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§2.8 函数的图象
考试要求 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析
法)表示函数.2.会画简单的函数图象.3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数
与不等式解的问题．
知识梳理
1．利用描点法作函数图象的方法步骤
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)伸缩变换
①y＝f(x)―――――――――――――――――――→
y＝ f ( ax ) ．
②y＝f(x)―――――――――――――――――――→
y＝ af ( x ) ．(3)对称变换
①y＝f(x)―――――→y＝ － f ( x )．
②y＝f(x)―――――→y＝ f ( － x ) ．
③y＝f(x)――――――→y＝ － f ( － x )．
④y＝ax (a>0且a≠1)――――――→
y＝log x(a>0且a≠1)．
a
(4)翻折变换
①y＝f(x)――――――――――→y＝ | f ( x ) |.
②y＝f(x)―――――――――――→y＝ f ( | x |) ．
常用结论
1．函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
2．函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝|f(x)|为偶函数．( × )
(2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．( × )
(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．( × )
(4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．( × )
教材改编题
1．下列图象是函数y＝的图象的是( )
答案 C
解析 其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成．
2．函数y＝f(x)的图象与y＝ex的图象关于y轴对称，再把y＝f(x)的图象向右平移1个单位长
度后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________.
答案 e－x＋1
解析 f(x)＝e－x，∴g(x)＝e－(x－1)＝e－x＋1.3.已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式－20部分关
于y轴的对称部分，即得y＝|x|的图象，如图①实线部分．图① 图②
(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对
称，其图象如图②.
思维升华 图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象．
(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图
象变换作出，但要注意变换顺序．
跟踪训练1 作出下列函数的图象：
(1)y＝；
(2)y＝|x2－4x＋3|.
解 (1)y＝＝2＋，故函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单
位长度得到，如图①所示．
(2)先用描点法作出函数y＝x2－4x＋3的图象，再把x轴下方的图象沿x轴向上翻折，x轴上
方的图象不变，如图②实线部分所示．
题型二 函数图象的识别
例2 (1)(2022·百师联盟联考)函数f(x)＝的图象大致为( )
答案 D
解析 由题意知，f(x)的定义域为R，f(－x)＝
＝＝－f(x)，
故f(x)为奇函数，排除C；
f(1)＝>0，排除A；
f(2)＝<0，排除B.
(2)(2022·泉州模拟)已知函数f(x)＝则函数y＝f(1－x)的图象大致为( )
答案 B
解析 函数f(x)＝
所以y＝g(x)＝f(1－x)＝
所以当x＝0时，g(0)＝e0－1＝0，
故选项A，C错误；
当x≥0时，g(x)＝e－x－1单调递减，
故选项D错误，选项B正确．
教师备选
(2022·长春模拟)函数f(x)＝cos πx＋ln|2x|的大致图象是( )
答案 C
解析 因为f(x)＝cos πx＋ln|2x|(x≠0)，所以f(－x)＝cos(－πx)＋ln|－2x|＝cos πx＋ln|2x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，其图象关于y轴
对称，故排除选项A；
f(1)＝cos π＋ln 2＝－1＋ln 2<0，故排除选项B；
f(2)＝cos 2π＋ln 4＝1＋2ln 2>0，故排除选项D.
思维升华 识别函数的图象的主要方法有：(1)利用函数的性质．如奇偶性、单调性、定义
域等判断．(2)利用函数的零点、极值点等判断．(3)利用特殊函数值判断．
跟踪训练2 (1)函数f(x)＝的大致图象为( )
答案 B
解析 易知定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．f(－x)＝＝－＝－f(x)，则f(x)是奇
函数，其图象关于原点对称，排除A，
f(1)＝3－＝>0，排除D，
当x→＋∞时，3x→＋∞，则f(x)→＋∞，排除C，选项B符合．
(2)如图可能是下列哪个函数的图象( )
A．y＝2x－x2－1
B．y＝
C．y＝(x2－2x)ex
D．y＝
答案 C
解析 函数的定义域为R，排除D；
当x<0时，y>0，A中，x＝－1时，
y＝2－1－1－1＝－<0，排除A；
B中，当sin x＝0时，y＝0，∴y＝有无数个零点，排除B.
题型三 函数图象的应用
命题点1 研究函数的性质
例3 已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)
答案 C
解析 将函数f(x)＝x|x|－2x
去掉绝对值，得
f(x)＝
画出函数f(x)的图象，如图所示，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)
为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
命题点2 函数图象在不等式中的应用
例4 若当x∈(1,2)时，函数y＝(x－1)2的图象始终在函数y＝log x的图象的下方，则实数a
a
的取值范围是________．
答案 (1,2]
解析 如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y＝(x－1)2和y＝log x的图象．
a
由于当x∈(1,2)时，函数y＝(x－1)2的图象恒在函数y＝log x的图象的下方，
a
则解得10，
当x∈(－∞，－2)∪(－1,0)∪(1,2)时，
f(x)<0，
∴不等式xf(x)<0的解集为(－2，－1)∪(1,2)．
思维升华 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象
可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．
跟踪训练3 (1)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是
________．
答案 (1，＋∞)
解析 函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax(a>0，且a≠1)与函数y＝x＋a的图象的交点的
个数，如图，当a>1时，两函数图象有两个交点；当01.(2)已知函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)>f(－x)－2x
的解集是________．
答案 (－1,0)∪(1，]
解析 由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)>－x.在同一平面直角
坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，]．
课时精练
1．函数f(x)＝的图象大致是( )
答案 A
解析 根据题意，函数f(x)＝，
其定义域为{x|x≠0且x≠±1}，
有f(－x)＝－＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数，排除B，D，
又f ＝<0，所以排除C.
