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2024年天津高考数学试卷答案与解析
第I卷（选择题）
本卷共9小题，每小题5分，共45分。每小题的答案和解析如下。
第1题
题目：集合 , ，则
选项：
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：
集合的交集运算要求找出两个集合的共同元素。
，
共同元素是 2、3、4，因此
故选 B。
第2题
题目：设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
选项：A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案：C
解析：
由立方性质知， 当且仅当
由指数函数性质知， 当且仅当
因此，两者等价，是充要条件。
故选 C。
第3题
题目：下列图中，相关性系数最大的是（ ）
（题目涉及散点图，需通过图片判断相关性）
答案：A
解析：
观察散点图，A 图的点分布最集中且接近直线，呈现强正相关，相关性系数 最接近 1。
故选 A。
第4题
题目：下列函数是偶函数的是（ ）
选项：
A.
B.
C.
D.答案：B
解析：
偶函数满足 ，且定义域关于原点对称。
A 项： ，不是偶函数
B 项： ，是偶函数
C 项：定义域 ，不关于原点对称
D 项： ，不是偶函数
故选 B。
第5题
题目：若 ，则 a, b, c 的大小关系为（ ）
选项：
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：
指数函数 递增， ，所以
对数函数 递增， ，所以
因此
故选 B。
第6题
题目：若 m, n 为两条不同的直线， 为一个平面，则下列结论中正确的是（ ）
选项：
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则 m 与 n 相交
答案：C
解析：
A 错误：m 与 n 可能平行或异面
B 错误：m 与 n 可能平行、异面或相交
C 正确：过 m 作平面与 α 交于直线 s，则 m // s，而 n ⊥ α 故 n ⊥ s，所以 m ⊥ n
D 错误：m 与 n 可能相交或异面
故选 C。第7题
题目：已知函数 （ ）的最小正周期为 π。则函数在区间 上的最小值是
（ ）
选项：
A.
B.
C. 0
D.
答案：A
解析：
先化简：
周期 ，得 ，所以
当 ，有
在该区间递减，最小值在 处，
故选 A。
第8题
题目：双曲线 （ ）的左、右焦点分别为 ，P 是双曲线右支上一点，且直线
的斜率为 2。△ 是面积为 8 的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
选项：
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：
由斜率关系得三边比例，设 ，则 ，
面积 ，得
则 ，由双曲线定义 ，得 ，
方程为故选 C。
第9题
题目：一个五面体 ABC-DEF，已知 AD // BE // CF，且两两之间距离为 1，并已知 AD = 1, BE = 2, CF = 3。则该
五面体的体积为（ ）
选项：
A.
B.
C.
D.
答案：C
解析：
补形法：用相同五面体拼接成三棱柱，直截面为边长为 1 的等边三角形，侧棱长为 4
体积
故选 C。
第II卷（非选择题）
本卷共11小题，共105分。包括填空题和解答题。
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
第10题
题目：已知 i 是虚数单位，复数
答案：
解析：
直接计算：第11题
题目：在 的展开式中，常数项为
答案：20
解析：
通项公式：
令指数为 0： ，得
常数项为
第12题
题目：圆 的圆心与抛物线 （ ）的焦点 F 重合，A 为两曲线的交点，则原点
到直线 AF 的距离为
答案： （或 0.8）
解析：
圆心 F(1,0)，故 ，p = 2，抛物线为
联立方程得 A(4, ±4)，直线 AF:
距离公式：原点到直线 的距离为
第13题
题目：A、B、C、D、E 五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加。
(1) 甲选到 A 的概率为：______
