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解答题：圆锥曲线的综合应用
题型一：最值问题
（24-25高三上·福建福州·月考）已知椭圆 经过点 ，
右焦点为
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 与 交于 两点，且直线 与 的斜率互为相反数，求
的中点 与 的最小距离．求最值及问题常用的两种方法：
（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形
性质来解决；
（2）代数法：题中所给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建
立目标函数，再求该函数的最值，求函数的最值常见的方法有基本不等
式法、单调性法、导数法和三角换元法等。
1．（24-25高三上·贵州黔东南·开学考试）已知双曲线 ：
的一个焦点与抛物线 ： 的焦点 重合，
且 被 的准线 截得的弦长为 .
(1)求 的方程；
(2)若过 的直线与 的上支交于 ， 两点，设 为坐标原点，求
的取值范围.
2．（24-25高三上·四川成都·期中）已知抛物线 ： 经
过点 ，直线 ： 与 的交点为A，B，且直线 与 倾
斜角互补.
(1)求抛物线在点 处的切线方程；(2)求 的值；
(3)若 ，求 面积的最大值.
题型二：参数范围问题
（23-24高三下·全国·模拟预测）已知椭圆 .
(1)若椭圆 的左右焦点分别为 为 的上顶点，求 的周
长；
(2)设过定点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，且 为
锐角（其中 为坐标原点），求直线 的斜率 的取值范围.
圆锥曲线的取范围问题
1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的
取值范围；
2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立
两个参数之间的等量关系；
3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
1．（23-24高三下·江苏苏州·月考）在平面直角坐标系 中，已知动点
到定点 的距离和它到定直线 的距离之比为 ，记
的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)已知点 ，不过 的直线 与 交于 ， 两点，直线 ，
， 的斜率依次成等比数列，求 到 距离的取值范围.
2．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知抛物线 的焦点
为 ，点 在抛物线 上，且 .
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)抛物线的准线与 轴交于点 ，过 的直线 交抛物线 于 两
点，且 ，点 为线段 的垂直平分线与 轴的交
点，求点 的横坐标 的取值范围.
题型三：定值问题（24-25高三上·贵州毕节·期中）已知椭圆 的焦距
为4， 为椭圆 上一点.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 为椭圆 的左焦点，直线 ， 为椭圆上任意一点，点 到
的距离为 ，点 到 的距离为 ，若 为定值，求此定值及 的值.
圆锥曲线的定值问题
（1）解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，
角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无
关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，
求定值问题常见的解题方法有两种：
法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值
与变量无关；
法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中
消去参数，从而得到定值。
（2）直接法解题步骤
第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：
或 、点的坐标；
第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情
况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来；
第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入
的变量无关，是一个常数。
1．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知曲线 上的点到点
的距离比到直线 的距离小 为坐标原点.直线 过定点 .
(1)直线 与曲线 仅有一个公共点，求直线 的方程；
(2)曲线 与直线 交于 两点，试分别判断直线 的斜率之和､
斜率之积是否为定值？并说明理由.
2．（24-25高三上·甘肃张掖·模拟预测）已知双曲线
的焦距为8，右焦点为 ，直
线 与双曲线在一､三象限的交点分别为 ，且 ．
(1)求双曲线 的方程及 的面积；
(2)直线 与双曲线 交于 两点，若直线 与 轴
分别交于点 ，且 ．证明： 为定值．题型四：过定点问题
（24-25高三上·河南驻马店·开学考试）已知动圆P过点 ，并且与
圆 外切，设动圆的圆心P的轨迹为C.
(1)直线 与圆 相切于点Q，求 的值；
(2)求曲线C的方程；
(3)过点 的直线 与曲线C交于E，F两点，设直线 ，点
，直线 交 于点M，证明直线 经过定点，并求出该定点
的坐标.
