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解答题：三角函数、三角恒等变换与解三角形
题型一：三角恒等变换与三角函数
（24-25高三上·河南·月考）已知向量 ，函数 .
(1)求 的最小正周期;
(2)若函数 在区间 上恰有两个零点，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】（1） ，
的最小正周期 ；
（2）由题知 在区间 上恰有两个不同的实数根，
即函数 在区间 上的图象与直线 恰有两个交点，
令 ，
作出 的图象与直线 ，如图.
由图知，当 时， 的图象与直线 有两个交点，
实数 的取值范围为 .此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。
1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角：
（1）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α (S )；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C )
2α 2α
（2）降幂公式：cos2α＝ ，sin2α＝ ，
2、再通过辅助角公式“化一”，化为
3、辅助角公式：asin α＋bcos α ＝ sin(α＋φ)，其中tan φ＝ .
4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算：
一般将 看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。与三角函数相关的方程根的问题（零
点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析。
1．（24-25高三上·江苏常州·月考）如图，已知函数 的图象过点
和 ，且满足 .
(1)求 的解析式；
(2)当 时，求函数 值域.
【答案】(1) ;(2)
【解析】（1）由 ，得 ，则
又 ，即 得 ，
由 ，得
根据图象可知 ，解得
.（2） ，故 ，
，即 的值域为 .
2．（24-25高三上·北京·期中）已知函数 .
(1)求 的最小正周期；
(2)求不等式 的解集；
(3)从条件①，条件②，条件③选择一个作为已知条件，求 的取值范围.
① 在 有恰有两个极值点；
② 在 单调递减；
③ 在 恰好有两个零点.
注：如果选择的条件不符合要求，0分；如果选择多个符合要求的条件解答，按第一个解答计分.
【答案】(1) ；(2) ；(3)答案见解析
【解析】（1）因为
.
所以 的最小正周期为 .
（2）因为 ，即 ，
则 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
（3）因为 ，所以 .
若选择①：因为 在 有恰有两个极值点.
则 ，解得 ，
所以 的取值范围 ；
若选择②：因为 在 单调递减
当 时， 函数递增，所以 在 不可能单调递减，所以②不符合题意；
若选择③：因为 在 恰好有两个零点.
则 ，解得 ，
所以 的取值范围 .
题型二：正余弦定理解三角形的边与角
（24-25高三上·福建南平·期中）在锐角 中，角 所对的边分别为 .已知
(1)求 ；
(2)当 ，且 时，求 .
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 为锐角，所以 ，
所以
（2）由（1）知 且 为锐角，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 .解之得
利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：1、选定理.
（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；
（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；
（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；
（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；
（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；
2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之
间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.
3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），
并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。1．（24-25高三上·江苏苏州·月考）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)证明： ；
(2)若 ， ，求 .
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）由已知结合正弦定理，得 ，
化简得 ，
即 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
故由正弦定理得 .
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
结合 ，可得 ，故 ，
由（1）知 ，
由余弦定理得 ，
则 ，
化简得 ，
代入 ，整理得 ，所以 ，
所以 ，
故 .
2．（24-25高三上·上海·期中）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ．
(1)若 ， ，求 ；(2)若 ， ，求 的周长．
【答案】(1) ；(2) 或 .
【解析】（1）根据余弦定理 ，已知 ， ， .
将 ， ， 代入余弦定理公式可得：
化简得
解得 （因为边长不能为负，舍去 ）.
（2）已知 ，由正弦定理 可得 .
因为 ，可得 .
因为 ， ， 时 有两解（ 为锐角或钝角）.
当 为锐角时， .
， ， .
则 .
再由正弦定理 ，可得 .
，可得 .
此时三角形周长为 .
当 为钝角时， .
.
由正弦定理 ，可得 .
，可得 .
此时三角形周长为 .
则 的周长为 或 .题型三：利用正弦定理求三角形外接圆
（24-25高三上·全国·专题练习） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
．
(1)求 的大小；
(2)若 面积为 ，外接圆面积为 ，求 周长.
【答案】(1) ；(2)18
【解析】（1） ，
，
，
， ．
（2）设 外接圆的半径为 ，
由 ， 得 ，
因为 ，解得 ，
，所以 ，
又 ，
所以49= ，故 ，
所以 .
利用正弦定理： 可求解三角形外接圆的半径。
若要求三角形外接圆半径的范围，一般将 用含角的式子表示，再通过三角函数的范围来求半径的范
围。1．（24-25高三上·海南·月考）如图，平面四边形ABCD内接于一个圆，且 ， ， 为钝
角， .
