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模型三、追及、相遇模型
【模型解题】
一、对运动图象物理意义的理解
1.一看“轴”:先要看清两轴所代表的物理量，即图象是描述哪两个物理量之间的关系.
2.二看“线”:图象表示研究对象的变化过程和规律.在v-t图象和x-t图象中倾斜的直线分别表示物体的
速度和位移随时间变化的运动情况.
3.三看“斜率”: x-t图象中斜率表示运动物体的速度大小和方向。V-t图象中斜率表示运动物体的加速
度、大小和方向。
4.四看“面积”:即图线和坐标轴所围的面积往往代表一个物理量，但也要看两物体量的乘积有无意义.例
如v和t的乘积vt=x有意义，所以v-t图线与横轴所围“面积”表示位移，x-t图象与横轴所围“面积"无
意义。
5.五看“截段”，截距一般表示物理过程的初始情况，例如t=0时的位移或速度。
6.六看“特殊点”，例如交点、拐点，例如x-t图像的交点表示两个质点相遇，v-t图像的交点表示
速度相等。
二、追及与相遇问题
1.分析追及问题的方法技巧可概括为“一个临界条件”、“两个等量关系".
(1)一个临界条件:速度相等.它往往是物体间能否追上或(两者)距离最大、最小的临界条件，也是分析判
断问题的切入点:
(2)两个等量关系:时间关系和位移关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口.
2.主要方法
(1)临界条件法:当二者速度相等时，二者相距最远(最近).
(3)数学判别式法:设相遇时间为1,根据条件列方程，得到关于t的元二次方程，用判别式进行讨论，者
s>0,即有两个解，说明可以相遇两次:若0=0,说明刚好追上或相遇;若A<0,说明追不上或不能相遇.
3.能否追上的判断方法
物体B追赶物体A:开始时，两个物体相距知若vr=vg时，xu+xoxp, 则不能追上.
4.若被追赶的物体做匀减速直线运动，- -定要注意判断追上前该物体是否已经停止运动.
【模型训练】【例1】在水平地面上M点的正上方某一高度处，将S 球以初速度 水平向右抛出，同时在M点右方
1
地面上N点处，将S 球以初速度 斜向左上方抛出，两球恰在M、N连线的中点正上方相遇，不计空气阻
2
力，若两球质量相等，从抛出到相遇过程中（ ）
A．初速度大小关系为
B．小球受到的冲量相等
C．水平位移相同
D．都不是匀变速运动
变式1.1从高 处以水平速度 平抛小球 ，同时从地面以初速度 竖直上抛小球 ，两球在空中相
遇，如图所示。下列说法中正确的是（ ）
A．从抛出到相遇所用的时间为
B．从抛出到相遇所用的时间为
C．两球抛出时的水平距离为
D．两球抛出时的水平距离为
变式1.2如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇，两球从抛出到相
遇下落的高度为h，若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇下落的高度为（ ）A． B． C． D．
【例2】a、b两车在同一平直公路上行驶，a做匀速直线运动，两车的位置x随时间t的变化如图所
示。下列说法正确的是（ ）
A．b车运动方向始终不变
B．a、b两车相遇一次
C． 到 时间内，a车的平均速度小于b车的平均速度
D． 到 时间内，某时刻a车的速度可能等于b车的速度
变式2.1甲、乙两物体在同一地点同时开始做直线运动的 图像如图所示。根据图像提供的信息可
知（ ）
A．6s末乙追上甲
B．在乙追上甲之前，甲乙相距最远为8m
C．8s末甲、乙两物体相遇，且离出发点有32m
D．在0～4s内与4～6s内甲的平均速度相等
变式2.2如图所示是A、B两物体沿同一直线运动过程所对应的位移—时间（ ）图像。则
（ ）A． 时A、B两物体相遇 B． 时A物体运动速度为零
