文档内容
绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数 学（文史类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分
钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条
形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试
卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分共40分。
参考公式：
·如果事件A，B互斥，那么PA B= PA+PB.
U
·圆柱的体积公式V =Sh，其中S 表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高
1
·棱锥的体积公式V = Sh，其中S 表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高
3
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A=-1,1,2,3,5 ，B=2,3,4 ，C ={xÎR|1„ x<3} ，则(A
I
C)
U
B=
A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4}
2.设变量x,y满足约束条件 ，则目标函数z =-4x+ y的最大值为
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
3.设xÎR，则“0< x<5”是“ x-1 <1”的
第1页 | 共25页A. 充分而不必要条件
B 必要而不充分条件
.
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为
A. 5 B. 8 C. 24 D. 29
5.已知a =log 7，b=log 8，c=0.30.2，则a,b,c的大小关系为
2 3
A. c0,b>0)的两条渐近线分别交于
a2 b2
点A和点B，且| AB|=4|OF |（O为原点），则双曲线的离心率为
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
7.已知函数 f(x)= Asin(wx+j)(A>0,w>0,|j|1. 4
îx
则a的取值范围为
é5 9ù æ5 9ù æ5 9ù é5 9ù
A. ê , ú B. ç , ú C. ç , úU {1} D. ê , úU {1}
ë4 4û è4 4û è4 4û ë4 4û
绝密★启用前
第Ⅱ卷
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题，共110分。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
5-i
9.i是虚数单位，则 的值为__________.
1+i
10. 设xÎR，使不等式3x2 +x-2<0成立的x的取值范围为__________.
x
11. 曲线y =cosx- 在点 0,1 处的切线方程为__________.
2
12.已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧
棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.
(x+1)(2y+1)
13. 设x>0，y >0，x+2y =4，则 的最小值为__________.
xy
14. 在四边形ABCD中，AD∥BC ，AB=2 3 ，AD=5 ，ÐA=30°
uuuv uuuv
，点E在线段CB的延长线上，且AE = BE，则BD×AE =__________.
三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息
或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层
第3页 | 共25页抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A,B,C,D,E,F .享受情况如右
表，其中“ ”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
d
员工
A B C D E F
项目
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
继续教育 × × ○ × ○ ○
大病医疗 × × × ○ × ×
住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
赡养老人 ○ ○ × × × ○
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率.
16. 在VABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a,b,c.已知b+c = 2a，3csinB=4asinC.
（Ⅰ）求cosB的值；
æ pö
（Ⅱ）求sin ç 2B+ ÷的值.
è 6ø
17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC ^平面
PCD，PA^CD，CD=2，AD=3，
第4页 | 共25页（Ⅰ）设G，H 分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：PA^平面PCD；
（Ⅲ）求直线AD与平面PAC 所成角的正弦值.
18. 设a 是等差数列， b 是等比数列，公比大于0，已知a =b =3，b =a ，b =4a +3.
n n 1 1 2 3 3 2
（Ⅰ）求a 和 b 的通项公式；
n n
ì1, n为奇数,
ï
（Ⅱ）设数列 c n 满足c n =íb n为偶数, 求a 1 c 1 +a 2 c 2 + L +a 2n c 2n nÎN* .
ï n
î
2
19.
x2 y2
设椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点为F ，左顶点为A，顶点为B.已知 3|OA|=2|OB|（O为原点）
a2 b2
.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
3
（Ⅱ）设经过点F 且斜率为 的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆
4
心C在直线x=4上，且OC∥AP，求椭圆的方程.
20. 设函数 f(x)=lnx-a(x-1)ex，其中aÎR.
（Ⅰ）若a£0，讨论 f x 的单调性；
1
（Ⅱ）若0 x ，证明3x -x >2.
1 1 0 0 1
第5页 | 共25页一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A=-1,1,2,3,5 ，B=2,3,4 ，C ={xÎR|1„ x<3} ，则(A
I
C)
U
B=
A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4}
【答案】D
【解析】
【分析】
先求AÇB，再求(A
I
C)
U
B。
【详解】因为A C ={1,2}，
I
所以(A
I
C)
U
B={1,2,3,4}.
