2019年高考数学试卷（浙江）（解析卷）_历年高考真题合集_数学历年高考真题_新·PDF版2008-2025·高考数学真题_数学（按试卷类型分类）2008-2025_自主命题卷·数学（2008-2025）

2019 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学 参考公式： 若事件A,B互斥，则P(A+B)=P(A)+P(B) 柱体的体积公式V =Sh 若事件A,B相互独立，则P(AB)= P(A)P(B) 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高 若事件A在一次试验中发生的概率是p,则 n 次 1 锥体的体积公式V = Sh 独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 3 其中S 表示锥体的底面积，h表示锥体的高 P (k)=Ckpk(1- p)n-k(k =0,1,2, ,n) n n L 球的表面积公式S =4pR2 台体的体积公式 4 球的体积公式V = pR3 其中S ,S 分别表示台体的上、下底面积，h表 3 1 2 其中R表示球的半径 示台体的高 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分,在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. U =-1,0,1,2,3 A=0,1,2 B=-1,0,1 1.已知全集 ，集合 ， ，则（∁ A）∩B＝（ ） U A. -1 B. 0 ,1 C. -1,2,3 D. -1,0,1,3 【答案】A 【解析】 【分析】 本题借根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】C U A={-1,3}，则 C U A I B={-1} 【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误. 2.渐近线方程为x± y =0的双曲线的离心率是（ ） 第1页 | 共23页2 A. B. 1 2 C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 本题根据双曲线的渐近线方程可求得a =b=1，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本 计算能力的考查. 【详解】因为双曲线的渐近线为 x± y =0，所以 a=b=1，则c= a2 +b2 = 2，双曲线的离心率 c e= = 2. a 【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误. ìx-3y+4³0 ï 3.若实数x,y满足约束条件í3x- y-4£0，则z =3x+2y的最大值是（ ） ï x+ y³0 î A. -1 B. 1 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】 本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知 识、基本技能的考查. 【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形 区域（包含边界），由图易得当目标函数 z=3x+2y经过平面区域的点(2,2)时， z=3x+2y取最大值 z =3´2+2´2=10. max 【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度， 也有可能在解方程组的过程中出错. 第2页 | 共23页4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可 以得到柱体体积公式V =Sh，其中S是柱体的底面积，是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该 柱体 柱体的体积是（ ） A. 158 B. 162 C. 182 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】 本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不 大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查. 【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下 底 为 6 ， 高 为 3 ， 另 一 个 的 上 底 为 2 ， 下 底 为 6 ， 高 为 3 ， 则 该 棱 柱 的 体 积 为 æ2+6 4+6 ö ç ´3+ ´3 ÷ ´6=162. è 2 2 ø 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心 算. 5.