文档内容
第 01 讲 直线方程及直线间的位置关系
（7 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
给值求值型问题
2023年新I卷，第6题,5分 已知点到直线距离求参数 余弦定理解三角形
切线长
求点关于直线的对称点
2023年新Ⅱ卷，第15题,5分 由直线与圆的位置关系求参数
直线关于直线对称问题
2022年新Ⅱ卷，第3题,5分 已知斜率求参数 等差数列通项公式的基本量计算
2022年全国甲卷（理科），
已知两点求斜率 求椭圆的离心率或离心率的取值范围
第10题,5分
2022年全国甲卷（文科），
求平面两点间的距离 由圆心 (或半径)求圆的方程
第14题,5分
2021年新Ⅱ卷，第3题,5分 已知点到直线距离求参数 根据抛物线方程求焦点或准线
2021年全国甲卷（文科），
求点到直线的距离 已知方程求双曲线的渐近线
第5题,5分
2021年全国乙卷（文科），
求点到直线的距离 求双曲线的焦点坐标
第14题,5分
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5-6分
【备考策略】1.理解、掌握直线的倾斜角与斜率及其关系
2.熟练掌握直线方程的5种形式及其应用
3.熟练掌握距离计算及其参数求解
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，通常和圆结合在一起考查，需重点练习知识讲解
1. 两点间的距离公式
， ，
2. 中点坐标公式
， ， 为 的中点，则：
3. 三角形重心坐标公式4. 直线的斜率与倾斜角的定义及其关系
（1）斜率：表示直线的变化快慢的程度； ，直线递增， ，直线递减，
（2）倾斜角：直线向上的部分与 轴正方向的夹角，范围为
（3）直线的斜率与倾斜角的关系：
不存在
5. 两点间的斜率公式
， ，
6. 直线的斜截式方程
其中 为斜率， 为 轴上的截距
，
7. 直线的点斜式方程
已知点 ，直线的斜率 ，则直线方程为：
8. 直线的一般式方程
9. 两条直线的位置关系
（1）平行的条件
①斜截式方程： ， ，
②一般式方程： ， ，
（2）重合的条件
①斜截式方程： ， ，
②一般式方程：
， ，
（3）垂直的条件
①斜截式方程： ， ，
②一般式方程：
， ，
10.点到直线的距离公式点 ，直线 ，点到直线的距离为：
11.两条平行线间的距离公式
， ，
考点一、 直线的倾斜角与斜率
1．（2024·上海·高考真题）直线 的倾斜角 .
【答案】
【分析】求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角之间的关系求解即可.
【详解】设直线 的倾斜角为 ，
易知直线 的斜率为 ，
所以 ，
解得 .
故答案为：
2．（23-24高二上·青海西宁·阶段练习）已知 三点在同一条直线上，则实数
的值为 ．
【答案】5
【分析】根据三点共线，直线 斜率相等，即可列式计算.
【详解】根据题意可得： ，
即： ， ，
解得 或−2；
又当 时， 是同一个点，不满足题意，故舍去；
综上所述，实数 的值为： .
故答案为： .
3．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）经过 两点的直线的倾斜角是钝角，则实数 的
范围是 .
【答案】【分析】由题意可得 且斜率 ，计算即可得解.
【详解】根据题意 ，即 ，
且斜率 ，
即 ，
解得 或 .
实数 的范围是 .
故答案为：
4．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两点 ， ，过点 的直线 与线段AB（含端
点）有交点，则直线 的斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出直线 、 的斜率后可求直线 的斜率的范围.
【详解】
，而 ，
故直线 的取值范围为 ，
故选：A.
1．（2024高三·全国·专题练习）直线 的倾斜角的大小是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】根据题意，求得直线的斜率，得到 ，结合倾斜角的定义，即可求解.【详解】由直线 ，可得直线的斜率 ，所以直线的倾斜角为2.
故选:D.
2．（2024·河南信阳·二模）已知直线 的倾斜角为 ，则 的值是 ．
【答案】
【分析】根据直线斜率等于倾斜角的正切值，得 ，再利用正切的二倍角公式即可得到结果.
【详解】由直线 方程，得直线斜率 ，
所以 .
故答案为：
3．（2022·上海·模拟预测）若 是直线 的一个方向向量，则直线 的倾斜角大小为 ．
【答案】
【分析】先根据直线方向向量求出斜率，再由直线方向向量和倾斜角关系求出倾斜角.
