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解答题：数列及其综合应用
题型一：等差数列与等比数列证明
（23-24高三下·内蒙古包头·三模）已知数列 的前n项和为 ， ， ．
(1)证明：数列 是等比数列，并求 ；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析， ；(2)
【解析】（1）因为 ，又 ，所以 ，整理得 ．
由题意得 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，故 ，即 ．
（2）由（1）可 ，
当 时， ，
当 时， ，所以 ，
.
当 ，代入 满足公式，
综上，判断数列是否为等差货等比数列的策略
1、将所给的关系进行变形、转化，以便利用等差数列和等比数列的概念进行判断；
2、若要判断一个不是等差（等比）数列，则只需说明某连续三项（如前三项）不是等差（等比）数列即
可。
1．（24-25高三上·上海·期中）某人购买某种教育基金，今年5月1日交了10万元，年利率5%，以后每
年5月1日续交2万元，设从今年起每年5月1日的教育基金总额依次为 ， ， ，…….
(1)写出 和 ，并求出 与 之间的递推关系式；
(2)求证：数列 为等比数列，并求出数列 的通项公式.
【答案】(1) ， ， ；(2)证明见解析，
【解析】（1） ， ，
，
（2）证明：
是以50为首项， 为公比的等比数列.
，
2．（24-25高三上·山东淄博·月考）记 为数列 的前 项和，已知 ， ．
(1)求 ，并证明 是等差数列；
(2)求 ．
【答案】(1) ，证明见解析；(2)
【解析】（1）当 时， ，
解这个方程： ，即 ，解得 .
当 时， ，把 代入得 ，
移项可得 ，即 ，解得 .
所以 .
由 ，可得 .
当 时， .
展开得 .
整理得 ，移项得 ，即 .
那么 .
令 ，则 ， .
所以 （常数）.
所以 是等差数列.
（2）由 可得： .
因为 ，所以 （ ）.
则 .
所以 .
展开得 .
题型二：分组转化法求数列的前n项和
（24-25高三上·北京·月考）已知 是各项均为正数的等比数列， ，且 ， ， 成等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）设等比数列 的公比为 ，且 ，
因为 ， ， 成等差数列，则 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以 的通项公式为 .
（2）由（1）可知： ，
则
，
所以 .
1、适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，
注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
2、常见类型：
（1）分组转化法：若a＝b±c，且{b}，{c}为等差或等比数列：
n n n n n
（2）奇偶并项求和：通项公式为a ＝ 的数列，其中数列{b}，{c}是等比数列或等差数
n n n
列。
1．（24-25高三上·河北衡水·月考）已知数列 的前 项和为 ， ， ．
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)若 ，求n的值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）因为 ，
所以当 时，
，
即 时， ，
又 时， ，所以数列 为首项为 ，公比为 的等比数列.
（2）由（1）知 ，所以 ，
又由 ，可得 ，
所以
，
又 ，所以 ，整理得到 ，解得 ，
所以n的值为 .
2．（24-25高三上·海南海口·月考）已知数列 是公差为3的等差数列，数列 满足 ， ，
，
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）设数列 的公差为 ，
中，令 ，有 ，代入 ， ，得 ，
所以数列 是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为 ；
将 代入 ，得 ， ，故有 ，
因此 是首项为1，公比为 的等比数列， .
（2）设 ，
为奇数时， ，
.
题型三：裂项相消法求数列的前n项和（24-25高三上·湖北·期中）记 是等差数列 的前 项和， ，且 ， ， 成等比数
列.
(1)求 和 ；
(2)若 ，求数列 的前20项和 .
【答案】(1) ； ；(2)
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，则 ，
由 ，得 ，即 ，解得 ，
所以 ， .
（2）由（1）知， ，又 ，则
因此 ，
所以 .
