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模型三、追及、相遇模型
【模型解题】
一、对运动图象物理意义的理解
1.一看“轴”:先要看清两轴所代表的物理量，即图象是描述哪两个物理量之间的关系.
2.二看“线”:图象表示研究对象的变化过程和规律.在v-t图象和x-t图象中倾斜的直线分别表示物体的
速度和位移随时间变化的运动情况.
3.三看“斜率”: x-t图象中斜率表示运动物体的速度大小和方向。V-t图象中斜率表示运动物体的加速
度、大小和方向。
4.四看“面积”:即图线和坐标轴所围的面积往往代表一个物理量，但也要看两物体量的乘积有无意义.例
如v和t的乘积vt=x有意义，所以v-t图线与横轴所围“面积”表示位移，x-t图象与横轴所围“面积"无
意义。
5.五看“截段”，截距一般表示物理过程的初始情况，例如t=0时的位移或速度。
6.六看“特殊点”，例如交点、拐点，例如x-t图像的交点表示两个质点相遇，v-t图像的交点表示
速度相等。
二、追及与相遇问题
1.分析追及问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系".
(1)一个临界条件:速度相等.它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判
断问题的切入点:
(2)两个等量关系:时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口.
2.主要方法
(1)临界条件法:当二者速度相等时，二者相距最远(最近).
(3)数学判别式法:设相遇时间为1,根据条件列方程，得到关于t的元二次方程，用判别式进行讨论，者
s>0,即有两个解，说明可以相遇两次:若0=0,说明刚好追上或相遇;若A<0,说明追不上或不能相遇.
3.能否追上的判断方法
物体B追赶物体A:开始时，两个物体相距知若vr=vg时，xu+xoxp, 则不能追上.
4.若被追赶的物体做匀减速直线运动，- -定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动.
【模型训练】【例1】在水平地面上M点的正上方某一高度处，将S 球以初速度 水平向右抛出，同时在M点右方
1
地面上N点处，将S 球以初速度 斜向左上方抛出，两球恰在M、N连线的中点正上方相遇，不计空气阻
2
力，若两球质量相等，从抛出到相遇过程中（ ）
A．初速度大小关系为
B．小球受到的冲量相等
C．水平位移相同
D．都不是匀变速运动
【答案】B
【详解】AC．根据题意可知两个小球水平方向位移大小相等，方向相反，根据 可知水平方向分
速度大小相等，根据运动的分解可知
故AC错误；
BD．两个小球都只受重力，加速度为重力加速度不变，做匀变速运动，两个小球所受的冲量
相等， 相等，可知小球受到的冲量相等，故B正确，D错误。
故选B
变式1.1从高 处以水平速度 平抛小球 ，同时从地面以初速度 竖直上抛小球 ，两球在空中相
遇，如图所示。下列说法中正确的是（ ）
A．从抛出到相遇所用的时间为B．从抛出到相遇所用的时间为
C．两球抛出时的水平距离为
D．两球抛出时的水平距离为
【答案】C
【详解】AB．小球 在水平方向为匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，小球 做竖直上抛运
动，则相遇时，两球在竖直方向的位移大小之和等于高度 ，即
解得
此过程中的时间也等于小球 在水平方向的位移与初速度 的比值。故AB错误；
CD．两球之间的水平距离为
故C正确，D错误。
故选C。
变式1.2如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇，两球从抛出到相
遇下落的高度为h，若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇下落的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】两球同时抛出，竖直方向均做自由落体运动，相等时间内下降的高度相同，两球始终在同一
水平面上，相遇时水平方向满足
x＝v t+v t