【详解】因为 是直线 的一个方向向量，所以直线 的斜率 ，
所以直线 的倾斜角大小为 ．
故答案为： ．
考点二、 直线的 5 种方程
1．（22-23高三·全国·课后作业）经过点 和点 的直线方程是 .
【答案】
【分析】根据两点式求得直线方程.
【详解】经过点 和点 的直线方程是： ，
整理得 .
故答案为：
2．（22-23高二上·山东日照·阶段练习）过点 且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是 ．
【答案】 或 .
【分析】分截距为0和截距不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法进行求解.
【详解】当截距为0时，设直线方程为 ，将 代入，可得 ，
所以直线方程为 ，
当截距不为0时，设直线方程为 ，
将 代入，可得： ，
所以直线方程为 ，
综上：直线方程为 或 .
故答案为： 或 .
3．（22-23高二上·广东江门·期末）直线 的倾斜角及在y轴上的截距分别是（ ）
A． ，2 B． ， C． ， D． ，2
【答案】C
【分析】将直线方程化成斜截式方程，即可求解.
【详解】直线 化成斜截式 ，
可知直线的斜率 ，故倾斜角为 ，直线在y轴上的截距为 ，
故选：C
4．（24-25高三上·湖南长沙·开学考试）过点 ，倾斜角为 的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般方程可得.
【详解】由题可得直线的斜率为 ，
所以直线方程为： ，
化简可得： ；
故选：B
5．（20-21高一·全国·单元测试）如果 ， ，那么直线 不通过（ ）．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】化简直线方程为直线的斜截式方程，结合斜率和在 轴上的截距，即可求解.
【详解】因为 ，且 ，所以 均不为零，由直线方程 ，可化为 ，
因为 ，且 ，可得 ，y轴截距 ，
所以直线经过第一、三、四象限，所以不经过第二象限．
故选：B.
1．（2024高三·全国·专题练习）过点A(0，2)且倾斜角的正切值是 的直线方程为（ ）
A．3x－5y＋10＝0 B．3x－4y＋8＝0
C．3x＋5y－10＝0 D．3x＋4y－8＝0
【答案】A
【分析】结合条件求直线的斜率，再利用点斜式可求结论.
【详解】因为所求直线的倾斜角的正切值是 ，
所以所求直线的斜率为 ，
由点斜式可知直线方程为 ，
即3x－5y＋10＝0.
故选：A.
2．（21-22高二上·湖南·阶段练习）已知直线 过点 ， ，则直线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可.
【详解】由直线的两点式方程可得，
直线l的方程为 ，即 ．
故选：C．
3．（23-24高二上·陕西·阶段练习）直线 在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】根据题意，由直线的方程，结合直线截距的定义计算，即可求解．【详解】由题意，直线 ，
令 ，解得 ，故 ；令 ，解得 ，所以 ．
故选：B．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为 ，则直线l的
方程为（ ）
A．y＝6x＋ B．y＝6x＋6
C．y＝6x±6 D．y＝6x－6
【答案】C
【详解】
解析：设所求直线l的方程为y＝6x＋b.令x＝0，∴ y＝b，与y轴的交点为（0，b）；令y＝0，∴ x＝－
，与x轴的交点为（－ ，0）.∵ 被两坐标轴所截得的线段长为 ，∴ （－ ）2＋b2＝37，解得b＝±6，
因此所求直线方程为y＝6x±6.
5．（18-19高一下·福建莆田·期中）如果 且 ，那么直线 不通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】化简直线方程为直线的斜截式方程，结合斜率和在 轴上的截距，即可求解.
【详解】因为 ，且 ，所以 、 、 均不为零，
由直线方程 ，可化为 ，
因为 ，且 ，可得 ， ，
所以直线经过第一、二、四象限，所以不经过第三象限．
故选：C.
考点三、 两直线平行求参数
1．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知直线 与直线 平行，
则 的值为（ ）
A．4 B． C．2或 D． 或4
【答案】B
【分析】根据两直线平行得到 ，求出 的值，再检验即可.【详解】因为直线 与直线 平行，
所以 ，解得 或 ，
当 时直线 与直线 重合，不符合题意；
当 时直线 与直线 平行.
故选：B
2．（2024·全国·模拟预测）已知直线 ： ，直线 ： ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用两直线平行求解 的值，结合充要关系的定义判断即可.