若a >0,b >0，则“a+b£4”是 “ab£4”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 第3页 | 共23页【分析】 本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取a,b的值，推出矛盾， 确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】当a>0, b>0时，a+b³2 ab ，则当a+b£4时，有2 ab £a+b£4，解得ab£4，充分 性成立；当a=1, b=4时，满足ab£4，但此时a+b=5>4，必要性不成立，综上所述，“a+b£4”是 “ab£4”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通 过特取a,b的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 1 æ 1ö 6.在同一直角坐标系中，函数y = ,y =log ç x+ ÷ (a >0且a ¹0)的图象可能是（ ） ax a è 2ø A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 本题通过讨论a的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结 论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 1 【详解】当01时，函数y=ax过定点(0,1)且单调递 a è 2ø 2 第4页 | 共23页1 æ 1ö 1 增，则函数y = 过定点(0,1)且单调递减，函数y =log ç x+ ÷过定点( ,0）且单调递增，各选项均不 ax a è 2ø 2 符合.综上，选D. 【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通 过讨论a的不同取值范围，认识函数的单调性. 7.设0b， PB PB PB PB PD PD tan = > =tanb，即y >b，综上所述，答案为B. ED BD 方法2：由最小角定理b0 C. a>-1,b>0 D. a>-1,b<0 【答案】D 【解析】 【分析】 本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想及数形结合思想的考查.研究函 数方程的方法较为灵活，通常需要结合函数的图象加以分析. 【详解】原题可转化为y= f(x)与y =ax+b，有三个交点. 当 u B u C uv =l u A u P uv 时， f¢(x)= x2 -(a+1)x+a =(x-a)(x-1)，且 f(0)=0, f¢(0)=a，则 （1）当a£-1时，如图y= f(x)与y =ax+b不可能有三个交点（实际上有一个），排除A，B （2）当a>-1时，分三种情况，如图y= f(x)与y =ax+b若有三个交点，则b<0，答案选D 第7页 | 共23页下面证明：a > -1时， 1 1 u B u C uv =l u A u P uv 时F(x)= f(x)-ax-b= x3 - (a+1)x2 -b，F¢(x)= x2 -(a+1)x= x(x-(a+1))，则 3 2 1 F(0)>0 ,F(a+1)<0，才能保证至少有两个零点，即0>b>- (a+1)3，若另一零点在<0 6 【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及a,b两个参数，故按“一元化”想法，逐步 分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.. 10.设a,bÎR，数列a 中，a =a，a =a 2+b，nÎN*， ,则（ ） n 1 n+1 n 1 1 A. 当b= ,a >10 B. 当b= ,a >10 2 10 4 10 C. 当b=-2,a >10 D. 当b=-4,a >10 10 10 【答案】A 【解析】 【分析】 本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发， 通过研究选项得解. 1 æ 1ö 2 æ 1ö 1 【详解】选项B：不动点满足x2 -x+ 4 = ç è x- 2 ÷ ø =0时，如图，若a 1 =aÎ ç è 0, 2 ÷ ø , a n < 2 ， 排除 1 1 如图，若a为不动点 则a = 2 n 2 æ 1ö 2 9 ax-1 选项C：不动点满足x2 -x-2= ç è x- 2 ÷ ø - 4 =0，不动点为 2 ，令a=2，则a n =2<10， 排除 2 æ 1ö 17 17 1 17 1 选项D：不动点满足x2 -x-4= ç x- ÷ - =0，不动点为x= ± ，令a = ± ，则 è 2ø 4 2 2 2 2 第8页 | 共23页17 1 a = ± <10，排除. n 2 2 1 1 1 1 3 1 17 选项A：证明：当b= 时，a =a2 + ³ , a =a2 + ³ , a =a2 + ³ ³1， 2 2 1 2 2 3 2 2 4 4 3 2 16 处理一：可依次迭代到a ； 10 1 处理二：当n³4时，a =a2 + ³a2 ³1，则则 n+1 n 2 n 2n-1 26 64 æ17ö æ17ö æ 1 ö 64 64´63 1 a ³ (n³4)，则a ³ = 1+ =1+ + ´ +¼¼>1+4+7>10. ç ÷ ç ÷ ç ÷ n+1 è16ø 10 è16ø è 16ø 16 2 162 故选A 【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解. 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分 1 11.