1、用裂项法求和的裂项原则及规律
（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项
相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．
2、裂项相消法中常见的裂项技巧
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）
1．（24-25高三上·广东深圳·模拟预测）若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列 是一个二阶等差数列，其中
．
(1)求 及 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ， ；(2)
【解析】（1）由 ，得 ， ，
由数列 是一个二阶等差数列，得 是以2为首项，1为公差的等差数列，
因此 ， ，
当 时， ，
满足上式，则 ，
所以 的通项公式是 .
（2）由（1）知，
，
所以
．
2．（24-25高三上·宁夏石嘴山·月考）已知数列 的首项为1，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）因为数列 的首项为1，且 ，
所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以 ；
（2）由（1）知 ，所以 ，
所以 .
题型四：错位相减法求数列的前n项和
（24-25高三上·广东广州·模拟预测）已知数列 的前 项和公式为 ，数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的通项公式.
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）由 可得 时， ，
故 ，
当 时， 也符合要求，
故 ，
（2）由 可得 ，
故 时，
，
则 ，
相减可得 ，
故 ，
化简可得 ，故 ，
当 时， 也符合要求，故1、解题步骤
2、注意解题“3关键”
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
②在写出“S”与“qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S－qS”的表达式．
n n n n
③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．
3、等差乘等比数列求和，令 ，可以用错位相减法．
①
②
得： ．
整理得： .
1．（24-25高三上·贵州贵阳·月考）已知数列 满足： ，数列 满足：
.
(1)求数列 的前15项和 ；
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1)130；(2)
【解析】（1）因为 ，解得 ，
所以
.
（2） ， ，当 时， ，
两式相减，得 ，即 .
又当 时， 符合题意，
所以 ， ，
，
故 ，
两式相减得 ，
即 ，
化简得 .
2．（24-25高三上·湖北·期中）已知 是公差不为0的等差数列， ，且 ， ， 成等比数
列，数列 满足： ，且 .
(1)求 和 的通项公式；
(2)若 为数列 的前 项和，求 .
【答案】(1) ， ；(2)
【解析】（1）设 的公差为 ，因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，即 ，
整理有： ，解得 （舍），
所以 ， ；
因为 ，所以 ，
又 ， ，
所以 为首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，（2）因为 ，
①，
②
两式相减，得：
，
所以 .
题型五：数列与不等式综合问题
（23-24高三下·河北邢台·二模）已知数列 的前 项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求证： ．
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【解析】（1）当 时， .
当 时， ， ，两式相减得： .
所以 是以 为首项，以 为公比的等比数列.
所以 .
（2）由（1）知： ，所以 .
当 时， ，
当 时， ，故 ，
所以 .数列与不等式是高考的热点问题，其综合的角度主要包括两个方面：
一是不等式恒成立或能成立条件下，求参数的取值范围：此类问题常用分离参数法，转化为研究最值问
题
来求解；
二是不等式的证明：常用方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等。
1．（24-25高三上·吉林·模拟预测）已知数列 的首项 ，且满足 ，设 ．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)若 ，求满足条件的最小正整数 ．
【答案】(1)证明见解析；(2)2024
【解析】（1） ，
，所以数列 为首项为 ，公比为 等比数列.
（2）由（1）可得 ，
即 ，
∴ ，
而因为 在 上均单调递增，则 随着 的增大而增大，
要使 ，即 ，则 ，
∴ 的最小值为2024.
2．（24-25高三上·辽宁·开学考试）已知 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项和，
.(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的最大值；
(3)设 ，证明： .
【答案】(1) ；(2) ；(3)证明见解析
【解析】（1）由 ，得 ，所以数列 为等差数列，
所以 ，所以 .
又 ，所以 ，
设 的公差为d，即 解得
所以 的通项公式是 .
（2）由（1）知 ，所以
，
，
令 ，得 ，
设 ，则数列 是递增数列.
又 ， ，
所以n的最大值为5.
（3）由（2）知 ，
设 是 的前n项和，则 ，所以 是递增数列，
所以 成立.
又 ，
所以当 时， ，所以 ，
得 ，
所以 .综上， .
题型六：数列中的探究问题
（23-24高三下·福建·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ，数列 满足 ，且
均为正整数.