【详解】由 可得 ，解得 或 .
当 时， ： ， ： ，显然 ， 重合，舍去，
故 时， .
因此“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知直线 ，直线 ，则“ ”
是“ 或 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据直线平行满足的系数关系列式求解a，结合充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】若直线 和直线 平行，
则 ，解得 ，
所以“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件.
故选：A
2．（2023·河北保定·三模）已知直线 ，“ ”是“ ”的
（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，由直线平行的判断方法分析“ ”和“ ”的关系，结合充分必要条件的定义分
析可得答案.
【详解】若直线 与 平行，
则 ，解得 或 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选： .
考点 四 、 两直线垂直求参数
1．（23-24高三下·江苏·阶段练习）已知直线 ，若直线 与 垂直，则 的倾斜角是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出直线 的斜率，再由直线 与 垂直，求出直线 的斜率，然后由倾斜角与斜率的关系可求
得结果.
【详解】由 ，得 ，则 ，
因为直线 与 垂直，所以 ，
所以 ，得 ，
设直线 的倾斜角为 ，则 ，
因为 ，所以 ，
故选：C
2．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线 ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C【分析】当 时可得 ，即 ；当 时可得 ，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】当 时， ，
即 ，则 ，即 ；
当 时， ，解得 .
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
1．（2024·四川南充·一模）“ ”是“直线 与直线 垂直”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先求出两直线垂直的充要条件，进而根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若直线 与直线 垂直，
则 ，解得 ，
所以“ ”是“直线 与直线 垂直”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（23-24高三上·河北·阶段练习）已知直线 与直线 垂直，则 的最
小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据直线的垂直关系可得 ，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】因为直线 与直线 垂直，
所以 ，即 ，所以 ，
当且仅当 或 时等号成立．
即 的最小值为4，
故选：B
考点 五 、 直线的交点坐标与距离公式1．（2024·广西柳州·模拟预测）双曲线 的一个顶点到渐近线的距离为（ ）．
A． B．4 C． D．
【答案】C
【分析】求出顶点坐标和渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解．
【详解】由双曲线的方程知两顶点 ， ，
渐近线方程为 ，
由对称性，不妨求 到直线 的距离， ．
故选：C．
2．（2024·黑龙江吉林·二模）两条平行直线 ： ， ： 之间的距离是（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】利用平行直线间的距离公式即可得解.
【详解】因为 ： ， ： ，
所以它们之间的距离为 .
故选：B.
1．（23-24高二下·广西·开学考试）椭圆 的上顶点到双曲线 的渐近线的距离为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】先求椭圆的上顶点，再求双曲线的渐近线，然后代入点到直线的距离公式求解.
【详解】
椭圆 的上顶点为(0,3)，双曲线 的渐近线方程为 ，
则椭圆 的上顶点到双曲线 的渐近线的距离为 ．
故选：B
2．（23-24高二上·河南·期中）若直线 与 平行，则两直线之间的距
离为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】根据两直线平行可得 ，再由平行线间的距离公式即可求得结果.
【详解】依题意，由两直线平行可知 ，解得 ，
所以两直线分别为 ，
可得两直线之间的距离为 ，
故选：C．
考点 六 、 直线恒过定点问题
1．（2022高三·全国·专题练习）已知直线 则当 变化时，直线都通过定点
【答案】
【分析】整理得， ，利用 ，即可计算求得定点.
【详解】整理得，
令 ，从而该直线必过定点 .
故答案为：
2．（2024·重庆·三模）当点 到直线l： 的距离最大时，实数 的值
为（ ）
A． B．1 C． D．2【答案】B
【分析】先求得直线过的定点，再由点P与定点的连线与直线垂直求解.
【详解】直线l： ，
整理得 ，
由 ，可得 ，
故直线恒过点 ，
点 到 的距离 ，
故 ；
直线l： 的斜率 ，
故 ，解得
故选：B.
1．（20-21高二上·安徽六安·期末）直线 ，当 变动时，所有直线都通过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直线方程转化为： ，然后令 ，解方程即可求解．
【详解】解：直线方程转化为： ，
令 ，解得 ，
所以直线过定点 ，
故选：A．
2．（23-24高三上·四川·阶段练习）已知直线 ，则点 到直线 的距离的最
大值为 .
