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高考数学押题卷（一）（难度：一般）
题号 一 二 三 四 总分
得分
用时：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．若集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用对数不等式与补集的定义解出两个集合中的不等式，从而利用并集的运算即可得解.
【详解】不等式 解得 ，则 ，
， ，
∴ ，
故选：B
2．复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据虚数单位的性质，结合复数的除法运算可求出z，根据复数的几何意义即可得答案.
【详解】由 得 ，
则 ，即 在复平面内对应的点为 ，位于第四象限，
故选：D
3．光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374年），它是迄今为止全国现存古代建
筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼的墩台为砖石砌成的正
四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的斜高约
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】为（参考数据： ）（ ）
A．9.1m B．10.9m C．11.2m D．12.1m
【答案】A
【分析】根据题意画出正四棱台，结合正四棱台相关性质直接计算即可.
【详解】如图所示，设该正四棱台为 ，上下底面中心分别为 ，
分别取 的中点 ，连接 ，
在平面 内，作 交 于 ，
则 ， ， ，
显然四边形 是矩形，则 ， ，
所以 ，
在直角 中， ，
即该墩台的斜高约为9.1m.
故选：A
4．已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 为 上一点， 为 靠近点 的三等分点，若 ，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】点的纵坐标为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】过点 分别作准线的垂线，根据题意得到 ，求得 ,进而求得点
的纵坐标.
【详解】过点 分别作准线的垂线，垂足分别为 ，如图所示，
设准线 与 轴的交点为 ，
因为 为 靠近点 的三等分点，可得 ，
又因为 ，可得 ,
又由抛物线的准线方程为 ，可得点 的纵坐标为 ，
即点点 的纵坐标为 .
故选：C.
5．已知角 ， 终边上有一点 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据弦切互化，结合正切和差角公式，即可得 ，结合角的范围即可求解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】 ，
故 ， ．
又 ， ，
故 在第三象限，故 ， ．
故选:C．
6．以下四个命题：
①从匀速传递的产品生产流水线上，每30分钟从中抽取一件产品进行检测，这样的抽样是分层抽样；
②某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示某市30000高中男生的身高 （单位： ）服从
正态分布 ，且 ，那么该市身高高于 的高中男生人数大约为3000；
③随机交量 服从二项分布 ，若随机变量 ，则 的数学期望为 ，方差为
；
④分类变量 与 ，它们的随机变量 的观测值为 ，当 越小，“ 与 有关系的把握程度越大其中正
确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据抽样方式的特征，可判断①；根据正态分布的性质，可判断②；根据二项分布的期望与方差
特点，可判断③；根据独立性检验的方法和步骤，可判断④．
【详解】解：①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；
②某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示某市30000高中男生的身高 （单位： ）服从
正态分布 ，且 ，所以 ，所以该市身
高高于 的高中男生人数大约为 人，故②为真命题；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】③随机交量 服从二项分布 ，则 ， ，若随机
变量 ，则 的数学期望为 ，方差为 ；故③为假命题；
④对分类变量 与 的随机变量 的观测值 来说， 越小，“ 与 有关系”的把握程度越小，故④为
假命题．
故选：A．
【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法，正态分布，二项分布及独立性检验等知识点，属
于中档题．
7．设函数 （其中 为自然对数的底数），若存在实数a使得 恒成立，
则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得 ，令 ，函数 和函数 的图
象，一个在直线 上方，一个在直线 下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，
即可得出答案．
【详解】函数 的定义域为 ，
由 ，得 ，所以 ，
令 ，
由题意知，函数 和函数 的图象，一个在直线 上方，一个在直 下方，等价于一
个函数的最小值大于另一个函数的最大值，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，得 ，
所以当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
所以 ， 没有最小值，
由 ，得 ，
当 时，在 上 单调递增，
在 上 单调递减，
所以 有最大值，无最小值，不合题意，
当 时，在 上 单调递减，
在 上 单调递增，
所以 ，
所以 即 ，
所以 ，即m的取值范围为 ．
故选：A．
8．在三棱锥 中， 为正三角形，点 在底面 投影为点 ，点 在 内（不含边
界），设二面角 、 、 的大小分别为 、 、 ， ，则
的值为（ ）
A．1 B． C． D．无法确定
【答案】B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】过 点分别作 ，利用线面垂直的判定与性质证明垂直关系，由定义
得到各二面角的平面角，再在各直角三角形内分别表示 ，最后转化条件，利用等面积法建
立关系整体求解即可.