A B再次相遇时x不变，两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间变为 ，根
据
可知两球下落的高度是
故选B。
【例2】a、b两车在同一平直公路上行驶，a做匀速直线运动，两车的位置x随时间t的变化如图所
示。下列说法正确的是（ ）
A．b车运动方向始终不变
B．a、b两车相遇一次
C． 到 时间内，a车的平均速度小于b车的平均速度
D． 到 时间内，某时刻a车的速度可能等于b车的速度
【答案】D
【详解】A． 图线的斜率表示车的速度，斜率的正负表示速度方向，则b先沿正向运动后沿负向
运动，故选项A错误；
B．两条图线有两个交点，说明a、b两车相遇两次，故选项B错误；
C．车的位移大小等于纵坐标的变化量，根据题图可知 到 时间内，两车通过的位移相同，时间也
相等，所以平均速度相等，故C错误；
D． 到 时间内，存在a车图线切线斜率等于b车斜率的时刻，某时刻a车的速度可能等于b车的速
度，故选项D正确。
故选D。变式2.1甲、乙两物体在同一地点同时开始做直线运动的 图像如图所示。根据图像提供的信息可
知（ ）
A．6s末乙追上甲
B．在乙追上甲之前，甲乙相距最远为8m
C．8s末甲、乙两物体相遇，且离出发点有32m
D．在0～4s内与4～6s内甲的平均速度相等
【答案】C
【详解】A． 图像与坐标轴围成的面积表示位移，在0～6s内，甲的位移
乙的位移
因此6s末乙未追上甲，故A错误；
B．当两者速度相等时，距离最远，即5s末距离最远，此时
则最远距离
故B错误；
C．6s以后，甲物体停止运动，因此相遇时，距离出发点32m，乙所用时间
故C正确；
D．根据图像可知，在0～4s内甲的平均速度在4～6s内甲的平均速度
故D错误。
故选C。
变式2.2如图所示是A、B两物体沿同一直线运动过程所对应的位移—时间（ ）图像。则
（ ）
A． 时A、B两物体相遇 B． 时A物体运动速度为零
C． 内B物体速度逐渐减小 D． 内A、B两物体平均速度大小相等
【答案】A
【详解】A．由 图像可知， 时A、B处于同一位置，即两物体相遇，故A正确；
B．根据 图像的切线斜率表示速度，可知 时A物体运动速度不为零，故B错误；
C．根据 图像的切线斜率表示速度，可知 内B物体速度逐渐增加，故C错误；
根据
D．由 图像可知， 内A、B两物体通过的位移大小不相等，则两物体平均速度大小不相等，
故D错误。
故选A。
【例3】我国首颗超百 容量高通量地球静止轨道通信卫星中星 号卫星，于北京时间2023年2
月23日在西昌卫星发射中心成功发射，该卫星主要用于为固定端及车、船、机载终端提供高速宽带接入服
务。如图中星26与椭圆轨道侦察卫星的运行周期都为 ，两星轨道相交于 两点， 连线过地心，
点为远地点。下列说法正确的是（ ）A．中星26在 点线速度 与侦察卫星在 点线速度 相等
B．中星26与侦察卫星可能相遇
C．相等时间内中星26与地球的连线扫过的面积大于侦察卫星与地球的连线扫过的面积
D．相等时间内中星26及侦察卫星与地球的连线扫过的面积相等
【答案】C
【详解】A．由开普勒第二定律可知，侦察卫星在 点速度最小，由于中星26与椭圆轨道侦察卫星的
运行周期都为 ，则中星26在 点线速度 大于侦察卫星在 点线速度 ，故A错误；
B．根据题意，由于中星26与椭圆轨道侦察卫星的运行周期都为 ，由图可知，中星26在下半周转动
时，侦察卫星在上半周转动，中星26在上半周转动时，侦察卫星在下半周转动，则中星26与侦察卫星不
可能相遇，故B错误；
CD．根据题意可知，中星26与椭圆轨道侦察卫星的运行周期都为 ，由开普勒第三定律 可
知，中星26的轨道半径等于侦察卫星的半长轴，令相等时间为周期 ，则中星26与地球的连线扫过的面
积为圆的面积，侦察卫星与地球的连线扫过的面积为椭圆面积，由于圆的面积大于椭圆面积可知，相等时
间内中星26与地球的连线扫过的面积大于侦察卫星与地球的连线扫过的面积，故D错误，C正确。
故选C。
变式3.1三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，A、C为地球同步卫
星，某时刻A、B相距最近，如图所示。已知地球自转周期为T，B的运行周期为T，则下列说法正确的
1 2
是（ ）A．A加速可直接追上同一轨道上的C