复数z = （i为虚数单位），则|z|=________. 1+i 2 【答案】 2 【解析】 【分析】 本题先计算z，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查. 1 1 2 【详解】|z|= = = . |1+i| 2 2 【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题. 12.已知圆C 的圆心坐标是(0,m)，半径长是 r .若直线2x- y+3=0与圆相切于点A(-2,-1)，则 m=_____，r =______. 【答案】 (1). m=-2 (2). r = 5 【解析】 【分析】 第9页 | 共23页本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC的斜率，进一步得到其方程，将(0,m) 代入后求得m，计算得解. 1 1 【 详 解 】 可 知 k =- Þ AC: y+1=- (x+2)， 把 (0,m)代 入 得 m=-2， 此 时 AC 2 2 r =| AC|= 4+1= 5. 【点睛】：解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质. 13.在二项式( 2+x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______. 【答案】 (1). 16 2 (2). 5 【解析】 【分析】 本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项 入手，根据要求，考察x的幂指数，使问题得解. 【详解】( 2+x)9的通项为T =Cr( 2)9-rxr(r =0,1,2 9) r+1 9 L 可得常数项为T =C0( 2)9 =16 2， 1 9 因系数为有理数，r=1,3,5,7,9，有T , T , T , T , T 共5个项 2 4 6 8 10 【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计 算要细心，确保结果正确. 14.在VABC中，ÐABC =90°，AB=4，BC =3，点D在线段 AC 上，若ÐBDC =45°，则 BD=____；cosÐABD=________. 12 2 7 2 【答案】 (1). (2). 5 10 【解析】 【分析】 本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.通过引入 CD= x，在DBDC 、DABD中应用正弦定理，建立方程，进而得解.. 第10页 | 共23页AB BD 3p 【详解】在DABD中，正弦定理有： = ，而AB=4,ÐADB= , sinÐADB sinÐBAC 4 BC 3 AB 4 12 2 AC= AB2 +BC2 =5，sinÐBAC = = ,cosÐBAC = = ，所以BD= . AC 5 AC 5 5 p p 7 2 cosÐABD=cos(ÐBDC-ÐBAC)=cos cosÐBAC+sin sinÐBAC = 4 4 10 【点睛】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. x2 y2 15.已知椭圆 + =1的左焦点为F ，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为 9 5 圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______. 【答案】 15 【解析】 【分析】 结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进 一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁. 【详解】方法1：由题意可知|OF|=|OM |=c=2， 由中位线定理可得 PF =2|OM |=4，设P(x,y)可得(x-2)2 + y2 =16， 1 x2 y2 联立方程 + =1 9 5 3 21 可解得x=- ,x= （舍），点P在椭圆上且在x轴的上方， 2 2 第11页 | 共23页15 æ 3 15ö 2 求得Pç- , ÷，所以k = = 15 ç 2 2 ÷ PF 1 è ø 2 方法2：焦半径公式应用 解析1：由题意可知|OF|=|OM |=c=2， 3 由中位线定理可得 PF =2|OM |=4，即a-ex =4Þ x =- 1 p p 2 15 æ 3 15ö 2 求得Pç- , ÷，所以k = = 15. ç 2 2 ÷ PF 1 è ø 2 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是 解答解析几何问题的重要途径. 2 16.已知aÎR，函数 f(x)=ax3-x，若存在tÎR，使得| f(t+2)- f(t)|£ ，则实数a的最大值是____. 3 4 【答案】a = max 3 【解析】 【分析】 本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究 f(t+2)- f(t)=2a  3t2 +6t+4  -2入手，令m=3t2 +6t+4Î[1,+¥)，从而使问题加以转化，通过绘制 函数图象，观察得解. 