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高考数学押题卷（二）（难度：较难）
题号 一 二 三 四 总分
得分
用时：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由对数函数单调性结合指数函数性质可化简集合A，B，后由集合交集定义可得答案.
【详解】因为 ，则A ，
因为 ， ，则 ，
所以 .
故选：B.
2．若复数 满足 （ 为虚数单位），则在复平面内 的共轭复数所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】先求出 ，再求出 即得解.
【详解】因为 ，即 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，其所对应的点为 ，位于第一象限.
故选：A.
3．已知函数 ，若 的图象关于直线 对称，则 的可能取
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简，然后根据正弦函数的对称性求出对称轴方程，结合已知即可求解.
【详解】 ，
由 ，得 的对称轴为 ，
若 的图象关于直线 对称，则 ，
解得 ，当 时， .
故选：D
4．双曲线C： 的离心率为 ，直线 与C的两条渐近线分别交于点A，
B，若点 满足 ，则 （ ）
A． 或0 B．－2 C． 或0 D．3
【答案】C
【分析】由双曲线离心率及参数关系确定渐近线方程，联立直线方程求 坐标，进而求其中点P的坐标，
根据 及斜率两点式求参数，注意讨论 、 两种情况.
【详解】由离心率为 ，有 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 得：A的坐标为 ；
由 得：B的坐标为 ．
设线段AB中点为P，则 ，且P的坐标为 ．
当 时， ，解出 ．
当 时，符合条件．
综上所述， 或 ．
故选：C
5．哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘
有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段
和两个圆弧 、 围成，其中一个圆弧的圆心为 ，另一个圆弧的圆心为 ，圆 与线段 及两
个圆弧均相切，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】A
【分析】构造直角三角形，勾股定理求圆O的半径，得到 ，余弦定理求 ，利用向量数量积公
式求 .
【详解】若 ，则圆弧 、 的半径为2，设圆O的半径为 ，则 ，过O作 ，
则 ， ，
中， ，即 ，解得 ，则有 ，
中，由余弦定理得 ，
．
故选：A.
6．甲烷分子式为 ，其结构抽象成的立体几何模型如图所示，碳原子位于四个氢原子的正中间位置，
四个碳氢键长度相等，且任意两个氢原子等距排列，用 表示碳原子的位置，用 表示四个氢
原子的位置，设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】B
【分析】根据正四面体的性质，以及正四面体的中心的位置关系，求碳原子和氢原子的距离，再结合余弦
定理求 ，最后根据二倍角公式求
【详解】由题意可知，氢原子构成如图所示的正四面体，碳原子是正四面体的中心，
如图，连结 并延长交平面 于点 ， 平面 ,
设两个氢原子距离为 ，则 ， ，
设 ， 中， ，得 ，
则 中，
.
故选：B
7．现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项
比赛至少一位同学参加，事件 “甲参加跳高比赛”，事件 “乙参加跳高比赛”，事件 “乙参加
跳远比赛”，则（ ）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C为互斥事件
C． D．
【答案】C
【分析】根据条件求出 ，由互斥事件的定义、相互独立事件的判定和条件概率公
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】式进行逐一判断即可
【详解】对于A，每项比赛至少一位同学参加，则有 不同的安排方法，
事件 “甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有 种方法；
若跳高比赛安排1人，则有 种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有 种，
则 ，同理 ，
若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有
种不同的安排方法，所以 ，
因为 ，事件A与B不相互独立故A错误；
对于B，在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A与C可以同时发生，故事件A
与C不是互斥事件，故B错误；
对于C，在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有 种，所以
，所以 ，故C正确；
对于D， ，故D错误.
故选：C
8．设函数 的定义域为 ，其导函数为 ，若 ，则下列结论
不一定正确的是（ ）
A． B．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C． D．
【答案】C
【分析】根据题意令 可得 ，即函数 图象关于 对称，即可判断A；根据
抽象函数的奇偶性和对称性可得函数 的周期为2，即可判断BD；由 知函数
图象关于直线 对称，举例说明即可判断C.
【详解】A：
令 ，得 ，则函数 图象关于点 对称.
若 ，则函数 图象关于点 对称，符合题意，故A正确；
B：由选项A的分析知 ，等式两边同时求导，
得 ，即 ①，
又 ， 为偶函数，所以 ②，
由①②得 ，所以函数 的周期为2.