(1)求 ；
(2)若 ，求△BCD的面积．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）因为 为钝角， ，所以 ，
由余弦定理得 ，
整理得 ，解得 （负根舍去），
由正弦定理得 .
（2）由于圆的内接四边形对角互补，所以 且 为锐角，则 ，
在三角形 中，由余弦定理得：
， ，
解得 （负根舍去），
所以三角形 的面积为 .
2．（23-24高三下·浙江·模拟预测）如图，在平面内的四个动点 ， ， ， 构成的四边形 中，
， ， ， .(1)求 面积的取值范围；
(2)若四边形 存在外接圆，求外接圆面积.
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）由三角形的性质可知， ，即 ，
且 ，即 ，所以 ，
中， ，
所以 ，则 ，
，
所以 面积的取值范围是 ；
（2） 中， ，
中， ，
即
因为四边形 存在外接圆，所以 ，即 ，
即 ，得 ， ，
此时 ，即 ，
由 ，
四边形 外接圆的面积 .
题型四：解三角形中边长或周长的最值范围
（24-25高三上·四川绵阳·月考）在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， .
(1)求证： ；
(2) ，求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】（1）在锐角 中，由余弦定理 及 ，得 ，
由正弦定理得 ，则 ，由 ，得 ，
所以 ，即 .
（2）在锐角 中，由正弦定理得 ，则 ，
于是 ，
由 ，得 ，则 ， ，
所以 的取值范围是 .
利用正、余弦定理等知识求解三角形边长或周长最值范围问题，一般先运用正、余弦定理进行边角互
化，然后通过三角形中相关角的三角恒等变换，构造关于某一角或某一边的函数或不等式，再利用函数
的单调性或基本不等来处理。
1．（24-25高三上·山西·月考）在 中，角 的对边分别是 ，且
．
(1)证明： ．
(2)若 是锐角三角形，求 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】（1）由题设 ，
所以 ，
则 ，即 ，
又 ，则 ，且 ，
所以 ，得证.
（2）由题设 ，即 ，得 ，由 ，而 ，故 .
2．（24-25高三上·贵州遵义·月考）记 的内角 ， ， 对应的三边分别为 ， ， ，且
.
(1)求 ；
(2)若 ，求 的周长的取值范围.
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ；
（2）因为 ， ，由正弦定理得 ，
则 ，又 ，
则 ，且 ，
所以
因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，
综上可知，三角形 的周长的取值范围是 ．
题型五：解三角形中面积的最值范围
（24-25高三上·辽宁沈阳·月考）已知 中，角 的对边分别为 ，满足
．
(1)求角 ．
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1) ；(2)【解析】（1）因为 ，由正弦定理得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，解得 .
（2）由（1）知 ，且 ，
又由正弦定理得 ，可得 ，
所以
，
因为 为锐角三角形，所以 ，且 ，可得 ，
则 ，所以 ，所以 面积的取值范围是 ．
1、常用三角形的面积公式：
（1） ；
（2） ；
（3） （ 为三角形内切圆半径）；
（4） ，即海伦公式，其中 为三角形的半周长。
2、求面积的最值范围，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形面积用所设变量表示出来，
再利用正余弦定理列出方程求解。注意函数思想的应用。
1．（24-25高三上·江西·期中）已知 中，角 所对的边分别为 ，且.
(1)求 ；
(2)若 ，求 面积的最大值.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】（1）由 ，得 ，
由正弦定理，得 ，
因为 ，且 ，
综上， .
（2）因为 ，
由余弦定理，得 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
因为 ，
所以 面积 ，即 面积的最大值为 .
2．（24-25高三上·河南·月考）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求C的值；
(2)若 内有一点P，满足 ， ，求 面积的最小值．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）因为 ，
由正弦定理得， ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
又因为 是三角形得内角，显然 ，所以 ，
即 ，所以 .
（2）法一：由（1）得： ，设 ，
在 中，由余弦定理得， ，
同理在 中有： ，
，
又因为 是直角三角形，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，因为 ，所以 ，即 ，所以
，
，
，
，
当且仅当 ，即 时取等号.
的面积的最小值为 ．
法二：在 中，设 ，
由余弦定理可得， .
由勾股定理可得: ，即 .而 .
由基本不等式 ，所以 ，可解得 (由上 )，
当且仅当 时等号成立，
所以 面积最小值为 .
题型六：三角形的角平分线、中线、垂线
（24-25高三上·江苏徐州·月考）已知 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求角B；
(2)若BD是角B的平分线， ，求线段BD的长．
【答案】(1) ；(2)4.
【解析】（1）已知 ，由正弦定理 （ 为 外接圆半径），
可得 .