【详解】过 点分别作 ，垂足为 ， ， ，连接 .
由 平面 ，得 ，
又 平面 ， 平面 ， ，
故 平面 ，则 ，
同理， ，
则 ， ， ，
在 中， ，同理， ，
则 ，
由 为正三角形，
则 ，
已知 ，则 .
所以 .
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9．曲线C的方程为 ，则（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．当 时，曲线C是焦距为 的双曲线
B．当 时，曲线C是焦距为 的双曲线
C．曲线C不可能为圆
D．当 时，曲线C是焦距为 的椭圆
【答案】AD
【分析】变形给定的方程，利用各选项的条件，结合圆、椭圆、双曲线的特征判断作答.
【详解】对于A，当 时，方程 化为 ，曲线 是焦距为 的
双曲线，A正确；
对于B，当 时，方程 化为 ，
曲线 是焦点在y轴上，焦距为 的椭圆，B错误；
对于C，当 时，曲线 表示圆 ，C错误；
对于D，当 时，方程 化为 ，
曲线 是焦点在x轴上，焦距为 的椭圆，D正确.
故选：AD
10．将函数 的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象， 的图象
与 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，则下列结论中正确的是（ ）
A． 为奇函数
B．函数 在 上单调递减
C．函数 在 上的值域为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D．若 在 上的解为 ，则
【答案】BCD
【分析】求出新函数 ，且结合三角函数性质，即可得出对应的选项.
【详解】由题意，
函数 的图象向右平移 个单位长度得， 的图象．
∵ 的图象与 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，
∴ ，∴ ．
对于A， 为非奇非偶函数，故A错误；
对于B，因为 ， ，且 在 上单调递减，故B正确：
对于C， ，则 ，则 ，
∴ ，故C正确；
对于D，令 ，解得 ，
即函数 的对称轴为 ，
因为 在 上的解为 ，可知 关于直线 对称，
∴ ．
∴ ，故D正确．
故选：BCD.
11．设数列 前 项和为 ，满足 ， 且 ，则下列选项正确的是
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（ ）
A．
B．数列 为等差数列
C．当 时 有最大值
D．设 ，则当 或 时数列 的前 项和取最大值
【答案】ABD
【分析】A选项，根据 求出 为等差数列，公差为 ，首项为 ，得到通项公
式；B选项，计算出 ，得到 ，从而得到 ，得到B正确；C选项，根
据 及二次函数的最值得到C错误；D选项，先得到 时， ， ，
，当 时， ，且 ，得到结论.
【详解】A选项，当 时， ，
又 ，解得 ，
当 时， ①，
②，①-②得，
，
即 ，故 ，
因为 ，所以 不能对任意的 恒成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 ，
所以 ，
故 为等差数列，公差为 ，首项为 ，
所以通项公式为 ，A正确；
B选项， ，
故 ，则当 时， ，
故 为等差数列，B正确；
C选项， ，
故当 时， 取得最大值，C错误；
D选项，令 得 ，令 得 ，
则当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
又 ， ，
则当 或 时数列 的前 项和取最大值，D正确.
故选：ABD
12．已知函数 和 都是偶函数，当 时， ，则下列正确的结论是
（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．当 时，
B．若函数 在区间 上有两个零点 、 ，则有
C．函数 在 上的最小值为
D．
【答案】ACD
【分析】推导出函数 是周期为 的周期函数，求出函数 在 上的解析式，可判断A选项；
利用指数函数的单调性结合作差法可判断B选项；利用函数的最值与函数单调性的关系可判断C选项；利
用函数 的周期性和 在 上的单调性可判断D选项.