【详解】使得 f(t+2)- f(t)=a  2·(t+2)2 +t(t+2)+t2 )-2=2a  3t2 +6t+4  -2， 第12页 | 共23页1 使得令m=3t2 +6t+4Î[1,+¥)，则原不等式转化为存在m³1, |am-1|£ ，由折线函数，如图 3 1 4 4 只需a-1£ ，即a£ ，即a的最大值是 3 3 3 【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想. 17.已知正方形ABCD的边长为1，当每个l(i =1,2,3,4,5,6)取遍±1时， i uuur uuur uuur uuur uuur uuur |lAB+lBC+lCD+lDA+lAC+lBD|的最小值是________；最大值是_______. 1 2 3 4 5 6 【答案】 (1). 0 (2). 2 5 【解析】 【分析】 本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化 归思想将问题逐步简化. 【 详 解 】 uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv l AB+l BC+l CD+l DA+l AC+l BD=l -l +l -l AB+l -l +l +l AD 1 2 3 4 5 6 1 3 5 6 2 4 5 6 uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv 要使 l AB+l BC+l CD+l DA+l AC+l BD 的最小，只需要 1 2 3 4 5 6 l -l +l -l = l -l +l +l =0，此时只需要取l =1,l =-1,l =1,l =1,l =1,l =1 1 3 5 6 2 4 5 6 1 2 3 4 5 6 uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv 此时 l AB+l BC+l CD+l DA+l AC+l BD =0 1 2 3 4 5 6 min 第13页 | 共23页等号成立当且仅当l ,-l ,l -l 均非负或者均非正，并且l ,-l ,l +l 均非负或者均非正。 1 3 5 6 2 4 5 6 比如l =1,l =1,l =-1,l =-1,l =1,l =1 1 2 3 4 5 6 uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv 则 l AB+l BC+l CD+l DA+l AC+l BD = 20 =2 5 . 1 2 3 4 5 6 max 点睛：对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等 式的综合题。 【点睛】对于平面向量的应用问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想. 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.设函数 f(x)=sinx,xÎR. （1）已知qÎ[0,2p),函数 f(x+q)是偶函数，求q的值； p p （2）求函数y =[f(x+ )]2 +[f(x+ )]2 的值域. 12 4 p 3 é 3 3ù 【答案】（1） , p；（2）ê1- ,1+ ú. 2 2 2 2 ë û 【解析】 【分析】 (1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定q的值； (2)首先整理函数的解析式为y =asinwx+j+b的形式，然后确定其值域即可. 【详解】(1)由题意结合函数的解析式可得： f x+q=sinx+q ， p p 函数为偶函数，则当x=0时，x+q=kp+ kÎZ，即q=kp+ kÎZ，结合qÎ0,2p可取 2 2 p 3 k =0,1，相应的q值为 , p. 2 2 æ pö æ pö (2)由函数的解析式可得：y =sin2 ç x+ ÷ +sin2 ç x+ ÷ è 12ø è 4ø æ pö æ pö 1-cos 2x+ 1-cos 2x+ ç ÷ ç ÷ è 6 ø è 2ø = + 2 2 第14页 | 共23页1é æ pö æ pöù =1- cos 2x+ +cos 2x+ ê ç ÷ ç ÷ú 2ë è 6 ø è 2øû 1æ 3 1 ö =1- ç cos2x- sin2x-sin2x÷ ç ÷ 2 2 2 è ø 1æ 3 3 ö =1- ç cos2x- sin2x÷ ç ÷ 2 2 2 è ø 3 æ pö =1+ sin ç 2x- ÷. 2 è 6 ø é 3 3ù 据此可得函数的值域为：ê1- ,1+ ú. 2 2 ë û 【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等 知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19.如图，已知三棱柱ABC-ABC ，平面AACC ^平面ABC,ÐABC =90°， 1 1 1 1 1 ÐBAC =30°,AA= AC = AC,E,F 分别是AC,AB 的中点. 1 1 1 1 （1）证明：EF ^ BC； （2）求直线 EF 与平面ABC所成角的余弦值. 1 3 【答案】（1）证明见解析；（2） . 