B．经过时间 ，A、B第一次相距最远
C．A、C向心加速度大小相等，且大于B的向心加速度
D．在相同时间内，C与地心连线扫过的面积等于B与地心连线扫过的面积
【答案】B
【详解】A．A加速将做离心运动脱离原轨道，则不能追上同一轨道上的C，选项A错误；
B．A、B第一次相距最远时
经过时间
选项B正确；
C．根据
可得
A、C向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度，选项C错误；
D．卫星B和卫星C不在同一轨道上，则在相同时间内，C与地心连线扫过的面积不等于B与地心连
线扫过的面积，选项D错误。
故选B。
变式3.2如图所示，有A、B两个行星绕同一恒星O做匀速圆周运动，运转方向相同，A行星的周期
为T ，B行星的周期为T ，在某一时刻两行星第一次相遇（即两行星距离最近），则（ ）
A B
A．经过时间t =T +T ，两行星第二次相遇
A BB．经过时间 ，两行星第二次相遇
C．经过时间 ，两行星第一次相距最远
D．经过时间 ，两行星第一次相距最远
【答案】BD
【详解】AB．卫星A的周期较小，当卫星A比B多转动一圈时，第二次追上，有
解得
故A错误，B正确；
CD．卫星A比B多转动半圈时，第一次相距最远，有
解得
故C错误，D正确；
【例4】如图所示，倾角 =30°的光滑斜面固定在水平地面上，a滑块从斜面项端由静止释放，同时b
滑块从斜面底端以初速度v=5m/s沿斜面向上滑出，两滑块在斜面中点相遇，重力加速度g=10m/s，两滑块
0
均可视为质点。则斜面的长度为（ ）
A．1m B．2m C．5m D．10m
【答案】C
【详解】两滑块均在光滑斜面上滑行，由牛顿第二定律可知，两者的加速度都相同，有设相遇的时间为t，斜面长度为L，有
联立可得
，
故选C。
变式4.1如图，倾斜角度 的固定轨道与下方水平地面平滑连接，它们的表面材质和工艺完全相
同，轨道顶端高度为H=9m，有两个完全相同的小滑块A和B分别处于倾斜轨道顶部与底部。某时刻突然
给滑块B一沿轨道向上的初速度使其上滑，并同时由静止释放滑块A，当B的速度减为0时恰好与A相
遇。已知滑块与斜面之间的动摩擦因数为 ，sin37°=0.6，重力加速度g取 。
（1）求B刚上滑时的加速度大小 ；
（2）求B初速度大小v；
（3）若B的初速度大小 ，其他条件不变，求从A由静止释放到A、B相遇经历的时间t。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）对B受力分析由牛顿第二定律有
解得
（2）设经过时间 相遇，由题意A、B的位移大小之和等于斜面长度，对A受力分析由牛顿第二定律得
得
由匀变速直线运动规律有
，
相遇时满足
联立解得
（3）结合第（2）问可知，初速度变小，B减为0时还未与A相遇有
设此时A、B运动的距离为分别为 、 ，由运动学公式可得
此时A的速度大小为
此时A、B间距为
此后两者加速度相同，A相对B以 做匀速直线运动，设再经时间 相遇可得
解得同时可得此时B下滑的距离为
可得此时B仍在倾斜轨道上，符合条件，所以有
变式4.2如图，水平传送带以恒定速率 向右运动。长度为 。传送带右端平滑连接足够
长、倾角为 的斜面。现将滑块A（看成质点）无初速度地放在传送带的左端，已知滑块A与传送带
和斜面的动摩擦因数均为 ，重力加速度g取 ，求：
(1)滑块A在传送带上运动的时间和在斜面上运动的最大距离；
(2)当滑块A返回到斜面底端时，在传送带左端无初速放上另一个相同的滑块B，试通过计算判断滑块
A第二次滑上斜面之前两滑块能否相遇。
【答案】(1)0.75s；0.2m；(2)不能再返回斜面之前相遇。
【详解】(1)在传送带上，有
得
与带共速时位移为
故物块能与带共速。则在传送带上运动时间为
物块在斜面上滑的加速度大小为 ，则有得
故滑块上滑的最大距离为
(2)滑块下滑的加速度大小为 ，则有
得
滑块从最高点滑至底端的速度为 ，则有
设滑块滑上传送带到减速为零所用时间为 ，则有
解得
因为 ，故不能再返回斜面之前相遇。
【例5】如图所示，光滑的水平地面与倾角为 的足够长的光滑斜坡平滑相连，某时刻A 球在斜坡
底C位置，B球在A球左边相距 的地方，A球以 的初速度滑上斜坡，B球以