C． 内B物体速度逐渐减小 D． 内A、B两物体平均速度大小相等
【例3】我国首颗超百 容量高通量地球静止轨道通信卫星中星 号卫星，于北京时间2023年2
月23日在西昌卫星发射中心成功发射，该卫星主要用于为固定端及车、船、机载终端提供高速宽带接入服
务。如图中星26与椭圆轨道侦察卫星的运行周期都为 ，两星轨道相交于 两点， 连线过地心，
点为远地点。下列说法正确的是（ ）
A．中星26在 点线速度 与侦察卫星在 点线速度 相等
B．中星26与侦察卫星可能相遇
C．相等时间内中星26与地球的连线扫过的面积大于侦察卫星与地球的连线扫过的面积
D．相等时间内中星26及侦察卫星与地球的连线扫过的面积相等
变式3.1三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，A、C为地球同步卫
星，某时刻A、B相距最近，如图所示。已知地球自转周期为T，B的运行周期为T，则下列说法正确的
1 2
是（ ）
A．A加速可直接追上同一轨道上的CB．经过时间 ，A、B第一次相距最远
C．A、C向心加速度大小相等，且大于B的向心加速度
D．在相同时间内，C与地心连线扫过的面积等于B与地心连线扫过的面积
变式3.2如图所示，有A、B两个行星绕同一恒星O做匀速圆周运动，运转方向相同，A行星的周期
为T ，B行星的周期为T ，在某一时刻两行星第一次相遇（即两行星距离最近），则（ ）
A B
A．经过时间t =T +T ，两行星第二次相遇
A B
B．经过时间 ，两行星第二次相遇
C．经过时间 ，两行星第一次相距最远
D．经过时间 ，两行星第一次相距最远
【例4】如图所示，倾角 =30°的光滑斜面固定在水平地面上，a滑块从斜面项端由静止释放，同时b
滑块从斜面底端以初速度v=5m/s沿斜面向上滑出，两滑块在斜面中点相遇，重力加速度g=10m/s，两滑块
0
均可视为质点。则斜面的长度为（ ）
A．1m B．2m C．5m D．10m
变式4.1如图，倾斜角度 的固定轨道与下方水平地面平滑连接，它们的表面材质和工艺完全相
同，轨道顶端高度为H=9m，有两个完全相同的小滑块A和B分别处于倾斜轨道顶部与底部。某时刻突然
给滑块B一沿轨道向上的初速度使其上滑，并同时由静止释放滑块A，当B的速度减为0时恰好与A相
遇。已知滑块与斜面之间的动摩擦因数为 ，sin37°=0.6，重力加速度g取 。（1）求B刚上滑时的加速度大小 ；
（2）求B初速度大小v；
（3）若B的初速度大小 ，其他条件不变，求从A由静止释放到A、B相遇经历的时间t。
变式4.2如图，水平传送带以恒定速率 向右运动。长度为 。传送带右端平滑连接足够
长、倾角为 的斜面。现将滑块A（看成质点）无初速度地放在传送带的左端，已知滑块A与传送带
和斜面的动摩擦因数均为 ，重力加速度g取 ，求：
(1)滑块A在传送带上运动的时间和在斜面上运动的最大距离；
(2)当滑块A返回到斜面底端时，在传送带左端无初速放上另一个相同的滑块B，试通过计算判断滑块
A第二次滑上斜面之前两滑块能否相遇。
【例5】如图所示，光滑的水平地面与倾角为 的足够长的光滑斜坡平滑相连，某时刻A 球在斜坡
底C位置，B球在A球左边相距 的地方，A球以 的初速度滑上斜坡，B球以
的速度向右匀速运动。两小球经过C点时速度大小不变，已知A、B两球沿斜坡上滑和下滑时加速度不
变，两球加速度大小均为 ，方向均沿斜坡向下，求：
（1）A沿斜坡滑上的最大位移？
（2）A返回C点时，B与A相距多远？
（3）A 返回C点后经过多长时间两物块相遇？
变式5.1贵州“村超”爆红全网，足球比赛精彩纷呈。在某场比赛中，甚至出现了“巴西”式直塞传球破门的精彩镜头。这一过程可简化成：如图1所示，甲球员在中场A处，发现己方乙球员在B处且无人
防守，于是甲将足球以12m/s的初速度在水平地面上沿A、B连线传出，在传出球的同时，乙从B处由静