【详解】因为函数 和 都是偶函数，则 ， ，
所以， ，即 ，
因此 是周期为 的周期函数．
对于A，当 时， ，则 ，
当 时，则 ，则 ，
综上所述，当 时， ，A对；
对于B选项，当 时， ，则 ，
不妨设 ，因为函数 在 上单调递减，则 ，
由 可得 ，
所以， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，则 ，B错；
对于C，因为函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
由于函数 是周期为 的周期函数，
故函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故当 时， ，
而函数 在 上单调递增，所以， ，则 ，
所以，当 时， ，
所以，函数 在 上的最小值为 ，C对；
对于D选项， ，
，
，
又函数 在 上单调递减， ，D对.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．绵阳中学食堂，以其花样繁多的饭菜种类和令人难忘的色香味使大批学子醉倒在它的餐盘之下，学子
们不约而同地将其命名为“远航大酒楼”．“远航大酒楼”共三层楼，5名高一新同学相约到食堂就餐，
为看尽食堂所有美食种类，他们打算分为三组去往不同的楼层．其中甲同学不去二楼，则一共有 种
不同的分配方式．
【答案】100
【分析】对甲分三种情况讨论，利用分步计数乘法原理结合排列组合知识求解即可.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】若甲1个人一组，其它两组人数为1、3或2、2，不同的分配方式有 种；
若甲和另外1个人两人一组，其它两组人数为1、2，不同的分配方式有 种；
若甲和另外2个人三人一组，其它两组人数为1、1，不同的分配方式有 种；
共有 种分配方式，
故答案为：100.
14．已知向量 ，记函数 ，若 在 上单调
递增．则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，利用函数在区间内的单调性求 的取值范围.
【详解】向量 ，
，
由 ，当 ，有 ，则 ，
依题意有 ，解得 .
所以 的取值范围为 .
故答案为： .
15．若 在 内存在极值，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】求出函数的导数，问题转化为 在 内有变号零点，利用二次函数的性质求出a
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的取值范围．
【详解】 在 内存在极值，则 在 内有变号零点，
， ， 与 同号，
则有 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
故答案为：
16．已知抛物线 ，直线 过点 且与 相交于 ， 两点，若 的平分线过点 ，
则直线 的斜率为 ．
【答案】
【分析】分别设出直线 、直线 和直线 的方程，以及 ， 两点坐标，利用角平分线
到角两边距离相等，可得直线 和直线 的斜率积为 ，从而得到 ，联立直线 与抛物
线，结合韦达定理即可求解.
【详解】设直线 的方程为 ，即 ，
设直线 ， 的方程分别为 ， ，即 ， ，
设 ， ，
的平分线过点 ， ，
整理得： ， ，
，则 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，得 ，
， ．
又 ， ，解得： 或 （舍去）.
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在 中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c， 且满足________.
(1)求 ；
(2)求边c的最小值.
请从下列条件：① ；② ；③ 中
选一个条件补充在上面的横线上并解答问题.
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【分析】（1）选①，利用二倍角余弦公式及三角形的性质求解 ，再利用余弦值求角；选②，利
用余弦定理及面积公式建立方程求得 ，利用正切值求角；选③，利用两角和正切公式化简得
，利用正切值求角；
（2）由余弦定理得 ，利用基本不等式求得 ，从而解二次不等式得c的最小值.
【详解】（1）选①，由 得 ，解得 或 （舍
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】去），因为 ，所以 .
选②，由余弦定理得 ，则 ，
所以 ，所以 ，因为 ，所以 .
选③，由 得 ，
所以 .所以 ，因为 ，所以 .
（2）由余弦定理得 ，
又 ，则 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，所以 ，所以 .所以c的最小值为 .
18．如图，在多面体ABCDEF中，四边形 与 均为直角梯形， 平面 ，
．
(1)已知点G为AF上一点，且 ，求证：BG与平面DCE不平行；
(2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为 ，求AF的长及四棱锥D－ABEF的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)AF的长为4； ．
【分析】（1）证明出 两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面DCE的法向
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】量，计算出 ，证明出BG与平面DCE不平行；
（2）由BF与平面DCE所成角的正弦值计算出AF的长，从而求出梯形ABEF的面积，计算出四棱锥的体
积.