5 【解析】 【分析】 (1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直； 第15页 | 共23页(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角 函数基本关系可得线面角的余弦值. 【详解】(1)如图所示，连结AE,BE， 1 1 3 等边△AAC中，AE=EC，则 sinB¹0，\sin A= ， 1 Q 2 平面ABC⊥平面 A ACC ，且平面ABC∩平面AACC = AC， 1 1 1 1 由面面垂直的性质定理可得：AE ^平面ABC，故AE⊥BC， 1 1 由三棱柱的性质可知AB∥AB，而AB^ BC，故AB ^ BC，且AB AE = A ， 1 1 1 1 1 1I 1 1 由线面垂直的判定定理可得：BC^平面ABE， 1 1 结合EF ⊆平面ABE，故EF ^ BC. 1 1 (2)在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH,EC,EA 方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标 1 系E-xyz. 第16页 | 共23页设EH =1，则 AE = EC = 3 ，AA =CA = 2 3,BC = 3,AB=3， 1 1   æ3 3 ö   据此可得：A 0,- 3,0 ,Bç , ,0÷,A 0,0,3,C 0, 3,0 ， ç 2 2 ÷ 1 è ø uuur uuuur æ3 3 ö 由AB = AB 可得点B 的坐标为B ç , 3,3 ÷， 1 1 1 1 è2 2 ø æ3 3 ö 利用中点坐标公式可得：F ç , 3,3 ÷，由于E0,0,0， è4 4 ø uuur æ3 3 ö 故直线EF的方向向量为：EF = ç , 3,3 ÷ è4 4 ø ur 设平面ABC的法向量为m=x,y,z，则： 1 ì uuuv æ3 3 ö 3 3 ïmv×AB=x,y,z×ç , ,-3÷= x+ y-3z =0 1 ç 2 2 ÷ 2 2 ï è ø í ， ï uuuv æ 3 3 ö 3 3 ï mv×BC =x,y,z×ç ç - , ,0÷ ÷ =- x+ y =0 2 2 2 2 î è ø ur   uuur æ3 3 ö 据此可得平面ABC的一个法向量为m= 1, 3,1 ，EF = ç , 3,3 ÷ 1 è4 4 ø uuur ur uuur ur EF×m 6 4 cos EF,m = = = uuur ur 此时 EF ´ m 3 5 5 ， 5´ 2 uuur ur 4 3 设直线EF与平面ABC所成角为q，则sinq=cos EF,m = ,cosq= . 1 5 5 第17页 | 共23页【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和 逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严 密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向 量的夹角公式求解. 20.设等差数列{a }的前n项和为S ，a =4，a =S ，数列 b  满足：对每 n n 3 4 3 n nÎN*,S +b ,S +b ,S +b 成等比数列. n n n+1 n n+2 n （1）求数列{a },{b }的通项公式； n n a （2）记C = n ,nÎN*, 证明：C +C + +C <2 n,nÎN*. n 2b 1 2 L n n 【答案】（1）a =2n-1 ，b =nn+1 ；（2）证明见解析. n n 【解析】 【分析】 (1)首先求得数列 a  的首项和公差确定数列 a  的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件整 n n 理计算即可确定数列 b  的通项公式； n (2)结合(1)的结果对数列 c  的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中 n 的不等式. ì a +2d =4 ï 1 ìa =0 1 【详解】(1)由题意可得：í 3´2 ，解得：í ， ï a +3d =3a + d îd =2 î 1 1 2 则数列 a  的通项公式为. n 0+2n-2´n 其前n项和S = =nn-1. n 2 则nn-1+b ,nn+1+b ,n+1n+2+b 成等比数列，即： n n n énn+1+b ù 2 =énn-1+b ù´én+1n+2+b ù， ë nû ë nû ë nû 第18页 | 共23页据此有： n2n+12 +2nn+1b +b2 =nn-1n+1n+2+n+1n+2b +nn-1b +b2， n n n n n n2(n+1)2 -n(n-1)(n+1)(n+2) 故b = =nn+1 . n n+1n+2+nn-1-2nn+1 (2)结合(1)中的通项公式可得： a n-1 1 2 2   C = n = < = < =2 n - n-1 ， n 2b nn+1 n n + n n + n-1 n       则C 1 +C 2 + L +C n <2 1-0 +2 2- 1 + L +2 n- n-1 =2 n. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 21.