【答案】
【分析】求出直线l所过的定点，确定何时点 到直线 的距离最大，结合两点间的距离公式，即可
求得答案.【详解】直线 ，即 ，
由 ,解得 ， ，所以直线 恒过定点 ，
当直线l与直线AP垂直时，点 到直线 的距离的最大，
最大值为 ，
所以点 到直线 的距离的最大值为 ，
故答案为：
考点 七 、 直线综合问题
1．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知 ， ，动点P在直线 上.则
的最小值为 .
【答案】
【分析】借助线段和的几何意义求解即可.
【详解】设 关于直线 对称对称点坐标为 ，
则 ，解得 ，即 ，
，
所以 的最小值为 .
故答案为： .2．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知直线 与直线
，则直线 关于 轴对称的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出直线 关于 轴对称的直线方程，由此得解.
【详解】直线 关于 轴对称的直线方程为： ，
又 与 关于 轴对称，所以 .
所以直线 与 关于 轴对称的充要条件是 .
故选：D.
3．（24-25高二上·山东潍坊·阶段练习）点 到直线 的距离
最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由直线 的方程求出其所过定点坐标，由此确定最大距离及此时直线 的方程.
【详解】直线 的方程 可化为 ，
联立 ，解得 ，
所以直线 经过定点 ，
当 时，点 到直线 的距离最大，最大距离为 ，
因为直线 的斜率 ， ，所以直线 的斜率 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，故 ，
所以直线 的方程为 .
故选：C.
4．（24-25高二上·河北石家庄·阶段练习）已知点 ，若直线 与线段AB
（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出直线l过的定点，设为P，求出 ，结合图象，即可确定答案.
【详解】由 可得 ，
即直线 过定点 ，设为P，
结合 ，则 ，
直线 与线段AB（含端点）有公共点，
则 或 ，即 或 ，
故m的范围为 ，
故选：D1．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知平面上两点 是直线 上一动点，
则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】求出点 关于直线 的对称点，再由几何关系得到 三点共线时距离最大，
最后利用两点间距离求解即可；
【详解】
设点 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，
连接 ，可得 ，所以 ，
当 三点共线时，等号成立，
所以 的最大值为 ，
故选：B.
2．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）平面内四个点 分布在直线
的两侧，且两侧的点到直线 的距离之和相等，则直线 过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可知将 的坐标代入直线 的方程，得代数式之和等于0，整理可得
，代入直线方程即可得结果.
【详解】点 分布在直线 的两侧，且两侧的点到直线的距离之和相等，
则将 的坐标代入直线 的方程，得代数式之和等于0，
即 ，
则 ，即 ，
所以直线 ，即 ，过定点 .
故选：B.
3．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）过点 作直线 ，若直线 与连接 ， 两点的
线段总有公共点，则直线 的倾斜角范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题知直线 的斜率 ，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可.
【详解】
设直线 的倾斜角为 ， ，
当直线 的斜率不存在时， ，符合，
当直线 的斜率存在时，设直线 的斜率为 ，
因为点 ， ， ，则 ， ，
因为直线 经过点 ，且与线段 总有公共点，所以 ，
因为 ，又 ，所以 ，
所以直线 的倾斜角范围为 .
故选：B.
4．（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）经过点 作直线l，若直线l与连接 两点的线段总有公共点，则l的倾斜角 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出直线 的斜率范围，进而求出倾斜角范围.
【详解】依题意，直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
由直线l与线段 总有公共点，得直线 的斜率 ，即 ，
当 时，而 ，则 ；当 ，得 ，
所以l的倾斜角 的取值范围为 .
故选：D
一、单选题
1．（2024·河南·三模）已知直线 与直线 垂直，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由直线垂直的充要条件即可列式得解.
【详解】直线 的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线 的斜率为 ，
即 且 ， ，所以 .故选：D.
2．（24-25高二上·福建·阶段练习）已知直线 过点 和 ，且在 轴上的截距是 ，则实数 等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求得直线 的方程，代入点 的坐标，可求 的值.
【详解】因为直线 在 轴上的截距是1，所以过点 ，
又直线 过点 ，所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为： ，即直线方程为 ，
又直线 过点 ，所以 ，解得 ．
故选：D.
3．（23-24高二下·山东枣庄·期中）若点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 的最小距
离为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】由导数的几何意义求得曲线上与直线 平行的切线方程的切点坐标，求出切点到直线的距
离即为所求最小距离．
【详解】直线 的斜率 ，函数 定义域为(0,+∞)，
点 是曲线 上任意一点，设 ，由 ，
令 ，解得 或 （舍去），
，此时 ，∴曲线上与直线 平行的切线的切点为 ，
所以曲线 上点 到直线 的最小距离，
为点 到直线 的距离 .