止开始沿A、B连线向远离A的方向运动，从此刻开始计时，足球和乙球员运动过程的 图像如图2所
示。在 时，乙与足球同时到达球门前方C处，乙飞脚射门成功。已知A、B、C三点连线与球门线垂
直，C点到球门线的距离为7m。求：
（1）A处到球门线的距离；
（2）A、B间的距离：
（3）甲传球后，乙球员与足球在运动过程中有几次相遇，且在何时相遇。
变式5.2在距离水平地面H处有甲、乙两个小球，某人先静止释放甲小球，过了时间t后静止释放乙
小球（甲，乙不会相撞），假设小球在与水平地面碰撞后，速度大小不变，方向反向。规定竖直向上为正
方向，且不计空气阻力，重力加速度为g。求：
（1）两小球到达地面前一瞬间的速度大小；
（2）若甲、乙两小球第一次相遇在 处，且此时甲仅落地一次，乙尚未落地，求t；
（3）在（2）的前提下，求出两小球相遇时各自的速度（用H和g表示）。
【例6】甲、乙两车在同一水平路面上做直线运动，某时刻乙车在前、甲车在后，相距 ，从此
刻开始计时，乙车做匀减速直线运动直至停止，乙车第1s内的位移为11.5m，停止运动前最后1s内的位移
为0.5m，甲车运动的 图像如图所示（0～6s是开口向下的抛物线的一部分， 是直线，两部分平
滑相连），求：
（1）甲车在开始计时时刻的速度 和加速度大小 ；
（2）乙车在开始计时时刻的速度 和加速度大小 ；
（3）以后的运动过程中，两车何时相遇？变式6.1甲、乙两可视为质点的玩具车在同一平直路面上，乙车在甲车前方s=17.5m，从t=0时刻两车
同时出发向前运动，两车运动路程x随时间t的变化图像如图所示，甲是过原点的直线，乙是以y轴为对称
轴的抛物线.两车搭载有蓝牙装置，在间距达到某一范围内蓝牙才接通，发现在3s末开始蓝牙接通，求：
（1）乙做匀加速直线运动的加速度大小；
（2）甲、乙相遇前两车相距最近的距离；
（3）蓝牙接通持续的时间。
变式6.2甲、乙两车从相距 的两地相向运动，它们的 图象如图所示，忽略车掉头所需时
间。
（1）求 时甲、乙两车各自的位移大小；
（2）通过计算说明两车是否相遇。如能相遇，则计算相遇点的位置；如不能相遇，则计算两车间的
最小距离。
【例7】公路上因大雾导致车辆追尾的事故时有发生。一辆小汽车以30m/s的速度在公路上行驶，司
机突然发现前方同一车道上70m处有一辆重型大货车正以10m/s同向行驶，为防止发生意外，司机立即采
取制动措施。
（1）若小汽车从30m/s紧急制动，可以滑行 ，求小汽车制动时的加速度大小为多少？
（2）若满足（1）条件下，小汽车发现大货车后立即采取紧急制动，并从此时开始计时，则两车何时
相距最近？最近距离是多少米？（3）实际情况是小车司机发现货车到采取制动措施有一定的反应时间。则要想避免发生追尾，允许
小汽车司机的反应时间最长为多少？
变式7.1在平直的公路上，一辆小汽车前方24m处有一辆大客车正以10m/s的速度匀速前进，这时小
汽车从静止出发以 的加速度向前追赶。
（1）小轿车何时追上大客车？
（2）追上前小汽车与大客车之间的最远距离是多少？
（3）若小轿车在大货车前方20m处，大货车以10m/s的速度匀速前进，小轿车从静止开始至少以多
大的加速度运动，才能不被大货车追上？
变式7.2在城市公交站附近，经常看到有乘客追赶公交车。一高中学生在距正前方公交车车头
处以 的速率匀速追赶公交车，同时公交车刚好由静止启动以大小为 的加速度
做匀加速直线运动。
（1）该学生能否追至公交车车头处？若能，需要多长时间？若不能，和公交车车头的最短距离为多
少？
（2）若题中为另一学生从同一位置开始追赶公交车，看到公交车启动后，他立即以大小为
的初速度、大小为 的加速度做匀加速直线运动，达到最大速率 后做匀速直线运动，其
他条件不变，该学生能否追至公交车车头处？若能，需要多长时间？若不能，和公交车车头的最短距离为
多少？