圆锥曲线的定点问题
1、参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量 ， 当作常数看待，
把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成
立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于 ， 的方
程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。
2、特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定
点，再证明该定点与变量无关。
3、关系法：对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条
件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在
直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线
（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。1．（24-25高三上·湖北襄阳·月考）已知抛物线 与双
曲线 的渐近线在第一象限的交点为Q，且Q点的横坐标为3．
(1)求抛物线E的方程；
(2)过点 的直线l与抛物线E相交于 两点，B关于x轴的对称
点为 ，求证：直线 必过定点．
2．（24-25高三上·天津北辰·期中）已知椭圆 ： （
）的一个焦点为 ，其短轴长是焦距的 倍，点 为椭圆上任意一点，
且 的最大值为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设动直线 ： 与椭圆 有且只有一个公共点 ，且与直线
相交于点 .问： 轴上是否存在定点 ，使得以 为直径的圆恒
过定点 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.
题型五：定直线问题（24-25高三上·北京·月考）已知椭圆C： 的左、右
焦点分别为 、 ，一个焦点为 ，P是椭圆上一动点（与左、
右顶点不重合）.已知 的面积的最大值为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点 且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于M，N两点，椭圆长
轴的两个端点分别为 ， ， 与 相交于点Q，求证：点Q在某
条定直线上.
解决圆锥曲线中动点在定直线问题的解题步骤：
1、联立直线与圆锥曲线的方程消元；2、挖掘图形中的对称性，解出动
点横坐标或纵坐标；3、将动点的横纵坐标分别用参数表示，再消去参
数；4、设点，将方程变形解出定直线方程。
1．（23-24高三下·湖南长沙·三模）已知抛物线 ，过点
的直线 与 交于不同的两点 .当直线 的倾斜角为 时，
.
(1)求 的方程；
(2)在线段 上取异于点 的点 ，且满足 ，试问是否存在一条定直线，使得点 恒在这条定直线上？若存在，求出该直线；若
不存在，请说明理由.
2．（24-25高三上·上海·期中）已知双曲线C的中心为坐标原点，
是 的两个焦点，其中左焦点为 ，离心率为 .
(1)求 的方程；
(2)双曲线 上存在一点 ，使得 ，求三角形 的面
积；
(3)记 的左、右顶点分别为 ，过点 的直线与 的左支交于
M，N两点， 在第二象限，直线 与 交于点 .证明：点 在定
直线上.
题型六：动点轨迹问题
（23-24高三下·湖南益阳·一模）已知两点 ， 及一动点 ，
直线 ， 的斜率满足 ，动点 的轨迹记为 .过点
的直线 与 交于 ， 两点，直线 ， 交于点 .
(1)求 的方程；(2)求 的面积的最大值；
(3)求点 的轨迹方程.
求解动点 的轨迹方程的常见方法：
（1）定义法：如果动点 的运动规律符合我们已知的某种曲线（如
圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已
知条件待定方程中的参数，即可求得轨迹方程；
（2）直接法：如果动点 的运动规律满足的等量关系容易建立，则可
用点 的坐标 表示该等量关系，即可得轨迹方程；
（3）相关点法：如果动点 的运动是由另外一点 的运动引发的，而
点 的运动规律已知（坐标满足某已知的曲线方程），则用点 的坐标
表示出相关点 的坐标，然后将点 的坐标代入已知曲线方程，
即可得到点 的轨迹方程；
（4）交轨消参法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的
轨迹问题，这类问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再
消去参数求得所求的轨迹方程.
1．（23-24高三下·江西抚州·月考）在平面直角坐标系 中，已知双曲
线 经过点 ，点 与点 关于原点对称， 为 上一
动点，且 异于 两点.
(1)求 的离心率；(2)若△ 的重心为 ，点 ，求 的最小值；
(3)若△ 的垂心为 ，求动点 的轨迹方程.
2．（23-24高三下·安徽合肥·模拟预测）图1为一种卫星信号接收器，该
接收器的曲面与其轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该接收器的口
径 ，深度 ，信号处理中心 位于抛物线的焦点处，以
顶点 为坐标原点，以直线 为 轴建立如图2所示的平面直角坐标系
．
(1)求该抛物线的方程；
(2)设 是该抛物线的准线与 轴的交点，直线 过点 ，且与抛物线交于
， 两点，若线段 上有一点 ，满足 ，求点 的轨迹方
程．题型七：角度关系证明问题
（24-25高三上·云南昆明·开学考试）在平面直角坐标系 中，已知点
，动点 满足直线 与直线 的斜率之积为 ，
设点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)已知点 ，直线 与 轴交于点 ，直线 与 交于点
，证明： .
