D．弹簧的总长度为
0
【答案】A
【详解】AB．由小球静止，可知弹簧的弹力
F=mg
根据胡克定律 ，得弹簧的伸长量故A正确，B错误；
CD．弹簧的总长度为
故CD错误。
故选A。
变式1.1如图所示，将一轻弹簧上端悬挂在天花板上，下端连接物体A，A下面再用棉线挂一物体
B，A、B质量相等，g为当地重力加速度。烧断棉线，下列说法中正确的是（ ）
A．烧断棉线瞬间，A的加速度大小为g
B．烧断棉线之后，A向上一直加速
C．烧断棉线之后，A在运动中机械能守恒
D．在最高点弹簧弹力等于mg
【答案】A
【详解】A.设A、B质量均为m，烧断棉线前，对A、B整体受力分析，知弹簧的弹力
F=2mg
烧断棉线瞬间，弹簧的弹力不变，对A，根据牛顿第二定律可得
F-mg=ma
A
解得
a =g
A
故A正确；
B.烧断棉线后，A在弹力和重力的作用下向上运动，弹力先大于重力，后小于重力，所以物体A向上
先加速后减速，故B错误；
C.烧断棉线后，弹簧弹力对A做功，故A的机械能不守恒，故C错误；
D.烧断棉线后，A在重力和弹力的作用下做简谐运动，在最低点回复力大小为
F=2mg-mg=mg
方向向上，根据对称性可知，在最高点回复力大小为F'=mg
方向向下，即
mg-F =mg
弹
解得
F =0
弹
故在最高点,速度为零时，弹簧弹力为零，即弹簧恢复原长，故D错误。
故选A。
变式1.2两根相同的轻弹簧的原长均为l，将两弹簧与两相同物体按如图所示的方式连接并悬挂于天花
板上，静止时两根弹簧的总长为2.6l，现用手托着B物体，使下面的弹簧2恢复到原长，则下面说法正确
的有（ ）
A．悬挂稳定时弹簧1的长度为1.2l，弹簧2的长度为1.4l
B．弹簧2恢复原长时弹簧1长度为1.4l
C．物体A上升的距离为0.4l
D．物体B上升的距离为0.4l
【答案】D
【详解】A．悬挂稳定时，弹簧1的弹力等于A、B两个物体的总重量，而弹簧2的弹力等于B物体的
重量，根据平衡条件
而
解得
，
因此弹簧1的长度为1.4l，弹簧2的长度为1.2l，A错误；
BCD．弹簧2恢复原长时，弹簧1的弹力等于A物体的重力，弹簧1的伸长量变为0.2l，因此长度变为1.2l，这样A物体上升的距离为0.2l，B物体上升的距离为0.4l，BC错误，D正确。
故选D。
【例2】如图所示，内壁光滑的半球形容器固定在水平面上。将一轻弹簧的一端固定在半球形容器底
部 处， 为球心。当弹簧另一端与质量为 的小球 相连时，小球 静止于 点。已知 与水平方向
的夹角为 ，则半球形容器对球的支持力和弹簧的弹力分别为（ ） （ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【详解】作出小球的受力分析图，由相似三角形法可得
其中
可得支持力
弹簧的弹力
故选B。
变式2.1如图所示，质量均为m的A、B两球，由一根劲度系数为k的轻弹簧连接静止于半径为R的
光滑半球形碗中，弹簧水平，两球间距为R且球半径远小于碗的半径．则弹簧的原长为（ ）A． ＋R
B． ＋R
C． ＋R
D． ＋R
【答案】D
【详解】以A球为研究对象，小球受三个力：重力、弹力和球壳的支持力如图所示
由平衡条件，得到
解得
根据几何关系得
则
所以故弹簧原长
故选D
变式2.2如图所示，在半径为R的光滑半球形碗中，一根水平放置的轻弹簧两端连接A、B两球，两
球静止于半球形碗中。已知A、B球质量均为m，轻弹簧的劲度系数为k，A、B两球之间的距离为R，球的
半径远小于碗的半径，求：
（1）半球形碗对A球的支持力大小；
（2）弹簧的原长。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）如图，设 ，半球形碗对A球的支持力大小为N，弹簧的原长为 ，形变量为
由几何关系得
由平衡条件得
联立得（2）由平衡条件得
联立得
【例3】如图所示，质量分别为m 和m 的两块方木中间以轻弹簧相连，在空中设法使弹簧处于自然长
1 2
度（即其中没有弹力）后，给它们相同的初速度，向上抛出。在空中时，发现系统始终保持竖直，且弹簧