所以 ，即 ，故B正确；
C：由选项B的分析知 ，则函数 图象关于直线 对称.
令 ，若 ，
则函数 图象关于直线 对称，不符合题意，故C错误；
D：由选项B的分析可知函数 的周期为2，则 ，
所以 ，故D正确.
故选：C.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9．已知 表示空间内两条不同的直线，则使 成立的必要不充分条件是（ ）
A．存在平面 ，有 B．存在平面 ，有
C．存在直线 ，有 D．存在直线 ，有
【答案】AC
【分析】根据线面平行的性质，结合线面垂直的性质、必要不充分条件的定义逐一判断即可,
【详解】A：若 ，则直线 可以平行，也可以相交，还可以异面；若 ，则存在平面 ，
有 ，所以本选项正确；
B：若 ，则 ，即垂直于同一平面的两条直线平行；若 ，则存在平面 ，有
，所以本选项不正确；
C：若 ，则直线 可以平行，也可以相交，还可以异面；若 ，则存在直线 ，有
，所以本选项正确；
D：若 ，则 ，即平行于同一直线的两直线平行，若 ，则存在直线 ，有 ，
所以本选项不正确，
故选：AC
10．定义在 上的函数 满足在区间 内恰有两个零点和一个极值点，
则下列说法不正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B．将 的图象向右平移 个单位长度后关于原点对称
C． 图象的一个对称中心为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】D． 在区间 上单调递增
【答案】ABC
【分析】根据题意可求出 的值，从而可得到 的解析式，再根据解析式逐项分析即可．
【详解】依题可知 ，于是 ，于是 ，
∴ ，又 ，
∴ ，∴ ，
对于A，由 ，则 的最小正周期为 ，故A错误；
对于B，因为 ，
所以将 的图象向右平移 个单位长度后得 ，
则 ，所以 不关于原点对称，故B错误；
对于C，由 ，所以 不是 图象的一个对称中心，故C错误；
对于D，由 ，则 ，所以 在区间 上单调递增，故D正确．
故选：ABC．
11．我国为了鼓励新能源汽车的发展，推行了许多购车优惠政策，包括：国家财政补贴､地方财政补贴､免
征车辆购置税､充电设施奖补､车船税减免､放宽汽车消费信贷等.记事件 表示“政府推出购买电动汽车优
惠补贴政策”；事件 表示“电动汽车销量增加”， ， .一般来说，推出购车优惠补贴
政策的情况下，电动汽车销量增加的概率会比不推出优惠补贴政策时增加的概率要大.基于以上情况，下列
不等式正确的是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D． .
【答案】ACD
【分析】对于选项A，直接根据题意即可判断出正误；对于选项B，利用条件和对立事件的概率公式即可
判断出正误；对于选项C和D，根据条件和条件概率公式，再进行变形化简即可判断出正误.
【详解】根据题意知 ，故选项 正确；
由 ，得到 ，即 ，故选项B错误；
又由 知， ，化简得到 ，所
以选项C正确；
又由 ，得 ，所以
，
即 ，即 ，
即 ，故D正确；
故选：ACD.
12．已知点 在抛物线C： 上，过P作圆 的两条切线，分别交C
于A，B两点，且直线AB的斜率为 ，若F为C的焦点， 为C上的动点，N是C的准线与坐标轴
的交点，则（ ）
A． B．
C． 的最大值是 D． 的最大值是
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】BC
【分析】根据题意可知，过P所作圆的两条切线关于直线 对称，即 ，结合 都在抛物
线上可得 ，所以A错误，B正确；根据抛物线定义可知 ，设 ，则
，当直线 与抛物线相切时， 的最大值是 ，即C正确，D错误．
【详解】由题意可知，点 与圆心同在 上，
所以过P所作圆的两条切线关于直线 对称，所以 ．
设 ， ， ，
则 ，
同理可得 ， ，
则 ，得 ，
所以 ，
由 ，得 ．
将 代入抛物线C的方程，得 ，解得 ，
故抛物线C的方程为 ，所以A错误，B正确．
设 ，作 垂直准线于 ，如下图所示：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由抛物线的性质可得 ，
所以 ，当 最小时， 的值最大，
所以当直线MN与抛物线C相切时，θ最大，即 最小．
由题意可得 ，设切线MN的方程为 ，
联立方程组 ，消去x，得 ，
由 ，可得 ，
将 代入 ，可得 ，所以 ，即M的坐标为 ，
所以 ， ，
所以 的最大值为 ，即C正确，D错误．
故选：BC
【点睛】方法点睛：求解抛物线最值问题时，往往利用抛物线定义和焦半径公式，将问题等价转化即可实
现求解.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．若 ， ， ，则 在 上投影向量的模为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】 /
【分析】根据平面向量的线性运算，数量积的运算，投影的定义与公式，即可求解.