故选D。
【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即
借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．
2.设变量x,y满足约束条件 ，则目标函数z =-4x+ y的最大值为
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】
画出可行域，用截距模型求最值。
【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。
目标函数的几何意义是直线y =4x+z在y轴上的截距，
故目标函数在点A处取得最大值。
ìx- y+2=0,
由í ，得A(-1,1)，
îx=-1
所以z =-4´(-1)+1=5。
max
第6页 | 共25页故选C。
【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次
确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等
，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．
3.设xÎR，则“0< x<5”是“ x-1 <1”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
求出 x-1 <1的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】 x-1 <1等价于0< x<2，故0< x<5推不出 x-1 <1；
由 x-1 <1能推出0< x<5。
故“0< x<5”是“|x-1|<1”的必要不充分条件。
故选B。
【点睛】充要条件的三种判断方法：
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；
(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；
第7页 | 共25页(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个
方法特别适合以否定形式给出的问题．
4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为
A. 5 B. 8 C. 24 D. 29
【答案】B
【解析】
【分析】
根据程序框图，逐步写出运算结果。
【详解】S =1,i =2® j =1,S =1+2×21 =5,i =3 S =8,i =4，
结束循环，故输出8
。
故选B。
【点睛】解决此类型问题时要注意：①要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根据各自的特点执
行循环体；②要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；
③要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．
5.已知a =log 7，b=log 8，c=0.30.2，则a,b,c的大小关系为
2 3
第8页 | 共25页A. clog 4=2；
2 2
10,b>0)的两条渐近线分别交于
a2 b2
点A和点B，且| AB|=4|OF |（O为原点），则双曲线的离心率为
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
只需把 AB =4 OF 用a,b,c表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。
b
【详解】l的方程为x=-1，双曲线的渐近线方程为y =± x，
a
b b
故得A(-1, ),B(-1,- )，
a a
2b 2b
所以 AB = ， =4，b=2a，
a a
c a2 +b2
所以e= = = 5。
a a
故选D。
第9页 | 共25页x2 y2 c æbö 2
【点睛】双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率e= = 1+ .
ç ÷
a2 b2 a èaø
7.已知函数 f(x)= Asin(wx+j)(A>0,w>0,|j|1. 4
îx
则a的取值范围为
é5 9ù æ5 9ù æ5 9ù é5 9ù
A. ê , ú B. ç , ú C. ç , úU {1} D. ê , úU {1}
ë4 4û è4 4û è4 4û ë4 4û
第10页 | 共25页【答案】D
【解析】
【分析】
1
画出 f x 图象及直线y=- x+a，借助图象分析。
4
1
【详解】如图，当直线y=- x+a位于B点及其上方且位于A点及其下方，
4
1 1
或者直线y=- x+a与曲线y= 相切在第一象限时符合要求。
4 x
1 5 9
即1£- +a£2，即 £a£ ，
4 4 4
1 1 1 1 1
或者- =- ，得x=2，y = ，即 =- ´2+a，得a=1，
x2 4 2 2 4
é5 9ù
所以a的取值范围是 , 1 。
ê úU
ë4 9û
故选D。
【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此
法。
绝密★启用前
第Ⅱ卷
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题，共110分。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
5-i
9.i是虚数单位，则 的值为__________.
1+i
【答案】 13
第11页 | 共25页【解析】
【分析】
先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。
5-i (5-i)(1-i)
【详解】解法一： = = 2-3i = 13。
1+i (1+i)(1-i)
5-i 5-i 26
解法二： = = = 13。
1+i 1+i 2
【点睛】所以解答与复数概念或运算有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形
式，再根据题意求解．
10. 设xÎR，使不等式3x2 +x-2<0成立的x的取值范围为__________.
2
【答案】(-1, )
3
【解析】
【分析】
通过因式分解，解不等式。
【详解】3x2 +x-2<0，
即(x+1)(3x-2)<0，
2
即-1< x< ，
3
2
故x的取值范围是(-1, )。
3
【点睛】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元
二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化
正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．
x
11. 曲线y =cosx- 在点 0,1 处的切线方程为__________.
2
【答案】x+2y-2=0
【解析】
【分析】
利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程。
第12页 | 共25页1
【详解】y'=-sinx- ，
2
1
当x=0时其值为- ，
2
1
故所求的切线方程为y-1=- x，即x+2y-2=0。
2
【点睛】曲线切线方程的求法：
(1)以曲线上的点(x ，f(x ))为切点的切线方程的求解步骤：
0 0
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x )；
0
③写出切线方程y－f(x )＝f′(x )(x－x )，并化简．
0 0 0
ìy = f(x )
0 0
ï
(2)如果已知点(x ，y )不在曲线上，则设出切点(x ，y )，解方程组íy - y 得切点(x ，y )，进而
1 1 0 0 1 0 = f '(x ) 0 0
ï x -x 0
î
1 0
确定切线方程．
12.已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧
棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.
p
【答案】 .