(1)是否存在数列 ，使得 是等差数列？若存在，求此时的 ；若不存在，说明理由；
(2)若 ，求 的通项公式.
【答案】(1)存在， ；(2)
【解析】（1）由题意易知， ，
当 时， ，
由 均为正整数知， 为正整数，
则当且仅当 即 时， ，为整数，
若存在数列 ，使得 是等差数列，则 ，
故 ，此时 为整数，符合题意，
所以 ，当 时，有 ，
两式相减得 ，整理得 ，
故 ，
当n=2时， ，故 ，
经检验，当 时， ，充分性成立，
故存在数列 ，使得 是等差数列.
此时 ；
（2）法一、
因为 ，当 时，有 ，两式相减，
整理得： ，
由递增数列的题意与整数的性质知， ，
故 ，
因为 ，所以 ，则 ，
因为 为正整数，所以 .
法二、
假设存在一个正整数 ，使得
则 ， ，
则 ，不符合递增数列的题意,
故假设错误，不存在这样的正整数 ，使得 ，所以 .
数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方
法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法
来进行求解；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研
究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤：
①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．
②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，
从而得出原命题结论成立．
1．（24-25高三上·天津·月考）已知等比数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入n个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列．
（i）求数列 的通项及 ；
（ii）在数列 中是否存在3项 （其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样
的3项；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ；(2)（i） ；（ii）不存在，理由见解析.
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ .
（2）（i）由题意可知： ，∴（i）求数列 的通项： ，
；
（ii）假设在数列 中存在3项 （其中m，k，p成等差数列）成等比数列，
则 ，
即 ，
则
又∵m，k，p成等差数列，∴ ，
∴
∴化简得： 即
∴ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，与已知矛盾，
∴数列 中不存在3项 （其中m，k，p成等差数列）成等比数列.
2．（24-25高三上·江苏无锡·期中）在下面 行、 列 的表格内填数：第一列所填各数自上而下
构成首项为1，公差为2的等差数列 ；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列
；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自
左向右依次记为 .
第1列 第2列 第3列 … 第 列
第1行 1 2 …
第2行 3 5 9
第3行 5 10
… …
第 行
(1)求数列 通项公式;
(2)对任意的 ，将数列 中落入区间 内项的个数记为 ，①求 和 的值;
②设数列 的前 项和 ；是否存在 ，使得 ，若存在，求出所有 的
值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ；(2)① ， ；② .
【解析】（1）由题意知 ， ，
当 时，
，
而 也满足上式， .
（2）① ，
令 ，
当 时， ，此时 ，
当 时， ，
此时 .
② ，记 从第2项到第 项的和为 ，
，
，
上述两式作差得 ，
，
当 时， ；
当 时， ，
也满足上式， ，
，
，当 时，左边 ，舍去，
当 时，经检验符合；
当 时，左边恒 ，无解，
综上: .1．（24-25高三上·贵州铜仁·模拟预测）已知正项等差数列 满足： 且 ， ， 成等比数
列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足： ， ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) 或 ；(2) 或
【解析】（1）设正项等差数列 的公差为 ，由 成等比数列，
得 ，则 ，
又 ，即 ，解得 或 .
当 时， .
当 时， .
所以数列 的通项公式为 或 .
（2）由题意得，当 时， ，则 ，
所以数列 的前 项和
当 时， ，
则 ，且 ，
故 是以 为首项， 为公比的等比数列，
则
.
故数列 的前 项和 或 .
2．（24-25高三上·江苏镇江·模拟预测）已知数列 满足 ，
(1)记 ，写出 ， ，证明数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；(2)求 的前20项和．
【答案】(1) ， ，证明见解析， ；(2) .
【解析】（1）依题意， ， ，
显然 ，因此 ，
所以数列 是等差数列，其首项为1，公差为4，通项
（2）当n为奇数时， ，
所以 的前20项和为
3．（24-25高三上·湖南长沙·月考）已知数列 的前n项和为 ， ，满足 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1） ，当 时， ，
两式作差得 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
当 时也成立，所以 ；
（2）由（1）得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
4．（24-25高三上·江西上饶·月考）设函数 ，数列 满足 ，且 .