角度关系的证明往往转化为斜率问题或坐标问题，其中角相等问题优先
考虑转为斜率之和为零处理，或考虑用向量进行计算。
1．（23-24高三下·山西运城·三模）已知双曲线 的左、右焦
点分别为 ， ，点 为 的左
顶点，点 为 右支上一点（非顶点）， 的平分线 交 轴于(1)过右焦点 作 于 ，求 ；
(2)求证： .
2．（23-24高三下·广西·二模）已知抛物线 ，过点 作直
线交抛物线C于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点
P．
(1)证明：P在定直线上；
(2)若F为抛物线C的焦点，证明： ．
题型八：向量共线问题
（24-25高三上·四川成都·模拟预测）椭圆 的中心为坐标原点 ，焦点
在 轴上，离心率 ，椭圆上的点到焦点的最短距离为 ，直线
与 轴交于点 （ ），与椭圆 交于相异两点 、 ，且
．
(1)求椭圆方程；
(2)求 的取值范围．三点共线问题证明的解题策略一般有以下几种：
（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任
意两点的直线的斜率相等来证明三点共线；
（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外
两个距离之和，则这三点共线；
（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；
（4）直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第三点也在该
直线上；
（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三
点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线；
（6）面积法：通过计算求出以三点为三角形的面积，若面积为0，则三
点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不
求思想”。
1．（23-24高三下·山西太原·三模）已知双曲线
的左、右顶点分别为 与 ，点
在 上，且直线 与 的斜率之和为 .
(1)求双曲线 的方程;
(2)过点 的直线与 交于 两点(均异于点 )，直线
与直线 交于点 ，求证: 三点共线.2．已知抛物线 经过点 ，直线 与抛物线 有两
个不同的交点 ，直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ．
(1)若直线 过点 ，求直线 的斜率 的取值范围；
(2)若直线 过抛物线 的焦点 ，交 轴于点 ，
求 的值；
(3)若直线 过点 ，设 ，求 的
值．
题型九：存在性问题探究
（23-24高三下·上海·三模）已知椭圆 ： ， 、 分别为
左、右焦点，直线 过 交椭圆于 、 两点.
(1)求椭圆的离心率；
(2)当 ，且点 在 轴上方时，求 、 两点的坐标；
(3)若直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ，是否存在直线 ，使得
？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由.圆锥曲线存在性问题的解题技巧：
1、特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，
解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成
立；
2、假设法：先假设存在，推证满足条件的结论。若结论正确，则存
在；若结论不正确，则不存在。
1．（24-25高三上·上海·月考）已知双曲线 的
离心率 ，左顶点 ，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线
l，交C于P、Q两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求证：直线 、 的斜率之积为定值；
(3)设 ，试问：在x轴上是否存在定点T，使得
恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．
2．（23-24高三下·西藏拉萨·月考）已知抛物线 ，准线
与 轴交于点 为抛物线 上一点， 交 轴于点 .当
时， .
(1)求抛物线 的方程；(2)设直线 与抛物线 的另一交点为 （点 在点 之间），过点
且垂直于 轴的直线交 于点
.是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的
值；若不存在，请说明理由.
题型十：“非对称”韦达定理
（23-24高三上·陕西西安·期中）已知椭圆 的长轴
长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P（1，0）的动直线与椭圆
相交于不同的两点C，D（不与点A，B重合）．
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2)若直线CB与直线AD相交于点M，判断点M是否位于一条定直线上？
若是，求出该直线的方程；若不是，说明理由．
将直线的方程与圆锥曲线方程联立，消去 ，得到关键方程（设方程的
两根 和 ），在某些问题中，可能会涉及到需计算两根系数不相同
的代数式。例如，运算过程中出现了 、 等结构，且无法直接通过合并同类项化为系数相同的情况处理，像这种非对称的结
构，通常是无法根据伟大定理直接求出的，此时一般的处理技巧是抓住
和 的关系将两根积向两根和转化，通过局部计算、整体约分
的方法解决问题。
1．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知双曲线 ：
的离心率为 ，点 在双曲线 上．过 的
左焦点F作直线 交 的左支于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若 ，试问：是否存在直线 ，使得点M在以 为直径的圆
上?请说明理由．
(3)点 ，直线 交直线 于点 ．设直线 、 的斜率
分别 、 ，求证： 为定值．
2．（24-25高三上·重庆·月考）已知 是椭圆 的
右焦点， 为坐标原点， 为椭圆上任意一点， 的最大值为
，当 时， 的面积为 .