故选：C.
4．（2024·河南洛阳·模拟预测）“ ”是“直线 与直线 平
行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D【分析】求出直线平行的充要条件为 ，结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】若 ，则有 ，所以 或 ，
当 时， ，故 ， 重合；
当 时， ，满足条件，
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
5．（2024·安徽·模拟预测）“ ”是“直线 与直线 平行”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】代入 ，可得两直线为同一直线，可得结果.
【详解】当 时，
直线 即直线 ，
直线 即直线 ，
所以两直线重合，“a=2”是“直线 与直线 平行”的既不充分也不必要条
件.
故选：D.
6．（2024·贵州黔南·二模）已知直线 与直线 的交点在圆 的内部，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】联立直线可得其交点坐标，由该点在圆的内部计算即可得.
【详解】联立 ，解得 ，即点 在圆 的内部，
即有 ，解得 .
故选：D.
7．（2024·山东·二模）已知直线 与直线 平行，且在 轴上的截距是 ，则直线 的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】依题意设直线 的方程为 ，代入 求出参数的值，即可得解.
【详解】因为直线 平行于直线 ，所以直线 可设为 ，
因为在 轴上的截距是 ，则过点 ，代入直线方程得 ，
解得 ，所以直线 的方程是 .
故选：C
二、填空题
8．（2024·上海·三模）已知直线 的倾斜角为 ，且直线 与直线 ： 垂直，则
【答案】
【分析】根据题意，求得直线 的斜率，结合直线 、 互相垂直算出 的斜率，进而求出倾斜角 的大小．
【详解】直线 即 ，斜率 ，
因为直线 、 互相垂直，所以直线 的斜率 ，
直线 的倾斜角为 ，则 ，结合 ，可知 ．
故答案为： ．
9．（2024·山东·二模）过直线 和 的交点，倾斜角为 的直线方程为 .
【答案】
【分析】联立直线求解交点，即可根据点斜式求解直线方程.
【详解】联立 与 可得 ，
故交点为 ，倾斜角为 ，所以斜率为1，
故直线方程为 ，即 ，
故答案为：
10．（2024·福建泉州·模拟预测）若曲线 在 处的切线与直线 垂直，则
.
【答案】
【分析】利用导函数的几何意义以及两直线的位置关系与斜率的关系求解.
【详解】由题意得函数 的导函数为 ，故在 处切线的斜率为 ，直线 的斜率存在为 ，根据题意得， ，解得 .
故答案为: .
一、单选题
1．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线 ： 和直线 ： ，则“
”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【分析】根据直线平行求得 或 ，再结合包含关系分析充分、必要条件.
【详解】若 ，则 ，解得 或 ，
若 ，则直线 ： 、直线 ： ，可知 ；
若 ，则直线 ： 、直线 ： ，可知 ；
综上所述： 或 .
因为 是 的真子集，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2024·河南郑州·模拟预测）已知直线 与直线 ，则“ ”
是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】由 ，计算得 或 ，即可判断.
【详解】因为 ，
所以 ，
解得 或 ，
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件．
故选：D．3．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图所示，已知点 ，从点 射出的光线经直线
AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点 ，则光线所经过的路程是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【分析】求出 关于直线 的对称点 和它关于 轴的对称点 ，则 的长就是所求路程．
【详解】依题意，直线 方程为 ，设 关于直线 的对称点 ，
则 ，解得 ，即 ，又 关于 轴的对称点为 ，
，光线所经过的路程即 的周长，
而 的周长为 ，
所以光线所经过的路程是 ．
故选：B
4．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知直线 与直线
，则直线 关于 轴对称的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出直线 关于 轴对称的直线方程，由此得解.【详解】直线 关于 轴对称的直线方程为： ，
又 与 关于 轴对称，所以 .
所以直线 与 关于 轴对称的充要条件是 .
故选：D.
5．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知平面上两点 是直线 上一动点，
则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】求出点 关于直线 的对称点，再由几何关系得到 三点共线时距离最大，
最后利用两点间距离求解即可；
【详解】
设点 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，
连接 ，可得 ，所以 ，
当 三点共线时，等号成立，
所以 的最大值为 ，
故选：B.