(2) 已知乙选了 A 活动，他再选择 B 活动的概率为：______
答案： ；
解析：
总选法数：
(1) 甲选 A 的选法数： ，概率
(2) 乙选 A 后，剩余活动 4 个，选 B 的选法数： ，概率
第14题题目：在边长为 1 的正方形 ABCD 中，点 E 为线段 CD 的三等分点， ， ，则
______；若 F 为线段 BE 上的动点，G 为 AF 中点，则 的最小值为 ______
答案： ；
解析：
向量分解： ，故 ，和為
建系计算：设 F 点坐标，用向量数量积公式，最小值在 k=1 或 a=-1/3 时取得，为
第15题
题目：若函数 有唯一零点，则 a 的取值范围为 ______
答案：
解析：
转化为函数交点问题，分 a=0、a>0、a<0 讨论
a>0 时，需在 x≤0 有唯一解，x≥a 无解，得 1 < a < √3
a<0 时，类似得 -√3 < a < -1
综上，a ∈ (-√3, -1) ∪ (1, √3)
三、解答题（本大题共5小题，共75分）
第16题
题目：在 △ABC 中， ，b = 5，
(1) 求 a
(2) 求 sin A
(3) 求
答案：
(1) a = 4
(2) sin A =
(3)
解析：
(1) 设 a=2t, c=3t，用余弦定理： ，代入得 t=2，a=4
(2) 法一：用正弦定理，sin B = ， ，得 sin A =
(3) 先求 cos A = ，sin 2A = ，cos 2A = ，代入公式计算。第17题
题目：已知四棱柱 ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面 ABCD 为梯形，AB // CD，A₁A ⊥ 平面 ABCD，AD ⊥ AB，其中 AB
= AA₁ = 2，AD = DC = 1。N 是 B₁C₁ 的中点，M 是 DD₁ 的中点。
(1) 求证 D₁N // 平面 CB₁M
(2) 求平面 CB₁M 与平面 BB₁C₁C 的夹角余弦值
(3) 求点 B 到平面 CB₁M 的距离
答案：
(1) 证明见解析
(2)
(3)
解析：
(1) 取 CB₁ 中点 P，连 NP、MP，证四边形 D₁MPN 为平行四边形，得 D₁N // MP，从而平行于平面
(2) 建系求法向量，用夹角公式
(3) 用点到平面距离公式计算
第18题
题目：已知椭圆 （a > b > 0）的离心率 e = ，左顶点为 A，下顶点为 B，C 是 OB 的中点，S△ABC
=
(1) 求椭圆方程
(2) 过点 (0, -3/2) 的动直线与椭圆交于 P、Q，在 y 轴上是否存在点 T 使得 恒成立？若存在，求 T
点纵坐标的取值范围
答案：
(1)
(2) 存在，T(0, t) 满足 -3 ≤ t ≤ 3/2
解析：
(1) 由 e=1/2 得 a=2c, b=√3c，用面积求 c=√3，得椭圆方程
(2) 设直线方程，联立椭圆，用向量数量积 ≤0 求 t 的范围
第19题
题目：已知数列 {aₙ} 是公比大于 0 的等比数列，前 n 项和为 Sₙ，a₁ = 1，S₂ = a₃ - 1
(1) 求 Sₙ
(2) 设 bₙ = { k, n = a₋k; bₙ₋₁ + 2k, a₋k < n < a₋k₊₁ }，b₁ = 1，其中 k 是大于 1 的正整数
(i) 当 n = a₋k₊₁ 时，求证 bₙ₋₁ ≥ a₋k · bₙ
(ii) 求 ∑_{i=1}^{Sₙ} bᵢ答案：
(1) Sₙ = 2ⁿ - 1
(2) (i) 证明见解析；(ii) ∑ bᵢ =
解析：
(1) 由条件得 q=2，Sₙ = 2ⁿ - 1
(2) (i) 代入 n=2ᵏ，计算不等式
(ii) 分组求和，用裂项相消
第20题
题目：设函数 f(x) = x ln x
(1) 求 f(x) 图象上点 (1, f(1)) 处的切线方程
(2) 若 f(x) ≥ a(x - √x) 在 x > 0 时恒成立，求 a 的取值范围
(3) 若 x₁, x₂ ∈ (0,1)，证明 |f(x₁) - f(x₂)| ≤ |x₁ - x₂|^{1/2}
答案：
(1) y = x - 1
(2) a = 2
(3) 证明见解析
解析：
(1) 导数 f'(x) = ln x + 1，f'(1)=1，切线方程 y = x - 1
(2) 用不等式 ln t ≤ t-1，代入得 a=2
(3) 分区间讨论单调性，用导数工具证明不等式