4
【解析】
【分析】
根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。
【详解】四棱锥的高为 5-1=2，
1
故圆柱的高为1，圆柱的底面半径为 ，
2
2
æ1ö p
故其体积为p´ ´1= 。
ç ÷
è2ø 4
【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。
(x+1)(2y+1)
13. 设x>0，y >0，x+2y =4，则 的最小值为__________.
xy
第13页 | 共25页【答案】4 3.
【解析】
【分析】
把分子展开化为2xy+6，再利用基本不等式求最值。
(x+1)(2y+1) 2xy+x+2y+1 2xy+6 2 2xy×6
【详解】 = = ³ =4 3，
xy xy xy xy
等号当且仅当xy =3，即x=3,y =1时成立。
故所求的最小值为4 3。
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。
14. 在四边形ABCD中，AD∥BC ，AB=2 3 ，AD=5 ，ÐA=30°
uuuv uuuv
，点E在线段CB的延长线上，且AE = BE，则BD×AE =__________.
【答案】-1.
【解析】
【分析】
可利用向量的线性运算，也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。
【详解】详解：解法一：如图，过点B作AE的平行线交AD于F ，
因为AE = BE，故四边形AEBF 为菱形。
uuur 2uuur
因为ÐBAD=30°，AB=2 3，所以AF =2，即AF = AD.
5
uuur uuur uuur uuur uuur 2uuur
因为AE = FB= AB-AF = AB- AD，
5
uuur uuur uuur uuur uuur 2uuur 7uuur uuur uuur2 2uuur2 7 3
所以BD AE =(AD-AB) (AB- AD)= AB AD-AB - AD = ´2 3´5´ -12-10=-1.
g g g
5 5 5 5 2
第14页 | 共25页5 3 5
解法二：建立如图所示的直角坐标系，则B(2 3,0)，D( , )。
2 2
因为AD∥BC，ÐBAD=30°，所以ÐCBE =30°，
因为AE = BE，所以ÐBAE=30°，
3 3
所以直线BE的斜率为 ，其方程为y = (x-2 3)，
3 3
3 3
直线AE的斜率为- ，其方程为y =- x。
3 3
ì 3
ïy = (x-2 3),
ï 3
由í 得x= 3，y =-1，
ï 3
y =- x
ï
î 3
所以E( 3,-1)。
uuur uuur 3 5
所以BD AE =( , ) ( 3,-1)=-1。
g g
2 2
第15页 | 共25页【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为
方便。
三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息
或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层
抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A,B,C,D,E,F .享受情况如右
表，其中“ ”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
d
员工
A B C D E F
项目
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
继续教育 × × ○ × ○ ○
大病医疗 × × × ○ × ×
住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
赡养老人 ○ ○ × × × ○
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率.
【答案】（I）6人，9人，10人；
11
（II）（i）见解析；（ii） .
15
【解析】
【分析】
（I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等
第16页 | 共25页的，结合样本容量求得结果；
（II）（I）根据6人中随机抽取2人，将所有的结果一一列出；
（ii）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率.
【详解】（I）由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10，
由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，
因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.
（II）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为
A,B,A,C,A,D,A,E,A,F
,
B,C,B,D,B,E,B,F
,
C,D,C,E,C,F
,
D,E,D,F,E,F
,共15种；
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为
A,B,A,D,A,E,A,F
,
B,D,B,E,B,F
,
C,E,C,F
,
D,F,E,F
,共11种，
11
所以，时间M发生的概率P(M)= .
15
【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公
式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
16. 在VABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a,b,c.已知b+c = 2a，3csinB=4asinC.
（Ⅰ）求cosB的值；
æ pö
（Ⅱ）求sin ç 2B+ ÷的值.
è 6ø
1
【答案】(Ⅰ) - ；
4
3 5+7
(Ⅱ) - .
16
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到a,b,c的比例关系，然后利用余弦定理可得cosB的值
(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得sin2B,cos2B的值，然后利用两角和的正弦公式可得a=2的值.
第17页 | 共25页b c
【详解】(Ⅰ)在VABC中，由正弦定理 = 得bsinC =csinB，
sinB sinC
又由3csinB=4asinC，得3bsinC =4asinC，即3b=4a.
4 2
又因为b+c = 2a，得到b= a，c= a.
3 3
4 16
a2 + a2 - a2
a2 +c2 -b2 9 9 1
由余弦定理可得cosB= = =- .
2ac 2 4
2×a× a
3
15
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得sinB= 1-cos2 B = ，
4
15 7
从而sin2B=2sinBcosB=- ，cos2B=cos2 B-sin2 B=- .
8 8
æ pö p p 15 3 7 1 3 5+7
故sin ç 2B+ ÷ =sin2Bcos +cos2Bsin =- ´ - ´ =- .