的速度向右匀速运动。两小球经过C点时速度大小不变，已知A、B两球沿斜坡上滑和下滑时加速度不
变，两球加速度大小均为 ，方向均沿斜坡向下，求：
（1）A沿斜坡滑上的最大位移？
（2）A返回C点时，B与A相距多远？
（3）A 返回C点后经过多长时间两物块相遇？【答案】（1）40m；（2）24m；（3）2.4s
【详解】（1）A沿斜坡滑上的最大位移为
（2）A返回C点的时间为
B匀速运动至C点的时间为
B在斜坡上匀减速运动后反向匀加速运动，返回至C点的时间为
则B在水平面向左匀速运动的时间为
此时B与C点的距离为
即B与A相距24m。
（3）两物块相遇时
得
变式5.1贵州“村超”爆红全网，足球比赛精彩纷呈。在某场比赛中，甚至出现了“巴西”式直塞传
球破门的精彩镜头。这一过程可简化成：如图1所示，甲球员在中场A处，发现己方乙球员在B处且无人
防守，于是甲将足球以12m/s的初速度在水平地面上沿A、B连线传出，在传出球的同时，乙从B处由静
止开始沿A、B连线向远离A的方向运动，从此刻开始计时，足球和乙球员运动过程的 图像如图2所
示。在 时，乙与足球同时到达球门前方C处，乙飞脚射门成功。已知A、B、C三点连线与球门线垂
直，C点到球门线的距离为7m。求：
（1）A处到球门线的距离；（2）A、B间的距离：
（3）甲传球后，乙球员与足球在运动过程中有几次相遇，且在何时相遇。
【答案】（1） ；（2）15m；（3）两次，2s，6s
【详解】（1）有图像可知足球的加速度大小
则AC的距离
A处到球门线的距离
（2）有图像面积表示位移，可知乙从B到C的位移
A、B间的距离
（3）根据图像面积，乙球员加速时位移
设乙球员与足球在运动过程中t秒相遇，根据位移关系
解得
，
故乙球员与足球在运动过程中有两次相遇，分别是2s和6s。
变式5.2在距离水平地面H处有甲、乙两个小球，某人先静止释放甲小球，过了时间t后静止释放乙小球（甲，乙不会相撞），假设小球在与水平地面碰撞后，速度大小不变，方向反向。规定竖直向上为正
方向，且不计空气阻力，重力加速度为g。求：
（1）两小球到达地面前一瞬间的速度大小；
（2）若甲、乙两小球第一次相遇在 处，且此时甲仅落地一次，乙尚未落地，求t；
（3）在（2）的前提下，求出两小球相遇时各自的速度（用H和g表示）。
【答案】（1） ；（2） ；（3） ，方向竖直向上； ，
方向竖直向下
【详解】（1）两球均做自由落体运动，则
解得
（2）此时乙的位移大小为
其中
故
而甲落地后又上升了 的高度，其中
则有故
或 （舍去）
则
（3）甲相遇时的速度大小为
方向竖直向上。乙的速度大小为
方向竖直向下。
【例6】甲、乙两车在同一水平路面上做直线运动，某时刻乙车在前、甲车在后，相距 ，从此
刻开始计时，乙车做匀减速直线运动直至停止，乙车第1s内的位移为11.5m，停止运动前最后1s内的位移
为0.5m，甲车运动的 图像如图所示（0～6s是开口向下的抛物线的一部分， 是直线，两部分平
滑相连），求：
（1）甲车在开始计时时刻的速度 和加速度大小 ；
（2）乙车在开始计时时刻的速度 和加速度大小 ；
（3）以后的运动过程中，两车何时相遇？
【答案】（1） ， ；（2） ； ；（3）2s，6s，10s相遇三次
【详解】（1）因开始阶段s-t图像的斜率逐渐减小，可知甲车做匀减速运动；由由图像可知： 时， ，则
6s末的速度
则由
可得
联立解得
（2）乙车第1s内的位移为11.5m，停止运动前最后1s内的位移为0.5m，则将此运动看做逆向的匀加
速直线运动，则
解得
根据运动学公式可得
解得
（3）若甲车在减速阶段相遇，则
带入数据解得则 时甲超过乙相遇一次，t2=6s时刻乙超过甲第二次相遇；因以后甲以速度 做匀速运
动，乙此时以
的初速度做减速运动，则相遇时满足
解得
即在10s时刻两车第三次相遇。
变式6.1甲、乙两可视为质点的玩具车在同一平直路面上，乙车在甲车前方s=17.5m，从t=0时刻两车
同时出发向前运动，两车运动路程x随时间t的变化图像如图所示，甲是过原点的直线，乙是以y轴为对称
轴的抛物线.两车搭载有蓝牙装置，在间距达到某一范围内蓝牙才接通，发现在3s末开始蓝牙接通，求：
（1）乙做匀加速直线运动的加速度大小；
（2）甲、乙相遇前两车相距最近的距离；
