文档内容
第 05 讲 平面向量之极化恒等式
（高阶拓展、竞赛适用）
（2 类核心考点精讲精练）
在向量的命题考查中，数量积的运算一直是热点问题，一般情况下，我们掌握公式法、基底法、投影
法和坐标法来求解数量积，但有时会计算量繁琐、解题时间较长。而本节要学的极化恒等式可以从另一角
度来综合解题。
利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量
的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与
几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过
平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决，需大家强化学习。
知识讲解
极化恒等式
恒等式右边有很直观的几何意义:
向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的
，
恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系
如图在平行四边形 中,则
在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说:
极化恒等式的适用条件
(1) 共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化
(2)不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问
题
在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下
第一步:取第三边的中点，连接向量的起点与中点;
第二步:利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差;
第三步:利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积
如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小
于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)。
考点一、 极化恒等式求值
1．（全国·高考真题）设向量 满足 ， ，则
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A
方法一：基本方法，详见解析版
方法二：极化恒等式
由极化恒等式可得： 故选A．
，
2．（2023·全国·统考高考真题）正方形 的边长是2， 是 的中点，则 （ ）
A． B．3 C． D．5【答案】B
【详解】方法一、二、三，详见解析版
方法四：极化恒等式
设CD中点为O点，由极化恒等式可得： 故选：B.
，
1．（江苏·高考真题）如图，在 中， 是 的中点， 是 上的两个三等分点， ，
，则 的值是 .
【答案】
方法一：详见解析版
方法二：极化恒等式
因为 是 上的两个三等分点,所以
联立解得: 所以
，
2.如图,在 中,已知 ,点 分別在边 上,
且 ,若 为 的中点,则 的值为________3．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的
“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示， ，我们称为极化恒
等式. 已知在 中， 是 中点， ， ，则 （ ）
A． B．16 C． D．8
4．（21-22高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的
“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示： ，我们称为极化恒等
式.在△ 中， 是 中点， ， ，则 （ ）
A．32 B．-32 C．16 D．-16
考点二、 极化恒等式求范围
1．（2022·北京·统考高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的动点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示,正方形 的边长为 分别在 轴, 轴的正半轴(含原点)上滑动,则 的最大值是_________
2．（全国·高考真题）已知 是边长为2的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小
值是
A． B． C． D．
3. 如图,在平面四边形 中, ,则 的最大值为____
4. 设锐角 的面积为1,边 的中点分别为 为线段 上的动点,则 的最
小值为_______
5. 已知 的斜边 ,设 是以 为圆心,1为半径的圆上任意一点,则 的取值范围是
（
）
A. B. C. D.
1．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径
的半圆E（正方形ABCD内部，含边界），则 的取值范围为 .2．（2023·天津红桥·二模）已知菱形ABCD的边长为2， ，点E在边BC上， ，若
G为线段DC上的动点，则 的最大值为（ ）
A．2 B．
C． D．4
3．（23-24高一下·北京昌平·期末）在矩形 中， ， ， 为矩形 所在平面内的动
点，且 ，则 的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
4．（23-24高二下·浙江·期中）在 ABC中，BC＝2， ，D为BC中点，在 ABC所在平面内有
△ △
一动点P满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一下·湖南常德·期中）如图，直线 ，点 是 ， 之间的一个定点，点 到 ， 的距离
分别为 和 ．点 是直线 上一个动点，过点 作 ，点 在线段 上运动（包括端点）
且 ，若 的面积为 ．则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知 是边长为1的正六边形边上相异的三点，则 的取
值范围是 .1．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知圆 的弦 的中点为 ，点 为圆上的动点，
则 的最大值为（ ）
A．2 B． C．8 D．
2．（23-24高一下·北京顺义·期中）已知点A，点B，点P都在单位圆上，且 ，则 的最大
值是（ ）
A． B．3 C．1 D．2
3．（23-24高一下·福建泉州·期中）在 中， ，D为BC的中点，点P在
斜边BC的中线AD上，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·重庆·期末）如图，已知正方形 的边长为2，若动点 在以 为直径的半圆上
（正方形 内部，含边界），则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一下·北京·阶段练习）在直角梯形 中， ， ， ，
点 为梯形 四条边上的一个动点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一下·重庆·期末）已知向量 满足 ，且向量 在 方向上的投影向量为
．若动点C满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．7．（23-24高一下·湖北·期中）在 中，点E，F分别是线段 的中点，点 在直线 上，若
的面积为4，则 的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
8．（23-24高一下·湖南张家界·期中）青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青
花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代
景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为 ，
圆 的圆心为正六边形的中心，半径为 ，若点 在正六边形的边上运动，动点 在圆 上运动且关于
圆心 对称，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（23-24高一下·江苏常州·阶段练习）已知图中正六边形 的边长为4，圆O的圆心为正六边形
的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动， 为圆O的直径，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极
其重要，有机物萘可以用左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形，已知
与 为全等的正六边形，且 ，点P为线段 （包括顶点）上的一点，则 的取值范
围为（ ）A． B． C． D．
1．（21-22高二上·浙江衢州·期末）已知点P在圆 上，已知 ， ，则 的最小
值为 .
2．（21-22高一下·浙江·期中）正方形ABCD的边长为2，O是正方形ABCD的中心，过中心O的直线l与
边AB交于点M，与边CD交于点N，P为平面内一点，且满足 ，则 · 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
3．（21-22高一下·江西·期中）已知点 是正六边形 内部（包括边界）一动点， ，则
的最大值为 ．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知A，B，C，D是半径为2的圆O上的四个动点，若 ，则
的最大值为（ ）
A．6 B．12 C．24 D．32
24．5．（23-24高一下·浙江·期中）已知 中， ， ，若 在平面内一点 满足
，则 的最大值为
6．（22-23高一下·湖北襄阳·期中）已知四边形 中， ，点
在四边形 的边上运动，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．-1
7．（2023高三·全国·专题练习）如图，在等腰直角三角形 中，斜边 ， 为线段 上的动点（包含端点）， 为 的中点．将线段 绕着点 旋转得到线段 ，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24高三上·湖北襄阳·阶段练习）已知 的半径为1，直线 与 相切于点 ，直线 与
交于 两点， 为 的中点，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
9．（2022·上海徐汇·模拟预测）已知圆 半径为 是圆 上不重合的点， 则 的最小值
为 .
10．（22-23高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知 中， ， ，且
的最小值为 ，若P为边AB上任意一点，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