【详解】解：已知 ， ，则 ，
，得 ，
又 ，则
所以 在 上投影向量的模为 ，
故答案为： .
14．定义：对于数列 ，如果存在常数 ，使得对于任意 ，都有 ，成立，则
称数列 为“ 摆动数列”， 称为数列 的摆动值.若 ，且数列 的摆动值
为0，则 的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据“ 摆动数列”的定义可得 ，对 分奇偶即可求解.
【详解】由数列 的摆动值为0知 ，
当 为偶数时， ，
故当 为奇数时， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即当 为奇数时， ，即 ，所以
故 的取值范围为 .
故答案为：
15．如图，在棱长为 的正方体 中，点 、 、 分别是棱 、 、 的中点，
则由点 、 、 确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 ．
【答案】
【分析】作出截面，分析可知截面是边长为 的正六边形，计算出截面面积即可.
【详解】因为 、 分别为 、 的中点，则 且 ，
因为 且 ，所以，四边形 为平行四边形，所以， ，
所以， ，设平面 交棱 于点 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，所以， ，则 ，
因为 为 的中点，所以， 为 的中点，
设直线 分别交 、 的延长线于点 、 ，连接 交棱 于点 ，
连接 交棱 于点 ，连接 、 ，则截面为六边形 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，则 ，
所以， ，
因为 ，则 ，所以， ，则 为 的中点，
同理可知， 为 的中点，易知六边形 是边长为 的正六边形，
所以，截面面积为 .
故答案为： .
16．已知椭圆C： 的焦距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线
段AB的中点，P的横坐标为 ．若直线l与直线PF的斜率之积等于 ，则C的离心率为 ．
【答案】 /
【分析】设 ，求出 的斜率，利用点差法求出直线 的斜率，在根据题意求出 之
间的关系即可得解.
【详解】 ，
设 ，
因为点P是线段AB的中点，P的横坐标为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
则 ，
由直线l与C相交于A，B两点，
得 ，
两式相减得 ，
即 ，
所以 ，
即 ，所以 ，
则 ，
所以 ，
所以离心率 .
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】17．在公差不为零的等差数列 中， ，且 成等比数列，数列 的前 项和 满足
.
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和 ，若不等式 对任意 恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，根据等比中项的性质得到方程，求出 ，即可求出 的
通项公式，再根据 ，作差得到数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，即可得解；
（2）由（1）可得 ，利用分组求和法求出 ，令 ，利用作差法判断
的单调性，即可求出 ，从而得到关于 的对数不等式，解得即可.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，且 成等比数列，
，即 ，解得 或 （舍去），
所以 .
数列 的前 项和 ，
当 时， ，
当 时， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
.
（2）由（1）可得 ，
.
令 ， ，
单调递增， .
， ， .
18．在三棱台 中， 平面ABC， ， ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)记 的中点为M，过M的直线分别与直线 ， 交于P，Q，求直线PQ与平面 所成角的正
弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)0
【分析】（1）取AC的中点D，可得四边形 为平行四边形，利用线面垂直的判定定理、性质定理
和面面垂直的判定定理证明可得答案；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）以A为原点， ， ， 所在方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系
，求出平面 的法向量，设 ， ，由P，M，Q三点共线，可设 ，
求出 ，根据空间角的向量求法可得答案.