è 6 ø 6 6 8 2 8 2 16
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正
弦定理､余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.
17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC ^平面
PCD，PA^CD，CD=2，AD=3，
（Ⅰ）设G，H 分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：PA^平面PCD；
（Ⅲ）求直线AD与平面PAC 所成角的正弦值.
3
【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III） .
3
【解析】
第18页 | 共25页【分析】
（I）连接BD，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到GH
P
PD，利用线面平行的判
定定理证得结果；
（II）取棱PC的中点N ，连接DN ，依题意，得DN ^ PC，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质
得到DN ^ PA，利用线面垂直的判定定理证得结果；
（III）利用线面角的平面角的定义得到ÐDAN 为直线AD与平面PAC 所成的角，放在直角三角形中求得
结果.
【详解】（I）证明：连接BD，易知ACÇBD= H ，BH = DH ，
又由BG = PG，故GH PD，
P
又因为GH Ë平面PAD，PDÌ平面PAD，
所以GH∥平面PAD.
（II）证明：取棱PC的中点N ，连接DN ，依题意，得DN ^ PC，
又因为平面PAC ^平面PCD，平面PAC 平面PCD= PC，
I
所以DN ^平面PAC ，又PAÌ平面PAC ，故DN ^ PA，
又已知PA^CD，CD DN = D，
I
所以PA^平面PCD.
（III）解：连接AN，由（II）中DN ^平面PAC ，
可知ÐDAN 为直线AD与平面PAC 所成的角.
因为DPCD为等边三角形，CD=2且N 为PC的中点，
所以DN = 3，又DN ^ AN ，
DN 3
在RtDAND中，sinÐDAN = = ，
AD 3
第19页 | 共25页3
所以，直线AD与平面PAC 所成角的正弦值为 .
3
【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基
础知识，考查空间想象能力和推理能力.
18. 设a 是等差数列， b 是等比数列，公比大于0，已知a =b =3，b =a ，b =4a +3.
n n 1 1 2 3 3 2
（Ⅰ）求a 和 b 的通项公式；
n n
ì1, n为奇数,
ï
（Ⅱ）设数列 c n 满足c n =íb n为偶数, 求a 1 c 1 +a 2 c 2 + L +a 2n c 2n nÎN* .
ï n
î
2
【答案】（I）a =3n，b =3n；
n n
(2n-1)3n+2 +6n2 +9
（II） (nÎN*)
2
【解析】
【分析】
ìd =3
（I）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得í ，进而求得等差
îq =3
数列和等比数列的通项公式；
（II）根据题中所给的c n 所满足的条件，将a 1 c 1 +a 2 c 2 + L +a 2n c 2n 表示出来，之后应用分组求和法，结合
等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果.
【详解】（I）解：设等差数列 a 的公差为d ，等比数列 b 的公比为q，
n n
ì3q =3+2d ìd =3
依题意，得í ，解得í ，
î3q2 =15+4d îq =3
故a =3+3(n-1)=3n，b =3´3n-1 =3n，
n n
所以， a 的通项公式为a =3n， b 的通项公式为b =3n；
n n n n
（II）a
1
c
1
+a
2
c
2
+
L
+a
2n
c
2n
第20页 | 共25页=(a +a +a + +a )+(a b +a b +a b + +a b )
1 3 5 L 2n-1 2 1 4 2 6 3 L 2n n
n(n-1)
=[n´3+ ´6]+(6´31+12´32 +18´33+ +6n´3n)
L
2
=3n2 +6´(1´31+2´32 + +n´3n)，
L
记 T n =1´31+2´32 + L +n´3n ①
则 3T n =1´32 +2´33 + L +n´3n+1 ②
3(1-3n) (2n-1)3n+1+3
②- ①得，2T
n
=-3-32 -33 -
L
-3n +n´3n+1 =- +n´3n+1 = ，
1-3 2
(2n-1)3n+1+3
所以ac +a c + +a c =3n2 +6T =3n2 +3´
1 1 2 2 L 2n 2n n 2
(2n-1)3n+2 +6n2 +9
= (nÎN*).
2
【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识，考查数列求和的基
本方法和运算求解能力，属于中档题目.
19.
x2 y2
设椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点为F ，左顶点为A，顶点为B.已知 3|OA|=2|OB|（O为原点）
a2 b2
.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
3
（Ⅱ）设经过点F 且斜率为 的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆
4
心C在直线x=4上，且OC∥AP，求椭圆的方程.