（3）蓝牙接通持续的时间。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）根据题图可知，甲做匀速直线运动
乙做匀加速直线运动，由
解得乙做匀加速直线运动的加速度大小（2）当甲、乙速度相等时相距最近
解得
甲、乙相距最近的距离
联立解得
（3）3s末开始蓝牙接通，4s末甲、乙相距最近，根据对称性可知，3s末与5s末甲、乙相距的距离相
等，即5s末蓝牙断开，则连接上的时间
变式6.2甲、乙两车从相距 的两地相向运动，它们的 图象如图所示，忽略车掉头所需时
间。
（1）求 时甲、乙两车各自的位移大小；
（2）通过计算说明两车是否相遇。如能相遇，则计算相遇点的位置；如不能相遇，则计算两车间的
最小距离。
【答案】（1）72m，60m；（2）不能相遇，2.5m
【详解】（1）由v-t图象可知，甲先做匀减速运动，加速度大小
m/s2
t=4s时，甲的位移大小为
=72m
根据图像与坐标轴围成的面积代表物体的位移可知乙的位移大小为m=60m
（2）乙车t=4s时掉头开始做与甲同向的初速度为零的匀加速运动，甲、乙两车此时相距
s=135m-s- s=3m
1 2
甲的速度大小为
6m/s
假设两车从t=4s时再经t 时间能够相遇，乙的加速度为
1
乙的位移大小
甲的位移大小
两车相遇应满足
联立解得
由判别式可知方程无解，所以假设不成立，两车不能相遇。
设从t=4s时再经t 时间两车速度相等，则两车相距最近，则有
2
解得
即两车相距最小距离
2.5m
【例7】公路上因大雾导致车辆追尾的事故时有发生。一辆小汽车以30m/s的速度在公路上行驶，司
机突然发现前方同一车道上70m处有一辆重型大货车正以10m/s同向行驶，为防止发生意外，司机立即采
取制动措施。（1）若小汽车从30m/s紧急制动，可以滑行 ，求小汽车制动时的加速度大小为多少？
（2）若满足（1）条件下，小汽车发现大货车后立即采取紧急制动，并从此时开始计时，则两车何时
相距最近？最近距离是多少米？
（3）实际情况是小车司机发现货车到采取制动措施有一定的反应时间。则要想避免发生追尾，允许
小汽车司机的反应时间最长为多少？
【答案】（1）4m/s2；（2）5s，20；（3）1s
【详解】（1）根据公式可得
解得
因此小汽车制动时的加速度大小为4m/s2；
（2）当两车速度相同时两车相距最近，因此可得
解得
这段时间，小汽车行驶的位移为
解得
大货车的位移为
解得
因此两者最近距离为
（3）若两者速度相等时，刚好相遇，则反应时间最长，因此可得解得
变式7.1在平直的公路上，一辆小汽车前方24m处有一辆大客车正以10m/s的速度匀速前进，这时小
汽车从静止出发以 的加速度向前追赶。
（1）小轿车何时追上大客车？
（2）追上前小汽车与大客车之间的最远距离是多少？
（3）若小轿车在大货车前方20m处，大货车以10m/s的速度匀速前进，小轿车从静止开始至少以多
大的加速度运动，才能不被大货车追上？
【答案】（1）12s；（2）49m；（3）2.5m/s2
【详解】（1）设经过时间t小汽车追上大客车，追上时有
解得
t=12s
（2）追上前，两车速度相等时，两车之间的距离△x最大，则有
则最远距离为
代入数据解得
（3）设小轿车不被追上的加速度为a，刚好不被追上时速度相等，则有
1
联立解得
变式7.2在城市公交站附近，经常看到有乘客追赶公交车。一高中学生在距正前方公交车车头处以 的速率匀速追赶公交车，同时公交车刚好由静止启动以大小为 的加速度
做匀加速直线运动。
（1）该学生能否追至公交车车头处？若能，需要多长时间？若不能，和公交车车头的最短距离为多
少？
（2）若题中为另一学生从同一位置开始追赶公交车，看到公交车启动后，他立即以大小为
的初速度、大小为 的加速度做匀加速直线运动，达到最大速率 后做匀速直线运动，其
他条件不变，该学生能否追至公交车车头处？若能，需要多长时间？若不能，和公交车车头的最短距离为
多少？
【答案】（1）不能；10m；（2）能，6s
【详解】（1）当人和公交车共速时
解得
t=6s
此时人和公交车的距离
即人不能追至公交车车头处，最短距离为10m。
（2）当人的速度达到最大时需要的时间
此时人和公交车相距
即此时人离公交车还有22.5m的距离，则人需要在匀速阶段追上公交车，则
解得
t=6s
2
（t=10s舍掉，此值为人和车第二次相遇的时间）
2