长度保持自然长度。空气阻力不计。则（ ）
A．m 一定等于m
1 2
B．m 一定大于m
1 2
C．m 一定小于m
1 2
D．不能通过该现象判断m 和m 的大小关系
1 2
【答案】D
【详解】两块方木以相同的初速度，向上抛出，弹簧没有弹力，只受重力作用
解得
具有相同的重力加速度，同步做竖直上抛运动，与质量大小无关，不能通过该现象判断m 和m 的大
1 2
小关系。
故选D。
变式3.1如图所示，一小球从空中下落，从它刚接触弹簧到把弹簧压缩至最短的过程中，若不计空气
阻力，则关于小球能量的变化，下列判断正确的是（ ）A．动能一直减小 B．动能先增加后减小
C．机械能先增加后减小 D．机械能保持不变
【答案】B
【详解】AB．从接触弹簧到压缩至最短的过程中，弹簧的弹力逐渐增大，小球所受重力不变，开始小
球受到的合力竖直向下，合力大小逐渐减小，则小球的加速度减小，速度增加；当弹力大于重力后小球所
受合力方向竖直向上，合力大小逐渐增大，即加速度向上增加，速度减小，即动能先增加后减小，故A错
误，B正确。
CD．整个过程中，弹簧的弹力一直对小球做负功，则小球的机械能一直减小，选项CD错误。
故选B。
变式3.2如图所示，用轻弹簧将质量均为m=1kg的物块A和B连接起来，将它们固定在空中，弹簧处
于原长状态，A距地面的高度h=0.15m．同时释放两物块，设A与地面碰撞后速度立即变为零，由于B压
1
缩弹簧后被反弹，使A刚好能离开地面（但不继续上升）．已知弹簧的劲度系数k=100N/m，取
g=10m/s2．求：
（1）物块A刚到达地面的速度；
（2）物块B反弹到最高点时，弹簧的弹性势能；
（3）若将B物块换为质量为2m的物块C（图中未画出），仍将它与A固定在空中且弹簧处于原长，
从A距地面的高度为h 处同时释放，C压缩弹簧被反弹后，A也刚好能离开地面，此时h 的大小．
2 2
【答案】（1）1.73m/s；
（2）0.5J；
（3）0.125m
【详解】试题分析：（1）依题意，AB两物块一起做自由落体运动 ①（1分）设A物块落地时速度为v，此时B的速度也为v
1 1
则有 ②（1分）
（2）设A刚好离地时，弹簧的形变量为x，此时B物块到达最高点
对A物块，有 ③（1分）
A落地后到A刚好离开地面的过程中，对于A、B及弹簧组成的系统机械能守恒，
有 ④（3分）
由②③④可得： ⑤（1分）
（3）换成C后，设A落地时，C的速度为v，
2
则有 ⑥（1分）
A落地后到A刚好离开地面的过程中，A、C及弹簧组成的系统机械能守恒，
则有 ⑦（3分）
联立解得 （1分）
【例4】如图所示，一质量不计的弹簧原长为x=12cm，一端固定于质量m=3kg的物体上，另一端一
0
水平拉力F。物体与水平面间的动摩擦因数μ=0.225，当弹簧拉长至x=16.5cm时，物体恰好向右匀速运动
1
（设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，弹簧始终在弹性限度内， ）；
（1）若将弹簧压缩至x=8cm，求物体受到的摩擦力大小及方向。
2
（2）若将弹簧拉长至x=18cm ，求物体体受到的摩擦力大小及方向。
3
【答案】（1）6N，方向向右；（2）6.75N，方向向左
【详解】（1）匀速运动时，根据平衡条件得
解得最大静摩擦力为
若将弹簧压缩至x=8cm，弹簧的弹力为
2
则物体处于静止状态，物体所受的摩擦力为静摩擦力，大小为6N，弹力方向向左，摩擦力方向向
右；
（2）若将弹簧拉长至x=18cm ，弹簧的弹力为
3
物体向右运动，物体受到滑动摩擦力，大小为6.75N，方向向左。
变式4.1如图所示，一质量m=3kg的物体静止在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数 ，原
长 的轻质弹簧一端固定于物体上，另一端施一水平拉力F。已知最大静摩擦力与滑动摩擦力相
等，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度g取 。
（1）当弹簧长度为21cm时，物体恰好向右匀速运动，求弹簧的劲度系数；