(1)求 的值；
(2) 为椭圆的左､右顶点，点 满足 ，当 与 不重合时，射线 交椭圆 于点 ，直线 交于点 ，求 的最大
值.
1．（23-24高三下·河北·模拟预测）椭圆 ： 左右
顶点分别为 ， ，且 ，离心率 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与抛物线 相切，且与 相交于 、 两点，求 面
积的最大值.
2．（24-25高三上·河北石家庄·月考）已知焦距为 的椭圆
的右焦点为 ，右顶点为 ，过F作直线 与椭
圆 交于 、 两点（异于点 ），当 轴时， ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)证明： 是钝角．3．（24-25高三上·重庆·月考）已知双曲线 的
一条渐近线方程为 ，点 在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程.
(2)设过点 的直线l与双曲线C交于M，N两点，问在x轴上是否存
在定点Q，使得 为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的
值；若不存在，说明理由．
4．（24-25高三上·云南保山·期中）若 为抛物线 上一
点，过 作两条关于 对称的直线分别另交 于 两
点.
(1)求抛物线 的方程与焦点坐标；
(2)判断直线 的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明
理由.5．（24-25高三上·湖北武汉·期中）已知椭圆 ：
的离心率为 ，点 在 上，直线 与 交于不同于A的两点
， ．
(1)求 的方程；
(2)若 ，求 面积的最大值；
(3)记直线 ， 的斜率分别为 ， ，若 ，证明：以
为直径的圆过定点，并求出定点坐标．
6．（24-25高三上·上海宝山·月考）已知椭圆 的
左、右焦点分别为 为椭圆的一个顶点，且右焦点 F
₂
到双曲线. 渐近线的距离为
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线 与椭圆C交于 A、B两点.
①若直线 过椭圆右焦点F ，且△AF B的面积为 求实数k的值；
②若直线 过定点P(0,2)， ₂且k>0， 在₁ x轴上是否存在点T(t,0)使得以
TA、TB为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t的取值范
围； 若不存在，请说明理由.1．（2024·全国·高考真题）已知 和 为椭圆
上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线 交C于另一点B，且 的面积为9，求 的方程．
2．（2024·全国·高考真题）已知椭圆 的右焦点为
，点 在 上，且 轴．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点， 为线段 的中点，直线
交直线 于点 ，证明： 轴．3．（2024·天津·高考真题）已知椭圆 的离心率为
．左顶点为 ，下顶点为 是线段 的中点（O为原点），
的面积为 ．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点C的动直线与椭圆相交于 两点．在 轴上是否存在点 ，使
得 恒成立．若存在，求出点 纵坐标的取值范围；若不存在，
请说明理由．
4．（2024·北京·高考真题）已知椭圆 ： ，以椭圆
的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点
且斜率存在的直线与椭圆 交于不同的两点 ，过点
和 的直线 与椭圆 的另一个交点为 ．
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
5．（2024·上海·高考真题）已知双曲线 左右顶点分
别为 ，过点 的直线 交双曲线 于 两点.(1)若离心率 时，求 的值．
(2)若 为等腰三角形时，且点 在第一象限，求点 的坐
标．
(3)连接 并延长，交双曲线 于点 ，若 ，求 的取值范
围．
6．（2024·上海·高考真题）在平面直角坐标系 中，已知点 为椭圆
上一点， 、 分别为椭圆的左、右焦点.
(1)若点 的横坐标为2，求 的长;
(2)设 的上、下顶点分别为 、 ，记 的面积为
的面积为 ，若 ，求 的取值范围
(3)若点 在 轴上方，设直线 与 交于点 ，与 轴交于点
延长线与 交于点 ，是否存在 轴上方的点 ，使得
成立?若存在，请求出点 的
坐标;若不存在，请说明理由.