【答案】（I）首先设椭圆的半焦距为c，根据题意得到 3a=2b，结合椭圆中a,b,c的关系，得到
3 c 1
a2 =( a)2 +c2，化简得出 = ，从而求得其离心率；
2 a 2
x2 y2
（II）结合（I）的结论，设出椭圆的方程 + =1，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐
4c2 3c2
标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得c=2，从而得到椭圆的方程.
第21页 | 共25页【解析】
【分析】
1
（I） ；
2
x2 y2
（II） + =1.
16 12
【详解】（I）解：设椭圆的半焦距为c，由已知有 3a=2b，
3 c 1
又由a2 =b2 +c2，消去b得a2 =( a)2 +c2，解得 = ，
2 a 2
1
所以，椭圆的离心率为 .
2
x2 y2
（II）解：由（I）知，a = 2c,b = 3c，故椭圆方程为 + =1，
4c2 3c2
3
由题意，F(-c,0)，则直线l的方程为y = (x+c)，
4
ì x2 y2
+ =1
ï
ï4c2 3c2
点P的坐标满足í ，消去y并化简，得到7x2 +6cx-13c2 =0，
ï 3
y = (x+c)
ï
î 4
13c
解得x =c,x =- ，
1 2 7
3 9
代入到l的方程，解得y = c,y =- c，
1 2 2 14
3
因为点P在x轴的上方，所以P(c, c)，
2
由圆心在直线x=4上，可设C(4,t)，因为OC∥AP，
3
c
且由（I）知A(-2c,0)，故 t 2 ，解得t =2，
=
4 c+2c
因为圆C与x轴相切，所以圆的半径为2，
3
(4+c)-2
4
又由圆C与l相切，得 =2，解得c=2，
3
1+( )2
4
第22页 | 共25页x2 y2
所以椭圆的方程为： + =1.
16 12
【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆
锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.
20. 设函数 f(x)=lnx-a(x-1)ex，其中aÎR.
（Ⅰ）若a£0，讨论 f x 的单调性；
1
（Ⅱ）若0 x ，证明3x -x >2.
1 1 0 0 1
【答案】（I） f(x)在(0,+¥)内单调递增.；
（II）（i）见解析；（ii）见解析.
【解析】
【分析】
（I）；首先写出函数的定义域，对函数求导，判断导数在对应区间上的符号，从而得到结果；
（II）（i）对函数求导，确定函数的单调性，求得极值的符号，从而确定出函数的零点个数，得到结果；
（ii）首先根据题意，列出方程组，借助于中介函数，证得结果.
【详解】（I）解：由已知， f(x)的定义域为(0,+¥)，
1 1-ax2ex
且 f '(x)= -[aex +a(x-1)ex]= ，
x x
因此当a£0时，1-ax2ex >0，从而 f '(x)>0，
所以 f(x)在(0,+¥)内单调递增.
1-ax2ex
（II）证明：（i）由（I）知， f '(x)= ，
x
1
令g(x)=1-ax2ex，由00，且g(ln )=1-a(ln )2 =1-(ln )2 <0，
a a a a
第23页 | 共25页故g(x)=0在(0,+¥)内有唯一解，
从而 f '(x)=0在(0,+¥)内有唯一解，不妨设为x ，
0
1 g(x) g(x )
则1< x 0 =0，
0 a 0 x x
所以 f(x)在(0,x )内单调递增；
0
g(x) g(x )
当xÎ(x ,+¥)时， f '(x)= < 0 =0，
0 x x
所以 f(x)在(x ,+¥)内单调递减，
0
因此x 是 f(x)的唯一极值点.
0
1
令h(x)=lnx-x+1，则当x>1时，h'(x)= -1<0，故h(x)在(1,+¥)内单调递减，
x
从而当x>1时，h(x) f(1)=0，所以 f(x)在(x ,+¥)内有唯一零点，
0 0
又 f(x)在(0,x )内有唯一零点1，从而， f(x)在(0,+¥)内恰有两个零点.
0
ìf '(x )=0 ìax 2ex 0 =1
（ii）由题意，í 0 ，即í 0 ，
î f(x )=0 î lnx =a(x -1)ex 1
1 1 1
x -1 x 2lnx
从而lnx = 1 ex 1 -x 0 ，即ex 1 -x 0 = 0 1 ，
1 x 2 x -1
0 1
x 2(x -1)
以内当x>1时，lnx< x-1，又x > x >1，故ex 1 -x 0 < 0 1 = x 2，
1 0 x -1 0
1
两边取对数，得lnex 1 -x 0 2，
1 0 0 0 0 1
【点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函
数思想、化归与转化思想，考查综合分析问题和解决问题的能力.
第24页 | 共25页第25页 | 共25页