【详解】（1）取AC的中点D，则AD与 平行且相等，
可得四边形 为平行四边形，则有 ，
又 ，故 ．
又 ， ， ，AC， 平面 ，故 平面 ，又因为
平面 ，故 ，
又因为 ， ， ， 平面 ，故 平面 ，
而 平面 ，故平面 平面 ；
（2）以A为原点， ， ， 所在方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角
坐标系 ，
则 ， ， ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，即 ，取 ，则 ．
设 ， ，则 ， ，
由题意知P，M，Q三点共线，可设 ，则 ，
解得 ，故 ， ，
则 ，
故 ，
即 平面 ，故所求线面角的正弦值为0．
19．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求C；
(2)若 ，角C的平分线交AB于点D，点E满足 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件和正弦定理边化角即可求得结果；
（2）根据正弦定理和余弦定理结合条件求解即可.
【详解】（1）由条件和正弦定理得 ，
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】展开后整理得 ．
因为 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ．
（2）如图所示，因为 ，所以 ，
又因为CD为 的平分线，所以 ．
因为 ，所以在 中， ，
又 ，所以 为等边三角形，所以 ．
在 中，由余弦定理可得 ，即 ，
在 中，由正弦定理可得 ，
即 ，得 ．
20．已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)求 在 上的最小值 ．
【答案】(1)答案见解析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)
【分析】（1）利用导函数与单调性的关系求解；
（2）利用导函数与单调性、最值的关系，结合 的不同取值范围，分类讨论求解.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
则 ．
当 时， 在 上恒成立，
故此时 在 上单调递减；
当 时，由 ，得 ,由 ，得 ，
故此时 在 上单调递减，在 上单调递增．
综上，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）由（1）知，当 时， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，所以 ；
当 时，
(i)若 ，即 时， 在 上单调递增，
此时， ；
(ii)若 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】此时， ；
(iii)若 ，即 时， 在 上单调递减，
此时， ．
综上所述， ．
21．某企业为提高竞争力，成功研发了三种新品 ，其中 能通过行业标准检测的概率分别
为 ，且 是否通过行业标准检测相互独立．
(1)设新品 通过行业标准检测的品种数为 ，求 的分布列；
(2)已知新品 中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为0.025，现从足量的新品 中任意抽取一件进
行检测，若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质产品为止，但抽取的总次数不超过 ．
如果抽取次数的期望值不超过5，求 的最大值．
参考数据：
【答案】(1)分布列见解析
(2)5
【分析】（1）由题意 的所有可能取值为：0，1，2，3,由独立事件乘法公式以及互斥事件加法公式即可
分别求出相应的概率，进而求解.
（2）不妨设抽取第 次时取到优质产品，此时对应的概率为 ，而第
次抽到优质产品的概率为 ，
所以抽取次数的期望值为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
对其求和并结合 以及参考数据即可求解.
【详解】（1）由题意 的所有可能取值为：0，1，2，3.
,
,
,
;
所以 的分布列如下表：
0 1 2 3
（2）不妨设抽取第 次时取到优质产品，此时对应的概率为 ，
而第 次抽到优质产品的概率为 ，因此由题意抽取次数的期望值为
，
，
两式相减得 ，
所以 ，
又由题意可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，即 ，
注意到当 时，有 ，
且当 时，有 ；
综上所述： 的最大值为5.
22．在 中，已知点 ， ， 边上的中线长与 边上的中线长之和为6；记
的重心 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)若圆 ： ， ，过坐标原点 且与 轴不重合的任意直线 与圆 相交于点 ， ，直
线 ， 与曲线 的另一个交点分别是点 ， ，求 面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 判断出 点的轨迹是椭圆，并由此求得椭圆 的方程.
（2）通过直线 的方程求得 两点的坐标，由此求得 面积的表达式，利用基本不等式、
函数的单调性求得面积的最大值.
【详解】（1）设 的中点为 ， 的中点为 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 点的轨迹是以 为焦点，长轴长 ，的椭圆.
所以 ，所以 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以曲线 的方程为 .
（2）设直线 为 （不妨设 ），设 ， ，
所以 ，
，
，解得 （ 舍去），则 ，
由于 是单位圆的直径，所以 ，
所以直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，
同理可求得 ，则 ，
由上述分析可知 ，而 ，
所以
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
令 ，当且仅当 时等号成立，
则 ，
函数 在 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值为 .
【点睛】求动点的轨迹方程的方法有：直接法，即利用直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义来求得动
点的轨迹方程；等量关系法，即利用题目所给的等量关系式进行化简，从而求得动点的轨迹方程；伸缩变
换法，根据伸缩变换的关系式求得动点的轨迹方程.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