如图，已知点F(1，0)为抛物线y2 =2px(p >0)，点F为焦点，过点F的直线交抛物线于A,B两点，点C 在抛物线上，使得VABC的重心G在 x 轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧.记 △AFG,△CQG的面积为S ,S . 1 2 （1）求 p的值及抛物线的标准方程； S （2）求 1 的最小值及此时点G的坐标. S 2 3 【答案】（1）1，x=-1；（2）1+ ，G2,0 . 2 【解析】 【分析】 第19页 | 共23页(1)由焦点坐标确定p的值和准线方程即可； (2)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的 S 结论即可求得 1 的最小值和点G的坐标. S 2 p 【详解】(1)由题意可得 =1，则 p =2,2p =4，抛物线方程为y2 =4x，准线方程为x=-1. 2 (2)设Ax ,y ,Bx ,y  ， 1 1 2 2 设直线AB的方程为y =kx-1,k >0，与抛物线方程y2 =4x联立可得： k2x2-  2k2+4  x+k2=0 4 ，故：x +x =2+ ,x x =1， 2 2 k2 2 2 4     y + y =kx +x -2= ,y y =- 4x ´ 4x =-4， 1 2 1 2 k 1 2 1 2 设点C的坐标为Cx ,y  ，由重心坐标公式可得： 3 3 x +x +x 1æ 4 ö y + y + y 1æ4 ö x = 1 2 3 = ç 2+ +x ÷，y = 1 2 3 = ç + y ÷， G 3 3è k2 3 ø G 3 3èk 3 ø 4 y2 4 1æ 4 4 ö 1æ 8 ö 令y =0可得：y =- ，则x = 3 = .即x = ç 2+ + ÷ = ç 2+ ÷， G 3 k 3 4 k2 G 3è k2 k2 ø 3è k2 ø y - y y - y 4 k = 1 3 = 1 3 = 由斜率公式可得： AC x -x y2 y2 y + y ， 1 3 1 - 3 1 3 4 4 4 直线AC的方程为：y- y = x-x  ， 3 y + y 3 1 3 -y y + y  y2 -y y + y  y y 令y =0可得：x = x + 3 1 3 = 3 + 3 1 3 =- 1 3 ， Q 3 4 4 4 4 1 1 é1æ 8 ö ù y æ 8 1ö 故S = ´x -x ´y = ´ ê ç 2+ ÷ -1 ú ´y = 1´ ç - ÷， 1 2 G F 1 2 ë3è k2 ø û 1 2 è3k2 3ø 且S = 1 ´  x -x  ´-y =- y 3 é ê - y 1 y 3 - 1æ ç 2+ 8 ö ÷ ù ú， 2 2 Q G 3 2 ë 4 3è k2 øû 4 2æ y 2 8 ö 由于y =- ，代入上式可得：S = ç 1 - - ÷， 3 k 2 k è k 3 3k2 ø 第20页 | 共23页4 4 4 4y 由y + y = ,y y =-4可得y - = ，则k = 1 ， 1 2 k 1 2 1 y k y2 -4 1 1 y æ 8 1ö 则 S S 1 = 2 2 æ 1 y ´ ç è3 2 k2 - 8 3ø ÷ ö =  y 2 2 y - 1 2 4   y  1 2 y - 2 2 +  4  =2-  y2 -8  + 4 48 +16 2 ç 1 - - ÷ 1 1 1 y2 -8 k è k 3 3k2 ø 1 4 3 ³2- =1+ 48 2 . 2  y2 -8  ´ +16 1 y2 -8 1 48 当且仅当y2 -8= ，即y2 =8+4 3，y = 6+ 2时等号成立 1 y2 -8 1 1 . 1 4y 1æ 8 ö 此时k = 1 = 2 ，x = ç 2+ ÷ =2，则点G的坐标为G2,0 . y2 -4 G 3è k2 ø 1 【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系， 本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式 求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 22.已知实数a ¹ 0，设函数 f(x)=alnx+ x+1,x>0. 3 （1）当a=- 时，求函数 f(x)的单调区间； 4 1 x （2）对任意xÎ[ ,+¥)均有 f(x)£ , 求a的取值范围. e2 2a 注：e=2.71828...为自然对数的底数. 2 【答案】（1） f x 的单调递增区间是 3,+¥ ,单调递减区间是 0,3 ；（2）00时2a+ ³2 > 1+ 恒成立，满足g ç ÷ =-2a- + 1+ „ 0； 2ae e e2 èe2 ø 2ae e2 æ 1 ö 1 1 当a<0时，g ç ÷ =-2a- + 1+ >0，不合题意， èe2 ø 2ae e2 1 2 2 且g1= 2- £0，解得：a£ ，故0 时,ç 4lnt+t+ ÷ '= >0， e è tø t2 é 1 ö æ1ö 5 于是Dx 在xÎ ê ,1 ÷上单调递增,而D ç ÷ = -2ln2<0， ëe2 ø è4ø 4 é 1 1ù 于是当xÎ ê , ú 时命题成立, ëe2 4û æ1 ö x+1 而当xÎ ç ,1 ÷时,此时a 的对称轴为a= 随着x递增, è4 ø -2lnx 5 5 2 5 于是对称轴在a = 的右侧,而 > 成立，(不等式等价于ln2< ). 8ln2 8ln2 4 8 æ 2 ö 因此a