【详解】（1）证明：因为 平面ABEF，AB， 平面ABEF，
所以 ， ，
又 ，
以 为坐标原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，
则 、 、 、 、 ，
所以 ， ， ，
设平面DCE的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，所以 ，
因为 ，且不存在 使得 与 垂直，
所以BG与平面DCE不平行；
（2）设 （ 且 ），则 ，所以 ，
∵直线BF与平面DCE所成角的正弦值为 ，
∴ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】化简得 ，解得 或 （舍去）；故 ．
此时梯形ABEF的面积 ，故 ．
19．设公比为正数的等比数列 的前 项和为 ，满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 为数列 在区间 中的项的个数，求数列 前100项的和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等比数列的基本量运算即得；
（2）根据条件确定 的取值，进而利用分组求和法即得.
【详解】（1）设公比为 ，由 ，得 ，
即 ，得 ，
解得 或 （舍去），得 ，又 ，
所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列，
故数列 的通项公式为 .
（2）由 为数列 在区间 中的项的个数，
可知 ， ， .
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ .
∴数列 前100项的和为 .
20．已知椭圆 的左、右焦点为 ， ，离心率为 ．点P是椭圆C上不同于顶点
的任意一点，射线 、 分别与椭圆C交于点A、B， 的周长为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若 ， ，求证： 为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用椭圆的定义及性质计算即可；
（2）设直线PA的方程为 ，设 ， ，联立椭圆方程结合韦达定理可得
的关系，再由易知向量线性关系转化 ，计算即可.
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
由离心率为 得 ，从而 ，
所以椭圆C的标准方程为 ．
（2）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ， ，则 ，
可设直线PA的方程为 ，其中 ，
联立 ，化简得 ，
则 ，同理可得， ．
因为 ， ．
所以
，
所以 是定值 .
21．某辖区组织居民接种新冠疫苗，现有 四种疫苗且每种都供应充足.前来接种的居民接种与号
码机产生的号码对应的疫苗，号码机有 四个号码，每次可随机产生一个号码，后一次产生的号码
由前一次余下的三个号码中随机产生，张医生先接种与号码机产生的号码对应的 种疫苗后，再为居民们
接种，记第 位居民（不包含张医生）接种 四种疫苗的概率分别为 .
(1)第2位居民接种哪种疫苗的概率最大；
(2)张医生认为，一段时间后接种 四种疫苗的概率应该相差无几，请你通过计算第10位居民接种
四种的概率，解释张医生观点的合理性.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】参考数据： .
【答案】(1) 疫苗
(2)答案见解析
【分析】（1）分类讨论，根据全概率公式计算；
（2）根据（1）的逻辑，讨论 的通项公式，运用等比数列求出第10为居
民使用A，B，C，D疫苗的概率即可.
【详解】（1）第1位居民接种 疫苗的概率分别为 ，
若第2位居民接种 疫苗，则第1位居民接种B，C，D疫苗， ，
第2位居民接种 疫苗，则第1位居民接种C，D疫苗，
同理，第2位居民接种 疫苗的概率也等于 ，
故第2位居民接种 疫苗的概率最大；
（2）因为 ，
所以 ，
故数列 是公比为 的等比数列.
又 ，所以
即 ，
从而 ，
同理 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
所以 ，
第10位居民接种 疫苗概率应该相差无几.
第 位居民接种 疫苗概率应该相差将会更小，所以张医生的话合理.
22．已知函数 ．
(1)当 时，求 在点 处的切线方程．
(2)若 的图象恒在 轴上方，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，将 代入函数 的解析式中，对函数 进行求导，得到 和 ，
代入切线方程中即可求解；
（2）将函数 的图像恒在x轴上方，转化成 恒成立，构造函数 ，此时
问题转化成函数最值问题，对函数 进行求导，利用导数的几何意义以及零点存在性定理进行求解即可．
【详解】（1）
．
又
在点 处的切线方程为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2） 的图像恒在 轴上方，等价于 恒成立
即 恒成立，
令 ，则
令 ，则
所以 在 上单调递减
又 ，所以在 上存在唯一的 使
当 时 单调递增，当 时 单调递减．
故 的最大值为
又 ，故 ，
两边取对数得
又 在定义域内单调递增，所以 ，故
所以
所以 .
【点睛】方法点睛：含参不等式恒成立求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求导确定函数的单调性得到最值，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