（2）当弹簧长度为12cm时，求物体受到的摩擦力；
（3）当弹簧长度为23cm时，求物体受到的摩擦力。
【答案】（1）400N/m；（2）12N，方向向右；（3）24N，方向向左
【详解】（1）滑动摩擦力
f=μmg=0.8×3×10N=24N
物体匀速运动时，由平衡条件可知
F=f=24N
1
根据胡克定律弹力
F=k（x-x）
1 1 0
代入数据可得
k=400N/m
（2）若将弹簧压缩至12cm，弹力的大小
F=k（x-x）=400×（0.15-0.12）N=12N＜f=24N
2 0 2可知物体仍然静止，受到向右的静摩擦力，大小等于弹簧的弹力，为12N。
（3）若将弹簧拉长至23cm，弹力的大小
F=k（x-x）=400×（0.23-0.15）N=32N＞f=24N
3 3 0
物体不能保持静止，所以物体受到的摩擦力为向左的滑动摩擦力，大小是24N。
变式4.2如图所示，两木块A、B质量分别为 、 ，中间由水平轻质弹簧相连，弹簧
劲度系数 ，弹簧允许的最大形变量为15cm，水平拉力 作用在木块A上，系统恰好在
水平面上做匀速直线运动，重力加速度大小g取 ，已知木块A、B与水平面间的动摩擦因数相同且
均为μ（大小未知）。求：
（1）μ的值；
（2）弹簧的伸长量为多少；
（3）若将另一木块C放置在木块B上，施加拉力 ，使系统仍做匀速运动（弹簧在弹性限度内），
拉力 的最大值是多少？木块C的质量是多少？
【答案】（1） ；（2） ；（3） ，
【详解】（1）设木块与水平面间动摩擦因数为μ，选AB整体为研究对象，系统做匀速运动，则有
解得
（2）设弹簧伸长量为 ，选B为研究对象，B做匀速运动，则有
解得
（3）选A为研究对象
选B和C整体为研究对象
解得，
【例5】如图所示，倾角为 的斜面固定在水平地面上，轻弹簧的一端固定在斜面的底端，弹簧处于
原长时另一端与斜面上的 点平齐。质量为 的小滑块从斜面上的 点由静止下滑，滑块在 点接触
弹簧并压缩弹簧到 点时开始弹回。已知 、 间的距离为0.4m， 、 间的距离为0.2m，弹簧始终处于
弹性限度内，重力加速度 取 ， 取3.87。
（1）若斜面光滑，求滑块运动中弹簧弹性势能的最大值：
（2）若滑块第1次离开弹簧后，沿斜面上升的最高点位于 、 的中点，求滑块第2次经过 点时的
速度大小。（结果保留3位有效数字）
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）若斜面光滑，滑块和弹簧组成的系统机械能守恒，则当滑块压缩弹簧到 点时弹簧的弹
性势能最大，由能量守恒定律可得
解得
（2）设滑块与斜面间的动摩擦因数为 ，滑块由 点下滑，压缩弹簧弹回后运动到 、 中点的过
程，由动能定理有
对滑块由 点下滑到第2次经过 点过程，由动能定理可得
联立解得
变式5.1如图所示，一轻弹簧一端固定在倾角为θ=37º的固定斜面的底端，另一端拴住质量为m=6kg
1的物体P，Q为一质量m=10kg的物体，系统处于静止状态，弹簧的压缩量x=0.16m。现给物体Q施加一
2 0
个方向沿斜面向上的力F，使它从静止开始沿斜面向上做匀加速运动，已知在前0.2s时间内，F为变力，
0.2s以后F为恒力。已知斜面光滑且足够长，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s2求：
（1）弹簧的劲度系数k；
（2）物体Q做匀加速运动的加速度大小a；
（3）前0.2s内拉力F做的功。
【答案】（1）600N/m；（2） ；（3） J
【详解】（1）开始时，对整体受力分析，平行斜面方向有
代入数据，解得
k=600N/m
（2）前0.2s时间内F为变力，之后为恒力，表明0.2s时刻两物体分离，此时P、Q之间的弹力为零且
加速度大小相等，设此时弹簧的压缩量为x，对物体P，有
1
前0.2s时间内两物体的位移
联立解得
（3）前0.2s内，对P、Q整体根据动能定理
其中
速度
v=at位移
代入数据得
WF= J
变式5.2如图所示，质量 的物块放在竖直弹簧上端并紧挨着竖直墙壁，水平向左、大小