2．为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点( )
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
答案 C
解析 ∵y＝lg ＝lg(x＋3)－1，
∴y＝lg x――――――――――→
y＝lg(x＋3)――――――――――→
y＝lg(x＋3)－1.
3．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能是( )
A．f(x)＝(4x－4－x)|x|
B．f(x)＝(4x－4－x)log |x|
2
C．f(x)＝
D．f(x)＝(4x＋4－x)log |x|
2
答案 D
解析 由图知，f(x)为偶函数，故排除A，B；
对于C，f(x)>0不符合图象，故排除C；
对于D，f(－x)＝(4x＋4－x)log |x|＝f(x)为偶函数，且在区间(0,1)上，f(x)<0，符合题意．
2
4．(2022·沈阳质检)若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)等于( )
A．－ B．－ C．－1 D．－2
答案 C
解析 ∵f(－1)＝0，∴ln(－1＋a)＝0，
∴－1＋a＝1，∴a＝2，又y＝ax＋b过点(－1,3)，
∴2×(－1)＋b＝3，∴b＝5，
∴f(－3)＝－3a＋b＝－6＋5＝－1.
5．(2022·长沙质检)已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②中的图象对应的函数为(
)
图① 图②
A．y＝f(|x|) B．y＝f(－|x|)
C．y＝|f(x)| D．y＝－f(|x|)
答案 B
解析 观察函数图象可得，②是由①保留y轴左侧及y轴上的图象，然后将y轴左侧图象翻
折到右侧所得，结合函数图象的对称变换可得变换后的函数的解析式为y＝f(－|x|)．
6．下列函数中，其图象与函数f(x)＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( )
A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)
C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)
答案 B
解析 方法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x＝1的对称点的坐
标为(2－x，y)，由对称性知点(2－x，y)在函数f(x)＝ln x的图象上，所以y＝ln(2－x)．
方法二 由题意知，对称轴上的点(1,0)既在函数f(x)＝ln x的图象上也在所求函数的图象上，
代入选项中的函数解析式逐一检验，排除A，C，D.
7．(多选)对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，下列说法正确的是( )
A．f(x＋2)是偶函数
B．f(x＋2)是奇函数
C．f(x)在区间(－∞，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增
D．f(x)没有最小值
答案 AC
解析 f(x＋2)＝lg(|x|＋1)为偶函数，A正确，B错误．作出f(x)的图象如图所示，可知f(x)
在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增；由图象可知函数存在最小值0，C正确，
D错误．8．(多选)已知函数f(x)＝方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)，则下列判断正确的是( )
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．函数f(x)在区间(3，＋∞)上单调递增
C．当m∈(1,2)时，方程有2个不同的实数根
D．当m∈(－1,0)时，方程有3个不同的实数根
答案 BC
解析 对于选项A，f(4)＝4，f(－1)＝1－e，
显然函数f(x)的图象不关于直线x＝对称；
对于选项B，f(x)＝x2－3x的图象是开口向上的抛物线，所以函数f(x)在区间(3，＋∞)上单调
递增，
作出函数y＝|f(x)－1|的图象，如图，
对于选项C，当m∈(1,2)时，2－m∈(0,1)，结合图形可知方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)有2个
不同的实数根；
对于选项D，当m∈(－1,0)时，2－m∈(2,3)，结合图形可知方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)有4
个不同的实数根．
9．已知函数y＝f(－x)的图象过点(4,2)，则函数y＝f(x)的图象一定过点________．
答案 (－4,2)
解析 y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，
故y＝f(x)的图象一定过点(－4,2)．
10．若函数f(x)＝的图象关于点(1,1)对称，则实数a＝________.
答案 1
解析 f(x)＝＝a＋，
关于点(1，a)对称，故a＝1.11．(2022·青岛模拟)已知函数f(x)＝则对任意x ，x∈R，若x>0>x>－x ，则f(x)与f(x)的
1 2 2 1 2 1 2
大小关系是________．
答案 f(x)x>－x，
1 2
∴f(x)0,00，n>1
C．m<0,01
答案 B
解析 令f(x)＝0，得emx＝n，即mx＝ln n，
解得x＝ln n，
由图象知x＝ln n>0，
当m>0时，n>1，当m<0时，0
