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2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知集合M ={x -4< x<2}，N ={x x2 -x-6<0，则M N=
I
A．{x -4< x<3 B．{x -4< x<-2 C．{x -2< x<2 D．
{x 2< x<3
2．设复数z满足 z-i =1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A．(x+1)2 + y2 =1 B．(x-1)2 + y2 =1 C．x2 +(y-1)2 =1 D．
x2 +(y+1)2 =1
3．已知a=log 0.2，b=20.2，c=0.20.3，则
2
A．a0,b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，过F 的直线与C
a2 b2 1 2 1
uuur uuur uuur uuuur
的两条渐近线分别交于A，B两点．若FA= AB，FB×F B=0，则C的离心率为___
1 1 2
_________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．(12分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设
(sinB-sinC)2 =sin2 A-sinBsinC ．
（1）求A；
（2）若 2a+b=2c，求sinC．
第4页 | 共7页18．（12分）
如图，直四棱柱ABCD–
A B C D 的底面是菱形，AA =4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB ，A D
1 1 1 1 1 1 1
的中点．
（1）证明：MN∥平面C DE；
1
（2）求二面角A-MA -N的正弦值．
1
19．（12分）
3
已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为
2
P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
uuur uuur
（2）若AP=3PB，求|AB|．
20．（12分）
已知函数 f(x)=sinx-ln(1+x)， f¢(x)为 f(x)的导数．证明：
p
（1） f¢(x)在区间(-1, )存在唯一极大值点；
2
（2） f(x)有且仅有2个零点．
21．（12分）
第5页 | 共7页为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动
物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，
随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验
．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈
只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治
愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施
以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0
分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求X 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， p i (i =0,1, L ,8)表示“甲药的累计得分
为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 p =0， p =1，
0 8
p =ap +bp +cp (i =1,2, ,7)，其中a= P(X =-1)，b= P(X =0)，
i i-1 i i+1 L
c= P(X =1)．假设a=0.5，b=0.8．
(i)证明：{p
i+1
- p
i
}(i =0,1,2,
L
,7)为等比数列；
(ii)求 p ，并根据 p 的值解释这种试验方案的合理性．
4 4
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
ì 1-t2
x= ，
ï
ï 1+t2
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为í （t为参数）．以坐标原点O为
4t
ï
y =
ïî 1+t2
极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
2rcosq+ 3rsinq+11=0．
第6页 | 共7页（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
1 1 1
（1） + + £a2 +b2 +c2；
a b c
（2）(a+b)3 +(b+c)3 +(c+a)3 ³24．
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