因为 ，所以 ，那么 .
根据两角和的正弦公式 ，
则 .
展开可得 .
移项可得 .
因为 ，所以 ，两边同时除以 得 ，解得 .
又因为 ，所以 .
（2）因为BD是角 的平分线，根据角平分线定理 ，
已知 ， ，所以 ，设 ，则 .
在 中，根据余弦定理 ，
， ，则 .
即 ，解得 ，所以 ， .
在 中，根据余弦定理 ，因为 ，所以 .
设 ，则 .
即 ，整理得 .
分解因式得 ，解得 或 .
当 ，在 中， ,舍去.
当 ，在 中， ,满足.
故BD的长度为4.
1、解三角形角平分线的应用
如图，在 中， 平分 ，角 、 ， 所对的边分别问 ， ，
（1）利用角度的倍数关系：
（2）内角平分线定理： 为 的内角 的平分线，则 .
说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，
就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。
（3）等面积法：因为 ，所以 ，
所以 ，整理的： （角平分线长公式）
2、解三角形中线的应用
（1）中线长定理：在 中， 是边 上的中线，则
【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中
（2）向量法：【点睛】适用于已知中线求面积（已知 的值也适用）.
3、解三角形垂线的应用
（1） 分别为 边 上的高，则
（2）求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度
高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。
1．（24-25高三上·福建福州·月考） 的内角 所对的边分别为 ，已知
．
(1)求 ；
(2)若D为 中点， ， ，求 的周长．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1） ，由正弦定理得， ,
即 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
化简得 ，又 ，
可得 ， ，
.
（2）因为 是 的中点，所以 ，
则 ，
即 ，整理得 ，解得 或 （舍去），
在 中，由余弦定理可得 ，
，所以 的周长为 .
2．（24-25高三上·广西南宁·月考）已知 的三个内角 所对的边分别是 ．已知(1)求角 ；
(2)若点 在边 上， ，请在下列两个条件中任选一个，求边长 ．
① 为 的角平分线；② 为 的中线．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）在 中，由正弦定理知 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
，
又 ，
，
化简得 ，即 ，
又 ，所以 ．
（2）选①， 为 的角平分线，
由 得： ，
即 ，所以 ，
又 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 .
选②， 为 的中线，
则 ，平方得 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 .1．（24-25高三上·山东菏泽·期中）记锐角 的内角 的对边分别为 ，已知
．
(1)求 ；
(2)延长 到 ，使 ，求 ．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）已知 ，正弦定理得 ，
则有 ，
所以 ，而 ，
则 ，
即 ，锐角 中， ，则 ，
由 ，因此 .
（2）在 中，由正弦定理得 ①．
在 中，由正弦定理得 ②．
， ，得 ，
由①②可得，
解得 ．
2．（24-25高三上·上海·期中）设 的内角A，B，C的对边分别为 ， 且B为钝角.
(1)若 , ，求 的面积；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1） ，
因为 ， ，故 ，
因为 为钝角，所以 ， ，由正弦定理得 ，故 ，
其中 ，
所以 ，解得 ，
，
；
（2）由（1）知， ，
，
因为 为钝角，所以 ， 且 ，
解得 ，
所以 ，
.
3．（24-25高三上·湖南长沙·月考）在 中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且 .
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 的面积的最大值.
【答案】(1) ；(2)3
【解析】（1）因为 ，所以由正弦定理得 ，又 ，所以 ， ，
从而 .
（2）由余弦定理可知 ，则 ，
又 ，故 ，
即 ，故 ，即 ，
从而 ，
当 时取等号，即 的面积的最大值为3.
4．（24-25高三上·辽宁大连·月考）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，满足
.
(1)求角 的大小；
(2)若 的面积为 ，求 的最小值．
【答案】(1) ；(2)4
【解析】（1）由正弦定理得 ，
又由余弦定理得 ，
因为 是三角形内角，所以 ；
（2）由三角形面积公式得： ，解得 ，
因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为4，此时 为等边三角形．
5．（24-25高三上·江苏无锡·期中）在 中，已知 .
(1)若 为锐角三角形，求角 的值，并求 的取值范围;
(2)若 ，线段 的中垂线交边 于点 ，且 ，求A的值.
【答案】(1) ； ；(2)
【解析】（1）由题意 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，易知 ，所以 ，则 ，
因为 为锐角三角形，所以 ，即 ，
所以
，
由 知 ，所以 ，
即 的取值范围为 ；
（2）
设 中点为 ，则 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，
所以 ，
因为线段 的中垂线交边 于点 ，可知 ，所以 ，
则 ，解之得 ，此时 ，正切不存在，舍去；
或 ，解之得 ；
综上 .