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)令 ，若 对一切 成立，求最小正整数 的值.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】（1）结合题意可知 ，
两边取倒数可得： ，即 .
所以数列 是以首项 ，公差为 的等差数列.
（2）由上问可知数列 是以首项 ，公差为 的等差数列，
所以 ，所以 .
所以 .
又 ，也满足上式，所以
由 可得：
，
所以 ，因为 对一切 成立，
所以 ,解得 .
最小正整数 的值为 .
5．（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知数列 为等差数列，公差 ，前 项和为 ， 为 和
的等比中项， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)是否存在正整数 ， ，使得 ， ， 成等差数列？若存在，求出 ， 的值；若不
存在，请说明理由；
(3)求证：数列 .
【答案】(1) ；(2)存在 ，理由见解析；(3)证明过程见解析
【解析】（1）由题意得 ，即 ，
整理得 ，因为 ，所以 ，，即 ，解得 ，
故 ， 的通项公式为 ；
（2）不存在正整数 ， ，使得 ， ， 成等差数列，理由如下：
假设存在正整数 ， ，使得 ， ， 成等差数列，
， ， ，
由题意得 ，整理得到 ,
故 或 ,
故 （舍）或 ， ,
综上，存在正整数 ， ，使得 ， ， 成等差数列；
（3）由等差数列求和公式得 ，
当 时， ，
.
6．（24-25高三上·山东青岛·月考）已知数列 的前n项和 ．若 ，
且数列 满足 ．
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)求证：数列 的前n项和 ；
(3)若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)
【解析】（1）由题意知 ，
当 时， ，所以 ．
当 时， ，所以 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ．因为 ，所以 ，
所以 ，令 ，可得 ，
所以数列 是以1为首项，3为公差的等差数列．
（2）由（1）知 ，
所以 ，
所以 ，
两式相减，可得
，
所以 ，所以 ．
（3）若 对一切 恒成立，只需要 的最大值小于或等于 ．
因为 ，
所以 ，所以数列 的最大项为 和 ，且 ．
所以 ，即 ，
解得 或 ，即实数 的取值范围是 ．
1．（2024·全国·高考真题）已知等比数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和.
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）因为 ,故 ，所以 即 故等比数列的公比为 ，
故 ，故 ，故 .
（2）由等比数列求和公式得 ，
所以数列 的前n项和
.
2．（2024·全国·高考真题）记 为数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）当 时， ，解得 ．
当 时， ，所以 即 ，
而 ，故 ，故 ，
∴数列 是以4为首项， 为公比的等比数列，
所以 .
（2） ,
所以
故
所以
，
.
3．（2024·上海·高考真题）若 ．(1) 过 ，求 的解集；
(2)存在 使得 成等差数列，求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）因为 的图象过 ，故 ，故 即 （负的舍去），
而 在 上为增函数，故 ，
故 即 ，
故 的解集为 .
（2）因为存在 使得 成等差数列，
故 有解，故 ，
因为 ，故 ，故 在 上有解，
由 在 上有解，
令 ，而 在 上的值域为 ，
故 即 .
4．（2024·天津·高考真题）已知 为公比大于0的等比数列，其前 项和为 ，且 ．
(1)求 的通项公式及 ；
(2)设数列 满足 ，其中 ．
（ⅰ）求证：当 时，求证： ；
（ⅱ）求 ．
【答案】(1) ；(2)①证明见解析；②
【解析】（1）设等比数列 的公比为 ，
因为 ，即 ，
可得 ，整理得 ，解得 或 （舍去），
所以 .
（2）（i）由（1）可知 ，且 ，
当 时，则 ，即可知 ，
，
可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ；
（ii）由（1）可知： ，
若 ，则 ；
若 ，则 ，
当 时， ，可知 为等差数列，
可得 ，
所以 ，
且 ，符合上式，综上所述： .
