文档内容
第2课时 数与形（2）
【教学内容】
教科书P105~106例2，完成教科书P108~109“练习二十二”中第4～8*题。
【教学目标】
1.在学习过程中引导学生探索研究数与形之间的联系，寻找规律，发现规
律，学会利用图形来解决一些有关数的问题。
2.让学生经历猜想与验证的过程，体会数形结合、归纳推理、极限等基本数
学思想。
【教学重点】
探索数与形之间的联系，寻找规律，并利用图形来解决有关数的问题。
【教学难点】
让学生经历探索规律及验证规律的过程。
【教学准备】
课件。
【教学过程】
一、直接导入，揭示课题
师：同学们，上节课我们探究了图形中隐藏的数的规律，今天我们继续研究
有关数与图形之间的联系。［板书课题：数与形（2）］
二、探索发现，学习新知
1.教师与学生比赛算题。
师：上节课计算竞赛，老师赢了。本节课，我还想跟你们比赛，你们还敢挑
战吗？（敢！）
1 1 3 1 1 1
师：你们知道 + 等于多少吗？（ ）那 + + 等于多少呢？
2 4 4 2 4 8
7
学生尝试计算，教师直接给出答案 。
8
师：只要按照这个分子是1，分母依次扩大到2倍的规律写下去，不管有多
少个分数相加，我都能立马算出结果。
师：有的同学不相信是吗？咱们试试就知道。为了验证，我请我们班计算最
快的同学跟我一起算，看看结果是否相同。谁来出题？
【学情预设】学生会按照以上算式中的规律，出以下题：
在学生出题后，教师都能立刻算出结果，并且是正确的，学生感到很惊奇。师：知道我为什么算得那么快吗？因为我有一件神秘的法宝，你们想知道
吗？
2.借助正方形探究计算方法。
教师边说边用课件出示一个正方形。
师：让我们来把这个正方形变一变，聪明的同学们一定能看明白是怎么回事
了。
（1）进行演示讲解。
1 1
①演示 + 。
2 4
1
师：用一个正方形表示“1”，先取它的一半就是正方形的 （涂红），再取
2
1
剩下部分的一半就是正方形的 （涂黄）。
4
1 1 1
②继续演示 + + 。
2 4 8
师：谁知道除了通分，还可以怎么算？
1 1 1 1
根据学生回答，板书： + + =1- 。
2 4 8 8
1 1 1 1
③演示 + + + 。
2 4 8 161 1 1 1 1 1 1 1 1
师：那么计算 + + + 就可以得到什么？（ + + + =1- ）
2 4 8 16 2 4 8 16 16
（2）初步发现规律。
师：看到这儿，你发现什么规律了吗？
1
【学情预设】学生发现，从 开始，后面分数的分母依次是前一个分数分母
2
的2倍，把这些分数加起来，和等于1减去最后一个分数。
（3）总结规律。
师小结：按照这样的规律往下加，不管加到几分之一，只要用1减去这个几
分之一就可以得到答案了。
（4）尝试练习。
课件出示习题。
3.知识提升，探索发现。
（1）感受极限思想。
课件出示教科书P105例2。
1 1 1
师：刚才我们已经从 一直加到了 ，如果我继续加，加到 ，得
2 16384 131072
131071 1
数等于多少？（ ）再接着加，一直加到 ，得数等于多少？（
131072 2097152
2097151
）随着不断继续加，你们发现得数越来越大，无数个这样的数相加，和
2097152
会是多少呢？这时候你们心中有没有一个大胆的猜想？
【学情预设】猜想：这样一直加下去，得数会不会就等于1了？
师：想象一下，如果我们在刚才加的过程中在正方形上不断涂色，那空白部分的面积会发生怎样的变化？涂色部分的面积呢？
【学情预设】空白部分的面积会越来越小，涂色部分的面积会越来越大。
师：一直往下加，和的得数越来越接近什么数？最终得数是1吗？有什么方
法来验证？
【学情预设】学生提出用圆和线段来帮助验证，若没有学生提出，教师自己
提出。
（2）利用线段图直观感受相加之和等于“1”。
师：教科书上有两幅图，我们一起来看看。（出示课件）
师：你能看懂这两幅图的意思吗？请你想一想，然后告诉大家你的想法。
【学情预设】学生会推导出：这些分数不断加下去，总和就是1。
师：他们的想法对吗？
1 1 1 1 1 1
【学情预设】学生利用直观图，并结合算式，看出了 + + + + + +…
2 4 8 16 32 64
的值越来越接近1。其实，当次数趋于无限时，这些分数的和就是1。
教师根据学生的回答进行板书。
【设计意图】利用数与形的结合，让学生直观体会极限的数学思想，并让学
生经历猜想得数等于“1”，到数形结合证明得数等于“1”的过程，激发学生的
学习兴趣，培养学生探索新知的精神。
4.迁移提升。
交流感受。
师：对于这种借用图形来帮助我们解决问题的方法，你有什么感受？
【学情预设】“数”与“形”有着紧密的联系，在一定条件下可以相互转
化。当用数形结合的方法解决问题时，会发现许多难题的解决变得很简单。
三、巩固练习，综合应用
1.课件展示教科书P108“练习二十二”第4题。
（1）学生小组合作，研讨解答。
【学情预设】本题渗透着比例思想，对于学生来说，有一定的难度，教师要适当提示。
（2）展示交流。
师：这道题跟我们以前学习的行程问题相同吗？需要知道速度和时间吗？
引导学生发现狗的速度是人的速度的2倍，用比例的知识解答。
2.课件展示教科书P108“练习二十二”第5题。
（1）学生仔细读图，尝试解答。
（2）展示交流。
师：这几个图中哪个是描述妈妈的行程的？你是怎么知道的？
【学情预设】学生可能根据整幅图进行判断，也可能只根据其中的一段进行
判断。
3.课件展示教科书P109“练习二十二”第6题。
（1）全班读题，学生独立思考，说出解题思路。
（2）根据学生回答情况，连线（课件动态演示）。
（3）结合连线图得出：小刚一共下了2盘，分别和小林、小强下的。
4.课件展示教科书P109“练习二十二”第7题。
学生独立在教科书上接着写，集体订正。
5.课件展示教科书P109“练习二十二”第8*题。
学生看图思考，师生交流。
师：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2吗？说说你是怎么知道的。
【学情预设】学生会说这个大正方形的面积有两种不同的算法，两种算法的
结果是相等的。
四、课堂小结
师：这节课你们有什么收获？
师小结：在解决数学问题时，常用数与形结合的方式来思考，这样既利用了
形的直观，又利用了数的细微。因此，数与形有着十分密切的联系。我们在今后
解决数学问题时，要合理地把数与形结合起来考虑。
【板书设计】
数与形（2）
【教学反思】
1 1 1 1 1 1
本节课学生对于 + + + + + +…这个算式的结果等于1不好理解，学
2 4 8 16 32 64
生一直争论“它只是越来越接近1，结果离1还是有那么一点点距离。”于是教师通过课件演示，出示一个圆和一条线段，根据分数的意义表示出这些分数，使
学生直观地看到最终的结果是“1”，另外还有反推的方法。但这个结果是教师
强加给学生的，还有些学生不是很理解。由此也可以看出，小学生对于“极限”
思想还是难以接受，还需要进一步渗透。