的力作用在物块上，物块恰好不下滑，此时弹簧的长度 。已知弹簧的劲度系数
、原长 ，物块与竖直墙壁之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小
，求：
（1）弹簧对物块的弹力大小；
（2）竖直墙壁对物块的摩擦力大小和方向；
（3）物块与竖直墙壁之间的动摩擦因数。
【答案】（1） ；（2） ，方向竖直向上；（3）
【详解】（1）根据胡克定律有
解得
（2）对物块受力分析，竖直方向上有解得
方向竖直向上。
（3）物块在水平方向上有
物块与竖直墙壁之间的动摩擦因数
解得
【例6】如图所示，质量为10kg的物体M放在倾角为 的固定斜面上，M与斜面间动摩擦因数
，M用平行于斜面的轻绳绕过光滑定滑轮与质量为8kg的物块m相连。劲度系数k＝200N/m的弹
簧与m相连，也与地面相连，设最大静摩擦力和滑动摩擦力相等，重力加速度取 ，求：
（1）若M静止在斜面上，弹簧伸长量为8cm，求M所受到的摩擦力；
（2）若M刚要开始运动，求此时弹簧对物块的弹力的大小。
【答案】（1）36N，方向沿斜面向下；（2）30N或70N
【详解】（1）对物块m分析受力情况如图1所示
根据平衡条件可得解得
联立解得轻绳的拉力为
T＝96N
以物体M为研究对象，受到重力、支持力、轻绳拉力，由于 ，摩擦力方向沿斜面向
下，沿斜面方向的平衡方程为
代入数据解得
f＝36N
摩擦力的大小为36N，方向沿斜面向下
（2）物体M与斜面间的最大静摩擦力为
物体M刚要向上运动时，设轻绳的拉力为 ，对物体M沿斜面方向根据平衡条件可得
解得
对物块m，根据平衡条件可得
解得
物体M刚要向下运动时，设轻绳的拉力为 ，沿斜面方向的平衡方程为
解得
对物块m，根据平衡条件可得解得
变式6.1如图所示，质量为m的小球甲穿过一竖直固定的光滑杆拴在轻弹簧上，质量为4m的物体乙
用轻绳跨过光滑的定滑轮与小球甲连接，开始用手托住物体乙，轻绳刚好伸直，滑轮左侧绳竖直，右侧绳
与水平方向夹角为 ，某时刻由静止释放物体乙（足够高），经过一段时间小球甲运动到Q点，O、
Q两点的连线水平， ，且小球甲在P、Q两点处时弹簧的弹力大小相等。已知重力加速度为g，
， 。求：
（1）弹簧的劲度系数k；
（2）小球甲位于Q点时的速度大小v；
（3）在小球甲从P点上升到PQ中点的过程中，弹簧弹力做的功W。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）由几何关系知
则小球位于P点时弹簧的压缩量为
对P点的小球由力的平衡条件可知
解得（2）当小球运动到Q点时，小球甲的速度与绳子OQ垂直，所以物体乙的速度为零，又小球、物体
和弹簧组成的系统机械能守恒，则由机械能守恒定律得
解得
（3）在小球甲从P点上升到PQ中点的过程中，弹簧弹力做的功
变式6.2如图所示，质量为10kg的物体M放在倾角为 的斜面上，M与斜面间摩擦因数
，M用平行于斜面的轻绳绕过光滑定滑轮与质量为5kg的物块m相连。劲度系数k＝200N/m的弹
簧与m相连，也与地面相连，设最大静摩擦力和滑动摩擦力相等。
（1）若M静止在斜面上，弹簧伸长量为8cm，求此时绳子上的拉力大小；
（2）在第一问的基础上，求M所受到的摩擦力的大小和方向；
（3）若M刚要开始运动，求此时弹簧弹力的大小。
【答案】（1） ；（2）6N，方向沿斜面向下；（3）40N，20N
【详解】（1）对物块m分析受力：
根据平衡条件可得
根据胡克定律可得
其中解得
联立解得轻绳的拉力为
（2）以物体M为研究对象，受到重力、支持力、轻绳拉力，假设摩擦力方向沿斜面向下，沿斜面方
向根据平衡条件可得
代入数据解得
假设正确，所以摩擦力方向沿斜面向下；
（3）物体M与斜面间的最大静摩擦力为
①物体M刚要向上运动时，设轻绳的拉力为 ，对物体M沿斜面方向根据平衡条件可得：
对物块m,根据平衡条件可得
解得
此时弹簧处于伸长状态
②物体M刚要向下运动时，设轻绳的拉力为 ，对物体M沿斜面方向根据平衡条件可得：
对物块m，根据平衡条件可得
解得此时弹簧处于压缩状态.