6．（24-25高三上·天津·月考）在 中，角 对应边分别为 ，外接圆半径为 ，已知
.
(1)证明： ；
(2)求角 和边 ；(3)若 ，求 .
【答案】(1)证明见解析；(2) ， ；(3) .
【解析】（1）设 的外接圆半径为 ，
由正弦定理可得 ，又 ，
所以 ， ， ，又 ，
所以 ，
所以 ；
（2）由余弦定理可得 ，又 ，
所以 ，又 ，所以 ，
由（1） ，所以 ，
所以 ， ；
（3）因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，故 为锐角，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
所以 .
所以 .
1．（2024·上海·高考真题）已知 ，
(1)设 ，求解: 的值域;
(2) 的最小正周期为 ，若在 上恰有3个零点，求 的取值范围.【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）因为 ，所以 ，
因为 ，所以令 ，
由正弦函数性质得 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，故 ，
（2）由题意得 ，所以 ，可得 ，
当 时， ， ，即 ， ，
当 时， ，不符合题意，
当 时， ，符合题意，
当 时， ，符合题意，
当 时， ，符合题意，
所以 ，
即 ，故 .
2．（2024·广东江苏·高考真题）记 的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知 ，
(1)求B；
(2)若 的面积为 ，求c．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）由余弦定理有 ，对比已知 ，
可得 ，
因为 ，所以 ，从而 ，
又因为 ，即 ，
注意到 ，所以 .
（2）由（1）可得 ， ， ，从而 ， ，
而 ，
由正弦定理有 ，
从而 ，
由三角形面积公式可知， 的面积可表示为
，
由已知 的面积为 ，可得 ，所以 .
3．（2024·全国·高考真题）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求A．
(2)若 ， ，求 的周长．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由 可得 ，即 ，
由于 ，故 ，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由 ，又 ，消去 得到：
，解得 ，
又 ，故
方法三：利用极值点求解设 ，则 ，
显然 时， ，注意到 ，
，在开区间 上取到最大值，于是 必定是极值点，
即 ，即 ，
又 ，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设 ，由题意， ，
根据向量的数量积公式， ，
则 ，此时 ，即 同向共线，
根据向量共线条件， ，
又 ，故
方法五：利用万能公式求解
设 ，根据万能公式， ，
整理可得， ，
解得 ，根据二倍角公式， ，
又 ，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又 ，则 ，进而 ，得到 ，
于是 ，
，
由正弦定理可得， ，即 ，
解得 ，
故 的周长为4．（2024·天津·高考真题）在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1）设 ， ，则根据余弦定理得 ，
即 ，解得 （负舍）；
则 .
（2）法一：因为 为三角形内角，所以 ，
再根据正弦定理得 ，即 ，解得 ，
法二：由余弦定理得 ，
因为 ，则
（3）法一：因为 ，且 ，所以 ，
由（2）法一知 ，
因为 ，则 ，所以 ，
则 ，
.
法二： ，
则 ，
因为 为三角形内角，所以 ，所以
5．（2024·北京·高考真题）在 中，内角 的对边分别为 ， 为钝角， ，
．
(1)求 ；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求 的面积．
条件①： ；条件②： ；条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解
答计分．
【答案】(1) ；(2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为 .
【解析】（1）由题意得 ，因为 为钝角，
则 ，则 ，则 ，解得 ，
因为 为钝角，则 .
（2）选择① ，则 ，因为 ，则 为锐角，则 ，
此时 ，不合题意，舍弃；
选择② ，因为 为三角形内角，则 ，
则代入 得 ，解得 ，
,
则 .
选择③ ，则有 ，解得 ，
则由正弦定理得 ，即 ，解得 ，因为 为三角形内角，则 ，
则
，
则
6．（2023·北京·高考真题）设函数 ．
(1)若 ，求 的值．
(2)已知 在区间 上单调递增， ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择
一个作为已知，使函数 存在，求 的值．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 在区间 上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
【答案】(1) ；(2)条件①不能使函数 存在；条件②或条件③可解得 ， .
【解析】（1）因为
所以 ，
因为 ，所以 .
（2）因为 ，
所以 ，所以 的最大值为 ，最小值为 .
若选条件①：因为 的最大值为 ，最小值为 ，所以 无解，故条件①不能使函数 存在；
若选条件②：因为 在 上单调递增，且 ，
所以 ,所以 , ,
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，所以 .
所以 ， ；
若选条件③：因为 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得最小值 ，即 .
以下与条件②相同．
