特训12求数列通项公式的经典方法（八大题型）（原卷版）_2025年新高考资料_一轮复习_2025年高考数学一轮复习《重难点题型与知识梳理•高分突破》（新高考专用）

特训 12 求数列通项公式的经典方法（八大题型） 1、公式法： a、根据等差、等比数列的通项公式或前n项和公式，结合已知条件进行解题。 b、已知an与Sn的关系式： ①当n＝1时，由a＝S 求a 的值． 1 1 1 ②当n≥2时，由a＝S－S ，求得a 的表达式 n n n－1 n ③检验a 的值是否满足(2)中的表达式，若不满足，则分段表示a． 1 n ④写出a 的完整表达式． n 2、累加法：a−a =f(n-1)，累加后结果为a−a=f(1)+f(2)+⋯+f(n−1) n n-1 n 1 3、累乘法：a/a =f(n-1)， 累乘后结果为a/a =f(1)·f(2)·⋯·f(n−1) n n-1 n 1 4、构造法： （1）、待定系数法： （2）、同除+待定系数： （3）、取倒数+待定系数： （4）、取对数+待定系数： （5）、连续三项： 5、不动点法：→不动点：方程 f(x)=x 的根称为函数 f(x)的不动点。数列通项公式例题分析: 目录： 01 ：公式法（构造公式法） 02 ：累加法 03 ：累乘法 04 ：待定系数法 05 ：对数变换法 06 ：数学归纳法 07：换元法 08 ：不动点法 01 ：公式法（构造公式法） 1.已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。 02 ：累加法 2.已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 变式（变式题均无答案）：已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 03 ：累乘法 3.已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 变式：已知数列 满足 ，求 的通项公式。 04 ：待定系数法 4.已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。变式： ①已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 ②已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 05 ：对数变换法 5.已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。 06 ：数学归纳法 6.已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 07：换元法 7.已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 08 ：不动点法 8.已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 变式：已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 一、解答题 1．（2023·广西南宁·模拟预测）数列 满足 ， （ 为正常数），且 ， ， .(1)求数列 的通项公式； (2)求数列 的前 项和 . 2．（2024·云南·模拟预测）已知数列 . (1)求 ； (2)令 为数列 的前 项和，求 . 3．（2024·内蒙古包头·三模）已知数列 的前n项和为 ， ， ． (1)证明：数列 是等比数列，并求 ； (2)求数列 的前n项和 ． 4．（2023·湖北荆州·模拟预测）已知数列 满足 ． (1)求数列 的通项公式； (2)求 的前 项和 ． 5．（2023·山东·二模）已知两个正项数列 ， 满足 ， ． (1)求 ， 的通项公式； (2)若数列 满足 ，其中 表示不超过 的最大整数，求 的前 项和 ． 6．（2023·山西阳泉·三模）已知数列 满足 ， ． (1)记 求数列 的通项公式；(2)求数列 的前 项和． 7．（2021·浙江·模拟预测）已知数列 是各项均为正数的等比数列，且 ， ．数列 满足 ． （1）求数列 ， 的通项公式； （2）若数列 的前 项和为 ，求证： ． 8．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列 满足 ， . (1)求证：数列 为等差数列； (2)设 ，求数列 的前n项和 . 9．（2022·全国·模拟预测）设数列 满足 ， ． (1)求证： 为等比数列，并求 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和 ． 10．（2024·辽宁丹东·二模）已知数列 中， ， ． (1)求 的通项公式； (2)设数列 是等差数列，记 为数列 的前n项和， ， ，求 ． 11．（2024·广东江门·二模）已知 是公差为2的等差数列，数列 的前 项和为 ，且 ．(1)求 的通项公式； (2)求 ； (3)[x]表示不超过 的最大整数，当 时， 是定值，求正整数 的最小值． 12．（2024·浙江杭州·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ． (1)求数列 的通项公式； (2)数列 满足 ，令 ，求证： ． 13．（2024·河北承德·二模）已知正项数列 的前 项和为 ，满足 ，数列 满足 ， . (1)写出 ，并求数列 的通项公式； (2)记 为数列 在区间 中的项的个数，求数列 的前 项和 . 14．（2024·广西·模拟预测）记数列 的前n项和为 ，对任意正整数n，有 ． (1)求数列 的通项公式； (2)对所有正整数m，若 ，则在 和 两项中插入 ，由此得到一个新数列 ，求 的前 91项和． 15．（2024·江苏宿迁·三模）在数列 中， ． (1)求数列 的通项公式； (2)已知数列 满足 ； ①求证：数列 是等差数列；②若 ，设数列 的前n项和为 ，求证： ． 16．（2024·浙江杭州·三模）卷积运算在图象处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地， 对无穷数列 ， ，定义无穷数列 ，记作 ，称为 与 的卷 积．卷积运算有如图所示的直观含义，即 中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和， 易知有交换律 ． (1)若 ， ， ，求 ， ， ， ； (2)对 ，定义 如下：①当 时， ；②当 时， 为满足通项 的数列 ，即将 的每一项向后平移 项，前 项都取为0．试找到数列 ，使 得 ； (3)若 ， ，证明：当 时， ．