【例7】如图所示，粗糙水平面 长为 ，与竖直面内半径为 的光滑半圆形轨道在 点相接。质
量为 的物体甲（可视为质点）将弹簧压缩到 点后由静止释放，甲脱离弹簧后，在水平面滑行一段距离
后滑上竖直轨道，并恰好能通过 点。已知甲与水平面间的动摩擦因数 ，重力加速度为 。
（1）求甲通过 点时的速度大小；
（2）求弹簧被压缩到 点时的弹性势能；
（3）若在 点放置另一个质量为 的物体乙（可视为质点，图中未画出），使甲把弹簧仍然压缩到
点，由静止释放甲，甲、乙发生弹性正碰后，撤去甲，此后乙沿半圆形轨道运动，通过计算说明乙离开
半圆形轨道后将如何运动。
【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析
【详解】（1）根据题意，设物体甲从 点飞出时的速度为 ，由牛顿第二定律有
解得
（2）对物体甲，从 点到 点的过程，依据动能定理有
由功能关系，可知弹簧初始状态时的弹性势能
（3）不放置乙时，甲从 到 ，由动能定理有解得
甲、乙发生弹性碰撞，系统动量守恒、总动能不变，物体乙的质量 ，由动量守恒定律和机械
能守恒定律有
解得乙碰后的速度
以地面为势能零点，乙在轨道上运动时机械能守恒，假设最高点高度为 ，则有
解得
可见，乙在轨道上的最高点低于与圆心 等高的点，之后乙将沿轨道原路返回，直到经过 点离开半
圆轨道，之后将在摩擦力的作用下做匀减速直线运动。
变式7.1一光滑水平面 与竖直面内的圆形粗糙轨道在B点相切，轨道半径 ，一个质量
的小物块在A处压缩一轻质弹簧，弹簧与小物块不拴接。用手挡住小物块不动，此时弹簧弹性势能
。如图所示，放手后小物块向右运动脱离弹簧，沿圆形轨道向上运动恰能通过最高点C，不计空
气阻力， 。求：
（1）物块在B点时半圆轨道对它的支持力大小；
（2）小物块从B到C过程，阻力做的功 ；
（3）小物块离开C点后落回水平面的位置到B点的水平距离x。【答案】（1）164N；（2）-11J；（3）1m
【详解】（1）物块 A运动到B过程，根据能量守恒定律有
对滑块进行分析，由沿半径的合力提供向心力，则有
解得
N=164N
（2）由于小物块沿圆形轨道向上运动恰能通过最高点C，则在最高点时，弹力恰好等于0，则有
小物块从B到C过程，根据动能定理有
解得
（3）小物块离开C点后做平抛运动，则有
，
解得
变式7.2如图所示，竖直面内、半径为R=1m的光滑圆弧轨道底端切线水平，与水平传送带 左端B靠
近，传送带右端C与一平台靠近，圆弧轨道底端、传送带上表面及平台位于同一水平面，圆弧所对的圆心
角为53°，传送带长为1 m，以v=4 m/s的恒定速度沿顺时针匀速转动，一轻弹簧放在平台上，弹簧右端固
定在竖直墙上，弹簧处于原长，左端与平台上D点对 齐，CD长也为1 m，平台D点右侧光滑，重力加速
度为g=10m/s2，让质量为1 kg的物块从圆弧轨道的最高点A由静止释放，物块第二次滑上传送带后，恰好
能滑到传送带的左端 B点，不计物块的大小，物块与传送带间的动摩擦因数为0.5.（1）求物块运动到圆弧轨道最底端时对轨道的压力大小；
（2）物块第一次到达C点的速度
（3）物块第一次压缩弹簧，弹簧获得的最大弹性势能是多少？
【答案】（1）18N；（2）4 m/s，方向向右；（3）6.5J
【详解】（1）物块从A点由静止释放，运动到圆弧轨道最底点的过程中，根据机械能守恒有
求得
在圆弧轨道最底端时
求得
根据牛顿第三定律可知，在圆弧轨道最底端时物块对轨道的压力大小为18N。
（2）由于 ，因此物块滑上传送带后先做加速运动，设物块在传送带上先加速后匀速，则加速的
加速度
解得
加速的距离
因此物块以v=4 m/s的速度到达C点，方向向右。
（3）设物块与平台间的动摩擦因数为μ，从C点到第一次向左运动到B点，根据动能定理有
2求得
物块从C点到第一次压缩弹簧到最大形变量过程中，根据功能关系有：
求得最大弹性势能