6．（2024·河南信阳·模拟预测）动点P在函数 的图象上，以P为切点的切线的倾斜角取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据导数的几何意义及直线的倾斜角与斜率的关系即可求解．
【详解】设以 点为切点的切线的倾斜角为 ，
因为函数 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
又因为 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
二、多选题
7．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）若直线 则
（ ）
A． 的截距式方程为 B．
C． 与 之间的距离为1 D． 与 的倾斜角互补
【答案】BCD
【分析】根据直线的截距式方程，直线平行的斜率结论，平行线之间的距离公式，斜率与倾斜角的关系逐
个判断即可.
【详解】由 得 ，故 的截距式方程为 故A 错误；
因为 与 的斜率都等于 所以 故B正确;
直线 化为一般方程是 ，则 与 之间的距离为 故C正确；
因为 的斜率 ， 的斜率 与 的斜率互为相反数，所以 与 的倾斜角互补，故 D 正确.
故选： BCD.
三、填空题
8．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点P在直线 上，点 ， ，则的最小值为 ，此时点P坐标为
【答案】
【分析】作图分析，结合对称性将 转化为 ，则点 与 在同一直线时， 最
小，求得此时 点坐标即可.
【详解】如图，
设 关于直线 的对称点为 ，则 ，
解得 ，则 ，于是 ，
结合图形知，当 三点共线时，此时 取得最小值 ，即 在 点位置时，
而 ，直线 为 ，
由 ，得点 ，因此 取得最小值时点 坐标为 .
故答案为： ；
9．（2024·河北·模拟预测）抛物线 上的动点 到直线 的距离最短时， 到 的焦点距离
为 .
【答案】2
【分析】设 ，求出P到直线距离，结合绝对值变形后配方可得最小值,最后求出P到C的焦点距
离即可．
【详解】设 ，则点 到直线 的距离为
,当 ，即当 时，
抛物线 上一点到直线 的距离最短，P到C的焦点距离为 .
故答案为：2．
四、解答题
10．（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知 的顶点 ，边 上的中线 所在直线方程为
，边 上的高线 所在直线方程为 ．
(1)求边 所在直线的方程；
(2)求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出直线 的方程，联立 的方程解出 ，然后设 ， 为 的中点，所
以 ，代入各自方程求出 ，然后计算 所在直线的方程即可；
（2）先求出点 到直线 的距离，然后利用两点间的距离公式求出 ，计算 的面积即可.
【详解】（1）因为 ，所以设直线 的方程为： ，
将 代入得 ，所以直线 的方程为： ，
联立 ， 所在直线方程： ，解得 ，
设 ，因为 为 的中点，所以 ，
因为 在直线 上， 在 上，
所以 ， ，
解得 ，所以 ， ，
所以 所在直线的方程为： ，即 .
（2）点 到直线 的距离为： ，
又 ，
所以 .1．（2024·上海·高考真题）直线 的倾斜角 .
【答案】
【分析】求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角之间的关系求解即可.
【详解】设直线 的倾斜角为 ，
易知直线 的斜率为 ，
所以 ，
解得 .
故答案为：
2．（2024·北京·高考真题）圆 的圆心到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.
【详解】由题意得 ，即 ，
则其圆心坐标为 ，则圆心到直线 的距离为 .
故选：D.
3．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，相邻桁的水平距
离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 是举，
是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ．已知
成公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则 （ ）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】D
【分析】设 ，则可得关于 的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设 ，则 ，
依题意，有 ，且 ，
所以 ，故 ，
故选：D
4．（2021·全国·高考真题）点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为： ，即 ，
结合对称性，不妨考虑点 到直线 的距离： .
故选：A.
5．（2021·全国·高考真题）双曲线 的右焦点到直线 的距离为 ．
【答案】
【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】由已知， ，所以双曲线的右焦点为 ，
所以右焦点 到直线 的距离为 .故答案为：
6．（2021·全国·高考真题）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得 的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为 ，
其到直线 的距离： ，
解得： ( 舍去).
故选：B.
7．（2020·全国·高考真题）点(0，﹣1)到直线 距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点 ，设 ，当直线 与 垂直时，点
到直线 距离最大，即可求得结果.
【详解】由 可知直线过定点 ，设 ，
当直线 与 垂直时，点 到直线 距离最大，
即为 .
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解
题的关键，属于基础题.
